非线性最小二乘拟合
最小二乘法拟合sigmod
最小二乘法拟合sigmod最小二乘法是一种常用的数据拟合方法，可以用于拟合各种函数曲线，包括sigmoid函数。
Sigmoid函数是一种常见的非线性函数，也称为S形函数，它通常用于描述生长和饱和过程。
在这篇文章中，我们将介绍如何使用最小二乘法来拟合sigmoid函数。
首先，我们需要了解sigmoid函数的公式和特性。
Sigmoid函数的一般形式为：f(x) = L / (1 + exp(-k(x - x0)))其中，L是函数的最大值，k是斜率，x0是函数的中心位置。
Sigmoid函数的特性是它的值在x趋近于正无穷和负无穷时分别趋近于L和0，因此它通常用于描述生长和饱和过程，如细胞生长、人口增长等。
接下来，我们将使用最小二乘法来拟合sigmoid函数。
最小二乘法是一种通过最小化误差平方和来确定函数参数的方法。
对于sigmoid函数的拟合，我们需要确定L、k和x0三个参数。
具体步骤如下：1.首先，我们需要将sigmoid函数转换为线性函数的形式。
根据sigmoid函数的公式，我们可以将其改写为：y = L / (1 + exp(-k(x - x0))) = a / (1 + exp(-bx)) 其中，a = L，b = k，x0 = -a/b。
2.然后，我们需要准备数据。
我们需要收集一组包含独立变量x 和因变量y的数据点，这些数据点应该尽可能地分布在sigmoid函数的上升和下降部分。
3.接下来，我们需要将数据点转换为线性函数的形式。
根据上述转换公式，我们可以将每个数据点变为：y = a / (1 + exp(-bx)) = a(1 + exp(-bx))^-1然后，我们可以将其改写为：y = a + b*ln((1-y)/y)其中，ln表示自然对数，1-y为sigmoid函数的下降部分，y为上升部分。
4.然后，我们需要使用最小二乘法来拟合线性函数。
我们可以使用线性回归来实现这一步骤。
具体地，我们可以按照下列步骤进行：（1）将每个数据点的y值取对数，即ln((1-y)/y)；（2）将每个数据点的a值设为1；（3）使用线性回归模型来拟合数据点的a和ln((1-y)/y)。
拟合的概念
拟合的概念拟合的概念拟合是一种数学方法，用于找到一条曲线或函数来逼近一组数据点。
它在许多领域中都有广泛的应用，包括统计学、机器学习、工程学和物理学等。
一、基本概念1. 数据点：拟合方法的起点是一组数据点，这些数据点可以表示实验测量结果、观察到的现象或模拟结果等。
在拟合过程中，我们试图找到一个函数或曲线来描述这些数据，并尽可能地接近它们。
2. 拟合函数：拟合函数是一个数学表达式，它可以被用来逼近数据集中的每个数据点。
通常情况下，我们使用简单的多项式函数或三角函数等基本函数来构建拟合函数。
3. 残差：当我们使用一个函数来逼近数据时，总会存在误差。
残差是指每个数据点与其在拟合曲线上的对应位置之间的距离。
我们希望通过调整参数和选择不同的函数形式来最小化残差。
二、常见方法1. 最小二乘法：最小二乘法是最常见的拟合方法之一。
它通过最小化残差平方和来找到最优解。
这种方法通常适用于线性函数或多项式函数的拟合。
2. 非线性最小二乘法：当我们需要拟合的函数不是线性的时候，可以使用非线性最小二乘法。
这种方法通过将非线性函数转化为等效的线性形式来求解。
3. 插值法：插值法是一种通过在数据点之间绘制曲线来拟合数据的方法。
这种方法通常适用于离散数据点，但可能会在过度拟合时出现问题。
4. 核回归：核回归是一种非参数方法，它不依赖于事先定义的函数形式。
相反，它使用一组基本函数（例如高斯函数）来构建一个逼近函数，并根据每个数据点的距离加权平均计算出预测值。
三、应用领域1. 统计学：在统计学中，拟合被广泛应用于回归分析和方差分析等领域。
通过对实验结果进行拟合，我们可以确定变量之间的关系，并进行预测和推断。
2. 机器学习：在机器学习中，拟合是训练模型以适应数据集的过程。
这些模型可以被用来进行分类、聚类、预测和优化等任务。
3. 工程学：在工程学中，拟合可以用于分析材料的性质、优化设计和控制系统等方面。
例如，在电气工程中，我们可以使用拟合来估计电路元件的参数。
三种常用的拟合直线方法
三种常用的拟合直线方法
在数学和统计学中，拟合直线是一种常用的数据分析方法，可以用来描述两个变量之间的关系。
下面介绍三种常用的拟合直线方法： 1. 最小二乘法：最小二乘法是一种常用的拟合直线方法，它通过将数据点到直线的距离的平方和最小化来确定直线的位置。
该方法适用于线性回归问题，即适用于自变量和因变量之间呈线性关系的情况。
2. 线性规划法：线性规划法是一种将数据点拟合到直线上的方法，它通过寻找一条直线，使得所有数据点到该直线的距离之和最小化。
与最小二乘法不同的是，线性规划法可以适用于非线性回归问题。
3. 非线性规划法：非线性规划法是一种将数据点拟合到曲线上的方法，它通过寻找一条曲线，使得所有数据点到该曲线的距离之和最小化。
该方法适用于非线性回归问题，如指数、对数等曲线拟合。
无论选择哪种方法，拟合直线都是一种重要的数据分析方法，可以帮助我们更好地理解数据之间的关系，从而为决策提供更加准确的依据。
- 1 -。
最小二乘法拟合原理
最小二乘法拟合原理最小二乘法是一种常用的数学方法，用于寻找一组数据的最佳拟合曲线或者最佳拟合函数。
它的原理是通过最小化实际观测数据与拟合曲线之间的残差平方和，来确定最佳拟合曲线的参数。
这个方法在实际应用以及科学研究中非常常见，下面将详细介绍最小二乘法的拟合原理。
在介绍最小二乘法之前，我们首先需要了解线性回归模型。
线性回归是一种常见的数据拟合手段，它基于以下假设：给定自变量X和因变量Y，存在一个线性关系Y=aX+b。
其中，a称为斜率，b称为截距。
当我们拥有一组数据（X1，Y1），（X2，Y2），（X3，Y3），...，（Xn，Yn）时，最小二乘法通过找到最佳的a和b，使得方程Y=aX+b最好地拟合这组数据。
它通过最小化每个观测点的残差来确定最佳拟合曲线。
残差是指实际观测值与拟合值之间的差异。
对于每一个观测点（Xi，Yi），其拟合值为Yi'=aXi+b，残差为Ri=Yi-Yi'，即实际观测值与拟合值的差。
S=∑(Yi-Yi')²=∑(Yi-aXi-b)²为了找到最佳的a和b，我们需要求解方程S对a和b的偏导数，并令其等于0。
求解a和b的偏导数得到以下两个方程：∂S/∂a=0∂S/∂b=0对第一个方程求解可以得到：∂S/∂a=-2∑(Yi-aXi-b)Xi=0进一步整理可以得到：∑YiXi-a∑(Xi)²-b∑(Xi)=0对第二个方程求解可以得到：∂S/∂b=-2∑(Yi-aXi-b)=0进一步整理可以得到：∑Yi - a∑(Xi) - nb = 0其中，n为观测点的数目。
解这个方程组，我们可以得到a和b的值，从而确定最佳拟合曲线的方程Y=aX+b。
最小二乘法还可以用于非线性的数据拟合。
对于非线性拟合，我们可以假设一个非线性的函数模型，例如Y=f(X,θ)，其中θ是待拟合的参数。
然后，通过最小化残差平方和来确定最佳的θ值。
方法类似于线性拟合，其中拟合值变为Yi'=f(Xi,θ)，残差为Ri=Yi-Yi'。
最小二乘法的目标函数
最小二乘法的目标函数最小二乘法是一种常用的数据拟合方法，它的目标是寻找一条最优的直线或曲线，使得这条直线或曲线与给定的数据点之间的误差最小。
下面，我们详细介绍最小二乘法的目标函数及其应用。
一、最小二乘法的目标函数最小二乘法的目标函数是指：将所有数据点与拟合曲线的距离求和，然后取其平方得到的数学表达式。
具体而言，最小二乘法的目标函数可以表示为：$Q=\sum_{i=1}^{n}(y_{i}-f(x_{i}))^{2}$其中，$y_{i}$表示第$i$个数据点的纵坐标，$x_{i}$表示第$i$个数据点的横坐标，$f(x_{i})$表示拟合直线或曲线在$x_{i}$处的纵坐标，$n$表示数据点的个数。
二、最小二乘法的应用最小二乘法在实际问题中具有广泛的应用，以下是一些常见的应用场景。
1.线性拟合在线性拟合中，拟合曲线是一条直线，其公式可以表示为：$y=a+bx$其中，$a$和$b$是拟合参数。
最小二乘法的目标是寻找最优的参数$a$和$b$，使得目标函数最小。
2.非线性拟合在非线性拟合中，拟合曲线是一条曲线，其公式可以表示为：$y=f(x,\theta)$其中，$\theta$是拟合参数。
最小二乘法的目标是寻找最优的拟合参数$\theta$，使得目标函数最小。
3.多项式拟合在多项式拟合中，拟合曲线是一个多项式函数，其公式可以表示为：$y=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+...+a_{n}x^{n}$其中，$n$是多项式的次数，$a_{i}$是拟合参数。
最小二乘法的目标是寻找最优的拟合参数$a_{i}$，使得目标函数最小。
4.数据平滑最小二乘法还可以用于数据平滑。
在数据平滑中，最小二乘法的目标是拟合一条平滑曲线，使得平滑后的曲线更具有观察意义。
5.数据预测最小二乘法还可以用于数据预测。
在数据预测中，最小二乘法的目标是拟合一条曲线，然后使用这条曲线来预测未来的数据点。
综上所述，最小二乘法是一种常用的数据拟合方法。
用MATLAB作线性和非线性最小二乘法拟合
通过实验掌握拟合函数，非线性拟合函数对于三维曲面函数拟合有点困难。
1916 2.09 3.61 1.86
1917 1.96 4.10 1.93
1918 2.20 4.36 1.96
1919 2.12 4.77 1.95
1920 2.16 4.75 1.90
1921 2.08 4.54 1.58
1922 2.24 4.54 1.67
1923 2.56 4.58 1.82
1.分析问题
用lsqcorvefit作非线性最小二乘法拟合
2.问题求解
a=[1.04 1.06 1.16 1.22 1.27 1.37 1.44 1.53 1.57 2.05 2.51 2.63...
2.74 2.82 3.24 3.24 3.61 4.1 4.36 4.77 4.75 4.54 4.54 4.58...
用Q，K，L分别表示产值、资金、劳动力，要寻求的数量关系 。经过简化假设与分析，在经济学中，推导出一个著名的Cobb-Douglas生产函数：
（*）
式中 要由经济统计数据确定。现有美国马萨诸塞州1900—1926年上述三个经济指数的统计数据，如下表，试用数据拟合的方法，求出式（*）中的参数 。
表2
t Q K L
x=lsqcurvefit('fun3',x0,a,z)
m=linspace(0,2.7,27);
n=linspace(0,2.7,27);
[M,N]=meshgrid(m,n);
z=x(1)*(M.^x(2)).*(N.^x(3));
surf(M,N,z);
3.结果
4.结论及分析
经多次试验可知分析无误
实验数据处理与拟合技巧
实验数据处理与拟合技巧在科研和实验工作中，数据的处理和拟合是非常重要的环节。
仅靠实验数据本身并不足以揭示事物之间的关系和规律，因此我们需要借助统计学和数学方法对数据进行处理和分析，从而找出其中的规律和趋势。
以下将介绍一些实验数据处理与拟合的技巧。
一、数据预处理数据预处理是指在进行数据拟合前对原始数据进行处理，以减少误差和噪声的影响，使数据更加准确和可靠。
常见的数据预处理方法包括数据平滑、异常值处理和数据缺失处理。
1. 数据平滑数据平滑是指通过去除噪声和异常值，使数据呈现出平滑的趋势。
常用的方法有移动平均、低通滤波和加权平均等。
移动平均是一种简单有效的平滑方法，通过计算一段时间内数据的平均值来消除噪声。
低通滤波则是通过滤波器对数据进行处理，去除高频噪声。
加权平均可以根据数据点的重要性进行加权处理，使得重要数据点对拟合结果的影响更大。
2. 异常值处理异常值是指与其他数据点明显不符的数据，可能是由于测量误差或其他因素引起的。
处理异常值可以有效避免其对数据拟合结果的干扰。
常用的方法有删除、替换和修正。
删除即将异常值从数据集中剔除，但需谨慎，以免丢失有价值的信息。
替换则是用邻近值或统计方法替代异常值，修正则是根据异常值的特点进行修正处理。
3. 数据缺失处理数据缺失是指实验数据中存在一些缺失的数据点，可能是由于设备故障或其他原因导致的。
数据缺失会对数据拟合和分析产生不利影响，因此需要进行处理。
常用的方法有删除、插值和模型估计。
删除是将缺失点从数据集中删除，但同样需要注意避免信息的丢失。
插值是利用数据点的邻近值进行插值计算，填补缺失点。
模型估计则是利用其他变量和模型对缺失数据进行估计，补充缺失值。
二、数据拟合数据拟合是指将实验数据与数学模型进行对比和拟合，以求解模型参数和预测未知数据。
常见的数据拟合方法有线性回归、非线性拟合和最小二乘法。
1. 线性回归线性回归是一种常用的拟合方法，用于分析自变量和因变量之间的线性关系。
非线性曲线拟合的最小二乘法及其应用
的表达形式 y =
t at + b
，通过变量变换将它转化为关于
特定参数的线性函数，可以将上式改写成 1 = a + b ，
y
t
于是，引进新变量 y（1） = 1 ，t（1） = 1 ，则上式变换成 y（1） =
y
t
a + bt（1），根据线性最小二乘法的解法，可以求得 a ＝ 80．6621，
b ＝ 161．6822， 代入到 y = t ， 得经验公式①： y = at + b
-∞， 1 4
∪
1 ，1 4
∪（1，+∞）.
3. 如 果 函 数 y ＝
ax2 ＋ bx ＋ c dx2 ＋ ex ＋ f
（d ≠ 0）的 定 义 域 不
是 R，且分子与分母中没有相同的因式，可以直接用 Δ
法求函数的值域． 事实上，假如 x0 使得 dx0 + ex0 + f = 0，
而 ax0 + bx0 + c ≠ 0，
t 80．6621t + 161．6822
.
b
方 案 2 设 想 y ＝ φ（t）具 有 指 数 形 式 y ＝ ae t ，a ＞
0，b ＜ 0. 为了在求参数 a 和 b 时，避免求解一个非线性
方程组，对上式 两 边 取 对 数 得 ln y = ln a + b ，引 入 新 t
变 量 y（2） ＝ ln y，t（2） ＝ 1 并 记 A ＝ ln a，B ＝ b，则 上 式 就 t
关于 x 的二次方程，这时又可转化为学生所熟悉的根的
判别式问题，但这种方法常常存在变形上的不等价和逻
辑上的不严密而导致结果错误，现归纳整理如下：
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三 课题进展
▪ 望远镜偏振模型 ▪ 定标方案选择 ▪ 非线性最小二乘拟合算法优化 ▪ 拟合方法的可靠性、精度模拟
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望远镜偏振模型
▪ 根据Mueller矩阵理论，将整个望远镜系统 （望远镜+偏振分析器）看作一个4×4的偏振 相应矩阵P；
3. 非线性最小二乘拟合最为基本方法 （常规方法，更加适合于望远镜偏振定标）
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非线性最小二乘拟合算法优化
▪ 拟合参数选择（校准单元和望远镜系统） ▪ 校准单元的调制方式
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非线性拟合—拟合参数选择
I f (P,Q,U,V,lp, , , , wp )
3
且校准矢量为以下组合是可以达到最高信噪比：
1 1 0 0
1 1 0
0
ST cal
1 1
0 0
1 1
0
0
1 0 0 1
1 0 0 1
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方位角选择： （1）偏振片： 0 45 90 135 180 225 270 315；（2） 偏振片：0；延迟器 0 45 90 135 180 225 270 315；
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定标精度
P 0.0002 0.0002 0.0002
0.0013 0.0013 0.0013 0.0013
0.0013 0.0013 0.0013 0.0013
0.001Байду номын сангаас
0.001
0.001 0.001
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误差可放宽
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▪ 完成一套望远镜偏振定标系统，为大型望远 镜（DSO，CGST）的定标做准备。
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偏振定标原理
入射光
校准单元
望远镜系统 （包括偏振分析器）
探测器
P11 P12 P13 P14
I I
IQ
IU
IV Ti
P21
P31 P41
P22 P32 P42
▪ SOT/Hinode 将偏振分析器和望远镜系统作为一个整体定标； 在望远镜入射窗前放置线偏振片和左旋（右旋）圆偏振片调制 入射光偏振态，测量偏振响应矩阵。（线性最小二乘拟合）
▪ HMI/SDO 采用与SOT/Hinode类似的定标方式； 校准装置不再是偏振片组合，而是选用线偏振片和λ/4波片的 组合。（非线性最小二乘拟合）
P23 P33 P43
P24
P34 P44
Ii
Qi Ui Vi T
调制态
偏振定标的基本原理图
计算机
各种定标装置不同之处：1.是否将望远镜系统和偏振 分析器作为一个整体定标；2.校准单元不同。
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现有望远镜的定标装置及方法
▪ SST (Swedish 1-meter Solar Telescope) 采用线偏振片和λ/4波片的组合定标偏振分析器的偏振响应矩 阵；（非线性最小二乘拟合） 建立望远镜偏振模型，通过观测磁敏线的谱线轮廓定标望远镜 系统。（非线性最小二乘拟合）
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偏振精度
上世纪的太阳磁场望远镜： 1E-2
日本SOT/Hinode望远镜： 1E-3
美国HMI/SDO望远镜：
1E-3
美国ATST望远镜：
5E-4
中国DSO(SST)和CGST： 2E-4
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二 研究内容
▪ 以怀柔全日面矢量磁场望远镜为基础，建立 偏振定标模型，设计适用于太阳磁场望远镜 的定标方案；要求该方案的定标精度达到2E4，结果可靠。
2011 第四届海峡两岸天文望远镜与观测前沿技术研讨会
全日面矢量磁场望远镜的偏振 定标
侯俊峰 博士研究生 中国科学院国家天文台
报告内容
▪ 一 课题背景 ▪ 二 研究内容 ▪ 三 课题进展 ▪ 四 工作小结
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一 课题背景
随着太阳磁场研究日益深入，太阳物理学家对 太阳磁场的测量精度提出更高要求。 磁场测量的影响因素： （1）太阳大气模型及磁场反演技术 （2）望远镜的偏振测量精度 提高太阳磁场望远镜的偏振测量精度是现代望远镜 设计的关键技术指标。高精度的偏振测量需要对望 远镜系统精确定标，有效的定标方案是保证磁场望 远镜的偏振精度达到所需要求的必要条件。
n
I
PScal
Ik
Pk Scal
IkT
ST cal
Pk
T
Pk T
( Scal
ST cal
)1
Scal
IkT
k I,Q,U ,V
根据线性矩阵的信噪比分析原理得到，ScalT 的条件数越小，信噪比越高。
最高的调制效率为：
sqrt
(eig
(
Scal
ST cal
))
1
1
1
A
f P
f Q
E eig(AT A)
f
... wp 列矢：23维
雅可比矩阵 N×23
max(E)
min(E)
Κ越小，信噪比越高
通过奇异值分解选择拟合参数，保证拟合参数无简并且非线性 拟合在所需范围内信噪比较高，结果唯一、可靠。
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拟合方法的可靠性、精度模拟
模拟参量假设
参数 Q U V p wp m12 m13 m14 m21 m22 m23 m24 m31 m32 m33 m34 m41 m42 m43 m44 真值 0.01 0.01 0.1 0o 90o 45o 0.8 0.9 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 初始值最大误差0.5 0.5 0.5 1o 5o 5o 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5
▪ 求解偏振响应矩阵P的所有矩阵元，且保证偏
振定标精度达到2E-4，是偏振定标的最终 目的。
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定标方案选择
1. 将偏振分析器和望远镜系统作为一个整体定标 （全日面矢量磁场望远镜口径小）
2. 校准装置采用偏振片和λ/4波片的组合 （该组合更适合于参数拟合的定标方法）
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非线性拟合—校准单元调制方式
II mI1 mI 2 mI 3 mI 4 I
IQ
mQ1
IU IV
n
mmUV 11
mQ 2 mU 2 mV 2
mQ3
mQ
4
Q
mU mV
3
3ScalT
mU mV
4 4
U V