人教版八年级上册等腰三角形应用(讲义及答案)

等腰三角形应用（讲义）
➢课前预习
1.直角三角形全等的判定定理：_________________________．
2.线段垂直平分线上的点到_____________________________．
3.角平分线上的点到___________________________________．
4.已知：如图，线段AB的端点A在直线l上（AB与l不垂直），请在直线l
上另找一点C，使△ABC是等腰三角形．这样的点能找几个？请你找出所有符合条件的点．
➢知识点睛
1.垂直平分线相关定理：
①________________________________________________；
②到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．
已知：如图，P A=PB．
P
求证：点P在线段AB的垂直平分线上．
证明：
A
B
2.角平分线相关定理：
①________________________________________________；
②在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．
已知：如图，点P在∠AOB内部，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，且PC=PD．求证：点P在∠AOB的平分线上．Array证明：
3.在等腰三角形中，_________________，________________，______________
重合（也称“__________”），这是等腰三角形的重要性质．若在一个三角
形中，当中线，高线，角平分线“三线”中有“两线”重合时，则尝试构造___________．
➢ 精讲精练
1. 已知：如图，在△ABC 中，AB =AC ，O 是△ABC 内一点，且OB =OC ．
求证：直线AO 垂直平分线段BC ．
2. 如图，已知PA ⊥OM 于A ，PB ⊥ON 于B ，且PA =PB ．
∠MON =50°，∠OPC =30°，求∠PCA 的大小．
M
N
P C
B
O
A
C
B
O A
3.如图，已知BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，且交BE于E．
求证：AE平分∠F AC．F
A
E
D
C
4. 已知：如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE ，DF 分别是△ABD 和△ACD 的
高．
求证：AD 垂直平分EF ．
5. 如图，在△ABC 中，点E 在AB 上，AE =AC ，连接CE ，点G 为EC 的中点，
连接AG 并延长交BC 于D ，连接ED ，过点E 作EF ∥BC 交AC 于F ．求证：EC 平分∠DEF ．
G
F E
D
B
A
O
F E
D
C
B A
6. 已知：如图，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，CD ⊥AB 于D ，BE ⊥AC 于E ，
CD ，BE 交于点O ．
求证：AB =AC ．
O
E
D C B
A
7.已知：如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD平分∠ABC，CE⊥BD交
BD的延长线于E，若CE=5 cm，求BD的长．
8.如图，在△ABC中，延长BC到D，使CD=AC，连接AD，CE平分∠ACB，
交AB于E，且AE=BE．
A
求证：BC=CD．
9.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，若要在直线BC或AC上取一点P，使
△ABP是等腰三角形，符合条件的点P有________个．
B
C
10.如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A，B是两个格点，
若点C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则符合条件的点C 有________个．
【参考答案】
➢课前预习
1．SAS，SSS，ASA，AAS，HL
2．这条线段的两个端点的距离相等
3．这个角的两边的距离相等
4．这样的点有4个
➢知识点睛
1．线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等2．角平分线上的点到这个角的两边距离相等
3．顶角的平分线底边上的中线底边上的高三线合一
等腰三角形
➢精讲精练
1.证明略（提示：利用等腰三角形“三线合一”）
2.55°，证明略
3.证明略（提示：过点E作EM⊥BF于M，EN⊥BD于N，EP⊥AC于P，证EP=EM）
4.证明略（提示：利用等腰△DEF“三线合一”，证明AD垂直平分EF）
5.证明略
6.证明略（提示：连接BC，证△ABC是等边三角形）
7.BD=10 cm（提示：延长BA交CE的延长线于F，先证△BCF是等腰三角形，
再证△ADB≌△AFC）
8.证明略（提示：过点E作EF⊥AC于F，EG⊥BC于G，证明
△ABC是等腰三角形）
9.6个，作图略（两圆一线）
10.8个，作图略（两圆一线）。