初等变换应用
浅析线性代数中初等变换方法的应用
199科技资讯 S CI EN CE & T EC HNO LO GY I NF OR MA TI ON 学 术 论 坛线性代数中有诸多的思想方法,其核心是等价分类求标准形以及贯穿全书始终的初等变换的思想方法。
初等变换的方法是线代数中分析问题、解决问题的一种非常重要的思想方法之一。
这种方法的实质是将问题化繁为简,化多为少,化大为小,并保持事物的本质不变,矩阵的初等变换计算简洁便于应用,是研究线性代数问题的一个重要工具。
在文献[1][2]中,已应用矩阵的初等变换解决了:(1)求线性方程组的通解;(2)求可逆矩阵的逆矩阵;(3)化矩阵为标准形;(4)求向量组的极大线性无关组;(5)判断向量组等价;(6)求多项式的最大公因式、最小公倍式及组合系数多项式;(7)求标准正交基等。
初等变换在线性代数中的应用远不止这些,如何巧妙地运用初等变换去解决线性代数中有些运算复杂的问题会起到事半功倍的效果。
以下就初等变换的思想方法在线性代数中的广泛应用做进一步的总结。
1 基本定理定理1 矩阵经过初等行(列)变换后,其秩不变。
定理2 设 =(n a a 1)关于基n 1的坐标为 X (n x x 1)用矩阵表示成 PX 。
因 P 可逆,所以 1X P ,即：(:)P 初等行变换(E:1P)定理3 设矩阵方程 AX=B ,若A可逆,则 1X=A B ,即：(:)A B 初等行变换 (:X)E 推论1设矩阵方程 XA=B ,若A 可逆,则 1X=BA , 1X =A B（）,即： (:)A B 初等行变换 (:X )E 定理4 对A 作一系列初等行变换,同时作相应的初等列变换,把A 化为对角形B ,其初等列变换把单位阵化为变换阵PE A 对应相同的行列变换P B 则存在可逆变换 X PY ,将A对应的二次型化为标准型。
2 典型例题详解例1 用初等变换法求矩阵的秩。
A21424554112203611110解 先把第五行邻换到第一行：111011001110455401220122112201220001036102440000214503610000A所以r(A)=3。
矩阵的初等变换及其应用
矩阵的初等变换及其应用线性代数第一次讨论课1.导语2.讨论内容目录3.正文4.个人总结导语:矩阵是研究线性代数方程组和其他相关问题的有力工具，也是线性代数的主要研究啊、对象之一。
它的理论和方法在自然科学、工程技术、社会科学等众多领域等都有极其广泛的应用。
矩阵作为一些抽象数学的具体表现，在数学研究中占有极其重要的地位。
本文从矩阵的概念讨论矩阵的运算及性质，进而讨论用途很广的矩阵的初等变换及其应用。
讨论内容目录矩阵的初等变换及其应用1.两个矩阵的等价2.两个矩阵的乘积3.将矩阵化为行阶梯型、行最简形、标准型4.求矩阵的秩5.求可逆矩阵的逆矩阵6.求线性方程组的解7.判断向量组的线性相关性8.求向量组的秩与极大无关组9.求矩阵的对角化矩阵（采用行列初等变换，对角线元素为特征值）10.二次型化为标准形正文一、矩阵的等价1.定义：若矩阵A经过一系列初等行变换化为B矩阵,则称A与B行等价；若矩阵A经过一系列初等列变换化为B矩阵,则称A与B列等价；若矩阵A经过一系列初等变换化为B矩阵,则称A与B等价（相抵）。
2.矩阵的等价变换形式主要有如下几种：1）矩阵的i行（列）与j行（列）的位置互换；2）用一个非零常数k乘矩阵的第i行（列）的每个元；3）将矩阵的第j行（列）的所有元得k倍加到第i行（列）的对应元上去；即如果两个矩阵可通过有限次上述变换中的一个或几个的组合变为一样的，两个矩阵等价。
3.矩阵等价具有下列性质（1）反身性任一矩阵A与自身等价；（2）对称性若A与B等价，则B与A等价；（3）传递性若A与B等价，B与C等价，则A与C等价；注意：矩阵作初等变换是矩阵的一种运算，得到的是一个新矩阵，这个矩阵一般与原矩阵不会相等。
下面举例说明矩阵等价及等价变换：13640824100412204128--?? ?- ? ?-- ?-??13r r +→43213131414331222136413640824100824100412204122041280 412813641364082410082410000300030060000r rr r r r r rr r r r B ++-++-----???? ? ?-- ? ????→???→---- ? ?-------- ? ?→= ? ? ? ?????1231213121310341813601030013001300001000100000000r r r r r r r r r C -------???? ?-- ? ?→→= ?显然，根据矩阵等价的定义，以上变换过程中的每一个矩阵均为等价的，每个步骤都是等价转换。
矩阵的初等变换及应用的总结
矩阵的初等变换及应用内容摘要：矩阵是线性代数的重要研究对象。
矩阵初等变换是线性代数中一种重要的计算工具，利用矩阵初等变换，可以求行列式的值，求解线性方程组，求矩阵的秩，确定向量组向量间的线性关系。
一矩阵的概念定义：由于m×n个数aij（i=1，2，….，m；j=1，2，….，n）排成的m行n列的数表，称为m行n列，简称m×n矩阵二矩阵初等变换的概念定义：矩阵的初等行变换与初等列变换，统称为初等变换1.初等行变换矩阵的下列三种变换称为矩阵的初等行变换:(1) 交换矩阵的两行(交换两行,记作);(2) 以一个非零的数乘矩阵的某一行(第行乘数,记作);(3) 把矩阵的某一行的倍加到另一行(第行乘加到行,记为).1.初等列变换把上述中“行”变为“列”即得矩阵的初等列变换3 ,如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B,就称矩阵A 与矩阵B等价，记作A~B矩阵之间的等价关系具有下列基本性质:(1) 反身性;(2) 对称性若,则;(3) 传递性若,,则.三矩阵初等变换的应用1.利用初等变换化矩阵为标准形定理：任意一个m×n矩阵A，总可以经过初等变换把它化为标准形2.利用初等变换求逆矩阵求n阶方阵的逆矩阵：即对n×2n矩阵（A¦E）施行初等行变换，当把左边的方阵A变成单位矩阵E的同时，右边的单位矩阵也就变成了方阵A的逆矩阵A^(-1)即(A|E)经过初等变换得到(E|A^(-1))这种计算格式也可以用来判断A是否可逆，当我们将A化为行阶梯形矩阵时，若其中的非零行的个数等于n时，则A可逆，否则A不可逆。
设矩阵可逆，则求解矩阵方程等价于求矩阵，为此，可采用类似初等行变换求矩阵的逆的方法，构造矩阵，对其施以初等行变换将矩阵化为单位矩阵，则上述初等行变换同时也将其中的单位矩阵化为，即.这样就给出了用初等行变换求解矩阵方程的方法.同理, 求解矩阵方程等价于计算矩阵亦可利用初等列变换求矩阵. 即.3．利用矩阵初等变换求矩阵的秩矩阵的秩的概念是讨论向量组的线性相关性、深入研究线性方程组等问题的重要工具. 从上节已看到，矩阵可经初等行变换化为行阶梯形矩阵，且行阶梯形矩阵所含非零行的行数是唯一确定的, 这个数实质上就是矩阵的“秩”,鉴于这个数的唯一性尚未证明，在本节中，我们首先利用行列式来定义矩阵的秩，然后给出利用初等变换求矩阵的秩的方法.定理：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩，即若A~B则R（A）=R(B)为求矩阵的秩，只要把矩阵用初等行变换变成阶梯矩阵解体矩阵中非零行的行数即是该矩阵的秩利用矩阵值得概念，能够讨论线性方程组有解的条件，然后通过研究向量组的线性相关性，向量组的秩等重要概念，讨论线性方程组的结构。
矩阵初等变换及其应用毕业论文
矩阵初等变换及其应用毕业论文矩阵初等变换及其应用毕业论文摘 要：初等变换是高等代数和线性代数学习过程中非常重要的，使用非常广泛的一种工具。
本文列举了矩阵初等变换的几种应用，包括求矩阵的秩、判断矩阵是否可逆及求逆矩阵、判断线性方程组解的状况、求解线性方程组的一般解及基础解系、证向量的线性相关性及求向量的极大无关组、求向量空间两个基的过渡矩阵、化二次型为标准形。
并用具体例子说明矩阵初等变换在以上几种应用中是如何运用的。
关键词：矩阵 初等变换 初等矩阵在代数的学习过程中，我发现矩阵的初等变换有许多应用，几乎贯穿着始终。
本文将对矩阵的初等变换进行介绍并以具体例子说明矩阵初等变换的七种应用。
虽然这些计算格式有不少类似之处，但是也指出由于这些计算格式有不同的原理，所以它们的应用也有一些明显的区别。
定义1：矩阵的行（列）初等变换是指对一个矩阵施行的下列变换： （1）交换矩阵的两行（列）(交换第i ，j 两行（列），记作()ij ij r c ）；（2）用一个不等于零的数乘矩阵的某一行（列）即用一个不等于零的数乘矩阵的某一行（列）的每一个元素（用数k 乘以第i 行（列），记作()(())i i r k c k ；（3）用某一个数乘矩阵的某一行（列）后加到另一行（列），即用某一数乘矩阵的某一行（列）的每一个元素再加到另一行（列）的对应元素上(第i 行（列）k 倍加到第j 行（列），记作()(())ij ij r k c k 。
初等行、列变换统称为初等变换。
定义2：对单位矩阵I 仅施以一次初等变换后得到的矩阵称为相应的初等矩阵，分别记为第1、2、3类行（列）初等矩阵为()ij ij R C ，()(())i i R k C k ，()(())ij ij R k C k ，有ij R =ij C =10111⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ()i R k =()i C k =1k1⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭()ij R k =()ij C k =11j 11i k⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭行行 初等变换与初等矩阵之间有下列基本性质。
初等变换的应用介绍
06
初等变换在特征值与特征向 量中的应用
特征值与特征向量的定义
特征值
对于一个给定的矩阵A，如果存在一 个数λ和对应的非零向量x，使得Ax = λx成立，则称λ为矩阵A的特征值。
特征向量
对于矩阵A的特征值λ，满足Ax = λx的 向量x称为矩阵A的对应于特征值λ的特 征向量。
特征多项式与特征值
特征多项式
解未知数。
高斯消元法的关键步骤包括将增 广矩阵的每一行对角线元素化为
1，并消去其他元素。
高斯消元法在处理系数矩阵为方 阵或接近方阵的线性方程组时效
果较好。
选主元技巧
在高斯消元法中，选择适当的主元（对角线上的非零元素）可以避免因数值误差而 导致的计算错误。
选主元技巧包括选择绝对值最大的元素作为主元，以及在主元位置选择一个非零元 素作为主元。
04
初等变换在矩阵相似变换中 的应用
相似矩阵的定义
01
02
03
相似矩阵
如果存在一个可逆矩阵P， 使得$P^{-1}AP=B$，则 称矩阵A与B相似。
特征值
如果矩阵A与B相似，那么 它们的特征值相同。
特征向量
如果矩阵A与B相似，那么 A的特征向量可以通过相 似变换得到B的特征向量。
相似矩阵的性质
详细描述
三角分解也称为LU分解，它将一个矩阵A分解为一个下三角 矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积，即A=LU。这种分解在解 决线性方程组、计算行列式和求矩阵的逆等方面有广泛应用 。
矩阵的QR分解
总结词
QR分解是一种将一个矩阵分解为一个 正交矩阵和一个上三角矩阵之积的方 法。
详细描述
QR分解将一个矩阵A分解为一个正交矩阵 Q和一个上三角矩阵R的乘积，即A=QR。 这种分解在求解最小二乘问题、计算矩阵 的范数和特征值等方面有重要应用。
初等合同变换法
初等合同变换法初等合同变换法是线性代数中重要的一个部分。
它是指对一个矩阵进行加、减、乘一个常数、交换它的两行或两列、以及用一行或一列的常数乘以另一行或一列等运算，得到的新矩阵与原矩阵互为合同矩阵。
对于一个实数域上的对称矩阵，通过初等变换后所得到的新矩阵仍然是对称矩阵。
初等合同变换法的应用很广泛，在数学、物理、机械等许多领域中都有着广泛的应用。
一、初等行变换（1）交换两行：将矩阵中的第 $i$ 行和第 $j$ 行进行交换，得到新矩阵。
这个操作用符号 $R_i\leftrightarrow R_j$ 表示。
例如：$$\left(\begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array}\right)\xrightarrow{R_1\leftrightarrow R_2}\left(\begin{array}{ccc} a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array}\right)$$对于矩阵 $A$ 的初等列变换即是 $A$ 转置的初等行变换。
这一点是显然的。
矩阵中的任何一个初等变换都可以表示为以下的一组基本变换：$$\begin{aligned} (1)&\quad R_i\leftrightarrow R_j\\ (2)&\quadkR_i\qquad(k\neq0)\\ (3)&\quad R_i+kR_j\\ \end{aligned}$$将上述变换叠加起来，就可以得到任何一个矩阵的初等变换。
初等变换的若干应用
,
2
,
,
s
, 的极大无关组 ;
-1
3 求二次型的标准形及非退化线性替换阵 C; 运用初等行变换求 A ; 4 运用 E - A 与 E - B 等价来判定 A 与 B 相似 以上这些问题我们不再详细叙述 , 读者可参考通常教教材 二、 用初等变换法求多项式最大公因式
[ 1]
.
[ 1]
在多项式理论中 , 求 f ( x ) 与 g (x ) 最大公因式常用方法是辗转相除及运用标准分解式法
,但
这些方法对于求 u( x ), v( x ) 使 u ( x ) f ( x ) + v (x )g ( x ) = d ( x ) 极不方便 , 下面我们介绍用初等变换 方法求 f ( x ) 与 g (x ) 的最大公因式以及使 u (x )f ( x ) + v (x )g ( x ) = d (x ) 成立的 u( x ), v( x ). 设 f 1 ( x ), f2 (x ), , f s ( x ) 是 P [ x ] 中的元 构造 s + 1 行, s 列矩阵 A f 1 ( x ), f2 (x ), , f s ( x ) A = E 对 A 施行一系列初等列变换 d (x ) 0 A u 1 (x ) * 0
,
2
,
,
s
为 A 的行向量组 ,
1
,
2
,
, a a a
n 11 21
为 A 的列向量组 对 A 施行初等行变换 a a a ,
12 22
A
s1
s2 s
sn
A 1 的行向量组
1
,
2
,
,
s
与
矩阵初等变换的应用举例
4 3 5 3
0 0 1 1 6 4
0 0 1 1 6 4
1 4 3
A1 1 5 3
1 6 4
验证： 2 2 3 1 4 3 1 0 0 1 1 0 1 5 3 0 1 0 1 2 1 1 6 4 0 0 1
3 求矩阵的秩
一般格式：将m×n矩阵经过一系列初等行变换变成阶梯形矩阵
解：
1 3 7 r2 2r1 1 3 7
1 3 7
2 4 3 r3 3r1 0 10 17 r3 1/ 5r2 0 10 17
3 7 2
0 2 23
0 0 196/10
= 110196/10 =196。
2 求矩阵的逆
一般格式：经过一系列的初等行变换把n级可逆矩阵A与n级单位矩阵E所组成 n×2n的矩阵（A E）中的A化为单位矩阵，则E化为A-1
目录
引 言 1 行列式的计算 2 求矩阵的逆 3 求矩阵的秩 4 求线性方程组的解 5 求向量组的线性关系 6 确定一向量组能否由另一向量组线性表出 7 求向量组的秩与极大无关组 8 判断两向量组是否等价 9 向量空间内向量在基下的坐标 10 一组向量组生成的子空间的基与维数 11 求两个子空间的和与交的基与维数 12 求从一组基到另一组基的过渡矩阵 结 论
换和初等列变换统称为初等变换。
量间的线性关系，化二次型为标准型等。
本文列举了利用矩阵初等变换解决上述问题的格式以及相关的计算实例。 同时也指出由于这些计算格式有不同的原理，虽然这些计算格式有不少类似 之处，但是它们也有一些明显区别。我们只有了解这些计算格式的联系与区 别才能正确使用这些计算格式。
AE 初等行变换 E A1
这种计算格式也可以用来判断A是否可逆，当我们将A化为行阶梯形矩阵时， 若其中的非零行的个数等于n时，则A可逆，否则A不可逆。