数值分析
数值分析 知识点总结
数值分析知识点总结一、数值分析的基本概念1. 数值分析的对象数值分析的对象是现实生活中的数字数据和信息。
这些数据和信息可以来自各个领域，包括自然科学、社会科学、技术工程等。
例如，物理实验中测得的实验数据、经济管理中的统计信息、天气观测中的气象数据等，都是数值分析的对象。
2. 数值分析的目的数值分析的主要目的是通过对数值数据和信息的定量分析，发现其中的规律，提取有用的信息，做出科学的预测和决策。
例如，通过对某种药物的临床试验数据进行数值分析，可以得出这种药物的疗效和毒性情况，为临床医生的治疗决策提供依据。
3. 数值分析的方法数值分析采用数学和计算机科学的方法对数值数据和信息进行处理和分析。
它涉及的具体方法包括数值计算、插值与逼近、数值微分和积分、常微分方程数值解、数值线性代数等。
二、数值分析的基本内容1. 数值计算数值计算是数值分析的基本方法之一，它包括离散化、数值稳定性、误差分析等内容。
离散化是将连续问题转化为离散问题，这是数值计算的基本工作方式。
数值稳定性研究的是数值方法对误差的敏感程度，是评价数值方法好坏的重要指标。
误差分析则研究数值计算中产生的误差的成因和大小。
2. 插值与逼近插值与逼近是数值分析的重要内容之一，它研究如何通过已知的数值数据估计未知函数的值。
插值是通过已知的离散数据点构造一个连续函数，使得这个函数通过这些数据点；逼近则是通过已知的离散数据点构造一个近似函数，使得这个函数与原函数的差尽量小。
3. 数值微分和积分数值微分和积分是数值分析的又一重要内容，它研究如何通过已知的函数值计算函数的导数和定积分值。
数值微分是通过函数值计算函数的导数值；数值积分则是通过函数值计算函数的定积分值。
这两项工作在科学计算中有着广泛的应用。
4. 常微分方程数值解常微分方程数值解也是数值分析的重要内容之一，它研究如何通过数值方法计算常微分方程的近似解。
常微分方程是自然界和技术工程中经常出现的数学模型，因此其数值解的研究有着广泛的应用价值。
数学中的数值分析
数学中的数值分析数值分析是应用数学的一个分支领域，主要研究如何使用数值方法来解决实际问题。
它涉及到了数学模型的建立、算法的设计和数值计算的实施等方面。
在现代科学和工程领域，数值分析起着至关重要的作用，因为很多现实问题往往很难通过解析方法获得准确的解决方案。
本文将介绍数值分析的基本概念和一些常用的数值方法。
一、数值分析的基本概念数值分析是一门研究如何应用计算机来处理数学问题的学科。
它主要研究以下几个方面：1. 数学模型的建立：数值分析的第一步是要将实际问题抽象为数学模型。
这个模型可以是一个方程、一个函数或者一个算法等。
通过数学模型的建立，我们可以将实际问题转化为一个数学问题。
2. 数值方法的设计：数值分析的核心是设计数值方法来解决数学问题。
数值方法是一种数学算法，它通过一系列数值计算来逼近解析解。
常用的数值方法有插值法、数值积分法、数值微分法等。
3. 数值计算的实施：数值方法实施的关键是要进行数值计算。
数值计算需要使用计算机来进行，它通常涉及到矩阵运算、迭代计算、逼近计算等。
二、常用的数值方法1. 插值法：插值法是一种用于在已知数据点之间估算未知数据点的方法。
常用的插值方法有拉格朗日插值法、牛顿插值法等。
插值法可以在一定误差范围内逼近真实的数据变化情况。
2. 数值积分法：数值积分法是一种通过数值计算来近似计算定积分的方法。
常用的数值积分方法有梯形法、辛普森法、龙贝格积分法等。
数值积分法可以在不求解原始函数的情况下，获得定积分的数值近似结果。
3. 数值微分法：数值微分法是一种通过数值计算来近似计算导数的方法。
常用的数值微分方法有前向差分法、后向差分法、中心差分法等。
数值微分法可以在较小的误差范围内计算函数在某个点的导数。
三、数值分析的应用领域数值分析广泛应用于科学计算、工程分析等领域。
下面将介绍数值分析在几个具体领域中的应用。
1. 物理学：数值分析在物理学中有着广泛的应用，特别是在天体力学、量子力学以及流体力学等方面。
数值分析 pdf
数值分析 pdf简介：数值分析(Numerical analytical analysis)是通过计算机求解数学模型或计算机辅助设计的数值方法，是采用有限元法分析流体、电磁场、固体、声场和热场等物理量以及求解优化设计的数值方法。
从而得到相应的结果，或者输出这些结果的过程。
数值分析有许多种不同的类别，但主要可以归纳为两大类： 1.数值方法(Numerical method)研究如何将数字表示转换成数学模型的一般规则。
它由三个不同的领域组成，即代数方法(Functoral methods)，微分方程(differential equations)，以及积分方法(integral methods)。
内容介绍：基本概念和理论、微积分及其数值方法。
数值分析(数值方法)是数学中重要的分支之一，它与计算机科学密切相关，它被广泛地应用于许多领域，如金属力学性能、岩土力学性能、化学反应动力学、有限元法、流体力学、电磁场、声学、热传导等。
对于流体的力学性能的研究，一般都是将已知函数(对象)看成在时间上离散，然后利用分析手段处理成的数学模型来研究对象的各种物理性质，这就是数值方法的基本思想。
发展趋势：随着计算机技术、网络技术和控制工程等相关学科的迅速发展，国内外学者对数值分析进行了深入的研究，并取得了丰硕的成果，有关数值方法的新的研究成果层出不穷。
目前，数值方法正朝着有限差分法和有限元法两个方向发展。
1.有限差分法(有限元法)2.有限元法的几个基本原理3.有限差分法的分类4.边界条件的选取5.有限元法在实际工程中的应用6.有限差分法在边界元法中的应用7.边界元法简介8.数值分析方法的共同点8.1基本思想和计算原理(1)网格剖分; (2)节点位移、速度和加速度的分布;(3)自由度的确定(4)约束条件和约束反力;(5)载荷和约束的矩阵表示;(6)载荷、约束和单元刚度矩阵;(7)结构的内力分析。
数值分析
第一章 数值分析与科学计算引论1,1 数值分析的对象、作用与特点用计算机求解科学技术问题通常经历一下步骤： (1).根据实际问题建立数学模型。
(2).由数学模型给出数值计算方法。
(3).根据计算方法编制算法程序（数学软件）在计算机上算出结果。
数值分析的特点：第一， 面向计算机，要根据计算机的特点提供切实可行的有效算法。
第二， 有可靠的理论分析，能任意逼近并达到精度要求，对近似算法要保证收敛性和数值稳定性，还要进行误差分析。
第三， 要有好的计算复杂性。
第四， 要有数值实验。
1.2 数值计算的误差1.数学模型与实际问题之间出现的这种误差称为模型误差。
2.用数值方法求它的近似解，其近似解与精确解之间的误差称为截断误差或方法误差。
3.设x 为准确值，*x 为x 的一个近似值，称x x e -=**为近似值的绝对误差，简称误差。
4.*e 的绝对值不超过*ε，*ε叫做近似值的误差限。
5.误差*e 与准确值x 得比值xx x x e -=**称为近似值*x 的相对误差，记作*r e 。
6.相对误差也可正可负，它的绝对值上界叫做相对误差限，记作*r ε，即***xrεε=。
7.若近似值*x 的误差限是某一单位的半个单位，该位到*x 的第一位非零数字共有n 位，就说*x 有n 位有效数字。
它可表示为)1010(10)1(121*---⨯++⨯+⨯±=n n m a a a x ，其中),,2,1(n i a i =是0到9中的一个数字，m a ,01≠为整数，且1*1021+-⨯≤-n m x x 。
8.设近似数*x 表示为)1010(10)1(121*---⨯++⨯+⨯±=n n m a a a x ，其中),,2,1(n i a i =是0到9中的一个数字，m a ,01≠为整数。
若*x 具有n 为有效数字，则其相对误差限)1(1*1021--⨯≤n r a ε；反之，若*x 的相对误差限)1(1*10221--⨯+≤n r a ε，则*x 至少具有n 为有效数字。
数值分析解决实际问题
数值分析解决实际问题数值分析是一门研究利用计算机对数学问题进行数值计算的学科，它通过数值方法来解决实际问题，广泛应用于工程、科学、经济等领域。
数值分析的方法包括插值法、数值积分、常微分方程数值解、线性代数方程组求解等，这些方法在解决实际问题时发挥着重要作用。
本文将介绍数值分析在实际问题中的应用，并探讨其在解决实际问题中的重要性和价值。
一、插值法插值法是数值分析中常用的方法之一，它通过已知数据点之间的插值多项式来估计未知数据点的值。
在实际问题中，插值法常用于数据的平滑处理、曲线拟合等方面。
例如，在气象学中，我们需要根据已知的气温数据点来预测未来某一时刻的气温变化，这时可以利用插值法来进行数据的预测和分析。
二、数值积分数值积分是数值分析中的另一个重要方法，它通过数值逼近来计算定积分的近似值。
在实际问题中，数值积分常用于计算曲线下面积、求解物理学中的力学问题等。
例如，在工程学中，我们需要计算某一形状的曲线或曲面的面积或体积，这时可以利用数值积分方法来进行计算。
三、常微分方程数值解常微分方程数值解是数值分析中的重要内容之一，它通过数值方法来求解常微分方程的数值解。
在实际问题中，常微分方程数值解常用于模拟物理系统、生态系统等的动态行为。
例如，在生态学中，我们需要研究种群数量随时间的变化规律，这时可以利用常微分方程数值解来模拟和预测种群数量的变化趋势。
四、线性代数方程组求解线性代数方程组求解是数值分析中的重要内容之一，它通过数值方法来求解线性代数方程组的解。
在实际问题中，线性代数方程组求解常用于工程、经济等领域的优化问题。
例如，在工程优化中，我们需要确定某一系统的最优参数配置，这时可以利用线性代数方程组求解来进行优化计算。
综上所述，数值分析在解决实际问题中发挥着重要作用，它通过插值法、数值积分、常微分方程数值解、线性代数方程组求解等方法来对实际问题进行数值计算和分析，为工程、科学、经济等领域的发展提供了重要支持。
数值分析方法及其应用
数值分析方法及其应用数值分析是一种以数值计算为基础的数学方法，通过使用计算机和数值算法来解决数学问题。
它在现代科学和工程领域中有着广泛的应用。
本文将介绍数值分析的基本概念和常见方法，并探讨其在各个领域中的应用。
一、数值分析方法概述数值分析方法是一种通过数值计算逼近真实结果的方法。
它主要包括离散化、数值逼近、数值求解和误差分析等步骤。
其中，离散化是将连续问题转化为离散问题，数值逼近是用有限的计算步骤得到问题的近似解，数值求解是通过迭代计算等方法求解数学问题，误差分析则是评估数值计算结果与真实结果之间的差异。
二、数值分析方法的常见技术1. 插值和外推：插值是通过已知数据点得到某个离散区间内的其他点的方法，而外推则是通过已知数据点得到某个离散区间外的点的方法。
常见的插值和外推方法包括拉格朗日插值、牛顿插值和样条插值等。
2. 数值积分：数值积分是通过数值方法来计算函数积分的过程。
常用的数值积分方法有梯形法则、辛普森法则和高斯积分法等。
3. 数值微分：数值微分是通过数值方法来计算函数导数的过程。
常用的数值微分方法有差分法、微分逼近法和辛普森法则等。
4. 解线性方程组：线性方程组是数值分析中的重要问题，其求解方法包括直接法和迭代法。
直接法包括高斯消元法、LU分解法和高斯-赛德尔迭代法等，而迭代法则主要包括雅可比迭代法和共轭梯度法等。
5. 数值优化：数值优化是一种通过数值方法找到函数的最优解的过程。
常用的数值优化方法有梯度下降法、牛顿法和拟牛顿法等。
三、数值分析方法的应用领域1. 工程领域：数值分析方法在工程领域中有着广泛的应用。
例如，在结构力学中，可以利用有限元法对复杂结构进行分析；在电力系统中，可以利用潮流计算方法优化电力的分配和传输；在流体力学中，可以通过数值模拟方法研究流体的运动和传热。
2. 金融领域：数值分析方法在金融领域中也有着重要的应用。
例如，可以通过数值模拟方法对股票价格、利率和汇率等进行预测和风险评估；在期权定价中，可以利用数值方法计算期权的价值。
数值分析
* * 1 2 * 1 * * 1 * * * * * * * * * * *
到x *的第一位非零数字共有 n位，就说x * 有n位有效数字.
即
x* 10m (a1 a2 101 an 10( n1) ) 1 x x * 10mn1 2
(2.1)
其中a1 0 . 并且 (2.2)
例1
• 按四舍五入写出下述各数具有5位有效数字的近似 数： 187.9325 0.037 855 51 8.000 033 2.718 281 8
加法和减法结果的误差
(x
* 1
x2 ) ( x1 x2 )
* 1
*
(x
x1 ) ( x2 x2 )
*
*
e( x ) e( x2 )
* 1
误差限： (x x ) (x ) (x )
* 1 * 2 * 1 * 2
乘法的结果误差
x x x1 x2 x x ( x x1 x )(x2 x2 x2 ) x1 x2 ( x1 e( x1 ))(x2 e( x2 )) x x x x x e( x2 ) x2 e( x ) e( x )e( x2 ) x e ( x2 ) x2 e ( x ) e ( x ) e ( x 2 )
例2 重力加速度
若以m/s2为单位, g≈9.80m/s2, 1 m n 1 1 * 10 g 9.80 102 , 2 2 * 1 按(2.1)， m 0, n 3. 绝对误差限 1 102. 2 若以km/s2为单位, g≈0.00980m/s2, 1 g 0.00980 105 , 2 * 1 按(2.1)， m 3, n 3. 绝对误差限 2 105. 2 而相对误差限相同：
常用数值分析方法
常用数值分析方法1.插值方法插值是通过已知数据点的近似值，获得未知位置上的函数值。
常用的插值方法包括拉格朗日插值、牛顿插值和分段线性插值等。
插值方法通常用于数据的光滑处理、曲线拟合和函数逼近等问题。
2.数值微分与积分方法数值微分是通过有限差分等方法，对实际问题的函数进行求导。
数值积分则是通过数值方法求解复杂函数的积分。
常用的数值微分与积分方法包括欧拉法、龙格-库塔法和辛算法等。
3.非线性方程求解非线性方程求解是求解形如f(x)=0的方程，其中f(x)是一个非线性函数。
常用的非线性方程求解方法包括二分法、牛顿法和割线法等。
这些方法基于不同的数学原理来逼近方程的根。
4.线性方程组求解线性方程组求解是求解形如Ax=b的方程组，其中A是一个矩阵，b 是一个向量。
常用的线性方程组求解方法包括高斯消元法、LU分解和迭代法等。
这些方法可以高效地求解大规模的线性方程组。
5.最小二乘法最小二乘法是一种用于拟合实验或观测数据的方法。
它通过最小化观测数据与理论模型之间的残差平方和，得到最佳的参数估计。
最小二乘法广泛应用于曲线拟合、回归分析和信号处理等领域。
6.数值优化数值优化是在约束条件下求解最优化问题的方法。
常用的数值优化方法包括梯度下降法、共轭梯度法和拟牛顿法等。
这些方法可以在函数复杂或维度高的情况下，有效地寻找最优解。
7.偏微分方程数值解法偏微分方程数值解法是用数值方法解决偏微分方程的方法。
常用的数值解法包括有限差分法、有限元法和谱方法等。
这些方法广泛应用于物理学、工程学和金融学等领域，可以模拟和预测复杂现象。
总之，数值分析方法在科学和工程领域中起着重要的作用。
通过数学和计算机的结合，数值分析使得复杂计算变得简单，从而有效解决各种实际问题。
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数值分析上机报告前言随着计算机技术的高速发展，越来越多的科技工作者使用计算机进行科学研究和解决工程技术问题。
数值分析（或计算方法）课程的内容是科学工程计算的必备知识，已经成为众多理工科大学生、研究生的必修课程，越来越受到重视。
由于工程实际中所遇到的数学模型求解过程迭代次数很多，计算量很大，所以需要借助很多编程软件来解决，得到一个满足误差限的解。
本文所计算题目，均采用C++编程。
在本文中使用C++编写了牛顿法、牛顿-Steffensen法方程求解的程序和雅格比法、高斯－赛德尔迭代法求解方程组的程序及Ru n ge-Kutt a4阶算法，并通过实例求解验证了其可行性，比较了求解同一种问题时不同方法之间的优缺性，其中包含解的精确度和解的收敛速度两个重要指标。
一 牛顿法和牛顿-Steffensen 法迭代求解的比较1. 计算题目分别用牛顿法，及基于牛顿算法下的Steffensen 加速法(1) 求ln(x +sin x )=0的根。
初值x0分别取0.1, 1,1.5, 2, 4进行计算。
(2) 求sin x =0的根。
初值x0分别取1，1.4，1.6, 1.8，3进行计算。
分析其中遇到的现象与问题。
2. 计算过程和结果1.对方程ln(x +sin x )=0，其导数有些复杂，我们可以对其进行变形，即求解x+sinx=1的解。
使用牛顿法，令1sin )(-+=x x x f ，则x x f cos 1)(+='，直至51101||-+⨯<-k k x x 时，结束迭代；然后再使用基于牛顿法的Steffensen 加速法进行计算，直至51101||-+⨯<-k k x x 时，结束迭代。
其迭代结果与迭代次数如下表所示（注N1为牛顿法迭代次数，N2为基于牛顿法Steffensen 加速法迭代次数）：2.对方程sin x =0，使用牛顿法时，令x x f sin )(=，使用牛顿法计算，直至51101||-+⨯<-k k x x 时，结束迭代；然后依据Steffensen 加速法进行编程计算，直至51101||-+⨯<-k k x x 时，结束迭代。
其迭代结果与迭代次数如下表所示：附：第一问牛顿法#include<iostream.h>#include<math.h>#define EPS 1.0e-5int main(){double x=0.0;double y=0.0;int n=0;cout<<"请输入初值X0"<<endl;cin>>x;do{y=x;x=x-(x+sin(x)-1)/(1+cos(x));n++;}while(fabs(x-y)>=EPS);cout<<"X"<<n<<"="<<x<<endl;cout<<"迭代次数为N="<<n<<endl;}第一问牛顿-Steffensen法#include<iostream.h>#include<math.h>#define EPS 1.0e-5int main(){double x=0.0;double y=0.0;double z=0.0;double a=0.0;int n=0;cout<<"请输入初值x0"<<endl;cin>>x;do{a=x;y=x-(x+sin(x)-1)/(1+cos(x));z=y-(y+sin(y)-1)/(1+cos(y));x=x-(y-x)*(y-x)/(z-2*y+x);n++;}while(fabs(x-a)>=EPS);cout<<"x"<<n<<"="<<x<<endl;cout<<"迭代次数N="<<n<<endl;}第二问牛顿法#include<iostream.h>#include<math.h>#define EPS 1.0e-5int main(){double x=0.0;double y=0.0;int n=0;cout<<"请输入初值X0"<<endl;cin>>x;do{y=x;x=x-tan(x);n++;}while(fabs(x-y)>=EPS);cout<<"X"<<n<<"="<<x<<endl;cout<<"迭代次数为N="<<n<<endl;}第二问牛顿-Steffensen法#include<iostream.h>#include<math.h>int main(){double x=0.0;double y=0.0;double z=0.0;double a=0.0;int n=0;cout<<"请输入初值x0"<<endl;cin>>x;do{a=x;y=x-tan(x);z=y-tan(y);x=x-(y-x)*(y-x)/(z-2*y+x);n++;}while(fabs(x-a)>=1.0E-05);cout<<"x"<<n<<"="<<x<<endl;cout<<"迭代次数N="<<n<<endl;}3. 结果分析从结果对比我们可发现牛顿—Steffensen 加速法比牛顿法要收敛的快，牛顿法对于初值的选取特别重要，比如第（1）问中的初值为4的情况，迭代次数算了40次，远大于其余初值的情况；在第（2）问中的初值为1.6的情况，收敛解得31.4159，分析其原因应该是x x f c os )('=，x0=1.62π≈,0)('≈x f ；在牛顿—Steffensen 加速法第(1)问中x=1.5、第二问x=0和3的情况，无收敛解。
二 Jacobi 迭代法与Causs-Seidel 迭代法迭代求解的比较1. 计算题目用雅格比法与高斯－赛德尔迭代法解下列方程组Ax =b ，研究其收敛性，上 机验证理论分析是否正确，比较它们的收敛速度，观察右端项对迭代收敛有无影响。
(1)A 行分别为A 1=[6,2,-1],A 2=[1,4,-2],A 3=[-3,1,4]；b 1=[-3,2,4]T , b 2=[100,-200,345]T ,(2) A 行分别为A 1=[1,0,8,0.8],A 2=[0.8,1,0.8],A 3=[0.8,0.8,1]；b 1=[3,2,1] T , b 2=[5,0,-10]T ,(3)A 行分别为A 1=[1,3],A 2=[-7,1]；b =[4,6]T ,2. 计算过程与结果（1）x0= [0,0, 0]T 为初始值,N 为迭代次数，0.00001为误差精度,X 为收敛解附：雅格比法#include <iostream>#include <cmath>using namespace std ;int main( ){double a[10][10],b[10],sum=0.0,x[10],y[10],c,s=0.0;int i,k=0,n,j;cout<<"请输入维数:";cin>>n;cout<<"请输入数组A:";for(i=0;i<n;i++)for(j=0;j<n;j++)cin>>a[i][j];cout<<"请输入数组B:";for(i=0;i<n;i++)cin>>b[i];cout<<"请输入初始X:";for(i=0;i<n;i++)cin>>x[i];do{for(i=0;i<n;i++){for(j=0;j<i;j++)sum=sum+a[i][j]*x[j];for(j=i+1;j<n;j++)sum=sum+a[i][j]*x[j];y[i]=(b[i]-sum)/a[i][i];sum=0;}c=0;for(i=0;i<n;i++)if(c<fabs(x[i]-y[i]))c=fabs(x[i]-y[i]);if(c>0.00001)c=0;else s=1;for(i=0;i<n;i++)x[i]=y[i];k++;}while(s!=1);for(i=0;i<n;i++)cout<<"解为："<<x[i]<<endl;cout<<"N="<<k<<endl;return 0;}高斯－赛德尔迭代法#include <iostream>#include <cmath>using namespace std ;int main( ){double a[10][10],b[10],sum=0.0,x[10],y[10],c,s=0.0,z[10];int i,k=0,n,j;cout<<"请输入维数:";cin>>n;cout<<"请输入数组A:";for(i=0;i<n;i++)for(j=0;j<n;j++)cin>>a[i][j];cout<<"请输入数组B:";for(i=0;i<n;i++)cin>>b[i];cout<<"请输入初始X:";for(i=0;i<n;i++)cin>>x[i];do{for(i=1;i<n;i++)z[i]=x[i];for(i=0;i<n;i++){for(j=0;j<i;j++)sum=sum+a[i][j]*x[j];for(j=i+1;j<n;j++)sum=sum+a[i][j]*x[j];y[i]=(b[i]-sum)/a[i][i];sum=0;x[i]=y[i];}c=0;for(i=0;i<n;i++)if(c<fabs(z[i]-y[i]))c=fabs(z[i]-y[i]);if(c>0.00001)c=0;else s=1;for(i=0;i<n;i++)z[i]=y[i];k++;}while(s!=1);for(i=0;i<n;i++)cout<<"解为："<<x[i]<<endl;cout<<"N="<<k<<endl;return 0;}3. 结果分析问题（1）中因系数矩阵严格对角占优，所以，无论采用Jacobi迭代法还是Causs-Seidel迭代法，其迭代过程均收敛。