配分函数
统计物理学中的配分函数与熵
统计物理学中的配分函数与熵在统计物理学中，配分函数和熵是两个重要的概念，它们在研究热力学性质和系统行为的过程中发挥着关键作用。
本文将结合实例，分别介绍配分函数和熵，并探讨它们之间的关系。
一、配分函数配分函数是统计物理学中一个重要的概念，它描述了一个系统的全部可能的微观状态的总和。
在热力学中，我们关注的是系统的宏观性质，而不是微观状态。
配分函数提供了一个桥梁，将系统的微观特征与宏观性质联系起来。
举一个简单的例子，考虑一个由N个粒子组成的理想气体，这个系统的配分函数可以表示为：Z = Σe^(-βE)其中，E代表每个微观状态的能量，β则是热力学中的倒温度因子，等于1/(kT)，其中k是玻尔兹曼常数，T是系统的温度。
通过求和计算，我们可以对系统所有可能的微观状态进行统计和加权。
二、熵熵是另一个重要的概念，它是描述系统无序程度的度量。
我们可以将熵理解为系统能量分布的不均匀程度。
当系统趋于有序时，熵较低；当系统趋于无序时，熵较高。
以前面的例子来解释，一个理想气体中粒子的分布越均匀，熵就越高。
这是因为在一个高熵的系统中，粒子可以在空间中自由移动，因此存在着更多的微观状态。
相反，如果粒子聚集在某个特定区域，熵降低，系统呈现更有序的状态。
三、配分函数与熵的关系配分函数和熵之间存在着密切的关系。
事实上，熵可以通过配分函数来计算。
熵（S）和配分函数（Z）之间的关系可以表示为：S = k ln Z这个关系式揭示了熵与配分函数之间的直接联系。
通过配分函数，我们可以计算系统的熵，进而研究系统的热力学性质。
通过计算熵，我们能够了解系统的无序程度，从而预测系统的行为。
例如，在化学反应中，熵变的正负可以告诉我们反应的趋势。
正的熵变表示反应朝着更无序的方向进行，而负的熵变表示反应朝着更有序的方向进行。
四、应用与前景配分函数和熵在统计物理学中被广泛应用于研究各种系统的性质。
它们不仅可以帮助我们了解系统的宏观行为，还可以预测系统的相变和相稳定性。
13 配分函数计算(清华大学理化学课件 朱文涛)
N q
六、电子运动配分函数 (Electronic partition function)
qe
e kT gi e i
e
e
e 0 kT g0e
e
e kT g1 e 1
e
e kT g2e 2
e
e 0 kT g0e
(一般温度时，激发态可忽略)
e 0
2 mkT
h
3
3 2
Vg 0 g 0
e
n
(2) 对H2等双原子理想气体
q ' qtqrq qeqn v
2 mkT
h
3
3 2
V
8 IkT
2
h
2
1 1 e
h kT
g g
e 0
n 0
§4－8 统计热力学对于理想气体的应用
The application of statistical thermodynamics to ideal gases
r
( 2 j 1) e
j ( j 1) h 8 IkT
2
2
r
h
2
8 Ik
2
( 2 j 1) e
j0
j ( j 1 ) r T
Rotational characteristic temperature
0
( 2 j 1) e
j ( j 1 ) r T
应用广泛：状态方程，性质，反应 一、理想气体的内能 U U (T ) 第一定律：实验结果 (Joule定律) 第二定律：用Gibbs公式和Maxwell关系式证明 统计
08-4 配分函数的计算
e,0
kT
)[1
e,1 e,0
kT
电子能级间隔也很大， (e,1 e,0 ) 400 kJ mol-1 , 除F, Cl 少数元素外，方括号中第二项也可略去。虽然温度很高时，电 子也可能被激发，但往往电子尚未激发，分子就分解了。所以 通常电子总是处于基态，则：
1 (v ) v / T 2
qv
e
1 (v ) v / T 2
ev / 2T (1 ev / T )1
e vv / T (1 ev / T )
n0 基态分子分数 f 0 1 ev / T N
300 K 时
激发态 fex 1 f0 ev / T
物理化学II
7
统计热力学基础
配分函数的计算
2 h2 nx qt, x exp( 2) 8mkT a nx 1
exp( n )
nx 1 2 x
h (设 ） 2 8mkTa
2
因为 是一个很小的数值，所以求和号用积分号代替， 得：
2 qt,x exp( nx )dnx 0
配分函数的计算
配分函数的分离
t r q [ g t exp( )] [ g r exp( )] k BT k BT v e [ g v exp( )] [ g e exp( )] k BT k BT n [ g n exp( )] k BT
qt qr qv qe qn qt q内
平动, 转动,振动,电子,核运动
简并度 g i = gt •gr • gv • ge • gn
i / kBT
则
《分子配分函数》课件
《分子配分函数》PPT课件
• 分子配分函数的定义 • 分子配分函数的计算方法 • 分子配分函数的应用 • 分子配分函数的未来发展 • 结论
目录
CONTENTS
01
分子配分函数的定义
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
分子配分函数提供了定量的化学反应速率常数和平衡常数，对于化学工 程、环境科学、生物化学等领域的研究具有指导作用。
通过分子配分函数，可以预测化学反应在不同条件下的行为，为实际生 产和科学实验提供理论支持。
对未来研究的展望
随着科学技术的不断发展，分子配分函 数的研究将更加深入和精确。未来可以 通过更先进的实验手段和计算方法，进 一步揭示化学反应的微观机制和动力学
优点
计算过程相对简单，适用于一些简单 的分子配分函数计算。
缺点
对于复杂的分子配分函数，积分法可 能难以收敛或者计算精度不高。
微扰法
概述
微扰法是一种基于微扰理论的计算分子配分函数的方法。
步骤
首先，将分子配分函数表示为级数形式；然后，利用微扰理论计算各 级数项的系数，得到分子配分函数的近似值。
优点
对于一些复杂的分子配分函数，微扰法可以给出相对精确的近似值。
在材料科学中的应用
材料性能模拟
利用分子配分函数，可以对材料的性能进行模拟 和预测，为材料设计和优化提供依据。
材料微观结构研究
通过分析分子配分函数的变化，可以研究材料的 微观结构，如晶格、缺陷和界面等。
材料制备工艺优化
利用分子配分函数，可以优化材料的制备工艺， 提高材料的性能和降低成本。
04
统计力学中的配分函数与巨正则系综
统计力学中的配分函数与巨正则系综统计力学是研究宏观物质性质的力学分支，它通过统计方法来研究大量粒子的平均行为和性质。
其中，配分函数和巨正则系综是统计力学中两个重要的概念。
一、配分函数在统计力学中，配分函数是一种用来描述系统状态的函数。
它起源于热力学中的分配原理，可以用于计算系统的各种宏观性质。
配分函数的定义如下：Z = Σexp(-Ei/kT)其中，Z表示配分函数，Ei表示系统处于能量状态i时的能量，k表示玻尔兹曼常数，T表示系统的温度。
配分函数的物理意义在于，它是系统所有微观状态的统计加权求和。
通过计算配分函数，可以得到系统的平均能量、平均粒子数等性质。
此外，配分函数还与自由能等热力学量之间存在着重要的关系。
二、巨正则系综巨正则系综是统计力学中研究粒子数可变的系统的一种方法。
在巨正则系综中，系统与外界通过粒子的进出进行能量和粒子数的交换。
相比于正则系综，巨正则系综适用于研究处于非平衡态的系统，对于研究粒子数变化较大的系统具有一定的优势。
巨正则系综中的配分函数称为巨配分函数，它与正则系综中的配分函数不同，巨配分函数定义如下：Ξ = Σexp(μN/kT)其中，Ξ表示巨配分函数，μ表示化学势，N表示系统的平均粒子数。
巨配分函数与正则系综中的配分函数之间存在着一定的联系，它们可以通过以下关系转换：Z = Σe^(-Ei/kT) = Σ(exp(μN/kT)e^(-Ei-Ei)/kT)由此可见，巨正则系综中的巨配分函数可以通过正则系综中的配分函数和平均粒子数来表示。
巨配分函数在巨正则系综中的物理意义在于，它是系统各个状态的统计加权求和。
通过计算巨配分函数，可以得到系统的平均能量、平均粒子数及粒子数分布等性质。
同时，在巨正则系综中，还可以通过巨配分函数计算出系统的化学势，从而研究系统中的粒子数变化。
三、配分函数与巨正则系综的应用配分函数和巨正则系综作为统计力学中的重要概念，广泛应用于各个领域的物理研究中。
各配分函数的求法及其对热力学函数的贡献
号代替，得：
qt,x0exp(2nx2)dnx
引用积分公式： eax2dx 1 则上式得：
0
2a
24.10.2022
qt,x 1 2(2hm2kT)12a
10
q t , y 和 q t , z 有相同的表示式，只是把a换成 b或 c，故
qt 0exp(8m h kT 2a2nx 2)dnx 0exp(8mhkT 2b2ny2)dny
exp(i,r )
kT
J(J1)h2
(2J1)exp(
)
J0
82IkT
令r
h2
8 2Ik
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r称为转动特征温度,因等式右边 项具有温度的量纲，将r代入qr 表达式,得：
23
qr (2J1)e
J0
xpJ((J1)r） T
从转动惯量 I求 得r
除H2外,大多数分子的 r很小
在常温下 r ， 1,因此用积分号号 代替 T
A kkTT[[ggen,0,0eexxpp((kekT,0nT,)0])N]N
N k T ln (2m h k 3 T )32 N k T ln V N k T ln N N k T
(N n ,0 N e ,0 ) N k T ln g n ,0 g e ,0
(2m k T )3 2
kT
如将核基态能级能量选为零,则上式可简化为：
qn gn,0 2sn1
即原子核的配分函数等于基态的简并度,它来源
于核的自旋作用，式中 sn 是核的自旋量子数，
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3
对于多原子分子,核的总配分函数等于各原子的 核配分函数的乘积
q n ,总 2 s n 12 s n ' 12 s n '' 1
配分函数的分析与计算
2014届本科毕业论文配分函数的分析与计算姓名：张坤系别：物理与电气信息学院专业：物理学学号：100314025指导教师：王保玉2014年4月12日目录摘要 (I)0 引言 (1)1 配分函数的分析 (1)1.1 配分函数体现的粒子在各个能级上的分配性质 (1)1.2 配分函数表示的是所有的可能量子态相对的概率之和 (1)1.3 配分函数表示粒子离开基态的程度大小的量度 (2)1.4 配分函数是状态函数 (3)1.5 配分函数属于特性函数 (3)2 配分函数的计算 (4)2.1 统计系综的几率分布与配分函数 (5)2.2 近独立系统的配分函数 (6)2.2.1 近独立系统的经典统计 (6)2.2.2 近独立系统的量子统计 (6)结束语 (9)参考文献 (10)致谢 (10)配分函数的分析与计算摘要配分函数在统计物理中占有非常重要的地位,它是一个非常重要并且也比较难理解的物理量，本文将从配分函数的定义出发，阐述其物理意义，阐释其在统计物理中的重要作用，全面分析配分函数，进而研究了常见的各种系综的配分函数的相关计算，并讨论其应用。
关键词：配分函数；物理意义；作用；系统；系综Analysis and calculation of partition functionAbstractPartition function plays an important role in statistical physics, It is a very important and also difficult to understand the physical quantity. This article will begin with the definition of partition function, expatiate it’s physical meaning and illustrate the important role in statistical physics, then give a comprehensive analysis of the partition function. and then study Calculation of partition function in various common ensemble:Classical statistical and Quantum statistics in Near independent system, finally make a comprehensive study of the partition function.Key word: Partition function The physical significance System Ensemble0 引言热力学的宏观理论和微观理论统称为热现象的基本理论，即热力学和统计物理学。
配分函数及其对热力学函数的贡献PPT教学课件
5. 振动配分函数
振动频率
双原子分子振动能为
iv
(
1 )h
2
振动量子数，取值0，1，2…
0,
0v
1 2
hv
振动能级非简并
g
v i
1
则 qv
g ev iv / kT i
e e e 0v / kT
1v / kT
nx2 a2
n
2 y
b2
nz2 c2
)
m—粒子质量
h =6.626×10-34J·sec-1
nx 、ny,、 nz—x、y、z 轴上平动量子数,
取值1，2… 正整数
a、b、c — 容器的长、宽、高
由定义
qt
g et it / kT i
nx 1
exp[
ny 1nz 1
h2 8mk
T
(
nx2 a2
有关,具有温度量纲。
qr
(2J
1) exp[
J(J
1)Θr
]
J 0
T
若转动特性温度 r很小,
Θr 1 T
能量可视为是连续的，则
qr (2J 1) exp[ J (J 1)Θr ]dJ
0
T
令 x (J 1)J 则 dx (2J 1)dJ
qr exΘr /T dx 0
T Θr
i 0 i0 或 i i0 0
则 q
g ei / kT i
0 i0
gie kT
e0 / kT
g ei0 / kT i
e q 0 / kT 0
或 q0 e0 / kT q
基态能量取为零时粒子配分函数
q q e 则对平动
t
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配分函数是统计物理学中经常应用到的概念，统计物理学通过对大量微观粒子统计行为的计算，将微观物理状态与宏观物理量相互联系起来，而配分函数就是联系微观物理状态和宏观物理量的桥梁。
配分函数的定义是：
其中
ωl为能级εl的简并度；
k为玻尔兹曼常数；
T为体系的绝对温度。
不难看出配分函数实际是体系所有粒子在各个能级依最可几分布排布时候对体系状态的一个描述。
由配分函数可以方便地求出体系的内能、广义力、熵、自由能等等热力学参量。
内能的表达式：
广义力的表达式（方向是外界对系统）：
特别地，作为广义力的一种情况，压强的表达式是（注意没负号）：
熵的表达式：
自由能的表达式：
粒子的微观性质如质量、振动频率、转动惯量与热力学系统的U，H，S，A，G等宏观性质将要通过配分函数联系起来。
众所周知，关于热现象的理论分为宏观方面的和微观方面的，这也就是我们经常说的热力学和统计物理学。
统计物理学根据对物质微观结构及微观粒子相互作用的认识，用概率统计的方法，对由大量粒子组成的宏观物体的物理性质及宏观规律作出微观解释的理论物理学，它认为表征系统宏观性质的宏观量是大量微观粒子的统计平均值。
所以，我们完全可以通过对微观世界的
研究来探索宏观的物理性质。
然而，我们都知道，微观粒子运动是非常复杂的也是非常多样的，我们不能完全采用宏观的方法和手段来认知微观世界的物理现象，微观世界需要有适合自己的一套理论，微观量研究清楚了，宏观性质也就可以相应地被表示出来。
配分函数就是跨接宏观和微观的桥梁，通过配分函数，我们就能够很容易地实现用复杂的微观量来表示系统的宏观性质了，这也应该是统计物理学的一个非常重要的研究思想和方法。
首先，配分函数体现了粒子在各能级的分配特性。
而且，配分函数体现了粒子在各个能级的分配特性。
其次，配分函数表示了单个粒子所有可能的状态之和。
此外，配分函数是一个状态函数。
配分函数是系统各微观态的总体反映, 系统的宏观态一旦确定, 配分函数的值是唯一的, 所以配分函数是一个状态函数。
配分函数也是特性函数。
系统宏观量是相应的微观量的统计平均值, 这是统计物理学的一个基本原理，而配分函数是系统各微观状的总体反映。
知道了系统的配分函数，可以求得系统的基本热力学函数，从而确定系统平衡态的全部热力学性质。
由此可见，系统的宏观量可以通过配分函数求出。
配分函数Z 可求出系统的热力学函数，所以配分函数是一个特性函数。
综上所述，配分函数的物理意义主要体现在粒子状态的“配分”，即粒子在各种不同的能级或量子态的分布状况，配分函数就是充分描述这种分布特性的物理量。
而统计物理学最关键的问题恰恰是热力学系统中微观粒子的分布问题。
同时, 配分函数还体现了特性函数的性质, 而统计物理学的核心内容正是利用配分函数的这种特殊性质来搭架微观到宏观的桥梁。
因此充分认识、理解配分函数的物理意义对学习掌握统计物理学具有很大的帮助。