数值分析丛书
李庆扬数值分析第五版习题答案清华大学出版社
李庆扬数值分析第五版习题答案清华大学出版社数值分析是一门研究数值计算方法的学科，它应用于各个领域，解决了许多实际问题。
《李庆扬数值分析第五版习题答案》是一本为读者提供数值分析习题解答的参考书，由清华大学出版社出版。
第一章误差1.1 绝对误差与相对误差在数值计算过程中，由于测量、取近似值和舍入误差等原因，我们常常会得到与真实值有一定偏差的结果。
绝对误差和相对误差是描述数值计算结果与真实值之间误差大小的衡量标准。
绝对误差表示实际值和计算值之间的差别，相对误差则是绝对误差与实际值之比。
1.2 舍入误差与有效数字在数值计算中，由于计算机底层的二进制表示以及计算机在表示无穷和无法精确表示的数字时需要进行近似，会导致舍入误差。
有效数字是用来表示浮点运算结果的一种方式，能够控制舍入误差的影响。
第二章插值与多项式逼近2.1 插值问题的提出插值问题是在有限数据点的基础上，构造一个与这些数据点足够接近的函数。
插值的目的是通过已知数据点之间构造一个函数，使得通过这个函数计算的结果近似于真实的未知数据点的值。
2.2 拉格朗日插值法拉格朗日插值法是通过构造一个基于已知数据点的多项式函数，来实现对未知数据点的预测。
它通过对每个数据点进行加权，以使得插值多项式通过这些数据点。
2.3 牛顿插值法牛顿插值法是通过使用差商的概念，构造一个多项式函数来进行插值。
差商是指由数据点的函数值所决定的差分系数。
第三章数值积分与数值微分3.1 数值积分的基本思想数值积分是通过将区间进行离散化，将连续变量转化为离散变量的和，从而实现对曲线下面积的近似计算。
3.2 复合求积公式复合求积公式将整个区间分割为若干子区间，对每个子区间进行积分，并将结果相加得到最终的数值积分结果。
通过增加子区间的数量，可以提高数值积分的精确度。
3.3 数值微分的基本思想数值微分是通过利用离散数据点之间的差值，来近似计算函数在某个点处的导数。
第四章线性方程组的数值解法4.1 线性方程组的求解线性方程组的求解是数值分析中的一个重要问题。
《数值分析》读书报告
数值分析读书报告数值分析是研究用计算机求解各种数学问题的数值方法及其理论的一门学科。
数值分析也称为数值计算方法。
它包含的内容很多，如函数的插值计算方法、离散数据的拟合、微分与积分、线性和非线性方程、矩阵特征值问题、微分方程等。
我们已经学完了函数的插值计算方法，下面针对插值法问题谈谈自己的认识。
在工程实践和科学实验中，经常需要建立函数关系，即y=f(x)。
虽然从原则上说，它在某个区间[a,b]上是存在的，但通常只能观测到它的部分信息，即只能获取[a,b]上一系列离散点上的值，这些值构成了观测数据。
这就是说，我们只知道的一张观测数据表，而不知道函数在其他点x上的取值，这时只能用一个经验函数y=g(x)对真实函数y=f(x)作近似。
有两种办法常用来确定经验函数y=g(x)：插值法和拟合法。
根据问题的不同，有时要用插值技术来解决，有时则应该采用拟合的方法才合理。
插值法是一个古老而实用的课题，它是函数逼近，数值微积分和微分方程数值解的基础。
因此它是很重要的。
那什么是插值法呢？插值的任务：就是由已知的观测点(xi,yi)为物理量(未知量),建立一个简单的、连续的解析模型g(x) ，以便能根据该模型推测该物理量在非观测点处的特性。
插值法:由实验或测量的方法得到所求函数y=f(x) 在互异点x0 , x1, ... , xn 处的值y0 , y1 , …, yn，构造一个简单函数F(x) 作为函数y=f(x) 的近似表达式y= f(x) ( F(x)使F(x0)= y0 , F(x1)= y1 , (, F(xn)= yn (称为插值条件)。
这类问题称为差值问题。
f(x) 称为被插值函数，F(x) 称为插值函数，x0 , x1 , ... , xn 称为插值节点。
插值法主要包括拉格朗日插值，牛顿插值，等距节点插值及样条插值。
拉格朗日插值公式是在已知一些点的情况下,利用这些点的坐标,作一个多项式函数,使这个多项式函数的曲线过这些已知点,利用这种方法来分析在这条曲线上其它点的情况.根据点的多少,作出的多项式函数的次数是不同的。
数值分析课程第五版课后习题答案(李庆扬等)
数值分析课程第五版课后习题答案(李庆扬等)数值分析课程第五版课后习题答案(李庆扬等)第一章：数值分析导论1. 解答：数值分析是一门研究如何使用计算机来解决数学问题的学科。
它包括了从数学理论到计算实现的一系列技术。
数值分析的目标是通过近似的方式求解数学问题，其结果可能不是完全精确的，但是能够满足工程或科学应用的要求。
2. 解答：数值分析在实际应用中起着重要的作用。
它可以用于求解复杂的数学方程、计算机模拟及建模、数据的统计分析等等。
数值分析是科学计算和工程计算的基础，对许多领域都有着广泛的应用，如物理学、经济学、生物学等。
3. 解答：数值方法指的是使用数值计算的方式来求解数学问题。
与解析方法相比，数值方法一般更加灵活和高效，可以处理一些复杂的数学问题。
数值方法主要包括了数值逼近、插值、数值积分、数值微分、线性方程组的求解、非线性方程的求根等。
4. 解答：计算误差是指数值计算结果与精确解之间的差异。
在数值计算中，由于计算机的有限精度以及数值计算方法本身的近似性等因素，都会导致计算误差的产生。
计算误差可以分为截断误差和舍入误差两种。
第二章：数值误差分析1. 解答：绝对误差是指实际值与精确值之间的差异。
例如，对于一个计算出的数值近似解x和精确解x_0，其绝对误差为| x - x_0 |。
绝对误差可以衡量数值近似解的精确程度，通常被用作评估数值计算方法的好坏。
2. 解答：相对误差是指绝对误差与精确解之间的比值。
对于一个计算出的数值近似解x和精确解x_0，其相对误差为| (x - x_0) / x_0 |。
相对误差可以衡量数值近似解相对于精确解的精确度，常用于评估数值计算方法的收敛速度。
3. 解答：舍入误差是由于计算机的有限精度而引起的误差。
计算机中使用的浮点数系统只能表示有限的小数位数，因此在进行数值计算过程中，舍入误差不可避免地会产生。
舍入误差会导致计算结果与精确结果之间存在差异。
4. 解答：误差限度是指对于给定的数值计算问题，所能容忍的误差范围。
微分方程数值解研究生教材
微分方程数值解研究生教材以下是一些关于微分方程数值解的研究生教材推荐：1. Numerical Solution of Differential Equations by K. W. Morton and D. F. Mayers: 这本教材全面介绍了常微分方程和偏微分方程数值解的基本原理和方法，包括欧拉方法、中点法、龙格-库塔方法等。
2. Numerical Partial Differential Equations: Finite Difference Methods by J. W. Thomas: 这本教材着重介绍了偏微分方程数值解的有限差分方法，讲解了多种方法如显式法、隐式法、克兰克-尼科尔森法等。
3. Finite Difference Methods for Ordinary and Partial Differential Equations: Steady-State and Time-Dependent Problems by R. J. LeVeque: 这本教材从有限差分方法的基础开始，介绍了其在常、偏微分方程中的应用，尤其是在稳态和时变问题方面。
4. Numerical Methods for Ordinary Differential Equations: Initial Value Problems by J. C. Butcher: 这本教材详细讲解了常微分方程初值问题的数值解方法，包括单步法、多步法和多级法等。
5. A First Course in Numerical Methods by U. M. Ascher and C. Greif: 这本教材综合介绍了各种数值方法在科学与工程领域中的应用，其中也包括对微分方程数值解的讨论。
这些教材都是经典的微分方程数值解教材，适合研究生学习和研究使用。
读者可以根据自己的研究方向和需求选择合适的教材进行学习。
《数值分析》李庆杨,第五版第1章课件
取3位
x3 * 3.14,
3 * 0.002,
取5位
x5 * 3.1416, 5 * 0.000008,
它们的误差都不超过末位数字的半个单位，即
1 10 2 , 2 1 π 3.1416 10 4. 2 π 3.14
18
定义2
若近似值 x * 的误差限是某一位的半个单位，
例2说明有效位数与小数点后有多少位数无关.
23
从(2.2)可得到具有 n 位有效数字的近似数 x *，其绝对 误差限为
1 * 10 m n 1 , 2
在 m相同的情况下， n 越大则 10 m n 1 越小，故有效位数越 多，绝对误差限越小.
x x*
1 10 m n 1. 2
(2.1)
* r
x x* x*
0.5 10 m n 1 1 10 n 1 ; a1 10 m 2a1
反之，由
1 x x * x * (a1 1) 10 10 n 1 2(a1 1)
* r
m
0.5 10mn 1 ,
该位到 x *的第一位非零数字共有 n位，就说 x *有 n位有效
数字. 表示为
x* 10 m (a1 a2 10 1 an 10 ( n 1) ), （2.1）
其中 ai (i 1,, n)是0到9中的一个数字，a1 0, m为整数， 且
1 x x * 10 m n 1. 2
* * ( x1 / x2 )
x
* 2 2
* ( x2 0).
29
一般情况下，当自变量有误差时函数值也产生误差， 其误差限可利用函数的泰勒展开式进行估计. 设 f (x)是一元函数， x 的近似值为 x *，以 f (x*)近
数值分析全册完整课件
算法基本结构：顺序，分支，循环
算法描述：程序或流程图
常采用的处理方法：
构造性方法 离散化方法 递推化方法 迭代法 近似替代方法 以直代曲法 化整为零的处理方法 外推法
数学基础：
微积分的若干定理： 罗尔定理和微分中值定理； 介值定理及推论； 泰勒公式（一元、二元）； 积分中值定理；
设y=f(x)为一元函数，自变量准确值x*，对应函数准确 值y*=f(x*)，x误差为e(x)，误差限为ε(x)，函数近似值 误差e(y)，误差限为ε(y)。则（可由Taylor公式推得）
( y) | f '(x) | (x)
r
(
y)
|
xf |f
'(x) (x) |
|
r
(
x)
对于多元函数 z f (x1, x2 ,, xn )
定义1.1 设x*为某一数据的准确值，x为x*的一个近 似值，称e(x)=x-x*(近似值－准确值)为近似值x的绝对 误差，简称误差。
e(x) 可正可负，当e(x) >0时近似值偏大，叫强近似值；当e(x) <0时近似值偏小，叫弱近似值。
由于x*通常无法确定，只能估计其绝对误差值 不超过某整数ε(x)，即
设准确值
z* f (x1*, x2*,, xn* )
由多元函数Taylor公式，可得误差估计：
n
(z)
k 1
f xk
(xk )
相对误差限为：
r (z)
n k 1
xk
f xk
r (xk )
z
2. 算术运算的误差估计：
《数值分析》李庆杨,第五版第2章课件PDF
1 第1节引言第2节拉格朗日插值第3节均差与牛顿插值多项式第4节埃尔米特插值第5节分段低次插值第6节三次样条插值2 2.1 引言10niyxPii1.1 设函数在区间上有定义且已知在点上的值若存在一简单函数使xfybabxxxan10nyyy10xP成立就称为的插值函数点称为插值节点包含节点的区间称为插值区间求插值函数的方法称为插值法. xPxfnxxx10baxP 2.1.1 插值问题的提出 3 nnxaxaaxP101.2 若是次数不超过的代数多项式xPn其中为实数就称为插值多项式相应的插值法称为多项式插值. iaxP本章只讨论多项式插值与分段插值.若为分段的多项式就称为分段插值. xP 若为三角多项式就称为三角插值. xP即4 从几何上看插值法就是确定曲线使其通过给定的个点并用它近似已知曲线. xPy1nniyxii10xfy图2-1 见图2-1. 5 由此可以得到关于系数的元线性方程组上的函数值求次数不超过的多项式使 2.1.2 多项式插值10niyxPii1.3 设在区间上给定个点10nixfyiibabxxxan10naaa101n1nnxP6101111000010nnnnnnnnnyxaxaayxaxaayxaxaa1.4 此方程组的系数矩阵为1111100nnnnnxxxxxxA称为范德蒙德Vandermonde矩阵由于互异故10nixi1.5 7 因此线性方程组1.4的解存在且唯一. .0det1njiojijixxAnaaa10 定理1 满足条件1.3的插值多项式是存在唯一的. xP8 2.2.1 线性插值与抛物插值对给定的插值点可以用多种不同的方法求得形如1.2的插值多项式. 先讨论的简单情形. 1n问题给定区间及端点函数值1kkxx11kkkkxfyxfy要求线性插值多项式1xL.1111kkkkyxLyxL2.2 拉格朗日插值使它满足nnxaxaaxP101.2 9 其几何意义就是通过两点的直线.11kkkkyxyx图2-2 如图2-2. 10 由的几何意义可得到表达式1xL111kkkkkkxxxxyyyxL点斜式11111kkkkkkkkyxxxxyxxxxxL两点式2.1 由两点式看出是由两个线性函数1xL11kkkkxxxxxl11kkkkxxxxxl2.2 的线性组合得到其系数分别为及即ky1ky111xlyxlyxLkkkk2.3 11 称及为线性插值基函数xlk1xlk1kkxl01kkxl01kkxl111kkxl显然及也是线性插值多项式在节点及xlk1xlkkx1kx上满足条件图形见图2-3. 12 图2-3 13 下面讨论的情形. 2n 假定插值节点为要求二次插值多项式1kxkx1kx2xL112kkkjyxLjj 几何上是通过三点的抛物线. 2xL1111kkkkkkyxyxyx 可以用基函数的方法求的表达式此时基函数是二次函数且在节点上满足条件2xL101111kkjxlxljkkk1101kkjxlxljkkk2.4 .101111kkjxlxljkkk使它满足1xlkxlk1xlk14 接下来讨论满足2.4的插值基函数的求法以求为例1xlk由插值条件它应有两个零点及kx1kx11kkkxxxxAxl可由插值条件定出111kkxl其中为待定系数A1111kkkkxxxxA于是.11111kkkkkkkxxxxxxxxxl可表示为101111kkjxlxljkkk1101kkjxlxljkkk2.4 .101111kkjxlxljkkk101111kkjxlxljkkk15 同理.1111kkkkkkkxxxxxxxxxl.11111kkkkkkkxxxxxxxxxl 二次插值基函数在区间上的图形见图2-4. 1xlkxlk1xlk11kkxx16 图2-4 17 利用1xlkxlk1xlk11112xlyxlyxlyxLkkkkkk2.5 显然将代入2.51xlkxlk1xlk111112kkkkkkkxxxxxxxxyxL1111kkkkkkkxxxxxxxxy.11111kkkkkkkxxxxx xxxy立即得到二次插值多项式.112kkkjyxLjj它满足条件得18 2.2.2 拉格朗日插值多项式将前面的方法推广到一般情形讨论如何构造通过个节点的次插值多项式. 1nnxxx10nxLn.10njyxLjjn2.6 根据插值的定义应满足xLn先定义次插值基函数. n 为构造xLn19 定义1 若次多项式在个节点上满足条件10.01nkjjkjkxlkj2.7 就称这个次多项式为节点1nn10xlxlxln上的次插值基函数. nxxx10nn10njxlj1nnxxx1020 显然它满足条件2.7. 于是满足条件2.6的插值多项式可表示为xLn.0nkkknxlyxL2.9 110110nkkkkkknkkkxxxxxxxxxxxxxxxxxl.10nk2.8 与前面的推导类似次插值基函数为n10.01nkjjkjkxlkj2.7 .10njyxLjjn2.6 21 由的定义知xlk.100njyxlyxLjnkjkkjn形如2.9的插值多项式称为拉格朗日插值多项式xLn而2.3与2.5是和的特殊情形. 1n2n容易求得1101nkkkkkkknxxxxxxxxx101nnxxxxxxx2.10 若引入记号.0nkkknxlyxL2.9111xlyxlyxLkkkk2.3 11112xlyxlyxlyxLkkkkkk2.5 22 于是公式2.9可改写成.011nkknknknxxxxyxL2.11 注意: 次插值多项式通常是次数为的多项式nxLnn 特殊情况下次数可能小于. n.0nkkknxlyxL2.9 例如通过三点的二次插值多项式如果三点共线则就是一条直线而不是抛物线这时是一次多项式.221100yxyxyx2xL2xLy2xL23 定理2 设在上连续在内存在节点是满足条件2.6 的插值多项式则对任何插值余项2.2.3 插值余项与误差估计xfnba1xfnba10xLbxxxannbax这里且依赖于是2.10所定义的. bax1xn 若在上用近似baxLnxfxLxfxRnn则其截断误差为也称为插值多项式的余项.101nnxxxxxxx2.10 111xnfxLxfxRnnnn2.14 .10njyxLjjn2.6 24 证明由给定条件知在节点上为零即于是xRn10nkxk100nkxRkn其中是与有关的待定函数.xKx110xxKxxxxxxxKxRnnn2.13 现把看成上的一个固定点作函数xba10nnxtxtxtxKtLtft根据的假设可知在上连续在内存在. ftnba1tnba25 根据罗尔定理在的两个零点间至少有一个零点故在内至少有个零点. tttba1n 对再应用罗尔定理可知在内至少有个零点. ttban 依此类推在内至少有一个零点记为使1tnbaba0111xKnfnn根据插值条件及余项定义可知在点及tnxxx10处均为零故在上有个零点tba2nx26 于是将它代入2.13 余项表达式只有在的高阶导数存在时才能应用. xf 但在内的具体位置通常不可能给出ba如果可以求出那么插值多项式逼近的截断误差限是max11nnbxaMxfxLnxf.111xnMxRnnn2.1411banfxKnx且依赖于110xxKxxxxxxxKxRnnn2.13 就得到余项表达式2.12. 27 当时线性插值余项为1n21211021xxxxfxfxR10xx2.15 当时抛物插值余项为2n612102xxxxxxfxR20xx2.16 28 利用余项表达式2.12当时由于于是有nkxxfk01xfn00xlxxxRniikikn由此得.100nkxxlxkniiki2.17 特别当时有0k.10xlnii2.18 29 利用余项表达式2.12还可知若被插函数由于故即它的插值多项式nHxf01xfn0xLxfxRnn.xfxLn30 例1 证明其中是关于点的插值基函数.0502xlxxiiixli510xxx证明利用公式2.17可得.0222222502505025022502xxxxlxxlxxxlxxlxxxxxlxxiiiiiiiiiiiiiii31314567.032.000yx.352274.036.022yx 用线性插值计算取由公式2.1333487.034.0sin314567.032.0sin352274.036.0sin333487.034.011yx例2 已知的值并估计截断误差. 3367.0sin用线性插值及抛物插值计算解由题意取34.032.010xx111kkkkkkxxxxyyyxL点斜式323367.03367.0sin1L0167.002.001892.0314567.03367.000101xxxyyy.330365.033 由2.15其截断误差21021xxxxMxR其中max102xfMxxx于是3367.03367.0sin3367.011LR0033.00167.03335.021xxxxsinmax103335.0sin1x.1092.052 1211021xxxxfxfxR34 用抛物插值计算由公式2.5得3367.0sin21012012010210xxxxxxxxyxxxxxxxxy1202102xxxxxxxxy3367.02L333487.0 0008.0107689.0314567.040008.0105511.0352274.00004.01089.344330374.011112xlyxl yxlyxLkkkkkk2.5 35 由2.14 621032xxxxxxMxR其中max203xfMxxx于是这个结果与6位有效数字的正弦函数表完全一样0cosx9493.0这说明查表时用二次插值精度已相当高了. 截断误差限363367.03367.0sin3367.022LR0233.0033.00167.09493.061.100132.2637 例2 设试证2baCf81max22Mabaxabafbfafxfbxa.max2xfMbxa其中证明通过两点及的线性插值为afabfb1axabafbfafxL于是.81max22maxmaxmax2221MabbxaxMbxaxfxLxfaxabafbfafxfbxabxabxabxa38 2.3 均差与牛顿插值公式2.3.1 插值多项式的逐次生成利用插值基函数很容易得到拉格朗日插值多项式公式结构紧凑在理论分析中甚为方便但当插值节点增减时全部插值基函数均要随之变化整个公式也将发生变化甚为不便.为了计算方便可重新设计一种逐次生成插值多项式的方法. 10nkxlk39 当时记线性插值多项式为插值条件为1n1xP111001xfxPxfxP由点斜式01xxabafbfafxP将看成是零次插值的修正即1xP01xfxP0101xxaxPxP其中是函数的差商. 01011xxxfxfaxf 对于三个节点的二次插值插值条件为2xP222112002xfxPxfxPxfxP40 .10202xxxxaxPxP插值多项式显然112002xfxPxfxP由得222xfxP.1201010202120221222xxxxxfxfxxxfxfxxxxxPxPa 系数是函数的“差商的差商”. 2af41 一般情况已知在插值点上的值为要求次插值多项式满足条件f10nixi10nixfinxPn10nixfxPiin则可表示为xPn10010nnnxxxxaxxaaxP其中为待定系数可由插值条件确定. naaa10 这里的是由基函数逐次递推得到的这一点与拉格朗日插值不同. xPn1100nxxxxxx3.1 3.2 42 称为函数关于点的一阶均差. 000xxxfxfxxfkkkxfkxx0定义2 2.3.2 均差及其性质110010xxxxfxxfxxxfkkk称为的二阶均差. xf43 11102010kkkkkkxxxxxfxxxfxxxf3.3 一般地称为的阶均差kxf均差也称为差商. 44 均差有如下的基本性质.011010kjkjjjjjjjkxxxxxxxxxfxxxf3.4 这个性质可用归纳法证明. 1 阶均差可表为函数值的线性组合10kxfxfxfk 这性质也表明均差与节点的排列次序无关称为均差的对称性. 即45 3 若在上存在阶导数且节点xfban10baxxxn.10banfxxxfnk3.5 这公式可直接用罗尔定理证明. 2 由性质1及3.3可得0120110xxxfxxxxfxxxfkkk即则阶均差与导数关系如下n.010110xxxxfxxfxxxfkkkk3.3’ 11102010kkkkkkxxxxxfxxxfxxxf3.3 46 4321043214324344321032132332102122101100xxxxxfxxxxfxxxfxxfxfxxxxxfxxxfxxfxf xxxxfxxfxfxxxfxfxxfxxfxkk四阶均差三阶均差二阶均差一阶均差1表2 均差计算可列均差表如下表2-1. 47 2.3.3 牛顿插值公式根据均差定义一次插值多项式为010001001xxxxfxfxxxxfxPxP二次插值多项式为.1021001001021012xxxxxxxfxxxxfxfxxxxxxxfxPxP48 根据均差定义把看成上一点xba000xxxxfxfxf110100xxxxxfxxfxxf.101010nnnnxxxxxxfxxxfxxxf可得49 只要把后一式依次代入前一式就得到0100xxxxfxfxf10210xxxxxxxfxRxPnn0100xxxxfxfxPn10210xxxxxxxf其中1010nnxxxxxxxf10xxxxfnn3.6 1010nnxxxxxxxf50 10xxxxfxPxfxRnnnn3.7 是由2.10定义的. 1xn 显然由3.6确定的多项式满足插值条件xPn且次数不超过n.100nkxxfakk称为牛顿Newton均差插值多项式. xPn 系数就是均差表2-1中加横线的各阶均差它比拉格朗日插值计算量省且便于程序设计. ka其系数为它就是形如3.1的多项式101nnxxxxxxx2.10 0100xxxxfxfxPn3.61010nnxxxxxxxf10210xxxxxxxf10nnxxxxa3.1 102010xxxxaxxaaxPn。
数值分析 (1)
e * − e = (e * − en ) + (en − e )
2009-09-26 zhwang@ 17
2. 误差的度量
1) 2) 3) 4)
绝对误差 相对误差 有效数字 度量间的关系
2009-09-26
zhwang@
18
1）绝对误差
绝对误差定义：
zhwang@
22
相对误差（续2）
* * e ε ( x r 相对误差限： 的上界，记为 r ) 。 相对误差限：数值
相对误差限也可以通过
ε r* = ε * / x*
来计算。
Remark: 当要求计算相对误差，是指估计一个尽 可能小的相对误差限。 相对误差与相对误差限没有量纲。
分类方法1：若算法包含 有一个进程则称其为串行算法， 否则为并行算法。 分类方法2：从算法执行所 花费的时间角度来讲，若算术运 算占绝大多数时间则称其为数值 型算法，否则为非数值型算法。 本课程介绍数值型串行算 法。（其它类型算法参阅数据结 构、并行算法等课程）
2009-09-26
zhwang@
19
绝对误差（续）
•绝对误差限：
* * 如果存在正数 ε = ε(x ) ，使得有绝对误差
e * = x * − x ≤ ε* ，
则称 ε* 为 x*近似 x 的一个绝对误差限 绝对误差限。 绝对误差限
x ∈ [x * − ε * , x * + ε * ] ， x = x * ± ε * 。
Remark: 通常计算中所要求的误差，是指 估计一个尽可能小的绝对误差限。 绝对误差与绝对误差限有量纲。
2009-09-26 zhwang@ 10
算法应用状态
数值分析研究对象以及解决问题方法的 广泛适用性，著名流行软件如Maple、Matlab、 Mathematica等已将其绝大多数内容设计成函 数，简单调用之后便可以得到运行结果。 但由于实际问题的具体特征、复杂性, 以及算法自身的适用范围决定了应用中必须选 择、设计适合于自己特定问题的算法，因而掌 握数值方法的思想和内容是至关重要的。
数值分析(清华大学出版社)第1,2章
2.
x 的相对误差是
x x d x er ( x ) d ln x x x
它是对数函数的微分。
设 u = xy , 则 lnu=lnx+lny , 因而 dlnu = dlnx + dlny
e r ( u ) e r ( x ) e r ( y ) r ( u ) r ( x ) r ( y )
即 m- n = - 2, m=1, n = 3, 所以 x = 3.14 作为 近似值 时, 就有3 位有效数字。
16
四、 相对误差限与有效数字的关系
定理1
设近似值
x 0.a1a2 an 10m
有n 位有效数字， a1 0 。则其相对误差限为 1 n 1 r (x ) 10 2a1 x 0.a1a2 an 10m 故 证明
a1 10
m 1
| x | (a1 1) 10
m 1
r (x )
x x x
0 .5 10m n 1 10 n1 a1 10m 1 2a1
17
定理2 设近似值 x 0.a1a2 an 10 的相对误差限
m
1 10 n1 ,则它至少有n 位有效数字。 不大于 2( a 1) 1
25
对多元函数 y f ( x1 , x2 , , xn ), 自变量的近似值为 x1 , x2 ,, xn , y 的近似值为 y f ( x1 , x2 , , xn ),
y 的运算误差为 函数值
e ( y ) e[ f ( x1 , x2 , , xn )] df ( x1 , x2 , , xn )
课件-数值分析(第五版)1-3章
x x
f ( x) f ( x* ) f ( x)
x x
xf ( x) f ( x)
C p 10 即认为是病态
f ( x) x n
9 第1章 数值分析与科学计算引论
研究对象 作用特点
数值计算 误差
误差分析 避免危害
数值计算 算法设计
数学软件
2. 算法的数值稳定性 定义3 一个算法如果输入数据有误差，而在计算过程中舍入误 差不增长，则称此算法是数值稳定的，否则称此算法为不稳定 的。 例1.1：P.９ I n e
x 0.003
y 1
2017/3/12
1000
1.00314 , y * 1.003
6 第1章 数值分析与科学计算引论
研究对象 作用特点
数值计算 误差
误差分析 避免危害
数值计算 算法设计
数学软件
注: 有效位数与小数点后有多少位无关； m相同情况下，有效位数越多，误差限越小； 相对误差及相对误差限是无量纲的，绝对误差及误差限是有量纲的。
数值计算 算法设计
数学软件
1.1 数值分析的对象、作用与特点
1 研究对象
用计算机求解数学问题的数值计算方法、理论及软件实现
实际问题 数学模型 数值计算方法 程序设计（数学软件） 上机计算求出结果
应用数学
计算数学即数值分析
数值分析（计算方法） 插值与函数逼近（2、3）数值微分与数值积分（4） 的研究对象
第一章习题
1, 5,７,12,1４
谢
谢 !
2017/3/12
14 第1章 数值分析与科学计算引论
第2章 插值法
引言
拉格朗日（Lagrange）插值 均差与牛顿（Newton）插值 埃尔米特（Hermite）插值 分段低次插值 三次样条插值
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作者：李庆扬，王能超，易大义编出版社：清华大学出版社出版时间：2008年12月本书是为理工科大学各专业普遍开设的“数值分析”课程编写的教材。
其内容包括插值与逼近，数值微分与数值积分，非线性方程与线性方程组的数值解法，矩阵的特征值与特征向量计算，常微分方程数值解法。
每章附有习题并在书末给出了部分答案，每章还附有复习与思考题和计算实习题。
全书阐述严谨，脉络分明，深入浅出，便于教学。
本书也可作为理工科大学各专业研究生学位课程的教材，并可供从事科学计算的科技工作者参考。
作者：徐萃薇，孙绳武编著出版社：高等教育出版社本书为普通高等教育“十一五”国家级规划教材。
本书从服务于多层次、多专业、多学科的教学需要出发，在选材上考虑普适性，涉及现代数字电子计算机上适用的各类数学问题的数值解法以及必要的基础理论，在材料组织安排上给讲授者根据教学要求和学生情况适当剪裁的自由，一些内容还可作为阅读材料。
新版全书经过整理、润色，多处内容有所修改，乃至重写。
考虑到代数计算在应用中所占份额较大，是比较活跃的领域，六至十章改动较大；新增共轭斜量法、预善共轭斜量法、拟Newton法等；改进了例题设置，增加数量，加强例题间联系；新增习题参考答案；参考文献收集了国内外内容结构与本书相近的、有影响的、包括新近面世的一些书籍，并按大学生教材和研究生教材或专著分列，可供读者加深理解和进一步提高使用。
有些对研究工作亦不无裨益。
本书算法描述不拘一格，或用自然语言，或用某种形式语言(以描述某些细节)，便于理解，也便于编程。
本书可作为工科非计算数学专业本科生学习“计算方法”课程的教材。
数值分析全程导学及习题全解（第四版）作者：杨蕤主编出版社：中国时代经济出版社出版时间：2007年02月本书是根据清华大学出版社出版的由李庆扬、王能超、易大义编写的《数值分析》教材的配套学习辅导和习题解答教材。
编写的重点在于原教材中各章节全部习题的精解详答，并对典型习题做了很详细的分析和提纲挈领的点评，思路清晰，逻辑缜密，循序渐进的帮助读者分析并解决问题，内容详尽，简明易懂。
本书对各章的知识点进行了归纳和提炼，帮助读者梳理各章脉络，统揽全局。
在《数值分析》教材给出的习题的基础上，根据每章的知识重点，精选了有代表的例题，方便读者迅速掌握各章的重点和难点。
本书可作为工科各专业研究生《数值分析》课程教学辅导材料和复习参考用书及工科考博强化复习的指导书。
也可以作为《数值分析》课程教师的教学参考书。
数值分析（第4版）——21世纪数学系列教材作者：李庆扬，王能超，易大义编出版社：华中科技大学出版社出版时间：2006年07月本书是为理工科院校各专业普遍开设的“数值分析”课程编写的教材，其内容包括插值与逼近，数值微分与数值积分，常微分方程民线性方程组的数值解法，矩阵的特征值与特征向量计算等，每章附有习题并在书末有部分答案，全书阐述严谨，脉络分明，深入浅出，便于教学。
本书可作为理工科院校应用数学、力学、物理、计算机等专业的教材，也可为从事科学计算的科技工作者参考。
数值分析学习辅导习题解析作者：李红，徐长发著出版社：华中科技大学出版社出版时间：2001年06月本书是为理工科各专业研究生、本科生学习“数值分析”、“计算方法”课编写的辅导教材，主要内容包括函数插值与逼近，数值积分与数值微分，常微分方程数值解，方程求根，线性代数方程组的直接法与迭代解法等。
本书各章都给出了内容提要，基本要求，例题选讲，习题及习题解答，最后编有模拟试题。
本书还可作为数学系、信息与计算科学系及其他专业大学生学习“数值分析”时的参考书，对参加同等学力人员申请硕士学位综合水平全国统一考试中的“数值分析”考试也极有参考价值。
数值分析（清华·第四版）全析精解作者：杨刚，武燕，王宇翔编著出版社：西北工业大学出版社出版时间：2007年06月“数值分析”是解决工科数学问题和工程实际问题的重要理论基础和实用工具，也是工科各专业博士研究生入学考试的内容。
为了帮助广大学生更好地学习和掌握数值分析课程的理论精髓和解题方法，我们根据清华大学出版社出版的由李庆扬、王能超、易大义编写的《数值分析》教材的章节顺序，以其内容为基础编写了这本辅导教材。
本书共分9章，每章均有重点、难点全析和习题全解两个板块。
书末附了三套自测试题及答案，帮助学生自我检测学习效果。
作者：周品，何正风等编著出版社：机械工业出版社出版时间：2009年01月本书以最新版MATLAB为平台，介绍了数值分析方法与图形可视化。
全书共分9章，第1、2章讲解了MATLAB基础知识，第3～9章分别讲解了误差、插值法与曲线拟合、线性方程组的数值解法、非线性方程求解、数值微分与数值积分、矩阵特征值计算和常微分方程的数值解。
MATLAB以其独特的魅力，改变了传统数值分析的编程观念，从而成为实现上述目标的有利工具。
本书可作为理工科各专业本科生、研究生以及应用MATLAB的相关科技人员学习MATLAB数值分析、建模、仿真的教材或参考书。
作者：李庆扬等编出版社：清华大学出版社本书是为理工科大学各专业普遍开设的“数值分析”课程编写的教材。
其内容包括插值与逼近，数值微分与数值积分，非线性方程与线性方程组的数值解法，矩阵的特征值与特征向量计算，常微分方程数值解法。
每章附有习题并在书末有部分答案，书末还附有计算实习题和并行算法简介。
全书阐述严谨，脉络分明，深入浅出，便于教学。
本书也可作为理工科大学各专业研究生学位课程的教材，并可供从事科学计算的科技工作者参考。
作者：宋叶志等编著出版社：机械工业出版社出版时间：2009年07月MATLAB是数值分析领域使用最广泛的语言之一。
本书以实验教程的形式介绍如何使用MATLAB编程实现数值分析计算问题，内容涵盖数值分析的多个方面。
全书包括13章（分三个部分）和4个附录。
第一部分（第1章）讲述MATLAB语言程序设计基础。
第二部分系统地介绍了符号计算在微积分和复变函数两门大学数学基础课程中的应用。
第三部分即最后两章单独介绍一些综合性较强的数学建模问题。
本书适合作为大学理工科非数学类专业的本科生或研究生学习数值分析的有益参考，同时也可作为科技人员及工程计算人员的参考工具书。
数值分析（第2版）——高等学校规作者：张铁，阎家斌编出版社：冶金工业出版社出版时间：2007年03月本书是为工科研究生或非数学专业本科生的数值分析课程编写的教材。
主要介绍计算机上常用的数值计算方法。
内容包括线性方程组的数值解法，非线性方程(组)求根，矩阵特征值和特征向量的计算，函数的插值与逼近，数值积分，求解常微分方程和偏微分方程的差分方法等。
书中着重阐述了各种数值方法的基本思想和基本原理，注重基本方法的掌握和运用，同时在理论上也作了必要的分析和论证。
书中各章节均附有习题和参考答案，并配有上机计算实验题目。
本书也可作为运用计算机进行科学计算工作的工程技术人员的参考书。
出版社：国防工业出版社出版时间：2009年04月本书以最新版MATLAB为平台，介绍了数值分析与图形可视化。
内容涉及MATLAB介绍、数值分析的数学基础、数值分析在工程、科学和数学问题中的应用以及MATLAB绘图等内容。
本书重点讲述数值分析的思想和原理并图示其结果，尽可能避免过深的数学理论和过于繁杂的算法细节，有助于读者更有效地利用MATLAB的超强功能，来处理科学计算问题。
本书可作为各科学和工程专业本科生或研究生“数值分析”课程的教材或参考书，也可作为科技人员和计算机爱好者使用MATLAB的参考工具书。
作者：郑咸义，姚仰新，雷秀仁等编出版社：华南理工大学出版社出版时间：2008年08月本书包括通用的数值分析（或称计算方法）课程的8个基本论题：插值、函数逼近、数值微积分、矩阵特征值计算、线性代数方程组、非线性方程与方程组、常微分方程和偏微分方程的数值方法。
本书的取材着眼于工科研究生可能的应用需求，除了坚持内容的科学性、严谨性外，写法上注意强调各类数值问题的提法，有助于研究生利用所学方法和理论去解决具体的应用问题。
本书适合工科硕士生、非数学类的理科硕士生和工程硕士生作为一学期课程教材，也可供工学博士生和科学／工程计算工作者参考。
数值分析学习指导作者：关治编出版社：清华大学出版社出版时间：2008年11月本书是与数值分析（或计算方法）课程学习配套的辅导材料。
书中总结了此课程各部分的基本内容和要点，通过典型例题阐述了对各种概念的正确理解、数值方法的合理使用以及各种性质的分析，这些典型例题既包括解题技巧，也包括方法的具体实现。
对于一些容易混淆的问题，分析了出错的原因并给出正确的解法。
各章还包括复习题和计算实习题，方便读者复习、理解及在计算机上实际计算。
本书适合学习数值分析课程的研究生和本科生使用，也可供从事科学与工程计算的技术人员参考。
数值分析基础教程作者：李庆扬编著出版社：高等教育出版社出版时间：2005年04月本书是根据工程硕士“数值分析”课程教学基本要求和同等学力人员申请硕士学位全国统一考试“数值分析”大纲编写的。
主要内容有数值计算的误差，方程求根，解线性方程组的直接法与迭代法，插值与最小二乘法，数值移微分方程数值解每章附有习题其解答均在与该书配套的《数值分析复习与考试指导》(已由高等教育出版)书中给出。
书后还附有计算实验题。
本书适合作为工程硕士及同等学力人员申请硕士学位“数值分析”课程教材，也适合作为一般理工科教材，还可以供科技人员学习参考。
数值分析(第3版)作者：颜庆津编著出版社：北京航天航空大学出版社出版时间：2006年07月本书是为工学硕士研究生数值分析课而编写的学位课教材。
内容包括：线性方程组的解法，矩阵特征值与特征向量的计算，非线性方程与非线性方程组的迭代解法，插值与逼近，数值积分，常微分方程初值问题的数值解法和偏微分方程的差分解法。
内容丰富，系统性强，语言简练、流畅，数值例子和习题非常丰富，并附习题答案。
其深度和广度适合工学硕士生的培养要求。
本书还可供从事科学与工程计算的科技人员自学和参考。
数值分析简明教程(修订版)作者：王能超编著出版社：华中科技大学出版社出版时间：2002年09月本书是以《数值分析简明教程》(高等教育出版社，1984年版)一书的内容为基础，经过补充、修改而成的。
本版继续保持了其内容精练、深入浅出、通俗易懂的突出特点，在编排上贯穿了计算方法的思想。
为方便读者深入掌握有关内容，同时为“数值分析”的习题课提供参考资料，新写了“数值微积分例题选讲”部分，提炼、归纳了数值分析中最重要的一些方法，并对若干例题进行了解析，使本书增添新的特色。
本书讲授45～50学时，可作为高等院校一般工科专业学生的教材，也可供工程技术人员以及其他科技人员阅读参考。
数值分析全真试题解析——21世纪高等学校教材作者：孙志忠编著出版社：东南大学出版社出版时间：2004年07月本书对东南大学近5年来工科硕士研究生、工程硕士研究生学位课程以及工科博士研究生入学考试“数值分析”试题作了详细的解答，部分题目还给出了多种解法，内容包括误差分析，非线性方程求根，线性方程组数值解法，函数插值与逼近，数值微分与数值积分，常微分方程初值问题的数值解法，偏微分方程数值解法以及求矩阵特征值的幂法。