三角函数最值的求法
求三角函数的值域(或最值)的方法
求三角函数的值域(或最值)的方法三角函数y＝sinx及y＝cosx是有界函数，即当自变量x在R内取一定的值时，因变量y有最大值y max＝1和最小值y min＝－1，这是三角函数y＝sinx及y＝cosx的基本性质之一，利用三角函数的这一基本性质，我们可以使一些比较复杂的三角函数求最值的问题得以简化．虽然这部分内容在教材中出现不多，但是，在我们的日常练习和历年高考试题中却频频出现，学生也往往对这样的问题颇感棘手．笔者根据日常的教学积累，对三角函数求值域或最值的方法，加以归纳总结如下．1 配方分析法如果所给的函数是同名不同次或可化为同名不同次及其他能够进行配方的形式，可采用此方法．例1求函数y＝2cos2x＋5sinx－4的值域．解原函数可化为当sinx＝1时，y max＝1；当sinx＝－1时，y min＝－9，∴原函数的值域是y∈[－9，1]．注：此种方法在求三角函数的值域或最值问题中较为常见．但在最后讨论值域时，往往容易忽略自变量(例1中以sinx为自变量)的取值范围而出现错误应该引起注意．“cosx”，再求已知函数的最值例2求下列函数的最值，并求出相应的x值．y＝asinx＋bcosx或可转化为此种形式的函数，其最大值和最小值分别为y max＝3 求反函数法如果函数的表达式中仅含有某一个三角函数名，我们可考虑此种方法，用因变量y表示出该函数，再利用该函数的值域求对应的原函数的值域．∴原函数的值域是4 应用函数的有界性上面的求反函数法实际上就是在应用函数的有界性求最值，在此只不过是为了更加突出一下．解由原式可得(3y－1)sinx＋(2y－2)cosx＝3－y，则上式即为利用函数的有界性有∴原函数的值域是5 部分分式分析法例5求下列函数的值域：当sinx＝－1时，y有极小值，y极小＝2；∴原函数的值域是(2)原函数化为部分分式为：∴原函数的值域是6 应用平均值定理求最值例6求函数y＝(1＋cosx)sinx，x∈[0，π]的最大值．7 换元法例7求函数y＝(1＋sinx)(1＋cosx)的值域．解原函数即为y＝1＋sinx＋cosx＋sinxcosx，∴原函数即为8 应用二次函数的判别式求最值9 几何法求函数的最值两点的直线的斜率，在平面直角坐标系中作出点(2，2)和单位圆，则很容易确定y的取值范围．得(k2＋1)x2－(4k2－4k)x＋4k2－8k＋3＝0，Δ＝(4k2－4k)2－4(k2＋1)(4k2－8k＋3)＝－12k2＋32k－12．10 应用函数的单调性。
求解三角函数的最大值和最小值
求解三角函数的最大值和最小值三角函数是数学中常见的函数类型之一，包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
求解三角函数的最大值和最小值在数学和科学应用中具有重要意义。
本文将介绍三角函数的最大值和最小值的求解方法，并通过示例进行说明。
一、正弦函数的最大值和最小值正弦函数是一种周期性函数，其图像在[-1, 1]之间周期性波动。
该函数的最大值为1，最小值为-1。
当x为正弦函数的周期之一时，正弦函数取得最大值1；当x为周期的中点时，正弦函数取得最小值-1。
二、余弦函数的最大值和最小值余弦函数也是一种周期性函数，其图像同样在[-1, 1]之间周期性波动。
该函数的最大值为1，最小值为-1。
与正弦函数类似，余弦函数在周期的中点处取得最大值1，在周期的端点处取得最小值-1。
三、正切函数的最大值和最小值正切函数是一种无界函数，其值在整个数轴上波动。
正切函数的最大值、最小值并不存在。
然而，正切函数在特定点上取得无穷大或无穷小值。
例如，正切函数在90度的整数倍处（如90°、180°等）取得无穷大值，在90度的奇数倍处（如270°、360°等）取得无穷小值。
四、其他三角函数的最大值和最小值除了正弦函数、余弦函数和正切函数，还存在其他三角函数如余切函数、正割函数和余割函数。
这些函数的最大值和最小值的求解方法与正弦函数、余弦函数类似，但其值的范围会有所不同。
结论- 正弦函数的最大值为1，最小值为-1，取决于周期的位置。
- 余弦函数的最大值为1，最小值为-1，同样取决于周期的位置。
- 正切函数在特定点上取得无穷大或无穷小值，没有明确的最大值和最小值。
- 其他三角函数如余切函数、正割函数和余割函数的最大值和最小值的求解方法类似。
通过以上分析，我们可以了解到三角函数的最大值和最小值求解方法及其特点。
在实际应用中，我们需要根据具体情况选择正确的求解方法，以便有效地使用三角函数进行数学和科学问题的研究和计算。
求三角函数最值的四种方法
求三角函数最值的四种方法求解三角函数最值问题的基本途径与其他函数最值问题相同，一方面要利用三角函数的特殊性质，例如有界性，另一方面要将问题转化为我们熟悉的函数的最值问题。
以下介绍几种常见的求解三角函数最值的策略。
1.配方转化策略对于能够化为形如y = a sin x + b sin x + c或y = a cos x +b cos x + c的三角函数最值问题，可以将其看作是sin x或cosx的二次函数最值问题，常常利用配方转化策略来解决。
例如，对于函数y = 5 sin x + cos 2x的最值问题，可以将其转化为y = -2 sin x + 5 sin x + 1，然后利用sin x的范围[-1.1]求得最小值为-6，最大值为4.2.有界转化策略对于能够通过变形化为形如y = A sin(ωx + φ)等形式的三角函数，可以利用其有界性来求解最值。
这是常用的求解三角函数最值问题的策略之一。
3.单调性转化策略借助函数单调性是求解函数最值问题常用的一种转化策略。
对于三角函数来说，常常是先化为y = A sin(ωx + φ) + k的形式，然后利用三角函数的单调性求解。
4.导数法对于一些较为复杂的三角函数最值问题，可以利用导数法求解。
通过对函数求导，找到其临界点，然后比较临界点和函数在端点处的取值，即可求得函数的最值。
在求解三角函数最值问题时，需要注意将三角函数准确变形为sin x或cos x的二次函数的形式，正确配方，并把握sinx或cos x的范围，以防止出错。
1，即y=−x+2设点P的坐标为(x,y)，则y−0=y−yPx−2=x−xP解得xP=cosx，yP=sinx代入直线方程得y=−(cosx−2)+2=4−cosx所以y的最小值为3，当x=π/2时取到最小值。
答案]3。
求三角函数最值的四种常用解题方法
求三角函数最值的常用解题方法
一. 转化为二次函数求解三角函数的最值，适用于题目中出现的三角函数分别为一次和二次时
例1．已知函数的最大值为1，求的值
解：
结论：将三角函数转化为二次函数也是求最值的通法之一，应当注意，整理成
时，要考虑的取值及的条件，才能正确求出最值。
二. 使用辅助角公式（化一法）求解三角函数的最值
适用于题目中出现的三角函数同次时
—1—
例2．求函数的值域。
分析：降幂后发现式中出现了和，这时再化成一个角的三角函数便可求得。
解：
结论：化一法由“化一次”、“化一名”、“化一角”三部分组成，其中“化一次”使用到降幂公式、“化一名”使用到推导公式、“化一角”使用到倍角公式及三角函数的和差公式等，因此需要大家熟练掌握相关公式并灵活运用。
—2—
三.利用函数值域的有界性，求解三角函数的最值
例3.求函数的值域
解：
—3—
四.使用换元法求解三角函数的最值
例4．求函数的最值。
分析：解此题的途径是用逆求将函数式变形，用y表示与x有关的三角函数，利用三角函数的有界性求最值。
解：
—4—。
求三角函数最值的常用方法
所 兰 一＋ 专～ ３ 以一 ２４ （２ ＝ ） ． ＋
又因为 产 ２ — ２ ２ ， ［ √ √ ］且函数在［ — ］ 上为减 函数， 因此： ｔ 当 一 ， ．一 ７ （ ∈ｚ 时， 即 Ｔ ｒ ｇ ＋ 志 ）
＝
现， 有广泛的实际应用 ， 一直是高考命题的热点． 下面
的
吾ｉ＋ ｃ 一 ｓ（ 詈 ｓ 弩 。 ｉｚ ） ｎ ｓ ｎ＋ ，
舅 才是 少爷． ”
港台电视剧里。 大户人家里的小孩都被佣人称为少爷． 儿子看多了， 便对我说： “ 妈妈， 少爷， 后也叫我少爷！ 我是 以 ” 婆婆听了忙插话
说， 你可不能叫少爷． 儿子奇怪地问为 么 什 ？老太太说： “ 老百姓家的弦子就叫名字， 只有老￣ ；ｑａ，少爷． 儿子恍然大悟： ｃ－＇＇ －－ｔ ” “ 原来舅
三角函数的最值 问题包括 了对三角函数的概念 、
令 ｓ ｚ ０ ｚ １ ≤ ， ｓ ｚｏ ｚ ｔ ｉ ｉ ＋ｏ — （ ｌ一 ）则 ｉ ｓ 一— ｎ ｓ ￡√ ｎ ０ ￣ －
，
图像、 性质及诱导公式 、 同角三角函数间基本关系式、 ．
两角和差以及倍角公式的考查 ． 是函数思想的具体体
维普资讯
专题突破
所以当ｚ ｋ ＋－ ， 一， ￣ ， ｚ 志 一 时 ， 一２ ７ 一 ｃ ５ － ／ ， 当 ＝２ ７ ｇ－ ｊ － ｒ
Ｙ ＝ 一 （ ｚ） 志∈ ．
３ 利 用换 元法
其牦 是含有或经过化简整理后出现 ｓ ＋ｏｓ ｉｚ ０ｚ ｎ 与 ｓ ｓ ｉｚＣ ｎ Ｏ ｚ的形式， 处理方式是应用 （ｎ ｓ ＋ＣＳ ＝ ｉ Ｏ ）＝ ＝ １ ２ｓ Ｓ 进行转化． ｔ ｓ ±ｃｓ ， ＋ ｎ Ｃ ｉｚ ｌ ｚ Ｘ 设 － ｉ ｚ ｏ 化为二 ｎ
三角函数的不等式与最值
三角函数的不等式与最值三角函数是数学中重要的一类函数，它们在不等式求解和最值问题中具有广泛的应用。
本文将介绍三角函数的不等式求解方法以及如何找到三角函数的最值。
1. 正弦函数的不等式与最值1.1 不等式求解方法对于不等式sin(x)>0，我们需要找到使得正弦函数大于零的x的取值范围。
由于正弦函数在单位圆上的坐标表示sin(x)=y，因此正弦函数大于零的范围可以表示为y>0。
在单位圆上，y>0对应着角度在0到π之间的位置。
因此，不等式sin(x)>0的解集为x∈(0, π)。
1.2 最值求解方法最值问题通常需要找到函数的最大值或最小值。
对于正弦函数sin(x)，它的最大值为1，最小值为-1。
这是因为正弦函数在单位圆上的y坐标的范围是[-1, 1]。
因此，最大值为1，最小值为-1。
2. 余弦函数的不等式与最值2.1 不等式求解方法对于不等式cos(x)<0，我们需要找到使得余弦函数小于零的x的取值范围。
由于余弦函数在单位圆上的坐标表示cos(x)=x，因此余弦函数小于零的范围可以表示为x<0。
在单位圆上，x<0对应着角度在π/2到3π/2之间的位置。
因此，不等式cos(x)<0的解集为x∈(π/2, 3π/2)。
2.2 最值求解方法对于余弦函数cos(x)，它的最大值为1，最小值为-1。
这是因为余弦函数在单位圆上的x坐标的范围是[-1, 1]。
因此，最大值为1，最小值为-1。
3. 正切函数的不等式与最值3.1 不等式求解方法对于不等式tan(x)>0，我们需要找到使得正切函数大于零的x的取值范围。
正切函数可表示为tan(x)=sin(x)/cos(x)。
根据正切函数的性质，当sin(x)和cos(x)的符号相同时，tan(x)大于零；当它们的符号不同时，tan(x)小于零。
因此，正切函数大于零的范围可以表示为sin(x)和cos(x)同号。
在单位圆上，sin(x)>0且cos(x)>0的范围对应着角度在0到π/2之间和角度在2π到5π/2之间的位置。
十一种类型的三角函数最值问题(附题目详解)
十一种类型的三角函数最值问题1.利用三角函数的有界性求最值利用正弦函数、余弦正数的有界性：∣sinx ∣≤1,∣cosx ∣≤1,可求形如y=Asin(ωx+φ),y=Acos(Asin(ωx+φ)(A ≠0, φ≠0)的函数最值.例:已知函数y=12 cos 2x+32 sinxcosx+1,x ∈R,当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合.2.反函数法 例:求函数1cos 21cos 2-+=x x y 的值域[分析] 此为dx c bx a y -+=cos cos 型的三角函数求最值问题，分子、分母的三角函数同名、同角，先用反解法，再用三角函数的有界性去解。
3.配方法—---转化为二次函数求最值例：求函数y=f(x)=cos 22x-3cos2x+1的最值.4.引入辅助角法y=asinx+bcosx 型处理方法：引入辅助角ϕ ，化为y=22b a +sin （x+ϕ）,利用函数()1sin ≤+ϕx 即可求解。
Y=asin 2x+bsinxcosx+mcos 2x+n 型亦可以化为此类。
例：已知函数()R x x x x y ∈+⋅+=1cos sin 23cos 212当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合。
[分析] 此类问题为x c x x b x a y 22cos cos sin sin +⋅+=的三角函数求最值问题，它可通过降次化简整理为x b x a y cos sin +=型求解。
5. 利用数形结合 例： 求函数y xx=+s in c o s 2的最值。
解：6、换元法例：若0<x<2π，求函数y=(1+1sinx )(1+1cosx )的最小值.7. 利用函数在区间内的单调性8. 例： 已知()π,0∈x ，求函数xx y sin 2sin +=的最小值。
[分析] 此题为xax sin sin +型三角函数求最值问题，当sinx>0,a>1，不能用均值不等式求最值，适合用函数在区间内的单调性来求解。
求最大值和最小值的公式三角函数
求最大值和最小值的公式三角函数在数学中，我们经常需要找出函数的最大值和最小值，特别是在三角函数中。
通过对三角函数的分析和观察，我们可以找到一些公式和方法来求解函数的最大值和最小值。
正弦函数（Sine Function）正弦函数是一种常见的三角函数，通常用符号sin表示。
正弦函数的最大值和最小值是固定的，分别为1和-1。
具体而言，正弦函数的最大值出现在角度为90度或π/2弧度时，即sin(90°) = sin(π/2) = 1；最小值出现在角度为270度或3π/2弧度时，即sin(270°) = sin(3π/2) = -1。
余弦函数（Cosine Function）余弦函数是另一种常见的三角函数，通常用符号cos表示。
余弦函数的最大值和最小值也是固定的，同样为1和-1。
最大值出现在角度为0度或0弧度时，即cos(0°) = cos(0) = 1；最小值出现在角度为180度或π弧度时，即cos(180°) =cos(π) = -1。
正切函数（Tangent Function）正切函数是三角函数中的另一种重要函数，用符号tan表示。
正切函数在某些角度下可能没有最大值或最小值，但在一些特定情况下有最大值或最小值。
在正切函数的图像中，我们可以观察到周期性的最大值和最小值。
具体计算最大值和最小值的方法需要通过导数等方法来求解。
总结通过对正弦函数、余弦函数和正切函数的分析，我们可以得出它们的最大值和最小值的规律。
这些规律不仅有助于我们求解函数的最值，也有助于更深入地理解三角函数的特性和性质。
在实际问题中，我们可以利用这些公式和规律来简化计算，提高求解效率。
通过以上分析，我们可以看到三角函数中求最大值和最小值的公式都具有一定的规律和特点，掌握这些规律将有助于我们更好地理解和利用三角函数。
希望这些内容对您有所帮助！希望本文对你有所启发，谢谢阅读！。
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直线PM: y-2=k(x-2)的斜率k，故只需求此
直线的斜率k的最值即可.
由| 2 2k | 1得k 4 7
1 k 2
3
y max
4 3
7
y min
4 3
7
y 例3、求函数
2 cos x 2 sin x
的最值.
解法三 设 tan x t ,
2
y
2
1 1
t t
2 2
2
1
2t t
y max
a5a 3 82
1 a
20 13
2(舍去）
2 若0 a 1,即0 a 2,则当cos x a 时，
2
2
y max
a2 4
5a 1 82
1 a
3 或a 4(舍去） 2
3 若 a 0,即a 0,则当cos x 0时， 2
y max
5a 1 82
1 a
12 5
0(舍去）
如y a cos x b (例3) c sin x d
Ⅱ >转化为二次函数在闭区间上的最值
(1) y at 2 bt c(a 0)型 (t sin x ,或t sin x )
(题3，例4)
( 2) y A(sin x cosx ) B sin x cosx型
(例1)
Ⅲ> 用均值不等式求最值 (例1)
(A)1 (B)-1 (C) 2k+1 (D)-2k+1
y 题4 函数
x sin x在
2
,
最大值是(D)．
பைடு நூலகம்
(A ) 1(B ) 3 1(C ) 3 2 (D )
2
2
22
二 典例剖析
例1 (05广西)若 0 x , 求函数 2
y (1 1 )(1 1 ) sin x cos x
的最小值.
上的最大值为1？
5a 8
3 2
在闭区间0,
2
若存在,求出对应a的值,若不存在,试说明理由
解: y sin 2 x a cos x 5 a 3
82
(cos x 1 )2 a2 5 a 1
2
48 2
当0 x 时，0 cos x 1.
2
1 若 a 1,即a 2,则当cos x 1时， 2
求三角函数的最值
• 威远龙会中学 孙建萍
一 点击双基
题1
( 04全国Ⅳ)函数
y
sin x
1 cos x 2
的最大值为
5 .2
y 题2 ( 03全国) 函数
2sin x (sin x cos x ) 的最大值为1__2.
题3 ( 05浙江) 已知k<-4则函数
y cos 2x k (cos x 1) 的最小值为(A).
1 y 2
故| 2 2y | 1 1 y 2
解得 4 7 y 4 7 .
3
3
y max
4 3
7 y min
4 3
7
y 例3、求函数
2 cos x 的最值.
2 sin x
解法二：令x
1
cos
x
,
y
1
sin
x
,有x
2 1
y
2 1
1
它表示单位圆，则所给函数y的值就是经过
定点P(2,2)以及该圆上的动点M(cosx,sinx)
综上，存在a 3 符合题意. 2
三 方法规律
Ⅰ>转化为三角函数的有界性
(1)可化为y Af (x )型，f为"sin"，或"cos"
如y a sin x b cos x (题1） y a sin 2 x b sin x cos x c cos2 x (题2，例2)
(2)可化为 sin( x ) f (y )型
2
2t
3t 2 1 2 2t 2
即（3 2 y )t 2 2 yt (1 2t ) 0
(1) y 3 ,t 2
2
3
(2) y 3 ,由t R 知， 2
0， 3 y 2 8 y 3 0
以下同解法一.
例4 (05武汉)是否存在实数a ,使得函数
y sin 2 x a cos x
.
例2(05东北四市)设.
x
4
,
3
, f
(x ) 1 (sin 2 x 4
cos2 x
3) 2
3 sin 2 (x 2
) 4
求 y=f(x)的最大值和最小值.
y 例3、求函数
2 cos x 2 sin x
的最值.
解法一： 去分母，原式化为
sinx-ycosx=2-2y
即sin( x ) 2 2y
Ⅳ> 用其他方法求最值 (1)利用单调性(题4) (2) 判别式(例3) (3) 图象法(例3)
四 跟踪训练
请同学们做课后练习! 谢谢！