离散数学第十三章 覆盖集,独立集等
集合的划分与覆盖-集合与关系-离散数学
种不同的划分;
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2 4
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4 2
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3
4
3
3
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4个=1个+1个+2个对应
C 6 种不同的划分;
二、最小划分与最大划分
最小划分：划分块最少的划分。即只有一个划分 块的划分，这个划分块就是X本身。 最大划分：划分块最多的划分。即每个划分块里 只有一个元素的划分。 例： A={1,2,3}， S1={{1,2,3}}，S2={{1},{2},{3}}，S3={{1,2},{3}}， S4={{1,2},{2,3}}, S5={{1},{3}} S1,S2,S3是一种划分，其中S1是最小划分，S2是最 大划分。
河南男生 河南女生 非河南男生 非河南女生
称C是X的交叉划分。
第10页
定义3-9.2：若A={A1, A2,... ,Am}与 B={B1,B2,...,Bn}都是集合X的划分，则其中所有 的AiBj，组成的集合C，称为C是A与B两种 划分的交叉划分。 即{ A1,A2,... ,Am}与{B1,B2,...,Bn}的交叉划分是 C={A1B1,A1B2,...,A1Bn, A2B1,A2B2,...,A2Bn ,..., AmB1,AmB2,...,AmBn}
故4个元素的集合总共有 种不同的划分。 1+1+4+3+6=15
第7 页
例、4个元素的集合共有多 少个划分?
1 1 3 2 4 1 3
4个=1个+3个对应
有限覆盖定理通俗理解-概述说明以及解释
有限覆盖定理通俗理解-概述说明以及解释1.引言1.1 概述有限覆盖定理是一种在离散数学和计算机科学领域中广泛运用的重要定理。
这个定理是关于集合的覆盖问题的，它提供了一种有效的方法来找到最小的集合子集，使得这些子集能够完全覆盖原始集合。
这种覆盖问题在实际应用中非常常见，比如在旅行销售员问题、传感器网络覆盖等领域中都有广泛的应用。
在实际生活中，我们经常会面临类似的覆盖问题，比如在进行商品配送时，希望用最少的车辆将商品送到指定的地址；或者在电信网络规划中，想要在一个区域内布置最少的信号塔来覆盖所有的用户。
这时，有限覆盖定理就能够帮助我们解决这些问题。
有限覆盖定理的应用非常广泛，涉及到众多领域。
在计算机科学领域，有限覆盖定理被广泛运用在算法设计、图论、优化问题等方面。
它的应用不仅仅局限在理论研究中，而且在实际应用中也发挥着重要的作用。
本文将对有限覆盖定理进行深入的讲解和探讨。
首先，我们将介绍有限覆盖定理的定义，包括其基本概念和相关术语。
然后，我们将讨论有限覆盖定理在实际问题中的应用，以及它的意义和优势。
最后，我们将总结有限覆盖定理的要点，并对其进行进一步的思考和未来应用的展望。
通过阅读本文，读者将能够对有限覆盖定理有一个全面的理解，并且能够应用它来解决实际问题。
希望本文能为读者提供有关有限覆盖定理的通俗理解，同时也能够激发读者对这一定理的兴趣和思考。
1.2文章结构1.2 文章结构本文将按照以下结构进行讲述有限覆盖定理的通俗理解：第一部分是引言，主要对整篇文章进行概述，介绍有限覆盖定理的背景和重要性等内容，帮助读者对本文的内容有个整体的把握。
第二部分是正文，将详细阐述有限覆盖定理的定义、应用和意义。
2.1节将对有限覆盖定理的定义进行解释和探讨，帮助读者理解有限覆盖定理的基本概念。
2.2节将介绍有限覆盖定理在实际应用中的具体例子，说明该定理在解决实际问题中的重要性和有效性。
2.3节将深入探讨有限覆盖定理的意义，包括其在数学领域中的应用前景以及对其他领域的启示和影响等内容。
图论及其应用(28)
18
拉姆齐数的计算很难，所以研究拉姆齐数的上下界是 该问题的主题。下面综述一些结果。 (1) Erdos教授在1935年提出如下结论： 定理1 对于任意两个正整数m和n, 且m, n≥2,有：
r (m, n) r (m, n 1) r (m 1, n)
并且，如果r (m, n-1)和r (m-1, n)都是偶数，则上面严 格不等式成立。
26
n r (m, n) c ln n
m 1 2
罗瓦斯由此获得1999年度的Wolf奖。这也是图论领域 的重大事件。 1980年，Komlos等得到： 定理7 r (m, n) (5000) m
n m 1
ln n
m2
24
后来，Bollbas教授作了改进： 定理7 r (m, n) c(20) m
15
求(m, n)拉姆齐数是一个非常困难的问题，以至于到目 前为止，求出来的拉姆齐数还屈指可数。 Erdos教授曾经开玩笑：外星人对地球人说：我们要毁 灭你们，除非你们算出了r (5, 5)。地球人讨论后决定， 还是和外星人决以死战算了。 如果用定义直接求r(m, n),一般是先恰当找出一个k阶图 G1,说明它既不含Km，也不含n点独立集，得到r (m, n)>k;然 后再找到一个k+1阶图G2,说明它或者包含Km或者含有n点独 立集，得到r(m, n)≦k+1.
因为，阶数为k，边数为n-k的森林包含k个连通分支。 而F的边数为n - (n- β‵(G)) ，所以F有n- β‵(G)个分支。
8
从F的每个分支中选取一条边，可作成G的一个匹配， 所以α‵(G) ≥ n- β‵(G)。 由上面两个不等式，得到： α‵(G)+ β‵(G)= n。 例1 确定下图G的 α(G)， β(G)， α‵(G) ， β‵(G)。
离散数学覆盖关系
在离散数学中，覆盖关系是一种二元关系，用于描述集合之间的包含关系。
具体而言，给定两个集合A和B，如果每个元素在A中至少与B中的一个元素有关联，那么称B覆盖A，表示为A⊆B。
覆盖关系可以用于研究集合的包含和相互关系。
覆盖关系具有以下性质：
自反性：每个集合都覆盖自身，即A⊆A。
反对称性：如果A覆盖B，且B覆盖A，则A和B是相同的集合，即A=B。
传递性：如果A覆盖B，B覆盖C，则A覆盖C。
在离散数学中，覆盖关系还经常用于讨论集合的最小覆盖和最大覆盖。
最小覆盖是指覆盖关系中包含最少元素的覆盖集合，而最大覆盖则是指包含最多元素的覆盖集合。
覆盖关系在实际应用中有广泛的应用，例如在图论中，覆盖关系可以用来描述图的顶点覆盖和边覆盖问题。
此外，在计算机科学中，覆盖问题也经常出现，如集合覆盖问题、任务调度问题等。
离散数学中的覆盖关系是一种用于描述集合之间包含关系的二元关系，它涉及集合的包含、相等、最小覆盖和最大覆盖等概念，并在各个领域中有广泛的应用。
离散数学sec13 匹配
Hall定理
定理13.11 （Hall定理）设二部图G=<V1,V2,E>中， |V1||V2|. G中存在从V1到V2的完备匹配当且仅当V1中任 意k(k=1,2,…,|V1|)个顶点至少与V2中的k个顶点相邻. 本定理中的条件常称为“相异性条件”. 由Hall定理立刻可 知，上图中(2)为什么没有完备匹配. m个男孩的结婚问题有解 iff 对每个正整数k(1≤k≤m), 任意k个男孩所认识的女孩的总数至少是k个。
证明线索：必要性. 若含可增广交错路径，可生成比M更 大的匹配. 充匹可论分配增为性，广真只 交.. 设 否要 错M则证 路和H明 径M.1|M设分，|=H别此|M=为时1G|不，即[M含H可1中可. M的由增]交必，广错要若路圈性H径=(知的若，匹，存M配M在1=和也)M，最不1其，大含上结 M数与也M相1等的边 （数 因相 为等M与，M且1所均有无交可错增路广径路上径，）M. 与M1中的边
证明见教材.
15
最大匹配与最小边覆盖之间关系(续)
(1)
(2)
图中，红边为匹配M中的边. (1)中匹配是最大匹配. (2)中红 边与绿边组成最小边覆盖W. 反之，由(2)的最小边覆盖W产生(1)中的最大匹配M.
推论 设G是n阶无孤立顶点的图. M为G中的匹配， W是G中的边覆盖，则 |M| |W|，等号成立时，M为 G中完美匹配，W为G中最小边覆盖.
4
点独立集与点独立数
(1)
(2)
在图中，点独立数依次为2, 2
Hale Waihona Puke 5极大独立集与极小支配集
定理13.2 设G=<V,E>中无孤立点，则G的极大顶点 独立集都是极小支配集. 证明线索： (1) 设V*为G的极大顶点独立集，证明它也是支配集.
2010-7-22离散数学模型分析覆盖问题 清晰版
离散数学模型分析——覆盖问题ylyang@youlongy@Email 2010年7月22日时间杨有龙教授报告人2008年国家一等奖西安电子科技大学理学院数学系杨有龙2009年国家二等奖西安电子科技大学理学院数学系杨有龙2009年国家二等奖西安电子科技大学理学院数学系杨有龙2008年陕西省一等奖西安电子科技大学理学院数学系杨有龙2008年陕西省一等奖西安电子科技大学理学院数学系杨有龙2009年陕西省一等奖西安电子科技大学理学院数学系杨有龙2009年陕西省一等奖西安电子科技大学理学院数学系杨有龙2009年国际数模ICM 一等奖西安电子科技大学理学院数学系杨有龙2009年国际数模ICM 二等奖西安电子科技大学理学院数学系杨有龙西安电子科技大学理学院数学系杨有龙近年赛事成绩33(1)2010年321717(2)5(2)13(1)42009年220812(2)33(1)532008年国家三等奖国家二等奖国家一等奖陕西省二等奖陕西省一等奖国家二等奖国家一等奖国际二等奖国际一等奖奖项全国研究生数学建模竞赛全国大学生数学建模竞赛国际大学生数学建模竞赛赛事内容提要背景问题覆盖问题覆盖问题的求解西安电子科技大学理学院数学系杨有龙内容提要背景问题覆盖问题覆盖问题的求解西安电子科技大学理学院数学系杨有龙问题1某城市的城建部门计划在每条街的拐角处或另一个尽头装一个消防水龙头，需要水龙头的个数是多少？请建立模型并给出解决的方案。
西安电子科技大学理学院数学系杨有龙问题2根据菜单和对应的营养表，怎么点菜使得营养全、费用少？西安电子科技大学理学院数学系杨有龙问题2A西班牙煎蛋B炒鸡丁C色拉D牛排E土豆F 洋葱炒肝菜单101516261224欢迎用餐西安电子科技大学理学院数学系杨有龙西安电子科技大学理学院数学系杨有龙1001F 0110E 0001D 1100C 0011B 1101A 矿物质维生素碳水化合物蛋白质营养成分列表内容提要背景问题覆盖问题覆盖问题的求解西安电子科技大学理学院数学系杨有龙2 /30西安电子科技大学理学院数学系杨有龙背景知识——图的表示一个图是由“顶点”集合和“边”集合所构成，边被看成图的不同顶点的无序对.v 5v 1v 4v 2v 3e 2e 7e 3e 4e 6e 5e 1(,)G V E =(,)v w E ∈V E西安电子科技大学理学院数学系杨有龙12345{,,,,}V v v v v v =五个顶点1234567{,,,,,,}E e e e e e e e =七条边西安电子科技大学理学院数学系杨有龙V 1 V 2V 3V 4 V 501001*0110**011***01****0⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠V 1V 2V 3V 4V 5图的表示矩阵用一个上三角形矩阵表示图的顶点之间是否有边相连，若有边则矩阵元素为1，否则为0，此矩阵称为图的表示矩阵。
离散数学 匹配与点独立集
2012-2-3 离散数学 21
让我们去克服新的困难
• • • • • • • • • • 归纳基础 已经建立， 归纳证明也清晰可见。 啊！四分之三的路走完了， 成功的喜悦涌动在我们的心田。 可是第⑷点：能否使得ui和vi配对？ 却又拦在了我们的前面。 这个问题似乎有点麻烦？ 同学们，不要畏惧艰险。 展开那年青活跃的思维翅膀， 勇敢地翱翔在科学技术的辽阔蓝天！
都是杆(即两端点不重合)、且任意两条边均不 邻接(即无公共端点)，则称M为G的一个匹配。
v1 • G的边数最多的匹配称最大匹配。 G v2 v3 • 右图中用粗线表示的边的集合 v6 就是一个匹配，且是最大匹配。 v4 v5 • 最大匹配所含的边数称为最大 v7 v8 匹配数，记为α’(G)。 • 显然对一个图G(p，q)， α’(G) ≤p/2。 • 易知一个图G的匹配可能不唯一。
2012-2-3 离散数学 18
存在S使得O(G–S)=|S|
• 我们先证明⑶： ∃S ：S只含有v1, … ,vn。 • 引理9.1.2：若图G满足条件(9.4)，则∃S⊂V(G)， 使得O(G–S)=|S|。 • 证明：若图G满足条件(9.4)，则图G具有偶数个 G (9.4) G 顶点。任取v∈V(G)，令S={v}，则G–S是奇数 顶点。从而有O(G–S) ≥ 1 = |S|，而由条件(9.4) O(G–S) ≤ | S |可知，O(G–S) = | S |。
2012-2-3 离散数学 16
再考虑完美匹配的必要条件
• G具有完美匹配的必要条件(9.4)是：∀S⊂V(G)， 有O(G–S) ≤| S |。 它会不会也是充分条件呢？ • 再次考虑上图。 若∃S⊂V (G) ，使G–S有： 奇分支 偶分支 • ⑴每个偶分支有完美匹配； • ⑵每个Gi–{vi} G }有完美匹配。 G1 … Gn … v1 vn • ⑶S只含有u1, … ,un； • ⑷能够使得ui和vi配对。 u1… un ·…· S • 则G就具有了完美匹配。 • 条件(9.4)若能保证以上4点，也就是充分条件。
离散数学课件第十三章格与布尔代数-PPT
定理13、5(2)得证明
(2)若就是双射,则就是格同构映射当且仅当x,y∈L1,有 x≤y (x)≤(y)
必要性。由(1)得结论必有 x≤y (x)≤(y)
反之,若(x)≤(y),由于就是同构映射,则 (x∨y)＝(x)∨(y)＝(y)
又由于就是双射,必有x∨y＝y。 从而证明了 x≤y。
例13、7
格得实例
例13、1 设n就是正整数,Sn就是n得正因子得集合。D为整除关 系,则偏序集<Sn,D>构成格。x,y∈Sn, x∨y就是lcm(x,y),即x与y得最小公倍数。 x∧y就是gcd(x,y),即x与y得最大公约数。 下图给出了格<S8,D>,<S6,D>和<S30,D>。
例13、2
例13、2 判断下列偏序集就是否构成格,并说明理由。 (1) <P(B),>,其中P(B)就是集合B得幂集。 (2) <Z,≤>,其中Z就是整数集,≤为小于或等于关系。 (3) 偏序集得哈斯图分别在下图给出。
格得性质
定理11、4 设L就是格,a,b,c,d∈L,若a≤b且c≤d,则 a∧c≤b∧d, a∨c≤b∨d
证明 a∧c≤a≤b a∧c≤c≤d
因此, a∧c≤b∧d。 同理可证 a∨c≤b∨d。
例13、4
例13、4 设L就是格,证明 a,b,c∈L 有 a∨(b∧c)≤(a∨b)∧(a∨c)
证明 由 a≤a,b∧c≤b 得 a∨(b∧c)≤a∨b
定理13、2
a,b,c∈S 有 aRb且bRc ab＝b 且 bc＝c ac＝a(bc) ac＝(ab)c ac＝bc＝c aRc 这就证明了R在S上就是传递得。 综上所述,R为S上得偏序。 以下把R记作≤。
大学_《离散数学》课后习题答案
《离散数学》课后习题答案《离散数学》简介1、集合论部分：集合及其运算、二元关系与函数、自然数及自然数集、集合的基数2、图论部分：图的基本概念、欧拉图与哈密顿图、树、图的矩阵表示、平面图、图着色、支配集、覆盖集、独立集与匹配、带权图及其应用3、代数结构部分：代数系统的基本概念、半群与独异点、群、环与域、格与布尔代数4、组合数学部分：组合存在性定理、基本的计数公式、组合计数方法、组合计数定理5、数理逻辑部分：命题逻辑、一阶谓词演算、消解原理离散数学被分成三门课程进行教学，即集合论与图论、代数结构与组合数学、数理逻辑。
教学方式以课堂讲授为主，课后有书面作业、通过学校网络教学平台发布课件并进行师生交流。
《离散数学》学科内容随着信息时代的到来，工业革命时代以微积分为代表的连续数学占主流的地位已经发生了变化，离散数学的重要性逐渐被人们认识。
离散数学课程所传授的思想和方法，广泛地体现在计算机科学技术及相关专业的诸领域，从科学计算到信息处理，从理论计算机科学到计算机应用技术，从计算机软件到计算机硬件，从人工智能到认知系统，无不与离散数学密切相关。
由于数字电子计算机是一个离散结构，它只能处理离散的或离散化了的数量关系，因此，无论计算机科学本身，还是与计算机科学及其应用密切相关的现代科学研究领域，都面临着如何对离散结构建立相应的数学模型;又如何将已用连续数量关系建立起来的数学模型离散化，从而可由计算机加以处理。
离散数学是传统的逻辑学，集合论(包括函数)，数论基础，算法设计，组合分析，离散概率，关系理论，图论与树，抽象代数(包括代数系统，群、环、域等)，布尔代数，计算模型(语言与自动机)等汇集起来的一门综合学科。
离散数学的应用遍及现代科学技术的诸多领域。
离散数学也可以说是计算机科学的基础核心学科，在离散数学中的有一个著名的典型例子-四色定理又称四色猜想，这是世界近代三大数学难题之一，它是在1852年，由英国的一名绘图员弗南西斯格思里提出的，他在进行地图着色时，发现了一个现象，“每幅地图都可以仅用四种颜色着色，并且共同边界的国家都可以被着上不同的颜色”。
根据离散数学知识点总结
根据离散数学知识点总结离散数学是数学的一个分支，主要研究离散的结构和对象。
它在计算机科学、信息科学和电子工程等领域中扮演着重要的角色。
本文将根据离散数学的知识点进行总结。
一、集合论集合论是离散数学的基础，主要研究集合之间的关系和运算。
其中常用的概念有：- 并集：将两个或多个集合中的元素合并在一起，形成一个包含所有元素的新集合。
- 交集：取两个或多个集合中共有的元素，形成一个新集合。
- 补集：对于给定集合S，补集是指包含所有不属于S的元素的集合。
- 子集：如果一个集合的所有元素都属于另一个集合，那么这个集合是另一个集合的子集。
- 幂集：对于给定集合S，幂集是指包含S的所有子集的集合。
二、逻辑逻辑是研究推理和证明方法的学科。
在离散数学中，逻辑起到了重要的作用。
常见的逻辑概念包括：- 命题逻辑：研究命题之间的关系和运算，例如“与”、“或”、“非”等。
- 谓词逻辑：研究命题中的变量和量词，能够表达更复杂的命题关系。
- 推理规则：用于从已知命题推导出新命题的规则，例如包括假言推理、析取规则等。
三、图论图论是研究图及其性质的学科。
在离散数学中，图论常常用于描述和分析各种关系和网络。
图论的基本概念包括：- 图：由节点和边构成的结构，用于描述事物之间的联系和关系。
- 顶点和边：图中的基本元素，顶点表示节点，边表示节点之间的关系。
- 路径和环：路径是指经过一系列节点和边连接起来的序列，环是指起点和终点相同的路径。
- 连通性：描述图中节点之间连接的特性，如连通图、强连通图等。
四、组合数学组合数学是研究离散结构的组合和排列的学科。
它在离散数学中有广泛的应用。
常见的组合数学概念包括：- 排列：将一组对象按照一定的顺序排列。
- 组合：从一组对象中选择若干对象，不考虑顺序。
- 布尔代数：用于描述逻辑运算和布尔函数的代数系统。
- 生成函数：用多项式表示数列，方便研究其性质和计算。
以上是根据离散数学的知识点进行的简要总结。
离散数学在计算机科学和信息科学中有重要的应用，对于学习和理解这些知识点能够提升对离散结构的认识和应用能力。
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