函数极限与连续

复习提纲（函数、极限与连续）一、函数有界函数，周期函数，奇（偶）函数，复合函数，反函数，显函数，隐函数，初等函数，分段函数，导函数，积分上限函数，经济函数（成本函数、收益函数、利润函数、边际函数、需求函数）。1．定义域：使函数解析式有意义的x的取值范围。

1）分式：(),()0()gxyfxfx=≠；2）根式开偶次方根：()(nyfxn=为偶数），()0fx≥；3）对数：log()ayfx=，()0fx>,0a>，1a≠；4）反三角函数：arcsin(),arccos()yfxyfx==，()1fx≤。例：求11282log(1)xyx+=−+−的定义域。

解：18202xx+−≥⇒≤；12

log(1)001112xxx−≥⇒<−≤⇒<≤；于是得12x<≤。

例：已知2(21)32fxxx+=−+的定义域为[1,2]，求()fx的定义域。解：令1212txtx−+=⇒=，因为2(21)32fxxx+=−+的定义域为[1,2]，所以11212352txt−≤≤⇒≤≤⇒≤≤，于是()fx的定义域为[3,5]。注：对于复合函数定义域，无论条件给的、结论给的都是指相应x的取值范围。

2．函数值记法：0000(),(),(),()xxxxyxfxyxfx==。注：函数只与对应法则有关，与变量的表示无关。例：2()sin,(())1fxxfxxϕ==−，求()xϕ及定义域。解：22()sin,(())sin()1()arcsin(1)fxxfxxxxxϕϕϕ===−⇒=−，定义域：21122xx−≤⇒−≤≤。例：222(1)ln2xfxx−=−，求()fx及定义域。解：设2111()ln()ln11txxtftfxtx++−=⇒=⇒=−−。定义域：(1)(1)01,1xxxx+−>⇒<−>。

例：(sin)cos12xfx=+，求()fx。解：221cossincos12sin222xxxx−=⇒=−∵，222(sin)22sin()2(1)()2(1)22xxffttfxx∴=−⇒=−⇒=−。

例：2211()3fxxxx+=++，求()fx。解：22222111()3()1()1()1fxxxfttfxxxxx+=++=++⇒=+⇒=+。

例：1()2()fxfxx−=，求()fx。解：由1()2()fxfxx−=，得11()2()ffxxx−=，解得：12()()3fxxx=−+。

3．奇偶性：fD关于原点对称，若()()fxfx−=，称()fx偶函数；()()fxfx−=−，称()fx奇函数。

除此以外，称非奇非偶函数。常见的奇函数：211sin,tan,,,arcsin,arctannxxxxxx+，2ln(1)yxx=++，1(),()ln21xxeexfxfxx−−+==

−⋯

；(n为正整数）

常见的偶函数：22,cos,,,,(),2xxxnxeexxxeefx−+=⋯。(n为正整数）注：①对任意函数()fx，1[()()]2fxfx+−偶函数，1[()()]2fxfx−−为奇函数；②对,,xy∀若()()()fxyfxfy+=+，则()fx为奇函数；③对奇函数，有(0)0f=。例：验证11()21xfxa=−+为奇函数。

证：定义域：(,)−∞+∞；对(,)x∀∈−∞+∞，1()()2(1)xxafxfxa−−==−+，所以为奇函数。

例：已知2()2,[0,2]fxxxx=+∈，试补充()fx在[2,0]−上的表达式使其在区间[2,2]−上构成偶函数（偶延拓）。解：因为2()2,[0,2]fxxxx=+∈，所以22()2()2,02fxxxxxx−=−−=−≤−≤，

即2()22,20fxxx−=−−≤≤，于是222, 20,()2, 02xxxfxxxx⎧−−≤≤⎪=⎨+≤≤⎪⎩。

4．常见的有界函数：,()fxDfxM∀∈≤（常数）。sin1,cos1,(,)arcsin,arccos,[1,1].2arctan,arccot,(,).2xxxxxxxxππππ≤≤−∞+∞≤≤∈−<<∈−∞+∞5．周期函数：()()fxTfx+=，T为周期。1）()faxb+的周期为Ta；2）若(),()fxgx的周期T，则()()fxgx±的周期也是T；3）(),()fxgx分别是以1212,()TTTT≠为周期的函数，则()()fxgx±是以12,TT的最小公倍数为周期的函数。4）常见函数的周期：sin,cos2xxTπ⇒=；tan,cot,sin,cosxxxxTπ⇒=。6．求解函数方程1）利用函数表达式特性求函数方程例设21()1(0)fxxxx=++≠，求()fx。解：221111()1()(0)xfxxxxxx+=++=+≠。2）利用极限求解函数方程例设()fx为多项式，且320()2()lim1,lim3xxfxxfxxx→∞→−==，求()fx。

解：因为()fx为多项式，且32()2lim1xfxxx→∞−=，所以可设32()2fxxaxbxc=+++；而3222()2limlim1xxfxxaxbxcaxx→∞→∞−++===，于是32()2fxxxbxc=+++；因为32000()lim3lim()0lim(2)00xxxfxfxxxbxccx→→→=⇒=⇒+++=⇒=；又322000()2limlimlim(2)3xxxfxxxbxxxbbxx→→→++==++==；所以32()23fxxxx=++。

例已知1lim()xfx→极限存在，且函数21()2lim()xfxxxfx→=+−，试求2lim()xfx→的值。解：设1lim()xfxA→=，于是2()2fxxxA=+−，又211lim()lim(2)22xxAfxxxAA→→==+−=−，得：23A=，所以22224414()lim()lim()333xxfxxxfxxx→→=+−⇒=+−=。

3）利用导数求解方程例已知()fx在(,)−∞+∞上有定义，(0)f′存在，且对任意的,(,)xy∈−∞+∞，恒有()()()2fxyfxfyxy+=++，求()fx。

解：由于()()()2fxyfxfyxy+=++，令0y=，则()()(0)(0)0fxfxff=+⇒=；

而000()()()2()(0)()limlimlim2(0)20yyyfxyfxfyxyfyffxxfxyyy→→→+−+−′′===+=+−，即2()(0)2()[(0)2](0)fxfxfxfxdxfxxc′′′′=+⇒=+=++∫，将(0)0f=代入，得0c=，故2()(0)fxfxx′=+。4）利用积分上限函数的可导性求解方程例求满足00()()xxftdtxtfxtdt=+−∫∫的可微函数()fx。解：0000()()()()()()uxtxxxxtfxtdtxufuduxfuduufudu=−−===−−=−∫∫∫∫，于是

000()()()xxxftdtxxfuduufudu=+−∫∫∫，两边对x求导，得

00()1()()()1()xxfxfuduxfxxfxfudu=++−=+∫∫，再对x求导，得

()()()xfxfxfxce′=⇒=，又(0)1f=，代入得1c=，所以()xfxe=。

5）利用连续函数的可积性及原函数的连续性求解例已知()fx是连续函数且满足方程1220()31()fxxxfxdx=−−∫，求()fx。解：令120()fxdxA=∫，则222222()31()961(1)fxxxAfxxxxAxA=−−⇒=−−+−

于是11222222002()[961(1)]323AfxdxxxxAxAdxAA==−−+−=−+∫∫，得2A=或32A=。所以2()331fxxx=−−或23()312fxxx=−−。

例设()fx的一个原函数tanxx，求()fx。解：因为()fx的一个原函数是tanxx，即tan()xFxx=，所以22

1sectantan2sectan2()()()2xxxxxxxxfxFxxxxx⋅−⋅⋅−′′====。

例已知1, 01,(ln), 1xfxxx<≤⎧′=⎨<⎩，且(0)0f=，求()fx。解：令lnxt=，则txe=。于是6

22

1,0,1,01,(),0,1ttttteftetee≤⎧<≤⎧

⎪⎪′==

⎨⎨

⎪⎪>>

⎩⎩

，于是

当10,()1()tftfttc′≤=⇒=+；当0t>，222()()2ttfteftec′=⇒=+；由原函数的连续性，得1200lim()lim()2ttftftcc+−→→=⇒=+。

又12(0)00,2fcc=⇒==−，故2,0()22,0xxxfxex≤⎧⎪=⎨⎪−>⎩。

二、极限1．数列的极限：limnnxa→∞=（确定常数）

注：若数列{}nx存在极限，称其收敛；否则称之为发散。2.函数的极限：0lim(),lim()xxxfxAfxA→∞→==

1）lim(),lim()lim()xxxfxAfxAfxA→+∞→∞→−∞=⎧⎪=⇔⎨=⎪⎩同时成立；注：,,arctanxxaex等函数当x→∞时的极限要分别考虑,xx→+∞→−∞。2）0000000lim()()(0),lim()lim()()(0)xxxxxxfxAfxfxfxAfxAfxfx−+−→→+→===−⎧⎪=⇔⎨===+⎪⎩。注：用于求分段函数在分段点处的极限。3．极限性质：惟一性，有界性，保号性

极限存在准则：单调有界，夹逼定理4．无穷小与无穷大1）无穷小：以零为极限的量称为无穷小量，即lim()0fx=，

无穷大：lim()fx=∞（此时极限不存在）；2）无穷大与无穷小的关系：在自变量的同一变化过程中，