求锐角三角函数值的常用方法
锐角三角函数值的求解攻略
锐角三角函数值的求解攻略浙江嘉善县泗洲中学（314100）杨晓霞［摘要］锐角三角函数是历年中考数学的重点和热点内容，研究锐角三角函数对中考应用题的复习备考乃至中考数学命题模式的把握都有非常重要的指导意义.［关键词］三角函数；锐角；求解［中图分类号］G633.6［文献标识码］A［文章编号］1674-6058（2021）08-0020-02一、定义法［例1］如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=15，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点D，垂足为E，求sin∠CAD的值.分析：在图1中，∠CAD为直角三角形CAD的一个内角，根据锐角的正弦的定义，可知sin∠CAD=CDAD.因此，本题的解题关键是求出∠CAD的对边CD和斜边AD的长度.根据线段的垂直平分线的性质易知AD=BD.已知条件BC=3，可表示出CD长.在Rt△CAD中运用勾股定理求解.当然，这里最好引入一个未知数，以简便表示相关线段长度.解：因为AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点D，所以有AD=BD.不妨设AD=BD=x，又BC=3，则CD=x-3，而AC=15，在Rt△CAD中，根据勾股定理知AC2+CD2=AD2，即15+()x-32=x2，解得x=4.即AD=4，CD=1，所以sin∠CAD=CDAD=14.点评：本题主要考查锐角三角函数中正弦的定义，并检测学生对一元二次方程的求解的掌握程度，勾股定理在解题中起了关键作用.二、参数法［例2］如图2，在△ABC中，∠C=90°，sin A=25，求sin B的值.分析：根据已知条件中的sin A=25，可以结合锐角三角函数中正弦的定义，引入一个参数，设出角A的对边CB和斜边AB的长度，再运用勾股定理求得角A的邻边AC的长度后，问题得解.解：因为∠C=90°，sin A=25，根据此比值可设CB=2x，AB=5x，其中x>0，再由勾股定理得AC2=AB2-CB2=21x2，即AC=21x，结合锐角三角函数中正弦的定义可知，sin B=ACAB=21x5x=点评：熟练掌握锐角三角函数中正弦的定义是解决本题的关键所在，若已知条件中给出具体角的比值，通常的做法是引入一个大于0的参数，根据比值设出相应边的长度，然后根据勾股定理求解.三、构造法1.三角形中的构造［例3］如图3，在直角△BAD中，延长斜边BD到点C，使得DC=12BD，连接AC，若tan B=53，求tan∠CAD的值.分析：本题要求tan∠CAD，但由于∠CAD不在图中已知的直角三角形中，需要另外构造直角三角形，使得∠CAD置于其中.可以过点D作边AD的垂线，构造出直角三角形ADH来解决.解：过点D作边AD的垂线DH交AC于H，垂足为D，如图4所示，根据△BAD为直角三角形可知，∠BAD=∠ADH=90°，所以AB∥DH，易证得△CDH∽△CBA，进而得到DH AB=CD CB，因为已知条件中有DC=12BD，则DH AB=CD CB=13，又在Rt△BAD中，tan B=53，不妨设AD=5k，AB=3k，这样DH=k，故在Rt△ADH中，有tan∠CAD=DHAD=k5k=15.点评：如果在三角形中求相关角的三角函数值时，所求角并不在已知直角三角形中，这时我们就需要通过作垂线段来构造直角三角形，从而将所求角置于直角三角形中，再结合三角函数值的定义求解.本题还运用了相似三角形的相关性质.此外，本题亦可图1图2图3图4［基金项目］本文系全国教育科学“十三五”规划2017年度教育部重点课题“核心素养视角下的中学数学命题模式研究”（批准号：DHA17035）成果.数学·解题研究过点C 作直线AD 的垂线，通过构造出两个相似的直角三角形，利用相似比计算出相应的边长求解.2.圆中的构造［例4］如图5，在半径为3的圆O 中，直径AB 与弦CD 相交于点E ，连接AC ，BD ，若AC =2，求tan D 的值.分析：题中已知条件提及直径AB ，又要求角D 的正切值，自然联想到这里应该是要借助“直径AB 所对的圆周角为直角”这一性质来构造直角三角形，然后将角D 置于其中求解.解：连接BC ，如图6所示，因为AB 为直径，则∠ACB =90°，这样在直角三角形ACB 中，有tan A =BCAC，根据圆周角的性质，不难发现∠A =∠D ，故tan D =BCAC，又圆O 的半径为3，AC =2，那么BC =AB 2-AC 2=36-4=42，所以tan D =BCAC=422=22.点评：在圆中求锐角三角函数值时，利用直径来构造直角三角形是最常用的构造方法，一般还会利用“同弧（或等弧）所对的圆周角相等”这一性质，将目标角进行等量转化.3.网格中的构造［例5］如图7所示，已知△ABC 的三个顶点均在格点上，则cos A 的值为.图7图8分析：因为网格中无直角三角形，所以需要借助网格格点构造直角三角形，不妨通过点B 来构造，连接格点B 、D ，如图8所示，易知△ABD 为直角三角形.解：如图8所示，连接格点B 、D ，根据正方形的对角线的特征，易知△ABD 为直角三角形，可设小正方形的边长为1，则AB =10，AD =22，所以cos A =AD AB =2210=255.点评：在网格中求锐角三角函数值，一般都是借助网格中的格点去构造直角三角形，通常构造的方法也不是唯一的，本题也可以通过补网格，利用格点C 来构造直角三角形.四、等量转化法1.网格中的转化［例6］如图9，在边长相同的小正方形网格中，点A 、B 、C 、D 都在这些小正方形的顶点上，AB 、CD 相交于点P，则tan∠APD 的值为.图9图10分析：本题可将∠APD 转化为∠BPC ，然后通过小正方形的对角线构造直角三角形解决.解析：连接格点B 、Q ，交DC 于点H ，如图10所示，则BH ⊥DC ，所以tan∠APD =tan∠BPH =BHPH ，若设小正方形的边长为1，那么BH=易知△BDP ∽△ACP ，则DP PC =BD AC =13，所以DP =14DC=那么PH =DH -DP 故tan∠APD =BH PH =22=2.点评：在网格中，若对所求角直接构造直角三角形较困难，可以进行适当的等量转化.本题将∠APD 等量转化为∠BPC 是解题的关键.2.折叠中的转化［例7］如图11，在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC =4，将△ABC 折叠，使点A 落在BC边上的点D 处，EF 为折痕，若AE =3，则sin∠BFD =.分析：根据折叠的性质，∠A =∠EDF =45°，注意到∠BFD =180°-∠B -∠BDF =135°-∠BDF ，∠CDE =180°-∠EDF -∠BDF =135°-∠BDF .这样将∠BFD 等量转化成∠CDE ，再在Rt△CDE 中求解.解析：由题意知，∠A =∠EDF =∠B =45°，在△BFD 中，∠BFD =180°-∠B -∠BDF =135°-∠BDF ，又因为∠CDE =180°-∠EDF -∠BDF =135°-∠BDF ，所以∠BFD =∠CDE ，易知CE =1，DE =3，故sin∠BFD =sin∠CDE =CE DE =13.点评：折叠问题中，要紧扣相关角、边之间的等量关系.将∠BFD 等量转化成∠CDE 是成功解决本题的关键一步.锐角三角函数值的求解是中考数学的必考题型，其涉及的题目类型多变，可采用的解题策略也较多，在平时的教学过程中，教师要注意归纳、小结各种解题方法，以便学生在解题时可以信手拈来.（责任编辑黄桂坚）图5图6图11数学·解题研究。
解锐角三角函数的技巧
6. 三角函数的倒数关系：利用三角函数的倒数关系，将一个三角函数转化为另一个三角函 数的倒数形式。例如，tanθ=1/cotθ，cotθ=1/tanθ。
解锐角三角函数的技巧
解锐角三角函数的技巧主要包括以下几点：
1. 特殊角的数值：熟记30°、45°、60°三个特殊角的正弦、余弦和正切值。例如， sin30°=1/2，cos45°=1/√2，tan60°=√3。
2. 三角函数的性质：利用三角函数的周期性、对称性倒数关系等性质，将角度转化为在 特定范围内的等效角度。例如，sin(180°+θ)=-sinθ，cos(-θ)=cosθ，tan(θ+π)=-tanθ。
解锐角三角函数的技巧
7. 三角函数的逆函数：利用三角函数的逆函数，将一个三角函数的值转化为对应的角度。 例如，sin^(-1)(x)表示sinθ=x的解，cos^(-1)(x)表示cosθ=x的解。
通过掌握这些技巧，可以在解锐角三角函数的过程中更加灵活和高效地进行计算。同时， 多做练习和应用，加深对三角函数的理解和熟练度，也是提高解题能力的重要方法。
3. 三角函数的和差公式：利用三角函数的和差公式，将复杂的角度拆分为简单的角度的和 或差。例如，sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB，cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB。
解锐角三角函数的技巧
4. 三角函数的倍角公式：利用三角函数的倍角公式，将角度转化为两倍角度的三角函数。 例如，sin2θ=2sinθcosθ，cos2θ=cos^2θ-sin^2θ。
求锐角三角函数值的七种常用方法学年春人教版九年级数学下册练习课件
∵DO∥AC，∴△AEC∽△DEF，且相似比为 3∶1. 设 EF＝k，则 CE＝3k，BC＝8k. ∴AC＝2CE＝6k. ∴AB＝ AC2＋BC2＝ （6k）2＋（8k）2＝10k. ∴sin∠CDA＝sin∠ABC＝AACB＝160kk＝35.
5．如图所示，在矩形 ABCD 中，AB＝10，BC＝8，E 为 AD 边 上一点，沿 CE 将△CDE 折叠，使点 D 正好落在 AB 边上的 点 F 处，求 tan∠AFE 的值．
∵AC＝5，∴AB＝13. ∴BC＝12. ∴PD＝CE＝BE＝6. ∵OA＝OB，CE＝BE，∴OE＝12AC＝52. ∵OP＝OB＝123，∴CD＝PE＝123－52＝4. ∴AD＝9. ∴AP＝ AD2＋PD2＝ 92＋62＝3 13.
7．(2020·遵义)构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的
(1)求证：AD 平分∠BAE； 【点拨】连接 OD，根据切线的性质得到 OD⊥DE， 结合题意即可判定 OD∥AE，从而得到∠1＝∠ODA， 然后利用∠2＝∠ODA 得到∠1＝∠2；
第28章 锐角三角函数
第28章 锐角三角函数
第5课时 求锐角三角函数值的七种常用方法
第28章 锐角三角函数
第5课时 求锐角三角函数值的七种常用方法
第5课时 求锐角三角函数值的七种常用方法
第28章 锐角三角函数
第28章 锐角三角函数
解：如图，作 CH⊥AB 于 H.
在 Rt△ACH 中，CH＝AC·sin A＝4 3×sin 30°＝2 3，
AH＝AC·cos A＝4 3×cos 30°＝6，
∴BH＝AB－AH＝4.
∴tan
B＝CBHH＝
3 2.
第5课时 求锐角三角函数值的七种常用方法
中考数学复习 专题训练(六) 锐角三角函数求值的六种方法
专题训练(六) 锐角三角函数求值的六种方法►方法一运用定义求锐角三角函数值1．在下列网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，O都在格点上，则∠O的正弦值是________．图ZT－6－12．如图ZT－6－2所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5.(1)求AB的长；(2)求两个锐角的三角函数值．图ZT－6－2►方法二巧设参数求锐角三角函数值3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sin A＝513，则cos A的值是()A.512B.813C.23D.12134．2017·铜仁如图ZT －6－3，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D 是AB 的中点，ED ⊥AB 交AC 于点E.设∠A ＝α，且tan α＝13，则tan 2α＝________．图ZT －6－35．已知：如图ZT －6－4，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，tan A ＝12，求∠B 的正弦值、余弦值．图ZT －6－46．如图ZT －6－5，∠C ＝90°，∠DBC ＝30°，AB ＝BD ，根据此图求tan 15°的值．图ZT －6－5► 方法三 利用边角关系求锐角三角函数值7．如图ZT －6－6所示，在四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，AD 的中点，若EF ＝2，BC ＝5，CD ＝3，则tan C 的值是( )图ZT －6－6A.34B.43C.35D.458．如图ZT －6－7所示，在△ABC 中，点D 在AC 上，DE ⊥BC ，垂足为E ，若AD ＝2DC ，AB ＝4DE ，则sin B 的值是( )图ZT －6－7A.12B.73C.3 77D.349．已知锐角三角形ABC 中，点D 在BC 的延长线上，连结AD ，若∠DAB ＝90°，∠ACB ＝2∠D ，AD ＝2，AC ＝32，根据题意画出示意图，并求出tan D 的值．►方法四利用等角求锐角三角函数值10．如图ZT－6－8所示，∠ACB＝90°，DE⊥AB，垂足为E，AB＝10，BC＝6，求∠BDE的正弦值、余弦值、正切值．图ZT－6－811．如图ZT－6－9所示，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝8，E为AD边上一点，沿CE将△CDE折叠后，点D正好落在AB边上的点F处，求tan∠AFE的值．图ZT －6－9► 方法五 利用同角三角函数的关系求锐角三角函数值同角三角函数之间有如下关系：对于锐角α，有sin 2α＋cos 2α＝1，tan α＝sin αcos α. 12．已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，cos B ＝23，则sin B 的值为( )A.2 53B.53C.2 55D.5513．已知α为锐角，且cos α＝13，求tan α＋cos α1＋sin α的值．► 方法六 利用互余两角三角函数的关系求锐角三角函数值 若∠A ＋∠B ＝90°，则sin A ＝cos B ，cos A ＝sin B.对于锐角α，sin α随α的增大而增大，cos α随α的增大而减小，tan α随α的增大而增大．14．已知0°＜∠A ＜90°，那么cos (90°－∠A)等于( ) A ．cos A B ．sin (90°＋∠A) C ．sin A D ．sin (90°－∠A)15．在△ABC 中，∠C ＝90°，tan A ＝3，求cos B 的值．16．在△ABC 中，(1)若∠C ＝90°，cos A ＝1213，求sin B 的值；(2)若∠A＝35°，∠B＝65°，试比较cos A与sin B的大小，并说明理由．教师详解详析1．[答案]10 10[解析] 如图，过点C作CD⊥OB于点D，根据正方形的性质可知点D为小正方形对角线的中点，∴CD＝22，由勾股定理得OC＝22＋12＝5，∴在Rt△OCD中，sin O＝CDOC＝225＝1010.2．解：(1)AB＝AC2＋BC2＝13.(2)sin A＝BCAB＝513，cos A＝ACAB＝1213，tan A＝BCAC＝512；sin B＝ACAB＝1213，cos B＝BCAB＝513，tan B＝ACBC＝125.3．D4．[答案]34[解析] 连结BE.∵D是AB的中点，ED⊥AB，∴ED是AB的垂直平分线，∴EB＝EA，∴∠EBA ＝∠A ＝α，∴∠BEC ＝2α.∵tan α＝13，设DE ＝a ，则AD ＝3a ，∴AE ＝10a ，AB ＝6a ，∴BC ＝3 10a 5，AC ＝9 10a 5，∴CE ＝9 10a 5－10a ＝4 10a 5，∴tan2α＝BCCE ＝3 10a 54 10a5＝34. 5．解：∵∠C ＝90°，tan A ＝BC AC ＝12， ∴设BC ＝x ，AC ＝2x ， ∴AB ＝5x ，∴sin B ＝AC AB ＝2x 5x ＝2 55，cos B ＝BC AB ＝x 5x ＝55.6．解：设AB ＝BD ＝2x . ∵AB ＝BD ，∠DBC ＝30°， ∴∠A ＝12∠DBC ＝15°.∵∠DBC ＝30°，∠C ＝90°， ∴CD ＝x ，由勾股定理可求出BC ＝3x ， ∴AC ＝AB ＋BC ＝2x ＋3x ， ∴tan15°＝CDAC ＝2－ 3.7．[解析] B 连结BD .∵E ，F 分别是AB ，AD 的中点， ∴BD ＝2EF ＝4.∵BC ＝5，CD ＝3，BD ＝4， ∴BD 2＋CD 2＝BC 2，∴△BCD 是直角三角形，且∠BDC ＝90°， ∴tan C ＝BD CD ＝43.8．[解析] D 如图，过点A 作AF ⊥BC 于点F ，则有DE ∥AF . ∵AD ＝2DC ，∴DC ∶AC ＝1∶3＝DE ∶AF ， ∴AF ＝3DE . ∵AB ＝4DE ， ∴sin B ＝AF AB ＝3DE 4DE ＝34.9．解：示意图如图所示．∵∠ACB ＝∠D ＋∠CAD ，∠ACB ＝2∠D ， ∴∠CAD ＝∠D ， ∴AC ＝DC .∵∠BAD ＝90°，∴∠B ＋∠D ＝90°.∵∠BAC ＋∠CAD ＝90°，∴∠B ＝∠BAC ，∴BC ＝AC ，∴BD ＝2AC .∵AC ＝32， ∴BD ＝3.在Rt △BAD 中，∵AD ＝2，BD ＝3，∴AB ＝5，∴tan D ＝AB AD ＝52. 10．解：∵在Rt △ABC 中，AB ＝10，BC ＝6， ∴AC ＝AB 2－BC 2＝8.∵∠C ＝∠DEB ＝90°，∠B ＝∠B ，∴△ACB ∽△DEB ，∴∠A ＝∠BDE ，∴sin ∠BDE ＝sin A ＝35， cos ∠BDE ＝cos A ＝45， tan ∠BDE ＝tan A ＝34.11．解：根据图形得∠AFE ＋∠EFC ＋∠BFC ＝180°. 根据折叠的性质，得∠EFC ＝∠EDC ＝90°，∴∠AFE ＋∠BFC ＝90°.在Rt △BCF 中，∠BCF ＋∠BFC ＝90°，∴∠AFE ＝∠BCF .又根据折叠的性质，得CF ＝CD ＝10.在Rt △BCF 中，BC ＝8，CF ＝10，由勾股定理，得BF ＝CF 2－BC 2＝6，∴tan ∠BCF ＝34， ∴tan ∠AFE ＝tan ∠BCF ＝34. 12．[解析] B ∵在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，cos B ＝23， ∴sin B ＝1－（23）2＝53. 故选B.13．解：∵cos α＝13， ∴sin α＝1－（13）2＝2 23， tan α＝sin αcos α＝2 2313＝2 2， ∴tan α＋cos α1＋sin α＝2 2＋131＋2 23＝2 2＋3－2 2＝3.14．C15．解：∵tan A ＝3，∴∠A ＝60°，sin A ＝32. 又∵∠A ＋∠B ＝90°，∴cos B ＝sin A ＝32. 16．解：(1)在Rt △ABC 中，∵∠A ＋∠B ＝90°，∴sin B ＝cos A ＝1213. (2)cos A ＜sin B .理由：∵cos A ＝cos35°＝sin55°＜sin65°， ∴cos A ＜sin B .。
求锐角三角函数值的常用方法
2．如图，在△ABC中， AD⊥BC，垂足是D，若BC＝14， 3 AD＝12，tan ∠BAD＝ ，求sin C的值． 4
BD 解： ∵AD⊥BC，∴tan ∠BAD＝ . AD 3 BD 3 ∵tan ∠BAD＝ ，AD＝12，∴ 4 = 12 ，∴BD＝9. 4
∴CD＝BC－BD＝14－9＝5，
∴点B的坐标为(1，2)．
(2)如图，过点B作BC⊥x轴于点C，则OC＝1，BC＝2. 1 3 由 x＋ ＝0，解得x＝－3， 2 2 则A(－3，0)，∴OA＝3，∴AC＝4. ∴AB＝ AD2 + BC 2 = 2 5, BC 2 5 = = , ∴sin ∠BAC＝ AB 2 5 5 5 . 即sin ∠BAO＝ 5
方法
2
利用同角或互余两角三角函数间的关系
3 4．若∠A为锐角，且sin A＝ ，则cos A＝( D ) 2
A．1 B.
3 2
C.
2 2
1 D. 2
12 5．若α为锐角，且cosα＝ ，则sin(90°－α)＝( B ) 13 5 A. 13 5 C. 12 12 B. 13 12 D. 5
30° 6．若α为锐角，且sin2α＋cos230°＝1，则α＝______ ．
∴在Rt△ADC中，AC＝ AD2 + CD2 = 122 + 52 ＝13，
AD 12 ∴sin C＝ AC = 13 .
1 3 3．如图，直线y＝ x＋ 与x轴交于点A，与直线 2 2
y＝2x交于点B.求： (1)点B的坐标； (2)sin∠BAO的值．
ì 1 3 ï ï x = 1, y = x + , ì ï ï ï (1)解方程组 眄 2 2 得 解： 镲 y = 2, ï î ï ï î பைடு நூலகம் = 2x
锐角三角函数公式sinα
锐角三角函数公式sin α=∠α的对边/ 斜边cos α=∠α的邻边/ 斜边tan α=∠α的对边/ ∠α的边cot α=∠α的邻边/ ∠α的对边倍角公式cos2A=cosA;方-sinA方;A=1-2sin²A=2cos²A-1sin2A=2sinA•cosA tan2A=（2tanA）÷（1-tan^2A）三倍角公式sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α)cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a)三倍角公式推导sin3a =sin(2a+a) =sin2acosa+cos2asina =2sina(1-sin²a)+(1-2sin&s up2;a)sina =3sina-4sin³acos3a =cos(2a+a) =cos2acosa-sin2asina =(2cos²a-1)cosa-2(1-cos& sup2;a)cosa =4cos³a-3cosasin3a=3sina-4sin³a =4sina(3/4-sin²a) =4sina[(√3/2)²-sin&s up2;a] =4sina(sin²60°-sin²a) =4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2]=4sinasin(60°+a)sin(60°-a)cos3a=4cos³a-3cosa =4cosa(cos²a-3/4) =4cosa[cos²a-(√3 /2)²] =4cosa(cos²a-cos²30°)=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°)=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]}=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°)=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)]=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)]=4cosacos(60°-a)cos(60°+a)上述两式相比可得tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a)半角公式tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA);cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA.sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a))和差化积sinθ+sinφ = 2 sin[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]sinθ-sinφ = 2 cos[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]cosθ+cosφ = 2 cos[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]cosθ-cosφ = -2 sin[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) 积化和差sinαsinβ = [cos(α-β)-cos(α+β)] /2cosαcosβ = [cos(α+β)+cos(α-β)]/2sinαcosβ = [sin(α+β)+sin(α-β)]/2co sαsinβ = [sin(α+β)-sin(α-β)]/2双曲函数sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2tanh(a) = sin h(a)/cos h(a)公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（2kπ＋α）= sinαcos（2kπ＋α）= cosαtan（2kπ＋α）= tanα公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π＋α）= -sinαcos（π＋α）= -cosαtan（π＋α）= tanαcot（π＋α）= cotα公式三：任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin（-α）= -sinαcos（-α）= cosαtan（-α）= -tanαcot（-α）= -cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π-α）= sinαcos（π-α）= -cosαtan（π-α）= -tanαcot（π-α）= -cotα公式五：利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π-α）= -sinαcos（2π-α）= cosαtan（2π-α）= -tanαcot（2π-α）= -cotα公式六：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin（π/2+α）= cosαcos（π/2+α）= -sinαtan（π/2+α）= -cotαcot（π/2+α）= -tanαsin（π/2-α）= cosαcos（π/2-α）= sinαtan（π/2-α）= cotαcot（π/2-α）= tanαsin（3π/2+α）= -cosαcos（3π/2+α）= sinαtan（3π/2+α）= -cotαsin（3π/2-α）= -cosαcos（3π/2-α）= -sinαtan（3π/2-α）= cotαcot（3π/2-α）= tanα(以上k∈Z)A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) =√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} }√表示根号,包括{……}中的内容诱导公式sin(-α) = -sinαcos(-α) = cosαtan (-α)=-tanαsin(π/2-α) = cosαcos(π/2-α) = sinαsin(π/2+α) = cosαcos(π/2+α) = -sinαsin(π-α) = sinαcos(π-α) = -cosαsin(π+α) = -sinαcos(π+α) = -cosαtanA= sinA/cosAtan（π/2＋α）＝－cotαtan（π/2－α）＝cotαtan（π－α）＝－tanαtan（π＋α）＝tanα诱导公式记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限万能公式其它公式(1)(sinα)^2+(cosα)^2=1(2)1+(tanα)^2=(secα)^2(3)1+(cotα)^2=(cscα)^2证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可(4)对于任意非直角三角形,总有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC证:A+B=π-Ctan(A+B)=t an(π-C)(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC)整理可得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC得证同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC可得出以下结论(5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1(6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2)(7)(cosA）^2+(cosB）^2+(cosC）^2=1-2cosAcosBcosC(8)（sinA）^2+（sinB）^2+（sinC）^2=2+2cosAcosBcosC其他非重点三角函数csc(a) = 1/sin(a)sec(a) = 1/cos(a)[编辑本段]内容规律三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。
用锐角三角函数概念解题的常见方法(含答案11页)
用锐角三角函数概念解题的常见方法知识要点1．锐角三角函数（1）锐角三角函数的定义我们规定：sinA=ac，cosA=bc，tanA=ab，cotA=ba．锐角的正弦、余弦、正切、余切统称为锐角的三角函数．（2）用计算器由已知角求三角函数值或由已知三角函数值求角度对于特殊角的三角函数值我们很容易计算，甚至可以背诵下来，但是对于一般的锐角又怎样求它的三角函数值呢？用计算器可以帮我们解决大问题．①已知角求三角函数值；②已知三角函数值求锐角．2αsinαcosαtanαcotα30º123233345º22221 160º3212333直角三角形中，30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半． 3．锐角三角函数的性质（1）0<sinα<1，o<cosα<1（0°<α<90°）（2）tan α·cot α=1或tan α=1cot α； （3）tan α=sin cos αα，cot α=cos sin αα． （4）sin α=cos （90°-α），tan α=cot （90°-α）．方法点拨有关锐角三角函数的问题，常用下面几种方法： 一、设参数例1. 在ABC ∆中，︒=∠90C ，如果125tan =A ，那么sinB 的值等于（ ） 512.125.1312.135.D C B A 解析：如图1，要求sinB 的值，就是求AB AC 的值，而已知的125tan =A ，也就是125=AC BC 可设k AC k BC 125==， 则k k k AB 13)12()5(22=+=13121312sin ==∴k k B ，选B 二、巧代换例2. 已知3tan =α，求ααααcos sin 5cos 2sin +-的值。
解析：已知是正切值，而所求的是有关正弦、余弦的值，我们可以利用关系式3cos sin tan ==ααα，作代换ααcos 3sin =，代入即可达到约分的目的，也可以把所求的分式的分子、分母都除以αcos 。
求锐角三角函数值的几种方法
ｃ 。 ｓ ／ － Ｃ Ａ Ｄ
， Ａ Ｂ的长可 以根 据 勾股定理 求
例７ 已知 ＡＡ Ｂ Ｃ中 ， Ｃ ＝ ９ ０ 。 ，
ｓ ｌ ｎ Ａ
＝
＋
得， 即可求得 ｓ ｉ ｎ ／ＡＣ Ｄ ．
解： 在 Ｒｃ △Ａ Ｂ Ｃ中， 。 ． ‘ Ａ ｃ ＝ ～ ， Ｂ Ｃ ＝ ２ ，
评 注 ：注 意锐 角三 角 函数 的 定 义 只适 用 于 直角三 角形 ，在斜 三角形 中不能直接 用锐 角三 计算起来稍麻烦 ． 若根据 直 角三 角形 两锐 角之 角 函数 的 定 义 求 三 角 函 数值 ，需要 将 斜 三 角 形 间的关 系， 可得 ｓ ｉ ｎ ＺＡＣ Ｄ ＝ ｃ ｏ ｓ Ｃ Ａ Ｄ， 只要 求得 转化成 直角三 角形再求值． 七 、 方程法 Ｃ Ｏ Ｓ ０ｔ Ｄ 的 值 即 可 ．而 在 Ｒｔ △Ａ Ｂ Ｃ中 ，
Ｃ
， ｔ ａ ｎ Ａ＝
Ｏ
六、 构造法
． ．
一
＋ ＿ ＿ ＿ ： ＋ ： 丛 ： ５
ｔ ａ ｎ Ａ ａ ０ ａ
Ｓ ｌ ｎ Ａ
例 ６ 如图 ２ ， 已知 Ａ Ｄ为 等腰三角形 Ａ Ｂ Ｃ 底边上 的高 ，
且 ｔ ａ ｎ厶 Ｂ ＝ ４
，
即 ｂ ＋ ｃ ＝ Ｓ ａ ， 联 立 方 程 ｛ ≥ ，
利用公式 ， 得：
ｔ ａ
嘉 １ ５．
— 一
Ａ ． 音 Ｂ ．
解： ‘ ． ’ ｔ ａ ｎ Ａ ＝ 羔，
・ ． ．
ｃ ．
Ｄ ．
分析 ：由 已知锐 角三 角函数 式 ，设 比值 ｈ 二、 定 义 法 （ ｋ ＞０ ） ， 用含 的式子表 示两边 ， 再利用 勾股定 然后用锐角三角函数 的定义求解 ． 例 ２ 在 ＡＡ Ｂ Ｃ中 ，已知 Ｃ ＝ ９ ０ 。 ， ｓ ｉ ｎ Ａ＝ 理求 出第三边，
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第28章锐角三角函数专项训练专训1求锐角三角函数值的常用方法名师点金：锐角三角函数刻画了直角三角形中边和角之间的关系，对于斜三角形，要把它转化为直角三角形求解．在求锐角的三角函数值时，首先要明确是求锐角的正弦值，余弦值还是正切值，其次要弄清是哪两条边的比．直接用锐角三角函数的定义1．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，若CD＝5，AC＝6，则tan B的值是()A.45B.35C.34D.43(第1题)2．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若BC＝14，AD＝12，tan∠BAD＝34，求sin C的值．(第2题)3．如图，直线y＝12x＋32与x轴交于点A，与直线y＝2x交于点B.(1)求点B的坐标；(2)求sin∠BAO的值．(第3题)利用同角或互余两角三角函数间的关系4．若∠A 为锐角，且sin A ＝32，则cos A ＝( )A ．1B .32C .22D .125．若α为锐角，且cos α＝1213，则sin (90°－α)＝( ) A .513 B .1213 C .512 D .125 6．若α为锐角，且sin 2α＋cos 230°＝1，则α＝______． 巧设参数7．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若sin A ＝45，则tan B 的值为( )A .43B .34C .35D .458．已知，在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且a ，b ，c 满足b 2＝(c ＋a)(c －a)．若5b －4c ＝0，求sin A ＋sin B 的值．利用等角来替换9．如图，已知Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是斜边AB 的中线，过点A 作AE ⊥CD ，AE 分别与CD ，CB 相交于点H ，E 且AH ＝2CH ，求sin B 的值．(第9题) 专训2 同角或互余两角的三角函数关系的应用 名师点金：1．同角三角函数关系：sin 2 α＋cos 2α＝1，tan α＝sin αcos α.2．互余两角的三角函数关系：sin α＝cos (90°－α)，cos α＝sin (90°－α)，tan α·tan (90°－α)＝1.余角间的三角函数的应用3．若45°－α和45°＋α均为锐角，则下列关系式正确的是() A．sin(45°－α)＝sin(45°＋α)B．sin2(45°－α)＋cos2(45°＋α)＝1C．sin2(45°－α)＋sin2(45°＋α)＝1D．cos2(45°－α)＋sin2(45°＋α)＝14．计算tan 1°·tan 2°·tan 3°·…·tan 88°·tan 89°的值．的值．专训3用三角函数解与圆有关问题名师点金：用三角函数解与圆有关的问题，是近几年中考热门命题内容，题型多样化；一般以中档题、压轴题形式出现，应高度重视．一、选择题1．如图，已知△ABC的外接圆⊙O的半径为3，AC＝4，则sin B＝()A.13B.34C.45D.23(第1题)(第2题)2．如图是以△ABC的边AB为直径的半圆O，点C恰好在半圆上，过C作CD⊥AB交AB于D，已知cos∠ACD＝35，BC＝4，则AC的长为()A．1 B.203C．3 D.1633．在△ABC中，AB＝AC＝5，sin B＝45.⊙O过B，C两点，且⊙O半径r＝10，则OA的长为()A．3或5 B．5 C．4或5 D．44．如图，在半径为6 cm的⊙O中，点A是劣弧BC的中点，点D是优弧BC上一点，且∠D＝30°.下列四个结论：①OA⊥BC；②BC＝6 3 cm；③sin∠AOB＝3 2；④四边形ABOC是菱形．(第4题)其中正确结论的序号是()A．①③B．①②③④C．②③④D．①③④二、填空题5．如图，AB是⊙O的直径，AB＝15，AC＝9，则tan∠ADC＝________.(第5题)6．如图，直线MN与⊙O相切于点M，ME＝EF且EF∥MN，则cos E＝________.7．如图，在半径为5的⊙O中，弦AB＝6，点C是优弧AB上的一点(不与A，B重合)，则cos C的值为________．(第6题) (第7题) (第8题)8．如图，在直角坐标系中，四边形OABC是直角梯形，BC∥OA，⊙P分别与OA，OC，BC相切于点E，D，B，与AB交于点F，已知A(2，0)，B(1，2)，则tan∠FDE＝________.三、解答题9．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，tan B＝12，半径为2的⊙C分别交AC，BC于点D，E，得到.(1)求证：AB为⊙C的切线；(2)求图中阴影部分的面积．(第9题)10．如图，AB是⊙O的直径，∠ABT＝45°，AT＝AB.(1)求证：AT是⊙O的切线；(2)连接OT交⊙O于点C，连接AC，求tan∠TAC的值．(第10题)11.如图，AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，与AB的延长线交于点D，DE⊥AD且与AC的延长线交于点E.(1)求证：DC＝DE；(2)若tan∠CAB＝12，AB＝3，求BD的长．(第11题)12．如图，以△ABC的一边AB为直径的半圆与其他两边AC，BC的交点分别为D，E，且＝.(1)试判断△ABC的形状，并说明理由；(2)已知半圆的半径为5，BC＝12，求sin∠ABD的值．(第12题)13．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，对角线AC，BD交于点E，点O在线段AE上，⊙O过B，D两点，若OC＝5，OB＝3，且cos∠BOE＝3 5.求证：CB是⊙O的切线．(第13题)答案专训1 1．C2．解：∵AD ⊥BC ，∴tan ∠BAD ＝BDAD . ∵tan ∠BAD ＝34，AD ＝12，∴34＝BD12，∴BD ＝9. ∴CD ＝BC －BD ＝14－9＝5，∴在Rt △ADC 中，AC ＝AD 2＋CD 2＝122＋52＝13， ∴sin C ＝AD AC ＝1213.3．解：(1)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x ＋32，y ＝2x ，得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝2，∴点B 的坐标为(1，2)．(第3题)(2)如图，过点B 作BC ⊥x 轴于点C ，由12x ＋32＝0，解得x ＝－3， 则A(－3，0)，∴OA ＝3， ∴AB ＝AC 2＋BC 2＝25， ∴sin ∠BAC ＝BC AB ＝225＝55，即sin ∠BAO ＝55. 4．D 5.B6.30°7.B8．解：∵b 2＝(c ＋a)(c －a)，∴b 2＝c 2－a 2， 即c 2＝a 2＋b 2，∴△ABC 是直角三角形． ∵5b －4c ＝0，∴5b ＝4c ， 则b c ＝45，设b ＝4k ，c ＝5k ，那么a ＝3k.专训3一、1.D2．D 点拨：∵AB 为直径，∴∠ACB ＝90°.又∵CD ⊥AB ，∴∠B ＝∠ACD.∴cos B ＝BC AB ＝35，∴AB ＝203.∴AC ＝AB 2－BC 2＝163.3．A 4.B二、5.34 6.12 7.45 8.12 三、(第9题)9．(1)证明：如图，过点C 作CF ⊥AB 于点F ，在Rt △ABC 中，tan B ＝ACBC ＝12，∴BC ＝2AC ＝2 5.∴AB ＝AC 2＋BC 2＝（5）2＋（25）2＝5，∴CF ＝AC·BCAB ＝5×255＝2.∴AB 为⊙C 的切线．(2)解：S 阴影＝S △ABC －S 扇形CDE ＝12AC·BC －n πr 2360＝12×5×25－90π×22360＝5－π.10．(1)证明：∵AB ＝AT ，∴∠ABT ＝∠ATB ＝45°，∴∠BAT ＝90°，即AT 为⊙O 的切线．(2)解：如图，过点C 作CD ⊥AB 于D ，则∠TAC ＝∠ACD ，tan ∠TOA ＝ATAO ＝CDOD ＝2，设OD ＝x ，则CD ＝2x ，OC ＝5x ＝OA.∵AD ＝AO －OD ＝(5－1)x ，∴tan ∠TAC ＝tan ∠ACD ＝AD CD ＝（5－1）x 2x＝5－12.(第10题)(第11题)11．(1)证明：连接OC ，如图，∵CD 是⊙O 的切线， ∴∠OCD ＝90°，∴∠ACO ＋∠DCE ＝90°. 又∵ED ⊥AD ，∴∠EDA ＝90°，∴∠EAD ＋∠E ＝90°.∵OC ＝OA ，∴∠ACO＝∠EAD ，故∠DCE ＝∠E ，∴DC ＝DE.(2)解：设BD ＝x ，则AD ＝AB ＋BD ＝3＋x ，OD ＝OB ＋BD ＝1.5＋x.在Rt△EAD 中，∵tan ∠CAB ＝12，∴ED ＝12AD ＝12(3＋x)．由(1)知，DC ＝12(3＋x)．在Rt △OCD 中，OC 2＋CD 2＝DO 2，则1.52＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤12（3＋x ）2＝(1.5＋x)2，解得x 1＝－3(舍去)，x 2＝1，故BD ＝1.12．解：(1)△ABC 为等腰三角形，理由如下：连接AE ，如图， ∵＝，∴∠DAE ＝∠BAE ，即AE 平分∠BAC.∵AB 为直径，∴∠AEB ＝90°，∴AE ⊥BC ，∴△ABC 为等腰三角形．(2)∵△ABC 为等腰三角形，AE ⊥BC ，∴BE ＝CE ＝12BC ＝12×12＝6.在Rt △ABE 中，∵AB ＝10，BE ＝6，∴AE ＝102－62＝8.∵AB 为直径，∴∠ADB ＝90°，∴S △ABC ＝12AE·BC ＝12BD·AC ，∴BD ＝8×1210＝485.在Rt △ABD 中，∵AB ＝10，BD ＝485，∴AD ＝AB 2－BD 2＝145，∴sin ∠ABD ＝AD AB ＝14510＝725.(第12题)(第13题)13．证明：如图，连接OD ，可得OB ＝OD.∵AB ＝AD ，∴AE 垂直平分BD.在Rt △BOE 中，OB ＝3，cos ∠BOE ＝35，∴OE ＝95.∴CE ＝OC －OE ＝165.根据勾股定理得BE ＝BO 2－OE 2＝125.∵OB＝3，BC＝4，OC＝5，∴OB2＋BC2＝OC2，∴∠OBC＝90°，即BC⊥OB，∴CB为⊙O的切线．。