统计物理学中的配分函数_宋世学
统计物理学中的配分函数与熵
统计物理学中的配分函数与熵在统计物理学中，配分函数和熵是两个重要的概念，它们在研究热力学性质和系统行为的过程中发挥着关键作用。
本文将结合实例，分别介绍配分函数和熵，并探讨它们之间的关系。
一、配分函数配分函数是统计物理学中一个重要的概念，它描述了一个系统的全部可能的微观状态的总和。
在热力学中，我们关注的是系统的宏观性质，而不是微观状态。
配分函数提供了一个桥梁，将系统的微观特征与宏观性质联系起来。
举一个简单的例子，考虑一个由N个粒子组成的理想气体，这个系统的配分函数可以表示为：Z = Σe^(-βE)其中，E代表每个微观状态的能量，β则是热力学中的倒温度因子，等于1/(kT)，其中k是玻尔兹曼常数，T是系统的温度。
通过求和计算，我们可以对系统所有可能的微观状态进行统计和加权。
二、熵熵是另一个重要的概念，它是描述系统无序程度的度量。
我们可以将熵理解为系统能量分布的不均匀程度。
当系统趋于有序时，熵较低；当系统趋于无序时，熵较高。
以前面的例子来解释，一个理想气体中粒子的分布越均匀，熵就越高。
这是因为在一个高熵的系统中，粒子可以在空间中自由移动，因此存在着更多的微观状态。
相反，如果粒子聚集在某个特定区域，熵降低，系统呈现更有序的状态。
三、配分函数与熵的关系配分函数和熵之间存在着密切的关系。
事实上，熵可以通过配分函数来计算。
熵（S）和配分函数（Z）之间的关系可以表示为：S = k ln Z这个关系式揭示了熵与配分函数之间的直接联系。
通过配分函数，我们可以计算系统的熵，进而研究系统的热力学性质。
通过计算熵，我们能够了解系统的无序程度，从而预测系统的行为。
例如，在化学反应中，熵变的正负可以告诉我们反应的趋势。
正的熵变表示反应朝着更无序的方向进行，而负的熵变表示反应朝着更有序的方向进行。
四、应用与前景配分函数和熵在统计物理学中被广泛应用于研究各种系统的性质。
它们不仅可以帮助我们了解系统的宏观行为，还可以预测系统的相变和相稳定性。
(055孙杰)小议物理学中的配分函数
小议物理学中的配分函数孙杰 （安庆师范大学物理与电气工程学院 安徽 安庆 246011）指导老师：江贵生摘要：统计物理学从宏观物质系统是由大量微观粒子组成这一事实出发，认为物质的宏观特性是大量微观粒子行为的集体表现，而宏观物理量是相对应物理量的统计平均值。
针对微观状态的复杂性，若要将系统的宏观性质表达出来，需要一个媒介物，而配分函数的作用就是充当这一媒介。
本文从配分函数的定义式出发，根据玻尔兹曼的最概然分布表达式得出配分函数的表达式的由来。
在统计物理学中，配分函数具有重要的物理意义，它是一个收敛的无量纲的级数，它是粒子逃离基态程度的量度。
配分函数的物理意义表现在其重要的性质上，这在本文中都有所体现。
最后，本文详细的给出了利用配分函数求得热力学函数以及怎样推导典型分子分布规律的过程。
关键词：系统，配分函数，玻尔兹曼分布引言在汪志诚的《热力学·统计物理》一书中，对配分函数的定义式做了简单的推导，本文在此基础上对配分函数的导出做了详细的说明，并结合其他期刊对配分函数的性质以及应用做了详细的分析。
1 配分函数1.1 配分函数的定义在统计物理学中，玻尔兹曼分布的量子表达式和经典表达式分别是: lea l l βεαω--=和r ll h ea lωβεα∆=-- 那么玻尔兹曼经典统计的配分函数表达式为： ∑∆=-lrl h e Z l0ωβε （1）由于经典理论中的广义坐标q 、广义动量p 和粒子能量),(q p ε都是连续的变量，所以上式得求和应该是积分，表达式为： ⎰⎰⎰--==r rr )q ,p (r h dp ...dp dp dq ...dq dq e ...h d e Z l21210βεβεω （2） 下面介绍配分函数是怎样引出的:在推导玻尔兹曼系统粒子的最概然分布中，微观状态数Ω为：∏∏=la lll l !a !N ωΩ （3）玻尔兹曼系统中粒子的最概然分布是使 Ω为极大的分布。
统计物理中配分函数的计算
某一状态的能量 ） ，即所研究物理体 系的状态 于配分函数是对所有可能的量子态贡献的相对 的工件有高精度。由于实际加工中牙型角略有 须保 证 刚性 。而螺纹 车刀 的安装 则要尽 量减 少 扩大 ，因此半精 车刀和粗车刀的刀尖角应该比 伸出长度 ，同时刀杆保持垂直于主轴方 向，最
理论牙 型角 小一 定 的值 ，粗车 刀角 度 应该 比精 好用对刀样板进行较正，这样可 以做到即使刀
技
术
物
理
教
学
概 率之和 ，或简称 ”状态 和 ” ，所 以对 于近独立
（ ） 费米—— 狄 拉克统 计 的配分 函数 ４ 子系组成的系统，其配分函数为各个子系配分函 ３ 配分 函数的计算 数之和．但配分 函数的表达式 与处理 问题采 取的 配 分 函数 的 计 算 分 为 经 典 和 量 子 两 种 情 系综有关 ，采取 的系综 不 同，相 当于系统 的配分 形 ，前 者用积 分 计算 ，后 者 用求 和 计 算 ［ ］ ９． 函数采用 不 同的 自变量 ，因而它 的形式也 不 同， 如果 系统 的能量 Ｅ （ Ｐ，ｑ ）是广 义坐标 ｑ和广 后文将 有详 细 介组 具 体 一个 系统 求 配分 函数 义动量 Ｐ的 函数 ，当能 量 连 续 变 化 时 ，系统 时 ，要采 取哪个系综 ，要根据物理上的要求 ，以 的配分函数就要用积分法计算 ；反之，用求和
第１ ９卷
第 ３期
技
术
物
理
教
学
Ｖ０． ９ Ｎｏ ３ １１ ． Ｓ ｐ ２ １ ｅ． ０ １
２ １ 年 ９月 ０１
Ｔ ＣＨＮＩ ＡＬ ＨＹ Ｉ Ｓ ＥＡＣ ＮＣ Ｅ Ｃ Ｐ Ｓ Ｃ Ｉ ＨＩ
统计 物 理 中配分 函数 的计 算
热力学与统计物理教案：第七章 玻尔兹曼统计
非简并性条件 e 1 愈容易满足。
一般气体在常温，常压下 e 104 ，满足非简并性条件，可用玻尔兹曼统计。
1
1
e
1
，也可改写为
V N
3
h
1 2 mkT
2
（*）
分子的德布罗意波长 h h ， 理解为分子热运动的平均能量 ~ 3 kT （可由以后的
al
N el Z1
l h0r
式中的 h0r 与配分函数 Z1 所含的 h0r 相互抵消，与 h0 无关。
一个粒子的运动状态处于 l 的概率：
68
Pl
al N
1 el Z1
l h0r
A
l
Pl Al
1 Z1
l
Al el
l h0r
1 Z1
Ae d h0r
U
N
ln Z1 及 Yi
N
yi
ln Z1 与 h0
第七章 玻尔兹曼统计
§7.1 热力学量的统计表达式
1、 配分函数
配分函数是统计物理中最重要的热力学特性函数，知道了它，就可以得到平衡态系统的所
有热力学量。
系统的总粒子数 N
al
e l l
e
el l
l
l
l
令 Z1
el l
l
【对单粒子能级求和】
es
【对单粒子量子态求和】
s
称为（单粒子）配分函数，则
N
!
由于 F 与 S 有关，从而与微观状态数有关，所以对于两种系统得出不同的结果。
经典近似
由量子玻尔兹曼分布 al
l e l
和经典玻尔兹曼分布 al
e l
l h0r
正则配分函数
正则配分函数
正则配分函数，也称为配分函数或Z函数，是在统计物理学中广泛使
用的一个概念。
它描述了一个系统中所有可能的状态出现的概率，因
此可以用来计算系统的热力学性质。
正则配分函数最初由奥地利物理
学家路德维希·玻尔兹曼在19世纪末提出，并被广泛应用于研究气体、液体和固体等物质状态。
正则配分函数通常用符号Z表示，它是一个关于温度T、粒子数N和
其他宏观参数的函数。
对于一个由N个粒子组成的系统，其正则配分
函数可以表示为：
Z = Σexp(-Ei/kT)
其中Ei是系统处于第i个能级时的能量，k是玻尔兹曼常数，T是温度。
Σ表示对所有可能的能级求和。
正则配分函数可以用来计算许多热力学量，例如内能、熵、自由能等。
例如，系统的内能可以通过下式计算：
U = - (∂lnZ/∂β)
其中β=1/kT为反温度。
在实际应用中，正则配分函数通常需要进行数值计算。
这些计算可以通过使用Monte Carlo模拟或Molecular Dynamics模拟等方法来实现。
此外，在许多情况下，可以使用近似方法来计算正则配分函数和其他热力学量。
总之，正则配分函数是统计物理学中非常重要的一个概念，它提供了一种计算系统热力学性质的方法。
通过对正则配分函数的研究，我们可以更好地理解物质状态和相变等现象，并为材料设计和工程应用提供支持。
热力学 配分函数
热力学配分函数热力学中，配分函数是一个非常重要的概念。
它是一种函数，用于描述一个系统处于不同的能量状态下的概率分布。
在统计物理学中，配分函数通常用于计算热力学量，如内能、熵和自由能等。
配分函数的定义与系统的哈密顿量有关。
对于一个具有N个粒子的系统，其哈密顿量可以表示为H = ∑i=1N hi其中，hi是每个粒子的能量。
假设系统总能量为E，那么系统的所有可能状态数可以用下面的式子计算：Ω(E) = ∫···∫d3Nq1···d3NqNδ(EH(q1,...,qN))其中，q1,...,qN是系统所有粒子的位置和动量，δ是狄拉克δ函数。
这个式子的意义是，系统总能量为E的所有可能状态数，等于所有粒子的位置和动量满足哈密顿量为E的状态数之和。
在统计物理学中，我们通常更关注系统的宏观性质，而不是具体的粒子位置和动量。
因此，我们需要将Ω(E)转化为一个更容易处理的函数。
这个函数就是配分函数Z，它定义为Z = ∫···∫d3Nq1···d3NqNeβH(q1,...,qN)其中，β=1/kBT，T是系统的温度，kB是玻尔兹曼常数。
配分函数的物理意义是，它描述了系统处于不同能量状态的概率分布。
具体来说，系统处于能量为E的状态的概率可以用下面的式子计算：P(E) = Ω(E) eβE / Z其中，Ω(E)是系统总能量为E的所有可能状态数。
配分函数的作用是将所有可能的状态数归一化，使得概率分布满足归一化条件。
配分函数不仅可以用来计算概率分布，还可以用来计算热力学量。
例如，系统的内能可以用下面的式子计算：U = lnZ/β系统的熵可以用下面的式子计算：S = kB lnZ + βU系统的自由能可以用下面的式子计算：F = U TS = kB T lnZ配分函数是热力学中非常重要的一个概念，它在理论物理、化学、材料学等领域都有广泛的应用。
§7.4 配分函数
i,t i,r i,v i,e i,n
2014-4-27 13
配分函数的分离
各不同的能量有相应的简并度
简并度的乘积，即：
gi,t , gi ,r , gi ,v , gi ,e , gi ,n 当总能量为 i 时，总简并度等于各种能量
gi gi,t gi,内
A非定位 qN kT ln N ! N qt
N!
kT ln
NkT ln qr NkT ln qv NkT ln qe NkT ln qn
两者仅在平动项上差了
2014-4-27
kT ln N !
16
今后的问题是如何计算各种运动的贡献
配分函数的分离
2014-4-27
1
配分函数的定义
根据Boltzmann最概然分布公式（略去标号 "* " ）
gi e Ni N i / kT gi e
i
i / kT
令分母的求和项为：
i / kT g e q i i
q 称为分子配分函数，或配分函数（partition function) 配分函数是量纲一的量，单位为1 求和项中
qN ln q kT ln NkTV ( )T , N N! V
7
配分函数与热力学函数的关系
(5)焓H
H U pV G TS
2
ln q ln q H非定位 NkT NkTV T V , N V T , N U (6)定容热容CV CV ( )V T
从数学上可以证明，几个独立变数乘积之和 等于各自求和的乘积，于是上式可写作： i ,t i ,r q [ gi ,t exp( )] [ gi ,r exp( )] kT kT i i i ,v i ,e [ gi ,v exp( )] [ gi ,e exp( )] kT kT i i i ,n [ gi ,n exp( )] kT i
配分函数
配分函数是统计物理学中经常应用到的概念，统计物理学通过对大量微观粒子统计行为的计算，将微观物理状态与宏观物理量相互联系起来，而配分函数就是联系微观物理状态和宏观物理量的桥梁。
配分函数的定义是：其中ωl为能级εl的简并度；k为玻尔兹曼常数；T为体系的绝对温度。
不难看出配分函数实际是体系所有粒子在各个能级依最可几分布排布时候对体系状态的一个描述。
由配分函数可以方便地求出体系的内能、广义力、熵、自由能等等热力学参量。
内能的表达式：广义力的表达式（方向是外界对系统）：特别地，作为广义力的一种情况，压强的表达式是（注意没负号）：熵的表达式：自由能的表达式：粒子的微观性质如质量、振动频率、转动惯量与热力学系统的U，H，S，A，G等宏观性质将要通过配分函数联系起来。
众所周知，关于热现象的理论分为宏观方面的和微观方面的，这也就是我们经常说的热力学和统计物理学。
统计物理学根据对物质微观结构及微观粒子相互作用的认识，用概率统计的方法，对由大量粒子组成的宏观物体的物理性质及宏观规律作出微观解释的理论物理学，它认为表征系统宏观性质的宏观量是大量微观粒子的统计平均值。
所以，我们完全可以通过对微观世界的研究来探索宏观的物理性质。
然而，我们都知道，微观粒子运动是非常复杂的也是非常多样的，我们不能完全采用宏观的方法和手段来认知微观世界的物理现象，微观世界需要有适合自己的一套理论，微观量研究清楚了，宏观性质也就可以相应地被表示出来。
配分函数就是跨接宏观和微观的桥梁，通过配分函数，我们就能够很容易地实现用复杂的微观量来表示系统的宏观性质了，这也应该是统计物理学的一个非常重要的研究思想和方法。
首先，配分函数体现了粒子在各能级的分配特性。
而且，配分函数体现了粒子在各个能级的分配特性。
其次，配分函数表示了单个粒子所有可能的状态之和。
此外，配分函数是一个状态函数。
配分函数是系统各微观态的总体反映, 系统的宏观态一旦确定, 配分函数的值是唯一的, 所以配分函数是一个状态函数。
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Δ ( T , P , N )= Z V ( T , N ) exp ( - PV /k T ) G( T , P , N )= - k TΔ ( T , P , N )
f ZN ( V , T )
N
热力学关系 说明
F ( T , V , N )=
J ( f , V , N ) = - PV
1 1 2 2 1 1 2 2 1 2
(e
-U X 1
+ e
-U X 2
+ …) = Z
N
N
即 ZMB = ZN
其中 Z = e r
-U X r
( 3) 是单个粒子的配分函数 。
2. 2. 2 光子统计的配分函数 光子气体的粒子数 N 是个变量 ,在 T , V 一定的条件下 , 处于热平衡的光子气体具有某个 - ,在这种条件下 ,光子气体的配分函数为: 统计平均的粒子 N 36
k lnK( E , V , N ) - k T lnZ ( T , V , N ) = - k T lnA( f , V , N ) U = 1 /k T T = - _ /k T c = P /k T
2. 2 近独立系统的量子统计 所谓量子统计是指组成系统的粒子服从量子力学规律的统计 。 在量子力学中 , 全同粒子系 统的波函数必须满足对称性的要求 , 即或者对称 , 或者反对称 。 满足对称波函数的系统 , 在任一 量子态上分布的粒子数不受限制 ; 而满足反对称波函数的系统 , 在任一量子态上最多只能有一 个粒子 , 这就导致了不同的量子统计分布。 下面分别加以论述 。 2. 2. 1 麦克斯韦 — 玻尔兹曼统计的正则配分函数 麦 — 玻统计是指近独立可分辨全同粒子的统计 。 系统的配分函数为 Z MB = e- U(n X+ n X+ … )
[ 1 ] 朱文浩 ,顾毓沁 .统计物理学基础 [ M ] .北京 : 清华大学出版社 , 1983.
QUOTA FUNCTION S IN STATISTICAL PH YSICS
SON G Shi -x ue
( Depa rtment o f Phy sics, Jina n U niv er sity , Jina n 250002, China )
- U( n X + nX + … ) -U nX = e- Un Xe- Un X… … = ( e- Un X ) ( )… … = ( Z= e e
1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2
∞
∞ n2
R
n1 n2…
n1 = 0
1 1 )… … U X) ( 1- e 1- eUX
R - U( n1X 1+ n2X 2+ … )
。 对任一 r 值有 : nr = 0, 1 。 且满足 nr = N
r -T -U X r
经计算 lnZFD = T N+ ln( 1- e
r
)
( 7)
式 ( 7)和式 ( 6)很相似 , 只是正负号的改变。 3 结束语 在统计物理计算配分函数时常会张冠李戴 , 本文总结出了各种系统的配分函数 , 在计算 时 , 只需知道系统是由何种粒子组成 , 则代入相应的公式即可求得体系的配分函数 。 参考文献:
1 1 2 2
R
( 2)
式中求和是对系统各种可能的量子态求和 , X 1 ,X 2… … 是单粒子的能级 , n1 , n2… … 是各 能级上的粒子数。 由 ( 2)式可得 : ZMB = n n…
1 2
N! N! - U( n X + nX + …) = ( e- Un X ) ( e- Un X ) = e n n … n ! n ! n ! … n1! n2! n3! … 1 2 3
正则系综 闭口系统 U, V , N 不变 Pr= Ce- UEr Z( T,V ,N )= exp( - Er /k T )
r
巨正则系综 开口系统 不变 U, V ,T Prs= Ce
- T Nr- U Es
T— P 系综 闭口系统 U,c, N 不变 Prs = Ce
-U Es- c Vr
A( f , V , T )=
Abstract : Quo ta f unctio n is a bridg e bet w een microquantiti es and m acroquanti ties o f a system. Thi s article discusses the quo ta f unctio ns of va rio us comm on systems. Key words: system; quo ta functio n; ensemble
1 2
则 lnZ = - ln( 1- e
r
-U X r
)
( 4)
其中 X r 是指单个光子第 r 个能级的能量。 2. 2. 3 玻色 — 爱因斯坦统计的配分函数 对于具有对称波函数的全同粒子体系应用玻色 — 爱因斯坦统计 (简称 B— E 统计 )。 系统 的配分函数: ZBE = e
-U X s N
( 1)
(式中 X s 是粒子处于第 s 个量子态时所具有的能量 )是单粒子的正则配分函数。
收稿日期 : 1999-1008 作者简介 : 宋世学 ( 1965 ) ,男 ,山东高密人 , 济南大学物理系讲师 ,硕士 。
35
微正则系综 系统特点 约束条件 几率分布 配分函数 孤立系统 E , V , N 不变 Pr= C K( E , V , N ) = 1 /C S ( E, V, N ) =
第 10 卷第 2期 2000年
济南大学学报 JOURN AL OF J l. 10 N o. 2 2000
统计物理学中的配分函数
宋世学
(济南大学 物理系 ,山东 济南 250002)
摘 要: 配分函数是系统的微观量与宏观量之间的桥梁 , 本文系统的论述了常见各种系统 的配分函数。 关键词: 系统 ; 系综 ; 配分函数 + 中图分类号: O 414. 21 1 文献标识码: A 研究热运动的基本理论有两种: 一种是宏观理论 , 通常称为热力学 ; 一种是微观理论 ,即统 计物理学。 统计物理学是从宏观物质系统是由大量微观粒子组成的这一实际出发 , 认为系统的 宏观性质是大量微观粒子运动的平均效果 , 宏观量是微观两的统计平均值 ,通过研究粒子的微 观运动状态 , 求得整个系统的宏观量 。 由于微观粒子运动的多样性和复杂性 , 如何将复杂的微 观粒子的运动与系统的宏观性质联系起来是统计物理学必须回答的问题 , 而配分函数是解决 这一问题的关键。 本文给出了常见体系的配分函数 。 1 统计系综的几率分布与配分函数 设有大量结构完全相同的系统 , 处在完全系统的宏观条件下 , 我们把这大量系统的集合称 为统计系综。 下表列出了几种常见系综的几率分布与系统的配分函数 [1 ]。 2 近独立系统的配分函数 在第一部分中提到的配分函数只是一些定义式 , 由于整个系统的量子态很难确定 , 因此要 进行具体的计算非常困难。 该部分将对系统进行近似 , 从而导出配分函数的可计算式。 所谓近 独立系统是指系统中各粒子的相互作用可以忽略不计 , 即近似地认为组成系统的粒子是独立 的 , 在此条件下导出各种系统的配分函数。 2. 1 近独立系统的经典统计 所谓经典统计是将粒子看成全同可分辨的质点 , 且粒子的运动服从经典力学规律的统计。 则含有 N 个全同粒子系统的正则配分函数为: Z = z 其中 z = e s
R - U( n1 X 1+ n2X 2+ … )
( 5)
对于任一 r 值有 : nr = 0, 1, 2,… 且满足 : nr = N 。 r
-T -U X 经计算 lnZBE = T ) N- ln( 1- e r
r
( 6)
式中 T = -U _ (_ 是化学势 ) , 求和是对单粒子的所有能级求和 。 2. 2. 4 费米 — 狄拉克统计的配分函数 对具有反对称波函数的全同粒子体系应用费米— 狄拉克统计 (简称 B— E 统计 ) , 系统的 配分函数为: Z FD = e
37