高考文科数学一轮复习专题集合(学生版)

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高三文科数学第一轮复习数列专题.docx

数列专题姓名： _____________ （一）数列求和学号： _____________1．公式法。

（直接用等差、等比数列的求和公式求和）n(a 1a n )n(n 1)na 1 (q 1)na 1 ； S nn ) (q 1)S n22da 1 (1 q公比含字母时一定要讨论1 q例 1（1）：已知等差数列．．．． { a n } 满足 a 1 1, a 23 ，求前 n 项和 S n ．例 1（2）：已知等比数列．．．． { a n } 满足 a 11, a 2 3 ，求前 n 项和 S n ．练习 1（ 1） .设 f (n)2 2427210L23 n 10 ( nN ) ，则 f (n) 等于（）A. 2(8n1) B.2 (8n 1 1) C.2(8n 3 1)D. 2 (8n 41)777 7练习 1（ 2） . 求和： 1+ 3 + 7 + 9 + K + (2 n - 1)2．分组求和法c n = a n + b n ， a n 、 b n 是等差或等比数列，则采用分组求和法1111 例 3：求数列1， 2+， 3+ ， 4++⋯ + nn 1 的前 n 项和 S n ．2 482练习 2（1）：已知数列 { a n } 是 3＋ 2－1,6＋ 22－ 1,9＋ 23－ 1,12＋24 －1，⋯，写出数列 { a n } 的通项公式并求其前 n 项和 S n ．练习 2（ 2）：求和： (2 - 3? 5- 1 ) (4 - 3? 5- 2 ) L + (2 n - 3? 5- n ) ．3．错位相减法：（乘以式中的公比q ，然后再进行相减） a n等差 , b n等比 , 求 a1b1 a 2b2a n b n的和 .例 3．求和S n 1 2x 3x2L nx n 1（ x 1 0 ）（提示：分类讨论， x1和 x 1 两种情况）练习 3（ 1）化简：S n 1 21 2 2 2n2n123n练习 3(2) ．求和：S n23na a a a练习3(3). 设{ a n}是等差数列，{b n } 是各项都为正数的等比数列，且a1b1 1 ， a3b521 ，a5 b3 13 （Ⅰ）求 { a n} ， { b n } 的通项公式；（Ⅱ）求数列a n的前 n 项和S n．b n4．裂项相消法 ( 把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项)常见拆项：1 11；1 1 ( 1 1 ) 1= 1 ( 1- 1 )n(n 1) nn 1n(n2)2 n n 2 ； n(n + k) k n n + k11111111]()[(2n 1)( 2n 1) 2 2n 1 2n 1 ； n(n 1)( n2) 2 n(n 1) ( n 1)(n2)例 4（1）．数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，若 a n1，则 S 5 等于（）n(n 1)A ． 1B ．5C ．1D ．16630例 4（2） . 已知数列 { a n } 的通项公式为 a n1，求前 n 项的和．nn11，求前 n 项的和．练习 4（ 1）．已知数列 { a n } 的通项公式为 a nn(n 1)练习 4（ 2）．若数列的通项公式为 b n1n 项和为 _________．,则此数列的前 (2n1) (2n 1)练习 4（ 3）已知数列a n: 1 ,12 , 1 23 , ⋯ , 1 2 3 L 9, ⋯ , 若 b n 1，23 34 4410 10 1010a nan 1那么数列 b n 的前 n 项和 S n 为（）A ．n B． 4n C.3n D． 5n n1n 1n 1n 1练习 4（ 4）．已知数列 { a n } 的通项公式为 a n ＝n1，设 T n11 L1 ，求 T n ．2a 1 a 3a 2 a 4a nan 2练习 4（ 5）．求 11 1 14 1,(n N * ) 。

高中数学文科一轮总复习基础题及解析必考部分(1)

高中数学文科一轮总复习基础题及解析必考部分（1）第一讲集合与常用逻辑用语第一节集合的概念与运算1.设集合A={1,2,4},B={x|x 2-4x+m=0}.若A ∩B={1},则B= ( ) A.{1,-3} B.{1,0} C.{1,3} D.{1,5}【命题意图】本题考查集合的运算,意在考查学生的二次方程的根以及运算求解能力. 【解析】选C.由A ∩B={1}得1∈B,所以m=3,B={1,3}.【反思总结】求解有关集合的交集、并集、补集问题时,必须对集合的相关概念有深刻的理解,善于抓住代表元素,通过观察集合之间的关系,借助数轴寻找元素之间的关系,使问题准确解决.2.设集合A={1,2,3},B={2,3,4},则A ∪B= ( ) A.{1,2,3,4}B.{1,2,3}C.{2,3,4}D.{1,3,4}【命题意图】本题考查集合的运算,意在考查学生对集合元素的理解以及并集的运算能力. 【解析】选A.由题意A ∪B={1,2,3,4}.【反思总结】求解有关集合的交集、并集、补集问题时,必须对集合的相关概念有深刻的理解,善于抓住代表元素,通过观察集合之间的关系,借助数轴寻找元素之间的关系,使问题准确解决.3.已知集合A=}{2x x <,B=}{320x x ->,则 ( )A.A ∩B=32x x ⎧⎫<⎨⎬⎭⎩ B.A ∩B=⌀ C.A ∪B=32x x ⎧⎫<⎨⎬⎭⎩D.A ∪B=R【命题意图】本题主要考查集合的基本运算. 【解析】选A.由3-2x>0得x<32,所以A∩B={x|x<2}∩32x x⎧⎫<⎨⎬⎭⎩=32x x⎧⎫<⎨⎬⎭⎩.4.已知集合A={1,2,3,4},B={2,4,6,8},则A∩B中元素的个数为()A.1B.2C.3D.4【命题意图】本题考查集合的运算.【解析】选B.由题意可得:A∩B={}2,4.5.设集合M={x||x-1|<1},N={x|x<2},则M∩N=()A.(-1,1)B.(-1,2)C.(0,2)D.(1,2)【命题意图】本题考查绝对值不等式的解法和集合的运算,意在考查考生的运算求解能力.【解析】选C.M={x|0<x<2},M∩N=(0,2).6.已知集合P={}11x x-<<,Q={}02x x<<,那么P∪Q=()A.(-1,2)B.(0,1)C.(-1,0)D.(1,2)【命题意图】本题考查集合的运算,意在考查学生的运算求解能力.【解析】选A.因为P={}11x x-<<,Q={}02x x<<,所以P∪Q={}12x x-<<,故选A. 7．设全集U＝R，A＝{x|y＝lg(1－x)}，则∁R A＝()A．(－∞，1)B．(0,1) C．[1，＋∞)D．(1，＋∞)解析：∵y＝lg(1－x)，∴1－x＞0，即x＜1，∴∁R A＝{x|x≥1}．故选C.答案：C8．设集合A＝{x|(x＋1)(x－5)＜0，x∈N}，B＝{1,2,4,5}，全集U＝A∪B，则集合∁U(A∩B)中的元素共有()A．3个B．4个C．5个D．6个解析：因为A＝{x|(x＋1)(x－5)＜0，x∈N}＝{0,1,2,3,4}，所以A∪B＝{0,1,2,3,4,5}，A∩B＝{1,2,4}，所以∁U(A∩B)＝{0,3,5}．答案：A9．已知集合U＝{2,3,6,8}，A＝{2,3}，B＝{2,6,8}，则(∁U A)∩B＝________.解析：先计算∁U A，再计算(∁U A)∩B.∵U＝{2,3,6,8}，A＝{2,3}，∴∁U A＝{6,8}．∴(∁U A)∩B＝{6,8}∩{2,6,8}＝{6,8}．答案：{6,8}10．设A＝{1,4,2x}，若B＝{1，x2}，若B⊆A，则x＝________.解析：由B⊆A，则x2＝4或x2＝2x.当x2＝4时，x＝±2，但x＝2时，2x＝4，这与集合元素的互异性相矛盾；当x2＝2x时，x＝0或x＝2，但x＝2时，2x＝4，这与集合元素的互异性相矛盾．综上所述，x＝－2或x＝0.答案：0或－211.已知集合A={1,2},B={a,a2+3},若A∩B={1},则实数a的值为.【命题意图】考查集合的基本运算,突出考查元素的互异性.【解析】由题意1∈B,显然a2+3≥3,所以a=1,此时a2+3=4,满足题意,故答案为1.答案:1第二节命题及其关系，充分条件与必要条件一、选择题1．命题“若a2＋b2＝0，则a＝0且b＝0”的逆否命题()A．若a2＋b2≠0，则a≠0且b≠0B．若a2＋b2≠0，则a≠0或b≠0C．若a＝0且b＝0，则a2＋b2≠0D．若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0解析：其逆否命题为“若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0”选D.答案：D2．命题“全等三角形的面积一定都相等”的否定是()A．全等三角形的面积不一定都相等B．不全等三角形的面积不一定都相等C．存在两个不全等三角形的面积相等D．存在两个全等三角形的面积不相等解析：命题是省略虚词的全称命题，故选D.答案：D3．“x＞0，y＞0”是“xy＞0”成立的()A．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：当x ＞0，y ＞0时，一定有xy ＞0；而当xy ＞0时，有可能x ＜0，y ＜0，故“x ＞0，y ＞0”是“xy ＞0”的充分不必要条件．答案：A4．在△ABC 中，“A ＞B ”是“sin A ＞sin B ”的( ) A ．充分必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件 D ．既不充分又不必要条件解析：在△ABC 中，A ＞B ⇔2R sin A ＞2R sin B (其中2R 是△ABC 的外接圆直径)，即sin A ＞sin B ．因此在△ABC 中，“A ＞B ”是“sin A ＞sin B ”的充分必要条件，选A. 答案：A5．设p ：|4x －3|≤1；q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，若¬p 是¬q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是( ) A ．[0，12]B ．(0，12)C ．(－∞，0]∪[12，＋∞]D ．(－∞，0)∪(12，＋∞)解析：设A ＝{x ||4x －3|≤1}， B ＝{x |x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0}，易知A ＝{x |12≤x ≤1}，B ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}．由¬p 是¬q 的必要不充分条件，从而p 是q 的充分不必要条件，即即A B ⊆， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤12，a ＋1≥110a 2∴≤≤故所求实数a 的取值范围是[0，12]．答案：A6．有三个命题：(1)“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题； (2)“若a ＞b ，则a 2＞b 2”的逆否命题；(3)“若x ＜－3，则x 2＋x －6＞0”的否命题．其中真命题的个数为________．解析：(1)真，(2)原命题假，所以逆否命题也假，(3)易判断原命题的逆命题假，则原命题的否命题假．答案：17．若“x ∈[2,5]或x ∈{x |x ＜1或x ＞4}”是假命题，则x 的取值范围是________．解析：x ∉[2,5]且x ∉{x |x ＜1或x ＞4}是真命题．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＜2或x ＞5，1≤x ≤4，得1≤x ＜2，故x ∈[1,2)．答案：[1,2)8.设x ∈R,若“2-x ≥0”是“1x -≤1”的 ( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【命题意图】本题是对充要关系的考查.【解析】选B.2-x ≥0,则x ≤2,1x -≤1,则-1≤x-1≤1,0≤x ≤2,据此可知:“2-x ≥0”是“1x -≤1”的必要不充分条件.第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1．已知命题p ：∃x 0∈R ，sin x 0＜12x 0，则¬p 为( )A ．∃x 0∈R ，sin x 0＝12x 0B ．∀x ∈R ，sin x ＜12xC ．∃x 0∈R ，sin x 0≥12x 0D ．∀x ∈R ，sin x ≥12x解析：原命题为特称命题，故其否定为全称命题，即¬p ：∀x ∈R ，sin x ≥12x .答案：D2．已知命题p ：复数z ＝1＋ii在复平面内所对应的点位于第四象限；命题q ：∃x ＞0,2－x ＝e x ，则下列命题中为真命题的是( ) A ．p ∧q B ．(¬p )∧q C ．p ∧(¬q )D ．(¬p )∧(¬q )解析：化简z ＝1＋i i ＝(1＋i )·ii·i ＝1－i ，故命题p 是正确的；在同一坐标系中同时画出函数f (x )＝2－x 和函数g (x )＝e x 的图像(图略)．观察发现图像的交点在第一象限，故命题q 是正确的．再根据复合命题的真值表，知选项A 是正确的．答案：A3．已知命题p ：∀x ∈R,2x ＜3x .命题q ：∃x ∈R ，x 3＝1－x 2，则下列命题中为真命题的是( ) A ．p ∧q B ．(¬p )∧q C ．p ∧(¬q )D ．(¬p )∧(¬q )解析：当x ＜0时，2x ＞3x ；当x ＝0时，2x ＝3x ；当x ＞0时，2x ＜3x ，故命题p 是假命题．构造函数f (x )＝x 3＋x 2－1，因为f (0)·f (1)＜0，由零点存在性定理，知在区间(0,1)上，至少有一个零点，故命题q 是真命题．再由复合命题的真值表，知选项B 是正确的．答案：B4．已知命题p ：∃x 0∈R ，x 0－2＞lg x 0；命题q ：∀x ∈R ，x 2＋x ＋1＞0.给出下列结论： ①命题“p ∧q ”是真命题；②命题“p ∧¬q ”是假命题；③命题“¬p ∨q ”是真命题；④命题“p ∨¬q ”是假命题．其中所有正确结论的序号为( ) A ．②③ B ．①④ C ．①③④D ．①②③解析：对于命题p ，取x 0＝10，则有10－2＞lg 10，即8＞1，故命题p 为真命题；对于命题q ，方程x 2＋x ＋1＝0，Δ＝1－4×1＜0，故方程无解，即∀x ∈R ，x 2＋x ＋1＞0，所以命题q 为真命题．综上“p ∧q ”是真命题，“p ∧¬q ”是假命题，“¬p ∨q ”是真命题，“p ∨¬q ”是真命题，即正确的结论为①②③. 答案：D5．命题p ：函数y ＝log 2(x 2－2x )的单调增区间是[1，＋∞)，命题q ：函数y ＝13x ＋1的值域为(0,1)，下列命题是真命题的为( ) A ．p ∧q B ．p ∨q C ．p ∧(¬q )D ．¬q解析：由x 2－2x ＞0，解得x ＜0或x ＞2，则函数y ＝log 2(x 2－2x )的定义域为(－∞，0)∪(2，＋∞)；[1，＋∞)不满足定义域要求，则命题p 是假命题；因为3x ＞0，所以3x ＋1＞1,0＜13x＋1＜1，所以函数y ＝13x ＋1的值域为(0,1)，则命题q 是真命题．故选B. 答案：B6．条件p ：|x |＞1，条件q ：x ＜－2，则¬p 是¬q 的________条件．解析：由|x |＞1得x ＜－1或x ＞1，则¬p 为－1≤x ≤1，¬q 为x ≥－2，则¬p 是¬q 的充分不必要条件．答案：充分不必要7．若“x ∈[2,5]或x ∈(－∞，1)∪(4，＋∞)”是假命题，则x 的取值范围是________．解析：根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＜2或x ＞5，1≤x ≤4.解得1≤x ＜2，故x ∈[1,2)．答案：[1,2)8．命题p ：{2}∈{1,2,3}，q ：{2}⊆{1,2,3}，则对复合命题的下述判断：①p 或q 为真；②p 或q 为假；③p 且q 为真；④p 且q 为假；⑤非p 为真；⑥非q 为假．其中判断正确的序号是________(填上你认为正确的所有序号)．解析：p ：{2}∈{1,2,3}，q ：{2}⊆{1,2,3}，p 假q 真，故①④⑤⑥正确．答案：①④⑤⑥9.已知命题p :∃x ∈R,x 2-x+1≥0;命题q :若a 2<b 2,则a<b.下列命题为真命题的是 ( ) A.p ∧q B.p ∧⌝qC. ⌝p ∧qD . ⌝p ∧⌝q【命题意图】本题考查简单的含逻辑联结词命题的真假判断,意在考查考生的分析问题、解决问题的能力.【解析】选B.由x=0时x 2-x+1≥0成立知p 是真命题,由12<22,12<(-2)2可知q 是假命题.第二讲函数第一节函数及其表示1．函数f (x )＝1(log 2x )2－1的定义域为( )A.⎝⎛⎭⎫0，12B.()2，＋∞C.⎝⎛⎭⎫0，12∪(2，＋∞) D.⎝⎛⎦⎤0，12∪[2，＋∞) 解析：要使函数f (x )有意义，需使(log 2x )2－1＞0，即(log 2x )2＞1，∴log 2x ＞1或log 2x ＜－1.解之得x ＞2或0＜x ＜12.故f (x )的定义域为⎝⎛⎭⎫0，12∪(2，＋∞)．答案：C2．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋log 2(2－x )，x ＜1，2x －1 x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)＝( )A ．3B ．6C ．9D ．12解析：∵log 212＞1，∴f (log 212)＝2log 212－1＝21＋log 23＝2×3＝6.∴原式＝1＋log 24＋6＝9. 答案：C3．已知函数f (x )＝5|x |，g (x )＝ax 2－x (a ∈R )．若f [g (1)]＝1，则a ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．－1解析：由已知条件知：f [g (1)]＝f (a －1)＝5|a －1|＝1，∴|a －1|＝0，得a ＝1.故选A. 答案：A4．某天清晨，小明同学生病了，体温上升，吃过药后感觉好多了，中午时他的体温基本正常，但是下午他的体温又开始上升，直到半夜才感觉身上不那么发烫了．下面大致能反映出小明这一天(0时～24时)体温的变化情况的图是( )解析：由题意，清晨体温在上升，吃药后到12点下降至体温基本正常，下午又上升，然后再又下降．只有C 选项符合．选C. 答案：C5．下列函数中，不满足f (2x )＝2f (x )的是( ) A ．f (x )＝|x | B ．f (x )＝x －|x | C ．f (x )＝x ＋1D ．f (x )＝－x解析：对于选项A ，f (2x )＝|2x |＝2|x |＝2f (x )；对于选项B ，f (x )＝x －|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧0(0≥0)，2x (x ＜0)，当x ≥0时，f (2x )＝0＝2f (x )，当x ＜0时，f (2x )＝4x ＝2·2x ＝2f (x )，恒有f (2x )＝2f (x )；对于选项D ，f (2x )＝－2x ＝2(－x )＝2f (x )；对于选项C ，f (2x )＝2x ＋1＝2f (x )－1.选C. 答案：C 6.设f (x )=()121,1x x x <<-≥⎪⎩若f (a )=f (a+1),则f 1a ⎛⎫⎪⎝⎭= ( )A.2B.4C.6D.8【命题意图】本题考查函数及分段函数的概念,意在考查考生的运算求解能力.【解析】选C.由x ≥1时,函数f(x)为一次函数,得0<a<1,由f(a)=f(a+1)2(a+1-1),解得a=14,则f 1a ⎛⎫⎪⎝⎭=f(4)=2(4-1)=6. 【方法技巧】由分段函数求参数值的思路先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上,构造关于参数的方程,然后求出相应自变量的值,解此类题目易出现的失误有两个:①求出自变量的值,不代入检验,出现增根;②不能确定自变量的范围而随便把其值代入函数解析式.7．函数y ＝x －x (x ≥0)的最大值为________．解析：y ＝x －x ＝－(x )2＋x ＝－(x －12)2＋14，∴y max ＝14.答案：148．已知函数f (x )＝a x ＋b (a ＞0，a ≠1)的定义域和值域都是[－1,0]，则a ＋b ＝________. 解析：当0＜a ＜1时，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝0，a 0＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－2，a ＝12，∴a ＋b ＝－32.当a ＞1时，⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝－1，a 0＋b ＝0，解得b ＝－1，∴1a ＝0，无解．综上a ＋b ＝－32. 答案：－329．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x －3， x ≥1，lg (x 2＋1)， x ＜1，则f (f (－3))＝________，f (x )的最小值是________．解析：∵f (－3)＝lg [(－3)2＋1]＝1， ∴f (f (－3))＝f (1)＝1＋2－3＝0. 当x ≥1时，f (x )＝x ＋2x－3≥22－3，当x ＜1时，x 2＋1≥1， ∴lg(x 2＋1)≥0. 综上，f (x )min ＝22－3. 答案：0,22－3第二节函数的单调性与最值1．(2015·湖南高考)设函数f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )，则f (x )是( ) A ．奇函数，且在(0,1)上是增函数 B ．奇函数，且在(0,1)上是减函数 C ．偶函数，且在(0,1)上是增函数 D ．偶函数，且在(0,1)上是减函数解析：∵f (－x )＝ln(1－x )－ln(1＋x )＝－f (x )，∴f (x )是奇函数．又∵f ′(x )＝11＋x ＋11－x ＝1－x ＋(1＋x )1－x 2＝21－x 2，x ∈(－1,1)， ∴f ′(x )在定义域内恒大于0，∴f (x )在(0,1)上是增函数．答案：A2．下列函数f (x )中，满足“∀x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1≠x 2，(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＜0”的是( )A ．f (x )＝1x －xB ．f (x )＝x 3C ．f (x )＝ln xD ．f (x )＝2x解析：“∀x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1≠x 2，(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＜0”等价于在(0，＋∞)上f (x )为减函数，易判断f (x )＝1x －x 符合，选A.答案：A3．设函数f (x )定义在实数集上，它的图像关于直线x ＝1对称，且当x ≥1时，f (x )＝3x －1，则( )A ．f (13)＜f (32)＜f (23)B ．f (23)＜f (32)＜f (13)C ．f (23)＜f (13)＜f (32)D ．f (32)＜f (23)＜f (13)解析：由题设知，当x ＜1时，f (x )单调递减，当x ≥1时，f (x )单调递增，而x ＝1为对称轴，∴f ⎝⎛⎭⎫32＝f (1＋12)＝f (1－12)＝f (12)，又13＜12<23＜1， ∴f (13)>f (12)>f (23)即f (13)＞f (32)＞f (23)．答案：B4．定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a ＜b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2,2]的最大值等于( ) A ．－1 B ．1 C ．6D ．12解析：由已知得当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2，当1＜x ≤2时，f (x )＝x 3－2. ∵f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在定义域内都为增函数． ∴f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6. 答案：C5．已知函数f (x )满足f (x )＝f (π－x )，且当x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2时，f (x )＝e x ＋sin x ，则( ) A ．f (1)＜f (2)＜f (3) B ．f (2)＜f (3)＜f (1) C ．f (3)＜f (2)＜f (1)D ．f (3)＜f (1)＜f (2)解析：由f (x )＝f (π－x )得函数f (x )的图像关于x ＝π2对称．由f (x )＝e x ＋sin x 得函数在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上单调递增，由f (x )＝f (π－x )得，f (2)＝f (π－2)，f (3)＝f (π－3)，又1，π－2，π－3均属于⎝⎛⎭⎫－π2，π2，∴f (π－2)＞f (1)＞f (π－3)，∴f (2) ＞f (1)＞f (3)．答案：D6．已知偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，f (2)＝0.若f (x －1)＞0，则x 的取值范围是________．解析：∵f (2)＝0，f (x －1)＞0， ∴f (x －1)＞f (2)，又∵f (x )是偶函数且在[0，＋∞]上单调递减， ∴f (|x －1|)＞f (2)，∴|x －1|＜2，∴－2＜x －1＜2，∴－1＜x ＜3，∴x ∈(－1,3)．答案：(－1,3)7．已知函数f (x )＝x 2－2ax －3在区间[1,2]上具有单调性，则实数a 的取值范围为____________．解析：函数f (x )＝x 2－2ax －3的图像开口向上，对称轴为直线x ＝a ，画出草图如图所示．由图像可知，函数在(－∞，a )和[a ，＋∞]上都具有单调性，因此要使函数f (x )在区间[1,2]上具有单调性，只需a ≤1或a ≥2，从而a ∈(－∞，1]∪[2，＋∞)．答案：(－∞，1]∪[2，＋∞)8．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ＞0，0，x ＝0，－1，x ＜0g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的递减区间是________．解析：由题意知g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ＞1，0，x ＝1，－x 2，x ＜1函数图像如图所示，其递减区间是[0,1)．答案：[0,1)9.已知函数f (x )=ln x+ln(2-x ),则 ( ) A.f (x )在(0,2)单调递增 B.f (x )在(0,2)单调递减C.y=f (x )的图象关于直线x=1对称D.y=f (x )的图象关于点(1,0)对称【命题意图】本题主要考查函数的单调性、对称性问题.【解题指南】如果函数f(x),x ∈D,满足∀x ∈D,恒有f(a+x)=f(b-x),那么函数的图象有对称轴x=2a b+;如果函数f(x),x ∈D,满足∀x ∈D,恒有f(a-x)=-f(b+x),那么函数f(x)的图象有对称中心,02a b +⎛⎫⎪⎝⎭. 【解析】选C.由题意知,f(2-x)=ln (2-x)+ln x=f(x),所以 f(x)的图象关于直线x=1对称,C 正确,D 错误;又f'(x)=1x -12x - = ()()212x x x -- (0<x<2),在(0,1)上单调递增,在[1,2)上单调递减,A ,B 错误.第三节函数的奇偶性与周期性1．下列函数中，与函数y ＝－3|x |的奇偶性相同，且在(－∞，0)上单调性也相同的是( ) A ．y ＝－1xB ．y ＝log 2|x |C ．y ＝1－x 2D ．y ＝x 3－1解析：函数y ＝－3|x |为偶函数，在(－∞，0)上为增函数，选项B 的函数是偶函数，但其单调性不符合，只有选项C 符合要求．答案：C2．已知函数f (x )＝lg|x |，x ∈R 且x ≠0，则f (x )是( ) A ．奇函数且在(0，＋∞)上单调递增 B ．偶函数且在(0，＋∞)上单调递增 C ．奇函数且在(0，＋∞)上单调递减 D ．偶函数且在(0，＋∞)上单调递减解析：f (－x )＝lg|－x |＝lg|x |＝f (x )，故函数f (x )是偶函数，当x ＞0时，f (x )＝lg x ，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增．选B. 答案：B3．若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x －4)，x ＞02x ＋13，x ≤0，则f (2 014)＝( )A.712 B ．53C ．2D ．83解析：依题意，f (2 014)＝f (4×504－2)＝f (－2)＝2－2＋13＝712，选A.答案：A4．设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f (－2 0132)＝( )A ．－12B ．－14C.14D ．12解析：据题意知，f (－2 0132)＝f (－2 0132＋1 006)＝f (－12)＝－f (12)＝－2×12×(1－12)＝－12.答案：A5．已知y ＝f (x )是奇函数，若g (x )＝f (x )＋2，且g (1)＝1，则g (－1)＝________. 解析：由g (x )＝f (x )＋2，且g (1)＝1，得f (1)＝g (1)－2＝－1.∵f (x )是奇函数，∴f (－1)＝－f (1)＝1， ∴g (－1)＝f (－1)＋2＝1＋2＝3. 答案：3 6．函数f (x )＝x 3＋2x －12x ＋1＋3sin x ＋1的区间[－t ，t ](t ＞0)上的最大值与最小值的和为________．解析：设g (x )＝x 3＋2x －12x ＋1＋3sin x ，则f (x )＝g (x )＋1，易知g (x )是区间[－t ，t ](t ＞0)上的奇函数，其图像关于(0,0)对称，设其最大值为M ，则g (x )的最小值为－M ，所以f (x )的最大值为M ＋1，最小值为－M ＋1，所以f (x )在[－t ，t ]上的最大值与最小值的和为M ＋1＋(－M ＋1)＝2. 答案：27．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ＞0，0，x ＝0，是奇函数.x 2＋mx ，x ＜0(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围．解析：(1)设x ＜0，则－x ＞0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x . 又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，于是x ＜0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2.(2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，结合f (x )的图像知⎩⎪⎨⎪⎧a －2＞－1，a －2≤1，所以1＜a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3]8.已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数,当x ∈(-∞,0)时,f (x )=2x 3+x 2,则f (2)= . 【命题意图】函数的奇偶性以及函数值,意在考查学生的转化能力和运算求解能力. 【解析】f(2)=-f(-2)=-[2×(-8)+4]=12. 答案:129.已知f (x )是定义在R 上的偶函数,且f (x+4)=f (x-2).若当x ∈[-3,0]时,f (x )=6-x ,则f (919)= .【命题意图】本题考查函数的奇偶性、周期性的应用,意在考查考生转化与化归的能力,运算求解能力.【解析】因为f(x+4)=f(x-2),令t=x+4,则x-2=t-6,所以f(t)=f(t-6),所以函数f(x)的周期为6,因为f(919)=f(153×6+1)=f(1)=f(-1)=6. 答案:6第四节二次函数与幂函数1．若a ＝30.6，b ＝log 30.2，c ＝0.63，则( ) A ．a ＞c ＞b B ．a ＞b ＞c C ．c ＞b ＞aD ．b ＞c ＞a解析：由题意知，a ＞1，b ＜0,0＜c ＜1，故a ＞c ＞b . 答案：A2．已知幂函数f (x )＝(n 2＋2n －2)23nn x (n ∈Z )的图像关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n 的值为( ) A ．3 B ．1 C ．2D ．1或2解析：由于f (x )为幂函数，所以n 2＋2n －2＝1，解得n ＝1或－3，经检验只有n ＝1适合题意，故选B. 答案：B3．已知f (x )＝x 2＋x ＋c ，若f (0)＞0，f (p )＜0，则( ) A ．f (p ＋1)＞0 B ．f (p ＋1)＜0C ．f (p ＋1)＝0D ．f (p ＋1)的符号不确定解析：二次函数的对称轴为x ＝－12，由f (0)＞0，知f (－1)＞0. 又f (p )＜0，则必有－1＜p ＜0， ∴p ＋1≥0，∴f (p ＋1)＞0. 答案：A4．设二次函数f (x )＝ax 2－2ax ＋c 在区间[0,1]上单调递减，且f (m )≤f (0)，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－∞，0]B ．[2，＋∞)C ．(－∞，0]∪[2，＋∞)D ．[0,2] 解析：二次函数f (x )＝ax 2－2ax ＋c 在区间[0,1]上单调递减，则a ≠0，f ′(x )＝2a (x －1)＜0，x ∈[0,1]，所以a ＞0，即函数图像的开口向上，对称轴是直线x ＝1. 所以f (0)＝f (2)，则当f (m )≤f (0)时，有0≤m ≤2.答案：D5．设abc ＞0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图像可能是( )解析：由A 、C 、D 知，f (0)＝c ＜0，∵abc ＞0，∴ab ＜0，∴对称轴x ＝－b 2a ＞0，知A 、C 错，D 符合要求，由B 知f (0)＝c ＞0，∴ab ＞0，∴x ＝－b2a ＜0，B 错，故选D. 答案：D6．当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4＜0恒成立，则m 的取值范围是__________．解析：方法一：设f (x )＝x 2＋mx ＋4，当x ∈(1,2)时，f (x )＜0恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)≤0，f (2)≤0⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ≤－5，m ≤－4⇒m ≤－5.方法二：∵不等式x 2＋mx ＋4＜0对x ∈(1,2)恒成立，∴mx ＜－x 2－4对x ∈(1,2)恒成立，即m ＜－⎝⎛⎭⎫x ＋4x 对x ∈(1,2)恒成立，令y ＝x ＋4x ，则函数y ＝x ＋4x 在(1,2)上是减函数，∴4＜y ＜5，∴－5＜－⎝⎛⎭⎫x ＋4x ＜－4，∴m ≤－5. 答案：(]－∞，－5第五节指数与指数函数1.函数f (x )=ln(x 2-2x-8)的单调递增区间是 ( ) A.(-∞,-2)B.(-∞,1)C.(1,+∞) D .(4,+∞)【命题意图】对数的性质和函数的单调性,意在考查学生的转化与化归思想以及运算能力. 【解析】选D.函数有意义,则x 2-2x-8>0,解得:x<-2或x>4,结合二次函数的单调性和复合函数同增异减的原则,可得函数的单调增区间为(4,+∞).2．若函数y ＝(a 2－5a ＋5)·a x 是指数函数，则有( ) A ．a ＝1或a ＝4 B ．a ＝1C ．a ＝4D ．a ＞0，且a ≠1解析：因为“一般地，函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)叫做指数函数”，所以函数y ＝(a 2－5a ＋5)·a x 是指数函数的充要条件为⎩⎪⎨⎪⎧a 2－5a ＋5＝1，a ＞0，且a ≠1，解得a ＝4，故选C.答案：C3．设y 1＝40.9，y 2＝80.48，y 3＝⎝⎛⎭⎫12－1.5，则( ) A ．y 3＞y 1＞y 2 B ．y 2＞y 1＞y 3 C ．y 1＞y 2＞y 3D ．y 1＞y 3＞y 2解析：y 1＝40.9＝21.8，y 2＝80.48＝21.44，y 3＝⎝⎛⎭⎫12－1.5＝21.5，∵y ＝2x 在R 上是增函数，∴y 1＞y 3＞y 2. 答案：D4．函数y ＝xa x|x |(0＜a ＜1)的图像的大致形状是( )解析：函数的定义域为{x |x ∈R ，x ≠0}，且y ＝ax x |x |＝⎩⎪⎨⎪⎧a x，x ＞0，－a x ，x ＜0，当x ＞0时，函数是一个指数函数，其底数a 满足0＜a ＜1，所以函数递减；当x ＜0时，函数图像与指数函数y ＝a x 的图像关于x 轴对称，函数递增，所以应选D 答案：D5．在平面直角坐标系中，函数f (x )＝2x ＋1与g (x )＝21－x 图像关于( )A ．原点对称B ．x 轴对称C ．y 轴对称D ．直线y ＝x 对称解析：y ＝2x 左移一个单位得y ＝2x ＋1，y ＝2－x 右移一个单位得y ＝21－x ，而y ＝2x 与y ＝2－x 关于y 轴对称．∴f (x )与g (x )关于y 轴对称．答案：C6．当x ∈[－2,0]时，函数y ＝3x ＋1－2的值域是________．解析：∵x ∈[－2,0]时y ＝3x ＋1－2为增函数， ∴3－2＋1－2≤y ≤30＋1－2，即－53≤y ≤1.答案：[－53，1]7．求函数f (x )＝3x2－5x ＋4的定义域、值域及单调区间．解析：依题意知x 2－5x ＋4≥0，解得x ≥4或x ≤1， ∴f (x )的定义域是(－∞，1]∪[4，＋∞)． ∵x 2－5x ＋4≥0，∴f (x )＝3x2－5x ＋4≥30＝1.∴函数f (x )的值域是[1，＋∞)．令u ＝x 2－5x ＋4＝⎝⎛⎭⎫x －522－94，x ∈(－∞，1]∪[4，＋∞)，∴当x ∈(－∞，1]时，u 是减函数，当x ∈[4，＋∞)时，u 是增函数．而3＞1，∴由复合函数的单调性可知， f (x )＝3x2－5x ＋4在(－∞，1]上是减函数，在[4，＋∞)上是增函数．第六节对数与对数函数 1． lg 51 000－823＝( )A.235 B ．－175C ．－185D ．4解析：lg51 000－823＝lg 1035－(23)23＝35－4＝－175.答案：B2．函数f (x )＝2x －1log 3x 的定义域为( )A ．(0，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(0,1)D ．(0,1)∪(1，＋∞)解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＞0，log 3x ≠0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，x ≠1.∴0＜x ＜1或x ＞1，故选D. 答案：D3．已知函数f (x )＝log a |x |在(0，＋∞)上单调递增，则( ) A ．f (3)＜f (－2)＜f (1) B ．f (1)＜f (－2)＜f (3) C ．f (－2)＜f (1)＜f (3) D ．f (3)＜f (1)＜f (－2)解析：因为f(x)＝log a|x|在(0，＋∞)上单调递增，所以a＞1.f(1)＜f(2)＜f(3)．又函数f(x)＝log a|x|为偶函数，所以f(2)＝f(－2)，所以f(1)＜f(－2)＜f(3)．答案：B4．下列函数中，既是偶函数，又在(0,1)上单调递增的函数是()A．y＝|log3x|B．y＝x3C．y＝e|x|D．y＝cos|x|解析：函数y＝e|x|与y＝cos|x|是偶函数，函数y＝e|x|在(0,1)上单调递增，故选C.答案：C5．若函数y＝f(x)是函数y＝a x(a＞0，且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)＝()A．log2x B．12xC．log12x D．2x－2解析：f(x)＝log a x，∵f(2)＝1，∴log a2＝1.∴a＝2.∴f(x)＝log2x.答案：A6.已知奇函数f(x)在R上是增函数.若a=-f(log215),b=f(log24.1),c=f(20.8),则a,b,c的大小关系为()A.a<b<cB.b<a<cC.c<b<aD.c<a<b【命题意图】本题综合考查函数的单调性与奇偶性和指数、对数运算,综合性较强.【解析】选C.由题意:a=f(-log215)=f(log25),且log25>log24.1>2,1<20.8<2,所以:log25>log24.1>20.8,结合函数的单调性有:f(log25)>f(log24.1)>f(20.8),即a>b>c.7．2lg 5＋lg 4＋e ln 2＋log2(22)＝________.解析：原式＝2lg 5＋2lg 2＋2＋log2(2)3＝2(lg 5＋lg 2)＋2＋3＝2＋2＋3＝7. 答案：78．函数y ＝(log 14x )2－log 12x ＋5在区间[2,4]上的最小值是________．解析：y ＝(12log 12 x )2－12log 12 x ＋5，令t ＝12log 12 x (2≤x ≤4)．则－1≤t ≤－12且y ＝t 2－t ＋5，∴当t ＝－12时，y min ＝14＋12＋5＝234.答案：234第七节函数的图像1．函数f (x )＝log a |x |＋1(0＜a ＜1)的图像大致为( )解析：因为f (－x )＝f (x )，x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，所以f (x )为偶函数．当x ＞0时，f (x )＝log a x ＋1(0＜a ＜1)单调递减，并由y ＝log a x 的图像向上平移1个单位而得到．故选A. 答案：A2．已知函数y ＝f (x )的周期为2，当x ∈[－1,1]时，f (x )＝x 2，那么函数y ＝f (x )的图像与函数y ＝|lg x |的图像的交点共有( ) A ．10个 B ．9个 C ．8个D ．1个解析：(1)在同一平面直角坐标系中分别作出y ＝f (x )和y ＝|lg x |的图像，如图．又lg 10＝1.由图像知选A.答案：A3．函数f (x )＝ln(x －1x)的图像是( )解析：自变量x 满足x －1x ＝x 2－1x ＞0，当x ＞0时，可得x ＞1，当x ＜0时，可得－1＜x ＜0，即函数f (x )的定域是(－1,0)∪(1，＋∞)，据此排除选项A 、D.函数y ＝x －1x 单调递增，故函数f (x )＝ln(x －1x )在(－1,0)，(1，＋∞)上单调递增，故选B.答案：B4．定义在R 上的函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1|x －2|，x ≠2，1，x ＝2，则f (x )的图像与直线y ＝1的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，(x 3，y 3)，且x 1＜x 2＜x 3，则下列说法错误的是( )A ．x 21＋x 22＋x 23＝14B ．1＋x 2－x 3＝0C ．x 1＋x 3＝4D ．x 1＋x 3＞2x 2解析：当x ≠2时，令1|x －2|＝1，解得x ＝3或1.当x ＝2时，由f (x )＝1，解得x ＝2. 易知，x 1＝1，x 2＝2，x 3＝3，故D 错误．答案：D5．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x －5，x ≤1，x 2－4x ＋3，x ＞1.的图像和g (x )＝log 2x 的图像的交点个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：在同一坐标系中作出f (x )和g (x )的图像如图所示，由图像知有两个交点，故选C.答案：C6．函数f (x )与g (x )的定义域为[m ，n ]，它们的图像如图所示，则不等式f (x )g (x )＜0的解集是________．解析：f (x )g (x )＜0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ f (x )＞0，g (x )＜0，或⎩⎪⎨⎪⎧f (x )＜0，g (x )＞0.所以其解集为[m ，a )∪(a ，b )∪(c ，d )．答案：[m ，a )∪(a ，b )∪(c ，d )7．如图，定义在[－1，＋∞)上的函数f (x )的图像由一条线段及抛物线的一部分组成，则f (x )的解析式为______．解析：当x ∈[－1,0]时，设y ＝kx ＋b ，由图像得⎩⎪⎨⎪⎧ －k ＋b ＝0，k ×0＋b ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，b ＝1，∴y ＝x ＋1，当x ＞0时，设y ＝a (x －2)2－1，由图像得0＝a (4－2)2－1，解得a ＝14，∴y ＝14(x －2)2－1，综上可知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ∈[－1，0]，14(x －2)2－1，x ∈(0，＋∞). 答案：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ∈[－1，0]，14(x －2)2－1，x ∈(0，＋∞). 8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2，x ∈[－1，2]，x －3，x ∈(2，5].(1)在如图所示给定的直角坐标系内画出f (x )的图像；(2)写出f (x )的单调递增区间；(3)由图像指出当x 取什么值时f (x )有最值．解析：(1)函数f (x )的图像如图所示．(2)由图像可知，函数f(x)的单调递增区间为[－1,0]，[2,5]．(3)由图像知当x＝2时，f(x)min＝f(2)＝－1.当x＝0时，f(x)max＝f(0)＝3.。

2020年高考数学一轮复习高分点拨专题2.9 零点定理(文理科通用)(学生版)

第九讲零点定理1.函数的零点 (1)函数零点的定义对于函数y ＝f (x )(x ∈D )，把使f (x )＝0的实数x 叫做函数y ＝f (x )(x ∈D )的零点． (2)三个等价关系方程f (x )＝0有实数根⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴有交点⇔函数y ＝f (x )有零点． (3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f (a )·f (b )<0，那么，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0，这个 c 也就是方程f (x )＝0的根． 2．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象与零点的关系(x ,0)，(x ,0)(x ,0) 无交点 3设x 1，x 2是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ，b ，c ∈R ，且a >0)的两实数根，则x 1，x 2的分布情况与一元二次方程的系数之间的关系如下表：(m ，n ，p 为常数，且m <n <p )二、二分法（1）二分法及步骤对于在区间[,]a b 上连续不断，且满足0)()(<⋅b f a f 的函数()y f x =，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到函数零点近似值的方法叫做二分法。

（2）给定精确度ε，用二分法求函数的零点近似值的步骤如下：第一步：确定区间[,]a b ，验证0)()(<⋅b f a f ，给定精确度ε。

第二步：求区间(,)a b 的中点1x 。

第三步：计算1()f x ：①若1()f x =0，则1x 就是函数的零点；②若1()()0f a f x <g ，则令1b x =（此时零点01(,)x a x ∈）③若1()()0f x f b <g ，则令1a x =（此时零点01(,)x x b ∈）第四步：判断是否达到精确度ε即若a b ε-<，则得到零点值a 或b ，否则重复第二至第四步。

高考必备-2020年高考数学一轮复习对点提分专题8.2 两直线的位置关系 (文理科通用)(学生版)

第八篇平面解析几何专题8.02 两直线的位置关系【考试要求】1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直；2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标；3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.【知识梳理】1.两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行对于两条不重合的直线l 1，l 2，其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2.特别地，当直线l 1，l 2的斜率都不存在时，l 1与l 2平行.(2)两条直线垂直如果两条直线l 1，l 2斜率都存在，设为k 1，k 2，则l1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直.2.两直线相交直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的公共点的坐标与方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解一一对应.相交⇔方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；平行⇔方程组无解；重合⇔方程组有无数个解.3.距离公式(1)两点间的距离公式平面上任意两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式为|P 1P 2|＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2.特别地，原点O (0，0)与任一点P (x ，y )的距离|OP |＝x 2＋y 2.(2)点到直线的距离公式平面上任意一点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2. (3)两条平行线间的距离公式一般地，两条平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.【微点提醒】1.两直线平行的充要条件直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0平行的充要条件是A 1B 2－A 2B 1＝0且B 1C 2－B 2C 1≠0(或A 1C 2－A 2C 1≠0).2.两直线垂直的充要条件直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0垂直的充要条件是A 1A 2＋B 1B 2＝0.3.在运用两平行直线间的距离公式d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2时，一定要注意将两方程中x ，y 的系数分别化为相同的形式.【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)当直线l 1和l 2的斜率都存在时，一定有k 1＝k 2⇒l 1∥l 2.( )(2)如果两条直线l 1与l 2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.( )(3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交.( )(4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.( )【教材衍化】2.(必修2P114A10改编)两条平行直线3x ＋4y －12＝0与ax ＋8y ＋11＝0之间的距离为( )A.235B.2310C.7D.723.(必修2P89练习2改编)已知P (－2，m )，Q (m ，4)，且直线PQ 垂直于直线x ＋y ＋1＝0，则m ＝________.【真题体验】4.(2019·淄博调研)直线2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线mx ＋3y －2＝0平行，则m ＝( )A.2B.－3C.2或－3D.－2或－35.(2019·北京十八中月考)圆(x ＋1)2＋y 2＝2的圆心到直线y ＝x ＋3的距离为( )A.1B.2C. 2D.2 26.(2019·宁波期中)经过抛物线y 2＝2x 的焦点且平行于直线3x －2y ＋5＝0的直线l 的方程是( )A.6x －4y －3＝0B.3x －2y －3＝0C.2x ＋3y －2＝0D.2x ＋3y －1＝0【考点聚焦】考点一两直线的平行与垂直【例1】 (1)(2019·河北五校联考)直线l 1：mx －2y ＋1＝0，l 2：x －(m －1)y －1＝0，则“m ＝2”是“l 1∥l 2”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 (2)已知三条直线2x －3y ＋1＝0，4x ＋3y ＋5＝0，mx －y －1＝0不能构成三角形，则实数m 的取值集合为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43，23B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43，23，43C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫43，－23 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43，－23，23【规律方法】 1.当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x ，y 的系数不能同时为零这一隐含条件.2.在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论.【训练1】 (一题多解)已知直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0和直线l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0.(1)当l 1∥l 2时，求a 的值；(2)当l 1⊥l 2时，求a 的值.考点二两直线的交点与距离问题【例2】 (1)(一题多解)求经过直线l 1：3x ＋2y －1＝0和l 2：5x ＋2y ＋1＝0的交点，且垂直于直线l 3：3x －5y ＋6＝0的直线l 的方程为________.(2)已知点P (4，a )到直线4x －3y －1＝0的距离不大于3，则a 的取值范围是________.(3)(2019·厦门模拟)若两平行直线3x －2y －1＝0，6x ＋ay ＋c ＝0之间的距离为21313，则c 的值是________.【规律方法】 1.求过两直线交点的直线方程的方法求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程.2.利用距离公式应注意：(1)点P (x 0，y 0)到直线x ＝a 的距离d ＝|x 0－a |，到直线y ＝b 的距离d ＝|y 0－b |；(2)应用两平行线间的距离公式要把两直线方程中x ，y 的系数分别化为相等.【训练2】 (1)(2019·上海黄浦区监测)已知曲线y ＝a x (a >0且a ≠1)恒过点A (m ，n )，则点A 到直线x ＋y －3＝0的距离为________.(2)(一题多解)直线l 过点P (－1，2)且到点A (2，3)和点B (－4，5)的距离相等，则直线l 的方程为________.考点三对称问题角度1对称问题的求解【例3－1】(2019·潍坊期中)若点(a，b)关于直线y＝2x的对称点在x轴上，则a，b满足的条件为() A.4a＋3b＝0 B.3a＋4b＝0C.2a＋3b＝0D.3a＋2b＝0角度2对称问题的应用【例3－2】(一题多解)光线沿直线l1：x－2y＋5＝0射入，遇直线l：3x－2y＋7＝0后反射，求反射光线所在的直线方程.【规律方法】 1.解决点关于直线对称问题要把握两点，点M与点N关于直线l对称，则线段MN的中点在直线l上，且直线l与直线MN垂直.2.如果直线或点关于点成中心对称问题，则只需运用中点公式就可解决问题.3.若直线l1，l2关于直线l对称，则有如下性质：(1)若直线l1与l2相交，则交点在直线l上；(2)若点B在直线l1上，则其关于直线l的对称点B′在直线l2上.【训练3】已知三角形的一个顶点A(4，－1)，它的两条角平分线所在直线的方程分别为l1：x－y－1＝0和l2：x－1＝0，则BC边所在直线的方程为________.【反思与感悟】1.两直线的位置关系要考虑平行、垂直和重合.对于斜率都存在且不重合的两条直线l1，l2，l1∥l2⇔k1＝k2；l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率一定要特别注意.2.对称问题一般是将线与线的对称转化为点与点的对称.利用坐标转移法解决问题.【易错防范】1.在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在.若两条直线都有斜率，可根据判定定理判断，若直线无斜率，要单独考虑.2.点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件(1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式.(2)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等.【核心素养提升】【数学抽象】——活用直线系方程1.数学抽象素养水平表现为能够在关联的情境中抽象出一般的数学概念和规则，能够将已知数学命题推广到更一般情形.本课时中研究直线方程时常用到直线系方程就是其具体表现之一.2.直线系方程的常见类型(1)过定点P(x0，y0)的直线系方程是：y－y0＝k(x－x0)(k是参数，直线系中未包括直线x＝x0)，也就是平常所提到的直线的点斜式方程；(2)平行于已知直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程是：Ax＋By＋λ＝0(λ是参数且λ≠C)；(3)垂直于已知直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程是：Bx－Ay＋λ＝0(λ是参数)；(4)过两条已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程是：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R，但不包括l2).类型1相交直线系方程【例1】(一题多解)已知两条直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点为P，求过点P且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程.类型2平行直线系方程【例2】求过点A(1，－4)且与直线2x＋3y＋5＝0平行的直线方程.【例3】已知直线l1与直线l2：x－3y＋6＝0平行，l1能和x轴、y轴围成面积为8的三角形，请求出直线l1的方程.【例4】(一题多解)已知直线方程3x－4y＋7＝0，求与之平行而且在x轴、y轴上的截距和是1的直线l的方程.类型3 垂直直线系方程【例5】求经过A (2，1)，且与直线2x ＋y －10＝0垂直的直线l 的方程.类型4 直线系方程的应用【例6】已知三角形三边所在的直线方程分别为：2x －y ＋4＝0，x ＋y －7＝0，2x －7y －14＝0，求边2x －7y －14＝0上的高所在的直线方程.【例7】求过直线2x ＋7y －4＝0与7x －21y －1＝0的交点，且和A (－3，1)，B (5，7)等距离的直线方程.【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：40分钟)一、选择题1.直线2x ＋y ＋m ＝0和x ＋2y ＋n ＝0的位置关系是( )A.平行B.垂直C.相交但不垂直D.不能确定2.已知两直线方程分别为l 1：x ＋y ＝1，l 2：ax ＋2y ＝0，若l 1⊥l 2，则a ＝( )A.2B.－2C.12D.－123.(一题多解)过两直线l 1：x －3y ＋4＝0和l 2：2x ＋y ＋5＝0的交点和原点的直线方程为( )A.19x －9y ＝0B.9x ＋19y ＝0C.19x －3y ＝0D.3x ＋19y ＝04.从点(2，3)射出的光线沿与向量a ＝(8，4)平行的直线射到y 轴上，则反射光线所在的直线方程为( )A.x ＋2y －4＝0B.2x ＋y －1＝0C.x ＋6y －16＝0D.6x ＋y －8＝05.(2019·运城二模)在平面直角坐标系内，过定点P 的直线l ：ax ＋y －1＝0与过定点Q 的直线m ：x －ay ＋3＝0相交于点M ，则|MP |2＋|MQ |2＝( ) A.102 B.10 C.5 D.106.(2019·青岛模拟)若直线l 1：x ＋3y ＋m ＝0(m ＞0)与直线l 2：2x ＋6y －3＝0的距离为10，则m ＝( )A.7B.172C.14D.177.(2018·新余调研)已知坐标原点关于直线l 1：x －y ＋1＝0的对称点为A ，设直线l 2经过点A ，则当点B (2，－1)到直线l 2的距离最大时，直线l 2的方程为( )A.2x ＋3y ＋5＝0B.3x －2y ＋5＝0C.3x ＋2y ＋5＝0D.2x －3y ＋5＝08.一只虫子从点(0，0)出发，先爬行到直线l ：x －y ＋1＝0上的P 点，再从P 点出发爬行到点A (1，1)，则虫子爬行的最短路程是( )A. 2B.2C.3D.4二、填空题9.如果直线ax ＋2y ＋3a ＝0与直线3x ＋(a －1)y ＝a －7平行，则a ＝________.10.已知入射光线经过点M (－3，4)，被直线l ：x －y ＋3＝0反射，反射光线经过点N (2，6)，则反射光线所在直线的方程为________.11.(一题多解)(2019·南昌模拟)已知点A (1，0)，B (3，0)，若直线y ＝kx ＋1上存在一点P ，满足PA ⊥PB ，则k 的取值范围是________.三、解答题12.已知方程(2＋λ)x －(1＋λ)y －2(3＋2λ)＝0与点P (－2，2).(1)证明：对任意的实数λ，该方程都表示直线，且这些直线都经过同一定点，并求出这一定点的坐标；(2)证明：该方程表示的直线与点P 的距离d 小于4 2.【能力提升题组】(建议用时：15分钟)13.(2019·丹东二模)已知直线l 1：2x －y ＋3＝0，直线l 2：4x －2y －1＝0和直线l 3：x ＋y －1＝0，若点M 同时满足下列条件：(1)点M 是第一象限的点；(2)点M 到l 1的距离是到l 2的距离的12； (3)点M 到l 1的距离与到l 3的距离之比是2∶ 5.则点M 的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫13，2B.⎝⎛⎭⎫13，371811 C.⎝⎛⎭⎫19，2D.⎝⎛⎭⎫19，371814.(2019·天津河东区模拟)已知动直线l ：ax ＋by ＋c －2＝0(a >0，c >0)恒过点P (1，m )且Q (4，0)到动直线l的最大距离为3，则12a ＋2c的最小值为( ) A.92B.94C.1D.915.若△ABC 的顶点A (5，1)，AB 边上的中线CM 所在直线方程为2x －y －5＝0，AC 边上的高BH 所在直线方程为x －2y －5＝0，则直线BC 的方程为________.16.在平面直角坐标系xOy 中，将直线l 沿x 轴正方向平移3个单位长度，沿y 轴正方向平移5个单位长度，得到直线l 1.再将直线l 1沿x 轴正方向平移1个单位长度，沿y 轴负方向平移2个单位长度，又与直线l 重合.若直线l 与直线l 1关于点(2，3)对称，则直线l 的方程是________________.【新高考创新预测】17.(思维创新)已知常数x 1、x 2、y 1、y 2满足：x 21＋y 21＝1，x 22＋y 22＝1，x 1x 2＋y 1y 2＝12，则|x 1＋y 1－1|2＋|x 2＋y 2－1|2的最大值为________.。

2020届高三文理科数学一轮复习《三角函数的图像与性质》专题汇编(学生版)

《三角函数的图像与性质》专题一、相关知识点1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]图像五个关键点：(0,0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎫3π2，－1，(2π，0)．余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]图像五个关键点：(0,1)，⎝⎛⎭⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭⎫3π2，0，(2π，1)． 2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像与性质(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期．(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期． 4．奇偶性相关结论(1)若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω≠0)，则①f (x )为偶函数的充要条件是φ＝π2＋k π(k ∈Z)；②f (x )为奇函数的充要条件是φ＝k π(k ∈Z)．(2)若f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)，则①f (x )为奇函数的充要条件：φ＝k π＋π2，k ∈Z ；②f (x )为偶函数的充要条件：φ＝k π，k ∈Z.题型一三角函数的定义域1．函数y ＝log 2(sin x )的定义域为________．2．函数y ＝2sin x －3的定义域为( )A ．⎣⎡⎦⎤π3，2π3B ．⎣⎡⎦⎤2k π＋π3，2k π＋2π3(k ∈Z) C ．⎝⎛⎭⎫2k π＋π3，2k π＋2π3(k ∈Z) D ．⎣⎡⎦⎤k π＋π3，k π＋2π3(k ∈Z)3．y ＝2sin x －2的定义域为________________________．4．函数y ＝tan 2x 的定义域是( )A ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π＋π4，k ∈Z B ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π2＋π8，k ∈Z C ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ≠k π＋π8，k ∈Z D ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ≠k π2＋π4，k ∈Z5．x ∈[0,2π]，y ＝tan x ＋－cos x 的定义域为( )A.⎣⎡⎭⎫0，π2B.⎝⎛⎦⎤π2，πC.⎣⎡⎭⎫π，3π2D.⎝⎛⎦⎤3π2，2π题型二三角函数的值域(最值)三角函数值域的不同求法(1)利用sin x 和cos x 的值域直接求(2)把所给的三角函数式变换成y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式求值域(3)把sin x 或cos x 看作一个整体，转换成二次函数求值域 (4)利用sin x ±cos x 和sin x cos x 的关系转换成二次函数求值域1．函数f (x )＝4－2cos 13x 的最小值是________，取得最小值时，x 的取值集合为________．2．函数f (x )＝2cos x ＋sin x 的最大值为________．3．已知函数f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2，则( )A ．f (x )的最小正周期为π，最大值为3B ．f (x )的最小正周期为π，最大值为4C ．f (x )的最小正周期为2π，最大值为3D ．f (x )的最小正周期为2π，最大值为44．函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域为( ) A ．⎣⎡⎦⎤－32，32 B ．⎣⎡⎦⎤－32，3 C ．⎣⎡⎦⎤－332，332 D ．⎣⎡⎦⎤－332，35．函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，x ∈⎝⎛⎭⎫－π6，π6的值域为________．6．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( )A ．2－3B ．0C ．－1D ．－1－ 37．已知f (x )＝sin 2x －3cos 2x ，若对任意实数x ∈⎝⎛⎦⎤0，π4，都有|f (x )|<m ，则实数m 的取值范围是________．8．函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的最大值是________．9．函数f (x )＝cos 2x ＋6cos π2－x 的最大值为10．函数y ＝sin x ＋cos x ＋sin x cos x 的值域为_______11．函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x ，x ∈[0，π]的值域为________．12．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π2－x ⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4，且x ≠0的值域为________．题型三三角函数的单调性类型一求三角函数的单调区间 1．f (x )＝|tan x |；2．y ＝|cos x |的一个单调递增区间是( )A.⎣⎡⎦⎤－π2，π2 B ．[0，π] C.⎣⎡⎦⎤π，3π2 D.⎣⎡⎦⎤3π2，2π3．函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3的递增区间是________．4．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－2x ，则函数f (x )的单调递减区间为( )A.⎣⎡⎦⎤3π8＋2k π，7π8＋2k π(k ∈Z)B.⎣⎡⎦⎤－π8＋2k π，3π8＋2k π(k ∈Z) C.⎣⎡⎦⎤3π8＋k π，7π8＋k π(k ∈Z) D.⎣⎡⎦⎤－π8＋k π，3π8＋k π(k ∈Z) 5．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3的减区间为________．6．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4－2x 的单调递减区间为________．7．函数 f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6在x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2上的单调性递增区间为；递减区间为8．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3，x ∈[－2π，2π]的递增区间是( )A ．⎣⎡⎦⎤－2π，－5π3 B ．⎣⎡⎦⎤－2π，－5π3和⎣⎡⎦⎤π3，2π C ．⎣⎡⎦⎤－5π3，π3 D ．⎣⎡⎦⎤π3，2π9．已知函数f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，x ∈[－π，0]，则f (x )的单调递增区间是________．10．若锐角φ满足sin φ－cos φ＝22，则函数f (x )＝sin 2(x ＋φ)的单调递增区间为( ) A.⎣⎡⎦⎤2k π－5π12，2k π＋π12(k ∈Z) B.⎣⎡⎦⎤k π－5π12，k π＋π12(k ∈Z) C.⎣⎡⎦⎤2k π＋π12，2k π＋7π12(k ∈Z) D.⎣⎡⎦⎤k π＋π12，k π＋7π12(k ∈Z)11．比较大小：sin ⎝⎛⎭⎫－π18________sin ⎝⎛⎭⎫－π10.12．已知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. (1)求f (x )的单调递增区间；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4时，求函数f (x )的最大值和最小值．13．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6.讨论函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π12，π2上的单调性并求出其值域．类型二已知单调性求参数值或范围已知单调区间求参数范围的3种方法 1．函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，则ω等于2．若f (x )＝cos 2x ＋a cos ( π2＋x )在区间⎝⎛⎭⎫π6，π2上是增函数，则实数a 的取值范围为________．3．已知ω＞0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4的一个递减区间为⎣⎡⎦⎤π8，5π8，则ω＝________.4．若函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上是减函数，则ω的取值范围是．5．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π3(ω＞0)，若函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π，3π2上为减函数，则实数ω的取值范围是________．6．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)，f ⎝⎛⎭⎫π6＝f ⎝⎛⎭⎫π3，且f (x )在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，则ω＝________.7．若函数f (x )＝2sin ωx (0<ω<1)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上的最大值为1，则ω＝________.8．若函数f (x )＝cos x －sin x 在[0，a ]是减函数，则a 的最大值是________．题型四三角函数的周期性三角函数周期的求解方法1．已知函数f (x )＝cos ⎝⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)的最小正周期为π，则ω＝________. 2．函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫πx ＋π3的最小正周期为________ 3．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的最小正周期为________ 4．函数＋的最小正周期为______.5．在函数：①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos2x ＋π6，④y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为( )A ．②④B ．①③④C ．①②③D ．①③6．函数f (x )＝tan x1＋tan 2x 的最小正周期为________题型五三角函数的奇偶性与三角函数奇偶性相关的结论：三角函数中，判断奇偶性的前提是定义域关于原点对称，奇函数一般可化为y ＝A sin ωx 或y ＝A tan ωx 的形式，而偶函数一般可化为y ＝A cos ωx ＋b 的形式．常见的结论有：(1)若y ＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则有φ＝k π＋π2(k ∈Z)；若为奇函数，则有φ＝k π(k ∈Z)．(2)若y ＝A cos(ωx ＋φ)为偶函数，则有φ＝k π(k ∈Z)；若为奇函数，则有φ＝k π＋π2(k ∈Z)．(3)若y ＝A tan(ωx ＋φ)为奇函数，则有φ＝k π(k ∈Z)． 1．函数y ＝1－2sin 2( x －3π4)是( )A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为π2的奇函数D ．最小正周期为π2的偶函数2．若函数是偶函数，则等于______ 3．若函数是偶函数，则 ________．4．若是定义在上的偶函数，其中，则 _____5．将函数向右平移个单位，得到一个偶函数的图象，则最小值为__6．若函数f (x )＝sin x ＋φ3(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝________.7．函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋φ，φ∈(0，π)满足f (|x |)＝f (x )，则φ的值为( ) A.π6 B.π3 C.5π6 D.2π3题型五三角函数的对称性(1) 求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)函数的图象对称轴或对称中心时，都是把“ωx ＋φ”看作一个整体，然后根据三角函数图象的对称轴或对称中心列方程进行求解． (2) 在判断对称轴或对称中心时，用以下结论可快速解题：设y ＝f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，g (x )＝A cos(ωx ＋φ)，x ＝x 0是对称轴方程⇔f (x 0)＝±A ，g (x 0)＝±A ； (x 0,0)是对称中心⇔f (x 0)＝0，g (x 0)＝0.(3)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称轴为x ＝k πω－φω＋π2ω，对称中心为⎝⎛⎭⎫k πω－φω，0；函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的对称轴为x ＝k πω－φω，对称中心为⎝⎛⎭⎫k πω－φω＋π2ω，0；函数y ＝A tan(ωx ＋φ)的对称中心为⎝⎛⎭⎫k π2ω－φω，0.上述k ∈Z 1．下列函数的最小正周期为π且图像关于直线x ＝π3对称的是( )A ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6 C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3 D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π32．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图象的一个对称中心是( ) A ．(－π，0) B.⎝⎛⎭⎫－3π4，0 C.⎝⎛⎭⎫3π2，0 D.⎝⎛⎭⎫π2，03．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6－cos 2x 的图象的一条对称轴的方程可以是( ) A ．x ＝－π6 B ．x ＝11π12 C ．x ＝－2π3 D ．x ＝7π123．已知函数y ＝sin(2x ＋φ)( －π2<φ<π2 )的图象关于直线x ＝π3对称，则φ的值为4．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0)对任意x 都有f ( π6＋x )＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x ，则f ⎝⎛⎭⎫π6的值为( ) A ．2或0 B ．－2或2 C ．0 D ．－2或05．函数f (x )＝sin x －cos x 的图像( )A ．关于直线x ＝π4对称B ．关于直线x ＝－π4对称C ．关于直线x ＝π2对称D ．关于直线x ＝－π2对称6．如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图像关于点⎝⎛⎭⎫4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为( )A ．π6B ．π4C ．π3D ．π27．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3－13在区间(0，π)内的所有零点之和为( )A.π6B.π3C.7π6D.4π38．已知函数y ＝sin(2x ＋φ)在x ＝π6处取得最大值，则函数y ＝cos(2x ＋φ)的图象( ) A ．关于点⎝⎛⎭⎫π6，0对称B ．关于点⎝⎛⎭⎫π3，0对称C ．关于直线x ＝π6对称 D ．关于直线x ＝π3对称9．(理科)已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3的图象的一个对称中心为⎝⎛⎭⎫π3，0，其中ω为常数，且ω∈(1,3)．若对任意的实数x ，总有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)，则|x 1－x 2|的最小值是( )A ．1 B.π2C ．2D ．π10．(理科)设函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，其图象的一条对称轴在区间⎝⎛⎭⎫π6，π3内，且f (x )的最小正周期大于π，则ω的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎫12，1 B ．(0,2) C ．(1,2) D ．[1,2)题型六三角函数的性质综合运用1．下列函数中，周期为π，且在⎣⎡⎦⎤π4，π2上单调递增的奇函数是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π2B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2C ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－x2．下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间⎝⎛⎭⎫π2，π上为减函数的是( )A ．y ＝sin 2xB ．y ＝2|cos x |C ．y ＝cos x 2D ．y ＝tan(－x )3．设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，则下列结论错误的是( ) A ．f (x )的一个周期为－2π B ．y ＝f (x )的图像关于直线x ＝8π3对称 C ．f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6D ．f (x )在⎝⎛⎭⎫π2，π单调递减4．将函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向右平移π6个单位长度，得到函数g (x )的图象，则下列说法不正确的是( )A ．g (x )的最小正周期为πB ．g ⎝⎛⎭⎫π6＝32C ．x ＝π6是g (x )图象的一条对称轴 D ．g (x )为奇函数5．定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期是π，且当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，f (x )＝sin x ，则f ⎝⎛⎭⎫5π3的值为( )A ．－12 B.12 C.716 D.326．已知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. (1)求函数f (x )图像的对称轴方程；(2)求f (x )的递增区间；(3)当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4时，求函数f (x )的最大值和最小值．7．已知函数f (x )＝2cos 2⎝⎛⎭⎫x －π6＋2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4. (1)求函数f (x )的最小正周期和图象的对称中心；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值．8．已知函数f (x )＝a ( 2cos 2x 2＋sin x )＋b . (1)若a ＝－1，求函数f (x )的单调递增区间；(2)当x ∈[0，π]时，函数f (x )的值域是[5,8]，求a ，b 的值．9．已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋sin 2x －cos 2x ＋ 2. (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)若存在x ∈⎣⎡⎦⎤π12，π3满足[f (x )]2－22f (x )－m ＞0，求实数m 的取值范围．。

2020届高三文理科数学一轮复习《基本不等式》专题汇编(学生版)

《基本不等式》专题一、相关知识点1．基本不等式：ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R)； (2)a ＋b ≥2ab (a >0，b >0)．(3)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号且不为零)； (4)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R)；(5)⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R)．2(a 2＋b 2)≥(a ＋b )2(a ，b ∈R)．(6)a 2＋b 22≥(a ＋b )24≥ab (a ，b ∈R)．(7)a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ≥21a ＋1b(a >0，b >0)．以上不等式等号成立的条件均为a ＝b . 3．算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题已知x >0，y >0，则：(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p .(简记：积定和最小) (2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 24.(简记：和定积最大)5．重要不等式链若a ≥b ＞0，则a ≥a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ≥2aba ＋b≥b . 题型一基本不等式的判断1．若a ，b ∈R ，则下列恒成立的不等式是( )A.|a ＋b |2≥|ab | B ．b a ＋ab ≥2 C.a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22 D ．(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ≥4 2．若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( )A ．a 2＋b 2>2abB ．a ＋b ≥2abC ．1a ＋1b >2abD ．b a ＋ab ≥23．下列命题中正确的是( )A ．函数y ＝x ＋1x 的最小值为2 B ．函数y ＝x 2＋3x 2＋2的最小值为2C ．函数y ＝2－3x －4x (x ＞0)的最小值为2－4 3D ．函数y ＝2－3x －4x(x ＞0)的最大值为2－4 34．若a >b >1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝12(lg a ＋lg b )，R ＝lg ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，则( )A ．R 0，b >0，且2a ＋b ＝4，则1ab 的最小值为3．已知0<x <1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为4．已知x <0，则函数y ＝4x ＋x 的最大值是5．函数f (x )＝xx ＋1的最大值为6．若x ＞1，则x ＋4x －1的最小值为________．7．设0<x <2，则函数y ＝x (4－2x )的最大值为________．8．若x ，y 均为正数，则3x y ＋12yx ＋13的最小值是9．已知a ，b ∈R ，且a －3b ＋6＝0，则2a ＋18b 的最小值为________．10．已知x ＜54，则f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为________．11．设x >0，则函数y ＝x ＋22x ＋1－32的最小值为12．已知x ，y 为正实数，则4x x ＋3y ＋3yx的最小值为13．函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值为________.14．已知a >0，b >0，a ，b 的等比中项是1，且m ＝b ＋1a ，n ＝a ＋1b ，则m ＋n 的最小值是15．已知x ，y 都为正实数，且x ＋y ＋1x ＋1y ＝5，则x ＋y 的最大值是16．已知a >b >0，则2a ＋4a ＋b ＋1a －b的最小值为17．已知正数a ，b 满足2a 2＋b 2＝3，则a b 2＋1的最大值为________．类型二常数代换法利用基本不等式求最值1．已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，则1a ＋1b 的最小值为________．2．已知a >0，b >0，a ＋2b ＝3，则2a ＋1b 的最小值为________．3．已知正实数x ，y 满足2x ＋y ＝2，则2x ＋1y 的最小值为________．4．已知正项等比数列{a n }的公比为2，若a m a n ＝4a 22，则2m ＋12n 的最小值为5．已知向量a ＝(3，－2)，b ＝(x ，y －1)，且a ∥b ，若x ，y 均为正数，则3x ＋2y 的最小值是6．已知x >0，y >0，且4x ＋y ＝xy ，则x ＋y 的最小值为7．若直线x a ＋yb ＝1(a >0，b >0)过点(1,2)，则2a ＋b 的最小值为________．8．已知a >0，b >0，函数f (x )＝a log 2x ＋b 的图像经过点⎝⎛⎭⎫4，12，则1a ＋2b 的最小值为________．9．已知函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中mn >0，则1m ＋1n 的最小值为10．已知x >0，y >0，lg 2x ＋lg 8y ＝lg 2，则1x ＋13y 的最小值是11．已知直线l ：ax ＋by －ab ＝0(a >0，b >0)经过点(2,3)，则a ＋b 的最小值为________．12．已知x ，y 均为正实数，且1x ＋2＋1y ＋2＝16，则x ＋y 的最小值为13．若a ，b ，c 都是正数，且a ＋b ＋c ＝2，则4a ＋1＋1b ＋c 的最小值是14．已知正数x ，y 满足x ＋2y ＝3，则y x ＋1y 的最小值为________．15．设a >0，b >1，若a ＋b ＝2，则3a ＋1b －1的最小值为________．16．已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，求：(1)xy 的最小值；(2)x ＋y 的最小值．类型三通过消元法利用基本(均值)不等式求最值1．若正实数m ，n 满足2m ＋n ＋6＝mn ，则mn 的最小值是________．2．已知正实数x ，y 满足xy ＋2x ＋y ＝4，则x ＋y 的最小值为________．3.设x ，y 均为正数，且xy ＋x －y －10＝0，则x ＋y 的最小值是________.4．已知x >0，y >0，且2x ＋4y ＋xy ＝1，则x ＋2y 的最小值是________．类型四：利用基本不等式求参数值或取值范围1．若对于任意的x ＞0，不等式xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则实数a 的取值范围为2．已知函数y ＝x ＋mx －2(x >2)的最小值为6，则正数m 的值为________．3．若对x >0，y >0，x ＋2y ＝1，有2x ＋1y ≥m 恒成立，则m 的最大值是________．4．已知a >0，b >0，若不等式3a ＋1b ≥ma ＋3b恒成立，则m 的最大值为5．正数a ，b 满足1a ＋9b ＝1，若不等式a ＋b ≥－x 2＋4x ＋18－m 对任意实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是________．6．已知不等式(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ≥9对任意的正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为7．已知函数f (x )＝3x 2＋ax ＋26x ＋1，若存在x ∈N ＋使得f (x )≤2成立，则实数a 的取值范围为___题型三基本不等式的综合问题类型一基本不等式的实际应用问题1．要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是( )A ．80元B ．120元C ．160元D ．240元2．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x ＝__________吨．3．某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积为900 m 2的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1 m ，三块矩形区域的前、后与内墙各保留1 m 宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留3 m 宽的通道，如图．设矩形温室的室内长为x (单位：m)，三块种植植物的矩形区域的总面积为S (单位：m 2)． (1)求S 关于x 的函数关系式；(2)求S 的最大值．类型二基本不等式与函数的交汇问题1．已知A ，B 是函数y ＝2x 的图象上不同的两点，若点A ，B 到直线y ＝12的距离相等，则点A ，B 的横坐标之和的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－∞，－2)C ．(－∞，－3)D ．(－∞，－4)类型三基本不等式与数列的交汇问题1．已知a >0，b >0，并且1a ，12，1b 成等差数列，则a ＋9b 的最小值为2．已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 8－2S 4＝5，则a 9＋a 10＋a 11＋a 12的最小值为3．设等差数列{a n }的公差是d ，其前n 项和是S n (n ∈N ＋)，若a 1＝d ＝1，则S n ＋8a n 的最小值是______.类型四基本不等式与解析几何的交汇问题1．已知直线ax ＋by ＋c －1＝0(b ，c >0)经过圆x 2＋y 2－2y －5＝0的圆心，则4b ＋1c的最小值是2．当双曲线M ：x 2m －y 2m 2＋4＝1的离心率最小时，M 的渐近线方程为3．两圆x 2＋y 2－2my ＋m 2－1＝0和x 2＋y 2－4nx ＋4n 2－9＝0恰有一条公切线，若m ∈R ，n4m2＋1n2的最小值为∈R，且mn≠0，则。

不等式性质与基本不等式(重点)-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题(全国通用)(学生版)

考向22 不等式性质与基本不等式1.（2022年甲卷理科第12题）12．已知3132a =，1cos 4b =，14sin 4c =，则 A ．c b a >> B ．b a c >>C ．a b c >>D ．a c b >>【答案】A【解析】构造函数21()1cos 2h x x x =--，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()()sin g x h x x x '==-+，()1cos 0g x x '=-+所以()(0)0g x g =，因此，()h x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减，所以1()(0)04h a b h =-<=，即a b <．另一方面，114sintan 4411cos 44c b ==，显然0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，tan x x >，所以114sintan 44111cos 44c b ==>，即b c <．因此c b a >>． 2.（2022年甲卷文科第12题）12．已知910m =，1011m a =-，89m b =-，则 ( )A ．0a b >>B ．0a b >>C ．0b a >>D ．0b a >> 【答案】A【解析】由910m =，可得9log 10(11.5)m =∈ ,．根据a ，b 的形式构造函数()1m f x x x =-- (1x >)，则1()1m f x mx -'=-，令()0f x '=，解得110mx m -=，由9log 10(11.5)m =∈ ,知0(0)x ∈ 1,． ()f x 在(1) +∞,上单调递增，所以(10)(8)f f >，即a b >，又因为9log 10(9)9100f =-=，所以0a b >>，答案选A ．3．（2022年新高考1卷第7题）设0.10.1e =a ，19b =，ln0.9c =-，则A ．a b c < ②e ln(1),(0,0.1]-=+-∈x a c x x x ，1(1)(1)e 1'e e 11+--=+-=--x xxx x y x x x，令()(1)(1)1x k x x x e =+--，所以2'()(12)e 0=-->x k x x x ，所以()(0)0k x k >>，所以'0y >，所以0a c ->，所以a c >．4．（2022年新高考2卷第12题）对任意22,,1x y x y xy +-=，则A ．1x y +≤B ．2x y +≥-C ．222x y +≤ D ．221x y +≥【答案】BC【解析】由221x y xy +-=得2212y x y ⎫⎛⎫-+=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭令cos sin cos 23sin ??23y x x y y θθθθθ⎧⎧-==+⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎪==⎪⎪⎩⎩故[]cos 2sin 2,26x y πθθθ⎛⎫+=+=+∈- ⎪⎝⎭，故A 错，B 对；2222cos sin 33x y θθθ⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()14242 2cos 2sin 2,2,333333θθθϕ⎡⎤=-+=-+∈⎢⎥⎣⎦(其中tan 3ϕ=)，故C 对，D 错.5. （2022年北京卷第11题）函数1()f x x =+_________．【答案】()(],00,1-∞⋃ 【解析】因为()1f x x =100x x -≥⎧⎨≠⎩，解得1x ≤且0x ≠，故函数的定义域为()(],00,1-∞⋃；故答案为：()(],00,1-∞⋃6.（2022年乙卷理科第14题）已知1x x =和2x x =分别是函数)10(2)(2≠>-=a a ex a x f x 且的极小值点和极大值点，若21x x <，则a 的取值范围是___________ 【答案】⎪⎭⎫ ⎝⎛e 1,0【解析】()()ex a a x f x-=ln 2'至少要有两个零点1x x =和2x x =，我们对其求导，()()e a a x f x 2ln 22''-=，（1）若1>a ，则()x f''在R 上单调递增，此时若()00''=x f ，则()x f '在()0,x ∞-上单调递减，在()+∞,0x 上单调递增，此时若有1x x =和2x x =分别是函数)10(2)(2≠>-=a a ex a x f x 且的极小值点和极大值点，则21x x >，不符合题意。

【高考】2020年高考数学一轮复习对点提分专题2.6 对数与对数函数 (文理科通用)(学生版)

第二篇函数及其性质专题2.06 对数与对数函数【考试要求】1.理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；2.通过具体实例，了解对数函数的概念．能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点；3.知道对数函数y ＝log a x 与指数函数y ＝a x 互为反函数(a >0，且a ≠1)．【知识梳理】 1.对数的概念如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数.2.对数的性质、换底公式与运算性质(1)对数的性质：①a log a N ＝N ；②log a a b ＝b (a >0，且a ≠1). (2)对数的运算法则如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么 ①log a (MN )＝log a M ＋log a N ； ②log a MN ＝log a M －log a N ；③log a M n ＝n log a M (n ∈R )；④log a m M n ＝nmlog a M (m ，n ∈R ，且m ≠0).(3)换底公式：log b N ＝log a Nlog a b (a ，b 均大于零且不等于1).3.对数函数及其性质(1)概念：函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞). (2)对数函数的图象与性质a >10<a <1图象性质定义域：(0，＋∞)值域：R4.指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称. 【微点提醒】1.换底公式的两个重要结论 (1)log a b ＝1log b a ；(2)log a m b n ＝nm log a b .其中a >0，且a ≠1，b >0，且b ≠1，m ，n ∈R .2.在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大.3.对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a ，1)，⎝⎛⎭⎫1a ，－1，函数图象只在第一、四象限. 【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)log 2x 2＝2log 2x .( )(2)函数y ＝log 2(x ＋1)是对数函数.( )(3)函数y ＝ln 1＋x1－x 与y ＝ln(1＋x )－ln(1－x )的定义域相同.( )(4)当x >1时，若log a x >log b x ，则a b >cB.a >c >bC.c >b >aD.c >a >b3.(必修1P74A7改编)函数y ＝log 23(2x －1)的定义域是________.【真题体验】4.(2019·杭州检测)计算log 29×log 34＋2log 510＋log 50.25＝( ) A.0 B.2C.4D.65.(2019·上海静安区检测)已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a >0，且a ≠1)的图象如图，则下列结论成立的是( )A.a >1，c >1B.a >1，0<c <1C.0<a <1，c >1D.0<a <1，0<c <16.(2018·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝log 2(x 2＋a ).若f (3)＝1，则a ＝________. 【考点聚焦】考点一对数的运算【例1】 (1)计算：⎝⎛⎭⎫lg 14－lg 25÷100－12＝________. (2)计算：（1－log 63）2＋log 62·log 618log 64＝________.【规律方法】 1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并.2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.3.ab ＝N ⇔b ＝logaN(a>0，且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化. 【训练1】 (1)若lg 2，lg(2x ＋1)，lg(2x ＋5)成等差数列，则x 的值等于( )A.1B.0或18C.18D.log 23(2)(2019·成都七中检测)已知a >b >1，若log a b ＋log b a ＝52，a b ＝b a ，则a ＝________，b ＝________.考点二对数函数的图象及应用【例2】 (1)(2019·潍坊一模)若函数f (x )＝a x －a －x (a >0且a ≠1)在R 上为减函数，则函数y ＝log a (|x |－1)的图象可以是( )(2)当x ∈(1，2)时，不等式(x －1)2<log a x 恒成立，则a 的取值范围是( ) A.(0，1) B.(1，2) C.(1，2]D.⎝⎛⎭⎫0，12【规律方法】 1.在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.2.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.【训练2】 (1)(2018·湛江模拟)已知函数f (x )＝log a (2x ＋b －1)(a >0，a ≠1)的图象如图所示，则a ，b 满足的关系是( )A.0<a －1<b <1 B.0<b <a －1<1 C.0<b －1<a <1 D.0<a －1<b －1<1(2)(2019·日照一中调研)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x<1，log2x ，x≥1，若方程f(x)－a ＝0恰有一个实根，则实数a 的取值范围是________.考点三对数函数的性质及应用多维探究角度1 对数函数的性质【例3－1】已知函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )，则( ) A.f (x )在(0，2)上单调递增 B.f (x )在(0，2)上单调递减C.y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称D.y ＝f (x )的图象关于点(1，0)对称角度2 比较大小或解简单的不等式【例3－2】 (1)(一题多解)(2018·天津卷)已知a ＝log 2e ，b ＝ln 2，c ＝log 1213，则a ，b ，c 的大小关系为( )A.a >b >cB.b >a >cC.c >b >aD.c >a >b(2)若log a (a 2＋1)<log a 2a <0，则a 的取值范围是( ) A.(0，1) B.⎝⎛⎭⎫0，12 C.⎝⎛⎭⎫12，1D.(0，1)∪(1，＋∞)角度3 对数型函数性质的综合应用【例3－3】已知函数f (x )＝log a (3－ax ).(1)当x ∈[0，2]时，函数f (x )恒有意义，求实数a 的取值范围；(2)是否存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由.【规律方法】 1.确定函数的定义域，研究或利用函数的性质，都要在其定义域上进行. 2.如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误.3.在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解.在利用单调性时，一定要明确底数a 的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件. 【训练3】 (1)若a >b >0，0<c <1，则( ) A.log a c <log b c B.log c a <log c b C.a c c b(2)若函数f (x )＝log a ⎝⎛⎭⎫x 2＋32x (a >0，a ≠1)在区间⎝⎛⎭⎫12，＋∞内恒有f (x )>0，则f (x )的单调递增区间为________.【反思与感悟】1.对数值取正、负值的规律当a >1且b >1或0<a <1且00；当a >1且01时，log a b <0.2.利用单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问题，其基本方法是“同底法”，即把不同底的对数式化为同底的对数式，然后根据单调性来解决.3.比较幂、对数大小有两种常用方法：(1)数形结合；(2)找中间量结合函数单调性.4.多个对数函数图象比较底数大小的问题，可通过比较图象与直线y ＝1交点的横坐标进行判定. 【易错防范】1.在对数式中，真数必须是大于0的，所以对数函数y ＝log a x 的定义域应为(0，＋∞).对数函数的单调性取决于底数a 与1的大小关系，当底数a 与1的大小关系不确定时，要分0<a <1与a >1两种情况讨论.2.在运算性质log a M α＝αlog a M 中，要特别注意条件，在无M >0的条件下应为log a M α＝αlog a |M |(α∈N *，且α为偶数).3.解决与对数函数有关的问题时需注意两点：(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围. 【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：40分钟) 一、选择题1.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≥4，f (x ＋1)，x <4，则f (2＋log 23)的值为( )A.24B.16C.12D.82.(2018·天津卷)已知a ＝log 3 72，b ＝⎝⎛⎭⎫1413，c ＝log 13 15，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A.a >b >c B.b >a >c C.c >b >aD.c >a >b3.(2019·张家界三模)在同一直角坐标系中，函数f (x )＝2－ax ，g (x )＝log a (x ＋2)(a >0，且a ≠1)的图象大致为( )4.(2019·宁波二模)已知f (x )＝lg(10＋x )＋lg(10－x )，则( ) A.f (x )是奇函数，且在(0，10)上是增函数 B.f (x )是偶函数，且在(0，10)上是增函数 C.f (x )是奇函数，且在(0，10)上是减函数D.f (x )是偶函数，且在(0，10)上是减函数5.(2019·临汾三模)已知函数f (x )＝|ln x |，若f (m )＝f (n )(m >n >0)，则2m ＋1＋2n ＋1＝( )A.12B.1C.2D.4二、填空题6.lg 52＋2lg 2－⎝⎛⎭⎫12－1＝________.7.(2019·昆明诊断)设f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫21－x ＋a 是奇函数，则使f (x )<0的x 的取值范围是________.8.(2019·潍坊调研)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－log 2（3－x ），x <2，2x －2－1，x ≥2，若f (2－a )＝1，则f (a )＝________.三、解答题9.设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a >0，a ≠1)，且f (1)＝2. (1)求a 的值及f (x )的定义域； (2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，32上的最大值.10.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(0)＝0，当x>0时，f(x)＝log1x.2(1)求函数f(x)的解析式；(2)解不等式f(x2－1)>－2.【能力提升题组】(建议用时：20分钟)11.(2019·天津和平区二模)已知a>0且a≠1，函数f(x)＝log a(x＋x2＋b)在区间(－∞，＋∞)上既是奇函数又是增函数，则函数g(x)＝log a||x|－b|的图象是()12.设x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则()A.2x<3y<5zB.5z<2x<3yC.3y<5z<2xD.3y<2x<5z13.(2019·衡水中学检测)已知函数f(x)＝lg(mx2＋2mx＋1)，若f(x)的值域为R，则实数m的取值范围是________.14.已知函数f (x )＝ln x ＋1x －1.(1)求函数f (x )的定义域，并判断函数f (x )的奇偶性；(2)对于x ∈[2，6]，f (x )＝ln x ＋1x －1>ln m（x －1）（7－x ）恒成立，求实数m 的取值范围.。

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专题1：集合【考试要求】1、集合的含义与表示（1）了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系。

（2）能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法和描述法）描述不同的具体集合。

2、集合间的基本关系（1）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集。

（2）在具体情境中，了解全集与空集的含义。

3、集合的基本运算（1）理解两个集合并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集和交集。

（2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集。

（3）能用Venn 图表达集合的关系及运算。

【知识要点】1、元素与集合（1）集合中元素的三个特性：、、。

（2）集合中元素与集合的关系：2、集合间的基本关系：思考：a {}a ；∅ {0}；∅ {}∅感悟：正确理解集合的含义，正确使用集合的基本符号。

3、集合的基本运算A ∅⊆，∅B(B ≠∅)集合的并集集合的交集BB} }4、常用的结论（1） )()()(B C A C B A C U U ⋃=⋂ B)(C )()(U ⋂=⋃A C B A C U （2）A B AB ⊆⇔= ；A B A B ⊆⇔=【考点精练】考点一：集合的有关概念1、已知集合2{2013,10122013,2012}A a a a =+-+，且2013A ∈，求实数a 的取值集合。

变式：已知集合{,,1}ba a与集合2{,,0}a a b +相等，求20132013a b +的值。

2、用适当的符号填空：已知{|32,}A x x k k Z ==+∈，{|61,}B x x m m Z ==-∈，则由：17 A ；5- A ；17 B 。

3、设集合{1,1,3}A =-，2{2,4}B a a =++，则{3}A B =时，实数a 的值为。

考点二：集合间的基本关系1、设全集为R ，集合{|21}M x y x ==+，2{|}N y y x ==-，则（） A 、M N ⊆ B 、N M ⊆ C 、M N = D 、{(1,1)}MN =--2、设集合{(,)|46}A x y x y =+=，{(,)|327}B x y x y =+=，则满足()C A B ⊆的集合C 的个数是（） A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 3、若x A ∈，则1A x ∈，就称A 是伙伴关系的集合，集合11{1,0,,,1,2,3}32M =-的所有非空子集中具有伙伴关系的集合各数是。

4、设2{|8150}A x x x =-+=，{|10}B x ax =-= （1）若15a =，试判定集合A 与B 的关系；（2）若B A ⊆，求实数a 组成的集合C 。

考点三：集合的基本运算1、已知A 、B 均为集合{1,3,5,7,9}U =的子集，且{3}AB =，(){9}U B A =，则A =（）A 、{1,3} B 、{3,7,9} C 、{3,5,9} D 、{3,9}2、若全集为实数集R ，集合12{|log (21)0}A x x =->，则=A C R （）A 、1(,)2+∞ B 、(1,)+∞ C 、1[0,][1,)2+∞ D 、1(,][1,)2-∞+∞ 3、已知集合1{1}2A x =>-，{|231}B x a x a =≤≤+，若A B ⊆，则a 的取值范围是。

4、设集合{|10A x x =+≤或40}x -≥，{|22}B x a x a =≤≤+ （1）若A B ≠∅，求实数a 的取值范围；（2）若A B B =，求实数a 的取值范围。

【考题预测】1、已知集合2{|20}A x x x =--<，{|11}B x x =-<<，则（） A 、B A ⊂ B 、A B ⊂ C 、A B = D 、AB =∅2、已知集合{(,)|,A x y x y =为实数且21}x y +=，{(,)|,B x y x y =为实数且y x =，则A B 的元素个数为（）A 、4 B 、3 C 、2 D 、1 【巩固练习】1、设{U =小于7的正整数}，{1,2,5}A =，3{|10,}2B x x N x =+≤∈-，则=⋂)(B C A U （）A 、{1} B 、{2} C 、{1,2} D 、{1,2,5}2、设集合2{|4}A x y x ==-，2{|4}B y y x ==-，2{(,)|4}C x y y x ==-，则下列关系不正确的有（） ①A C =∅；②A C =；③A B =；④B C = A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个3、设集合22{(,)|1}416x y A x y =+=，{(,)|3}x B x y y ==，则A B 的子集的个数是（）A 、4B 、3C 、2D 、14、已知2{|log ,1}U y y x x ==>，1{|,2}P y y x x==>，则=P C U （） A 、1[,)2+∞ B 、1(0,)2 C 、(0,)+∞ D 、1(,0][,)2-∞+∞5、已知集合{3,}S a =，2{|9200,}T x x x x Z =-+≤∈，{4}ST =，P S T =，则集合P 的非空子集个数是（） A 、8 B 、7 C 、6 D 、16 6、已知{|010}U AB x N x ==∈≤≤，(){1,3,5,7}U A B =，则B = 。

7、某班公30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为。

8、已知集合{|23}A x R x =∈+<，集合{|()(2)0}B x R x m x =∈--<，且(1,)A B n =-，则m = ；n = 。

9、已知集合{|A x y ==，2{|(2)20}B x x a x a =-++≤，若AB B =，求a 的取值范围。

10、若集合2{|280}A x x x =--<，{|0}B x x m =-< （1）若3m =，全集U A B =，试求)(B C A U ⋂ ；（2）若A B =∅，求实数m 的取值范围；（3）若A B A =，求实数m 的取值范围。

第一节集合的含义、表示及基本关系1．已知A ＝{1,2}，B ＝{x |x ∈A }，则集合A 与B 的关系为________． 2．若∅{x |x 2≤a ，a ∈R }，则实数a 的取值范围是________．3．已知集合A ＝{y |y ＝x 2－2x －1，x ∈R }，集合B ＝{x |－2≤x <8}，则集合A 与B 的关系是________．4．(2009年高考广东卷改编)已知全集U ＝R ，则正确表示集合M ＝{－1,0,1}和N ＝{x |x 2＋x ＝0}关系的韦恩(Venn)图是________．5．(2010年苏、锡、常、镇四市调查)已知集合A ＝{x |x >5}，集合B ＝{x |x >a }，若命题“x ∈A ”是命题“x ∈B ”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________．6．已知m ∈A ，n ∈B ，且集合A ＝{x |x ＝2a ，a ∈Z }，B ＝{x |x ＝2a ＋1，a ∈Z }，又C ＝{x |x ＝4a ＋1，a ∈Z }，判断m ＋n 属于哪一个集合？B 组1．设a ，b 都是非零实数，y ＝a |a |＋b |b |＋ab|ab |可能取的值组成的集合是________．2．已知集合A ＝{－1,3,2m －1}，集合B ＝{3，m 2}．若B ⊆A ，则实数m ＝________.3．设P ，Q 为两个非空实数集合，定义集合P ＋Q ＝{a ＋b |a ∈P ，b ∈Q }，若P ＝{0,2,5}，Q ＝{1,2,6}，则P ＋Q 中元素的个数是________个．4．已知集合M ＝{x |x 2＝1}，集合N ＝{x |ax ＝1}，若N M ，那么a 的值是________． 5．满足{1}A ⊆{1,2,3}的集合A 的个数是________个．6．已知集合A ＝{x |x ＝a ＋16，a ∈Z }，B ＝{x |x ＝b 2－13，b ∈Z }，C ＝{x |x ＝c 2＋16，c ∈Z }，则A 、B 、C 之间的关系是________．7．集合A ＝{x ||x |≤4，x ∈R }，B ＝{x |x <a }，则“A ⊆B ”是“a >5”的________．8．(2010年江苏启东模拟)设集合M ＝{m |m ＝2n ，n ∈N ，且m <500}，则M 中所有元素的和为________．9．(2009年高考北京卷)设A 是整数集的一个非空子集，对于k ∈A ，如果k －1∉A ，且k ＋1∉A ，那么称k 是A 的一个“孤立元”．给定S ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有________个．10．已知A ＝{x ，xy ，lg(xy )}，B ＝{0，|x |，y }，且A ＝B ，试求x ，y 的值．11．已知集合A ＝{x |x 2－3x －10≤0}，(1)若B ⊆A ，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，求实数m 的取值范围； (2)若A ⊆B ，B ＝{x |m －6≤x ≤2m －1}，求实数m 的取值范围； (3)若A ＝B ，B ＝{x |m －6≤x ≤2m －1}，求实数m 的取值范围．12．已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}，B ＝{x |x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0}．(1)若A 是B 的真子集，求a 的取值范围；(2)若B 是A 的子集，求a 的取值范围； (3)若A ＝B ，求a 的取值范围．第二节集合的基本运算A 组1．(2009年高考浙江卷改编)设U ＝R ，A ＝{x |x >0}，B ＝{x |x >1}，则A ∩∁U B ＝____.2．(2009年高考全国卷Ⅰ改编)设集合A ＝{4,5,7,9}，B ＝{3,4,7,8,9}，全集U ＝A ∪B ，则集合∁U (A ∩B )中的元素共有________个．3．已知集合M ＝{0,1,2}，N ＝{x |x ＝2a ，a ∈M }，则集合M ∩N ＝________. 4．(原创题)设A ，B 是非空集合，定义A ⓐB ＝{x |x ∈A ∪B 且x ∉A ∩B }，已知A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |y ≥0}，则A ⓐB ＝________.5．(2009年高考湖南卷)某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________．6．(2010年浙江嘉兴质检)已知集合A ＝{x |x >1}，集合B ＝{x |m ≤x ≤m ＋3}．(1)当m ＝－1时，求A ∩B ，A ∪B ；(2)若B ⊆A ，求m 的取值范围．B 组1．若集合M ＝{x ∈R |－3<x <1}，N ＝{x ∈Z |－1≤x ≤2}，则M ∩N ＝________.2．已知全集U ＝{－1,0,1,2}，集合A ＝{－1,2}，B ＝{0,2}，则(∁U A )∩B ＝________.3．(2010年济南市高三模拟)若全集U ＝R ，集合M ＝{x |－2≤x ≤2}，N ＝{x |x 2－3x ≤0}，则M ∩(∁U N )＝________.4．集合A ＝{3，log 2a }，B ＝{a ，b }，若A ∩B ＝{2}，则A ∪B ＝________. 5．(2009年高考江西卷改编)已知全集U ＝A ∪B 中有m 个元素，(∁U A )∪(∁U B )中有n 个元素．若A ∩B 非空，则A ∩B 的元素个数为________．6．(2009年高考重庆卷)设U ＝{n |n 是小于9的正整数}，A ＝{n ∈U |n 是奇数}，B ＝{n ∈U |n 是3的倍数}，则∁U (A ∪B )＝________.7．定义A ⊗B ＝{z |z ＝xy ＋xy，x ∈A ，y ∈B }．设集合A ＝{0,2}，B ＝{1,2}，C ＝{1}，则集合(A⊗B )⊗C 的所有元素之和为________．8．若集合{(x ，y )|x ＋y －2＝0且x －2y ＋4＝0}{(x ，y )|y ＝3x ＋b }，则b ＝________.9．设全集I ＝{2,3，a 2＋2a －3}，A ＝{2，|a ＋1|}，∁I A ＝{5}，M ＝{x |x ＝log 2|a |}，则集合M 的所有子集是________．10．设集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋(a 2－5)＝0}．(1)若A ∩B ＝{2}，求实数a 的值；(2)若A ∪B ＝A ，求实数a 的取值范围．11．已知函数f (x )＝ 6x ＋1－1的定义域为集合A ，函数g (x )＝lg(－x 2＋2x ＋m )的定义域为集合B .(1)当m ＝3时，求A ∩(∁R B )；(2)若A ∩B ＝{x |－1<x <4}，求实数m 的值．12．已知集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}．(1)若A ＝∅，求实数a 的取值范围；(2)若A 是单元素集，求a 的值及集合A ；(3)求集合M ＝{a ∈R |A ≠∅}．。