离散型随机变量
概率论与数理统计之离散型随机变量
电子科技大学
离散型随机变量
14.12.13
lim P{ X n k }
n
lk
k!
e , k 1,2,
l
证明略. 思考：你能从条件 lim npn l 0,
n
中分析出什么结论吗？ 注
n
lim npn l
即数列{ pn } 与 { 1 n } 是同阶的无穷小.故
即 10k 10 P{ X a } e 0.95 k 0 k!
a
电子科技大学
离散型随机变量
14
14.12.13
查表可得
10k 10 e 0.9166 0.95 k 0 k!
10k 10 e 0.9513 0.95 k 0 k!
15
这家商店在月底保证存货不少于15件就 能以95%的概率保证下个月该种商品不会 脱销.
p (1 p)
电子科技大学
离散型随机变量
k n
14.12.13
从n次试验中选出k 次试验有C 种不同的 方式.
且各种方式的事件互不相容，由概率的有 限可加性可得
Pn ( k )
结论成立.
k Cn
p (1 p)
k
n k
,
称随机变量X 服从二项分布 ,记为X ～ B(n, p). (0—1)分布可以看作X ～B(1, p).
14.12.13
故
F ( x ) P{ X x }
P[ { X xi }] P{ X xi }
xi x
xi x
二、贝努里试验和二项分布 E1：抛一枚硬币出现正反面; E2：检查一件产品是否合格; E3：射击，观察是否命中; 贝努里 试验
离散型随机变量例子
离散型随机变量例子
随机变量是概率论中一个重要的概念，所谓随机变量，指的是一个可以取几种不同可能值的变量，其中每一种可能值的发生概率可以用概率论来描述。
离散型随机变量是指可能取值为有限数或者数目可算的有限或无穷多实数的随机变量。
下面我们就来看看几个典型的离散型随机变量例子。
1、伯努利随机变量：伯努利随机变量是指一个随机变量，它只有两种可能的结果，也就是只有 0 或 1。
它具有 0 的概率为 p，另一个结果就是 1 的概率也就是 1-p。
2、离散型随机变量的数学期望：离散型随机变量的数学期望是指随机变量的均值。
它的计算方法是把变量的各种可能值乘以其对应的概率，然后求和，就可以得到数学期望的值。
3、二项分布：二项分布是指一个随机变量 X 的概率分布如果是一个多次独立试验的离散型结果，它的取值就是 0 到 n 之间的整数。
它的概率分布可以用下面的公式来表示：P（X=k）={nchoose k}p^kq^{nk}
4、泊松分布：泊松分布是一个特殊的二项分布，它只有两个参数，一个是λ，另一个是 n。
- 1 -。
离散型随机变量
例1 设随机变量 X 分布律为, 0 为常数，试确定 a .
k
( k 0,1, 2, )
k!
例2 用随机变量描述将一枚硬币连抛三次的试验结果， 并写出这个随机变量的分布律和分布函数.
5
二 常见的离散型随机变量的分布 1 （0-1 ）分布 如随机变量 X 的分布律为
n 1 n 1 k n 1 n k
1
(1 p ) C n k 1 p (1 p ) , k 0,1, 2,
23
例10解 设 X :一年中死亡人数， : 参保人在一年内死 A 亡 P ( A ) 0.002 则 X ~ B (2500, 0.002) ,
P X k Pn ( k ) C n p n q n
k k nk
, (qn 1 p )
k
P X k lim C n p n q n
k k n
nk
lim
n
n ( n 1)...( n k 1) 1 k! n n
20
例7解 事件 T
t
在长为t的时间内没有发生故障
(t ) 0!
N ( t )
0 从而
0
P {T t } P N (t ) 0
e
t
e
t
由此得 T 的分布函数为
1 e t , t 0 F (t ) 0, t 0
4
2 分布律的性质
(1) (2)
(3)
pk 0, pk 1
k 1
F (x)
xk x
离散型随机变量
证 设Ai表示"第i次试验中事件A发生", 则
P( Ai ) = p , P( Ai ) = 1 p , 假设事件 A 在前 k 次试验中发生, 后 n k 次试
验中 A 发生 , 有
P A1 A2 L Ak Ak+1 L An
k
n
= P( Ai ) P( Ai ) = pk (1 p)nk
例2.1从一批有10个合格品与3个次品的产品中, 一件 一件地抽取产品, 每次取出一件产品后总将一件合格 品放回该批产品中, 直到取出合格品为止, 求抽取次 数的分布律 . 解 设 X 表示“抽取次数”，它的可能取值是1,2,3,4 ,
而取每个值的概率为
P X = 1 = 10 ,
13
P X = 2 = 3 g11 = 33
• 或写成P{X=k}=(1-p)kp,k=0,1,2,3;P{X=4}=(1-p)4. • 以p=1/2代入得
X0 1
2
3
4
P 0.5 0.25 0.125 0.0625 0.0625
例: 设随机变量 X 具有分布律
P(X k) ak, k 1,2,3,4,5
（1）确定常数
a
,（2）计算
P(
解
(1)
P( X
3)
P( X
3)
P( X
4)
k 3
5k k!
e5
k 4
5k k!
e -5
0.875348 0.734974 0.140374
(2) P( X 10) 1 P( X 11) 1 5k e5 1 0.013695 0.986305
k 11 k!
(1) p ( xi ) ≥0, (i =1, 2 ,… );
3.2 离散型随机变量
1、已知分布律，求分布函数※
例3：已知X的分布律，
求 X 的分布函数。
X p Pk
1 1 4
2 1 2
3 1 8
4 1 8
F ( x) P( X x)
x 1 0, P X 1 1 , 1 x 2 4 P X 1 P X 2 3 2 x3 4 P X 1 P X 2 P X 3 7 3 x 4 8 P X 1 P X 2 P X 3 P X 4 1 4 x
例2：某人的手枪里有5发子弹，他向一个目 标独立地射击，直到首次击中才停止射击。 已知每发子弹命中目标的概率为0.6，求消耗 子弹数X的分布律。
已知离散型随机变量的分布律, 求出随机事件的概率. 练习：设随机变量 X 的分布律为
求P
X 2 , P 0 X 5/ 2, P 1 X 3
例如，袋中有5个球,编号为1,2,3,4,5,从中任取3个, 以Y表示3个球中的最大号码,则Y服从超几何分布。
本节小结：
知识点与基本要求： （1）理解离散型随机变量及其概率分布的概念，掌握 离散型随机变量的分布律的性质； （2）理解四种常见分布的实际意义，掌握四种分布(两 点分布、二项分布、泊松分布、超几何分布)及其应用； （3）理解泊松定理的结论和应用条件，了解应用泊松 分布近似表示二项分布； 教学重点：离散型随机变量的分布律性质，四种常见 分布的分布律及其应用； 教学难点：四种常见分布的分布律及其应用。
2、二项分布
设X表示n重伯努利试验中事件A发生的总次数.
X的分布律为
P( X k ) C p (1 p)
k n k
n k
离散性随机变量的概念
离散性随机变量的概念知识归纳1．离散型随机变量随着试验结果的变化而变化的变量叫做随机变量．如果随机变量所有可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做 随机变量．如果随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的随机变量叫做 随机变量． 2．离散型随机变量的分布列(1)设离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1、x 2、…、x i 、…、x n ，X 取每个值x i (i ＝1,2，…n )的概率P (X ＝x i )＝p i ，则称表为随机变量X 的分布列．X 的分布列也可简记为：P (X ＝x i )＝p i ，i ＝1、2、…、n .(2)离散型随机变量的两个性质： ①p i ≥0，i ＝1,2，…n ； ②p 1＋p 2＋p 3＋…p n ＝1.离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．3．两点分布如果随机变量X 的分布列为其中0<p <1，则称离散型随机变量X 服从参数为p 的两点分布，称p ＝P (X ＝1)为成功概率．任何事件的条件概率都在0和1之间，即0≤P (B |A )≤1,如果B 和C 是两个互斥事件，则P (B∪C |A )＝5．事件的独立性设A 、B 为两个事件，如果P (AB )＝P (A )P (B )，则称事件A 与B 相互独立．4．条件概率 一般地，设A 、B 为两个事件，且P (A )>0，称P (B |A )＝P (AB )P (A )为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率，一般把P (B |A )读作A 发生的条件下B 发生的概率．(1)如果事件A 与B 相互独立，那么A 与B ，A 与B ，A 与B 也都相互独立．(2)如果A 与B 相互独立，则P (B |A )＝P (B )，即事件A 的发生与否不影响事件B 的发生． (3)对于n 个事件A 1、A 2、…、A n ，如果其中任何一个事件发生的概率不受其它事件的影响，则这n 个事件A 1、A 2、…、A n 相互独立．如果A 1、A 2、…、A n 相互独立，那么P (A 1A 2…A n )＝6．独立重复试验与二项分布(1)一般地，在相同条件下，重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验．各次试验的结果不受其它试验的影响．(2)一般地，在n 次独立重复试验中，设事件A 发生的次数为X ，在每次试验中事件A 发生的概率都为p ，那么在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为则称随机变量X 服从参数为n 、P 的二项分布，记作X ～B (n ，p )，并称p 为成功概率．7．超几何分布一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则事件{X ＝k }发生的概率为为超几何分布列，如果随机变量X 的分布列为超几何分布列，则称随机变量X 服从超几何分布．超几何分布给出了求解这类问题的方法，可以当公式直接运用．误区警示1．“互斥事件”与“相互独立事件”的区别它们是两个不同的概念，相同点都是对两个事件而言的，不同点是：“互斥事件”是说两个事件不能同时发生，“相互独立事件”是说一个事件发生与否对另一个事件发生的概率没有影响．2．对独立重复试验要准确理解 (1)独立重复试验的条件第一：每次试验是在同样条件下进行．第二：各次试验中的条件是相互独立的．第三，每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生3．(1)准确理解事件和随机变量取值的意义，对实际问题中事件之间的关系要清楚． (2)认真审题，找准关键字句，提高解题能力．如“至少有一个发生”，“至多有一个发生”，“恰有一个发生”等．P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k，k ＝0,1,2，…，n .P (X ＝k )＝C k M C n －kN －MC n N，k ＝0,1,2，…，m ，(其中m 是M ，n 中的最小值，n ≤N ，M ≤N ，n 、M 、N ∈N *)．称分布列一、解决概率问题的步骤第一步，确定事件的性质：古典概型、互斥事件、独立事件、独立重复试验，把所给问题归结为某一种．第二步，判断事件的运算(和事件、积事件)，确定事件至少有一个发生还是同时发生等等． 第三步，运用公式求概率1、 写出下列各随机变量可能的取值，并说明随机变量所表示的随机试验的结果．(1)小明要去北京旅游，可能乘火车、乘汽车，也可能乘飞机，旅费分别为100元、60元和600元，将他的旅费记为ξ；(2)正方体的骰子，各面分别刻着1、2、3、4、5、6，随意掷两次，所得的点数之和为ξ； (3)一个人要开房门，他共有10把钥匙，其中仅有一把是能开门的，他随机取钥匙去开门并且用后不放回，其中打开门所试的钥匙个数为ξ；(4)电台在每个整点都报时，某人随机打开收音机对表，他所等待的时间ξ(min)． 2、 (09·广东)已知离散型随机变量X 的分布列如右表，若E (X )＝0，D (X )＝1，，则a ＝______，b ＝______.设随机变量ξ的分布列为P (ξ＝k )＝ck ＋1，k ＝0,1,2,3，则E (ξ)＝ ( )A.1225B.2325C.1350D.4625古典概型P (A )＝mn ；互斥事件P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )； 条件概率P (B |A )＝P (AB )P (A )； 独立事件P (AB )＝P (A )P (B )；n 次独立重复试验：P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k.3 一次数学摸底考试，某班60名同学成绩的频率分布直方图如图所示．若得分90分以上为及格．从该班任取一位同学，其分、数是否及格记为ξ，求ξ的分布列．4 从某批产品中，有放回地抽取产品两次，每次随机抽取1件，假设事件A：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率P(A)＝0.96.(1)求从该批产品中任取一件是二等品的概率p；(2)若该批产品共100件，从中任意抽取2件，ξ表示取出的2件产品中二等品的件数，求ξ的分布列．5某学习小组有6个同学，其中4个同学从来没有参加过数学研究性学习活动，2个同学曾经参加过数学研究性学习活动．(1)现从该小组中任选2个同学参加数学研究性学习活动，求恰好选到1个曾经参加过数学研究性学习活动的同学的概率；(2)若从该小组中任选2个同学参加数学研究性学习活动，活动结束后，该小组没有参加过数学研究性学习活动的同学个数ξ是一个随机变量，求随机变量ξ的分布列及数学期望E(ξ)．6 在100件产品中有95件合格品，5件不合格品．现从中不放回地取两次，每次任取1件．试求：(1)第一次取到不合格品的概率；(2)在第一次取到不合格品后，第二次再次取到不合格品的概率．7设b 和c 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量ξ表示方程x 2＋bx ＋c ＝0实根的个数(重根按一个计)．(1)求方程x 2＋bx ＋c ＝0有实根的概率； (2)求ξ的分布列和数学期望；(3)求在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程x 2＋bx ＋c ＝0有实根的概率．8(1)求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率； (2)求p ，q 的值； (3)求数学期望E (ξ)．9．(2010·甘肃省质检)某机械零件加工由2道工序组成，第1道工序的废品率为a ，第2道工序的废品率为b ，假定这2道工序出废品的概率彼此无关，那么产品的合格率是( ) A ．ab －a －b ＋1 B ．1－a －b C ．1－ab D ．1－2ab10．(2010·上海市嘉定区调研)一只不透明的布袋中装有编号为1、2、3、4、5的五个大小形状完全一样的小球，现从袋中同时摸出3只小球，用随机变量X 表示摸出的3只球中的最大号码数，则随机变量X 的数学期望E (X )＝( )A.445B.8310C.72D.9211．(2010·福建福州)在研究性学习的一次活动中，甲、乙、丙、丁、戊五位同学被随机地分配承担H，I，J，K四项不同的任务，每项任务至少安排一位同学承担．(1)求甲、乙两人同时承担H任务的概率；(2)求甲、乙两人不同时承担同一项任务的概率；(3)设这五位同学中承担H任务的人数为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望E(ξ)．12．(2010·云南统考)某单位组织职工参加了旨在调查职工健康状况的测试．该测试包括心理健康测试和身体健康测试两个项目，每个项目的测试结果为A、B、C、D、E五个等级．假设该单位50位职工全部参加了测试，测试结果如下：x表示心理健康测试结果，y表示身体健康测试结果.(1)求a＋b的值；(2)如果在该单位随机找一位职工谈话，求找到的职工在这次测试中，心理健康为D等级且身体健康为C等级的概率；(3)若“职工的心理健康为D等级”与“职工的身体健康为B等级”是相互独立事件，求a、b的值．13．(2010·河北唐山)已知7件产品中有2件次品，现逐一不放回地进行检验，直到2件次品都能被确认为止．(1)求检验次数为4的概率；(2)设检验次数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．14．(2010·浙江金华十校联考)质地均匀的正四面体玩具的4个面上分别刻着数字1,2,3,4，将4个这样的玩具同时抛掷于桌面上．(1)求与桌面接触的4个面上的4个数的乘积不能被4整除的概率；(2)设ξ为与桌面接触的4个面上数字中偶数的个数，求ξ的分布列及期望E(ξ)．15．(2010·河南调研)甲、乙两人进行某项对抗性游戏，采用“七局四胜”制，即先赢四局者为胜，若甲、乙两人水平相当，且已知甲先赢了前两局，求：(1)乙取胜的概率；(2)比赛进行完七局的概率；(3)记比赛局数为ξ，求ξ的分布列及数学期望E(ξ)．。
离散型随机变量
1．离散型随机变量
随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，常用字母X ，Y ，ξ，η，…表示，所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量． 2．离散型随机变量的分布列及性质
(1)一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2，…，x i ，…，x n ，X 取每一个值x i (i ＝1,2，…，n )的概率P (X ＝x i )＝p i ，则表
称为离散型随机变量X 的概率分布列，简称为X 的分布列，有时也用等式P (X ＝x i )＝p i ，i ＝1,2，…，n 表示X 的分布列．
(2)离散型随机变量的分布列的性质 ①p i ≥0，i ＝1,2，…，n ； ② i ＝1n
p i ＝1.
3．常见离散型随机变量的分布列 (1)两点分布
若随机变量X 服从两点分布，即其分布列为
其中p ＝P (X ＝1)称为成功概率． (2)超几何分布
一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则P (X ＝k )＝C k M C n －
k N －M
C n N
，k ＝0,1,2，…，
m ，其中m ＝min{M ，n }，且n ≤N ，M ≤N ，n ，M ，N ∈N *.如果随机变量X 的分布列具有下表形式，。
名词解释离散型随机变量
名词解释离散型随机变量
离散型随机变量是指具有有限个值或有限个可能结果中出现的一种变量，它们
具有离散取值，而不是连续变化。
离散型随机变量既可以是定义在连续变量上的变量，也可以是由其他连续随机变量（如随机变量）组成的变量。
离散型随机变量的应用可以追溯到19世纪的统计学家，他们把随机变量分为
连续型变量和离散型变量，以描述发生在概率范畴里的一些事件。
离散型随机变量是一个很强大的数学概念，已被广泛应用于各种科学领域，其中包括金融、经济学、生物统计学等。
离散型随机变量在统计学中可被描述为某一实验，其值依赖于可能观测到的值，本质上是一种概率分布。
它们利用概率论来表示实验结果的不确定性，可用于估计一种实验事件发生的概率。
更重要的是，它可以用来推断概率分布的特性，如正态分布、对数正态分布等，并估计其概率密度函数的参数值。
离散随机变量的另一个重要应用是描述实验结果的统计特性。
比如，使用它们
可以表示实验组与控制组之间的统计频数，识别两者之间的差异，也可以表示实验组间统计频数之间的相关性，同时绘制实验结果的直方图，使用者可清晰地观察不同状态的变化。
离散型随机变量在相关研究中的作用也受到了人们的广泛关注。
它可以用于识
别某一变量和另一个变量之间的相关性，以及可能的关系，这常常可简化研究者在实验中的观察结果，为深入的研究提供必要的信息。
总之，离散型随机变量具有深远的影响力，它们可以用来描述实验结果的统计
特性，估计概率分布的参数，识别不同变量之间的相关性等，因此离散型随机变量当今全球社会中受到的人们的广泛关注和广泛使用，在不断提升社会生活水平的过程中扮演着重要角色。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
概率与统计
如果不遇雨天则带来经济效益10万元, 如果遇到雨统计表明:
商场内的促销活动可获得经济效益2万元;
天则带来经济损失4万元。
国庆节有雨的概率是40%,
商场应该选择哪种促销方式?
有关部门要了解某地区小学入学新生的体重、身高情况来分析这些学生的身体发育状况。
怎样抽取一部分学校才能较好地反映全体学生的情况?
1.1离散型随机变量的分布列
例：
(1)某人射击一次，可能出现哪些结果
随机变量
可能出现命中0环，命中1环，…, 命中
10环等结果，
即可能出现的结果(环数)可以由0, 1, (10)
这11个数表示;
(2) 某次产品检验，在可能含有次品的100件产品中任意抽取4件，那么其中含有的多少件次品？
其中含有的次品可能是0件，1件，2件，3件，4件,
即可能出现的结果(次品数)可以由0, 1, 2, 3, 4 这5个数表示
新授课
一、如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变
.
量叫做随机变量.
二、对于随机变量可能取的值，我们可以按一定次序一一列出, 这样的随机变量叫做离散型随机变量.
在上面的射击、产品检验等例子中，对于随机变量可能取
的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫
做离散型随机变量.
P5 1v写出下列各随机变量可能取的值，并说明随机变
量所取的值所表示的随机试验的结果；
(1)从10张已编号的卡片(从1号到10号)中任取1张, 被取出的卡片的号数E ；
解：g 可取］,2, 10.
^=1,表示取出第1号卡片；
g=2,表示取出第2号卡；
表示取出第10号卡片；解：£可取1,
2, (10)
§ =i,表示取出第i号卡片;
(2) 一个袋中装有5个白球和5个黑
3个' 其中所含白球的个数§;
解：£可取0, 1, 2, 3・
g = 1 ,表示取出1个白球;
2=3,表示取出3个白球;
练习一
（3）抛掷两个骰子，所得点数之和是J ： 2=0, 表示取出0个白球
4=2, 表示取出2个白球;
解：g 可取2, 3, 4, ... , 12o
g=2,表示两个骰子点数之和是2；
2=3,表示两个骰子点数之和是3；
g=4,表示两个骰子点数之和是4； g=12,表示两个骰子点数之和是12；
(4) 连续不断地射击，首次命中目标需要的射击次数n
〃可取1, 2,…，n f ....
TJ = 1 ,表示第i次首次命中目标。
［补充］某单位的某部电话在单位时间内收到的呼叫次数解：T］可取0, 1, 2, n f ....
rt = i ,表示被呼叫，次。
注1・随机变量分为离散型随机变量和连续型随机
变量。
思考：某林场树木最高达30米，
则此林场树木的高度是一个随机
变量。
它可以取（0, 30］内的一切值, 不
可以按一定次序一一列岀，
考考你:
◎却正芳人的血糖浓度范围是3.5mmol/L…6 Ommol/L 上片，体检时正常人的血糖浓度是否为随机变量？曰上散型随机变量还是连续型随机翁严随机艾里，疋禺
注2•某些随机试验的结果不具备数量性质，但仍可以用数量来表示它。
在姚明的一次罚篮中，可能出现罚中、罚不
中这两种情况。
例如：用变量g来表示这个随机试验的结果：g=0,表示没罚中；2=1,表示罚中。
又如：任掷一枚硬币，可能出现正面向上、反面向上。
用变量C来表示这个随机试验的结果:
E=o，表示正面向上；
三=1，表示反面向上.
注1：随机变量分为离散型随机变量和连续型随机变量。
注2：某些随机试验的结果不具备数量性质, 但仍可以用数量来表示它。
注3：若§是随机变量，则耳十+ b（其中〃是常数）也是随机变量.。