高中三角函数最值问题的一些求法
三角函数最值问题常见的求解策略
三角函数最值问题常见的求解策略三角函数最值问题是三角函数学习中的难点之一．求三角函数的最值，往往要涉及二次函数、不等式等其他重要知识，是历年高考考查的热点之一．本文试对常见三角函数最值问题作归纳、梳理．１．ｙ＝ａｓｉｎｘ＋ｂ型应对策略：令ｔ＝ｓｉｎｘ，化为求一次函数ｙ＝ａｔ＋ｂ在闭区间上的最值．例１ 求函数ｙ＝－３ｓｉｎｘ＋２的最值．解 令ｔ＝ｓｉｎｘ，则原式化为ｙ＝－３ｔ＋２，ｔ∈［－１，１］，得－１≤ｙ≤５．故ｙｍｉｎ＝－１，ｙｍａｘ＝５．２．ｙ＝ａｓｉｎｘ＋ｂｃｏｓｘ＋ｃ型应对策略：引进辅助角φｔａｎφ＝ｂ（）ａ，化为ｙ＝ａ２＋ｂ槡２ｓｉｎ（ｘ＋φ）＋ｃ，再利用正弦、余弦函数的有界性．例２ 已知ｘ∈－π２，π［］２，求函数ｆ（ｘ）＝５ｓｉｎｘ＋槡５３ｃｏｓｘ的最值．解 ｆ（ｘ）＝５ｓｉｎｘ＋槡５３ｃｏｓｘ＝１０ｓｉｎｘ＋π（）３，令ｔ＝ｘ＋π３，则ｙ＝１０ｓｉｎｔ，ｔ∈－π６，５π［］６．故当ｔ＝－π６时，ｓｉｎｔ有最小值－１２，ｆ（ｘ）ｍｉｎ＝－５；当ｔ＝π２时，ｓｉｎｔ有最大值１，ｆ（ｘ）ｍａｘ＝１０．３．ｙ＝ａｓｉｎ２ｘ＋ｂｓｉｎｘ＋ｃ型应对策略：令ｔ＝ｓｉｎｘ，化为求二次函数ｙ＝ａｔ２＋ｂｔ＋ｃ在闭区间上的最值．例３ 求ｙ＝２ｓｉｎ２ｘ＋ｓｉｎｘ＋３－π２≤ｘ≤π（）６的最值．解 令ｔ＝ｓｉｎｘ，则由－π２≤ｘ≤π６，得ｔ［∈－１，］１２．于是ｙ＝２ｔ２＋ｔ＋３＝２ｔ＋（）１４２＋２３８．当ｔ＝－１４时，ｙｍｉｎ＝２３８；当ｔ＝－１或１２时，ｙｍａｘ＝４．４．ｙ＝ａｓｉｎ２ｘ＋ｂｓｉｎｘｃｏｓｘ＋ｃｏｓ２ｘ型应对策略：降次，整理化为类型２，求ｙ＝Ａｓｉｎ２ｘ＋Ｂｃｏｓ２ｘ＋ｃ的最大值、最小值．例４ 函数ｆ（ｘ）＝６ｓｉｎｘｃｏｓｘ＋８ｃｏｓ２ｘ，求ｆ（ｘ）的周期与最大值．解 ｆ（ｘ）＝３ｓｉｎ２ｘ＋４ｃｏｓ２ｘ＋４＝５ｓｉｎ（２ｘ＋φ）＋４．故周期Ｔ＝π，ｆ（ｘ）最大值为９．５．ｙ＝ａｓｉｎｘｃｏｓｘ＋ｂ（ｓｉｎｘ±ｃｏｓｘ）＋ｃ型应对策略：令ｔ＝ｓｉｎｘ±ｃｏｓｘ，化为求二次函数ｙ＝±ａ２（ｔ２－１）＋ｂｔ＋ｃ在ｔ∈［－槡２，槡２］上的最值．例５ 求函数ｙ＝（１＋ｓｉｎｘ）（１＋ｃｏｓｘ）的最值．解 ｙ＝１＋ｓｉｎｘｃｏｓｘ＋（ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ），令ｔ＝ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ，则ｙ＝１＋ｔ＋ｔ２－１２＝１２（ｔ＋１）２，ｔ∈［－槡２，槡２］．当ｔ＝槡２时，ｙｍａｘ＝３＋槡２２２；当ｔ＝－１时，ｙｍｉｎ＝０．６．ｙ＝ａｓｉｎｘ＋ｂｃｓｉｎｘ＋ｄ型应对策略：反解出ｓｉｎｘ，利用正弦函数的有界性或用分析法来求解．例６ 求函数ｙ＝ｓｉｎｘ－３ｓｉｎｘ＋３的最值．解法一：解出ｓｉｎｘ＝３（ｙ＋１）１－ｙ，由｜ｓｉｎｘ｜≤１，得－２≤ｙ≤－１２．解法二：（“部分分式”分析法）原式＝１－６ｓｉｎｘ＋３，再由｜ｓｉｎｘ｜≤１，解得－２≤ｙ≤－１２．故ｙｍｉｎ＝－２，ｙｍａｘ＝－１２．７．ｙ＝ａｓｉｎｘ＋ｂｃｃｏｓｘ＋ｄ型 十种特殊条件下的 三角恒等变换□韩玉宝 三角变换的关键在于发现题目中条件与结论之间在角、函数名称、次数这三方面的差异及联系，然后通过角变换、函数名称变换、升降幂变换等方法找到已知式与所求式之间的联系．三角变换的方法很多，本文将课本中出现的特殊条件下的一些变换方法归纳如下：一、条件或所求中出现“ｓｉｎα＋ｃｏｓα”，将其平方．例１ 设α∈（０，π），ｓｉｎα＋ｃｏｓα＝７１３，求ｔａｎα的值．解 将ｓｉｎα＋ｃｏｓα＝７１３两边平方，得ｓｉｎαｃｏｓα＝－６０１６９，两式联立解得ｓｉｎα＝１２１３，ｃｏｓα＝－５１３，从而ｔａｎα＝－１２５．二、已知ｔａｎα，求ａｓｉｎ２α＋ｂｓｉｎαｃｏｓα＋ｃｃｏｓ２α的值，先将ａｓｉｎ２α＋ｂｓｉｎαｃｏｓα＋ｃｃｏｓ２α除以（ｓｉｎ２α＋ｃｏｓ２α）（即１），然后分子、分母同除以ｃｏｓ２α．例２ 已知ｔａｎα＝２，求ｓｉｎ２α＋３ｓｉｎαｃｏｓα＋４的值．解 ｓｉｎ２α＋３ｓｉｎαｃｏｓα＋４＝ｓｉｎ２α＋３ｓｉｎαｃｏｓα＋４ｓｉｎ２α＋ｃｏｓ２α＝ｔａｎ２α＋３ｔａｎα＋４ｔａｎ２α＋１＝１４５．三、化简１＋ｓｉｎ槡α，１－ｓｉｎ槡α，１＋ｃｏｓ槡α，１－ｃｏｓ槡α，引用倍角公式或将１用平方代换．应对策略：化归为ｙ′＝Ａｓｉｎｘ＋Ｂｃｏｓｘ型求解或用数形结合法（常用到直线斜率的几何意义）．例７ 求函数ｙ＝ｓｉｎｘｃｏｓｘ＋２的最大值及最小值．解法一：将原式ｙｃｏｓｘ－ｓｉｎｘ＋２ｙ＝０化为ｙ２＋槡１ｓｉｎ（ｘ＋φ）＝－２ｙ，即ｓｉｎ（ｘ＋φ）＝－２ｙｙ２＋槡１，由｜ｓｉｎ（ｘ＋φ）｜≤１，得－２ｙｙ２＋槡１≤１，解得－槡３３≤ｙ≤槡３３．故ｙｍｉｎ＝－槡３３，ｙｍａｘ＝槡３３．解法二：函数ｙ＝ｓｉｎｘｃｏｓｘ＋２的几何意义为点Ｐ（－２，０）与点Ｑ（ｃｏｓｘ，ｓｉｎｘ）连线的斜率ｋ，而点Ｑ的轨迹为单位圆，如右图，可知－槡３３≤ｋ≤槡３３．故ｙｍｉｎ＝－槡３３，ｙｍａｘ＝槡３３．８．ｙ＝ａｓｉｎｘ＋ｂｓｉｎｘ型应对策略：转化为利用函数ｙ＝ａｘ＋ｂｘ的单调性求最值．例８ 求函数ｙ＝ｓｉｎｘ＋４ｓｉｎｘｘ∈０，π（］（）２的最小值．解 令ｔ＝ｓｉｎｘ，ｘ∈０，π（］２，则ｙ＝ｔ＋４ｔ，ｔ∈（０，１］．利用函数ｙ＝ａｘ＋ｂｘ的单调性得，函数ｙ＝ｔ＋４ｔ在ｔ∈（０，１］上为单调递减函数．故当ｔ＝１时，ｙｍｉｎ＝５．巩固练习１．若函数ｙ＝２ｓｉｎｘ＋槡ａｃｏｓｘ＋４的最小值为１，求ａ的值．２．求函数ｙ＝－２ｃｏｓ２ｘ＋２ｓｉｎｘ＋３的值域．３．求函数ｙ＝（ｓｉｎｘ＋槡３）（ｃｏｓｘ＋槡３）的最值．（参考答案见第４１页）由π４－α＝π１２－（）α＋π６，可得ｃｏｓα－π（）４＝－槡３＋４３１０．故所求值为：槡－３３＋２０３５０．《常见三角函数最值问题的求解策略》１．ａ＝５． ２．ｙ∈１２，［］５． ３．ｙｍａｘ＝７２槡＋６，ｙｍｉｎ＝７２槡－６．《十种特殊条件下的三角恒等变换》１．略． ２．１１６．《“整体思维”巧解三角恒等变换题》１．５９７２． ２．±７１２． ３．５６６５． ４．１４． ５．１．《例谈构造法在三角问题中的妙用》１．提示：解析式看作是动点Ｐ（ｃｏｓｘ，ｓｉｎｘ）与定点Ｑ（３，０）连线的斜率，为此构造直线斜率这一几何模型处理．ｙ＝ｓｉｎｘｃｏｓｘ－３最小值为－槡２４，最大值为槡２４．２．提示：已知条件可视为关于ｓｉｎα２的一元二次方程模型去证明．３．提示：构造几何模型将条件化为（１－ｃｏｓβ）ｃｏｓα－ｓｉｎβｓｉｎα＋ｃｏｓβ－３２＝０．因为点（ｃｏｓα，ｓｉｎα）在直线（１－ｃｏｓβ）ｘ－ｓｉｎβｙ＋ｃｏｓβ－３２＝０上，同时也在圆ｘ２＋ｙ２＝１上，所以直线和圆有公共点，故ｄ≤ｒ，即ｃｏｓβ－３２（１－ｃｏｓβ）２＋ｓｉｎ２槡β≤１，整理得ｃｏｓβ－（）１２２≤０，即ｃｏｓβ＝１２．又β为锐角，所以β＝π３．同理α＝π３．《向量问题的几何解法》１．ａ２１＋ａ２２＝ｂ２１＋ｂ２２． ２．１２０°． ３．槡６．《一道课本向量题的探究与应用》１．设→ＡＧ＝→ ｍＧＣ，→ ＦＧ＝→ ｎＧＥ，则→ ＢＧ＝→ ＢＡ＋→ｍＢＣ１＋ｍ．又→ＢＧ＝→ ＢＦ＋→ ｎＢＥ１＋ｎ＝→ ＢＡ＋→ ＡＦ＋→ｎＢＥ１＋ｎ＝→ＢＡ＋１３→ ＡＤ＋ｎ２→ ＢＣ１＋ｎ＝→ ＢＡ＋１３＋ｎ（）２→ＢＣ１＋ｎ．故１１＋ｍ＝１１＋ｎ，ｍ１＋ｍ＝１３＋ｎ２１＋烅烄烆ｎ ｍ＝ｎ＝２３．从而→ＡＧ＝２３→ ＧＣ，→ ＡＧ＝２５→ ＡＣ．单元测试参考答案１．１ ２．５６６５ ３．③ ４．槡４５９ ５．１１６ ６．［槡－３，槡３］ ７．２ ８．π２ ９．槡２－１２ １０．ｄ１ｄ２１１．因为ｓｉｎＣ＝ｓｉｎ（Ａ＋Ｂ）＝ｓｉｎＡｃｏｓＢ＋ｃｏｓＡｓｉｎＢ，所以ｓｉｎＡｃｏｓＢ＝ｃｏｓＡｓｉｎＢ，即ｓｉｎ（Ａ－Ｂ）＝０．所以三角形是等腰三角形．１２．原式＝２ｓｉｎ５０°＋２ｓｉｎ８０°ｃｏｓ１０°１２ｃｏｓ１０°＋槡３２（）ｓｉｎ１０°槡２ｃｏｓ５°＝２ｓｉｎ５０°＋２ｓｉｎ８０°ｃｏｓ１０°ｃｏｓ（６０°－１０°）槡２ｃｏｓ５°＝２槡２２ｓｉｎ５０°＋槡２２（）ｃｏｓ５０°ｃｏｓ５°＝２ｃｏｓ（５０°－４５°）ｃｏｓ５°＝２．１３．因为ｔａｎα＋β２＝槡６２，所以ｃｏｓ（α＋β）＝１－ｔａｎ２α＋β２１＋ｔａｎ２α＋β２＝－１５，即ｃｏｓαｃｏｓβ－ｓｉｎαｓｉｎβ＝－１５．①又因为ｔａｎαｔａｎβ＝１３７，所以ｓｉｎαｓｉｎβｃｏｓαｃｏｓβ＝１３７，即１３ｃｏｓαｃｏｓβ－７ｓｉｎαｓｉｎβ＝０②联立①、②，解得ｃｏｓαｃｏｓβ＝７３０，ｓｉｎαｓｉｎβ＝１３３０．。
三角函数最值的求法
三角函数最值的求法摘要： 本文主要讨论三角函数的最值的求法，总结归纳出六种常用的方法：上下界法、二次函数法、几何法、不等式法、判别法和用导数法。
关键词：三角函数；最值；求法。
三角函数是当今高考必考的内容之一，而三角函数的最值是函数最值的重要内容，同时也是三角函数的重要分支，故重视和加强这部分内容对于学习三角函数的恒等变换，求解最值，掌握三角函数最值与二次函数、二次方程及不等式性质的关系的应用有着重要的意义。
下面就求三角函数最值问题谈谈我的若干解决方法。
一．上下界法。
根据1sin ≤x 或1cos ≤x 把给定的三角函数或通过适当的恒等变形化成k x A ++)sin(ϕω或k x A ++)cos(ϕω（其中、k 、A 、ϕω均为常数）的形式，然后求出最大值和最小值的方法称为上下界法。
例1：求函数x x y 2sin cos 2-=的最值。
分析：先把原函数变形，然后根据1cos ≤x 直接求出最值。
解：x x y 2sin 22cos 1-+=x x 2sin 2cos 2121-+= 21)2cos(25++=ϕx 帮所求2125max +=y ，2125min +-=y例2：已知函数.,2cos 32sin R x x x y ∈+=求y 的最大值、最小值及相应的x 的集合；解：sin 2sin()2223x x x y π==+ ∴当2232x k πππ+=+，即4,3x k k Z ππ=+∈时，y 取得最大值2，此时x 的取值范围为 |4,3x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭； 当2232πππ-=+k x ，即Z k k x ∈-=,354ππ时，y 取得最小值2－，此时x 的取值范围为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-=Z k k x x ,354|ππ。
点评：（1）这种基本题型非常重要，在高考考题中出现的频率较高；（2）当自变量x 的取值范围有限制时，我们在转化时往往要注意变量x 的取值范围，否则容易造成结果错误。
高一数学三角函数值域的求法
小结
1.本节课涉及到求函数值域(最值)的方法有： ①分离系数法
②反表示法
③判别式法 ④单调性法 ⑤数形结合法
小结
2.树立转化的数学思想锻炼发散思维能力.
排除法
1 y 2 sin x 1
3 sin x 1 y sin x 2
sin x y 2 cos x
y sin x sin x 3
课外练习1、2、3、4、 《数学之友》 P 70
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知道，爷哪里是查啥啊功课，这分明是要去安抚李姐姐。不过两各大麻烦都离开咯霞光苑，她也算是能清静清静，于是不咸不淡地赶快开口 道：“有姐姐陪着，妾身就不送爷咯。”第壹卷 第323章 后账壹回到烟雨园，淑清壹头倒在他の怀中：“爷，这就是您给妾身主持の公道 吗？就听吟雪那奴才の壹面之辞，妾身连开口の机会都没有，这让妾身の冤屈往哪儿伸啊！妾身就是再不讨爷の喜欢，但好歹也是各主子吧， 反倒被各奴才弄得没脸没面，妾身以后还有啥啊脸面继续在府里呆下去！”“你还没脸没面？爷连福晋都没理会，亲自把你送咯回来，是福 晋の脸面重要，还是壹各奴才の脸面重要？你真是越活越抽抽咯，瞧你比の那人，你不跟福晋比脸面，非跟各奴才比脸面。”淑清本来愤恨 不已地要跟他讨说法，谁知道才壹开口，竟被他壹句话就堵咯壹各哑口无言，半天找不出壹句话。可是她心中の那口气根本咽不下，怎么就 这么不明不白地让那各奴才逃咯处罚？“爷，您怎么会向着怡然居の人说话咯？您这是嫌弃妾身人老珠黄，比不得人家粉嫩水灵？”他被淑 清这番话气得恨不能骂她两句！先是跟奴才争脸面，现在又跟那主子争风吃醋，简直就是蠢到家咯！他要是对水清真有那心思，还用等得到 现在？他这么假门假事地搞咯这各四堂会审，还不都是为咯安抚她李淑清才走の这各过场。现在淑清不但不领情，反而责怪他喜新厌旧，淑 清委屈，他更委屈！而且他最痛恨の就是后院诸人之间の争宠，于是留下“好自为之”四各字后，他直接就回咯书院。没有排字琦の老练圆 滑，没有水清の聪明智慧，直到他走咯以后，她都没有明白爷为啥啊走咯。从来没有为争宠费过心思の淑清，首各回合就是不战自败。壹回 到怡然居，吟雪急急地对水清说道：“仆役！您怎么不告诉爷，您の手，是因为扶锦茵格格才受の伤啊！”“吟雪，你白跟咯我两年多の时 间！今天这阵势，明摆着爷就是为咯给李侧福晋壹各说法，我若是说这手是因为扶大格格受の伤，谁能证明？李侧福晋还不更得以为我这是 存心跟她过意不去，故意伤咯手去诬告她。”“仆役，那，那您就白白地受咯伤，还落咯冤屈？”“冤屈不冤屈，其实，爷根本就没有这各 必要弄啥啊四堂会审，到时候问问锦茵格格不就全知道咯嘛。所以我才说，刚刚这各会审不过是走走过场而已。”听水清说完，吟雪却是扑 通壹下子跪在咯她の面前，让水清惊诧不已：“吟雪，你这是怎么咯？有啥啊话赶快起来再说也不迟。”“仆役，这全是奴婢の错！假如奴 婢不是去扶锦茵格格，也不会被李侧福晋寻咯仆役您の短处，还让您の手也伤咯，奴婢真是该死……”“好咯，好咯，瞧瞧你说の这都是啥 啊话！你不去扶，我不去扶，锦茵格格真の摔倒咯怎么办？那罪过不是更大咯？我の手伤咯，那也是我不小心弄の，跟你有啥啊关系，真是 の，你赶快好好地当差去，别净跟我这儿说这些没用の！”水清の话音刚落，只听月影进屋来禀报：“仆役，张太医来咯。”第壹卷 第 324章 锦茵今天是锦茵格格回门の日子。府里早早就准备妥当，按照规矩，郡主与额附双双向王爷和排字琦敬上谢恩茶。淑清作为格格の亲 额娘，也壹并受礼。礼毕之后，王爷吩咐秦顺领额附到他の书院等候，又让惜月和韵音几各人先行退下，单独将格格留咯下来。。待众人退 下后，屋子里只剩王爷、排字琦、淑清、水清四各主子。然后王爷又将除吟雪以外の所有奴才全都摒退到门外，连红莲都没能留下，更不要 说菊香咯。面对这各安排，锦茵莫名其妙，望向她阿玛の目光中充满咯疑惑不解の神情。对此，他也没有转弯抹角，而是开门见山：“茵茵， 今天是你回门の日子，见到你在婆家壹切都好，阿玛和你额娘都放心咯。”“阿玛，让您担心，女儿深感惭愧。女儿不能侍奉父母，还要父 母大人如此牵挂，实为不孝。女儿真恨不能够永远留在这府里，日日孝敬您们……”“你说の这叫啥啊傻话！男大当婚、女大当嫁，天经地 义の事情，难不成你壹辈子不嫁，留在府里侍奉我们？那不是害咯你壹辈子吗？趁现在额附不在，阿玛也要嘱咐你几句，你在府里是郡主， 嫁到婆家就是媳妇，好好孝敬公婆、姑嫂和睦才是正道儿。咱们这府里就你这么壹各格格，没人跟你争，也没人跟你抢，额娘和姨娘们全都 宠着你。阿玛确实是担心你啊，到咯婆家可就真の不壹样咯。那么多の太爷太婆、姑舅姨侄，全都要好生处着。不要总以为自己是郡主，想 怎么着就怎么着，丢咯规矩，就是丢咯脸面，就是丢咯咱们府里の脸面。”“女儿谨记阿玛の教诲。”“记得就好，当格格和当媳妇还是有 很大不壹样の，你是壹各好格格，阿玛希望你也能做壹各好媳妇，不要等以后哭哭啼啼の时候才想起今天阿玛说の这番话。好咯，这件事情 就先不说咯，阿玛问你壹件事情。成婚那天，听说差点儿摔咯各跟头，连鞋子都坏咯，那是怎么回事儿？”“回阿玛，是女儿走路不小心， 也不知怎么就踩上咯啥啊东西，可能是小石子吧。”“茵茵！你怎么能肯定不是别人推の你？”淑清壹听锦茵说是自己走路不小心，气得心 中直骂这各丫头是各大傻瓜。好好の平地路，怎么就能摔咯跟头？小石子？哪各奴才们当差这么不仔细，连石子都没有清理干净？王爷听咯 锦茵の回答，心里总算是踏实咯，可淑清仍是不依不饶の样子，竟然明目张胆地暗示格格有人推她，他不想在这件事情上纠缠得没完没
求三角函数最值的常用方法
所 兰 一＋ 专～ ３ 以一 ２４ （２ ＝ ） ． ＋
又因为 产 ２ — ２ ２ ， ［ √ √ ］且函数在［ — ］ 上为减 函数， 因此： ｔ 当 一 ， ．一 ７ （ ∈ｚ 时， 即 Ｔ ｒ ｇ ＋ 志 ）
＝
现， 有广泛的实际应用 ， 一直是高考命题的热点． 下面
的
吾ｉ＋ ｃ 一 ｓ（ 詈 ｓ 弩 。 ｉｚ ） ｎ ｓ ｎ＋ ，
舅 才是 少爷． ”
港台电视剧里。 大户人家里的小孩都被佣人称为少爷． 儿子看多了， 便对我说： “ 妈妈， 少爷， 后也叫我少爷！ 我是 以 ” 婆婆听了忙插话
说， 你可不能叫少爷． 儿子奇怪地问为 么 什 ？老太太说： “ 老百姓家的弦子就叫名字， 只有老￣ ；ｑａ，少爷． 儿子恍然大悟： ｃ－＇＇ －－ｔ ” “ 原来舅
三角函数的最值 问题包括 了对三角函数的概念 、
令 ｓ ｚ ０ ｚ １ ≤ ， ｓ ｚｏ ｚ ｔ ｉ ｉ ＋ｏ — （ ｌ一 ）则 ｉ ｓ 一— ｎ ｓ ￡√ ｎ ０ ￣ －
，
图像、 性质及诱导公式 、 同角三角函数间基本关系式、 ．
两角和差以及倍角公式的考查 ． 是函数思想的具体体
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专题突破
所以当ｚ ｋ ＋－ ， 一， ￣ ， ｚ 志 一 时 ， 一２ ７ 一 ｃ ５ － ／ ， 当 ＝２ ７ ｇ－ ｊ － ｒ
Ｙ ＝ 一 （ ｚ） 志∈ ．
３ 利 用换 元法
其牦 是含有或经过化简整理后出现 ｓ ＋ｏｓ ｉｚ ０ｚ ｎ 与 ｓ ｓ ｉｚＣ ｎ Ｏ ｚ的形式， 处理方式是应用 （ｎ ｓ ＋ＣＳ ＝ ｉ Ｏ ）＝ ＝ １ ２ｓ Ｓ 进行转化． ｔ ｓ ±ｃｓ ， ＋ ｎ Ｃ ｉｚ ｌ ｚ Ｘ 设 － ｉ ｚ ｏ 化为二 ｎ
三角函数与解三角形中的最值(范围)问题
sin
2
2
（sin＋cos）
sin
＝
π
4
）
sin
2
1
（1＋
），
2
tan
π
π
因为 B ∈［ ， ），所以tan
6
4
因为函数 y ＝
sin（＋
B ∈［
3
，1），
3
2
1
3
（1＋ ）在［ ，1）上单调递减，
2
3
所以 的取值范围为（
2，
6＋ 2
］.
2
＝
高中总复习·数学
2. （2024·湖北三校联考）记△ ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为
π
≤ ）的图象离原点最近的对称轴为 x ＝ x 0，若满足｜ x 0｜≤
2
π
，则称 f （ x ）为“近轴函数”.若函数 y ＝2
6
“近轴函数”，则φ的取值范围是（
）
sin （2 x －φ）是
高中总复习·数学
解析： y ＝2 sin
π
（2 x －φ），令2 x －φ＝ ＋ k π， k ∈Z，∴图象
6
6
π
［0， ］上的值域为[－1，2].故选D.
2
高中总复习·数学
2.
4
3
sin+5
函数 y ＝
的最大值是
2−sin
6 ，最小值是
解析：法一
2−5
sin x ＝
，而－1≤
+1
原函数可化为
.
sin x ≤1，所以
2−5
4
－1≤
≤1，所以 ≤ y ≤6，因此原函数的最大值是6，最小值
三角函数最值问题的常见类型及解法
＝
６ 含 有 ｓ ｘ与 ＣＳ ｉ ｎ ＯＸ的 和 与 积 型 的 函数 式
（ 元思 想 ） 换
其 特 点是 含 有 或 经过 化 简 整 理 后 出 现 ｓ ｘ４ ｉ － ｎ
ＣＳ ＯＸ与 ｓ ｘ ｏｘ的式 子 ， 理 方 式 是 应 用 （ ｉ ｉ ｃｓ ｎ 处 ｓ ｘ± ｎ
的一次式． 几乎所有的分式型都可以通过分子 ， 分母 的化简 ， 最后 整 理 成 这 个 形 式 ， 的处 理 方 式 有 多 它
种．
侈 求 Ｙ＝ｓ ＋２ｉ ｃｓ ４ ２ ｉ ｎ ｓ ｘｏｘ＋３ｏ 的最 ／ ｎ ｃｓ Ｊ 、
值， 并求 Ｙ 取最小值时的 的集合．
解 ： ｓ ＋ ｓ ｘ ｏｘ＋３ ｏ Ｙ ｉ ｎ ２ ｉ ｃｓ ｎ ｃｓ
＝
＝
’ ａ・ ｙ
．
，
√ １ ＋ｙ‘ ２＋ ｉ ２ ＋ ｎ
Ｉ ｎ ＋ Ｉ ， （ ） ≤１ ｓ ｉ
・
５ ・ ９
《 数学之友》
２０ ０ ８年第 １ ７期
・
．
．
三 ≤１解 出Ｙ的范围即可． ，
√ ｌ＋Ｙ‘
解法二： ｎ ｓ Ｂ ｓ Ａｉ ￣ ｉ ｎ＜
（ ） 一ａ＜ 一１时 ， ａ＞１时 ， ｔ 一１时 ， １若 即 在 ＝ 取 最大值 Ｍ ＝ａ ． （ ） 一１ 一 ≤１ 即 一１ ≤１ ， ｔ 一 ２若 ≤ ａ ， ≤ａ 时 在 ＝ ａ
所 ）ｓ＋ ｓ２ 子， 以 ＝ｘ ｘ ） ，ｉ 。＝ｉ ｎ ｓ ｎ
因 ０ 詈所 子 ［， ， 为 ≤≤ ，以 ＋ ∈子 】
解．
可 ， 中 ｔ ＝ ． 后 利 用 三 角 函数 的 有 界 性 求 其 ａ ｎ 然
高三数学三角函数的最值问题
高三备课组
1一： 基础知识
1 、 配方法求最值
主要是利用三角函数理论及三角函数的有界性，转化为 二次函数在闭区间上的最值问题， 如求函数 y sin2 x sin x 1 的最值
可转化为求函数 y t2 t 1,t 1,1
上的最值问题。
2、化为一个角的三角函数，再利用有界性求最值：
使得函数 y sin 2 x a cosx 5 a 3
练习:求函数 y sin2 x 3 sin x cos x 1
的最值，并求取得最值时的值。
思维点拨：
三角函数的定义域对三角函数有界性 的影响。
2、转化为闭区间上二次函数的最值问题。
例2 P(66)
求函数y cot x sin x cot x sin 2x的最值. 2
练习: 是否存在实数a，
注意变换前后函数的等价参数函数的最值，解题 要注意参数的作用和影响。
二、题型剖析 1、化为一个角的三角函数，再利用有界性求最值。
P(66) 函数Y=acosx+b (a.b为常数),若 7 y 1
,求bsinx +acosx 的最大值.
asin x bcox a2 b2 sin(x )
如函数 y
1
的最大值是
2 sin x cox
3、数形结合
常用到直线斜率的几何意义， 例如求函数
y sin x cox 2
的最大值和最小值。
； https:///
；
我们就成了虚伪的坏蛋。 你骗了别人的钱，可以退赔，你骗了别人的爱，就成了无赦的罪人。假如别人不曾识破，那就更惨。除非你已良心丧尽，否则便要承诺爱的假象，那心灵深处的绞杀，永无宁日。 爱怕沉默。太多的人，以为爱
三角函数最值问题(典型题型)
三角函数最值问题求解三角函数最值问题不仅需要用到三角函数的定义域、值域、单调性、图象以及三角函数的恒等变形，还经常涉及到函数、不等式、方程以及几何计算等众多知识．这类问题往往概念性较强，具有一定的综合性和灵活性，下面结合例子给出几种求最值的方法，供大家学习时参考。
1、利用三角函数的单调性求最值例1：求函数x x x x x f 44sin cos sin 2cos )(-⋅-= ⎢⎣⎡⎥⎦⎤∈2,0πx 的最值 解:x x x x x x x x f 2sin 2cos 2sin )sin )(cos sin (cos )(2222-=--+=)42cos(2π+=x 45424,20ππππ≤+≤∴≤≤x x ,由余弦函数的单调性及图像知： 当442ππ=+x ， 即0=x 时 ，)42cos(π+x 取最大值22； 当ππ=+42x ，即83π=x 时，)42cos(π+x 取最小值-1； 故2)(,1)(min max -==x f x f方法评析：本题虽然含有的三角函数的项的次数不尽相同，但最终能通过变形变为形如θθcos sin b a +的形式，再用辅助角公式)sin(cos sin 22ϕθθθ++=+b a b a 化为标准形式结合三角函数的单调性加以解决，这是一种最常见的求最值的方法。
2、利用三角函数的有界性或数形结合求最值例2：求1cos 2sin --=x x y 的最小值 解：(方法一)由1cos 2sin --=x x y 得：y x y x -=-2cos sin ，y x y -=-+∴2)sin(12ϕ 即212)sin(y yx +-=-ϕ，故11212≤+-≤-y y ，解之得43≥y ， 故y 的最小值为43 方法评析：通过变形，借助三角函数的有界性求函数最值是一种很常见的方法，一般在分式型且对自变量无特殊限制条件下使用。
(方法二)设),(),sin ,(cos 21M x x P ,则1cos 2sin --=x x y 表示单位圆上的动点P 与平面内定点M 连线的斜率，当斜率存在时，设过P 、M 两点的直线方程为)1(2-=-x k y ，由距离公式得1122=+-k k ，解之得43=k ，结合图形可知函数的最小值为43。
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高中三角函数最值问题的一些求法关于()f x ωϕ+型三角函数式的最值，可以由三角函数的性质直接求出，如sin(),11y x y y ωϕ=+==-最大最小，； cos(),11y x y y ωϕ=+==-最大最小，；tan y x =与cot y x =在定义域内无最值。
一、直接应用三角函数的定义及三角函数值的符号规律解题例1：求函数y ＝xx x x x x x x cot |cot ||tan |tan cos |cos ||sin |sin +++的最值 分析：解决本题时要注意三角函数值的符号规律，分四个象限讨论。
解： （1）当x 在第一象限时，有sin cos tan cot 4sin cos tan cot x x x xy x x x x =+++= （2）当x 在第二象限时，有sin cos tan cot 2sin cos tan cot x x x xy x x x x =+++=----（3）当x 在第三象限时，有sin cos tan cot 0sin cos tan cot x x x xy x x x x =+++=--（4）当x 在第四象限时，sin cos tan cot 2sin cos tan cot x x x xy x x x x=+++=----综上可得此函数的最大值为4，最小值为-2.二、直接应用三角函数的有界性（sin 1,cos 1x x ≤≤）解题例1：（2003北京春季高考试题）设M 和m 分别表示函数cos 13x -1y=的最大值和最小值，则M m+等于（ ）（A ）32（B ）32-（C ） 34-（D ）-2 解析：由于cos y x =的最大值与最小值分别为1,-1,所以,函数cos 13x -1y=的最大值与最小值分别为32-,34-,即M m +＝32-+（34-）=-2,选D. 例2：求3sin 1sin 2x y x +=+的最值（值域）分析：此式是关于sin x 的函数式，通过对式子变形使出现12sin 3yx y -=-的形式，再根据sin 1x ≤来求解。
解：3sin 1sin 2x y x +=+，即有sin 23sin 1sin 3sin 12y x y x y x x y +=+⇒-=-12(3)sin 12sin 3yy x y x y --=-⇒=-。
因为sin 1x ≤， 所以()()222121212111333y yy y y y -⎛⎫--≤⇒≤⇒≤ ⎪---⎝⎭即()()()()22212332802340y y y y y y -≤-⇒+-≤⇒+-≤即423y -≤≤，所以原函数的最大值是43，最小值是2-。
三、利用数形结合例：求cos 2sin 2x y x -=-的最大值与最小值x解析：此题除了利用三角函数的有界性求解外，还可根据函数式的特点，联想到斜率公式2121y y k x x -=-将原式中的y 看作是定点(,)P x y 与动点(sin ,cos )M x x 连线的斜率，而动点(sin ,cos )M x x 满足单位圆22sin cos 1x x +=，如上图所示。
所以问题可转化为求定点(2,2)P 到单位圆相切时取得的最值，由点到直线的距离得：miny =max y = 四、利用三角函数的单调性法例1：(1996全国高考试题)当x ππ-≤≤22，函数()sin f x x x =的最值(A)最大值是1，最小值是－1 (B)最大值是1，最小值是12-(C)最大值是2，最小值是－2 (D)最大值是2，最小值是－1()sin 2sin()3f x x x x π==+，因为x ππ-≤≤22，所以53x πππ-≤+≤66，当x π=-6时，函数()f x 有最小值 －1,最大值2，选择D例2：求sin sin sin x x y x（1+)(3+)=2+的最值及对应x 的集合分析：观察式子可知它并不能直接求出，须通过变形为1sin 2)sin 2x x =+-+y （，但也不符合用平均不等式求，考虑用单调性。
解答：sin sin 1sin 2)sin sin 2x x y x x x =+-+（1+)(3+)=（2+令sin 2x t +=，则1()y f t t t ==-，且13t ≤≤，设12121<3,()()t t f t f t ≤≤-=121211()()t t t t ---=1212121()()<0t t t t t t +-[]()(1,3)f t t ∴∈上单调递增，所以 当1t =时， min ()0f t =，此时sin 1x =-，,2,.2x x x k k z ππ⎧⎫∈=-∈⎨⎬⎩⎭当3t =时，8()max 3f t =，此时sin 1x =，,2,2x x x k k z ππ⎧⎫∈=+∈⎨⎬⎩⎭五、可化为一次函数y kx b =+，c x d ≤≤的条件极值的三角函数式极值求法例1：求函数sin y a b x =+ (0)b ≠的极值分析：由sin 1x ≤，上述问题实质上是求下述一次函数的条件极值问题，即求sin y a b x =+,11x -≤≤，其中sin x x =,这里约束条件是由正弦函数的值域暗中给出的。
解： 1）当0b >时, ,y a b y a b =+=-最大最小； 2）当0b <时, ,y a b y a b =-=+最大最小；说例2：求函数22sin sin cos cos y a x b x x c x =++的最值，其中0,0b c ≠≠。
分析：在这里不能将它变形为关于sin x 或cos x 为未知数的二次式，所于只有考虑将它降为一次，此时根据正弦、余弦的二倍角公式即21cos 2sin 2x x -=，21cos 2cos 2x x +=，1sin cos sin 22x x x =，然后代入化简得到sin(),11y x y y ωϕ=+==-最大最小，即可求出。
解：因为1cos 21cos 2sin 2222x b x y a x c -+=⋅+⋅+⋅[]1sin 2()cos 222a cb xc a x +=++-sin(2),2a c x ϕ+=++其中arctan c a b ϕ-= ，且sin(2)1x ϕ+≤，,22a c y +∴=+最大22a c y +=-最小在这里22sin sin cos cos y a x b x x c x =++sin 2cos 2y A x B x −−−−→=+降次、整理六、可化为二次函数2(0)y ax bx c a c x d =++≠≤≤且的条件极值的三角函数式的最值求法。
例1：求函数22sin 8sin 5y x x =+-最值分析：因为222sin 8sin 52(sin 2)13,sin 1,y x x x x =+-=+-≤故求y 的最值，实质上是求以sin x 为自变量的二次函数。
可以用配方或数形结合求解。
即当设sin x =X 时，变为22(2)13y X =+-在约束条件11X -≤≤的条件极值。
解：因为22(sin 2)13,sin 1,y x x =+-≤ 当2sin 23135,x y =⨯-=最大=1时, 当2sin 211311.x y =⨯-=-最小=-1时,。
七、换元法sin cos ,sin cos x x x x ±（同时出现换元型）例1:函数sin cos sin cos y x x x x =++的最大值是______.(1990年全国高考题)解析： 如果在同一个代数式中同时出现同角的正余弦函数的和与正余弦函数的积,常用换元法来解决问题, 这种方法可简化计算过程。
设sin cos x x +＝t ,则t ＝sin cos )4x x x π+=+,∴t ≤≤21sin cos 2t x x -=函数sin cos sin cos y x x x x =++可化为221(1)122t t y t -+=+=-，∴t =12+ 说明：题目中出现sin cos x x +与sin cos x x 时，常用变形是“设和求积巧代换”，即设sin cos x x +＝t 则sin cos x x ＝212t -。
要特别注意换元后t 的取值范围。
例2： 求函数sin sin cos cos y x x x x =+-的最值。
解：设sin cos )(4t x x x t π=-=-≤≤则 21sin cos 2t x x -=于是 21122y t t =-++。
故当t =sin()14x π-=-时， min 12y =-当1t =时，即sin()42x π-=时， max 1y =八、可化为分式函数的条件最值的三角函数的最值问题例1：求函数22tan tan 1tan tan 1x x y x x -+=++的最值。
分析：由22tan tan 1tan tan 1x x y x x -+=++，令tan X x =，则归为求221,1X X y X X -+=++（且x -∞<<+∞）的最值，故可用判别式法求之。
x解：由22tan tan 1tan tan 1x x y x x -+=++，22tan tan tan tan 1y x y x y x x ∴⋅+⋅+=-+2(1)tan (1)tan (1)0.y x y x y -+++-= 因为这个一元二次方程总有实数根， 2221)4(1)(3103)y y y y ∴∆=+--=--+（ (3)(31)0.y y =---≥11.33y ∴-≤≤ 13,.3y y ∴==最大最小例2：（sin cos a x cyb x d+=+型的函数）求函数2sin x y x =+的最值（值域）。
分析：此函数的解析式与上例不同，分式中的分子含有cos x 的一次式，而分母是含有sin x 的一次式，不能直接解出cos x 或sin x ，通常是化作sin()()x f x ωϕ+=求解。
解法一：由y =得sin 2,yx x y =-)2x y ϕ+=- （ϕ为辅助角）sin()x ϕ∴+=因为1sin()1x ϕ-≤+≤得11,∴-≤≤由此解得11y -≤≤∴函数的值域为[]1,1-说明：对此类问题可通过万能公式代换求解，还可通过几何方法（数形结合）求解，现介绍如下。
解法二：令 tan 2x t =，则22sin 1tx t =+，221cos 1tx t -=+)y t R ∴=∈即y t yt y 2(2+2+(2若y 2 即2y =-则t =-2满足条件若y≠20,即2y ≠，则由y y y ∆≥2=4-4(20 ，有2y y ≤≤≠-11( ∴函数的值域为[]1,1- 解法三：由y =，cos 0sin (2)x x -=--，设点 (sin ,cos )P x x ，(2,0)Q -，动点P 与Q 连线的斜率。