三年级奥数第四讲：植树与方阵问题
第四讲 植树与方阵问题
一、植树问题
要想了解植树中的数学并学会怎样解决植树问题，首先要牢记三要素：①总路线长.②间距（棵距）长.③棵数.只要知道这三个要素中任意两个要素.就可以求出第三个。
关于植树的路线，有封闭与不封闭两种路线。
1.不封闭路线
例：如图
① 若题目中要求在植树的线路两端都植树，则棵数比段数多1.如上图把总长平均分成5段，但植树棵数是6棵。
全长、棵数、株距三者之间的关系是：
棵数=段数+1=全长÷株距+1
全长=株距×（棵数-1）
株距=全长÷（棵数-1）
② 如果题目中要求在路线的一端植树，则棵数就比在两端植树时的棵数少1，即棵数与段数相等.全长、棵数、株距之间的关系就为： 全长=株距×棵数；
棵数=全长÷株距；
株距=全长÷棵数。
③ 如果植树路线的两端都不植树，则棵数就比②中还少1棵。
棵数=段数-1
=全长÷株距-1.如右图所示.段数为5段，植树棵数为4棵。
株距=全长÷（棵数+1）。
2.封闭的植树路线
例如：在圆、正方形、长方形、闭合曲线等上面植树，因为头尾两端重合在一起，所以种树的棵数等于分成的段数。
如右图所示。
棵数=段数=周长÷株距.
二、方阵问题
学生排队，士兵列队，横着排叫做行，竖着排叫做列.如果行数与列数都相等，则正好排成一个正方形，这种图形就叫方队，也叫做方阵（亦叫乘方问题）。
方阵的基本特点是：
① 方阵不论在哪一层，每边上的人（或物）数量都相同.每向里一层，每边上的人数就少2。
② 每边人（或物）数和四周人（或物）数的关系：
四周人（或物）数=[每边人（或物）数-1]×4；
每边人（或物）数=四周人（或物）数÷4＋1。
③ 中实方阵总人（或物）数=每边人（或物）数×每边人（或物）数。
例1 有一条公路长900米，在公路的一侧从头到尾每隔10米栽一根电线杆，可栽多少根电线杆？
分析 要以两棵电线杆之间的距离作为分段标准.公路全长可分成若干段.由于公路的两端都要求栽杆，所以电线杆的根数比分成的段数多1。
解：以10米为一段，公路全长可以分成
900÷10＝90（段）
共需电线杆根数：90+1=91（根）
答：可栽电线杆91根。
例2 马路的一边每相隔9米栽有一棵柳树.张军乘汽车5分钟共看到501棵树.问汽车每小时走多少千米？
分析 张军5分钟看到501棵树意味着在马路的两端都植树了；只要求出这段路的长度就容易求出汽车速度.
解：5分钟汽车共走了：
9×（501-1）=4500（米），
汽车每分钟走：4500÷5=900（米），
汽车每小时走：
900×60=54000（米）=54（千米）
列综合式：
9×（501-1）÷5×60÷1000=54（千米）
答：汽车每小时行54千米。
例3 某校五年级学生排成一个方阵，最外一层的人数为60人.问方阵外层每边有多少人？这个方阵共有五年级学生多少人？
分析 根据四周人数和每边人数的关系可以知：
每边人数=四周人数÷4+1，可以求出方阵最外层每边人数，那么整个方阵队列的总人数就可以求了。
解：方阵最外层每边人数：60÷4＋1=16（人）
整个方阵共有学生人数：16×16=256（人）
答：方阵最外层每边有16人，此方阵中共有256人。
例4 晶晶用围棋子摆成一个三层空心方阵，最外一层每边有围棋子14个.晶晶摆这个方阵共用围棋子多少个？
分析 方阵每向里面一层，每边的个数就减少2个.知道最外面一层每边放14个，就可以求第二层及第三层每边个数.知道各层每边的个数，就可以求出各层总数。
解：最外边一层棋子个数：（14-1）×4=52（个）
第二层棋子个数：（14-2-1）×4=44（个）
第三层棋子个数：（14-2×2-1）×4=36（个）.
摆这个方阵共用棋子：
52+44＋36＝132（个）
还可以这样想：
中空方阵总个数=（每边个数一层数）×层数×4进行计算。
解：（14-3）×3×4=132（个）
答：摆这个方阵共需132个围棋子。
例5 一个圆形花坛，周长是180米.每隔6米种一棵芍药花，每相邻的两棵芍药花之间均匀地栽两棵月季花.问可栽多少棵芍药？多少棵月季？两棵月季之间的株距是多少米？
分析 ①在圆形花坛上栽花，是封闭路线问题，其株数=段数.② 由于相邻的两棵芍药花之间等距的栽有两棵月季，则每6米之中共有3棵花，且月季花棵数是芍药的2倍。
解：共可栽芍药花：180÷6＝30（棵）
共种月季花：2×30＝60（棵）
两种花共：30+60=90（棵）
两棵花之间距离：180÷90=2（米）
相邻的花或者都是月季花或者一棵是月季花另一棵是芍药花，所以月季花的株距是2米或4米。
答：种芍药花30棵，月季花60棵，两棵月季花之间距离为2米或4米。
例6 一个街心花园如右图所示.它由四个大小相等的等边三角形组成.已知从每个小三角形的顶点开始，到下一个顶点均匀栽有9棵花.问大三角形边上栽有多少棵花？整个花园中共栽多少棵花？
分析 ①从已知条件中可以知道大三角形的边长是小三角形边长的2倍.又知道每个小三角形的边上均匀栽9株， 则大三角形边上栽的棵数为
9×2-1=17（棵）。
② 又知道这个大三角形三个顶点上栽的一棵花是相邻的两条边公有的，所以大三角形三条边上共栽花
（17-1）×3=48（棵）。
③.再看图中画斜线的小三角形三个顶点正好在大三角形的边上.在计算大三角形栽花棵数时已经计算过一次，所以小三角形每条边上栽花棵数为9-2=7（棵）
解：大三角形三条边上共栽花：
（9×2-1-1）×3=48（棵）
中间画斜线小三角形三条边上栽花：
（9-2）×3=21（棵）
整个花坛共栽花：48+21=69（棵）
答：大三角形边上共栽花48棵，整个花坛共栽花69棵。
植树问题方阵问题植问题方阵问题
植树问题方阵问题植问题方阵问题【含义】按相等的距离植树，在距离、棵距、棵数这三个量之间，已知其中的两个量，要求第三个量，这类应用题叫做植树问题。
【数量关系】1 非封闭线路上的植树问题主要可分为以下三种情形:（1）如果在非封闭线路的两端都要植树，那么:□株数=段数+1=全长三株距+1棵数二全长三间隔长+1全长=株距某（株数一1）全长二间隔长某（棵数-1）□株距=全长三（株数一1）间隔长二全长三（棵数-1）⑵如果在非封闭线路的一端要植树，另一端不要植树，那么:口株数=段数=全长三株距棵数二全长三间隔长口全长=株距某株数全长二间隔长某棵数口株距=全长三株数间隔长二全长三棵数口⑶如果在非封闭线路的两端都不要植树，那么:□株数=段数一1=全长三株距一1棵数二全长三间隔长-1全长=株距某（株数+1）全长二间隔长某（棵数+1）□株距=全长三（株数+1）间隔长二全长三（棵数+1）2 封闭线路上的植树问题的数量关系如下此题是植树问题中植树线路是封闭的一种.在圆、正方形、长方形、闭全曲线等上面植树,因为首尾相接,两端重合在一起.株数=段数=全长三株距棵数二全长三间隔长口全长=株距某株数全长二间隔长某棵数口株距=全长三株数间隔长二全长三棵数线形植树环形植树棵数=距离三棵距口方形植树棵数=距离三棵距一4三角形植树棵数=距离三棵距一3面积植树棵数=面积三（棵距某行距）口锯木头总时间=每次用时某次数总台阶=每个楼梯的台阶数某楼梯数例1一条河堤136米，每隔 2米栽一棵垂柳，头尾都栽，一共要栽多少棵？例2一个圆形池塘周长为400米，在岸边每隔4米栽一棵白杨树，一共能栽多少棵白杨树？例3一个正方形的运动场，每边长220米，每隔8米安装一个照明灯一共可以安装多少个照明灯？例4给一个面积为96平方米的住宅铺设地板砖，所用地板砖的长和宽分别是 60 厘米和 40 厘米，问至少需要多少块地板砖？例5一座大桥长500米，给桥两边的电杆上安装路灯，若每隔50米有一个电杆，每个电杆上安装2盏路灯，一共可以安装多少盏路灯？解（1）桥的一边有多少个电杆？（2）桥的两边有多少个电杆？（3）大桥两边可安装多少盏路灯？【知识运用】一、直线型植树问题（一）两端都种：I求全长1、在一条小路的一侧，每隔10米种一棵柳树，从头到尾共种 20 棵，则小路全长多少米？在一条小路的一侧，从头到尾共安装1 0 根电线杆，每隔 10 米安装一根，则小路全长多少米？3、10路共公汽车从起点到终点共有13的车站，每两个车站相距2 千米，则10路汽车全程多少千米？4、时钟报时，5时敲5下，每两下之间间隔2秒，则一共用了多少时间？6、小明家住在6层，他每上一层需要10秒种，则他从一楼到家需要多少秒？7、小明家住在 6层，每个楼梯上有1 6级台阶，则他从一楼到家需要走多少个台阶？II求棵数1、在一条小路的一侧，每隔10米种一棵柳树，如果小路全长100米，则可种柳树多少棵？2、在一条小路的一侧，从头到尾每隔 10 米安装一根电线杆，如果小路全长100米，则可以安装电线杆多少根？3、10 路共公汽车从起点到终点全长 24千米，每两个车站相距 2 千米，则 10 路汽车全程共有多少个车站？4、一根木料锯成若干段需要40分钟，每锯一下需要 4分钟，则可以把它锯成多少段？5、小明从一楼到家需要 60 秒，他每上一层需要 10 秒种，则他家住在多少层，？6、小明从一楼到家需要走 80 个台阶，每个楼梯上有 16 级台阶，则家住在几层？III 求间距 1、在一条小路的一侧从头到尾共种 11 棵树，小路全长100 米，则每两棵树之间相距多少米？2、在一条小路的一侧，从头到尾共安装 10根电线根，如果小路全长90米，每两根电线杆之间相距多少米？3、10 路共公汽车从起点到终点全长 24千米，10 路车从头到尾共有13个车站，那么每两个车站之间相距多少千米？4、一根木料锯成 5段需要 40 分钟，每锯一下需要多少分钟？5、小明从一楼到六楼需要 60 秒，则他每上一层需要多少秒6、小明从一楼到六楼要走 80 个台阶，那么每两层之间有多少个台阶？（二）只种一端I求全长口1、在教学楼前小路的一侧，每隔 10 米种一棵柳树，共种 20 棵，则小路全长多少米？2、在校门前小路的一侧，共安装 10 根电线杆，每隔 10 米安装一根，则小路全长多少米？II求棵数1、在教学楼前小路的一侧，每隔10米种一棵柳树，如果小路全长100米，则可种柳树多少棵？2、在校门前小路的一侧，每隔10米安装一根电线杆，如果小路全长200 米，则可以安装电线杆多少根？III求间距1、在教学楼前一侧共种11棵树，小路全长100米，则每两棵树之间相距多少米？2、在校门前小路的一侧，共安装 10 根电线根，如果小路全长 90 米每两根电线杆之间相距多少米？（三）两端都不种I求全长1、在教学楼与图书馆之间小路的一侧，每隔10米种一棵柳树，共种 20 棵，则小路全长多少米？2 、在校门前至公共汽车站的小路一侧，共安装1 0根电线杆，每隔10米安装一根，则小路全长多少米？II求棵数1、在教学楼与图书馆之间小路的一侧，每隔9米种一棵柳树，如果小路全长100米，则可种柳树多少棵？2、，在校门前至公共汽车站的小路一侧，每隔 10 米安装一根电线杆如果小路全长200米，则可以安装电线杆多少根？III求间距1、在教学楼与图书馆之间小路的一侧共种9棵树，小路全长100米，则每两棵树之间相距多少米？2、在校门前至公共汽车站的小路一侧，共安装9根电线根，如果小路全长90米，每两根电线杆之间相距多少米？（四）特别问题：锯木头数量关系式：锯的次数=间隔数一1其他的一般都是干扰条件1、一根木料锯成7段，每锯一下需要4分钟，则一共需要多少分钟？2、一根木料平均锯成4段，用时12分钟，如果平均锯成6段，需要多少分钟？二、封闭型植树问题与只种一头相同棵数=间隔数1、一个池塘的周长为240米，沿池塘周围每隔4米载一棵柳树，可以植树多少棵？2、一个池塘的周长为240米，沿池塘周围共种树40棵，每两棵树相距？3、一个池塘每隔 4米种一棵树，共种60棵，则这个池塘的周长是多少米？三、方阵问题一周总数=每边数量某边数一边数每边数量=一周总数三边数+1 （一）求一周的总数量1、正方形花坛，每边摆6盆花（每个顶点摆一盆），一周可以摆多少盆？一周总数=（每边数量一1）某边数口2、一个正五边形花坛，每边摆 6盆花（每个顶点摆一盆），一周可以摆多少盆？（二）求每边数量1、正方形花坛一周共摆放12盆花（每个顶点摆一盆），那么每边可以摆多少盆？2、一个正五边形花坛一周共摆放30盆花（每个顶点摆一盆），每边可以摆多少盆？小结：解决植树问题和方阵问题，关键要与图结合，根据题目的特点画出草图，可以帮助我们分析，从而选择适当的方法解决。
三年级奥数上第4讲植树与方阵问题
【例1】有一条公路长900米，在公路的一侧从头到 尾每隔10米栽一根电线杆，可栽多少根电线杆？
【例2】马路的一边每相隔9米栽有一棵柳树。张军 乘汽车5分钟共看到501棵树，问汽车每小时走多少 千米？
【例3】某校五年级学生排成一个方阵，最外一层的 人数为60人，问方阵外层每边有多少人？这个方阵 共有五年级学生多少人？
【例4】晶晶用围棋子摆成一个三层空心方阵，最外 一层每边有围棋子14个，晶晶摆这个方阵共用围棋 子多少个？
【例5】一个圆形花坛，周长是180米，每隔6米种一 棵芍药花，每相邻的两棵芍药花之间均匀地栽两棵
月季花。问可栽多少棵芍药花？多少棵月季？；两 棵月季之间的株距是多少米？
【例6】一个街心花园如图所示，它由四个大小相等
习题3、在一条路上按相等的距离植树。甲乙二人同
时从路的一端的某一棵树出发。当甲走到从自己这 边数的第22棵树时，乙刚走到从乙那边数的第10棵 树。已知乙每分钟走36米。问：甲每分钟走多少米？
习题4、在一根长100厘米的木棍上，从左向右每隔6 厘米点一个红点。从右向左每隔5厘米点一个红点， 在两个红点之间长为4厘米的间距，那么方阵一共有 几人？最外一层有几人？那么外三层一共有几人？
【练习2】一个方阵，一共有100人？那么这个方阵
每边有几人？这个方阵最外一层有几人？那么外三 层一共有几人？
【练习3】一个方阵最外一层有92人，那么这个方阵
每边有几个人？这个方阵一共有几人，这个方阵外 三层一共有多少人？
的等边三角形组成，已知从每个小三角形的顶点开 始，到下一个顶点均匀栽有9棵花。问大三角形边上 栽有多少棵花？整个花园中共栽多少棵花？
习题1、一个圆形池塘，它的周长是150米，每隔3米 栽一棵树。问：共需树苗多少珠？
三年级奥数二班 植树和方阵问题
第四讲植树和方阵问题例1 有一条公路长900米，在公路的一侧从头到尾每隔10米栽一根电线杆，可栽多少根电线杆？例2 笔直的街道从头到尾有路灯30盏，相邻路灯间隔为20米，请问街道长多少米？例3 商场在一圆形区域内举办活动，要求在外围（180米）每隔6米安排一名安保人员，那么一共需要多少名安保人员？例4、在相距100米的两楼之间栽树,每隔10米栽1棵,共栽了多少棵树.？例5 某班级有学生36人参加中小学班级展示活动，开场该班级组成了一个方阵，请问该方阵最外层有学生几人？例6 马路的一边每相隔9米栽有一棵柳树.张军乘汽车5分钟共看到501棵树.问汽车每小时走多少千米？例7、一个圆形花坛，周长是180米.每隔6米种一棵芍药花，每相邻的两棵芍药花之间均匀地栽两棵月季花.问可栽多少棵芍药？多少棵月季？两棵月季之间的株距是多少米？例8.在一个正方形的场地四周种树,四个顶点都有一棵,这样每边都种有24棵,四周共种多少棵树.课后练习：1、一段公路长3600米，在公路两旁每隔9米栽一棵梧桐树，两段都栽，一共栽了多少棵梧桐树？2、一条路上共种了50棵白杨树，每相邻2棵白杨树之间有8米，这条路有多长？3、.圆形滑冰场周长400米,每隔20米装一盏灯,共要装多少盏灯.？4、一个圆形水池全长200米，现在水池周围摆上20盆花，隔多少米摆上一盆花才能都摆上？5、10棵柳树排成一排，在每2棵柳树中间中3棵桃树，一共中了多少棵桃树？6、.一个湖泊周长1800米,沿湖泊周围每隔3米栽一棵柳树,每两棵柳树中间栽一棵桃树,湖泊周围栽柳树多少棵？栽桃树多少棵.？7、公路旁边每隔7米有一棵槐树，从看到第一颗槐树开始，芳芳乘电车3分钟看到路边的槐树一共有151棵，电车的速度是每分钟多少米？8、展示平台设有一处可放置49件展品的正方形区域，要求这49件商品以方正形式摆设，请问最外层有商品多少件？9、马路旁边有一排等距的大树，第1棵树距离第7棵树有60米，请问第一棵树到第五棵树之间有多少米？10、有一正方形操场，每边都栽种17棵树，四个角各种1棵，共种树多少棵？。
三年级奥数-植树与方阵问题基础
三年级奥数－植树与方阵问题基础
1.一个圆形池塘，它的周长是150米，每隔3米栽种一棵树.问：共需树苗多少株？
2.有一正方形操场，每边都栽种17棵树，四个角各种1棵，共种树多少棵？
3.有一条2000米的公路，每相隔50米埋设一根路灯杆，从头到尾需要埋设路灯杆多少根？
4.某大学从校门口的门柱到教学楼墙根，有一条1000米的甬路，每边相隔8米栽一棵白杨，可以栽白杨多少棵？
5.有一个等边三角形的花坛，边长20米。
每个顶点都要栽一棵月季花，每相隔2米再栽一棵月季花，花坛一周能栽多少棵月季花？
三年级奥数－植树与方阵问题基础习题答案
1.提示：由于是封闭路线栽树，所以棵数=段数，
150÷3=50（棵）。
2.提示：在正方形操场边上栽树.正方形边长都相等，四个角上栽的树是相邻的两条边公有的一棵，所以每边栽树的棵数为17-1=16（棵），共栽：（17-1）×4=64（棵）
答：共栽树64棵。
3．41根。
2000÷50＋1=41（根）
4．248棵。
（1000÷8-1）×2=124×2=248（棵）
5．30棵。
20×3÷2=30（棵）。
小学三年级上册数学奥数知识点讲解第4课《植树与方阵问题》试题附答案
试题1：学校学生计划在操场上植树，在操场上选择了一个正方形的区域，其中每个格子都可以植树。
小明想知道这个正方形区域最多可以植树多少棵。
请你帮助小明解答。
答案：这个正方形区域最多可以植树的棵数就等于正方形区域的面积。
所以最多可以植树棵数为正方形的边长的平方。
试题2：一块田地被分成了9个小格子，小明从左上角的格子出发，每次可以向右或者向下走，走到右下角的格子。
请问小明一共有多少种不同的走法？答案：小明一共需要向右走8次，向下走8次，总共走16步。
从这16步中选择8步向右走，其余8步向下走，一共有组合数C(16,8)种不同的走法。
试题3：学校的教学楼一共有3层，每层楼有4个教室。
请问这个教学楼一共有多少个教室？答案：教学楼一共有3层，每层楼有4个教室，所以一共有3×4=12个教室。
试题4：小明用9个一模一样的木棍摆成一个方阵。
请问最多能摆出多少个小方框？最大的小方框是由9个木棍组成的正方形，所以最多能摆出1个小方框。
试题5：小明想用三个一模一样的四边形拼成一个长方形。
请问他最多能拼出多少个长方形？答案：最大的长方形是由三个四边形组成的，所以最多能拼出1个长方形。
试题6：小明用5个木棍摆成一个正方形，小红用5个木棍摆成一个长方形。
请问谁摆的方阵的面积更大？答案：方阵的面积等于边长的平方。
小明摆的方阵的边长为5，小红摆的长方形的长和宽都为5、所以小明摆的方阵的面积更大。
试题7：小明用4个一模一样的四边形摆成一个正方形，小红用4个一模一样的三角形摆成一个正方形。
请问谁的正方形的面积更大？答案：正方形的面积等于边长的平方。
小明摆的正方形的边长为4，小红摆的正方形的边长为3（三角形的一条边作为正方形的边）。
所以小明摆的正方形的面积更大。
一块长方形的瓷砖被分成了8个小正方形，小明把这些小正方形摆成了一个大正方形。
请问大正方形的边长是多少？答案：大正方形的面积等于小正方形的面积的8倍。
设小正方形的边长为a，则大正方形的边长为a×√8=a×2√2试题9：一块长方形的瓷砖被分成了15个小正方形，小明想把这些小正方形摆成一个正方形。
小学数学植树与方阵问题知识点
小学数学植树与方阵问题知识点
1、例1：一个圆形池塘，它的周长是150米，每隔3米栽种一棵树.问：共需树苗多少株？
解析：由于是封闭路线栽树，所以棵数=段数，
150÷3=50（棵）。
2、例2：有一正方形操场，每边都栽种17棵树，四个角各种1棵，共种树多少棵？
解析：在正方形操场边上栽树。
正方形边长都相等，四个角上栽的树是相邻的两条边公有的一棵，所以每边栽树的棵数为17-1=16（棵），共栽：（17-1）×4=64（棵）
3、例3：在一条路上按相等的距离植树.甲乙二人同时从路的一端的某一棵树出发.当甲走到从自己这边数的第22棵树时，乙刚走到从乙那边数的第10棵树.已知乙每分钟走36米.问：甲每分钟走多少米？
解析：甲走到第22棵树时走过了22-1＝21（个）棵距.同样乙走过了10-1＝9（个）棵距.乙走到第10棵树，所用的时间为（9×棵距÷36），这个时间也是甲走过21个棵距的时间，甲的速度为：21×棵距÷（9×棵距÷36）=84米/分。