泰勒公式的证明及其应用
泰勒公式的证明及其应用课题意义怎么写
泰勒公式的证明及其应用课题意义怎么写泰勒公式是数学中一个重要的公式,可以用来展开一个函数在某一点处的函数值,从而得到该点处的函数表达式。
证明泰勒公式及其应用是一个复杂的数学问题,下面将给出一些介绍:一、泰勒公式的证明设$f(x)$在点$x_0$处具有$n$阶导数$f'(x_0)$,则在该点附近可以表示为:$$f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) +frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 + frac{f'''(x_0)}{3!}(x-x_0)^3 + cdots + frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n + R_n(x)$$其中$R_n(x)$为余项,它只与前$n-1$个项有关。
余项$R_n(x)$可以表示为:$$R_n(x) = frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1} - frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n$$其中$c$是$x$和$x_0$之间的某个数。
泰勒公式的证明思路可以看作是将$f(x)$展开成一个多项式,并根据多项式的阶数和系数确定余项$R_n(x)$。
二、泰勒公式的应用泰勒公式在许多领域都有广泛的应用,包括:1. 数值计算:泰勒公式可以用来将一个复杂的函数逼近一个数值值,从而进行数值计算。
2. 数学分析:泰勒公式可以用来证明函数的连续性,并在微积分中应用。
3. 物理学:泰勒公式可以用来描述函数在时间和空间上的分布,从而研究物理系统的运动状态。
4. 统计学:泰勒公式可以用来估计一个函数的自变量取值范围,从而进行统计学推断。
泰勒公式是一个数学工具,它的证明和应用具有很高的实用价值。
【精品】泰勒公式的证明及其应用
泰勒公式的证明及其应用数学与应用数学专业胡心愿［摘要］泰勒公式的相关理论是函数逼近论的基础.本文主要探索的是泰勒公式的一些证明方法，并对不同的证明方法进行相应的比较分析,在此基础上讨论泰勒公式在证明不等式、求函数极限、求近似值、求行列式的值、讨论了函数的凹凸性，判别拐点,判断级数敛散性等方面的应用.本文还针对多元函数的泰勒公式的推导和应用做了简单的论述。
［关键词］泰勒公式;不等式；应用；ProofofTaylor'sFormulaandItsApplicationMathematicsandApplicedMathematicsMajorHUXin-yuanAbstract：ThetheoryaboutTaylor'sFormulaisthebasiccontentofApproximationTheory。
WhatthispaperexploresissomemethodsthatprooftheTaylor'sFormula，andthepaperanalyseandcomparethem。
Onthatbasis,thepaperdiscusstheapplicationofTaylor’sFormulainsomerespects，suchasInequalityproof,functionallimit，approximatevalue，determinantvalue,convexity—concavityoffunction，thedecisionofinflectionpoint，divergenceoftheseries。
ThepaperexplorethederivationofTaylor'sFormulaofthefunctionofmanyvariablesan ditsapplication。
Keywords：Taylor'sFormula；inequality;application目录1泰勒公式。
泰勒公式证明及应用
泰勒公式及其应用佟梅(渤海大学数学系辽宁锦州121000 中国)摘要：数学是一门很重要的学科，许多的数学家研究出了各种定理、公式，并且都证实了它们的正确性，应用这些定理公式解决了许多疑难问题，泰勒公式就是其一。
泰勒公式是数学分析中的一个重要公式，它在解决分析中的问题时应用广泛、灵活，也是解决各种数学问题的一个强有力的工具之一，本文对泰勒公式进行了简单的介绍，重点介绍了它的各种应用，作了一个较系统和规律性的分析综述。
首先，介绍了泰勒定理及其几种表示形式的泰勒公式，在后面的应用中会应用到。
其次，就是本文的重点——泰勒公式的应用，介绍了九个方面，主要包括：研究级数和广义积分的敛散性、利用泰勒公式求极限、近似计算和误差估计、确定和比较无穷小的阶、证明不等式等等，通过许多的例题分析，体现出了泰勒公式在解决数学问题时的重要性和简洁性。
关键词：泰勒公式，极限，误差估计，敛散性，不等式。
Taylor’s formula and its applicationTong Mei(Department of Mathematics Bohai University，Liaoning Jinzhou 121000 China)Abstract:Mathematics is a very important discipline. Many mathematicians studied all kinds of theorem and formula, proved their correctness, and applied them to solve a number of difficult problems. Taylor formula is one of them.Taylor’s formula is a important formula in mathematical analysis. It can be used widely and conveniently to solve the problems in analysis. In addition, it is one of powerful tools to solve all kinds of mathematics problems. This article provides a simple introdu ction to Taylor’s formula, emphasizes its various applications, and makes a systematic and inerratic analysis summary. Firstly, this article introduces the Taylor theorem and some Taylor’s formula of different _expression forms, which will be applied later. Next, it is the emphasis of this article -- the application of Taylor’s formula. Here nine aspects are introduced: studying the convergence and divergence of series and the improper integral, using the Taylor’s formnla to calculate limit, the approximate calculation and error estimate, determining and comparing the order of infinitesimals, the application in theorem proof, proving inequality, and so on. Through many example analysis, the importance and conciseness of Taylor’s formula in solving mathematic s questions are well illustrated.Key Words: Taylor’s formula; limit; error estimate ;convergent or divergent; inequality.前言对于一些较复杂的函数，为了便于研究，往往希望用一些简单的函数来近似表达，多项式就是非常简单的函数，只要对自变量进行有限次加、减、乘三种算术运算就能计算出函数值，因此我们希望用多项式来近似表达函数，本文将介绍近似计算理论分析的一个重要内容——泰勒公式，并重点研究它的广泛应用。
泰勒展开的公式
泰勒展开的公式摘要：1.泰勒公式的定义2.泰勒公式的用途3.泰勒公式的证明方法4.泰勒公式的实际应用正文：1.泰勒公式的定义泰勒公式，又称泰勒级数，是由英国数学家布鲁克·泰勒在18 世纪初提出的一种数学公式。
泰勒公式可以将一个可微函数在某一点附近的值表示为该点的函数值、导数值和高阶导数值的有限和。
具体来说，设函数f(x) 在点a 附近可微，则泰勒公式可以表示为：f(x) ≈ f(a) + f"(a)(x-a) + f""(a)(x-a)^2 / 2! + f"""(a)(x-a)^3 / 3! +...+ f^n(a)(x-a)^n / n! + Rn(x)其中，f"(a)、f""(a)、f"""(a) 等分别表示函数f(x) 在点a 处的一阶导数、二阶导数、三阶导数等，n! 表示n 的阶乘，Rn(x) 表示泰勒公式的余项。
2.泰勒公式的用途泰勒公式在数学和实际应用中有着广泛的用途，主要包括以下几点：（1）求函数的近似值：通过泰勒公式，可以将复杂的函数在某一点附近近似为多项式，从而简化问题。
（2）证明其他数学定理：泰勒公式可以作为证明其他数学定理的工具，例如证明函数的凹凸性、极限等。
（3）数值计算：在数值计算中，泰勒公式可以用于求解微分方程、插值和逼近等问题。
3.泰勒公式的证明方法泰勒公式的证明方法有多种，其中较为常见的是利用洛必达法则进行证明。
具体证明过程较为繁琐，这里不再赘述。
4.泰勒公式的实际应用泰勒公式在实际应用中有很多例子，下面举一个简单的例子来说明。
例如，我们要求函数f(x) = sin(x) 在点x=π/2 附近的值。
首先，我们知道sin(x) 在x=π/2 处的值为1，其次，我们可以求出sin(x) 在x=π/2 处的一阶导数为cos(π/2)=0，二阶导数为-sin(π/2)=-1，以此类推。
有关泰勒公式的证明及其推广应用研究
有关泰勒公式的证明及其推广应用研究摘要：对于泰勒公式而言，由于其淋漓尽致地体现了逼近法的精髓，因而在各个领域中的各个方面均有着十分重要的应用。
本文重点就泰勒公式的几种证明形式进行了分析，并就其在不等式、函数极限等方面的推广及应用情况进行了研究。
关键词：泰勒公式；证明；应用中图分类号：o172 文献标识码：a 文章编号：1674-7712 （2013）04-0166-01泰勒公式是数学分析过程中的重要公式之一，因而在数学中占有极为重要的地位。
通常而言，一般性的数学分析教材中均采用的是柯西中值定理来对泰勒公式进行证明，此种方法也广为人知，但是，其实泰勒公式还可以采用其他多种证明形式进行证明。
鉴于此，本文采用多种形式对泰勒公式进行了证明，并就其在多个领域中的应用推广进行了研究。
（一）采用完全归纳法对泰勒公式进行证明定理：对于任何函数f（x）而言，只要其在a点处存在着直到n 阶为止的导数，则a点附近的f（x）就可采用如下公式进行表达：（二）采用积分法对泰勒公式进行证明采用积分法不仅可以巧妙地证明泰勒公式，还可以得出几个结论，其定理如下所示：定理：假设[a，b]区间内函数f（x）具有直到n阶的连续导数，而在（a，b）内也存在着n+1阶的导数，此时，对于任意一个给定的x而言，x0∈（a，b），则f（x）可以表示为一个余项所得结论如下：其他的余项中只知ξ∈（a，b），此时有xn→x0（n→+∞）；由公式（1）可知，重积分型余项可推出皮亚诺型余项，因此，也可推出其他各类余项公式的形式。
以上所述两种方法主要是以不同角度对泰勒公式进行了证明，虽然其形式发生了改变，但是总体内涵保持不变，因而体现了变化中求思想精髓的基本证明思路，因而较容易被理解。
二、泰勒公式的应用推广（一）采用带有皮亚诺型余项的泰勒公式可进行函数极限的求取（二）采用泰勒公式可对积分等式进行证明除此以外，对于判断级数的收敛性、近似值的求解、行列式的求解等等多个方面均需要借助于泰勒公式进行计算和求解，由此可见，泰勒公式具有十分广泛的应用，本文重点就上述几个常见领域的应用及推广进行了分析，由于泰勒公式多个领域均有应用，这里就不再进行一一叙述了。
考研泰勒公式大全
考研泰勒公式大全考研泰勒公式是考研数学中的一个重要知识点，也是数学分析中的经典内容。
它是基于函数的无数阶导数和函数值之间的关系，可以用来近似计算函数的值。
由于涉及到较多的公式推导和应用场景，下面将详细介绍泰勒公式的推导过程和一些常见的应用。
1.雅可比泰勒公式泰勒公式的最基本形式是雅可比泰勒公式，它可以通过有限次的求导得到。
假设函数f(x)在x=a处具有无限次可导，那么在x=a处，f(x)的泰勒展开式可以写作：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+...+f^n(a)(x-a)^n/n!+Rn(x)（1）其中，f'(a)表示f(x)在x=a处的一阶导数，f''(a)表示f(x)在x=a 处的二阶导数，f^n(a)表示f(x)在x=a处的n阶导数，(x-a)^n表示(x-a)的n次幂，n!表示n的阶乘。
公式（1）中的最后一项Rn(x)表示余项，用来衡量泰勒展开式与原函数之间的误差。
当n趋向于无穷大时，如果余项Rn(x)趋于0，则泰勒展开式可以无限逼近原函数f(x)，也就是可以用泰勒展开式来近似计算f(x)的值。
2.泰勒公式的推导泰勒公式的推导步骤可以通过数学归纳法来进行证明。
首先，我们有泰勒公式的一阶导数形式：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+R1(x)其中，R1(x)为余项，我们将其化简为：R1(x)=f(x)-f(a)-f'(a)(x-a)然后，我们对R1(x)进行第一次求导：R1'(x)=f'(x)-f'(a)接着，将R1(x)和R1'(x)带入泰勒公式的形式中，我们可以得到泰勒公式的二阶导数形式：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+R2(x)其中，R2(x)为二阶导数形式的余项，其化简步骤为：R2(x)=f(x)-f(a)-f'(a)(x-a)-f''(a)(x-a)^2/2!通过类似的推导方式，我们可以继续得到更高阶导数形式的泰勒公式，即得到公式（1）的形式。
泰勒公式在计算及证明中的应用
泰勒公式在计算及证明中的应用
泰勒公式是微积分中重要的概念，在计算及证明中有着重要的应用。
该公式可用于求解复杂问题，有助于精准估算复杂函数的数值，使科学家可以把精力集中在推到一个有用的结论上面。
要利用泰勒公式进行计算，首先要弄清楚相关知识点，包括洛必达法则、泰勒展开形式、多项式函数和复杂函数的局部性原理等。
在理解基本的过程之后，就可以开始愉快的使用泰勒公式。
例如，当我们需要证明一个复杂函数的拐点是一个最小值时，可以使用泰勒公式。
首先明确该复杂函数应当属于什么形式，然后将该函数用它的二阶泰勒展开形式表示，再利用洛必达法则求出该函数的拐点，最后由有限域的初等函数的固有性质，可以得出该函数的拐点是一个最小值的最终结论。
泰勒公式是常加以使用的一种数学方法，它的应用广泛，无论是在做实际的运算，还是在证明复杂的数学问题，均有着重要作用。
在帮助人们更快更有效地做出准确的判断、可靠的结论，尤其是在计算和证明复杂函数时，泰勒公式都发挥着重要作用。
不同余项型泰勒公式的证明与应用
不同余项型泰勒公式的证明与应用一、不同余项型泰勒公式的证明$$f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \dots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n + R_n(x)$$其中$f(x)$是需要展开的函数，$f'(x)$是$f(x)$的一阶导数，$f''(x)$是$f(x)$的二阶导数，$f^{(n)}(x)$是$f(x)$的$n$阶导数，$R_n(x)$是余项。
证明不同余项型泰勒公式的关键是对余项$R_n(x)$的估计。
根据拉格朗日中值定理，存在$x$在$x$和$a$之间，使得$f(x)$的$n$阶导数$f^{(n)}(x)$等于$f^{(n)}(a)$和$f^{(n)}(x)$之间的差值。
即存在一个$\xi$满足$a < \xi < x$，使得$$R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}$$这里用到了泰勒公式的剩余项的拉格朗日型余项。
二、不同余项型泰勒公式的应用1.近似计算函数值不同余项型泰勒公式可以用于近似计算复杂函数在其中一点处的函数值。
通过泰勒展开，我们可以用函数的高阶导数来逐步逼近函数的真实值，使得计算更加简化。
尤其是在计算机数值计算中，利用不同余项型泰勒公式进行近似计算可以大大提高计算效率和精度。
例如，在计算$\sin(x)$时，我们可以通过泰勒展开将其逼近为一系列多项式函数的和，计算复杂度大幅减少。
2.证明其他重要结论不同余项型泰勒公式也可以用于证明其他数学中的重要结论。
例如，在证明函数的极限或导数存在时，我们可以通过利用泰勒展开，并将余项$R_n(x)$进行估计，从而得到极限或导数的正确表达式。
这在实分析学中经常应用，可以大大简化证明的步骤。
另外，不同余项型泰勒公式也可以用于证明函数的逼近性质。
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泰勒公式的证明及其应用数学与应用数学专业胡心愿[摘要]泰勒公式的相关理论是函数逼近论的基础。
本文主要探索的是泰勒公式的一些证明方法，并对不同的证明方法进行相应的比较分析，在此基础上讨论泰勒公式在证明不等式、求函数极限、求近似值、求行列式的值、讨论了函数的凹凸性，判别拐点，判断级数敛散性等方面的应用.本文还针对多元函数的泰勒公式的推导和应用做了简单的论述.[关键词]泰勒公式；不等式；应用；Proof of Taylor's Formula and Its ApplicationMathematics and Appliced Mathematics Major HU Xin-yuan Abstract: The theory about Taylor's Formula is the basic content of Approximation Theory . What this paper explores is some methods that proof the Taylor's Formula, and the paper analyse and compare them. On that basis, the paper discuss the application of Taylor's Formula in some respects，such as Inequality proof, functional limit, approximate value, determinant value, convexity-concavity of function, the decision of inflection point, divergence of the series.The paper explore the derivation of Taylor's Formula of the function of many variables and its application.Key words:Taylor's Formula;inequality;application目录1 泰勒公式 (1)1.1 泰勒定理的证明过程 (1)2 余项估计 (2)2.1 泰勒中值定理 (2)2.2 拉格朗日余项 (3)2.3 柯西余项 (6)2.4 积分余项 (7)3 泰勒公式的应用 (9)3.1 利用泰勒公式证明不等式 (9)3.1.1 泰勒公式在含有定积分的不等式中的应用 (9)3.1.2 泰勒公式在含有导函数的不等式中的应用 (10)3.2 利用泰勒公式求函数值与函数极限 (11)3.3 利用泰勒公式讨论函数的凹凸性，判别拐点 (12)3.4 判断级数的敛散性 (14)3.5 利用泰勒公式求行列式的值 (15)4 多元函数的泰勒公式 (16)4.1 二元函数泰勒公式的证明 (17)4.2 二元函数泰勒公式的应用 (18)结束语 (19)参考文献 (19)致谢 (20)泰勒公式是数学分析的一个重要内容，它将一些复杂的函数近似地表示为简单的多项式函数，分析比较它的各种证明方法和归纳其各种应用是本文的主要内容.关于泰勒公式的证明主要是讨论泰勒余项.1 泰勒定理若函数()x f 在0x 处存在n 阶导数，则()0x U x ∈∀，有()()()[]nn x x x T x f 0-+=ο ()1其中()()()()()()()()()n n n x x n x f x x x f x x x f x f x T 00200000!!2-++-''+-'+= ， ()()[]nn x x x R 0-=ο()0x x →，即()x R n 是比()nx x 0-的高阶无穷小.()1式称为()x f 在0x（展开）的泰勒公式.1.1 泰勒定理的证明过程由高阶无穷小的定义知，若要证明()[]nn x x x R 0-=⎪⎭⎫ ⎝⎛ο，只需要证明 ()()()()()0limlim000=-T -=-→→nn x x nn x x x x x x f x x x R因为这是0的待定型，可以应用1-n 次的洛必达法则来证明.()()()=T -=x x f x R n n()()()()()()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-''+-'+-n n x x n x f x x x f x x x f x f x f 00200000!!2!1 ()()()()()()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡--++-''+'-'='-100000!1!1n n nx x n x f x x x f x f x f x R ()()()()()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡--++-'''+''-''=''-⎪⎭⎫ ⎝⎛200000!2!1n n n x x n x f x x x f x f x f x R ()()()()()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-=---⎪⎭⎫⎝⎛-0010111!1x x x f x f x f x R n n n n n因为当0x x →时，()x R n ，⎪⎭⎫ ⎝⎛'x R n ， ，()()x R n n 1-以及()k x x 0-（+N ∈k ）都是无穷小,所以由洛必达法则，有()()()()=--''=-'=--⎪⎭⎫ ⎝⎛→-⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎭⎫ ⎝⎛→201001limlimlimn nx x n nx x nx x x x n n x R x x n x R x x x R n ()()()01!lim 0x x n x Rn nx x -=-→， 将()()()()()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-=---⎪⎭⎫⎝⎛-0010111!1x x x f x f x f x R n n n n n 带入上式得()()()()()()()()()()()()[]0!1!1lim lim000011000=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=---→→x f x f n x f x x x f x f n x x x R n n n n n x x nn x x ， 因此，可以得到()[]nn x x x R 0-=⎪⎭⎫ ⎝⎛ο . 2 余项估计泰勒定理中给出的余项()[]nn x x x R 0-=⎪⎭⎫ ⎝⎛ο称为佩亚诺余项.佩亚诺余项()[]nx x 0-ο只是给出来余项的定性描述，它不能估算余项⎪⎭⎫ ⎝⎛x R n 的数值.还需要进一步的进行定量描述.2.1 泰勒中值定理泰勒中值定理[1]若函数()x f 在()0x U 内存在1+n 阶导数，()0x U x∈∀，函数()t G 在以x 与0x 为端点的闭区间I 连续，在其开区间可导，且()0≠'t G ，则x 与0x 之间至少存在一点ξ，使()()()()()() +-''+-'+=200000!2x x x f x x x f x f x f ()()()()()()()()()[]ξξξG x G x x G n f x x n x f n n nn --'+-++0100!! 其中()()()()()()()[]ξξξG x G x x G n f x R n n n --'=+01!. 证明 ()x f 的泰勒多项式()()()()()()()()()n n n x x n x f x x x f x x x f x f x 00200000!!2-++-''+-'+=T . 我们记()()()()()()()()()n n t x n t f t x t f t x t f t f t F -++-''+-'+=!!22,则 ()()()()()()()()() +-'''+-''--''+'-'='2!2t x t f t x t f t x t f t f t f t F()()()()()()()()()()n n nn n n t x n t f t x n t f t x n t f -=-+---++-!!!1111. 可以看出函数()t F 与()t G 在闭区间I 连续，在其开区间可导，()0≠'t G ， 且可以看出()()x f x F =.应用柯西中值定理有：x 与0x 之间至少存在一点ξ，使 ()()()()()() +-''+-'+=200000!2x x x f x x x f x f x f()()()()()()()()()[]ξξξG x G x x G n f x x n x fn n nn --'+-++0100!!, 其中()()()()()()()[]ξξξG x G x x G n f x R n n n --'=+01!. 2.2 拉格朗日余项若函数f 在()0x U 内为存在1+n 阶的连续导数，则()0x U x∈∀有()()()()()()()()()()x R x x n x f x x x f x x x f x f x f n n n +-++-''+-'+=00200000!!2 ()2()()()()()101!1++-+=n n n x x n f x R ξ 称为拉格朗日余项，其中ξ在x 与0x 之间，称()2式为()x f 在0x 的带拉格朗日余项的泰勒公式. 当00=x 时，()2式变成()()()()()()()x R x n f x f x f f x f n nn +++''+'+=!0!20002 ,()()()()11!1+++=n n n x n f x R ξ,其中ξ在0与x 之间，称此式为带拉格朗日余项的麦克劳林公式.拉格朗日余项有四种常见的证明方法. (1)利用泰勒中值定理证明根据柯西中值定理我们有如下的证明方法. 因为()()()()()() +-''+-'+=200000!2x x x f x x x f x f x f()()()()()()()()()[]ξξξG x G x x G n f x x n x f n n nn --'+-++0100!! 其中()()()()()()()[]ξξξG x G x x G n f x R n n n --'=+01!. 函数()t G 在以x 与0x 为端点的闭区间I 连续，在其开区间可导，且()0≠'t G .取()()1+-=n t x t G ，满足定理要求，有()()()01≠-+-='nt x n t G ，()()()100,0+-==n x x x G x G ,将它们代入()x R n 之中，有()()()()()101!1++-+=n n n x x n f x R ξ，ξ在x 与0x 之间. （2）利用柯西中值定理证明根据柯西中值定理我们有如下的证明方法. 首先记()()()()()∑=-+=nk kk t x k t f t f t F 1!，且()()()()n n t x n t f t F -='+!1. 建立辅助函数()10+⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=n x x t x t λ且()()1,00==x x λλ，可得()()()()101+--+-='n nx x t x n t λ. 在区间[]0,x x （不妨设0x x <）运用柯西中值定理得()()()()()()()()()x F x F x x x F x F F x x -=--=''∈∃0000,,λλξλξξ. 将()()ξλξ'',F 代入上式可得()()()()()()()()()x f x F x x x n x n f n nn n ---+-=-++01011!ξξξ, 其中()0x F 即为()x f 在0x 处的n 次泰勒多项式，记为()x T n .故得()()()()()()101!1++-++=n n n x x n f x T x f ξ. (3)利用罗尔定理证明根据罗尔定理我们有如下的证明方法. 对于给定的x ，0x ，不妨设0x x <，并设()()()()()()()()()()H x x x x n x f x x x f x x x f x f x f n n n 1000200000!!2+-+-++-''+-'+= 并做辅助函数()()()()()() +-''+-'+=2!2u x u f u x u f u f u F ()()()()H u x u x n u f n n n 1!+-+-+. 因为()x f 在()0x U 内具有直到1+n 阶连续导数，故()u F 在[]x x ,0上连续可导，且()()()x f x F x F ==0.由罗尔定理得()x x ,0∈∃ξ，使()0='ξF ，即()()()()()01!1=-+--+H x n f n x nn nξξξ，由此解得()()()()x x n f H n ,,!101∈+=+ξξ，亦即 ()()()()()()x x x x n fx R n n n ,,!10101∈-+=++ξξ.(4)利用积分余项推导根据已知的积分余项我们可以有如下的证明方法.我们已知积分型余项()()()()⎰-=+x x nn n t t x t f n x R 0d !11.由于()()t f n 1+连续，()nt x -在[]x x ,0（或[]0,x x ）上同号,由积分中值定理得()()()()()()()()1011!11!10+++-+=-=⎰n n x x n n n x x f n dt t x fn x R ξξ. 比较分析证明拉格朗日余项的四种方法，可以看出都是利用中值定理（泰勒中值定理、柯西中值定理、罗尔定理、积分中值定理）来进行证明的.前三种的关键都是找到合适的辅助函数，而第四种方法是应用已知道积分余项来推导，主要是依据了推广的积分中值定理.2.3 柯西余项若函数()x f 在()0x U 内存在1+n 阶的连续导数，则()0x U x∈∀有()()()()()()()()()()x R x x n x f x x x f x x x f x f x f n n n +-++-''+-'+=00200000!!2 ()3()()()()()01!x x x n f x R n n n --=+ξξ，其中ξ在x 与0x 之间，称()3式为()x f 在0x 带柯西余项的泰勒公式.当00=x 时，()3式变成()()()()()()()x R x n f x f x f f x f n nn +++''+'+=!0!20002 ，()()()()111!++-=n n n n x n x f x R θθ，其中10<<θ，称此式为带柯西余项的麦克劳林公式. 柯西余项有两种常见的证明方法. (1) 利用泰勒中值定理证明根据泰勒中值定理我们有如下的证明方法.做辅助函数()t x t G -=，它满足泰勒中值定理的要求，有()()()00,0,01x x x G x G t G -==≠-='将他们代入()x R n ，有()()()()()01!x x x n f x R n n n --=+ξξ，ξ在x 与0x 之间. （2） 利用柯西中值定理证明根据柯西中值定理我们有如下的证明方法. 记()()()()()∑=-+=nk kk t x k t f t f t F 1!，且()()()()n n t x n t f t F -='+!1. 做辅助函数()0x x tx t --=λ，且()()()001,0,1x x t x x --='==λλλ,()()t F t ,λ在区间[]0,x x （不妨设0x x <）运用柯西中值定理()()()()()()()()()x F x F x x x F x F F x x -=--=''∈∃0000,,λλξλξξ.把()()ξλξ'',F 代入上式可得()()()()()()x f x F x x x n f n n ---=-+0011!ξξ 其中()0x F 为()x f 在0x 处的n 次泰勒多项式，记为()x T n .故有()()()()()()01!x x x n f x T x f n n n --+=+ξξ 比较分析柯西余项的两种证明方法，容易得知证明方法大致与拉格朗日余项的前两种证明方法类似，依据的是柯西中值定理和泰勒中值定理，关键依然是找到合适的辅助函数.2.4 积分余项若函数()x f 在()0x U 内存在1+n 阶的连续导数，则()0x U x∈∀有()()()()()()()()()()x R x x n x f x x x f x x x f x f x f n n n +-++-''+-'+=00200000!!2 ()4()()()()⎰-=+x x nn n t t x t f n x R 0d !11称()4式为()x f 在0x 带积分余项的泰勒公式. 积分型余项有两种常见的证明方法.(1)利用莱布尼茨公式证明根据莱布尼茨公式我们有如下的证明方法.我们有 ()()()()()⎰⎰'-'-='=-x x x x t t x t f t t f x f x f 0d d 0()()()()()()()()()⎰⎰'-''--'=-''+-'-=x x xx xx tt x t f x x x f tt x t f t x t f 0d 21d 200()()()()()()()()()()()()()⎰⎰'-'''⋅--''+-'=-'''+-''--'=x x x x x x t t x t f x x x f x x x f tt x t f t x t f x x x f 00d 32121d 21213200002200()()()()++-''+-'==2000021x x x f x x x f()()()x R x x f n n nn +-⋅0321 ，由上式可得到()()()()⎰-=+x x nn n t t x t f n x R 0d !11（2）利用分部积分法证明根据分部积分法我们有如下的证明方法.因为()x f 在()0x U 内具有直到1+n 阶连续导数 ，令()()()()[]x x t t f t v t x t u n,,,0∈=-=（或[]0,x x t ∈）.由分部积分法有()()()()()()()()()()()()[]xxn nn nn xx t v t ut vt u t v t u t t vt u 01d 11-++'-=-+⎰()()()()t t v t u xx n n d 1011⎰++-+，所以()()()()()()()()()[()]()⎰⎰⋅+++-+-=---+xx x xn n n n xxn n tt f t f n t f t x n t f t x t t f t x 0d 0!d 111()()()()()()()()x R n x x n x f x x x f x f n x f n n n n !!!1!!00000=⎥⎦⎤-++⎢⎣⎡-'+-=()()()()⎰-=+x x nn n t t x t f n x R 0d !11.证明积分型余项的两种方法一种是运用牛顿-莱布尼茨公式，一种是利用推广的分部积分的方法，都是浅显易懂的.3 泰勒公式的应用泰勒公式在近似计算中有着独特的优势，故而有着较为广泛的应用. 在应用中常见的泰勒展式如下，()12!1!!21+++++++=n x n xx n e n x x x e θ ()10<<θ,()()()221253!121!5!3sin ++++-+-+-=n n nx n x x x x x ο ,()()()113211321ln ++++-+-+-=+n n n x n xx x x x ο ,()n n x x x x xο+++++=- 2111. 3.1 利用泰勒公式证明不等式利用泰勒公式证明不等式的关键在于确定在哪一点0x 将函数展开将函数展到第几项为止.3.1.1 泰勒公式在含有定积分的不等式中的应用例1 设()x f 在[]b a ,上单调增加，且()0>''x f ，证明()()()()2d b f a f a b x x f ba+-<⎰.分析因为不等式右边出现了()a f 与()b f ，可以联想到在a x =0，b x =0分别展开由已知条件的()0>''x f ，可以猜想到展开到第二项即可，带拉格朗日余项. 证明 对[]b a x ,0∈∀，()x f 在0x 处的泰勒公式为 ()()()()()()20002x x f x x x f x f x f -''+-'+=ξ 其中ξ在0x 与x 之间. 因为()0>''ξf ,所以()()()()x x x f x f x f -+>00,将a x =0,b x =0分别带入得()()()()x a x f x f a f -'+>,()()()()x b x f x f b f -'+>.将两式相加可得,()()()()()()x f x x f b a x f b f a f '-'++>+22. 再对上式两天同时在[]b a ,求定积分得,()()()[]()()()()x x xf x x f b a x x f b f a f a b bababad 2d d 2⎰⎰⎰-'++>+-.故有,()()()()2d b f a f a b x x f ba+-<⎰.3.1.2 泰勒公式在含有导函数的不等式中的应用例 2 设函数()x f 在[]b a ,上二阶可导，且()()0='='b f a f ，试证存在一点[]b a ,∈ξ，使得()()()()a f b f a b f --≥''24ξ.分析由题意()()0='='b f a f ，可见0x 应取a ，b ()x f 在[]b a ,二阶可导，可知至多展到第三项.证明 在a x =0，b x =0处应用泰勒公式得()()()()()()()()()()()()()()b x b x f b x b f b f x f x a a x f a x a f a f x f ,2,2222121∈-''+-'+=∈-''+-'+=ξξξξ若取2ba x +=，且因为()()0='='b f a f ，上式变为 ()()⎪⎭⎫⎝⎛+∈⎪⎭⎫⎝⎛-''-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2,222121b a a b a f b a f a f ξξ， ()()⎪⎭⎫⎝⎛+∈⎪⎭⎫⎝⎛-''-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=b b a b a f b a f b f ,2222222ξξ, 从而()()()()()()()()()88212212b a f f b a f f a f b f -''+''≤-''-''=-ξξξξ.取()()(){}()()()ξξξξξξf f f f f f 2,max 2121≤+∴=,且()()b a ,,21⊂∈ξξξ.故有()()()()a f b f a b f --≥''24ξ. 3.2 利用泰勒公式求函数值与函数极限在求函数值与函数极限的过程中，可以利用泰勒展开式来替换，以简化计算.在求高阶导数时可以利用泰勒公式直接求得.例3 求极限422cos limx ex x x -→-.分析 利用麦克劳林展开式，由所求的式子分母的4x 可见，泰勒展开式应该展到第5项，且带佩亚诺余项，若用洛比达法则求解，要使用四次.解 根据麦克劳林展开式有()4422421cos x xx x ο++-= , ()44222821x x x x eο++-=-.故原式=()12112lim 4440-=+-→x x x x ο.例4 求x exd 21⎰-的近似值，精确到510-.分析 所求的2x e -的在[]1,0定积分是不能直接求出的，可以利用2x e -的麦克劳林展式，得出其近似估计.解 由泰勒公式有 () +-+++-=-!1!212422n xx x e n n x .故逐项积分得() +-+-+-=⎰⎰⎰⎰⎰-x n xx x x x x x e nn x d !1d !2d d 1d 10210410210102() ++⋅-+-⋅+-=121!1151!21311n n n +-+-+-+-=75600193601132012161421101311.从上式可以看出，等式的右端是一个收敛的交错级数.由其余项n R 的估计式知000015.0756001<≤n R , 已经满足精确到510-. 故有746836.093601132012161421101311d 102≈+-+-+-≈⎰-x e x .例5 求函数()x e x x f 2=在1=x 处的高阶导数()()1100f . 分析 直接求()()x f 100不太现实，这里可以利用泰勒公式.泰勒公式通项中的()nx x 0-的系数正是()()0!1x f n n ，可以直接求得()()0x f n ，不必依次求导. 解 设1+=u x ，则()()()u u e e u e u x f ⋅+=+=+21211，记()()u e e u u g ⋅+=21,故有()()()()01n n g f =.因为ue 在0=u 的泰勒公式为()1001009998!100!99!981u u u u u e uο++++++=，从而 ()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++++=10010099982!100!99!98112u u u u u u u e u g ο . 因为()u g 泰勒展开式中含100u的项应该为()()100100!1000u g ，与上式相比较()()100100100!1000!1001!992!981u g u e =⎪⎭⎫ ⎝⎛++. 故有()()()()e g f 1010101100100==.3.3 利用泰勒公式讨论函数的凹凸性，判别拐点泰勒公式也可以用来研究函数的凹凸性及拐点.先给出相关的定理及其证明. 定理1 设()x f 在[]b a ,上连续，在()b a ,上具有一阶和二阶导数．若在()b a ,内，()0>''x f ，则()x f 在[]b a ,上的图形是凸的．证明 设d c <为[]b a ,内任意两点，且[]d c ,足够小。