最新九年级上册特殊平行四边形与一元二次方程专题复习
九年级数学上册知识点归纳(北师大版)
九年级数学上册学问点归纳（北师大版）第一章特殊平行四边形第二章一元二次方程第三章概率的进一步相识第四章图形的相像第五章投影及视图第六章反比例函数（八下前情回忆）※平行四边的定义：两线对边分别平行的四边形叫做平行四边形．．．．．，平行四边形不相邻的两顶点连成的线段叫做它的对角线．．．。
※平行四边形的性质：平行四边形的对边相等,对角相等,对角线相互平分。
※平行四边形的判别方法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
两条对角线相互平分的四边形是平行四边形。
※平行线之间的间隔：若两条直线相互平行，则其中一条直线上随意两点到另一条直线的间隔相等。
这个间隔称为平行线之间的间隔。
第一章特殊平行四边形1菱形的性质及断定菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
※菱形的性质：具有平行四边形的性质,且四条边都相等,两条对角线相互垂直平分,每一条对角线平分一组对角。
菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是对称轴。
※菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形。
对角线相互垂直的平行四边形是菱形。
四条边都相等的四边形是菱形。
2矩形的性质及断定※矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形．．。
矩形是特殊的平行四边形。
※矩形的性质：具有平行四边形的性质，且对角线相等，四个角都是直角。
（矩形是轴对称图形，有两条对称轴）※矩形的断定：有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(依据定义)。
对角线相等的平行四边形是矩形。
四个角都相等的四边形是矩形。
※推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
3正方形的性质及断定正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形。
※正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。
（正方形是轴对称图形，有两条对称轴）※正方形常用的断定：有一个内角是直角的菱形是正方形；邻边相等的矩形是正方形；对角线相等的菱形是正方形；对角线相互垂直的矩形是正方形。
九年级数学上册第一章特殊平行四边形核心知识点新版北师大版.doc
特殊平行四边形核心知识点正方形、矩形、菱形和平行四边形四者之间关系图形 定义平行四边形 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形 菱形 一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 矩形 一个内角是直角的平行四边形叫做矩形 正方形一组邻边相等的矩形叫做正方形图形 边角对角线平行四边形 对边平行且相等 对角相等,邻角互补 对角线互相平分 菱形 对边平行，四条边相等 对角相等 两对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角 矩形 对边平行且相等 四个角都是直角 对角线互相平分且相等 正方形对边平行、四条边都相等四个角都是直角两条对角线互相平分、垂直、相等，每一条对角线平分一组对角图形判别方法平行四边形1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形2、两组对边分别相等的四边形是平行四边形3、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形4、两组对角分别相等的四边形是平行四边形5、对角线互相平分的四边形是平行四边形 菱形1、一组邻边相等的平行四边形是菱形2、四条边都相等的四边形是菱形3、对角线互相垂直的平行四边形是菱形 矩形1、一个内角是直角的平行四边形是矩形2、对角线相等的平行四边形是矩形正方形1、一组邻边相等的矩形是正方形2、对角线互相垂直的矩形是正方形3、有一个角是直角的菱形是正方形4、对角线相等的菱形是正方形二、梯形常见的辅助线 1.延长两腰交于一点作用：使梯形问题转化为三角形问题。
若是等腰梯形则得到等腰三角形。
2.平移一腰作用：使梯形问题转化为平行四边形及三角形问题。
3.作高作用：使梯形问题转化为直角三角形及矩形问题。
4.平移一条对角线 作用：（1）得到平行四边形ACED ，使CE=AD ，BE 等于上、下底的和 （2）等腰梯形时，S 梯形ABCD =S △DBE5.当有一腰中点时，连结一个顶点与一腰中点并延长交一个底的延长线。
对角线相等 对角线互相垂直 有一个角是直角 一组邻边相等 平行四边形 矩形 菱形正方形作用：可得△ADE≌△FCE，所以使S梯形ABCD=S△ABF。
初三数学九年级上册知识点——特殊的平行四边形
初三数学九年级上册知识点——特殊的平行四边形九年级数学上册知识点特殊的平行四边形一、平行四边形1.平行四边形的定义:两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
2.平行四边形的性质1）平行四边形的对边平行且相等。
（对边）2）平行四边形相邻的角互补，对角相等（对角）3）平行四边形的对角线互相平分。
（对角线）4）平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点。
常用点：1）若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段的中点是对角线的交点，并且这条直线二等分此平行四边形的面积。
2）推论：夹在两条平行线间的平行线段相等。
3.平行四边形的判定1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
（对边）（2）定理1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
（对边）（3）定理2：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
（对边）（4）定理3：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
（对角）（5）定理4：对角线互相平分的四边形是平行四边形。
（对角线）4.两条平行线的距离两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的距离。
注意：平行线间的距离处处相等。
5.平行四边形的面积:S平行四边形=底边长×高=ah二、菱形1.菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形2.菱形的性质1）菱形的四条边相等，对边平行。
（边）2）菱形的相邻的角互补，对角相等。
（对角）3）菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角。
（对角线）4）菱形既是中央对称图形又是轴对称图形；对称中央是对角线的交点（对称中央到菱形四条边的间隔相等）；对称轴有两条，是对角线地点的直线。
3.菱形的判定1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
2）定理1：四边都相等的四边形是菱形。
（边）3）定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
（对角线）（4）定理3：对角线垂直且平分的四边形是菱形。
（对角线）4.菱形的面积：S菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半三、矩形1.矩形的定义:有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
北师大九年级数学上册
北师大九年级数学上册一、章节知识点总结。
1. 特殊平行四边形。
- 矩形。
- 定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。
- 性质：- 四个角都是直角。
- 对角线相等。
- 既是轴对称图形（对称轴有两条，对边中点连线所在直线）又是中心对称图形（对称中心是对角线交点）。
- 判定：- 有一个角是直角的平行四边形是矩形。
- 对角线相等的平行四边形是矩形。
- 有三个角是直角的四边形是矩形。
- 菱形。
- 定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
- 性质：- 四条边都相等。
- 对角线互相垂直，且每条对角线平分一组对角。
- 是轴对称图形（对称轴是两条对角线所在直线），也是中心对称图形。
- 判定：- 有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
- 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
- 四条边都相等的四边形是菱形。
- 正方形。
- 定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。
- 性质：- 四条边都相等，四个角都是直角。
- 对角线相等且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。
- 既是轴对称图形（有四条对称轴，两条对角线所在直线和两组对边中点连线所在直线）又是中心对称图形。
- 判定：- 有一组邻边相等的矩形是正方形。
- 有一个角是直角的菱形是正方形。
2. 一元二次方程。
- 定义：只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程，一般形式为ax^2+bx + c=0(a≠0)。
- 解法：- 直接开平方法：对于形如x^2=k(k≥slant0)的方程，x=±√(k)。
- 配方法：将方程ax^2+bx + c = 0(a≠0)通过配方转化为(x+(b)/(2a))^2=frac{b^2-4ac}{4a^2}的形式，然后求解。
- 公式法：对于一元二次方程ax^2+bx + c = 0(a≠0)，其解为x=frac{-b±√(b^2)-4ac}{2a}(b^2-4ac≥slant0)。
人教版九年级上册数学专题复习(九个专题)
人教版九年级上册数学专题复习(九个专题)专题一：解一元二次方程1、直接开方解法1）$x-6+\sqrt{3}=2\sqrt{2}$解：移项得$x=6-2\sqrt{2}-\sqrt{3}$2）$(x-3)^2=2$解：两边开方得$x-3=\pm\sqrt{2}$，即$x=3\pm\sqrt{2}$ 2、用配方法解方程1）$x+2x-1=0$解：合并同类项得$3x-1=0$，移项得$x=\frac{1}{3}$2）$x-4x+3=0$解：合并同类项得$-3x+3=0$，移项得$x=1$3、用公式法解方程1）$2x^2-7x+3=0$解：根据一元二次方程的求根公式，$x=\frac{7\pm\sqrt{7^2-4\times2\times3}}{4}$，即$x=\frac{1}{2}$或$x=3$2）$x^2-x-1=0$解：同样根据求根公式，$x=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}$，即$x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$或$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$4、用因式分解法解方程1）$3x(x-2)=2x-4$解：移项得$3x^2-6x-2x+4=0$，合并同类项得$3x^2-8x+4=0$，将其因式分解为$3(x-2)(x-\frac{2}{3})=0$，即$x=2$或$x=\frac{2}{3}$2）$2x-4=x+5$解：移项得$x=3$5、用十字相乘法解方程1）$x^2-x-90=0$解：将其因式分解为$(x-10)(x+9)=0$，即$x=10$或$x=-9$ 2）$2x^2+x-10=0$解：将其因式分解为$(2x-5)(x+2)=0$，即$x=\frac{5}{2}$或$x=-2$专题二：化简求值1、$\frac{x^2+y^2-2xy}{x-y}$，其中$x=2+1$，$y=2-1$解：将$x$和$y$的值代入得$\frac{(2+1)^2+(2-1)^2-2(2+1)(2-1)}{2+1-(2-1)}=\frac{3}{2}$2、$\frac{4x-6}{x-1}\cdot\frac{x-2}{x-1}$，任选一个数$x$代入求值解：将$x$代入得$\frac{4x-6}{x-1}\cdot\frac{x-2}{x-1}=\frac{4x^2-14x+12}{(x-1)^2}$专题三：根与系数的关系1、已知关于$x$的一元二次方程$x-4x-2k+8=0$有两个实数根$x_1$，$x_2$。
2024～2025学年九年级上册数学第二单元《一元二次方程》复习课件
整理，得： x2 – 106x + 105 = 0.
解得： x1=1; x2 = 105 (不合题意，舍去). 答：水渠应挖1米宽.
7.甲公司前年缴税40万元，今年缴税48.4万元.该公司缴税的年平 均增长率为多少?
针对训练
5.下列所给方程中，没有实数根的是（ D ）
A. x2+x=0
B. 5x2-4x-1=0
C.3x2-4x+1=0
D. 4x2-5x+2=0
6.（开放题）若关于x的一元二次方程x2-x+m=0有两
个不相等的实数根，则m的值可能是0 （写出一个
即可）．
考点五 一元二次方程的根与系数的关系 例5 已知一元二次方程x2－4x－3＝0的两根为m，n， 则m2－mn＋n2＝ 25 ．
解：设公司缴税的年平均增长率为 x，根据题意，得: 40（1+ x）2 = 48.4.
解得： x1=0.意，舍去). 答：每年的平均增长率为10%.
8.某商场销售一批名牌衬衫,现在平均每天能售出20件,每件盈利 40元.为了尽快减少库存,商场决定采取降价措施.经调查发现:如果 这种衬衫的售价每降低1元时,平均每天能多售出2件.商场要想平 均每天盈利1200元,每件衬衫应降价多少元? 解：设每件衬衫应降价 x 元，根据题意，得:
整理，得：x2 - 30x + 200 = 0. 解得： x1=20， x2 = 10. 答：为了尽快减少库存，应降价20元.
考点讲练
考点一 一元二次方程的定义
例1 若关于x的方程(m-1)x2+mx-1=0是一元二次方程， 则m的取值范围是（ A ） A. m≠1 B. m=1 C. m≥1 D. m≠0
新北师大版九年级上册第一单元特殊的平行四边形复习
C
P
A
F E B
几种特殊四边形的性质
平行 四边形 矩形
边
对边平行 且相等
角
对角相等、 邻角互补 四个角是 直角 对角相等、 邻角互补 四个角 是直角
对角线
两条对角线 互相平分 互相平分 且相等 互相垂直平分 且平分对角
对称性
中心对称
既轴对称 又中心对称
同上
对边平行、 四边相等
菱形
正方形
同上 同上
2、如图(6)，△ABC的外面作正方形ABDE和ACFG，连
结BG、CE，交点为N。
求证：∠CEA＝∠ABG
证明：∵四边形ABDE和四边形ACFG是正方形。
∴AE＝AB AG＝AC ∠1＝∠2＝90°
又∵∠EAC＝∠1＋∠BAC＝90°＋∠BAC
∠BAG＝∠2＋∠BAC＝90°＋∠BAC ∴∠EAC＝∠BAG ∴△AEC≌△ABG ∴∠CEA＝∠ABG (SAS)
3:已知：如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与 对角线AC交于点M，过M作ME⊥CD于点E,∠1=∠2。 (1）若CE=1，求BC的长；(2）求证AM=DF+ME。
B F M
2 1
A
C
E
D
4:如图11，四边形ABCD是矩形，E是BD上的一点， ∠BAE＝∠BCE，∠AED＝∠CED，点G是BC、AE延长 线的交点，AG与CD 相交于点F． （1）求证：四边形ABCD是正方形（2）当AE＝2EF时， 判断FG与EF有何数量关系？并证明你的结论．
D F
●
C N M B E
D P
●
C N
A
A
M B
E
思考题： 如图正方形ABCD的对角线相交于点O，O 又是另一个正方形OEFG的一个顶点，若正方形OEFG 绕点O旋转，在旋转的过程中.
北师大版九年级上册数学复 习知识点及例题
性角 质
对 角 线
四个角都是 直角
互相平分且 相等
对角相等
四个角都是直角
互相垂直平分， 且每条对角线平 分一组对角
互相垂直平分且相等,每 条对角线平分一组对角
判定
·有三个角 是直角; ·是平行四 边形且有一 个角是直角; ·是平行四
·四边相等的四 边形； ·是平行四边形 且有一组邻边相 等； ·是平行四边形
·是矩形，且有一组邻 边相等； ·是菱形，且有一个角 是直角。
边形且两条 且两条对角线互 对角线相等. 相垂直。
对称性
既是轴对称图形，又是中心对称图形
一．矩形 矩形定义：有一角是直角的平行四边形叫做矩形．
【强调】 矩形（1）是平行四边形；（2）一一个角是直角．
矩形的性质
性质1 矩形的四个角都是直角； 性质2 矩形的对角线相等，具有平行四边形的所以性质。；
①有一组邻边相等的平行四边形 （菱形） ②有一个角是直角的平行四边形 （矩形） 正方形不仅是特殊的平行四边形，并且是特殊的矩形，又是特殊的
菱形． 正方形定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫
做正方形． 正方形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，正方形
又是轴对称图形，对称轴是对边中点的连线和对角线所在直线，共有 四条对称轴；
因为正方形是平行四边形、矩形，又是菱形，所以它的性质是它们 性质的综合，正方形的性质总结如下：
边：对边平行，四边相等； 角：四个角都是直角； 对角线：对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角． 注意：正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角 形，对角线与边的夹角是45°；正方形的两条对角线把它分成四个全等 的等腰直角三角形，这是正方形的特殊性质．
专题21.8 一元二次方程(章节复习+考点讲练)人教版数学九年级上册热点难点专项练习(解析版)
2023-2024学年人教版数学九年级上册同步专题热点难点专项练习专题21.8一元二次方程（章节复习+考点讲练）知识点1：一元二次方程的有关概念1.一元二次方程的概念：通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．2.一元二次方程的一般式：3.一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.细节剖析：判断一个方程是否为一元二次方程时，首先观察其是否是整式方程，否则一定不是一元二次方程；其次再将整式方程整理化简使方程的右边为0，看是否具备另两个条件：①一个未知数；②未知数的最高次数为2.对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0．知识点2：一元二次方程的解法1．基本思想一元二次方程−−−→降次一元一次方程2．基本解法直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．细节剖析：解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解法，再考虑用公式法．知识点3：一元二次方程根的判别式及根与系数的关系1.一元二次方程根的判别式一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“∆”来表示，即acb 42-=∆（1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；（2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根；（3）当△<0时，一元二次方程没有实数根.2.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，那么a b x x -=+21，ac x x =21.注意它的使用条件为a≠0，Δ≥0.细节剖析：1.一元二次方程的根的判别式正反都成立．利用其可以解决以下问题：(1)不解方程判定方程根的情况；(2)根据参系数的性质确定根的范围；(3)解与根有关的证明题．2.一元二次方程根与系数的应用很多：(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；(2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；(3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程．知识点4：列一元二次方程解应用题1.列方程解实际问题的三个重要环节：一是整体地、系统地审题；二是把握问题中的等量关系；三是正确求解方程并检验解的合理性.2.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.3.解决应用题的一般步骤：审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；列(根据题目中的等量关系，列出方程)；解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；验(检验方程的解能否保证实际问题有意义）；答(写出答案，切忌答非所问).4.常见应用题型数字问题、平均变化率问题、利息问题、利润(销售)问题、形积问题等.细节剖析：列方程解应用题就是先把实际问题抽象为数学问题（列方程），然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决.考点一：一元二次方程的一般形式【典例精讲】（2023春•北林区期末）若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+3x+m2﹣4＝0的常数项为0，则m 的值等于﹣2．【思路点拨】直接利用一元二次方程的定义分析得出答案．【规范解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+3x+m2﹣4＝0的常数项为0，∴m2﹣4＝0，m﹣2≠0，解得：m＝﹣2．故答案为：﹣2．【考点评析】此题主要考查了一元二次方程的定义，正确把握定义是解题关键．【变式训练1-1】（2022秋•峰峰矿区期末）将方程7x﹣3＝2x2化为一般形式后，常数项为3，则一次项系数为（）A．7B．﹣7C．7x D．﹣7x【思路点拨】首先移项，把7x﹣3移到等号右边，然后再确定一次项系数即可．【规范解答】解：由7x﹣3＝2x2，得2x2﹣7x+3＝0，所以一次项系数是﹣7，故选：B．【考点评析】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是掌握任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．【变式训练1-2】（2023秋•红花岗区校级月考）把一元二次方程（x﹣1）2＝3x﹣2化为一般形式，若二次项系数是1，则一次项系数和常数项分别为（）A．﹣3和3B．﹣3和1C．﹣5和3D．﹣5和1【思路点拨】先把方程化为一般式得到x2﹣5x+3＝0，然后根据一次项系数和常数项的定义求解．【规范解答】解：去括号得x2﹣2x+1＝3x﹣2，移项、合并得x2﹣5x+3＝0，所以一次项系数为﹣5，常数项为3．故选：C．【考点评析】本题考查了一元二次方程的一般式：要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．【变式训练1-3】（2023•新罗区校级开学）将一元二次方程x（x﹣2）＝5化为一般形式是x2﹣2x﹣5＝0．【思路点拨】根据一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c＝0（a，b，c为常数且a≠0），即可解答．【规范解答】解：x（x﹣2）＝5，x2﹣2x＝5，x 2﹣2x ﹣5＝0，故答案为：x 2﹣2x ﹣5＝0．【考点评析】本题考查了一元二次方程的一般形式，准确熟练地进行计算是解题的关键．【变式训练1-4】（2022秋•金凤区校级期中）将一元二次方程（x ﹣2）（2x +1）＝x 2﹣4，化为一般形式是x 2﹣3x +2＝0一次项系数是﹣3，常数项是2．【思路点拨】本题需要去括号，移项，合并同类项，然后得到方程的一般形式．【规范解答】解：（x ﹣2）（2x +1）＝x 2﹣4，去括号得：2x 2﹣4x +x ﹣2＝x 2﹣4移项得：2x 2﹣4x +x ﹣2﹣x 2+4＝0合并同类项得：x 2﹣3x +2＝0，所以一般形式为：x 2﹣3x +2＝0，一次项系数是：﹣3，常数项是：2，故答案为：x 2﹣3x +2＝0；﹣3；2．【考点评析】本题考查的是一元二次方程的一般形式：ax 2+bx +c ＝0（a ，b ，c 是常数且a ≠0），在一般形式中ax 2叫二次项，bx 叫一次项，c 是常数项．其中a ，b ，c 分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．【变式训练1-5】（2021秋•南江县校级月考）已知关于x 的一元二次方程（m ﹣1）x 2+5x +m 2﹣3m +2＝0的常数项为0，求m 的值．【思路点拨】方程的常数项为：m 2﹣3m +2，列出方程求解即可．【规范解答】解：由题意可得：m 2﹣3m +2＝0，解得：m 1＝1（舍去），m 2＝2，∴m 的值为2．【考点评析】本题考查一元二次方程的一般形式，正确根据题意列出方程是解题关键．考点二：解一元二次方程-直接开平方法【典例精讲】（2022秋•道县期末）方程：x 2﹣25＝0的解是（）A．x ＝5B．x ＝﹣5C．x 1＝﹣5，x 2＝5D．x ＝±25【思路点拨】这个式子先移项，变成x 2＝25，从而把问题转化为求25的平方根．【规范解答】解：移项得x 2＝25，∴x 1＝﹣5，x 2＝5．故选：C ．【考点评析】法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．【变式训练2-1】（2023•梅县区一模）方程（2x +1）2＝49的根是x 1＝3，x 2＝﹣4．【思路点拨】直接开平方即可得出答案．【规范解答】解：∵（2x +1）2＝49，∴2x +1＝7或2x +1＝﹣7，解得x 1＝3，x 2＝﹣4，故答案为：x 1＝3，x 2＝﹣4．【考点评析】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．【变式训练2-2】（2022秋•宜兴市期末）方程（x +3）2＝4的根是（）A．x 1＝﹣1，x 2＝﹣5B．x 1＝1，x 2＝﹣5C．x 1＝x 2＝﹣1D．x 1＝﹣1，x 2＝5【思路点拨】利用直接开平方法解方程即可．【规范解答】解：（x +3）2＝4，∴x +3＝±2，∴x 1＝﹣1，x 2＝﹣5，故选：A ．【考点评析】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．【变式训练2-3】（2023•峨眉山市二模）先化简，再求值：，其中x 是一元二次方程x 2﹣1＝0的解．【思路点拨】根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，然后根据x 2﹣1＝0，可以得到x 的值，然后将使得原分式有意义的x 的值代入化简后的式子即可解答本题．【规范解答】解：原式＝＝＝，∵x 2﹣1＝0，∴x＝±1，∵x≠﹣1，∴x＝1，∴原式＝．【考点评析】本题考查分式的化简求值、解一元二次方程，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．考点三：解一元二次方程-配方法【典例精讲】（2023•武进区校级模拟）把一元二次方程x2﹣4x﹣8＝0化成（x﹣m）2＝n的形式，则m+n的值为14．【思路点拨】利用配方法把一元二次方程变形，进而求出m、n，计算即可．【规范解答】解：x2﹣4x﹣8＝0，移项，得x2﹣4x＝8，配方，得x2﹣4x+4＝8+4，∴（x﹣2）2＝12，∴m＝2，n＝12，∴m+n＝2+12＝14，故答案为：14．【考点评析】本题考查的是一元二次方程的解法，熟记配方法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．【变式训练3-1】（2023春•淮北期末）一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0配方后正确的是（）A．（x﹣2）2＝1B．（x﹣2）2＝5C．（x﹣4）2＝1D．（x﹣4）2＝5【思路点拨】本题要求用配方法解一元二次方程，首先将常数项移到等号的右侧，将等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将等号左边的代数式写成完全平方形式．【规范解答】解：∵x2﹣4x﹣1＝0，∴x2﹣4x＝1，∴x2﹣4x+4＝1+4，∴（x﹣2）2＝5．故选：B．【考点评析】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．【变式训练3-2】（2023春•罗湖区校级期末）用配方法解一元二次方程x 2+8x ﹣3＝0，配方后得到的方程是（）A．（x +4）2＝19B．（x ﹣4）2＝19C．（x ﹣4）2＝13D．（x +4）2＝13【思路点拨】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可．【规范解答】解：∵x 2+8x ﹣3＝0，∴x 2+8x ＝3，则x 2+8x +16＝3+16，即（x +4）2＝19．故选：A ．【考点评析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．【变式训练3-3】（2023•渠县校级开学）（1）计算：；（2）解方程：x 2+4x +2＝0．【思路点拨】（1）先根据二次根式的性质，零指数幂，负整数指数幂和有理数的乘方进行计算，再算加减即可；（2）移项后配方，开方，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可．【规范解答】解：（1）＝3﹣1+（﹣1）+4＝3+2；（2）x 2+4x +2＝0，移项，得x 2+4x ＝﹣2，配方，得x 2+4x +4＝﹣2+4，（x +2）2＝2，开方，得x +2＝，解得：x 1＝﹣2+，x 2＝﹣2﹣．【考点评析】本题考查了零指数幂，负整数指数幂，实数的混合运算和解一元二次方程等知识点，能正确根据实数的运算法则进行计算是解（1）的关键，能正确配方是解（2）的关键．【变式训练3-4】（2022秋•颍州区校级期末）用配方法解下列方程（1）3x 2﹣4x ﹣2＝0；（2）6x 2﹣2x ﹣1＝0；（3）2x 2+1＝3x ；（4）（x ﹣3）（2x +1）＝﹣5．【思路点拨】各方程整理后，利用配方法求出解即可．【规范解答】解：（1）原方程可化为x 2﹣x ＝，∴x 2﹣x +＝，即（x ﹣）2＝，∴x ﹣＝±，∴x 1＝+，x 2＝﹣；（2））原方程可化为x 2﹣x ＝，∴x 2﹣x +＝，即（x ﹣）2＝，∴x ﹣＝±，∴x 1＝+，x 2＝﹣；（3）原方程可化为x 2﹣x ＝﹣，∴x 2﹣x +＝，即（x ﹣）2＝，∴x ﹣＝±，∴x 1＝1，x 2＝；（4）原方程可化为x 2﹣x ＝﹣1，∴x 2﹣x +＝，即（x ﹣）2＝，∴x ﹣＝±，∴x 1＝2，x 2＝．【考点评析】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．考点四：解一元二次方程-公式法【典例精讲】．（2023•丰顺县校级开学）如果一元二次方程x2+px+q＝0能用公式法求解，那么必须满足的条件是（）A．p2﹣4q≥0B．p2﹣4q≤0C．p2﹣4q＞0D．p2﹣4q＜0【思路点拨】根据在Δ≥0的前提下用公式法解一元二次方程，即可确定答案．【规范解答】解：∵a＝1，b＝p，c＝q，∴Δ＝b2﹣4ac＝p2﹣4q≥0时，一元二次方程x2+px+q＝0能用公式法求解，故选：A．【考点评析】本题考查了公式法解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．【变式训练4-1】（2023•江岸区模拟）定义[x]表示不超过实数x的最大整数，如[1.8]＝1，[﹣1.4]＝﹣2，[﹣3]＝﹣3，则方程[x]＝x2﹣2的解有（）个A．1个B．2个C．3个D．4个【思路点拨】根据定义可知x﹣1＜x2﹣2≤x，求出﹣1≤x＜或＜x≤2，再由x2﹣2是整数，求出x＝﹣1或x＝2或x＝．【规范解答】解：由定义可知x﹣1＜x2﹣2≤x，解方程x2﹣2＝x﹣1得x＝，解方程x2﹣2＝x得x＝﹣1或x＝2，∴x﹣1＜x2﹣2≤x的解集为：﹣1≤x＜或＜x≤2，∵x2﹣2是整数，∴x＝﹣1或x＝2或x＝，所以方程[x]＝x2﹣2的解有3个，故选：C．【考点评析】本题考查了实数的大小比较，直接开平方法解一元二次方程，注义[x]表示不超过实数x 的最大整数是解此题的关键．【变式训练4-2】（2022秋•德化县期末）下面是小明同学解方程x2﹣5x＝﹣4的过程：∵a＝1，b＝﹣5，c＝﹣4（第一步），∴b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×（﹣4）＝41（第二步）．∴x＝，（第三步）．∴x 1＝，x 2＝（第四步）．小明是从第一步开始出错．【思路点拨】根据一元二次方程的解法步骤即可解答．【规范解答】解：原方程化为：x 2﹣5x +4＝0，∴a ＝1，b ＝﹣5，c ＝4．故答案为：一．【考点评析】本题主要考查用公式法解一元二次方程，将一元二次方程化成一般式是运用公式法解一元二次方程的关键．【变式训练4-3】（2023•从江县校级开学）解下列一元二次方程：（1）x 2+x ﹣1＝0；（2）x 2+4x ﹣1＝0．【思路点拨】（1）利用公式法求解即可；（2）利用配方法求解即可．【规范解答】解：（1）x 2+x ﹣1＝0，这里a ＝1，b ＝1，c ＝﹣1，∵b 2﹣4ac ＝12﹣4×1×（﹣1）＝5＞0，∴x ＝＝，解得x 1＝，x 2＝．（2）x 2+4x ﹣1＝0，移项，得x 2+4x ＝1．配方，得x 2+4x +4＝1+4，即（x +2）2＝5，解得x ＝﹣2±，即x 1＝﹣2+，x 2＝﹣2﹣．【考点评析】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键，注意：解一元二次方程的方法有：直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法．【变式训练4-4】（2023春•富川县期中）已知关于x 的一元二次方程（a +b ）x 2﹣2cx +（a ﹣b ）＝0，其中a ，b ，c 分别为△ABC 三边的长．（1）如果x ＝1是方程的一个根，试判断△ABC 的形状，并说明理由；（2）如果△ABC 是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．【思路点拨】（1）把x ＝1代入方程，整理后得出a ﹣c ＝0，求出a ＝c ，根据等腰三角形的判定得出即可；（2）根据等边三角形的性质得出a ＝b ＝c ，代入方程得出x 2﹣x ＝0，再求出方程的解即可．【规范解答】解：（1）△ABC 是等腰三角形，理由：∵x ＝1是方程的根，∴（a +b ）﹣2c +（a ﹣b ）＝0，∴a +b ﹣2c +a ﹣b ＝0，∴a ﹣c ＝0，∴a ＝c ，∴△ABC 是等腰三角形；（2）如果△ABC 是等边三角形，则a ＝b ＝c ，原方程可化为：2ax 2﹣2ax ＝0，∴x 2﹣x ＝0，解得：x 1＝0，x 2＝1．【考点评析】本题考查了等腰三角形的判定，等边三角形的性质，一元二次方程的解和解一元二次方程等知识点，能熟记等腰三角形的判定定理和等边三角形的性质是解此题的关键．考点五：解一元二次方程-因式分解法【典例精讲】（2023•皇姑区校级开学）方程（x ﹣1）（x +1）＝x ﹣1的解是x 1＝1，x 2＝0．【思路点拨】将方程右边看作一个整体，移项到左边，提取公因式x ﹣1化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．【规范解答】解：（x ﹣1）（x +1）＝（x ﹣1），因式分解得：（x ﹣1）（x +1﹣1）＝0，可得x ﹣1＝0或x ＝0，解得：x 1＝1，x 2＝0．故答案为：x 1＝1，x 2＝0．【考点评析】此题考查了解一元二次方程—因式分解法，利用此方法解方程时，首先将方程右边化为0，左边化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．【变式训练5-1】（2023•泸县一模）方程x 2＝3x 的解为（）A．x ＝3B．x ＝0C．x 1＝0，x 2＝﹣3D．x 1＝0，x 2＝3【思路点拨】因式分解法求解可得．【规范解答】解：∵x 2﹣3x ＝0，∴x （x ﹣3）＝0，则x ＝0或x ﹣3＝0，解得：x ＝0或x ＝3，故选：D ．【考点评析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．【变式训练5-2】（2022秋•中山市期末）方程（x ﹣3）（x +2）＝0的根是（）A．x 1＝﹣3，x 2＝﹣2B．x 1＝﹣3，x 2＝2C．x 1＝3，x 2＝﹣2D．x 1＝3，x 2＝2【思路点拨】根据题意得到两个关于x 的一元一次方程，进一步求解即可．【规范解答】解：∵（x ﹣3）（x +2）＝0，∴x ﹣3＝0或x +2＝0，解得x 1＝3，x 2＝﹣2，故选：C ．【考点评析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．【变式训练5-3】（2022秋•毕节市期末）三角形两边的长分别是2和3，第三边的长是方程x 2﹣10x +24＝0的根，则该三角形的周长为9．【思路点拨】首先从方程x 2﹣10x +24＝0中，确定第三边的边长为4或6；其次考查2，3，4或2，3，6能否构成三角形，从而求出三角形的周长．【规范解答】解：由方程x 2﹣10x +24＝0，得：解得x ＝4或x ＝6，当第三边是6时，2+3＜6，不能构成三角形，应舍去；当第三边是4时，三角形的周长为2+4+3＝9．故答案为：9．【考点评析】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法和三角形三边关系．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否成三角形的好习惯，不符合题意的应舍去．【变式训练5-4】（2023•福田区校级开学）（1）因式分解：16﹣4x2；（2）因式分解：4ab2﹣4a2b﹣b3；（3）解方程：；（4）解方程：2（x﹣1）2＝x﹣1．【思路点拨】（1）利用平方差公式进行因式分解即可；（2）首先提取公因式﹣b，然后再利用完全平方公式进行因式分解即可；（3）首先去分母，将方程两边同乘以（x+1）（x﹣1），然后再移项、合并同类项即可得出方程的解，最后再进行检验即可；（4）首先移项，然后进行因式分解把一元二次方程转化为两个一元一次方程，最后再解这两个一元一次方程即可得出答案．【规范解答】解：（1）16﹣4x2＝42﹣（2x）2＝（4﹣2x）（4+2x）；（2）4ab2﹣4a2b﹣b3＝﹣b（4a2﹣4ab+b2）＝﹣b（2a﹣b）2；（3）去分母，方程两边同乘以（x+1）（x﹣1），得：3（x+1）+2x（x﹣1）＝2（x+1）（x﹣1），去括号，得：3x+3+2x2﹣2x＝2x2﹣2，移项，合并得：x＝﹣5；检验：当x＝﹣5时，（x+1）（x﹣1）≠0，∴原方程得解为：x＝﹣5；（4）移项，得：2（x﹣1）2﹣（x﹣1）＝0．∴（x﹣1）（2x﹣2﹣1）＝0，即：（x﹣1）（2x﹣3）＝0，∴x﹣1＝0或2x﹣3＝0，由x﹣1＝0解得：x＝1，由2x ﹣3＝0解得：x ＝，∴原方程得解为：x 1＝1，x 2＝．【考点评析】此题主要考查了因式分解，解分式方程和解一元二次方程，熟练掌握提取公式法、利用乘法公式法进行因式分解，去分母解分式方程的方法与步骤，因式分解法解一元二次方程是解答此题的关键，特别提醒：解分式方程一定要验根，这是易错点之一．考点六：换元法解一元二次方程【典例精讲】（2023春•鄞州区期中）我们知道方程x 2+2x ﹣3＝0的解是x 1＝1，x 2＝﹣3，现给出另一个方程（2x +3）2+2（2x +3）﹣3＝0，它的解是x 1＝﹣1，x 2＝﹣3．【思路点拨】把（2x +3）看成一个整体，另一个方程和已知方程的结构形式完全相同，所以2x +3与已知方程的解也相同．【规范解答】解：∵1，﹣3是已知方程x 2+2x ﹣3＝0的解，由于另一个方程（2x +3）2+2（2x +3）﹣3＝0与已知方程的形式完全相同∴2x +3＝1或2x +3＝﹣3解得x 1＝﹣1，x 2＝﹣3．故答案为：x 1＝﹣1，x 2＝﹣3．【考点评析】本题考查了一元二次方程的解的定义，解决本题即可用换元法，也可直接转化．【变式训练6-1】（2023春•合肥期末）若（a 2+b 2）（a 2+b 2+4）＝12，则a 2+b 2的值为（）A．2或﹣6B．﹣2或6C．6D．2【思路点拨】先设a 2+b 2＝t ，则方程即可变形为t 2+4t ﹣12＝0，解方程即可求得t 即a 2+b 2的值．【规范解答】解：设t ＝a 2+b 2，则原方程可化为：t 2+4t ﹣12＝0，分解因式得：（t +6）（t ﹣2）＝0，解得：t 1＝﹣6，t 2＝2．∵a 2+b 2是非负数，∴a 2+b 2＝2．故选：D ．【考点评析】本题考查了换元法解一元二次方程．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的．【变式训练6-2】（2022秋•牡丹区校级期末）已知（x 2+y 2+1）（x 2+y 2﹣3）＝5，则x 2+y 2的值为（）A．0B．4C．4或﹣2D．﹣2【思路点拨】设x 2+y 2＝z ，则原方程换元为z 2﹣2z ﹣8＝0，可得z 1＝4，z 2＝﹣2，即可求解．【规范解答】解：设x 2+y 2＝z ，则原方程换元为z 2﹣2z ﹣8＝0，∴（z ﹣4）（z +2）＝0，解得：z 1＝4，z 2＝﹣2，即x 2+y 2＝4或x 2+y 2＝﹣2（不合题意，舍去），∴x 2+y 2＝4．故选：B ．【考点评析】本题考查了换元法解一元二次方程，正确掌握换元法是解决本题的关键．【变式训练6-3】（2023春•庐阳区校级期中）若（x 2+y 2）（x 2+y 2+2）﹣8＝0，则x 2+y 2的值是4．【思路点拨】令x 2+y 2＝x ，则原方程可变形为：x （x +2）﹣8＝0，整理后得到：x 2+2x ﹣8＝0，解方程即可．【规范解答】解：令x 2+y 2＝x ，则原方程可变形为：x （x +2）﹣8＝0，整理得到：x 2+2x ﹣8＝0，解得：x ＝﹣2或x ＝4，∵x 2+y 2≥0，∴x 2+y 2＝4，故答案为：4．【考点评析】考查了换元法解一元二次方程的知识，解题的关键是能够代入降次，难度不大．【变式训练6-4】（2022秋•信都区校级期末）阅读材料，解答问题：为解方程x 4﹣3x 2+2＝0，我们将x 2视为一个整体，解：设x 2＝y ，则x 4＝y 2，原方程可化为y 2﹣3y +2＝0，解得y 1＝2，y 2＝1，当x 2＝2时，，当x 2＝1时，x ＝±1，∴原方程的解为或x ＝±1．（1）上面的解题方法，利用换元法达到了降幂的目的．（2）依据此方法解方程：（x 2﹣1）2﹣5（x 2﹣1）+6＝0．【思路点拨】（1）根据换元法解一元二次方程；（2）根据换元法解一元二次方程即可求解．【规范解答】解：（1）上面的解题方法，利用换元达到了降幂的目的，故答案为：换元；（2）解：（x 2﹣1）2﹣5（x 2﹣1）+6＝0，设x 2﹣1＝y ，原方程可化为y 2﹣5y +6＝0，解得y 1＝2，y 2＝3，当x 2﹣1＝2时，，当x 2﹣1＝3时，x ＝±2，∴原方程的解为或x ＝±2．【考点评析】本题考查了换元法解一元二次方程，掌握换元法是解题的关键．【变式训练6-5】（2022秋•新邵县期末）请你先认真阅读下列材料，再参照例子解答问题：已知（x +y ﹣3）（x +y +4）＝﹣10，求x +y 的值；解：设x +y ＝t ，则原方程可变形为（t ﹣3）（t +4）＝﹣10．即t 2+t ﹣2＝0∴（t +2）（t ﹣1）＝0得t 1＝﹣2，t 2＝1，∴x +y ＝﹣2或x +y ＝1．已知（x 2+y 2﹣2）（x 2+y 2﹣3）＝12，求x 2+y 2的值．【思路点拨】设x 2+y 2＝t ，将方程转化为一元二次方程，再进行求解即可．【规范解答】解：设x 2+y 2＝t ，则原方程可变形为：（t ﹣2）（t ﹣3）＝12，即t 2﹣5t ﹣6＝0∴（t +1）（t ﹣6）＝0，解得：t 1＝﹣1，t 2＝6；又∵x 2+y 2≥0，∴x 2+y 2＝6．【考点评析】本题考查解一元二次方程．理解并掌握题目给出的解方程的方法，是解题的关键．考点七：根的判别式【典例精讲】（2023•滕州市校级模拟）已知一元二次方程x2+6x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值为9．【思路点拨】根据方程x2+6x+m＝0有两个相等的实数根可知Δ＝0，求出k的值即可．【规范解答】解：∵一元二次方程x2+6x+m＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝62﹣4m＝0，∴m＝9．故答案为：9．【考点评析】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中，熟知当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根是解题的关键．【变式训练7-1】（2023•武进区校级模拟）一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0的根的情况是（）A．没有实数根B．只有一个实数根C．有两个不相等的实数根D．有两个相等的实数根【思路点拨】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．【规范解答】解：x2﹣4x﹣3＝0，其中a＝1，b＝﹣4，c＝﹣3，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣3）＝28＞0，∴一元二次方程有两个不相等的实数根，故选：C．【考点评析】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．【变式训练7-2】（2023•牡丹区校级开学）若关于x的一元二次方程mx2+2mx+4＝0有两个相等的实数根，则m的值为4．【思路点拨】根据x的方程mx2+2mx+4＝0有两个相等的实数根得到Δ＝b2﹣4ac＝0，列出k的方程，求出k的值即可．【规范解答】解：根据题意，得：Δ＝（2m）2﹣4×4m＝4m2﹣16m＝0，解得：m＝4，或m＝0（舍去），故答案为：4．【考点评析】此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．【变式训练7-3】（2023春•金安区期中）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2﹣2bx﹣a+c＝0，其中a，b，c为△ABC的三边．（1）若x＝1是方程的根，判断△ABC的形状，并说明理由；（2）若方程有两个相等的实数根，判断△ABC的形状，并说明理由．【思路点拨】（1）根据方程的解把x＝1代入方程得到c﹣b＝0，即c＝b，于是由等腰三角形的判定即可得到△ABC是等腰三角形；（2）根据根的判别式得出a，b，c的关系，即可根据勾股定理的逆定理判断△ABC的形状．【规范解答】解：（1）把x＝1代入方程得，a+c﹣2b﹣a+c＝0，化简得c＝b，则该三角形△ABC的形状为等腰三角形．（2）由题意可得方程有两个相等的实数根，则方程（a+c）x2﹣2bx﹣a+c＝0的判别式，Δ＝（﹣2b）2﹣4a×（a+c）（﹣a+c）＝0，4b2﹣4×（c2﹣a2）＝0，化简可得b2+a2＝c2，则该三角形△ABC的形状为直角三角形．【考点评析】本题考查了根的判别式以及一元二次方程、等腰三角形的判定、直角三角形的判定，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．【变式训练7-4】（2022秋•永川区期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1＝0有两个实数根．（1）求m的取值范围；（2）设p是方程的一个实数根，且满足（p2﹣2p+3）（m+4）＝7，求m的值．【思路点拨】（1）由方程根的情况，根据判别式可得到关于m的不等式，则可求得m的取值范围；（2）由方程根的定义，可用m表示出p，代入已知等式可得到关于m的方程，则可求得m的取值范围．【规范解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1＝0有两个实数根，∴△≥0，即（﹣2）2﹣4（m﹣1）≥0，解得m≤2；（2）∵p是方程的一个实数根，∴p 2﹣2p +m ﹣1＝0，∴p 2﹣2p ＝1﹣m ，∵（p 2﹣2p +3）（m +4）＝7，∴（1﹣m +3）（m +4）＝7，即m 2＝9，解得m ＝3或m ＝﹣3，又由（1）可知m ≤2，∴m ＝﹣3．【考点评析】本题主要考查根的判别式，掌握方程根的情况与根的判别式的关系是解题的关键．考点八：根与系数的关系【典例精讲】（2023秋•鼓楼区校级月考）已知α、β是方程x 2+2x ﹣1＝0的两个实数根，则α2+3α+β的值为﹣1．【思路点拨】根据方程的根的定义，以及根与系数之间的关系，即可得到α2+2α﹣1＝0，α+β＝﹣2，根据α2+3α+β＝α2+2α+α+β即可求解．【规范解答】解：∵α，β是方程x 2+2x ﹣1＝0的两个实数根，∴α2+2α﹣1＝0，α+β＝﹣2．∴α2+2α＝1∴α2+3α+β＝α2+2α+α+β＝1﹣2＝﹣1．故答案为：﹣1．【考点评析】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的两根时，x 1+x 2＝﹣，x 1x 2＝．也考查了一元二次方程根的定义．【变式训练8-1】（2023春•瑶海区期中）已知关于x 的一元二次方程（p +1）x 2+2qx +（p +1）＝0（其中p ，q 为常数）有两个相等的实数根，则下列结论中，错误的是（）A．1可能是方程x 2+qx +p ＝0的根B．﹣1可能是方程x 2+qx +p ＝0的根C．0可能是方程x 2+qx +p ＝0的根D．1和﹣1都是方程x 2+qx +p ＝0的根【思路点拨】根据根的判别式可得Δ＝（2q ）2﹣4（p +1）2＝0，进一步可得q ＝±（p +1），可知x ＝1或x ＝﹣1可能是但不能同时是方程x 2+qx +p ＝0的根；当x ＝0时，可得p ＝0，q ＝±1，即可进行判断．【规范解答】解：根据题意，可得Δ＝（2q ）2﹣4（p +1）2＝0，且p +1≠0，∴q ＝±（p +1），当q ＝p +1时，q ﹣p ﹣1＝0，此时x ＝﹣1是方程x 2+qx +p ＝0的根，当q ＝﹣（p +1）时，q +p +1＝0，此时x ＝1是方程x 2+qx +p ＝0的根，∵p +1≠0，∴p +1≠﹣（p +1），∴x ＝1和x ＝﹣1不能同时是方程x 2+qx +p ＝0的根，当x ＝0时，p ＝0，∴q ＝±1，∴当p ＝0，q ＝±1时，x ＝0是方程x 2+qx +p ＝0的根，故选项D 符合题意，故选：D ．【考点评析】本题考查了一元二次方程根的判别式与一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．【变式训练8-2】（2023•天津一模）若一元二次方程x 2﹣4x +3＝0的两个根是x 1，x 2，则x 1•x 2的值是（）A．3B．﹣3C．﹣4D．4【思路点拨】直接根据根与系数的关系求解．【规范解答】解：∵一元二次方程x 2﹣4x +3＝0的两个根是x 1，x 2，∴x 1•x 2＝3．故选：A ．【考点评析】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的两根时，x 1+x 2＝﹣，x 1x 2＝．【变式训练8-3】（2023•泰州）关于x 的一元二次方程x 2+2x ﹣1＝0的两根之和为﹣2．【思路点拨】利用根于系数的关系进行求值．【规范解答】解：x 2+2x ﹣1＝0，x 1+x 2＝﹣＝﹣＝﹣2，故答案为：﹣2．【考点评析】本题主要考查了根与系数的关系．【变式训练8-4】（2023•上杭县校级开学）若x 1，x 2是一元二次方程2x 2+4x ﹣1＝0的两个根，求下列式子的值．（1）+；（2）+．【思路点拨】根据根与系数的关系可得x 1+x 2＝＝﹣2，x 1x 2＝，再进一步求解（1）（2）即可．【规范解答】解：∵x 1，x 2是一元二次方程2x 2+4x ﹣1＝0的两个根，∴x 1+x 2＝＝﹣2，x 1x 2＝，（1）+＝＝4﹣2×＝5；（2）+＝＝＝4．【考点评析】本题考查了根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．【变式训练8-5】（2023春•新会区校级期末）已知关于x 的一元二次方程2x 2+4x +m ＝0．若x 1、x 2是方程的两个实数根，且满足，求m 的值．【思路点拨】由根的判别式与根与系数的关系可得Δ＝42﹣4×2m ≥0，且x 1+x 2＝﹣2，，可得m ≤2，再利用求解即可得到答案．【规范解答】解：∵关于x 的一元二次方程2x 2+4x +m ＝0．x 1、x 2是方程的两个实数根，。
初中数学人教版九年级上册21章一元二次方程(复习)专题
一元二次方程一、知识梳理1.一元二次方程的观点及一般形式 :ax2+bx+c=0 (a≠0)2.一元二次方程的解法 :①直接开平方法②配方法公式法③因式分解法3.求根公式 :当 b2-4ac≥0 时，一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)的两根为２－ｂ± ｂ－４ａｃx=２ａ4. 根的鉴别式：当b2-4ac>0 时，方程有两个不相等的实数根。
当b2-4ac=0 时，方程有两个相等的实数根。
当b2-4ac<0时，方程没有实数根二、思想方法——换元法常用的思想方法———转变思想，从特别到一般的思想，分类议论的思想三、常有的问题种类（1）利用根的鉴别式定理，不解方程，鉴别一元二次方程根的状况（2）已知方程中根的状况，怎样由根的鉴别式确立参数的取值范围（3）一元二次方程应用1）数学识题2）几何问题3）增添率问题4）其余实质问题1四、典型题优选（一）选择题1.以下方程中，没有实数根的是 ( D )A. X2-2x-0B. x2-2x-1=0C. x2-2x+1=0D.x2-2x+2=0.2.对于 x 的一元二次方程 x2+(a2-2a)x+a-1=0 的两个实数根互为相反数，则 a 的值为（ B）A. 2B.0C. 1D. 2或03.一元二次方程 x2-8x-1=0 配方后可变形为（ C）22C.22A. (x+4) =0B. (x+4)=15(x-4) = 17 D. (x-4) =154.若一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2-7x+10=0 的两根，则该等腰三角形的周长是（ A）A.12B.9C.13D. 12或95.在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，假如一共举杯55 次，则这次酒会的人数为（ C）A.19 人B. 10人C. 11 人D. 12人（二）填空题1.已知 m 是对于 x 的方程 x2-2x-3=0 的一个根，则 2m2-4m=__6_2.一元二次方程 x2-2x=0 的解是 __x=0 或 x=2____________3.假如对于 x 的一元二方程 x2+4x-m=0 没有实数根，那么 m 的取值范围是 __m<-4______4.某公司今年 4 月份营业额为 60 万元，6 月份营业额达到 100 万元，设该公司 5 、 6 两月营业额的月均增添率为 x ，则列方程为2_60(1+x)_2_=100___________5.某地域 2017年投入教育经费 2500万元，2019 年投入教育经费 3025 万元。
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一．1.为了美化环境，某市加大对绿化的投资．2007年用于绿化投资20万元，2009年用于绿化投资25万元，求这两年绿化投资的年平均增长率．设这两年绿化投资的年平均增长率为x ，根据题意所列方程为（ ）
A 、22025x =
B 、20(1)25x +=
C 、220(1)25x +=
D 、220(1)20(1)25x x +++=
2.2008年爆发的世界金融危机，是自上世纪三十年代以来世界最严重的一场金融危机。
受金融危机的影响，某商品原价为200元，连续两次降价%a 后售价为148元，下面所列方程正确的是
A ．2200(1%)148a +=
B ．
2200(1%)148a -= C ．200(12%)148a -=
D ．2200(1%)148a -= 3.某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个.设该厂五、六月份 平均每月的增长率为x ，那么x 满足的方程是（ ）
A 、182)1(502=+x
B ．182)1(50)1(50502
=++++x x C 、50(1+2x)＝182 D ．182)21(50)1(5050=++++x x 5. 如图所示，某幼儿园有一道长为16米的墙，计划用32米长的围栏靠墙围成一个面积为120平方米的矩形草坪ABCD ．求该矩形草坪BC 边的长．
6、将5题BC 边上留出一个2米宽的开口，其他条件不变，求BC 边的长
7.某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果这种贺年卡的售价每降低0.1元，那么商场平均每天可多售出100张，•商场要想平均每天盈利120元，
每张贺年卡应降价多少元?
8.利达经销店为某工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）。
当每吨售价为260元时，月销售量为45吨。
该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销。
经市场调查发现：当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨。
综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元。
（1）当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量；
（2）在遵循“薄利多销”的原则下，问每吨材料售价为多少时，该经销店的月利润9000元。
（3）小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大。
”你认为对吗？请说明理由。
二. 1.下列命题正确的是( )
A.一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形
B.对角线互相垂直的四边形是菱形
C.对角线相等的四边形是矩形
D.对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形
2.下列命题中，真命题是（）
Ａ．两条对角线相等的四边形是矩形
Ｂ．两条对角线互相垂直的四边形是菱形
Ｃ．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
Ｄ．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形
3.下面性质中菱形有而矩形没有的是（）
（A）邻角互补（B）内角和为360°（C）对角线相等（D）对角线互相垂直
4．正方形具有而菱形不一定具有的性质是（）
A四条边相等 B对角线互相垂直平分C对角线平分一组对角 D对角线相等
5.顺次连结任意四边形四边中点所得的四边形一定是（）
A、平行四边形
B、矩形
C、菱形
D、正方形
6.已知四边形ABCD的两条对角线AC与BD互相垂直，则下列结论正确的是( )
A.当AC=BD时，四边形ABCD是矩形
B.当AB=AD，CB=CD时，四边形ABCD是菱形
C.当AB=AD=BC时，四边形ABCD是菱形
D.当AC=BD，AD=AB时，四边形ABCD是正方形
7. 如图，E、F、G、H分别是四边形ABCD四条边的中点，要使四边形EFGH为矩形，四边形ABCD应具备的条件是（）
A、一组对边平行而另一组对边不平行
B、对角线相等
C、对角线互相垂直
D、对角线互相平分
8. .如图，在平行四边形ABCD中，AE，CF分别是∠BAD和∠BCD的平分线，添加一个条件，
仍无法判断四边形AECF为菱形的是( )
A.AE=AF
B.EF⊥AC
C.∠B=60°
D.AC平分∠EAF
9.如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个锐角为60︒的菱
形，剪口与折痕所成的角α的度数应为（）
A．15︒或30︒ B．30︒或45︒ C．45︒或60︒ D．30︒或60︒
10.如图所示，如果将矩形纸沿虚线①对折后，沿虚线②剪开，剪出一个直角三角形，展开
后得到一个等腰三角形.则展开后三角形的周长是（）.
A．2＋10 B．2＋210 C．12 D．18
11.如图，正方形ABCD，正方形CGEF的边长分别是2，3，且点B，C，G在同一直线上，M
是线段AE中点，连接FM，则FM的长为( )
A. B. C. D.
12.如图，点P是矩形ABCD的边AD的一个动点，矩形的两条边AB、BC的长分别为3和4，
那么点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是（）
①②
3
4
G
F
E
D
C
H
B
A
A．12
5
B．
6
5
C．
24
5
D．不确定
13 .如图，在菱形ABCD中，∠A=110°，E，F分别是边AB和BC的中点，EP⊥CD于点P，则∠FPC=( )
A.35°
B.45°
C.50°
D.55°
14.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD为AC边上的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A 作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD，连接BG，DF．若AG=13，CF=6，则四边形BDFG的周长为( )
A. B.24 C.20 D.16
15..已知：如图，过四边形ABCD的顶点A，C，B，D分别作BD，AC的平行线围成四边形EFGH，如果EFGH是菱形，那么四边形ABCD必定是( )
A.菱形
B.平行四边形
C.矩形
D.对角线相等的四边形
16.我们把顺次连接四边形四条边的中点所得的四边形叫中点四边形
．．．．．。
现有一个对角线分别为6cm和8cm的菱形，它的中点四边形的对角线长是 .
17.如图，直线与坐标轴交于A，B两点，点P是射线AB上一点，在平面内存在一点Q，使得以O，A，P，Q为顶点的四边形是菱形，则点Q的坐标为_______________。