最新变化率问题导学案

变化率问题导学案

§1.1.1变化率问题导学案

一问题提出

问题1 气球膨胀率

我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?

⏹气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是。

⏹如果将半径r表示为体积V的函数,那么。

分析:，

⑴当V从0增加到1时,气球半径增加了«Skip Record If...»

气球的平均膨胀率为。

⑵当V从1增加到2时,气球半径增加了«Skip Record If...»

气球的平均膨胀率为。

可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．思考：当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?

问题2 高台跳水

在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：m)

与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h(t)= -Array 4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速«Skip

Record If...»度粗略地描述其运动状态?

思考计算：«Skip Record If...»和«Skip Record If...»的平均速度

«Skip Record If...»

在«Skip Record If...»这段时间里，«Skip Record

If...»= ；

在«Skip Record If...»这段时间里， «Skip Record

If...»= ；

探究：计算运动员在«Skip Record If...»这段时间里的平均速度，并思考以下问题：

⑴运动员在这段时间内使静止的吗？

⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？

探究过程：如图是函数h(t)= -4.9t2+6.5t+10的图像，结合图形可知，«Skip Record If...»，

所以，«Skip Record If...»= ；

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虽然运动员在«Skip Record If...»这段时间里的平均速度为«Skip Record If...»，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态．

二平均变化率概念:

1．上述问题中的变化率可用式子表示,称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率。

2．若设«Skip Record If...», «Skip Record If...» (这里«Skip Record If...»看作是对于x1的一个“增量”可用x1+«Skip Record If...»代替x2,同样«Skip Record If...») 3．则平均变化率为«Skip Record If...»«Skip Record If...»

思考：观察函数f(x)的图象平均变化率Array

«Skip Record If...»«Skip Record If...»表示什么

三．典例分析

例1．已知函数f(x)=«Skip Record If...»的图象上的一点«Skip Record If...»及临近一点«Skip Record If...»,则«Skip Record If...»．

例2．求«Skip Record If...»在«Skip Record If...»附近的平均变化率。

四．课堂练习

1．质点运动规律为«Skip Record If...»，则在时间«Skip Record If...»中相应的平均速度为．

2.物体按照s(t)=3t2+t+4的规律作直线运动,求在4s附近的平均变化率.

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3.过曲线y=f(x)=x3上两点P（1，1）和Q (1+Δx,1+Δy)作曲线的割线，求出当Δx=0.1时割线的斜率.

五．回顾总结

1．平均变化率的概念

2．函数在某点处附近的平均变化率

§1.1.2导数的概念

教学目标：

1．了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；

2．理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；

3．会求函数在某点的导数

教学重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念；

教学难点：导数的概念．

教学过程：

一．瞬时速度

我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度，那么，如何求运动员的瞬时速度呢？比如，«Skip Record If...»时的瞬时速度是多少？考察«Skip Record If...»附近的

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情况：

思考：当«Skip Record If...»趋近于0时，平均速度«Skip Record If...»有什么样的变化趋势？

结论：当«Skip Record If...»趋近于0时，即无论«Skip Record If...»从小于2的一边，还是从大于2的一边趋近于2时，平均速度«Skip Record If...»都趋近于一个确定的值。

从物理的角度看，时间«Skip Record If...»间隔无限变小时，平均速度«Skip Record If...»就无限趋近于史的瞬时速度，因此，运动员在«Skip Record

If...»时的瞬时速度是。

为了表述方便，我们用«Skip Record If...»

表示“当«Skip Record If...»，«Skip Record If...»趋近于0时，平均速度«Skip Record If...»趋近于定值«Skip Record If...»”

小结：局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。

二、导数的概念

函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是:«Skip Record If...»

我们称它为函数«Skip Record If...»在«Skip Record If...»处的导数，记作«Skip Record If...»或«Skip Record If...»，即

«Skip Record If...»

说明：（1）导数即为函数y=f(x)在x=x0处的。

（2）«Skip Record If...»，当«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»，所以«Skip Record If...»= 。

三．典例分析

例1．（1）求函数y=3x2在x=1处的导数.

例2．（课本例1）将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第«Skip Record If...»时，原油的温度（单位：«Skip Record If...»）为«Skip Record If...»，计算第«Skip Record If...»时和第«Skip Record If...»时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．

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