2017-2018年上海南模中学高二下数学期末试卷
2017-2018学年上海市南模中学高二下学期期末考试数学试题-解析版
绝密★启用前上海市南模中学2017-2018学年高二下学期期末考试数学试题一、单选题1．已知l、m、n是空间三条直线，则下列命题正确的是（）A. 若l // m，l // n，则m // nB. 若l⊥m，l⊥n，则m // nC. 若点A、B不在直线l上，且到l的距离相等，则直线AB // lD. 若三条直线l、m、n两两相交，则直线l、m、n共面【答案】A【解析】分析：由公理4可判断A，利用空间直线之间的位置关系可判断B，C，D的正误，从而得到答案．详解：由公理4可知A正确；若l⊥m，l⊥n，则m∥n或m与n相交或异面，故B错误；若点A、B不在直线l上，且到l的距离相等，则直线AB∥l或AB与l异面，故C错误；若三条直线l，m，n两两相交，且不共点，则直线l，m，n共面，故D错误．故选：A．点睛：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查空间中直线与直线之间的位置关系，掌握空间直线的位置关系是判断的基础，对于这种题目的判断一般是利用课本中的定理和性质进行排除，判断。
还可以画出样图进行判断，利用常见的立体图形，将点线面放入特殊图形，进行直观判断。
2．一个圆柱形的罐子半径是4米，高是9米，将其平放，并在其中注入深2米的水，截面如图所示，水的体积是（）平方米A. B.C. D.【答案】D【解析】分析：由已知可得水对应的几何体是一个以截面中阴影部分为底，以9为高的柱体，求出底面面积，代入柱体体积公式，可得答案．详解：由已知中罐子半径是4米，水深2米，故截面中阴影部分的面积S=平方米，又由圆柱形的罐子的高h=9米，故水的体积V=Sh=48立方米，故选：D．点睛：本题考查的知识点是柱体的体积公式，扇形面积公式，弓形面积公式，难度中档．3．为了研究某药厂的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa）的分组区间为、、、、，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组、第二组、……、第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图，已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为（）A. 6B. 8C. 12D. 18【答案】C【解析】试题分析：由直方图可得分布在区间第一组与第二组共有20人，分布在区间第一组与第二组的频率分别为0．24，0．16，所以第一组有12人，第二组8人，第三组的频率为0．36，所以第三组的人数：18人，第三组中没有疗效的有6人，第三组中有疗效的有12人．考点：频率分布直方图视频4．若，则（）A. B. 1 C. 0 D.【答案】D【解析】分析：根据题意求各项系数和，直接赋值法令x=-1代入即可得到.详解：已知，根据二项式展开式的通项得到第r+1项是，故当r为奇数时，该项系数为负，故原式令x=-1代入即可得到.故答案为：D.点睛：这个题目考查了二项式中系数和的问题，二项式主要考查两种题型，一是考查系数和问题；二是考查特定项系数问题；在做二项式的问题时，看清楚题目是求二项式系数还是系数，还要注意在求系数和时，是不是缺少首项；解决这类问题常用的方法有赋值法，求导后赋值，积分后赋值等.5．从8名女生和4名男生中选出6名学生组成课外活动小组，则按性别分层抽样组成课外活动小组的概率为（）A．4284612C CCB．3384612C CCC．612612CAD．4284612A AA【答案】A【解析】按性别分层抽样男生女生各抽4人和2人；从8名女生中抽4人的方法为48C种；，4名男生中抽2人的方法为24C种；所以按性别分层抽样组成课外活动小组的概率为4284612.C C C故选A6．已知复数z 满足（i是虚数单位），若在复平面内复数z对应的点为Z，则点Z的轨迹为（）A. 双曲线的一支B. 双曲线C. 一条射线D. 两条射线【答案】C【解析】分析：利用两个复数的差的绝对值表示两个复数对应点之间的距离，来分析已知等式的意义．详解：∵复数z 满足（i是虚数单位），在复平面内复数z对应的点为Z，则点Z到点（1，2）的距离减去到点（﹣2，﹣1）的距离之差等于3，而点（1，2）与点（﹣2，﹣1）之间的距离为3，故点Z的轨迹是以点（1，2）为端点的经过点（﹣2，﹣1）的一条射线．故选C．点睛：本题考查两个复数的差的绝对值的意义，两个复数的差的绝对值表示两个复数对应点之间的距离．第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题7．若i是虚数单位，复数满足，则的虚部为________【答案】.【解析】分析：利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．详解：∵（3﹣4i）z=5，∴（3+4i）（3﹣4i）z=5（3+4i），∴25z=5（3+4i），化为z=i．∴z的虚部为．故答案为：.点睛：本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8．正方体中，异面直线和所成角的大小为________【答案】.【解析】分析：连接，三角形是直角三角形，根据正方形的性质得到线面垂直进而得到线线垂直.详解：连接，三角形是直角三角形，根据正方形的性质得到，，而于点，故垂直于面，进而得到.故两者夹角为.故答案为：.点睛：这个题目考查的是异面直线的夹角的求法；常见方法有：将异面直线平移到同一平面内，转化为平面角的问题；或者证明线面垂直进而得到面面垂直，这种方法适用于异面直线垂直的情况.9．正四面体S-ABC的所有棱长都为2，则它的体积为________【答案】.【解析】分析：由正四面体的棱长为1，所以此四面体一定可以放在棱长为的正方体中，由此能求出此四面体的体积．详解：∵正四面体的棱长为2，∴此四面体一定可以放在正方体中，∴我们可以在正方体中寻找此四面体．如图所示，四面体ABCD满足题意，BC=2，∴正方体的棱长为，∴此四面体的体积为．故答案为：．点睛：本题考查四面体的体积问题，考查了空间想象能力，其解答的关键是在正方体中寻找此四面体．正四面体即各个侧棱都相等，各侧面都是等边三角形，它有很多性质，例如：外接球的半径是高的四分之三，内切球的半径是高的四分之一，对棱互相垂直. 10．7个人站成一排，其中甲一定站在最左边，乙和丙必须相邻，一共有______种不同排法【答案】240.【解析】分析：本题是一个排列组合及简单计数问题，甲要站在最左边，剩下6个位置，6个人排列，乙和丙必须相邻，把乙和丙看成一个元素，同另外4个人排列，乙和丙之间也有一个排列，相乘得到结果．详解：由题意知本题是一个排列组合及简单计数问题，甲要站在最左边，剩下6个位置，6个人排列，∵乙和丙必须相邻，∴把乙和丙看成一个元素，同另外4个人排列，乙和丙之间也有一个排列，根据乘法原理知共有A55A22=240种结果，故答案为：240点睛：站队问题是排列组合中的典型问题，解题时要先排限制条件多的元素，把限制条件比较多的元素排列后，再排没有限制条件的元素，最后要用计数原理得到结果，本题的甲不影响排列．11．某天有10名工人生产同一零部件，生产的件数分别是：15、17、14、10、15、17、17、16、14、12，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则a、b、c从小到大的关系依次是________【答案】.【解析】分析：将数据由小到大排列好，根据众数，中位数，平均数的概念得到相应的数据即可.详解：根据提干得到中位数为b=15，众数为c=17，平均数为=a.故.故答案为：.点睛：这个题目考查了中位数，众数，平均数的概念和计算，较为基础,众数即出现次数最多的数据，中位数即最中间的数据，平均数即将所有数据加到一起，除以数据个数. 12．正三棱锥底面边长为1，侧面与底面所成二面角为45°，则它的全面积为________【答案】.【解析】分析：设正三棱锥P-ABC的侧棱长为2a,PO为三棱锥的高，做PD垂直于AB，连OD，则PD为侧面的高，OD为底面的高的三分之一，在三角形POD中构造勾股定理，列出方程，得到斜高即可。
2017-2018学年高二数学第二学期期末模拟试卷及答案(六)(文科)
2017-2018学年高二数学第二学期期末模拟试卷及答案（六）（文科）卷面分值:150分 考试时间：120分钟一、选择题（5*12=60）1、已知()()231f x x xf =+'，则()'2f =（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 82、 阅读右侧程序框图，为使输出的数据为31，则①处应填的数字为（ ） A. 4 B. 5 C.6 D.73、在复平面内，复数（是虚数单位）的共轭复数对应的点位于（ ）A ．第四象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第一象限4、观察下列各式：，则的末四位数字为（ ）A. 3125B. 5625C. 0625D. 81255、用反证法证明命题：“三角形三个内角至少有一个不大于60”时，应假设（ ） A ．三个内角都不大于 60 B ．三个内角都大于60C. 三个内角至多有一个大于 60 D ．三个内角至多有两个大于 606、甲、乙、丙、丁四位同学各自对两变量进行线性相关试验，并用回归分析方法分别求得相关系数如下表：甲乙丙丁0.82 0.78 0.69 0.85则这四位同学的试验结果能体现出两变量有更强的线性相关性的是（）A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁7、在极坐标系中，与圆相切的一条直线的方程为( )A. B. C. D.8、下列极坐标方程中，对应的曲线为如图所示的是( )A. B. C. D.9、通过随机询问110名性别不同的学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：附表：若由22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++算得22110(40302020)7.860506050K⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯．参照附表，得到的正确结论是（）A．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” 10、已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为（4，5），则回归直线方程为（ ） A ．B ．C ．D ．=0.08x+1.2311、如果函数的图象如图，那么导函数的图象可能是（ ）A. B.C. D.12、函数()()32321f x x ax a x =-++既有极小值又有极大值，则a 的取值范围为( )A. 113a -<<B. 1a >或13a <-C. 113a -<<D. 13a >或1a <-二、填空题（5*4=20）13、已知()2sin 1f x x =+，则'4f π⎛⎫= ⎪⎝⎭_________．14、按边对三角形进行分类的结构图为则①处应填入________．15、函数()22ln f x x x =-的单调减区间为__________．16、甲、乙、丙三人代表班级参加校运动会的跑步，跳远，铅球比赛，每人参加一项，每项都要有人参加，他们的身高各不同，现了解到以下情况：（1）甲不是最高的；（2）最高的是没报铅球；（3）最矮的参加了跳远；（4）乙不是最矮的，也没参加跑步，可以判断丙参加的比赛项目是__________． 三、解答题（共10+15+15+15+15=70分）17、（10分）已知a 为实数，且函数()()()24f x x x a =--. （1）求导函数()'f x ；（2）若()'10f -=，求函数()f x 在[]2,2-上的最大值、最小值.18、（15分）设函数3()3(0)f x x ax b a =-+≠，曲线()f x 在点()2,(2)f 处与直线8y =相切.（1）求,a b 的值；（2）求函数()f x 的单调区间.19、（15）已知命题p ：方程210x mx ++=有两个不等的负实根；命题q ：方程244(2)10x m x +-+=无实根，若“p 或q ”为真，而“p 且q ”为假，求实数m 的取值范围．20、（15分）食品添加剂会引起血脂增高、血压增高、血糖增高等疾病，为了解三高疾病是否与性别有关，医院随机对入院的60人进行了问卷调查，得到了如下的列联表：（1）请将列联表补充完整；若用分层抽样的方法在患三高疾病的人群中抽9人，其中女性抽几人？患三高疾病不患三高疾病合计男 6 30女合计36（2）为了研究三高疾病是否与性别有关，请计算出统计量，并说明你有多大把握认为患三高疾病与性别有关.下列的临界值表供参考：0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0012.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828（参考公式：）21、（15分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C的参数方程为，（φ为参数），以原点O为极点，以x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos（θ+）=．（1）将直线l写成参数方程，（t为参数）的形式，并求曲线C的普通方程；（2）若直线l与曲线C交于A，B两点，点P的直角坐标为（1，0），求|AB|的值．高二文数参考答案一、选择题 1、【答案】A【解析】()()'231f x x f +'=，令1x =，得()()'1231f f =+'， ()'11f =-， ∴()'23f x x =-，∴()21f '=，故选A. 2、【答案】B 3、【答案】D 4、【答案】D【解析】写出幂的前几项，观察后四位，，发现以4为周期，2011除以4余3，所以与后四位相同，故选D ．5、【答案】B【解析】命题的反面是：三个内角都大于60，故选B. 6、【答案】D【解析】由线性相关系数及回归分析的知识可知当线性相关系数时，两变量有更强的线性相关，应选答案D 。
上海南洋模范中学(天钥桥路区)2018年高二数学文下学期期末试题含解析
上海南洋模范中学(天钥桥路区)2018年高二数学文下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知函数()满足且时,,函数,则函数在区间内零点的个数为( )A. B. C.D.参考答案：C2. 如果执行右图的程序框图，那么输出的s＝()．A．10 B．22 C．46 D．94参考答案：C略3. 直线5x-2y-10=0在x轴上的截距为a,在y轴上的截距为b,则（）A.a=2,b=5;B.a=2,b=;C.a=,b=5;D.a=, b=.参考答案：B略4. 设和是双曲线为参数）的两个焦点，点P在双曲线上，且满足,那么的面积是（）A.1B.C.2D.5参考答案：A5. 曲线在点处的切线倾斜角为（）.A．B．C．D．参考答案：A6. 设向量a，b是非零向量，则“a b=”是“a∥b”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D.既不充分也不必要条件参考答案：A试题分析：a b=是a∥b，但a∥b a b=，故选A.考点：1.向量相等和平行的定义；2. 充分条件、必要条件、充要条件.7. 若，则等于（）A．-1 B．1 C．0D．无法确定参考答案：A8. 已知平面区域由以、、为顶点的三角形内部和边界组成.若在区域上有无穷多个点可使目标函数取得最小值，则A. B. C.D. 4参考答案：C9. 已知抛物线与直线相交于A、B两点，其中A点的坐标是(1，2)。
如果抛物线的焦点为F，那么等于（）A． 5 B．6 C． D．7参考答案：D略10. 从1，2，……，9这九个数中，随机抽取3个不同的数，则这3个数的和为偶数的概率是（）A．B．C．D．参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 下列4个命题中，正确的是（写出所有正确的题号）．（1）命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2=1，则x≠1”（2）“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的充分不必要条件（3）命题“若sinx≠siny，则x≠y”是真命题（4）若命题，则￢p：?x∈R，x2﹣2x﹣1＜0．参考答案：（2）（3）【考点】命题的真假判断与应用．【分析】写出原命题的否命题可判断（1）；根据充要条件定义，可判断（2）；判断原命题的逆否命题的真假，可判断（3）；写出原命题的否定命题可判断（4）【解答】解：（1）命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2≠1，则x≠1”，故（1）错误；（2）“x2﹣5x﹣6=0”?“x=﹣1，或x=6”，故“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的充分不必要条件，故（2）正确；（3）命题“若sinx≠siny，则x≠y”的逆否命题“若x=y，则sinx=siny”是真命题，故原命题也为真命题，故（3）正确；（4）若命题，则￢p：?x∈R，x2﹣2x﹣1≤0，故（4）错误．故答案为：（2）（3）12. 已知函数，在区间上随机取一个数，则使得≥0的概率为．参考答案：13. 已知直线与直线之间的距离是1，则m= ▲_参考答案：2或-814. 现有2个男生，3个女生和1个老师共六人站成一排照相，若两端站男生，3个女生中有且仅有两人相邻，则不同的站法种数是．参考答案：24【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，分3步进行分析：①、先将2名男生安排在两端，②、将3名女生全排列，排在男生中间，分析排好后的空位，③、将这1个老师插入3名女生形成的2空位，分析每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分3步进行分析：①、两端站男生，将2名男生安排在两端，有种情况，②、将3名女生全排列，排在男生中间，有种顺序，排好后，除去2端，有2个空位，③、将这1个老师插入3名女生形成的2空位，有2种情况，根据分步计数原理可得，共有种，故答案为：24．15. 设x，y满足约束条件：；则z=x﹣2y的取值范围为．参考答案：[﹣3，3]【考点】简单线性规划．【专题】计算题．【分析】先作出不等式组表示的平面区域，由z=x﹣2y可得，y=，则﹣表示直线x﹣2y﹣z=0在y轴上的截距，截距越大，z越小，结合函数的图形可求z的最大与最小值，从而可求z的范围【解答】解：作出不等式组表示的平面区域由z=x﹣2y可得，y=，则﹣表示直线x﹣2y﹣z=0在y轴上的截距，截距越大，z越小结合函数的图形可知，当直线x﹣2y﹣z=0平移到B时，截距最大，z最小；当直线x﹣2y ﹣z=0平移到A时，截距最小，z最大由可得B（1，2），由可得A（3，0）∴Z max=3，Z min=﹣3则z=x﹣2y∈[﹣3，3]故答案为：[﹣3，3]【点评】平面区域的范围问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，分析表达式的几何意义，然后结合数形结合的思想，分析图形，找出满足条件的点的坐标，即可求出答案．16. 用数学归纳法证明：“”，第一步在验证时，左边应取的式子是＿＿＿＿.参考答案：17. 若命题，则________________。
南模中学高二期末(2017.6)
直线 y 1 和 y 1围成的封闭图形记为 D ，记 D 绕 y 轴旋转一周而成的几何体为 Q，过
(0, y) (| y | 1) 作 Q 的水平截面，所得截面面积为 4 1 y2 8 ，试利用祖暅原理，一
个平放的圆柱和一个长方体，得出 Q 的体积为
二. 选择题
11. 三棱锥 P ABC 中，D、E 分别为 PB、PC 的中点，则三棱锥 D ABE 的体积与三棱锥
B. 1 a ， 4 a
C. 1，4
D. 1， 4 a
13. 设 f (x) x3 lg(x x2 1) ，则对任意实数 a 、b ，“ a b 0 ”是“ f (a) f (b) 0 ”
的（ ）条件 A. 充分不必要
B. 必要不充分
C. 充要
D. 既不充分也不必要
14. 正方体 ABCD A1B1C1D1 中，E 为线段 B1D1 上的一个动点，则下列错误的是（ ）
则这组数据为
（从小到大排列）
9. 若 x M ，且 1 M ，则称集合 M 是“兄弟集合”，在集合 A {2,0, 1 , 1 ,1, 2,3, 4} 中
x
32
的所有非空子集中任选一个集合，则该集合是“兄弟集合”的概率是
10. 在 xOy 平面上，将两个半圆弧 (x 1)2 y2 1 (x 1) 和 (x 3)2 y2 1 (x 3) ，两条
（2）求展开式中所有奇数项的系数和.
19. 如图，四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是矩形，PA⊥底面 ABCD，E 为 PD 的中点. （1）证明：PB∥平面 AEC； （2）设二面角 D AE C 为 60°， AP 1， AD 3 ，求三棱锥 E ACD 的体积.
20. 4 个不同的红球和 6 个不同的白球放入同一个袋中，现从中取出 4 个球. （1）若取出的红球的个数不少于白球的个数，则有多少种不同的取法； （2）取出一个红球记 2 分，取出一个白球记 1 分，若取出 4 个球的总分不少于 5 分，则有 多少种不同的取法； （3）若将取出的 4 个球放入一箱子中，记“从箱子中任意取出 2 个球，然后放回箱子中” 为一次操作，如果操作三次，求恰有一次取到 2 个红球并且恰有一次取到 2 个白球的概率.
2017-2018学年上海市奉贤区高二下学期期末调研测试数学卷-解析版
绝密★启用前2017-2018学年上海市奉贤区高二下学期期末调研测试数学卷-解析版一、单选题1．若，则下列结论中不恒成立的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析两数可以是满足，任意数，利用特殊值法即可得到正确选项．详解：若，不妨设a代入各个选项，错误的是A、B，当时，C错．故选：D．点睛：利用特殊值法验证一些式子错误是有效的方法，属于基础题．2．给定空间中的直线及平面，条件“直线上有两个不同的点到平面的距离相等”是“直线与平面平行”的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件【答案】B【解析】分析：利用直线与平面平行的定义判断即可.详解：直线上有两个不同的点到平面的距离相等，如果两点在平面同侧，则；如果两点在平面异侧，则与相交：反之，直线与平面平行，则直线上有两个不同的点到平面的距离相等.故条件“直线上有两个不同的点到平面的距离相等”是“直线与平面平行”的必要非充分条件.故选B.点睛：明确：则是的充分条件，，则是的必要条件．准确理解线面平行的定义和判定定理的含义，才能准确答题．3．已知曲线的参数方程为：，且点在曲线上，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由题意得曲线C是半圆，借助已知动点在单位圆上任意动，而所求式子，的形式可以联想成在单位圆上动点P与点C （0，1）构成的直线的斜率，进而求解．详解：∵即其中由题意作出图形，，令，则可看作圆上的动点到点的连线的斜率而相切时的斜率，由于此时直线与圆相切，在直角三角形中，，由图形知，的取值范围是则的取值范围是．故选：C．点睛：此题重点考查了已知两点坐标写斜率，及直线与圆的相切与相交的关系，还考查了利用几何思想解决代数式子的等价转化的思想．4．已知椭圆，对于任意实数，椭圆被下列直线所截得的弦长与被直线所截得的弦长不可能相等的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】分析：当过点时，直线和选项A中的直线重合，故不能选A．当l过点（1，0）时，直线和选项D中的直线关于y轴对称，被椭圆E所截得的弦长相同，当k=0时，直线l和选项B中的直线关于x轴对称，被椭圆E所截得的弦长相同．排除A、B、D．详解：由数形结合可知，当过点时，直线和选项A中的直线重合，故不能选A．当过点（1，0）时，直线和选项C中的直线关于轴对称，被椭圆E所截得的弦长相同，故不能选C．当时，直线和选项B中的直线关于轴对称，被椭圆E所截得的弦长相同，故不能选B．直线l斜率为，在y轴上的截距为1；选项D中的直线斜率为，在轴上的截距为2，这两直线不关于轴、轴、原点对称，故被椭圆E所截得的弦长不可能相等．故选：C．点睛：本题考查直线和椭圆的位置关系，通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法．第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题5．已知集合，且，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】分析：求出，由，列出不等式组能求出结果．详解：根据题意可得，，由可得即答案为.点睛：本题考查实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意不等式性质的合理运用．6．（题文）若圆柱的侧面展开图是一个正方形，则它的母线长和底面半径的比值是__________．【答案】【解析】试题分析：设圆柱的底面半径为r,母线长为l，由题意r=l，∴考点：本题考查了圆柱展开图的性质点评：掌握圆柱的性质是解决此类问题的关键，属基础题7．抛物线上一点到焦点的距离为，则点的横坐标为__________．【答案】【解析】分析：根据题意，设的坐标为，求出抛物线的准线方程，由抛物线的定义可得M到准线的距离也为1，则有，解可得的值，将的坐标代入抛物线的方程，计算可得的值，即可得答案．详解：根据题意，设的坐标为抛物线y=4x2，其标准方程为，其准线方程为若到焦点的距离为，到准线的距离也为1，则有解可得又由在抛物线上，则解可得故答案为：．点睛：本题考查抛物线的性质以及标准方程，关键是掌握抛物线的定义．8．若，则__________．【答案】0【解析】分析：利用排列数公式和组合数公式性质求解即可.详解：由排列数公式和组合数公式性质可得.即答案为0.点睛：本题考查排列数公式和组合数公式性质，属基础题.9．已知变量满足约束条件，则目标函数的最小值为__________．【答案】【解析】分析：作出不等式对应的平面区域，利用的几何意义，即可求解．详解：作出不等式组对应的平面区域如图：由，得表示，斜率为-1纵截距为z的一组平行直线，平移直线，当直线经过点B时，直线的截距最小，此时最小，由，解得，此时．故答案为.点睛：本题主要考查线性规划的基本应用，利用z的几何意义是解决线性规划问题的关键，注意利用数形结合来解决．10．关于的方程的两个根，若，则实数__________．【答案】【解析】分析：根据所给的方程，当判别式不小于0时和小于0时，用求根公式表示出两个根的差，根据差的绝对值的值做出字母p的值．详解：当，即或，由求根公式得，得当，即，由求根公式得|得综上所述，或．故答案为：．点睛：本题考查一元二次方程根与系数的关系，本题解题的关键是对于判别式与0的关系的讨论，方程有实根和没有实根时，两个根的表示形式不同，本题是一个易错题．11．若一个直六棱柱的三视图如图所示，则这个直六棱柱的体积为．【答案】4【解析】试题分析：由题意12211242S=⨯⨯⨯+⨯=底，414V S h==⨯=底．考点：三视图与体积．12．颜色不同的个小球全部放入个不同的盒子中，若使每个盒子不空，则不同的方法有__________．（用数值回答）【答案】36【解析】分析：利用挡板法把4个小球分成3组，然后再把这3组小球全排列，再根据分步计数原理求得所有的不同放法的种数．详解：在4个小球之间插入2个挡板，即可把4个小球分成3组，方法有种．然后再把这3组小球全排列，方法有种．再根据分步计数原理可得所有的不同方法共有种，故答案为：36．点睛：本题主要考查排列、组合以及简单计数原理的应用，利用挡板法把4个小球分成3组，是解题的关键，属于中档题13．设复数，则的最小值为__________．【答案】【解析】分析：复数分别对应点经过A,B的直线方程为设复数,则复数对应的点的轨迹为圆，其方程为，判断选择和圆的位置关系可得到的最小值.详解：复数分别对应点经过A,B的直线方程为设复数,则复数对应的点的轨迹为圆，其方程为，圆心到直线的距离为即直线和圆相切，则的最小值即为线段AB的长，即答案为.点睛：本题考查复数的几何意义，直线和圆的位置关系，属中档题..14．小明和小刚去上海迪士尼游玩，他们约定游玩飞越地平线、雷鸣山漂流、创极連光轮等个游戏，并且各自独立地从个游戏中任选个进行游玩，每个游戏需要小时，则最后小时他们同在一个游戏游玩的概率是__________．【答案】【解析】分析：利用分步计数原理求出小明和小刚最后一小时他们所在的景点结果个数；利用古典概型概率公式求出值．详解：小明和小刚最后一小时他们所在的景点共有中情况小明和小刚最后一小时他们同在一个景点共有种情况由古典概型概率公式后一小时他们同在一个景点的概率是点睛：本题考查利用分步计数原理求完成事件的方法数、考查古典概型概率公式．15．设，其中实数，则__________．【答案】【解析】分析：由题，利用二项展开式即可求得.详解：根据题意，则即答案为.点睛：本题考查二项展开式及展开式的系数，属中档题.16．从双曲线的左焦点引圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若为线段的中点，为坐标原点，则__________．【答案】【解析】试题分析：如图所示，设双曲线的右焦点为，连接，，，则，在中，，，所以，又是线段的中点，为中点，所以，所以即，故应填入.考点：1.双曲线的定义；2.直线与圆相切；3.数形结合的应用.三、解答题17．已知，且满足.（1）求；（2）若，，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】分析：（1）利用复数模的定义、互为共轭复数的意义及复数相等的定义即可解出；（2）利用复数模的计算公式即可证明．详解：（1）设，则由得利用复数相等的定义可得，解得或．或．（2）当时，当时，|综上可得：.点睛：熟练掌握复数模的定义、互为共轭复数的意义及复数相等的定义是解题的关键．18．已知集合，设，判别元素与的关系.【答案】当，且时，；当或时，.【解析】分析：对变形并对分类讨论即可.详解：根据题意，故当，且时，；当或时，.点睛：本题考查集合与元素的关系，解题的关键在于正确的分类讨论.19．如图，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为，短半轴长为，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底是半椭圆的短轴，上底的端点在椭圆上，梯形面积为.（1）当，时，求梯形的周长(精确到)；（2）记，求面积以为自变量的函数解析式，并写出其定义域.【答案】（1）周长是；（2），定义域.【解析】分析：（1）以下底所在直线为轴，等腰梯形所在的对称轴为轴，建立直角坐标系，可得椭圆方程为，由题，，则代入椭圆方程得，可求，由此可求求梯形的周长.（2）由题可得，，由此可求，进而得到定义域.详解：（1）以下底所在直线为轴，等腰梯形所在的对称轴为轴，建立直角坐标系，可得椭圆方程为，，，∴代入椭圆方程得，∴，所以梯形的周长是；（2）得，∴，，定义域.点睛：本题考查了函数模型的应用问题，也考查了求函数定义域的问题，是综合性题目．20．如图所示，球的表面积为，球心为空间直角坐标系的原点，且球分别与轴的正交半轴交于三点，已知球面上一点.（1）求两点在球上的球面距离；（2）过点作平面的垂线，垂足，求的坐标，并计算四面体的体积；（3）求平面与平面所成锐二面角的大小.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】分析：（1）根据题意求出，即可得到两点在球上的球面距离；（2）根据题意，可证与重合，利用向量可求，求出的面积，即可得到四面体的体积；（3）利用空间向量可求面与平面所成锐二面角的大小..详解：（1），，，∴∴，∴，两点在球上的球面距离；（2），面，，，∴，∴，∴与重合，∴，的面积，则四面体的体积.（3）设平面的法向量，得得平面的法向量，设两法向量夹角，，所以所成锐二面角的大小为.点睛：本题考查球面距离，几何体的体积，利用空间向量求二面角的大小，属中档题. 21．双曲线的虚轴长为，两条渐近线方程为.（1）求双曲线的方程；（2）双曲线上有两个点，直线和的斜率之积为，判别是否为定值，；（3）经过点的直线且与双曲线有两个交点，直线的倾斜角是，是否存在直线（其中）使得恒成立？（其中分别是点到的距离）若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）8；（3）存在且【解析】分析：（1）根据题意，双曲线的虚轴长为，两条渐近线方程为.易求求双曲线的方程；（2）设直线的斜率，显然，联立得，求出，，可证；（3）设直线方程，联立，（*），∵，方程总有两个解，设，得到，根据得，整理得，由，则符合题目要求，存在直线．详解：（1）双曲线；（2）设直线的斜率，显然，联立得，，，；（3）设直线方程，联立，（*），∵，方程总有两个解，设，，根据得，整理得，∵，∴符合题目要求，存在直线．点睛：本题考查双曲线的求法，直线与双曲线的位置关系，属难题.。
2017-2018学年高二数学第二学期期末模拟试卷及答案(四)(理科)
2017-2018学年高二数学第二学期期末模拟试卷及答案（四）（理科）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
第Ⅰ卷第1至第2页,第Ⅱ卷第2至第4页。
全卷满分150 分,考试时间120 分钟。
考生注意事项:1.答题前,考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号。
2.答第Ⅰ卷时,每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
3.答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写,要求字体工整、笔迹清晰。
必须在题号所指示的答题区城作答,超出答题区域书写的答．．．．．．．．．．案无效．．．,．在试题卷、草稿纸上答题无效。
．．．．．．．．．．．．．．4.考试结束,务必将试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题(本题共有12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是最符合题目要求的。
) 1.复数z=i5i51-+= A.-1+i B.i C.-1-i D.-i 2.函数f(x) =e x 在x=0处的切线方程为A.y=x+1B.y=2x+1C.y=x-1D.y=2x-1 3.某随机变量ξ 服从正态分布N(1,σ2)(σ>0),若ξ 在(0,2)内取值的概率为0.6.则ξ 在(0.1)内取值的概率为A.0.2B.0.4C.0.6D.0.3 4.设函数ƒ(x)=21x 2-9lnx 在区间[a-1,a+1] 上单调递减，则实数a 的取值范围是A.1<a ≤2B.a ≥24C.a ≤2D.0<a ≤3 5.(1+2x)6 的展开式中二项式系数最大的项是A.160x 3B.120x 2C.80x 4D.20x 6 6.若复数(a 2-a-2)+( |a-1|-1)i(a ∈R)是纯虚数,则a 的取值范围是A.a=-1或a=2B.a ≠-1且a €2a=-1 D.a=2 7.用数字0,1,2,3,4 组成无重复数字的四位数,比2340 小的四位数共有 A.20个 B.32个C.36个D.40个8.已知随机变量ξ的分布列为P(ξ=k)=31,k=1,2,3,则D(2ξ+3)等于A.32B.34C.2D.38 9.分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦·B ·曼德尔布罗特(Benoit B.Mandelbrot)在20世纪70 年代创立的一门新学科,它的创立,为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路。
2017-2018学年上海市静安区等7区高二(下)期末数学试卷附解析7份
2017-2018学年上海市静安区高二（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共3小题，共12.0分）1.抛物线x2=my上的点到定点（0，4）和定直线y=-4的距离相等，则m的值等于（）A. B. C. 16 D.2.设有两条直线a，b和两个平面α、β，则下列命题中错误的是（）A. 若，且，则或B. 若，且，，则C. 若，且，，则D. 若，且，则3.已知对称轴为坐标轴的双曲线的渐进线方程为y=±x（a＞0，b＞0），若双曲线上有一点M（x0，y0），使b|x0|＜a|y0|，则该双曲线的焦点（）A. 在x轴上B. 在y轴上C. 当时，在x轴上D. 当时，在y轴上二、填空题（本大题共10小题，共35.0分）4.若经过圆柱的轴的截面面积为2，则圆柱的侧面积为______．5.点M（2，3）到直线l：ax+（a-1）y+3=0的距离等于3，则a=______．6.复数z=的共轭复数=______．（其中i为虚数单位）7.一个高为的正三棱锥的底面正三角形的边长为3，则此正三棱锥的表面积为______．8.已知复数集中实系数一元二次方程x2-4x+a=0有虚根z，则|z|的取值范围是______．9.圆锥的母线l长为10cm，母线与旋转轴的夹角为30°，则该圆锥的体积为______cm3．10.某地球仪上北纬60°纬线长度为6πcm，则该地球仪的体积为______cm3．11.已知方程x2+x+p=0（p∈R）有两个根α、β，且|α-β|=，则p的值为______．12.椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，椭圆短轴的一个顶点B与两焦点F1、F2组成的三角形的周长为 4+2且∠F1BF2=，则椭圆的方程是______．13.已知双曲线Γ上的动点P到点F1（-1，0）和F2（1，0）的距离分别为d1和d2，∠F1PF2=2θ，且d1•d2sin2，则双曲线Γ的方程为______．三、解答题（本大题共5小题，共51.0分）14.已知复数z=3+bi（b∈R），且（1+3i）•z为纯虚数，求||．（其中i为虚数单位）15.已知动圆M既与圆C1：x2+y2+4x=0外切，又与圆C2：x2+y2-4x-96=0内切，求动圆的圆心M的轨迹方程．16.如图，AB是平面α的斜线，B为斜足，AO平面α，O为垂足，BC是平面α上的一条直线，OC BC于点C，∠ABC=60°，∠OBC=45°．（1）求证：BC平面AOC；（2）求AB和平面α所成的角的大小．17.（文科）已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面边长为2，AA1=4，点M在线段CC1上．（1）求异面直线A1B与AC所成角的大小；（2）若直线AM与平面ABC所成角为，求多面体ABM-A1B1C1的体积．18.已知等轴双曲线C：x2-y2=a2（a＞0）的右焦点为F，O为坐标原点．过F作一条渐近线的垂线FP且垂足为P，．（1）求等轴双曲线C的方程；（2）假设过点F且方向向量为，的直线l交双曲线C于A、B两点，求的值；（3）假设过点F的动直线l与双曲线C交于M、N两点，试问：在x轴上是否存在定点P，使得为常数．若存在，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由．答案和解析1.【答案】C【解析】解：根据抛物线定义可知，定点（0，4）为抛物线的焦点，∴=4m=16故选：C．根据抛物线定义可知，定点（0，4）为抛物线的焦点，进而根据定点坐标求得m．本题考查了抛物线的定义，属基础题．2.【答案】D【解析】证明：A：若a∥α，且a∥b，则bα或b∥α，正确B：若a∥b，且aα，则bα，又bβ，则由线面垂直的性质可知α∥β，正确C：若α∥β，且aα，则aβ，又bβ，由线面垂直的性质定理可知a∥b，正确D：若a b，且a∥α，则bα也有可能b⊆α，错误故选：D．A：若a∥α，且a∥b，则bα或b∥α；B：由线面垂直的性质可判断；C：由线面垂直的性质定理可判断；D：bα也有可能b⊆α本题考查的知识点是平面与平面之间的位置关系，空间中直线与直线之间的位置关系，空间中直线与平面之间的位置关系，熟练掌握空间线面之间关系的判定方法及性质定理是解答此类问题的关键．3.【答案】B【解析】解：∵a|y0|＞b|x0|≥0∴平方a2y02＞b2x02∴-＞0∴焦点在y轴故选：B．利用题设不等式，令二者平方，整理求得-＞0，即可判断出焦点的位置．本题主要考查了双曲线的简单性质．考查了学生分析问题和解决问题的能力．4.【答案】2π【解析】解：设圆柱的底面半径为r，高为h，则圆柱的轴截面面积为2rh=2，∴rh=1．∴圆柱的侧面积S=2πrh=2π．故答案为：2π．根据轴截面积得出圆柱底面半径与高的关系，代入侧面积公式即可得出答案．本题考查了圆柱的结构特征，侧面积计算，属于基础题．5.【答案】或【解析】解：由题意可得：=3，化为：7a2+18a-9=0．解得a=或-3．故答案为：或-3．利用点到直线的距离公式即可得出．本题考查了点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6.【答案】-1-i【解析】解：z====-1+i∴复数z=的共轭复数是-1-i故答案为：-1-i根据复数除法法则，分子分母同乘分母的共轭复数化简成基本形式，再根据共轭复数的定义求出所求即可．本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，以及共轭复数的定义，同时考查了运算能力，属于基础题．7.【答案】【解析】解：一个高为的正三棱锥S-ABC中，AB=AC=BC=3，取BC中点D，连结AD，SD，过S作SE平面ABC，交AD 于E，则AE==，DE==，∴SA=SB=SC==，SD==1，∴此正三棱锥的表面积：S=3S△SBC+S△ABC==．故答案为：．取BC中点D，连结AD，SD，过S作SE平面ABC，交AD于E，则AE=，DE=，SA=SB=SC=，SD=1，此正三棱锥的表面积：S=3S△SBC+S△ABC，由此能求出结果．本题考查正三棱锥的表面积的求法，考查正三棱锥的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．8.【答案】（2，+∞）【解析】解：复数集中实系数一元二次方程x2-4x+a=0有虚根z，则△=16-4a＜0，解得a＞4．z=2i．则|z|==＞2，可得|z|的取值范围是（2，+∞）．故答案为：（2，+∞）．复数集中实系数一元二次方程x2-4x+a=0有虚根z，可得△＜0，解得a＞4．利用求根公式可得z=2i．再利用模的计算公式即可得出．本题考查了不等式的解法、实系数一元二次方程与判别式的关系、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9.【答案】【解析】解：如图所示，圆锥的母线l=10cm，母线与旋转轴的夹角为30°，∴圆锥的底面圆半径为r=lsin30°=10×=5cm；高为h=lcos30°=10×=5cm；∴该圆锥的体积为V=πr2h=•π•52•5=cm3．故答案为：．根据题意画出圆锥的轴截面图形，结合图形求出圆锥的底面圆半径和高，再计算圆锥的体积．本题考查了圆锥的体积计算问题，是基础题．10.【答案】288【解析】解：由题意：地球仪上北纬60°纬线的周长为6πcm，纬圆半径是：3cm，地球仪的半径是：6cm；地球仪的体积是：π×63=288cm3，故答案为：288π．地球仪上北纬60°纬线的周长为6πcm，可求纬圆半径，然后求出地球仪的半径，再求体积．本题考查球面距离，球的表面积，考查学生空间想象能力，是基础题．11.【答案】或【解析】解：当△≥0时，（α-β）2=（α+β）2-4αβ=1-4p=3，∴p=；当△＜0时，|α-β|=||==∴p=1，故p的值为，1．只需注意分实根和虚根两种情况就可以了．此题考查了实系数二次方程根的判别，难度不大．12.【答案】或【解析】解：设长轴为2a，焦距为2c，则在△F2OB中，由∠F2BO=得：c=a，所以△F2OF1的周长为：2a+2c=4+2，∴a=2，c=，∴b2=1则椭圆的方程是或．故答案为：或．先结合椭圆图形，通过直角三角形△F2OB推出a，c的关系，利用周长得到第二个关系，求出a，c然后求出b，求出椭圆的方程．本题主要考查考察查了椭圆的标准方程的求法，关键是求出a，b的值，易错点是没有判断焦点位置．13.【答案】=1【解析】解：在△PF1F2中，|F1F2|=4=d12+d22-2d1d2cos2θ=（d1-d2）2+4d1d2sin2θ（d1-d2）2=4-4λ=（2a）2∴，，故双曲线方程为．故答案为：．在△PF1F2中，利用余弦定理得出（d1-d2）2=4-4λ=（2a）2，从而求得a2，b2，最后求出双曲线的方程即可．本小题主要考查余弦定理、双曲线方程等基础知识．属于中档题．14.【答案】解：复数z=3+bi（b∈R），且（1+3i）•z为纯虚数．即（1+3i）•（3+bi）=3-3b+（9+b）i为纯虚数，∴3-3b=0，9+b≠0，解得b=1．∴z=3+i．∴====2-i，∴||=|2-i|=．【解析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出．利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15.【答案】解：化圆C1：x2+y2+4x=0为（x+2）2+y2=4，化圆C2：x2+y2-4x-96=0为（x-2）2+y2=100．设动圆圆心M（x，y），半径为r，则，则|MC1|+|MC2|=12＞|C1C2|=4．∴M是以C1，C2为焦点，长轴长为12的椭圆．∴2a=12，a=6，则a2=36，b2=a2-c2=32．则动圆的圆心M的轨迹方程为．【解析】化已知两圆方程为标准方程，求出圆心坐标与半径，画出图形，利用椭圆定义求得动圆的圆心M的轨迹方程．本题考查轨迹方程的求法，考查圆与圆位置关系的应用，训练了利用定义法求椭圆方程，是中档题．16.【答案】证明：（1）∵AB是平面α的斜线，B为斜足，AO平面α，O为垂足，BC是平面α上的一条直线，∴AO BC，又OC BC，且AO∩OC=O，∴BC平面AOC．解：（2）设BC=1，∵OC BC于点C，∠ABC=60°，∠OBC=45°．BC平面AOC，∴OC=1，OB==，AB=2，∴AO==，∵AO平面α，∴∠ABO是AB和平面α所成的角，∵AO=BO，PO BO，∴∠ABO=45°，∴AB和平面α所成的角为45°．【解析】（1）推导出AO BC，OC BC，由此能证明BC平面AOC．（2）设BC=1，推导出OC=1，OB=，AB=2，从而AO==，由AO平面α，得∠ABO是AB和平面α所成的角，由此能求出AB和平面α所成的角．本题考查线面垂直的证明，考查线面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．17.【答案】解：（1）连接BC1则由于在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中AC∥A1C1故异面直线A1B与AC所成角即为直线A1B与A1C1所成的角∵正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面边长为2，AA1=4∴BC1=，A1B=，∴cos∠BA1C1==∴异面直线A1B与AC所成角即为arccos（2）∵正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中MC面ABCD∴∠MBC=∵BC=2∴MC=2∵∴=×2×2×4-×=即多面体ABM-A1B1C1的体积为【解析】（1）利用异面直线所成角的定义再结合正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中的性质可得直线A1B与A1C1所成的角即为所求然后在三角形A1C1B利用余弦定理即可得解．（2）由于多面体ABM-A1B1C1的不规则性故可利用因此需利用直线AM与平面ABC所成角为来确定点M的位置后问题就解决了．本题主要考查了异面直线所成的角和几何体体积的求解．解题的关键是第一问要利用图形的性质将异面直线所成的角转化为相交直线所成的角而第二问对于不规则图形体积的求解常采用规则图形的体积差来求解（比如本题中的多面体ABM-A1B1C1的体积转化为正三棱柱的体积减去三棱锥的体积）！18.【答案】解：（1）设右焦点坐标为F（c，0），（c＞0），∵双曲线为等轴双曲线，∴渐近线必为y=±x由对称性可知，右焦点F到两条渐近线距离相等，且∠POF=．∴△OPF为等腰直角三角形，则由||=⇒||=c=2又∵等轴双曲线中，c2=2a2⇒a2=2∴等轴双曲线C的方程为x2-y2=2（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）为双曲线C与直线l的两个交点∵F（2，0），直线l的方向向量为=（1，2），∴直线l的方程为，即y=2（x-2）代入双曲线C的方程，可得，x2-4（x-2）2=2⇒3x2-16x+18=0∴x1+x2=，x1x2=6，而=x1x2+y1y2=x1x2+（x1-2）（x2-2）=5x1x2-8（x1+x2）+16=（3）假设存在定点P，使得为常数，其中，M（x1，y1），N（x2，y2）为双曲线C与直线l的两个交点的坐标，①当直线l与x轴不垂直是，设直线l的方程为y=k（x-2），代入双曲线C的方程，可得（1-k2）x2+4k2x-（4k2+2）=0由题意可知，k=±1，则有x1+x2=，x1x2=∴=（x1-m）（x2-m）+k2（x1-2）（x2-2）=（4k2+1）x1x2-（2k2+m）（x1+x2）+4k2+m2=+4k2+m2=+m2=+m2+2（1-2m）要使是与k无关的常数，当且仅当m=1，此时，=-1②当直线l与x轴垂直时，可得点M（2，），N（2，-）若m=1，=-1亦为常数综上可知，在x轴上是否存在定点P（1，0），使得=-1为常数．【解析】（1）根据双曲线为等轴双曲线，可求出渐近线方程，再根据P点为过F作一条渐近线的垂线FP的垂足，以及，可求出双曲线中c的值，借助双曲线中a，b，c的关系，得到双曲线方程．（2）根据直线l的方向向量以及f点的坐标，可得直线l的方程，与双曲线方程联立，解出x1+x2，x1x2的值，代入中，即可求出的值．（3）先假设存在定点P，使得为常数，设出直线l的方程，与双曲线方程联立，解x1+x2，x1x2，用含k的式子表示，再代入中，若为常数，则结果与k无关，求此时m的值即可．本题考查了等轴双曲线的方程的求法，以及直线与双曲线位置关系的应用．2017-2018学年上海市宝山区高二（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共4小题，共20.0分）19.下列四个命题中真命题是（）A. 同垂直于一直线的两条直线互相平行B. 底面各边相等，侧面都是矩形的四棱柱是正四棱柱C. 过空间任一点与两条异面直线都垂直的直线有且只有一条D. 过球面上任意两点的大圆有且只有一个20.设M=i2+i3+i4+…+i2018，N=i2•i3•i4…•i2018，i为虚数单位，则M与N的关系是（）A. B. C. D.21.设、均是非零向量，且，若关于x的方程x2+||x+=0有实根，则与的夹角的取值范围为（）A. B. C. D.22.定义：如果一个向量列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常向量，那么这个向量列叫做等差向量列，这个常向量叫做等差向量列的公差．已知向量列是以，为首项，公差，的等差向量列．若向量与非零向量，∈垂直，则=（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）23.在复数范围内，方程x2+x+1=0的根是______．24.若直线l经过点A（-1，1），且一个法向量为=（3，3），则直线方程是______．25.行列式的第2行第3列元素的代数余子式M23的值为______．26.在直角△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，D为斜边AB的中点，则=______．27.执行如图的程序框图，如果输入i=6，则输出的S值为______．28.数列{a n}中，为奇数为偶数，S2n=a1+a2+…+a2n，则=______．29.不论k为何实数，直线y=kx+1与曲线x2+y2-2ax+a2-2a-4=0恒有交点，则实数a的取值范围是______．30.已知线段AB长为3，A、B两点到平面α的距离分别为1与2，则AB所在直线与平面α所成角的大小为______．31.若|z-2i|+|z-z0|=4表示的动点的轨迹是椭圆，则|z0|的取值范围是______．32.将半径为1和2的两个铅球，熔成一个大铅球，那么，这个大铅球的表面积是______．33.设，，，∈，，，，，∈，．已知矩阵，其中A∈S1，B∈S2．那么B=______．34.一只酒杯的轴截面是抛物线的一部分，它的函数解析式是y=（0≤y≤20），在杯内放一个玻璃球，要使球触及酒杯底部，则玻璃球的半径r的取值范围是______．三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）35.已知直线l1：x+y+1=0，l2：5x-y-1=0，l3：3x+2y+1=0，其中l1与l2的交点为P．（1）求点P到直线l3的距离；（2）求过点P且与直线l3的夹角为45°的直线方程．36.如图所示：在底面为直角梯形的四棱锥S-ABCD中，∠ABC=90°，SA面ABCD，E、F分别为SA、SC的中点．如果AB=BC=2，AD=1，SB与底面ABCD成60°角．（1）求异面直线EF与CD所成角的大小（用反三角形式表示）；（2）求点D到平面SBC的距离．37.在中国绿化基金会的支持下，库布齐沙漠得到有效治理.2017年底沙漠的绿化率已达30%，从2018年开始，每年将出现这样的情况，上一年底沙漠面积的16%被栽上树改造为绿洲，而同时，上一年底绿洲面积的4%又被侵蚀，变为沙漠．（1）设库布齐沙漠面积为1，由绿洲面积和沙漠面积构成，2017年底绿洲面积为a1=，经过1年绿洲面积为a2，经过n年绿洲面积为a n+1，试用a n表示a n+1；（2）问至少需要经过多少年的努力才能使库布齐沙漠的绿洲面积超过60%（年数取整数）．38.设数列{a n}的前n项和为S n，已知直角坐标平面上的点P n（n，）均在函数y=x的图象上．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若已知点M（1，0），A n=（2，a n）、B=（2-b n，1）为直角坐标平面上的点，且有∥，求数列{b n}的通项公式；（3）在（2）的条件下，若使≤0对于任意n∈N*恒成立，求实数t的取值范围．39.已知O是平面直角坐标系的原点，双曲线Γ：=1．（1）过双曲线Γ的右焦点F1作x轴的垂线，交Γ于A、B两点，求线段AB的长；（2）设M为Γ的右顶点，P为Γ右支上任意一点，已知点T的坐标为（t，0），当|PT|的最小值为|MT|时，求t的取值范围；（3）设直线y=x-2与Γ的右支交于A，B两点，若双曲线右支上存在点C使得，求实数m的值和点C的坐标．答案和解析1.【答案】C【解析】解：对于A，同垂直于一直线的两条直线不一定互相平行，故错；对于B，底面各边相等，侧面都是矩形的四棱柱是直四棱柱，不一定是正四棱柱，故错；对于C，两条异面直线的公垂线是唯一的，所以过空间任一点与两条异面直线都垂直的直线有且只有一条，正确；对于D，过球面上任意两点的大圆有无数个，故错；故选：C．A，同垂直于一直线的两条直线的位置关系不定；B，底面各边相等，侧面都是矩形的四棱柱底面不一定是正方形；C，两条异面直线的公垂线是唯一的，所以过空间任一点与两条异面直线都垂直的直线有且只有一条；D，过球面上任意两点的大圆有无数个；本题考查了命题真假的判定，属于基础题．2.【答案】D【解析】解：M=i2+i3+i4+…+i2018=；N=i2•i3•i4…•i2018=．∴M=N．故选：D．分别利用等差数列与等比数列的前n项和求解后比较．本题考查等差数列与等比数列的前n项和，考查虚数单位i的性质，是基础题．3.【答案】B【解析】解：∵关于x的方程x2+||x+•=0有实根，∴||2-4≥0，∴≤，∴cos＜＞=≤=，又0≤＜＞≤π，∴＜＞≤π．故选：B．令判别式△≥0可得≤，代入夹角公式得出cos＜＞的范围，从而得出向量夹角的范围．本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题．4.【答案】D【解析】解：，∵向量与非零向量垂直，∴nx n=-3x n+1，，∴==×=-．故选：D．由题设知nx n=-3x n+1，，==×，由此能求出其结果．本题考查数列的性质和应用，解题时要注意递推公式和累乘法的合理运用．5.【答案】【解析】解：∵x2+x+1=0∴=故答案为：结合一元二次方程的求根公式，结合i2=-1即可求解本题主要考查了一元二次实系数方程的根的求解，解题的关键是i2=-1的应用6.【答案】x+y=0【解析】解：设直线的方向向量∵直线l一个法向量为=（3，3）∴∴k=-1∵直线l经过点A（-1，1）∴直线l的方程为y-1=（-1）×（x+1）即x+y=0故答案为x+y=0设出直线的方向向量然后根据法向量为=（3，3）求出k再根据方向向量的定义得出k即为直线l的斜率然后可由点斜式写出直线方程．本题主要考查直线方向向量的概念．解题的关键是要根据直线方向向量的概念设出方向向量而k即为直线l的斜率然后根据法向量为=（3，3）求出斜率k．7.【答案】-11【解析】解：行列式的第2行第3列元素的代数余子式：M23=（-1）2+3D23=-=-（8+3）=-11．故答案为：-11．行列式的第2行第3列元素的代数余子式：M23=（-1）2+3D23=-．本题考查行列式的代数余子式的求法，考查代数余子式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8.【答案】-1【解析】解：：∵∠C=90°，∠A=30°，BC=1，∴AB=2．∵D为斜边AB的中点，∴CD=AB=1，∠CDA=180°-30°-30°=120°．∴=2×1×cos120°=-1，故答案为：-1．根据含有30°角的直角三角形的性质，得到AB与CD的长度，求出两个向量的夹角是120°，利用向量的数量积公式写出表示式，得到结果．本题考查平面向量的数量积的运算，考查含有30°角的直角三角形的性质，是一个基础题．9.【答案】21【解析】解：由程序框图知：程序第一次运行S=0+1=1，n=1+1=2；第二次运行S=1+2=3，n=2+1=3；第三次运行S=1+2+3=6，n=3+1=4；…直到n=7时，不满足条件n≤6，程序运行终止，输出S=1+2+3+…+6=21．故答案为：21．根据框图的流程，依次计算运行的结果，直到不满足条件n≤6，计算此时的S 值．本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是关键．10.【答案】【解析】解：∵∴当数列的项数为2n时，奇数项和偶数都是n项，∴奇数项和s1=a1+a3+a5+…+a2n-1===偶数项和s2=a2+a4+…+a2n=-2（）=-2×=-（1-）∴s 2n=s1+s2=（1-），则s2n=故答案为：根据通项公式的特点，奇数项和偶数项构成等比数列，分别求出奇数项和与偶数项和，然后加在一起求s2n，再求极限．由通项公式的特点将该数列分成两个等比数列，然后分别求和，也成为分组求和法，即把非特殊数列的求和问题化为等差（等比）数列的求和问题．11.【答案】-1≤a≤3【解析】解：直线y=kx+1恒过（0，1）点的直线系，曲线x2+y2-2ax+a2-2a-4=0表示圆圆心（a，0），半径为：），直线与曲线x2+y2-2ax+a2-2a-4=0恒有交点，必须定点在圆上或圆内，即：所以，-1≤a≤3故答案为：-1≤a≤3．直线y=kx+1与曲线x2+y2-2ax+a2-2a-4=0恒有交点，说明直线系过的定点必在圆上或圆内．本题考查直线与圆的位置关系，点与圆的位置关系，两点间的距离公式，直线系等知识是中档题．12.【答案】arcsin或【解析】解：当A，B在平面α同侧时，点A到平面的距离AD=1，点B到平面的距离BC=2，过A作AE BC，交BC于E，则BE=1，AB=2，∴∠BAE是AB所在直线与平面α抽成角，sin∠BAE==，∴AB所在直线与平面α所成角的大小为arcsin．当A，B在平面α异侧时，点A到平面的距离AD=1，点B到平面的距离BC=2，连结CD，交AB于O，由题意得△ADO∽△BCO，∴OB=2AO，∴AB=2，∴AO=1，BO=2，∴D，O，C三点重合，∴AB平面α，∴AB所在直线与平面α所成角的大小为．故答案为：arcsin或．当A，B在平面α同侧时，点A到平面的距离AD=1，点B到平面的距离BC=2，过A作AE BC，交BC于E，则BE=1，AB=2，∠BAE是AB所在直线与平面α抽成角，由此能求出AB所在直线与平面α所成角的大小；当A，B在平面α异侧时，点A到平面的距离AD=1，点B到平面的距离BC=2，推导出AB平面α，由此能求出AB所在直线与平面α所成角的大小．本题考查线面角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算与求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．13.【答案】[0.6）【解析】解：|z-2i|+|z-z0|=4表示的动点的轨迹是椭圆，由椭圆的定义可知，z0到（0，2）的距离小于4．z0的轨迹是以（0.2）为圆心4为半径的圆的内部部分，|z0|的取值范围是：[0，6）．故答案为：[0，6）．利用椭圆的定义，判断z0的轨迹方程，然后求解即可．本题考查复数的几何意义，轨迹方程的求法，考查分析问题解决问题的能力．14.【答案】12π【解析】解：设大铅球的半径为R，则（13+23）=，解得R=，∴这个大铅球的表面积S=4πR2==12π．故答案为：12π．设大铅球的半径为R，则（13+23）=，求出R=，由此能求出这个大铅球的表面积．本题考查球的表面积的求法，考查球的体积、表面积等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15.【答案】〔〕【解析】解：∵A∈S1，B∈S2．∴设，∴A+B=已知矩阵，∴∴那么B=〔〕故答案为：〔〕．根据A∈S1，B∈S2．设，求出A+B，结合已知矩阵，列出关于a，b，c，d的方程组，求出a，b，c，d．即可得到B．本小题主要考查二阶矩阵、方程组的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查待定系数法思想．属于基础题．16.【答案】0＜r≤1【解析】解：设小球圆心（0，y0）抛物线上点（x，y）点到圆心距离平方r2=x2+（y-y0）2=2y+（y-y0）2=Y2+2（1-y0）y+y02若r2最小值在（0，0）时取到，则小球触及杯底所以1-y0≥0所以0＜y0≤1所以0＜r≤1故答案为：0＜r≤1．设小球圆心（0，y0）抛物线上点（x，y），求得点到圆心距离平方的表达式，进而根据若r2最小值在（0，0）时取到，则小球触及杯底需1-y0≥0进而求得r的范围．本题主要考查了抛物线的应用．考查了学生利用抛物线的基本知识解决实际问题的能力．17.【答案】解：（1）联立，解得x=0，y=-1．∴P（0，-1）．∴点P到直线l3的距离==．（2）设要求的直线斜率为k，由题意可得：=±tan45°，解得k=5或-．∴过点P且与直线l3的夹角为45°的直线方程为：5x-y-1=0或x+5y+5=0．【解析】（1）联立，解得P坐标，利用点到直线的距离公式即可得出．（2）设要求的直线斜率为k，由题意可得：=±tan45°，解得k，利用点斜式即可得出．本题考查了直线交点、点到直线的距离公式、直线夹角，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．18.【答案】解：（1）连接AC，则∠ACD即为异面直线EF与CD所成角．计算得：AC=2，CD=，所以异面直线EF与CD成角．另解：以A为坐标原点，AD、BA、AS方向为正方向建立坐标系计算SA=2，，、，，计算得，所以异面直线EF与CD成角（2）由于SA平面ABCD，所以∠SBA即为斜线SB与底面ABCD所成角60°计算得：，，△ S△BCD=2由于△所以【解析】（1）法一：连接AC，则∠ACD即为异面直线EF与CD所成角，然后利用余弦定理求出此角的余弦值，最后用反三角表示即可．法二：以A为坐标原点，AD、BA、AS方向为正方向建立坐标系，求出异面直线EF与CD的方向向量，利用向量的夹角公式求出夹角即可；（2）由于SA平面ABCD，所以∠SBA即为斜线SB与底面ABCD所成角60°，然后根据等体积法建立等式关系，求出h即为点D到平面SBC的距离．本题主要考查了两异面直线所成角，以及利用等体积法求点到平面的距离，属于中档题．19.【答案】解：（1）设2017年年底沙漠面积为b1，经过n年治理后沙漠面积为b n+1，则a n+b n=1．依题意，a n+1由两部分组成，一部分是原有的绿洲面积减去沙漠化剩下的面积，a n-4%a n=96%a n，另一部分是新植树绿洲化的面积16%b n，于是a n+1=96%a n+16%b n=96%a n+16%（1-a n）=80%a n+16%=0.8a n+0.16；（2）由于a n+1=0.8a n+0.16，两边减去0.8得：a n+1-0.8=0.8（a n-0.8）又a1-0.8=-0.5，所以{a n-0.8}是以-0.5为首项，0.8为公比的等比数列．所以a n+1=0.8-0.5•0.8n，依题意，0.8-0.5•0.8n＞0.6，∴（0.8）n＜0.4，两边取对数得n＞log0.80.4==，即n＞4．故至少需要5年才能达到目标．【解析】（1）由题意，a n+1由两部分组成，一部分是原有的绿洲面积减去沙漠化剩下的面积，另一部分是新植树绿洲化的面积，由此可得数列递推式；（2）利用（1）的结论进而可求数列的通项，建立不等式，由此可得结论．本题考查利用数列知识解决实际问题，考查数列递推式，考查数列的通项，考查学生的计算能力，属于中档题．20.【答案】解：（1）点P n（n，）均在函数y=x的图象上．∴=n，可得S n=n2．∴n≥2时，a n=S n-S n-1=n2-（n-1）2=2n-1．n=1时，a1=S1=1．∴a n=2n-1．（2）=（1，a n），=（1-b n，1）．∵∥，∴a n•（1-b n）-1=0，解得b n=1-=1-=．（3）≤0对于任意n∈N*恒成立，∴（-1）n-1•+≤0对于任意n∈N*恒成立，n=2k-1（k∈N*）时，+≤0对于任意n∈N*恒成立，∴t≥，∴t≥1．n=2k（k∈N*）时，-+≤0对于任意n∈N*恒成立，∴t≤2n-2，∴t≤2．综上可得实数t的取值范围是[1，2]．【解析】（1）点P n（n，）均在函数y=x的图象上．=n，可得S n=n2．n≥2时，a n=S n-S n-1．n=1时，a1=S1．可得a n．（2）=（1，a n），=（1-b n，1）．根据∥，可得a n•（1-b n）-1=0，进而得出．（3）≤0对于任意n∈N*恒成立，（-1）n-1•+≤0对于任意n∈N*恒成立，对n分类讨论利用数列的单调性即可得出．本题考查了数列递推关系、方程与不等式的解法、数列的单调性、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21.【答案】解：（1）双曲线Γ：=1中a2=12，b2=3，则c2=a2+b2=12+3=15，∴c=，∴右焦点F1（，0），由x=代入=1，可得y=±，∴|AB|=；（2）由（1）可得M（2，0），T（t，0），设P（x0，y0），∴|PT|2=（x0-t）2+y02，|MT|2=（2-t）2，又-=1，可得x0≥2，y02=-3，∴|PT|2=（x0-t）2+y02=（x0-t）2+-3=x02-2x0t+t2-3=（x0-）2+t2-3，当≤2即t≤时，可得y=（x0-）2+t2-3在x0≥2递增，即有|PT|的最小值为|MT|=|t-2|，则t的范围是（-∞，]；（3）设C（s，t），A（x1，y1），B（x2，y2），可得s2-4t2=12，s＞0，由y=x-2代入双曲线的方程x2-4y2=12，可得x2-16x+84=0，即有x1+x2=16，y1+y2=（x1+x2）-4=16-4=12，由，可得ms=x1+x2，mt=y1+y2，可得ms=16，mt=12，解答s=，t=，即有-4•=12，解得m=4（-4舍去），s=4，t=3．即有m=4，C（4，3）．【解析】（1）求得双曲线的a，b，c，可令x=c，求得A，B的坐标，即可得到所求长；（2）求出M的坐标，设P（x0，y0），由两点的距离公式和双曲线方程，结合二次函数的最值求法，即可得到所求t的范围；（3）设出C（s，t），A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线方程和双曲线方程，运用韦达定理，以及向量的坐标表示，求得s，t关于m的关系式，代入双曲线的方程，解得m，s，t，即可得到所求．本题考查双曲线的方程和性质，考查联立直线方程和双曲线方程，运用韦达定理和向量的坐标表示，考查二次函数的最值求法，以及化简整理的运算能力，属于综合题．2017-2018学年上海市奉贤区高二（下）期末数学试卷副标题一、选择题（本大题共4小题，共20.0分）40.若a＜b＜0，则下列结论中不恒成立的是（）A. B. C. D.41.给定空间中的直线l及平面α，条件“直线l上有两个不同的点到平面α的距离相等”是“直线l与平面α平行”的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件42.已知曲线C的参数方程为（θ∈[0，π]），且点P（x，y）在曲线C上，则的取值范围是（）A. B. C. D.43.已知椭圆E：，对于任意实数k，下列直线被椭圆E所截弦长与l：y=kx+1被椭圆E所截得的弦长不可能相等的是（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共12小题，共60.0分）44.已知集合A={x||x|≤1}，B={y|y≤a}，且A∩B=∅，则实数a的取值范围是______．45.若圆柱的侧面展开图是一个正方形，则它的母线长和底面半径的比值是______．46.抛物线x2=y上一点M到焦点的距离为1，则点M的横坐标为______．47.若P=C，则x=______．48.已知变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+y的最小值为______．49.已知方程x2-px+1=0（p∈R）的两根为x1、x2，若|x1-x2|=1，则实数p的值为______．50.若一个直六棱柱的三视图如图所示，则这个直六棱柱的体积为______．。
【研】2017-2018学年第二学期期末考模拟卷(高二理)答案
【研】星火教育2017-2018学年度第二学期期末考模拟卷参考答案高二数学（理数）一．选择题（共12小题）1．复数，，，，且A+B=0，则m的值是（）A．B．C．﹣D．2【分析】复数方程两边同乘1+2i，利用复数相等求出A、B，利用A+B=0，求出m的值．【解答】解：因为，所以2﹣mi=（A+Bi）（1+2i），可得A﹣2B=2，2A+B=﹣m 解得5（A+B）=﹣3m﹣2=0所以m=故选C．【点评】本题考查复数相等的充要条件，考查计算能力，是基础题．2．下列说法错误的是（）A．回归直线过样本点的中心（，）B．两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1C．对分类变量X与Y，随机变量K2的观测值越大，则判断“X与Y有关系”的把握程度越小D．在回归直线方程=0.2x+0.8中，当解释变量x每增加1个单位时预报变量平均增加0.2个单位【分析】利用线性回归的有关知识即可判断出．【解答】解：A．回归直线过样本点的中心（，），正确；B．两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近1，因此正确；C．对分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k来说，k越大，“X与Y有关系”可信程度越大，因此不正确；D．在线性回归方程=0.2x+0.8中，当x每增加1个单位时，预报量平均增加0.2个单位，正确．综上可知：只有C不正确．故选：C．【点评】本题考查了线性回归的有关知识，考查了推理能力，属于中档题．3．直线y=3x与曲线y=x2围成图形的面积为（）A．B．9 C．D．【分析】此类题目需先求出两曲线的交点，进而确定积分区间，再依据函数图象的上下位置确定出被积函数，最后依据微积分基本定理求出面积即可．【解答】解：由已知，联立直线与曲线方程得到解得或则围成图形的面积为====故答案为．【点评】本题主要考查了微积分基本定理，属于基础题．4.设x，y，z＞0，则三个数+，+，+（）A．都大于2 B．至少有一个大于2C．至少有一个不小于2 D．至少有一个不大于2【分析】假设：中都小于2，则，但由于=≥2+2+2=6，出现矛盾，从而得出正确答案：中至少有一个不小于2．【解答】解：由于=≥2+2+2=6，∴中至少有一个不小于2，故选：C．【点评】分析法──通过对事物原因或结果的周密分析，从而证明论点的正确性、合理性的论证方法，也称为因果分析，从求证的不等式出发，“由果索因”，逆向逐步找这个不等式成立需要具备的充分条件；综合法是指从已知条件出发，借助其性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题，其特点和思路是“由因导果”，即从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．5．5位同学站成一排照相，其中甲与乙必须相邻，且甲不能站在两端的排法总数是（）A．40 B．36 C．32 D．24【分析】分类讨论，对甲乙优先考虑，即可得出结论．【解答】解：分类讨论，甲站第2个位置，则乙站1，3中的一个位置，不同的排法有C21A33=12种；甲站第3个位置，则乙站2，4中的一个位置，不同的排法有C21A33=12种；甲站第4个位置，则乙站3，5中的一个位置，不同的排法有C21A33=12种，故共有12+12+12=36．故选：B．【点评】本题考查计数原理的运用，考查分类讨论的数学思想，比较基础．6．已知随机变量x服从正态分布N（3，σ2），且P（x≤4）=0.84，则P（2＜x＜4）=（）A．0.84 B．0.68 C．0.32 D．0.16【分析】根据对称性，由P（x≤4）=0.84的概率可求出P（x＜2）=P（x＞4）=0.16，即可求出P（2＜x＜4）．【解答】解：∵P（x≤4）=0.84，∴P（x＞4）=1﹣0.84=0.16∴P（x＜2）=P（x＞4）=0.16，∴P（2＜x＜4）=P（x≤4）﹣P（x＜2）=0.84﹣0.16=0.68故选B．【点评】本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，注意根据正态曲线的对称性解决问题．7．若质点P的运动方程为S（t）=2t2+t（S的单位为米，t的单位为秒），则当t=1时的瞬时速度为（）A．2米/秒B．3米/秒C．4米/秒D．5米/秒【分析】对S（t）=2t2+t进行求导，然后令t=1代入即可得到答案．【解答】解：∵S（t）=2t2+t，∴S'（t）=4t+1，当t=1，v=S'（1=4×1+1=5，故选D．【点评】本题考查了导数在物理中的应用，路程关于时间的导数就是物体的瞬时速度关系式．8．已知p＞0，q＞0，随机变量ξ的分布列如下：若E（ξ）=．则p2+q2=（）A．B．C．D．1【分析】由随机变量ξ的分布列的性质列出方程组，能求出结果．【解答】解：∵p＞0，q＞0，E（ξ）=．∴由随机变量ξ的分布列的性质得：，∴p2+q2=（q+p）2﹣2pq=1﹣=．故选：C．【点评】本题考查两数的平方和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意离散型随机变量的分布列的性质的合理运用．9．曲线y=sinx+e x（其中e=2.71828…是自然对数的底数）在点（0，1）处的切线的斜率为（）A．2 B．3 C．D．【分析】先求导，根据导数的几何意义，斜率k=k=y′|x=0，解得即可．【解答】解：∵y′=cosx+e x，k=y′|x=0=cos0+e0=2，故选：A．【点评】本题考查了导数的几何意义，属于基础题．10.函数f（x）=ax3﹣3x+1 对于x∈[﹣1，1]总有f（x）≥0成立，则a 的取值范围为（）A．[2，+∞） B．[4，+∞） C．{4} D．[2，4]【分析】对x分﹣1≤x＜0，x=0，0＜x≤1三种情况分别求出a的取值范围，然后求其交集即可．【解答】解：①当x=0时，f（x）=1≥0，对于a∈R皆成立．②当0＜x≤1时，若总有f（x）≥0，则ax3﹣3x+1≥0，∴，令g（x）=，g′（x）==，令g′（x）=0，解得x=．当0＜＜时，g′（x）＞0；当＜时，g′（x）＜0．∴g（x）在x=时取得最大值，g（）=4，∴a≥4．③当﹣1≤x＜0时，若总有f（x）=0，则ax3﹣3x+1≥0，∴a≤．令h（x）=，则h′（x）=≥0，∴h（x）在[﹣1，0）上单调递增，∴当x=﹣1时，h（x）取得最小值，h（﹣1）=4，∴a≤4．由①②③可知：若函数f（x）=ax3﹣3x+1 对于x∈[﹣1，1]总有f（x）≥0成立，则a必须满足，解得a=4．∴a 的取值范围为{4}．故选C．【点评】本题考查了含参数的函数在闭区间（含0）上恒成立问题，即可以对自变量x进行分类讨论，也可对参数a分类讨论，求出答案．11．P为椭圆＞上异于左右顶点A1、A2的任意一点，则直线PA1与PA2的斜率之积为定值．将这个结论类比到双曲线，得出的结论为：P为双曲线＞上异于左右顶点A1、A2的任意一点，则（）A．直线PA1与PA2的斜率之和为定值B．直线PA1与PA2的斜率之和为定值2C．直线PA1与PA2的斜率之积为定值D．直线PA1与PA2的斜率之积为定值2【分析】验证直线PA1与PA2的斜率之积为定值即可．【解答】解：设P（x0，y0），则，即，∵，、，，∴，为定值．故选C．【点评】本题考查类比思想，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．12．若函数f（x）在区间A上，对∀a，b，c∈A，f（a），f（b），f（c）为一个三角形的三边长，则称函数f（x）为“三角形函数”．已知函数f（x）=xlnx+m在区间[，e]上是“三角形函数”，则实数m的取值范围为（）A．，B．，C．，D．，【分析】若f（x）为“三角形函数”．则在区间D上，函数的最大值M和最小值m应满足：M＜2m，利用导数法求出函数的最值，可得实数m的取值范围．【解答】解：若f（x）为“区域D上的三角形函数”．则在区间D上，函数的最大值M和最小值m应满足：M＜2m，∵函数f（x）=xlnx+m在区间[，e]上是“三角形函数”，f′（x）=lnx+1，当x∈[，）时，f′（x）＜0，函数f（x）递减；当x∈（，e]时，f′（x）＞0，函数f（x）递增；故当x=时，函数f（x）取最小值﹣+m，又由f（e）=e+m，f（）=﹣+m，故当x=e时，函数f（x）取最大值e+m，∴0＜e+m＜2（﹣+m），解得：m∈，，故选：D．【点评】本题考查的知识点是函数的最值，能正确理解f（x）为“三角形函数”的概念，是解答的关键．二．填空题（共4小题）13．有下列各式：＞，＞，＞，…则按此规律可猜想此类不等式的一般形式为：＞（n∈N*）．【分析】观察各式左边为的和的形式，项数分别为：3，7，15，故可猜想第n个式子中应有2n+1﹣1项，不等式右侧分别写成，，故猜想第n个式子中应为，由此可写出一般的式子．【解答】解：观察各式左边为的和的形式，项数分别为：3，7，15，故可猜想第n个式子中应有2n+1﹣1项，不等式右侧分别写成，，故猜想第n个式子中应为，按此规律可猜想此类不等式的一般形式为：＞故答案为：＞【点评】本题考查归纳推理、考查观察、分析、解决问题的能力．14．已知（2x﹣）n展开式的二项式系数之和为64，则其展开式中常数项是60．【分析】根据题意，（2x﹣）n的展开式的二项式系数之和为64，由二项式系数的性质，可得2n=64，解可得，n=6；进而可得二项展开式，令6﹣r=0，可得r=4，代入二项展开式，可得答案．【解答】解：由二项式系数的性质，可得2n=64，解可得，n=6；（2x﹣）6的展开式为为T r+1=C66﹣r•（2x）6﹣r•（﹣）r=（﹣1）r•26﹣r•C66﹣r•，令6﹣r=0，可得r=4，则展开式中常数项为60．故答案为：60．【点评】本题考查二项式定理的应用，注意系数与二项式系数的区别．15．某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为和．现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B，设甲、乙两组的研发相互独立，则至少有一种新产品研发成功的概率为．【分析】利用对立事件的概率公式，计算即可，【解答】解：设至少有一种新产品研发成功的事件为事件A且事件B为事件A的对立事件，则事件B为一种新产品都没有成功，因为甲乙研发新产品成功的概率分别为和．则P（B）=（1﹣）（1﹣）=，再根据对立事件的概率之间的公式可得P（A）=1﹣P（B）=，故至少有一种新产品研发成功的概率．故答案为．【点评】本题主要考查了对立事件的概率，考查学生的计算能力，比较基础．16．已知函数g（x）=a﹣x2（≤x≤e，e为自然对数的底数）与h（x）=2lnx的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是[1，e2﹣2]．【分析】由已知，得到方程a﹣x2=﹣2lnx⇔﹣a=2lnx﹣x2在[，e]上有解，构造函数f（x）=2lnx﹣x2，求出它的值域，得到﹣a的范围即可．【解答】解：由已知，得到方程a﹣x2=﹣2lnx⇔﹣a=2lnx﹣x2在[，e]上有解．设f（x）=2lnx﹣x2，求导得：f′（x）=﹣2x=，∵≤x≤e，∴f′（x）=0在x=1有唯一的极值点，∵f（）=﹣2﹣，f（e）=2﹣e2，f（x）极大值=f（1）=﹣1，且知f（e）＜f（），故方程﹣a=2lnx﹣x2在[，e]上有解等价于2﹣e2≤﹣a≤﹣1．从而a的取值范围为[1，e2﹣2]．故答案为：[1，e2﹣2]【点评】本题考查了构造函数法求方程的解及参数范围；关键是将已知转化为方程a﹣x2=﹣2lnx⇔﹣a=2lnx﹣x2在[，e]上有解．三．解答题（共7小题）17．实数m分别取什么数值时，复数z=（m+2）+（3﹣2m）i（1）与复数12+17i互为共轭；（2）复数的模取得最小值，求出此时的最小值．【分析】（1）根据共轭复数的定义得到关于m的方程组，解出即可；（2）根据二次函数的性质求出|z|的最小值即可．【解答】解：（1）根据共轭复数的定义得：，解得：m=10；（2）|z|==，当m=时，复数的模取最小值．【点评】本题考查了复数求模问题，考查共轭复数的定义，是一道基础题．18．某公司经营一批进价为每件4百元的商品，在市场调查时发现，此商品的销售单价x（百元）与日销售量y（件）之间有如下关系：（1）求y关于x的回归直线方程；（2）借助回归直线方程请你预测，销售单价为多少百元（精确到个位数）时，日利润最大？相关公式：，．【分析】（1）求求出回归系数，即可y关于x的回归直线方程；（2）销售价为x时的利润为（x﹣4）（﹣2x+20.8）=﹣2x2+28.8x﹣83.2，即可得出结论．【解答】解：（1）因为=7，=6.8，所以，==﹣2，=20.8．于是得到y关于x的回归直线方程y=﹣2x+20.8．（2）销售价为x时的利润为（x﹣4）（﹣2x+20.8）=﹣2x2+28.8x﹣83.2，当x=≈7时，日利润最大．【点评】本题考查回归直线方程的求法和应用，考查最大利润的求法，属于中档题．19．集成电路E由3个不同的电子元件组成，现由于元件老化，三个电子元件能正常工作的概率分别降为，，，且每个电子元件能否正常工作相互独立，若三个电子元件中至少有2个正常工作，则E能正常工作，否则就需要维修，且维修集成电路E所需费用为100元．（Ⅰ）求集成电路E需要维修的概率；（Ⅱ）若某电子设备共由2个集成电路E组成，设X为该电子设备需要维修集成电路所需的费用，求X的分布列和期望．【分析】（Ⅰ）由条件利用相互独立事件的概率乘法公式求得3个元件都不能正常工作的概率P1的值，3个元件中的2个不能正常工作的概率P2的值，再把P1和P2相加，即得所求．（Ⅱ）设ξ为维修集成电路的个数，则ξ服从B（2，），求得P（X=100ξ）=P（ξ=k）的值，可得X的分布列，从而求得X的期望．【解答】解：（Ⅰ）三个电子元件能正常工作分别记为事件A，B，C，则P（A）=，P（B）=，P（C）=．依题意，集成电路E需要维修有两种情形：①3个元件都不能正常工作，概率为P1=P（）=P（）P（）P（）=××=．②3个元件中的2个不能正常工作，概率为P2=P（A）+P（B）+P（C）=++×=．所以，集成电路E需要维修的概率为P1+P2=+=．（Ⅱ）设ξ为维修集成电路的个数，则ξ服从B（2，），而X=100ξ，P（X=100ξ）=P（ξ=k）=••，k=0，1，2．X的分布列为：∴EX=0×+100×+200×=．【点评】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式、互斥事件的概率加法公式，离散型随机变量的分布列，属于中档题．20．已知函数f（x）=e x﹣1，，其中e是自然对数的底，e=2.71828…．（1）证明：函数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间（1，2）上有零点；（2）求方程f（x）=g（x）根的个数，并说明理由；（3）若数列{a n}（n∈N*）满足a1=a（a＞0）（a为常数），a n+13=g（a n），证明：存在常数M，使得对于任意n∈N*，都有a n≤M．【分析】（1）直接利用零点存在定理证明函数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间（1，2）上有零点即可；（2）通过方程f（x）=g（x）构造函数h（x）=e x﹣1﹣，利用函数的导数以及函数的单调性，结合零点存在定理说明方程根的个数；（3）直接利用数学归纳法的证明步骤，证明存在常数M=max{x0，a}，使得对于任意的n ∈N*，都有a n≤M．【解答】解：（1）证明：由h（x）=f（x）﹣g（x）=e x﹣1﹣，得：h（1）=e﹣3＜0，h（2）=e2﹣2﹣＞0，所以函数h（x）在区间（1，2）上有零点．（2）由（1）得：h（x）=e x﹣1﹣，由知，x∈[0，+∞），而h（0）=0，则x=0为h（x）的一个零点，且h（x）在（1，2）内有零点，因此h（x）至少有两个零点．所以﹣1，记φ（x）=﹣1，则．当x∈（0，+∞）时，φ'（x）＞0，因此φ（x）在（0，+∞）上单调递增，则φ（x）在（0，+∞）内至多只有一个零点．h（x）有且只有两个零点．所以，方程f（x）=g（x）根的个数为2．（3）记h（x）的正零点为x0，即．（1）当a＜x0时，由a1=a，即a1＜x0．而＜=，因此a2＜x0，由此猜测：a n＜x0．下面用数学归纳法证明：①当n=1时，a1＜x0显然成立；②假设当n=k（k≥1）时，有a k＜x0成立，则当n=k+1时，由＜=知，a k+1＜x0，因此，当n=k+1时，a k+1＜x0成立．故对任意的n∈N*，a n＜x0成立．（2）当a≥x0时，由（1）知，h（x）在（x0，+∞）上单调递增．则h（a）≥h（x0）=0，即．从而，即a2≤a，由此猜测：a n≤a．下面用数学归纳法证明：①当n=1时，a1≤a显然成立；②假设当n=k（k≥1）时，有a k≤a成立，则当n=k+1时，由知，a k+1≤a，因此，当n=k+1时，a k+1≤a成立．故对任意的n∈N*，a n≤a成立．综上所述，存在常数M=max{x0，a}，使得对于任意的n∈N*，都有a n≤M．【点评】本题考查函数的零点存在定理的应用，数学归纳法的证明方法以及函数的导数的应用，考查分析问题解决问题的能力．21．已知函数f（x）=lnx﹣a（x﹣1），a∈R（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）当x≥1时，f（x）≤恒成立，求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），，若a≤0，f（x）在（0，+∞）上单调递增；若a＞0时，f（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减．（Ⅱ）f（x）﹣=，令g（x）=xlnx﹣a（x2﹣1），（x≥1），g′（x）=lnx+1﹣2ax，令F（x）=g′（x）=lnx+1﹣2ax，，由此进行分类讨论，能求出实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），，若a≤0，则f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，若a＞0，则由f′（x）=0，得x=，当x∈（0，）时，f′（x）＞0，当x∈（，）时，f′（x）＜0，∴f（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减．所以当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，当a＞0时，f（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减．（Ⅱ）f（x）﹣=，令g（x）=xlnx﹣a（x2﹣1），（x≥1），g′（x）=lnx+1﹣2ax，令F（x）=g′（x）=lnx+1﹣2ax，，①若a≤0，F′（x）＞0，g′（x）在[1，+∞）上递增，g′（x）≥g′（1）=1﹣2a＞0，∴g（x）在[1，+∞）上递增，g（x）≥g（1）=0，从而f（x）﹣不符合题意．②若0＜a＜，当x∈（1，），F′（x）＞0，∴g′（x）在（1，）上递增，从而g′（x）＞g′（1）=1﹣2a，∴g（x）在[1，+∞）上递增，g（x）≥g（1）=0，从而f（x）﹣不符合题意．③若a，F′（x）≤0在[1，+∞）上恒成立，∴g′（x）在[1，+∞）上递减，g′（x）≤g′（1）=1﹣2a≤0，从而g（x）在[1，+∞）上递减，∴g（x）≤g（1）=0，f（x）﹣≤0，综上所述，a的取值范围是[，）．【点评】本题考查函数的单调性的求法，考查满足条件的实数的取值范围的求法．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维的要求较高，解题时要注意导数性质的合理运用．22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）判断直线l与圆C的交点个数；（Ⅱ）若圆C与直线l交于A，B两点，求线段AB的长度．【分析】（Ⅰ）直线l的参数方程消去参数t，能求出直线l的普通方程，圆C的极坐标方程为ρ=2sinθ，由ρ2=x2+y2，ρsinθ=y，能求出圆C的直角坐标方程，由此得到圆心（0，1）在直线l上，从而能求出直线l与圆C的交点个数．（Ⅱ）由AB为圆C的直径，能求出|AB|的值．【解答】解：（Ⅰ）∵直线l的参数方程为（t为参数）．∴消去参数t得直线l的普通方程为，∵圆C的极坐标方程为ρ=2sinθ，即ρ2=2ρsinθ，∴由ρ2=x2+y2，ρsinθ=y，得圆C的直角坐标方程为x2+y2﹣2y=0．∵圆心（0，1）在直线l上，∴直线l与圆C的交点个数为2．（Ⅱ）由（Ⅰ）知圆心（0，1）在直线l上，∴AB为圆C的直径，∵圆C的直角坐标方程为x2+y2﹣2y=0．∴圆C的半径r==1，∴圆C的直径为2，∴|AB|=2．【点评】本题考查直线与圆的交点个数的判断，考查弦长的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意参数方程、直角坐标方程、极坐标方程的互化公式的合理运用．23．已知函数f（x）=|ax+1|（a∈R），不等式f（x）≤3的解集为{x|﹣2≤x≤1}．（1）求a的值；（2）如函数g（x）=f（x）﹣|x+1|，求g（x）的最小值．【分析】（1）由题意可得﹣3≤ax≤2，即﹣2≤x≤1，由此可得a的值．（2）写出分段函数，即可求g（x）的最小值．【解答】解：由题意可得，不等式|ax+1|≤3，即﹣3≤ax+1≤3，即﹣4≤ax≤2，即﹣2≤x≤1，∴a=2；（2）g（x）=，，＜＜，，∴时，g（x）min=﹣．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，属于基础题．。
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2017-2018年上海南模中学高二下期末数学试卷
2018.06
一.填空题
1.若i 是虚数单位，复数z 满足(34)5i z -=，则z 的虚部为
2.正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1AC 和11B D 所成角的大小为
3.正四面体S -ABC 的所有棱长都为2，则它的体积为
4.7个人站成一排，其中甲一定站在最左边，乙和丙必须相邻，一共有
种不同排法
5.某天有10名工人生产同一零部件，生产的件数分别是：15、17、14、10、15、17、17、16、14、12，设其平均数为a ，中位数为b ，众数为c ，则a 、b 、c 从小到大的关系依次是
6.正三棱锥底面边长为1，侧面与底面所成二面角为45°，则它的全面积为
7.正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为2，若1AC 与底面ABCD 所成角为60°，则
11A C 和底面ABCD 的距离是
8.棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的8个顶点都在球面O 的表面上，E 、F 分别是棱
1AA 、1DD 的中点，则直线EF 被球O 截得的线段长为
9.已知正整数n ，二项式32
2()n x x
+
的展开式中含有7
x 的项，则n 的最小值是10.在复数范围内解方程23||(2i
z z z i i
-++=+（i 为虚数单位），z =
11.把4个相同的球放进3个不同的盒子，每个球进盒子都是等可能的，则没有一个空盒子的概率为
12.在xOy 平面上，将双曲线的一支22
1
916
x y -=(0)
x >及其渐近线4
3
y x =和直线0y =、4y =围成的封闭图形
记为D ，如图中阴影部分，记D 绕y 轴旋转一周所得的几何体为Ω，过(0,)y (04)y ≤≤作Ω的水平截面，计算截面面积，利用祖暅原理得出Ω体积为二.选择题
13.已知l 、m 、n 是空间三条直线，则下列命题正确的是（
）
A.若l //m ，l //n ，则m //n
B.若l ⊥m ，l ⊥n ，则m //n
C.若点A 、B 不在直线l 上，且到l 的距离相等，则直线AB //l
D.若三条直线l 、m 、n 两两相交，则直线l 、m 、n 共面
14.一个圆柱形的罐子半径是4米，高是9米，将其平放，并在其中注入深
2米的水，截面如图所示，水的体积是（
）平方米
A.24243
π- B.36363
π- C.36243
π- D.48363
π-15.为了研究某药厂的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa ）的分组区间为[12,13)、[13,14)、[14,15)、[15,16)、[16,17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组、第二组、……、第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图，已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为（
）
A.6
B.8
C.12
D.18
16.若7270127(12)x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+，则0127||||||||a a a a +++⋅⋅⋅+=（
）
A.1
- B.1
C.0
D.7
317.从8名女生和4名男生中选出6名学生组成课外活动小组，则按性别分层抽样组成课外活动小组的概率为（
）
A.42
846
12
C C C B.33
846
12
C C C C.6126
12
C P D.42
846
12
P P P 18.已知复数z 满足|12||2|32z i z i ---++=（i 是虚数单位），若在复平面内复数z 对应的点为Z ，则点Z 的轨迹为（
）
A.双曲线的一支
B.双曲线
C.一条射线
D.两条射线
三.解答题19.求8
2)3x x
的二项展开式中的第5项的二项式系数和系数.20.已知关于x 的方程240x x p ++=()R p ∈的两个根是1x 、2x .（1）若1x 为虚数且1||5x =，求实数p 的值；（2）若12||2x x -=，求实数p 的值.
21.沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组
成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时，如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为8cm ，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的
2
3
（细管长度忽略不计）.（1）如果该沙漏每秒钟漏下0.02cm³的沙，则该沙漏
的一个沙时为多少秒？（精确到1秒）
（2）细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，求此锥形沙堆的高度.（精确到0.1cm ）
22.在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，4PA AD ==，2AB =，以AC 的中点O 为球心，AC 为直径的球面交PD 于点M ，交PC 于点N .（1）求证：平面ABM ⊥平面PCD ；
（2）求直线CD 与平面ACM 所成角的大小；（3）求点N 到平面ACM 的距离.
23.小威初三参加某高中学校的数学自主招生考试，这次考试由十道选择题组成，得分要求是：做对一道题得1分，做错一道题扣去1分，不做得0分，总得分7分就算及格，小威的目标是至少得7分获得及格，在这次考试中，小威确定他做的前六题全对，记6分，而他做余下的四道题中，每道题做对的概率均为p (01)p <<，考试中，小威思量：从余下的四道题中再做一题并且及格的概率1P p =；从余下的四道题中恰做两道并且及格的概率22P p =，他发现12P P >，只做一道更容易及格.
（1）设小威从余下的四道题中恰做三道并且及格的概率为3P ，从余下的四道题中全做并且及格的概率为4P ，求3P 及4P
；（2）由于p 的大小影响，请你帮小威讨论：小威从余下的四道题中恰做几道并且及格的概率最大？
参考答案
一.填空题
45
2
223
4
7.8.
9.4
10.
122i ±11.
15
12.36π
二.选择题13.A 14.D
15.C
16.D
17.A
18.C
三.解答题
19.444582(
)3T C x =，二项式系数为4870C =，系数为
1120
81
.20.（1）0∆<，4p >，212111||25p x x x x x ====，∴25p =；
（2）124x x +=-，12x x p =，若0∆≥，即4p ≤，则12||2x x -==，∴3p =；
若0∆<，即4p >，则12||2x x -==，∴5p =；综上，3p =或5p =.
21.（1）221
1816
(39.7133
33
V r H ππ==⨯⨯
=，0.021986V ÷=，一沙时为1986秒；
（2）211024
4381
V H ππ'=⨯⨯=，∴64 2.427H '=≈，沙堆高度约为2.4cm.
22.（1）AC 是所作球面的直径，AM ⊥MC ，PA ⊥平面ABCD ，则PA ⊥CD ，又CD ⊥AD ，∴CD ⊥平面PAD ，则CD ⊥AM ，∴AM ⊥平面PCD ，∴平面ABM ⊥平面PCD ；
（2）AM =MC =，ACM S = ，设D 到平面ACM 的距离为h ，由D ACM M ACD V V --=，求得263h =
，∴6sin 3h CD θ==，6
arcsin 3
θ=；（3）6PC =，PN PA PA PC =
，∴8
3
PN =，∴:5:9NC PC =，所求距离5106927h =.23.（1）32233(1)(32)P p p p p p =+-=-，43344(1)(43)P p p p p p =+-=-；
（2）①13P P >且14P
P >，∴102p <<；②31P P >且34P P >，1
12
p <<；③41P P >且43P P >，无解；综上，102p <<时，恰做一道及格概率最大；12p =时，13
P P =；1
12
p <<时，恰做三道及格概率最大.。