三坐标测量机的测头半径补偿与曲面匹配

三坐标测量机的测头半径补偿与曲面匹配李　春　刘书桂(天津大学精密测试技术与仪器国家重点实验室　天津　300072)摘要　在非均匀双三次B—样条函数的基础上,导出自由曲面任意点的法矢量通用算法,进而提出自由曲面测头半径补偿公式;为了更好的消除自由曲面测量中的定位误差,提出了应用单纯形法,对测量原始点进行坐标平移和旋转变换,从而较好的解决了曲面匹配问题。

关键词　自由曲面　测头补偿　曲面匹配The Probe Rad ius Com pen sa tion of Free-form Surface and Surface M a tch i ngL i　Chun　L iu Shugu i(S ta te K ey L abora tory of P recision M easu ring T echnology and Instrum en t,T ianj in U n iversity,T ianj in300072,Ch ina)Abstract　Based on non2unifo rm B2sp lines,a new current algo rithm w ith no rm al vecto r of random free2fo rm surface’s po int is deduced,and mo re,a fo rm ula w ith p robe compensati on is p ropo sed.W e offer a arithm etic nam ed si m p lex m ethod in o rder to eli m inating o rientati on erro r in the p rocess of free2fo rm surface m easurem ent.It can settle surface m atch ing w ell by sh ifting and ro tating the m easuring coo rdinate system.Key words　F ree2fo rm surface　P robe compensati on　Surface m atch ing1　引 言三坐标测量机由于其测量精度和智能化程度较高,广泛应用于制造业的CAD CAM、产品检测和质量控制[1]。

用三坐标测量机的球形测头测量自由曲面时,得到的数据是测头中心轨迹,由于测头总有一定的半径r,因此测得的是与被测曲面相距r的包络面。

为了得到所需的测量表面,需要求出球心轨迹面所构成的包络面,这个过程被称为测头半径补偿。

在实际测量过程中,并不能做到实际曲面和标准曲面完全重合,需要将被测曲面进行旋转、平移等坐标变换,使被测曲面与标准曲面大致重合,从而达到曲面检测的目的,这个过程称之为曲面匹配。

2　测头半径补偿方法用球形测头测量曲面时,测头与被测曲面为点接触,测头半径补偿的关键是确定曲面在接触点处的法矢。

球测头与被测曲面接触时,球心一定在被测点的法线上,而且被测点一定在球心轨迹面过球心点的法线上。

因此不论能否得知被测面的法线方向或是球心面的法线方向,都能对测头半径进行补偿。

本文提出了一种新方法,不在测量过程中补偿测头半径,而只是收集测头中心坐标值,然后应用曲面建模理论,计算出球心各点的法矢量值,继而补偿测头半径。

(1)自由曲面的偏导数求法首先,根据三坐标测量机所得的原始测量点,我们可以反求出双三次B—样条自由曲面的模型[2]:S(u,v)=∑ni=0∑mj=0N i,4(u)N j,4(v)P i,j(1)其中N i,4(u),N j,4(v)为双三次B—样条基函数, P i,j为控制预点。

先求曲面沿u向的切矢量,即对S(u,v)求偏导:S u(u,v)=55u S(u,v)=∑mj=0N j,4(v)u∑ni=0N i,4p(u)P i,j第24卷第4期增刊 仪　器　仪　表　学　报 2003年8月=∑mj=0N j,4(v )55uC j (u )(2)这里,C j (u )=∑ni=0Ni,4p (u )P i,j ,j =0,…,m 为B 样条曲线。

而C ′(u )=∑n-1i=04Ni,3(u )P i+1-P iu i+4-u i+1,所以:S u (u ,v )=∑n-1i=0∑mj=04N i,3(u )N j,4(v )P i+1,j -P i,ju i+4-u i+1(3)同样,我们可以得出:S v (u ,v )=∑ni=0∑m -1j=04Ni,4(u )N j,3(v )P i,j+1-P i,jv i+4-v i+1(4)S u (u ,v )和S v (u ,v )分别为曲面上的点沿u 向和v 向的切矢量。

(2)曲面的测头半径补偿公式被测曲面与测头中心轨迹曲面是法向等距面关系。

测头中心轨迹曲面上的任意点处的单位矢量可以得出:n τ(u ,v)=S u (u,v )×S v (u,v ) S u (u,v )×S v (u,v )(5)其中S u (u ,v )和S v (u ,v )可以由式(3)(4)得出。

根据测头半径值r ,可以推出被测实际曲面的补偿公式为:P (u ,v )=S (u ,v ) rn τ(u ,v )(6)当测头位于被测曲面法矢量所指的一侧时,取“-”号,反之,取“+”号。

(3)计算机仿真结果利用解析曲面进行数字仿真计算,用以考察所述方法的精度。

为了方便计算,我们考虑一个椭球面,方程为x23002+y 25002+z 23002=1。

在第一象限内非均匀的取点P ′i,j ,并用解析方法将其转换为法向等距面上的点S i,j ,模拟测量数据。

应用本论文所述方法对得到的模拟数据进行曲面拟合与测头半径补偿,得到生成曲面上的点P i,j ,将其与原始数据P ′i,j 比较,以偏差e =m ax P ′i,j -P i,j 为指标。

设测头半径r =5mm 。

表1　最大偏差e 的计算结果n u n v m u =10m u =20m u =300.61.26×10-44.28×10-52.24×10-50.78.25×10-53.57×10-51.75×10-50.82.23×10-51.09×10-56.31×10-60.9——1.58×10-58.29×10-6 设测量点数为m u ×m v ,令m u =m v =10,20,30,节点控制数n u =n v =(6 10 9 10)m u ,取得的偏差如下表,可以看出,偏差e 随着测量点数的增大而减小,节点控制数也对偏差有一定的影响。

由此可见,本方法具有一定的计算精度。

3　曲面匹配曲面匹配是曲面误差评价的基础,在曲面检测和逆向工程中,经常要用到曲面匹配。

曲面的匹配实际上是一种受约束的拟合,利用测量点进行拟合的结果是一个其形状与理想轮廓曲面完全相同的曲面。

将测量所得的原始点进行适当的平移和旋转后,理论曲面与测量曲面将“贴合”得相当完美。

(1)坐标系的“旋合”过程假定被测曲面存在M 个原始理论点P ′i (x ′i ,y ′i ,z ′i )(i =1,2,…,M ),被测曲面的拟合模型为:z =f (x ,y )。

将M 个原始理论点P ′i 进行坐标平移和旋转变换,得出一组新的理论点值P i (x i ,y i ,z i )(i =1,2,…,M )。

x i y i z i=A ・x ′i y ′i z ′i+x 0y 0z 0(7)其中:A =co s Αco s Β+sin Αsin Βsin Χsin Αco s Β-co sΑsin Χ+sin Αsin Βco s Χ -sin Αco s Χ+co s Βsin Χco s Βsin Χco s Αco s Β-sin Βsin Αsin Χ+co s Αsin Βco s Χco s Βco s Χx 0,y 0,z 0是三个坐标平移量,Α,Β,Χ是三个坐标旋转量。

当x 0,y 0,z 0,Α,Β,Χ恰好是理论坐标系与测量坐标系之间的旋转平移关系时,M 个新理论点P i (x i ,y i ,z i )与拟合模型z =f (x ,y )最接近。

再定义一个新函数:F (x 0,y 0,z 0,Α,Β,Χ)=∑Mi=1(f (x i,y i)-z i )2(8)经过坐标变换后,M 个新的理论点P i 与拟合模型z =f (x ,y )最接近时,F (x 0,y 0,z 0,Α,Β,Χ)为最小,于是,曲面匹配的问题变成了求:F (x 0,y 0,z 0,Α,Β,Χ)→m in (9)时的x 0,y 0,z 0,Α,Β,Χ的值。

(2)单纯形法的求解思路由于式(9)含有非线性运算(含有正弦、余弦),一般情况是先将它进行线性化,将其展开为泰勒级数形641仪　器　仪　表　学　报 第24卷　式,舍去二次高阶项,这样比较复杂,这里我们应用最优化算法中的单纯形法进行求解。

单纯形法是一种不必计算函数梯度的直接搜索法,它能自动适应函数的局部环境变化,在极值附近内将会收缩。

算法如下:1)令n 维空间的单纯形的n +1个顶点为:x θi (i =1,2,…,n +1)计算函数值F i =f (x θi )(i =1,2,…,n +1),比较大小,并确定:F R =F (x (R ))=m ax 1≤i ≤n+1F i(极大点)F G =F (x (G ))=m ax 1≤i ≤n+1F i(次极大点)F L =F (x (L ))=m ax 1≤i ≤n+1F i(极小点)2)求出最坏点x (R )的对称点　x N =2x F -x (R )式中:x F =1n ∑n+1i=1(x (i )-x (R ))。

3)若F (x N )≥F R ,则将x N 缩小为x M ,x M =(1-Κ)x R +Κx N (0<Κ<1,Κ≠015)如果F (x M )<F (x G ),那么x (R )=x (M ),并重复以上步骤。

如果F (x M )≥F (x G ),那么x (i )=x (i )+x (L )2,并重新开始迭代。

4)若F (x N )<F R ,则将x N 扩大为x E ,x E =(1-Λ)x R+Λx N (Λ>1)如果上述条件满足,并且F (x E )<F (x N ),那么x (R )=x (E ),否则x (R )=x (N ),并重复以上步骤。

上述过程一直继续到∑n+1i=1(F i -F L )2<Ε或F R -F L <Ε F L 为止,其中Ε是预先给定的正数。