求三角函数最值的方法
求三角函数最值的四种方法
求三角函数最值的四种方法求解三角函数最值问题的基本途径与其他函数最值问题相同，一方面要利用三角函数的特殊性质，例如有界性，另一方面要将问题转化为我们熟悉的函数的最值问题。
以下介绍几种常见的求解三角函数最值的策略。
1.配方转化策略对于能够化为形如y = a sin x + b sin x + c或y = a cos x +b cos x + c的三角函数最值问题，可以将其看作是sin x或cosx的二次函数最值问题，常常利用配方转化策略来解决。
例如，对于函数y = 5 sin x + cos 2x的最值问题，可以将其转化为y = -2 sin x + 5 sin x + 1，然后利用sin x的范围[-1.1]求得最小值为-6，最大值为4.2.有界转化策略对于能够通过变形化为形如y = A sin(ωx + φ)等形式的三角函数，可以利用其有界性来求解最值。
这是常用的求解三角函数最值问题的策略之一。
3.单调性转化策略借助函数单调性是求解函数最值问题常用的一种转化策略。
对于三角函数来说，常常是先化为y = A sin(ωx + φ) + k的形式，然后利用三角函数的单调性求解。
4.导数法对于一些较为复杂的三角函数最值问题，可以利用导数法求解。
通过对函数求导，找到其临界点，然后比较临界点和函数在端点处的取值，即可求得函数的最值。
在求解三角函数最值问题时，需要注意将三角函数准确变形为sin x或cos x的二次函数的形式，正确配方，并把握sinx或cos x的范围，以防止出错。
1，即y=−x+2设点P的坐标为(x,y)，则y−0=y−yPx−2=x−xP解得xP=cosx，yP=sinx代入直线方程得y=−(cosx−2)+2=4−cosx所以y的最小值为3，当x=π/2时取到最小值。
答案]3。
常见的三种三角函数值域的求法
常见的三种三角函数值域的求法三角函数是高中数学中常见的一个概念，它是指正弦函数、余弦函数和正切函数，这三个函数在计算中十分常用，下面将详细介绍三种三角函数值域的求法。
一、正弦函数值域的求法正弦函数的值域在[-1, 1]之间。
具体求法如下：1. 代数法：由正弦函数的定义可知，y=sin x，其中-1≤y≤1。
即y 的取值范围为[-1, 1]。
2. 图像法：正弦函数的图像在[-π/2,π/2]内单调递增，且满足y的取值范围为[-1, 1]。
3. 单位圆法：我们知道，单位圆(x^2+y^2=1)在第一象限的一段弧上与x轴正半轴所夹的角的正弦值等于这段弧上点的y坐标。
而当角度为0和π时，y坐标分别为0和1，因此正弦函数的值域为[-1,1]。
二、余弦函数值域的求法余弦函数的值域在[-1,1]之间。
具体求法如下：1. 代数法：由余弦函数的定义可知，y=cos x，其中-1≤y≤1。
即y 的取值范围为[-1, 1]。
2. 图像法：余弦函数的图像在[0,π]内单调递减，且满足y的取值范围为[-1, 1]。
3. 单位圆法：我们知道，单位圆(x^2+y^2=1)在第一象限的一段弧上与x轴正半轴所夹的角的余弦值等于这段弧上点的x坐标。
而当角度为0和π/2时，x坐标分别为1和0，因此余弦函数的值域为[-1,1]。
三、正切函数值域的求法正切函数的值域为实数集。
具体求法如下：1. 代数法：由正切函数的定义可知，y=tan x，其中y可取遍所有实数。
因此，正切函数的值域为实数集。
2. 图像法：正切函数的图像在(π/2n,π/2n+1)(n∈Z)上有无限个垂直渐近线。
这说明正切函数可以取遍所有实数，因此正切函数的值域为实数集。
3. 应用法：正切函数在实际应用中十分重要，比如在三角定位中，我们经常需要根据已知的两条边求第三条边的长度，这时就需要用到正切函数。
正切函数值域为实数集，可以表示所有可能的长度。
综上所述，正弦函数的值域为[-1,1]，余弦函数的值域为[-1,1]，正切函数的值域为实数集。
求三角函数最值的四种常用解题方法
求三角函数最值的常用解题方法
一. 转化为二次函数求解三角函数的最值，适用于题目中出现的三角函数分别为一次和二次时
例1．已知函数的最大值为1，求的值
解：
结论：将三角函数转化为二次函数也是求最值的通法之一，应当注意，整理成
时，要考虑的取值及的条件，才能正确求出最值。
二. 使用辅助角公式（化一法）求解三角函数的最值
适用于题目中出现的三角函数同次时
—1—
例2．求函数的值域。
分析：降幂后发现式中出现了和，这时再化成一个角的三角函数便可求得。
解：
结论：化一法由“化一次”、“化一名”、“化一角”三部分组成，其中“化一次”使用到降幂公式、“化一名”使用到推导公式、“化一角”使用到倍角公式及三角函数的和差公式等，因此需要大家熟练掌握相关公式并灵活运用。
—2—
三.利用函数值域的有界性，求解三角函数的最值
例3.求函数的值域
解：
—3—
四.使用换元法求解三角函数的最值
例4．求函数的最值。
分析：解此题的途径是用逆求将函数式变形，用y表示与x有关的三角函数，利用三角函数的有界性求最值。
解：
—4—。
求三角函数最值的常用方法
所 兰 一＋ 专～ ３ 以一 ２４ （２ ＝ ） ． ＋
又因为 产 ２ — ２ ２ ， ［ √ √ ］且函数在［ — ］ 上为减 函数， 因此： ｔ 当 一 ， ．一 ７ （ ∈ｚ 时， 即 Ｔ ｒ ｇ ＋ 志 ）
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现， 有广泛的实际应用 ， 一直是高考命题的热点． 下面
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舅 才是 少爷． ”
港台电视剧里。 大户人家里的小孩都被佣人称为少爷． 儿子看多了， 便对我说： “ 妈妈， 少爷， 后也叫我少爷！ 我是 以 ” 婆婆听了忙插话
说， 你可不能叫少爷． 儿子奇怪地问为 么 什 ？老太太说： “ 老百姓家的弦子就叫名字， 只有老￣ ；ｑａ，少爷． 儿子恍然大悟： ｃ－＇＇ －－ｔ ” “ 原来舅
三角函数的最值 问题包括 了对三角函数的概念 、
令 ｓ ｚ ０ ｚ １ ≤ ， ｓ ｚｏ ｚ ｔ ｉ ｉ ＋ｏ — （ ｌ一 ）则 ｉ ｓ 一— ｎ ｓ ￡√ ｎ ０ ￣ －
，
图像、 性质及诱导公式 、 同角三角函数间基本关系式、 ．
两角和差以及倍角公式的考查 ． 是函数思想的具体体
维普资讯
专题突破
所以当ｚ ｋ ＋－ ， 一， ￣ ， ｚ 志 一 时 ， 一２ ７ 一 ｃ ５ － ／ ， 当 ＝２ ７ ｇ－ ｊ － ｒ
Ｙ ＝ 一 （ ｚ） 志∈ ．
３ 利 用换 元法
其牦 是含有或经过化简整理后出现 ｓ ＋ｏｓ ｉｚ ０ｚ ｎ 与 ｓ ｓ ｉｚＣ ｎ Ｏ ｚ的形式， 处理方式是应用 （ｎ ｓ ＋ＣＳ ＝ ｉ Ｏ ）＝ ＝ １ ２ｓ Ｓ 进行转化． ｔ ｓ ±ｃｓ ， ＋ ｎ Ｃ ｉｚ ｌ ｚ Ｘ 设 － ｉ ｚ ｏ 化为二 ｎ
三角函数的不等式与最值
三角函数的不等式与最值三角函数是数学中重要的一类函数，它们在不等式求解和最值问题中具有广泛的应用。
本文将介绍三角函数的不等式求解方法以及如何找到三角函数的最值。
1. 正弦函数的不等式与最值1.1 不等式求解方法对于不等式sin(x)>0，我们需要找到使得正弦函数大于零的x的取值范围。
由于正弦函数在单位圆上的坐标表示sin(x)=y，因此正弦函数大于零的范围可以表示为y>0。
在单位圆上，y>0对应着角度在0到π之间的位置。
因此，不等式sin(x)>0的解集为x∈(0, π)。
1.2 最值求解方法最值问题通常需要找到函数的最大值或最小值。
对于正弦函数sin(x)，它的最大值为1，最小值为-1。
这是因为正弦函数在单位圆上的y坐标的范围是[-1, 1]。
因此，最大值为1，最小值为-1。
2. 余弦函数的不等式与最值2.1 不等式求解方法对于不等式cos(x)<0，我们需要找到使得余弦函数小于零的x的取值范围。
由于余弦函数在单位圆上的坐标表示cos(x)=x，因此余弦函数小于零的范围可以表示为x<0。
在单位圆上，x<0对应着角度在π/2到3π/2之间的位置。
因此，不等式cos(x)<0的解集为x∈(π/2, 3π/2)。
2.2 最值求解方法对于余弦函数cos(x)，它的最大值为1，最小值为-1。
这是因为余弦函数在单位圆上的x坐标的范围是[-1, 1]。
因此，最大值为1，最小值为-1。
3. 正切函数的不等式与最值3.1 不等式求解方法对于不等式tan(x)>0，我们需要找到使得正切函数大于零的x的取值范围。
正切函数可表示为tan(x)=sin(x)/cos(x)。
根据正切函数的性质，当sin(x)和cos(x)的符号相同时，tan(x)大于零；当它们的符号不同时，tan(x)小于零。
因此，正切函数大于零的范围可以表示为sin(x)和cos(x)同号。
在单位圆上，sin(x)>0且cos(x)>0的范围对应着角度在0到π/2之间和角度在2π到5π/2之间的位置。
三角函数最值问题常见解法
三角函数最值问题的几种常见解法一 、配方法若函数表达式中只含有正弦函数或余弦函数，切它们次数是2时，一般就需要通过配方或换元将给定的函数化归为二次函数的最值问题来处理。
例1 函数3cos 3sin 2+--=x x y 的最小值为（ ）.A ． 2B . 0C . 41- D . 6 [分析]本题可通过公式x x 22cos 1sin -=将函数表达式化为2cos 3cos 2+-=x x y ，因含有cosx 的二次式，可换元，令cosx=t ，则,23,112+-=≤≤-t t y t 配方，得41232-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=t y , ∴≤≤-,11t 当t=1时,即cosx=1时，0min =y ,选B.例2 求函数y=5sinx+cos2x 的最值[分 析] ：观察三角函数名和角，其中一个为正弦，一个为余弦，角分别是单角和倍角，所以先化简，使三角函数的名和角达到统一。
()48331612,,221sin 683316812,,22,1sin ,1sin 183345sin 21sin 5sin 2sin 21sin 5max min 222=+⨯-=∈+=∴=-=+⨯-=∈-=-=∴≤≤-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=++-=-+=y z k k x x y z k k x x x x x x x x y ππππ 二 、引入辅助角法例3已知函数()R x x x x y ∈+⋅+=1cos sin 23cos 212当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合。
[分析] 此类问题为x c x x b x a y 22cos cos sin sin +⋅+=的三角函数求最值问题，它可通过降次化简整理为x b x a y cos sin +=型求解。
解： ().47,6,2262,4562sin 21452sin 232cos 2121452sin 432cos 41122sin 2322cos 121max =∈+=∴+=+∴+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=+⋅++⋅=y z k k x k x x x x x x x x y ππππππ三 、利用三角函数的有界性在三角函数中，正弦函数与余弦函数具有一个最基本也是最重要的特征——有界性，利用正弦函数与余弦函数的有界性是求解三角函数最值的最基本方法。
如何求解三角函数的最值和周期
如何求解三角函数的最值和周期三角函数是数学中经常遇到的重要函数之一，它在物理、工程、计算机科学等领域都有广泛的应用。
在解题中，求解三角函数的最值和周期是常见的问题之一。
本文将介绍如何求解三角函数的最值和周期，并给出相关的方法和例子。
一、求解正弦函数的最值和周期在求解正弦函数的最值和周期时，我们需要注意以下几点：1. 最值：正弦函数的最值在闭区间[-1, 1]内取得，最大值为1，最小值为-1；2. 周期：正弦函数的周期为2π，即正弦函数在[-π, π]内完成一个周期。
二、求解余弦函数的最值和周期对于余弦函数的最值和周期的求解，我们需要注意以下几点：1. 最值：余弦函数的最值也在闭区间[-1, 1]内取得，最大值为1，最小值为-1；2. 周期：余弦函数的周期也为2π，同正弦函数，即余弦函数在[-π, π]内完成一个周期。
三、求解其他三角函数的最值和周期除了正弦函数和余弦函数，其他三角函数（比如正切函数、余切函数、正割函数、余割函数等）也有各自的最值和周期，需要分别求解。
以下是它们的最值和周期的求解方法：1. 正切函数：最值为正无穷和负无穷，其周期是π；2. 余切函数：最值为正无穷和负无穷，其周期也是π；3. 正割函数：最值为正无穷和负无穷，其周期是2π；4. 余割函数：最值为正无穷和负无穷，其周期也是2π。
四、求解三角函数最值和周期的应用举例为了更好地理解求解三角函数最值和周期的方法，我们来看一个具体的例子：例子：求解函数y = 2sin(3x) + 1的最值和周期。
解析：根据正弦函数的性质，我们可以知道最大值和最小值分别为3和-1，周期为2π/3。
通过这个例子，我们可以看到，求解三角函数最值和周期的方法是先分析函数的性质，确定最值和周期的范围，然后根据函数的公式进行计算得出结果。
五、总结求解三角函数的最值和周期是数学中的基本问题，掌握求解方法对于解题非常关键。
在本文中，我们介绍了求解正弦函数和余弦函数最值和周期的方法，并给出了其他三角函数最值和周期的求解方法。
三类常见的三角函数最值问题及其解法
思路探寻在近几年的高考数学试题中，三角函数最值问题屡见不鲜.此类问题一般具有较强的综合性、抽象性，侧重于考查同学们的抽象思维能力和综合处理问题的能力.本文重点谈一谈三类常见的三角函数最值问题及其求法一、求一次三角函数的最值一次三角函数最值问题属于常规题目.解答此类问题，需灵活运用三角函数中的诱导公式、两角和差公式、辅助角公式等进行三角恒等变换，将三角函数式转化为只含有一个角、一种函数名称的式子，然后根据三角函数的图象和性质来求得函数的最值.例1.求函数f ()x =cos x ()2sin x +3cos x 的最值.解：f ()x =2sin x cos x +3cos 2x =sin 2x +32cos 2x +32=sin ()2x +φ+32(2x +φ+32.由于||sin ()2x +φ≤1，因≤f ()x 那么函数的最大值是.第一步，我们要仔细观察三角函数的形式，将其进行适当的变形.若三角函数式中含有括号就要先将括号去掉；若含有两种不同的函数名称，就需用辅助角公式或tan x =sin xcos x将函数名称统一；若含有两个不同的角，就需用诱导公式、两角和差公式将角统一，最后根据三角函数的图象和性质求得最值.二、求二次三角函数的最值解答二次三角函数最值问题，我们一般要先利用二倍角sin 2x =2sin x cos x 、cos 2x =2cos 2-1=1-2sin 2x或其变形式2cos 2x =cos 2x -1、sin 2x =1-cos 2x 2等，将三角函数式的幂或角统一，将其转化成为f ()x =A sin ()ωx +φ+B 的形式，或者只含有一种函数名称的二次式，然后利用三角函数的有界性和二次函数的性质来求最值.例2.已知函数f ()x =23sin x cos x +2cos 2x -1()x ∈R .试求出函数f ()x 的最小正周期，以及当x ∈éëùû0，π2时f ()x 的最大值与最小值.分析：该三角函数式中含有二次式，需先用正弦、余弦的二倍角公式将其化简，然后利用辅助角公式，将其转化为只含有一种函数名称的函数式，再根据正余弦函数的单调性和有界性便可求得原函数的最值.解：f ()x =23sin x cos x +2cos 2x -1=3()2sin x cos x +()2cos 2x -1=3sin 2x +cos 2x =2sin æèöø2x +π6.因此这个函数的最小正周期是T =2π2=π.当x ∈éëùû0，π6，即2x +π6∈éëùûπ6，π2时，函数f ()x 单调递增；而当x ∈éëùûπ6，π2，即2x +π6∈éëùûπ2，7π6时，函数f ()x 单调递减，因此当x =π6时，函数取最大值f æèöøπ6=2sin π2=2；当x =π2时，函数取最小值f æèöøπ2=2sin 7π6=-1.三、求含有分式的三角函数的最值求含有分式的三角函数的最值有两种思路，第一种思路是尝试将常数分离，求得分离后含有变量式子的最值便可解题；第二种思路是，将函数y =f (x )看作参数，将函数式变形为整式，然后运用辅助角公式，将其转化为A sin ()ωx +φ+B 或A cos ()ωx +φ+B 的形式，再利用正余弦函数的有界性来建立关系式，解不等式便可求得y 的取值范围，进而确定函数的最值.例3.求函数y =sin x -23-2sin x 的最值.解：将y =sin x -23-2sin x变形可得()2y +1sin x =3y +2æèöøy ≠-12，即sin x =3y +22y +1.又因为||sin x ≤1，则||||||3y +22y +1≤1，将其两边同时平方可得()3y +22≤()2y +12，解得-1≤y ≤-35，因此函数的最大值为-35，最小值为-1.我们先将函数式变形为一边只含有sin x 、一边不含有sin x 的式子，然后根据y =sin x 的有界性求3y +22y +1的取值范围，求出y 的取值范围便可以确定函数的最值.总之，要想顺利求得三角函数的最值，我们需熟练掌握三角函数中的基本公式以及三角恒等变换的技巧，先将所求函数式化简为只含有一个角、一种函数名称、次数统一的最简形式，然后根据三角函数的单调性和有界性来求得原函数的最值.王国顺46。
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求二角函数最值的方法
解：y =sin x 3 cosx = sin x cosx)
2
_6, 3 sin(X 3)2'，y 1,2 1
变式2:求函数厂引讥二^狄
sin x + cosx 「12'12的最值.
求三角函数最值的方法
三角函数最值问题是三角函数中的基本内容，也是高中数学中经常涉及的问题。
这部分内容是一个难点，不易让学生掌握，它对三角函数的恒等变形能力及综合应用要求较高。
求函数的最值是历届高考数学考查的热点之一，以三角函数为载体的问题已成为高考中的热点问题。
一、一角一次一函数形式
在学习了三角函数的内容以后可以知道，要求关于三角函数最值只能转化
到 y = Asin( x ) B或者 y = Acos( x :) B, y = Atan( x :) B 这种形式才
可以求其最值，我把这种形式称为“一角一次一函数形式”。
例1:求y二sinx「3cosx的最值。
JE J[ J[
= 2(s in x cos—:cos xs in—) =2s in (x ：—)
3 3 3
r
TE JI rrJE
.当 x 2k 二即 x 2k 二，k・Z 日寸,y max=2
3 2 6
二二 5 二t
当 x 2k 二即 x 2k；k・Z 时，y max =-2
3
再加上x
在化至U y = 2sin(x —)时,
3
Tt x —z
6
解:厂矶-1 31 JI
tan x 1
土n(x 4)，x
「12'12 , JI
「
31
31 ■
+ — € I ——
4 _6,3
- 当X =… 时
y min
二
3
； 当 x 厂时, 3 12
V max
变式 3: f (x)=— sin 2x -cos 2
x -
2
丿
・2
sin 2
------- "I ------------ QI
r H H "I
4 3，求 f(x)
2
6
变式1：
f(x)
— cos2x
当 “4 时, f (
x)
min —
的最大值与最小值
解：（先观察角之间的关系，最好能转化为同角，然后看同角是三角函数 的次数，在化为同一个函数名）
、3 .3 1
3
1 二 —— ——sin 2x -cos2x
sin(2x —)
8
4 4
8 2 6
当 时，f （X ）max 二宁. 3
8 在这个解题过程中，运用到了转化思想，化归到我们已经学习过的三角函
数中去，通过一些倍角公式，与同角合并公式asinx • bcosx ^J a 2
• b 2
sin （x •「）, （tan ：、b
）的转化，把它转化到“一角一次一函数形式”，此时对于同一个角度
a 是同次的。
所以说把y 二asinx^bcosx 化成y = Asin （・，x •的形式是解决问题普 遍方法
二、一角二次一函数形式 当三角函数转化为“一角一次一函数形式”有困难的时候，该如何呢？
例2 求函数 y = —cosx —sin 2
x —cos2x +?的最值.
4
分析：先观察这个解析式可知，对于同一个角而言，不是同次时转化不到 角一次一函数形式”时，肯定对同角而言是一次与二次的，所以有可能化归到 二次函数去。
解: y =-cosx -(1 -cos 2
x L (2COS 2
x-1 )+# = -cos 2
x +cosx
f 1弓 -cosx -- l 2丿
31
2x -
6
y
max —2, y min
-Icos 2x+— I 2
2、2 sin(x
) 4 4 2IL
亠2「2 , 2
汜 + 2k 兀，k 乏 Z 时，y min = 2 + 2J 2 .
4 4 2
此题这样做在思考上有一定的困难，但是我们可以思考到 sin x 二cosx 与
变式 1 :求 y = sin x — 2 cosx — 2 的最值.
1
B
_ 兀
解：y =sin xcosx _2(sin x cosx) 4 =_si n2x _2、2sin(x —) 4
2
4
1 2、 ，
_1—2sin(x j -2、2 sin(x \) 4
2 兀 ~
JT
7
=sin (x 玄)一2 2sin(x 壬) ㊁ = [sin(x+t)
习2
+?
4
2
当 sin(x —)- -1 即 x —2k 二，k Z 时，y min
4 4 当 sin(x ：—)=1 即 x = 3
sin xcosx 是有关联的，(si nx 士cosx 『=1±s in xcosx，由此可设 t=s in x + cosx
=2sin （x 「）「rj 2,\2，y = 1t 2-2t • 7 = 1t 一2 2
- 3，由此化归到了一元 4 2 2 2 2
二次函数，比上面的思维应该简单一点。
所以以后见到sinx 二cosx 与sinxcosx 同 时出现时，借助它们之间的联系用换元法。
利用一些三角公式进行变量替换， 是求三角最值的一种常用技巧。
对同一个角，有一次，两次出现，一般都可以转化到“一角二次一函数形 式”。
三、利用有界性（-1_sin ： -1， -1-cos ： -1）
三角函数中还有很多最值问题并不可以有上面两种方法解决，就有下面的例 题来展示： 例3
求函数厂池的值域- 分析：不能转化到“一角一次一函数”与“一角二次一函数”这两种形式，但 与我们以前所学的求y 二xT 的最值，联系比较密切，借助分离变量或者说是反
x+1 表示解决这一题目。
解: y = W sin x
二 sinx=—， 因为 一1 兰 si nx 兰 1,所以一 1 兰—
兰 1. sinx+2 y —^3
y3
sin x 2 辅助角),sin(x J
由此可得- ..3曲―3
，函数的值域为3；3
3
r 3 ■
解二：y J 3sinx 23-2 3
- 3 一 2 3
，
八
sin x+2
丁 一1 兰sinx^1 二 1 兰sinx+2 兰3 二_2丿3 乞 2 3
sin x + 2 3
（用变量分离的方法更简便）
变式1:求函数"茫需的值域- 解：由题意得 ysin x - 3cosx - -2y ，所以.y 2
• 3sin（x2y （其中「为
「2y '，
-1 _sin x _1
廿+3，
解得:-1<^<1 所以函数的值域为Li,il . 解二：（此题还可以与几何图形相联系）
由题意得—cosx
二cosx
—°
丁3 si nx+2 si nx —(—2)
设点P （sin x,cosx ）,Q （-2,0），贝U cosx
-0可以看成是单位圆上的动点
p 与点
sin x —（-2）
这些过程中主要是让学生在学习的过程中，要会与以前所学知识的联系，把 新的问题
化归或转化到已经学过的知识中去。
这就要求要把知识的传授和能力 的培养相结合，注重数学思想方法的教学，而学生们一旦掌握了一种新的数学
思想和方法，思维就提高到一个新的层次，解答数学问题的能力就有较大的提 高，因为“数学的精神和本质在于它的思想和方法”。
在这个求三角函数最值基 本的过程中，让学生深
Q
这个代数问题通过解析几何解决了，体现了数形结合的数学思想。
刻的了解其中的数学思想方法，掌握“通性通法”，也就掌握了学习数学的“万能”钥匙。
数学思想方法是人人能懂，处处有用的，这就是新课程标准倡导的“人人学有价值的数学，人人都能获得必需的数学，不同的人在数学上得到不同的发展”的基本理念。