第七讲 矩阵的乘法运算
矩阵相乘 矩阵变换
矩阵相乘矩阵变换
矩阵相乘是指将两个矩阵进行相乘运算，结果是一个新的矩阵。
假设有两个矩阵A和B，A的维度为m×n，B的维度为n×p，
则两个矩阵相乘得到的新矩阵C的维度为m×p。
具体的计算方法是将A的每一行与B的每一列进行内积运算，得到C的每个元素。
矩阵变换是指通过矩阵对向量进行线性变换的过程。
假设有一个矩阵A和向量x，将向量x通过矩阵A进行变换后得到一
个新的向量y。
具体的计算方法是将矩阵A的每一行和向量x的每一个元素
进行内积运算，得到向量y的每个元素。
矩阵的计算公式图文解析
矩阵的计算公式图文解析矩阵是线性代数中的重要概念，它可以用于表示和处理多维数据。
在实际应用中，矩阵的计算是非常常见的操作，包括矩阵的加法、减法、乘法等。
本文将通过图文解析的方式，详细介绍矩阵的计算公式及其应用。
一、矩阵的加法。
矩阵的加法是指两个相同维度的矩阵相加的操作。
假设有两个矩阵A和B，它们的维度都是m×n，那么它们的加法运算可以表示为：C = A + B。
其中，C是一个m×n的矩阵，它的每个元素都等于对应位置上A和B的元素之和。
例如，对于一个2×2的矩阵A和B：A = [1 2; 3 4]B = [5 6; 7 8]那么A和B的加法结果C为：C = [6 8; 10 12]二、矩阵的减法。
矩阵的减法与加法类似，也是指两个相同维度的矩阵相减的操作。
假设有两个矩阵A和B，它们的维度都是m×n，那么它们的减法运算可以表示为：C = A B。
其中，C是一个m×n的矩阵，它的每个元素都等于对应位置上A和B的元素之差。
例如，对于一个2×2的矩阵A和B：A = [1 2; 3 4]B = [5 6; 7 8]那么A和B的减法结果C为：C = [-4 -4; -4 -4]三、矩阵的乘法。
矩阵的乘法是指两个矩阵相乘的操作。
假设有两个矩阵A和B，它们的维度分别是m×n和n×p，那么它们的乘法运算可以表示为：C = A B。
其中，C是一个m×p的矩阵，它的每个元素都等于A的对应行与B的对应列的元素乘积之和。
例如，对于一个2×2的矩阵A和一个2×2的矩阵B：A = [1 2; 3 4]B = [5 6; 7 8]那么A和B的乘法结果C为：C = [19 22; 43 50]四、矩阵的转置。
矩阵的转置是指将矩阵的行列互换的操作。
假设有一个m×n的矩阵A，那么它的转置运算可以表示为：B = A^T。
矩阵的相乘有关知识点
矩阵的相乘有关知识点矩阵的相乘是线性代数中一个重要的知识点，它在计算机图形学、机器学习等领域中得到广泛应用。
矩阵的相乘可以看作是将两个矩阵进行运算得到一个新的矩阵的过程。
我们来看一下矩阵的定义。
矩阵是由若干个数按照一定的规律排列成的矩形阵列，其中每个数称为矩阵的元素。
矩阵通常用一个大写的字母表示，如A、B等，元素用小写字母表示，如a、b等。
矩阵的行数和列数分别表示为m和n，记作m×n的矩阵。
矩阵的相乘是指将两个满足相乘条件的矩阵进行运算得到一个新的矩阵。
两个矩阵相乘的条件是第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数，即如果矩阵A是m×n的矩阵，矩阵B是n×p的矩阵，那么它们的乘积矩阵C是m×p的矩阵。
矩阵的相乘运算遵循一定的规则。
设A是一个m×n的矩阵，B是一个n×p的矩阵，那么它们的乘积C是一个m×p的矩阵，其中C的第i行第j列的元素可以通过以下方式计算得到：C[i][j] = A[i][1]*B[1][j] + A[i][2]*B[2][j] + ... + A[i][n]*B[n][j]简单来说，C的第i行第j列的元素等于A的第i行的元素与B的第j列的元素对应位置相乘后再相加。
矩阵的相乘运算具有结合律，但不满足交换律。
也就是说，对于满足相乘条件的矩阵A、B、C，有(A*B)*C = A*(B*C)，但一般情况下不满足A*B = B*A。
矩阵的相乘在计算机图形学中有着重要的应用。
在三维空间中，我们可以用一个4×4的矩阵来表示物体的变换，如平移、旋转、缩放等。
将多个变换矩阵相乘，可以得到一个新的变换矩阵，从而实现多个变换的组合效果。
在机器学习中，矩阵的相乘被广泛用于矩阵运算和线性代数的相关计算。
例如，线性回归模型可以用矩阵相乘的方式进行求解。
将输入特征矩阵与参数矩阵相乘，可以得到预测结果。
矩阵的相乘还具有一些性质。
例如，若A、B、C是满足相乘条件的矩阵，k是一个常数，则有以下性质成立：1. 结合律：(A*B)*C = A*(B*C)2. 分配律：A*(B+C) = A*B + A*C3. 数乘结合律：(k*A)*B = k*(A*B) = A*(k*B)4. 单位矩阵的性质：A*I = I*A = A，其中I是单位矩阵，满足I*A = A*I = A矩阵的相乘还可以通过矩阵的转置来简化计算。
矩阵乘法总结
矩阵乘法总结
矩阵乘法是指对于两个矩阵A、B，当A的列数等于B的行数时，可以将它们相乘得到一个新的矩阵C，矩阵乘法的计算公式为：
C(i,j) = SUM(A(i,k) * B(k,j)), k=1,2,...,n
其中，C(i,j)表示C矩阵中第i行第j列的元素，A(i,k)表示A 矩阵中第i行第k列的元素，B(k,j)表示B矩阵中第k行第j列的元素，n表示A矩阵的列数或B矩阵的行数。
矩阵乘法的计算过程需要注意以下几点：
1. 两个矩阵相乘的前提是A矩阵的列数等于B矩阵的行数。
2. 矩阵的乘法不满足交换律，即A * B ≠ B * A。
3. 矩阵乘法满足结合律，即(A * B) * C = A * (B * C)。
4. 矩阵的乘法是分配的，即A * (B + C) = A * B + A * C。
5. 矩阵的逆矩阵在矩阵乘法下成立，即A * A-1 = I，其中I为单位矩阵。
6. 矩阵的转置在矩阵乘法下成立，即(A * B)T = BT * AT。
总之，矩阵乘法在数学、计算机科学等领域都有广泛的应用，
如线性代数、机器学习、图像处理、科学计算等。
需要掌握其基本原理及注意事项。
矩阵相乘的算法
矩阵相乘的算法很久没写blog了，感觉⼈都快变的抑郁了，换⼯作之后各种揪⼼，说好了是做Android的，结果让我搞各种算法，也罢，权当学习了⼀点知识吧。
今天说说矩阵相乘的算法，计算算法很简单，就是3个for循环。
⾸先还是说下矩阵相乘的概念，其实⼤学的时候线性代数中应该有讲到，不过到现在估计都还给⽼师了。
废话不多说，矩阵，其实就是⼀个⼆维数组，横竖排列的，⽐如int[5][6]，就是⼀个矩阵，表⽰有5⾏6列。
只有当矩阵A的列数与矩阵B的⾏数相等时A×B才有意义。
⼀个m×n的a(m,n)左乘⼀个n×p的矩阵b(n,p)，会得到⼀个m×p的矩阵c(m,p)。
左乘：⼜称前乘，就是乘在左边(即乘号前)，⽐如说,A左乘E即AE。
在计算机中，⼀个矩阵实际上就是⼀个⼆维数组。
⼀个m⾏n列的矩阵与⼀个n⾏p列的矩阵可以相乘，得到的结果是⼀个m⾏p列的矩阵，其中的第i⾏第j列位置上的数为第⼀个矩阵第i⾏上的n个数与第⼆个矩阵第j列上的n个数对应相乘后所得的n个乘积之和。
⽐如，下⾯的算式表⽰⼀个2⾏2列的矩阵乘以2⾏3列的矩阵，其结果是⼀个2⾏3列的矩阵。
算法：1//矩阵相乘2public static float[][] Mul(float[][] a, float[][] b) {3//确保矩阵a的列数和b的⾏数相等4if(a[0].length != b.length) {5return null;6 }7//⽤来存放结果的矩阵，axb的结果为a的⾏数和b的列数8float[][] result = new float[a.length][b[0].length];9//对a的每⾏进⾏遍历10for(int i=0; i<a.length; i++) {11//对b的每列进⾏遍历12for(int j=0;j<b[0].length; j++) {13//c为每⼀个点的值14float c = 0;15//第i⾏j列的值为a的第i⾏上的n个数和b的第j列上的n个数对应相乘之和，其中n为a的列数，也是b的⾏数，a的列数和b的⾏数相等16for(int k=0; k<a[0].length; k++) {17 c += (a[i][k]*b[k][j]);18 }19 result[i][j] = c;20 }21 }22return result;23 }代码注释的很清楚了，主要是抓住定义，3个for循环。
矩阵乘法运算公式
矩阵乘法运算公式矩阵乘法是线性代数中的一个重要概念，它在数学、物理、计算机科学等众多领域都有着广泛的应用。
咱先来说说矩阵乘法的运算规则。
简单来讲，就是第一个矩阵的行元素与第二个矩阵的列元素对应相乘再相加。
比如说，有一个 2 行 3列的矩阵 A 和一个 3 行 2 列的矩阵 B，那它们相乘得到的矩阵 C 就是一个 2 行 2 列的矩阵。
咱举个具体的例子哈。
比如说矩阵 A 是[1 2 3; 4 5 6]，矩阵 B 是[7 8;9 10; 11 12]，那矩阵 C 的第一个元素 C11 就是 A 的第一行和 B 的第一列对应元素相乘再相加，也就是 1×7 + 2×9 + 3×11 = 58 。
我还记得之前给学生们讲矩阵乘法的时候，有个特别有趣的事儿。
当时有个学生，特别较真儿，一直纠结为啥要这么乘，不能按自己想的来。
我就给他打了个比方，我说这矩阵乘法就好比是工厂里的生产线。
矩阵 A 里的元素就是原材料，矩阵 B 里的元素就是加工步骤，经过特定的规则（也就是矩阵乘法的运算规则），最后生产出来的产品就是矩阵 C 。
这孩子一听，眼睛一下子就亮了，好像突然就明白了。
再来说说矩阵乘法的一些性质。
比如说，矩阵乘法一般不满足交换律，也就是说 A×B 不一定等于 B×A 。
但它满足结合律和分配律。
矩阵乘法在实际生活中的应用那可太多啦！像图像处理中，对图像进行旋转、缩放等操作，就会用到矩阵乘法。
还有在机器学习里，预测模型的计算也离不开它。
咱继续深入讲讲矩阵乘法的应用。
比如说在密码学中，通过复杂的矩阵乘法运算来加密和解密信息，增加信息的安全性。
还有在经济学中，分析多个变量之间的关系时，也会用到矩阵乘法。
我之前去参加一个学术研讨会，就听到有专家分享了一个关于矩阵乘法在交通流量预测中的应用案例。
他们通过收集大量的道路数据，构建出相关的矩阵，然后利用矩阵乘法运算来预测不同时间段、不同路段的交通流量，为交通规划和管理提供了有力的支持。
矩阵的相乘有关知识点
矩阵的相乘有关知识点矩阵的相乘是线性代数中的一个重要概念，也是矩阵运算中最常用的操作之一。
它在各个领域都有广泛的应用，如计算机图形学、机器学习、信号处理等。
本文将从矩阵相乘的定义、性质以及应用等方面展开阐述。
我们来了解一下矩阵相乘的定义。
假设有两个矩阵A和B，A的维度为m×n，B的维度为n×p，那么它们的乘积C=A×B的维度为m×p。
矩阵C中的元素c_ij等于矩阵A的第i行与矩阵B的第j列对应元素的乘积之和，即c_ij=a_i1*b_1j+a_i2*b_2j+...+a_in*b_nj。
矩阵相乘的定义给出了相乘操作的具体计算方式，接下来我们来探讨一下矩阵相乘的性质。
首先，矩阵相乘不满足交换律，即A×B不一定等于B×A。
这是因为矩阵相乘的计算方式决定了乘法的顺序不能改变。
其次，矩阵相乘满足结合律，即(A×B)×C=A×(B×C)，这意味着在连续相乘多个矩阵时，可以任意改变相乘的顺序。
最后，单位矩阵是矩阵相乘中的特殊元素，对于任意矩阵A，都有A×I=I×A=A，其中I是维度为n×n的单位矩阵。
矩阵相乘在实际应用中有着广泛的应用。
首先，矩阵相乘可以用于几何变换。
在计算机图形学中，我们可以用矩阵相乘来进行平移、旋转和缩放等操作，从而实现图形的变换和渲染。
其次，矩阵相乘在机器学习中也扮演着重要的角色。
在神经网络中，矩阵相乘用于计算输入和权重之间的线性变换，从而实现模型的训练和预测。
此外，矩阵相乘还可以用于信号处理中的滤波操作，通过将信号与滤波器的系数矩阵相乘，可以实现信号的去噪和增强等功能。
当然，矩阵相乘也存在一些限制和注意事项。
首先，矩阵相乘要求被乘矩阵的列数与乘矩阵的行数相等，否则无法进行相乘操作。
其次，矩阵相乘的计算量较大，特别是在矩阵维度较大时，会消耗大量的计算资源和时间。
矩阵乘法的定义及其性质
矩阵乘法的定义及其性质矩阵乘法是矩阵运算中的一种重要形式，矩阵乘法能够将两个矩阵相乘得到一个新的矩阵，是矩阵运算中应用广泛的一种运算方式。
在矩阵乘法的运算中，向量、矩阵和多项式相乘都可以使用矩阵乘法来实现。
矩阵乘法的定义在矩阵乘法中，两个矩阵相乘的前提条件是第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数，即A(m,n)与B(n,p)可以相乘。
将A和B 相乘，得到的矩阵C是一个m行p列的矩阵，其第i行第j列的元素可以表示为：C(i,j)=sum(A(i,k)*B(k,j))其中k的取值范围为1到n，sum表示对k的求和。
矩阵乘法的运算法则是“行乘列加”，即矩阵的每一行与另一个矩阵的每一列进行乘法运算，将结果相加得到新矩阵中的对应元素。
矩阵乘法的性质1. 不满足交换律矩阵乘法不满足交换律，即A*B与B*A是不相等的。
这一性质可以通过矩阵乘法的定义进行理解，因为AB的定义中，A的列数必须等于B的行数，而BA的定义中，B的列数也必须等于A 的行数，这两种情况下的矩阵乘法所得到的结果是不同的。
2. 满足结合律矩阵乘法满足结合律，即(A*B)*C=A*(B*C)。
这一性质可以通过对矩阵乘法的运算法则进行分析得到，因为矩阵乘法是按照行乘列加的方式运算的，所以多个矩阵连乘时，括号的位置不影响结果。
3. 矩阵乘法满足分配律矩阵乘法满足分配律，即A*(B+C)=A*B+A*C。
这一性质也可以通过矩阵乘法的定义得到，即将A的每一行与B+C的对应列相乘，然后将结果相加得到新矩阵中的对应元素，即A*B+A*C。
4. 矩阵乘法中的单位矩阵在矩阵乘法中，单位矩阵是指一个元素在对角线上为1，其余所有元素都为0的矩阵。
如果一个矩阵乘以一个单位矩阵，其结果矩阵仍然是该矩阵本身。
例如，矩阵A和其对应的单位矩阵I 相乘得到的结果矩阵是A本身，即A*I=A。
5. 矩阵乘法中的逆矩阵在矩阵乘法中，如果一个矩阵A乘以另一个矩阵B得到的结果矩阵是单位矩阵I，那么矩阵B就被称为矩阵A的逆矩阵，记作A^-1。
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若AB=BA则称矩阵A、B乘积可交换.
13
小结：
1. 只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行 数时，两个矩阵才能相乘. 2. 矩阵相乘不满足交换律，即一般来说
A B B A.
3. 矩阵相乘不满足消去律，即一般来说 由 A B A C 且 A 0 , 不能推出 B C .
14
0 , 1
0 B 1
1 0
解
0 AB 1
1 , 0
BA
0 1
1 0
6
例5 设
b1 b2 B b n
,
求AB、BA
7
例6
求
设A
AC、BC
3 2
1 , 1
B
5 9
1 , 1
C
0 1
0 3
对方程组
a 1 1 x 1 a 1 2 x 2 a 1 3 x 3 b1 a 21 x1 a 22 x 2 a 23 x 3 b2 a x a x a x b 31 1 32 2 33 3 3
(1)
a 11 记 A a 21 a 31
a1 1 记 A a 21
a12 a 22
a13 , a 23
x1 x x2 , x 3
b1 b b2
则方程组(2)可表示为 A x b .
10
二、矩阵乘法运算规律 定理1. 设A、B、C、O、E在下面各式中相应的
乘法和加法运算中都能进行，k为实数，则：
0 AB 0 0 , 0
1 , 1
1 B 1
1 1
则
故
2 BA 2
2 , 2
AB BA .
由于矩阵不可交换，所以矩阵乘法分为左乘和右乘.
12
此例不仅表明矩阵的乘法不满足交换律， 而且还表明矩阵的乘法不满足消去律，即
k 1
s
i
例如:
1, 2 , , m ; j 1, 2 , , n
并把此乘积记作
C AB .
2
注意： 要使C=AB有意义，则A的列数必须等于B的行 数，且矩阵C的第i行第j列元素正好是A的第i行与B的 第j列对应元素乘积之和。
பைடு நூலகம்例如
不存在.
3
注意： 1. 乘积矩阵的第i行第j列元素等于左矩阵的第i行元 素与右矩阵的第j列对应元素乘积之和.
1)若 A B O , 且 A O , 不 能 推 出 B O ;
2 )若 A ( X Y ) O , 且 A O , 不 能 推 出 X Y .
但也有例外，比如设
2 A 0 0 , 2 1 B 1 1 , 1
则有
2 2 2 2 AB AB BA . , BA 2 2 2 2
第二章
第二讲
矩阵及其运算
矩阵的乘法运算
1
一、定义
设 A ( a ij ) 是 一 个 m s 矩 阵 ， B b ij 是 一 个 s n 矩 阵 ， 那 么 规 定 矩 阵 A 与 矩 阵 B 的 乘 积 是 一 个 m n 矩 阵 C ( c ij ) 其中
c ij a i 1 b 1 j a i 2 b 2 j a is b sj a ik b kj
(1) 结合律：A（BC）=（AB）C； k（AB）=A（kB）
(2) 分配律：A（B+C）=AB+AC；
（B+C）A=BA+CA (3) OA=O ； AO=O (4) EA=A ； AE=A. 注：单位矩阵E和数1的作用一样。
11
注意
矩阵不满足交换律，即：
AB B A
如：
设 A 1 1
a 12 a 22 a 32
a 13 a 23 , a 33
x1 x x2 , x 3
b1 b b2 b 3
9
则方程组(1)可表示为 A x b .
又如： 对方程组
a 1 1 x 1 a 1 2 x 2 a 1 3 x 3 b1 a 21 x1 a 22 x 2 a 23 x 3 b 2 (2)
2. 只有当左矩阵的列数等于右矩阵的行数时，矩阵的
乘积才有意义. 3. 两个矩阵的乘积仍然是一个矩阵，且乘积矩阵的 行数等于左矩阵的行数，乘积矩阵的列数等于右矩 阵的列数.
4
又如
5
例3
1 设A 2
3 , 4
B
2 1
0 3
4 1
解
AB
1 0
9 12
1 4
例4
1 设A 0
解：
AC
3 2
1 1
0 1
0 1 3 1
3 3
BC
5 9
1 1
0 1
0 1 3 1
3 3
此处
8
方程组的矩阵表示：
a11 a 21 a 31 a12 a 22 a 32 a11 x1 a12 x 2 a13 x 3 a13 x1 a 23 x 2 a 21 x1 a 22 x 2 a 23 x 3 x a 33 3 a 31 x1 a 32 x 2 a 33 x 3