湖南省郴州市2017-2018学年高二上学期期末考试数学(理)试题Word版含答案
郴州市2017-2018年上学期学科教学状况抽测试卷
高二数学（理科）
一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）。
1．命题“,0x R x ∀∈≥ ”的否定是
A. 0,0x R x ∃∈<
B. 0,0x R x ∃∈≥
C ．,0x R x ∀∉≥
D ．,0x R x ∀∈<
2．与a=（2，-1，2）同向的单位向量为
A ．（2，一1，2）
B ．
C ．
D ．
3．若x ∈R,则“x>5”是“x>3”的
A ．充分不必要条件
B 必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
4.以F(0，
18
)为焦点的抛物线的标准方程是 A ．y 2=4x B ．y 2=2x C ．x 2=2y D ．x 2=4y 5．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，且a=ccosB ，则△ABC 的形状是 A ．直角三角形 B ．等腰三角形
C ．等边三角形
D ．等腰直角三角形
6．我国古代《张邱建算经》中有“分钱问题”，改编如下：“今有与人钱。
初，一人与一钱；次，一人与二钱；次，一人与三钱；以次与之，转多一钱。
与讫，还敛聚与均分之人，人得一百钱。
问人得几何？”意思是说：将钱分给若干人，第一人给1钱，第二人给2钱，第三人给3钱，以此类推，每人比前一人多给1钱，分完后，再把钱收同平均分给各人，结果每人分得100钱，问
有多少人？则题中的人数是
A ．100
B ．195
C ．197
D ．199
7．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 11+7=2a 12，则S 25=
A．145
2
B．145 C．175 D．
175
2
8．如果a<b<0．那么下列不等式成立的是
A．B．ab <b2C．-ab <-a2D．<
9．对于R上可导函数f(x)，若满足(x-3)f '(x）<0，则必有
A．f(2)+f(4)<2f(3) B．f(2）+f(4)>f(0)+f(3)
C．f(2)+f(4)>2 f(3) D．f(1)+f(0)<f（3）+ f(4)
10．已知双曲线E：（a>0，b>0）的右焦点为F，虚轴的一个端点为D，直线l:3x-4y=0 交双曲线于A ,B两点，且|AF|-|BF|=4若点D到直线l的距离不小于，则双曲线E的离心率的取值范围是
A+∞）B．，+∞）C．(1] D．(1)
二、填空题：（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
11．已知命题“若x>l，则x2>1”，在其逆命题，否命题和逆否命题中，真命题的个数
为个．
12．已知实数x,y满足不等式组则z=x+2y的最大值为
13.已知直线l1：x=-l和l2：x-y+4=0，点P是抛物线y2=4x上的动点，点P到l1，l2的距离分别为d1，d2，则d1+d2的最小值为
14．当x>l时，不等式x2-ax+9≥0恒成立，则实数a的取值范围为
15．若直线l与曲线C满足下列两个条件：
(1)直线l在点M（x0，y0）处与曲线C相切；
(2)曲线C在点M附近位于直线l的两侧，则称直线l在点M处“切过”曲线C．
下列命题正确的是（写出所有正确命题的编号）
①直线l:y=0在点M(0，0)处“切过”曲线C：y=x3
②直线l：y=x在点M(0，0)处“切过”曲线C：y=sinx
③直线l：y=x-l在点肘(1，0)处“切过”曲线C：y=lnx
④直线l：y=x+l在点P(0，1)处“切过”曲线C：y=ex
三、解答题（本大题共5小题，共40分。
解答写i出文字说明、证明或验算步骤）16．（本小题满分6分）
在等比数列{a n}中，已知a2=4，a5=32。
(1)求数列{a n}的通项公式；
(2)若a4、a7分别为等差数列{b n}的第1项和第15项，试求数列{b n}的前n项和S n．17．（本小题满分8分）
在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，(c-2b )cosA +acosC=0．(1)求角A的大小；
(2)若，△ABC的面积ABC的周长．
18.（本小题满分8分）
如图，在四棱锥P-A BCD中，四边形4BCD为正方形，三角形
PAD为正三角形，且∠BAP=90°．其中AB=2
(1)证明：平面PAD⊥平ABCD;
(2)求二面角D-PA -C的余弦值．
19．（本小题满分8分）．
已知点0)在离心率为1
2
的椭圆C1：上．抛物线C2：x2=2py(p>0)
的焦点与椭圆的一个焦点重合．
(1)求C1，C2的标准方程；
(2)设抛物线C2的焦点为F，过点F斜率为k的直线l与C2交于A、B两点，问：是否在x轴上存在一点M，使得直线MA、MB的斜率之和与k的比值为定值？若存在，请求出该定值：若不存在，请说明理由．
20.（本小题满分10分）
已知函数f(x）= 1
2
ax+lnx - 2x（a为实数）
(1)当a=l时，求函数y= f(x)在x=l处的切线方程；
(2)讨论函数y= f(x)的单调性．。
20182019学年湖南省郴州市高二(上)期末数学试卷(理科) .doc
感谢你的观看2018-2019学年湖南省郴州市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.命题“∀x∈R，都有x2≤1”的否定是()A. ∃x0∈R，使得x02<1B. ∀x∈R，都有x≤−1或x≥1C. ∃x0∈R，使得x02>1D. ∃x0∈R，使得x02≥1【答案】C【解析】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“∀x∈R，都有x2≤1”的否定是∃x0∈R，使得x02>1．故选：C．直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．本题考查的知识点是命题的否定，其中熟练掌握全称命题：“∀x∈A，P(x)”的否定是特称命题：“∃x∈A，非P(x)”，是解答此类问题的关键．2.在△ABC中，若a=bcosC，则△ABC是()A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 等腰三角形【答案】C【解析】解：由余弦定理得cosC=a2+b2−c22ab，把cosC代入a=bcosC得：a=b⋅a2+b2−c22ab=a2+b2−c22a，∴2a2=a2+b2−c2，∴a2+c2=b2，即三角形为直角三角形．故选：C．根据余弦定理表示出cosC，代入已知的等式中，化简后即可得到a，b，c满足勾股定理，进而得到此三角形为直角三角形．此题考查了余弦定理，以及三角形的形状判定，利用余弦定理表示出cosC是本题的突破点．3.△ABC中，AB=3，BC=13，AC=4，则角A的大小是()A. 60∘B. 90∘C. 120∘D. 135∘【答案】A【解析】解：∵在△ABC中，AB=c=3，BC=a=13，AC=b=4，∴由余弦定理得：cosA=b2+c2−a22bc=16+9−132×4×3=12，∵A∈(0∘,180∘)，则A=60∘．故选：A．利用余弦定理表示出cosA，把三边长代入求出cosA的值，即可确定出A的度数．此题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键，属于基础题．4.若a<b<0，则下列不等式成立的是()A. ab<b2B. 1a>1bC. ab>a2D. |a|<|b|【答案】B【解析】解：若a<b<0，不妨设a=−2，b=−1代入各个选项，错误的是A、C、D，故选：B．该题是选择题，可利用排除法，数可以是满足a<b<0任意数，代入后看所给等式是否成立，即可得到正确选项．本题主要考查了比较大小，利用特殊值法验证一些式子错误是有效的方法，属于基础题．感谢你的观看5.抛物线y2=8x的焦点到双曲线x2−y23=1的一条渐近线的距离为()A. 1B. 2C. 3D. 23【答案】C【解析】解：抛物线y2=8x的焦点为(2,0)，双曲线x2−y23=1的一条渐近线为y=3x，则焦点到渐近线的距离为d=|23|3+1=3．故选：C．求出抛物线的焦点和双曲线的渐近线方程，再由点到直线的距离公式计算即可得到所求．本题考查抛物线和双曲线的性质，主要考查渐近线方程和焦点坐标，运用点到直线的距离公式是解题的关键．6.古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，该女子第二天织布多少尺？()A. 531B. 1031C. 9D. 10【答案】B【解析】解：根据题意，该女子每天织的布组成等比数列，且其公比为2，设该等比数列为{an}，又由她5天共织布5尺，则S5=a1(1−25)1−2=5，解可得a1=531，则a1=a1×q=531×2=1031，故选：B．根据题意，分析可得该女子每天织的布组成等比数列，且其公比为2，设该等比数列为{an}，由等比数列的前n项和公式可得S5=a1(1−25)1−2=5，解可得a1的值，结合等比数列的通项公式计算可得答案．本题考查等比数列的求和，涉及数列的应用，关键是建立等比数列的数学模型．7.对于实数x，规定[x]表示不大于x的最大整数，那么不等式4[x]2−63[x]+45<0成立的x的取值范围是()A. [1,15)B. [2,8]C. [2,8)D. [2,15)【答案】A【解析】解：解4[x]2−63[x]+45<0得，34<[x]<15；∵[x]表示不大于x的最大整数；∴1≤x<15；∴x的取值范围是[1,15)．故选：A．可解关于[x]的一元二次不等式不等式4[x]2−63[x]+45<0得到34<[x]<15，从而得出1≤x<15，即得出x的范围．考查一元二次不等式的解法，知道[x]表示不超过x的最大整数．8.若AB是过椭圆x28+y24=1中心的弦，F1为椭圆的焦点，则△F1AB面积的最大值为()A. 4B. 8C. 12D. 24【答案】A【解析】解：根据题意，椭圆的方程为x28+y24=1，其中a=22，b=2，则c=8−4=2，设F1为椭圆的右焦点，其坐标为(2,0)，椭圆的中心为(0,0)，若AB是过椭圆x28+y24=1中心的弦，则A、B关于原点对称，设A的坐标(x,y)，则B的坐标为(−x,−y)，△F1AB面积S=S△AOF1+S△BOF1=12×|OF1|×|y|+12×|OF1|×|−y|=2|y|，第2页，共7页感谢你的观看当A点在椭圆的顶点，即|y|=2时，其△F1AB面积最大，此时S=2×2=4，故选：A．根据题意，由椭圆的方程求出a、b 、c 的值，设F1为椭圆的右焦点，其坐标为(2,0)，再设A的坐标(x,y)则根据对称性得：B(−x,−y)，再表示出△F1AB面积，由图知，当A 点在椭圆的顶点时，其△F1AB面积最大，最后结合椭圆的标准方程即可求出△F1AB 面积的最大值．本题考查椭圆的几何性质，注意椭圆的对称性，属于简单题．9.设函数f(x)在R上可导，其导函数为，且函数f(x)在x=−2处取得极大值，则函数的图象可能是()A. B.C. D.【答案】D【解析】解：∵函数f(x)在R上可导，其导函数f′(x)，且函数f(x)在x=−2处取得极大值，∴当x>−2时，f′(x)<0；当x=−2时，f′(x)=0；当x<−2时，f′(x)>0．∴当0>x>−2时，xf′(x)>0；x>0时，xf′(x)<0；当x=−2时，xf′(x)=0；当x<−2时，xf′(x)<0．故选：D．由题设条件知：当0>x>−2以及x>0时，xf′(x)的符号；当x=−2时，xf′(x)=0；当x<−2时，xf′(x)符号.由此观察四个选项能够得到正确结果．本题考查利用导数研究函数的极值的应用，解题时要认真审题，注意导数性质和函数极值的性质的合理运用．10.已知等比数列{an}的前n项和Sn=t⋅2n−1−12，则函数f(x)=(x+5)2x+t(x>0)的最小值为()A. 9B. 12C. 16D. 25【答案】C【解析】解：当n≥2时，an=Sn−Sn−1=t⋅2n−1−12−t⋅2n−2+12=t⋅2n−1−t⋅2n−2=2t⋅2n−2−t⋅2n−2=t⋅2n−1，当n=1时，a1=S1=t−12，而当n=1时，t⋅21−2=t2，则满足t−12=t2，即t2=12，得t=1，则f(x)=(x+5)2x+t=(x+5)2x+1=(x+1+4)2x+1=(x+1)2+8(x+1)+16x+1=(x+1)+8+1 6x+1≥8+2(x+1)⋅16x+1=8+8=16，当且仅当x+1=16x+1，即x+1=4，x=3时，取等号，即f(x)的最小值为16，故选：C．根据等比数列的前n项和公式，求出t的值，结合基本不等式的性质进行转化求解即可．本题主要考查函数最值的求解，结合等比数列的性质以及分式函数分子常数法转化为感谢你的观看基本不等式形式是解决本题的关键．二、填空题（本大题共5小题，共20.0分）11.若函数f(x)=x ，是f(x)的导函数，则的值是______．【答案】12【解析】解：根据题意，函数f(x)=x=x12，其导数f′(x)=12x，则f′(1)=12，故答案为：12根据题意，求出函数f(x)的导数，将x=1代入导数的解析式，计算可得答案．本题考查函数导数的计算，关键是掌握函数导数的计算公式，属于基础题．12.已知集合A={x|−1<x<2}，B={x|−1<x<m+1}，若x∈A是x∈B成立的一个充分不必要条件，则实数m的取值范围是______．【答案】【解析】解：由x∈A是x∈B成立的一个充分不必要条件，得：A⊊B，即m+1>2m+1>−1，即m>1，故答案为：(1,+∞)．由充分必要条件与集合的关系得：A⊊B，列方程组运算得解本题考查了充分必要条件与集合的关系，属简单题．13.已知P(x,y)是抛物线y2=−8x的准线与双曲线x2−y2=1的两条渐近线所围成的三角形平面区域内(含边界)的任意一点，则z=2x−y的最大值为______．【答案】6【解析】解：三角形平面区域(含边界)如下图所示，该区域为△OAB，联立x+y=0x=2，得y=−2x=2，当直线z=2x−y经过可行域上的点A时，直线z=2x−y在x轴上的截距最大，此时，z 取最大值，即zmax=2×2−(−2)=6．故答案为：6．作出可行域，并求出可行域的各顶点坐标，将直线z=2x−y进行平移，观察直线经过哪个顶点时，该直线在x轴上的截距最大，此时，z取最大值，再将相应顶点的坐标代入即可得出的答案．本题考查抛物线的性质，考查线性规划问题，考查计算能力，属于中等题．14.若数列{an}中，a1=3，an=1−1an−1(n≥2)，则a2018=______．【答案】【解析】解：数列{an}中，a1=3，an=1−1an−1(n≥2)，当n=2时，a2=1−1a1=23，当n=3时，a3=1−1a2=−12，当n=4时，a4=1−1a3=3，当n=5时，a5=1−1a4=23，第4页，共7页感谢你的观看故数列的周期为3，所以：2018÷3=672×3+2，故：a2018=a2=23，故答案为：23．直接利用赋值法求出数列的周期，进一步求出结果．本题考查的知识要点：数列的递推关系式的应用，数列的周期的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题．15.△ABC的顶点分别为A(1,−1,2)，B(3,0，−5)，C(1,3，−1)，则AC边上的高BD等于______．【答案】29【解析】解：△ABC的顶点分别为A(1,−1,2)，B(3,0，−5)，C(1,3，−1)，∴AB=(2,1，−7)，AC=(0,4，−3)，∴AC边上的高：BD=|AB|⋅1−[cos<AB,AC>]2=54×1−(2554⋅25)2=29．故答案为：29．推导出AB=(2,1，−7)，AC=(0,4，−3)，AC边上的高：BD=|AB|⋅1−[cos<AB,AC>]2，由此能求出结果．本题考查三角形的高的求法，考查点到直线的距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．三、解答题（本大题共5小题，共40.0分）16.在△ABC中，AC=52，cosC=35，B=π4．(1)求AB的长；(2)求△ABC的面积S△ABC．【答案】解：(1)在△ABC中，∵cosC=35，∴sinC=1−cos2C=45．由正弦定理可得ACsinB=ABsinC，∴AB=AC⋅sinCsinB=8．(2)在△ABC中，A=π−(B+C)．∴sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=7210．△ABC的面积S△ABC=12×AB×AC×sinA=12×52×8×7210=28．【解析】(1)求得sinC，利用正弦定理求出AB的值即可；(2)求出sinA的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积．此题考查了正弦定理，三角形面积公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．17.如图，正三棱柱ABC−A1B1C1(底面为正三角形，侧棱和底面垂直)的所有棱长都为2，D为CC1的中点，O为BC中点．(1)求证：BD⊥平面AOB1．(2)求平面AOB1与平面ACC1A1所成锐二面角的余弦值．感谢你的观看【答案】证明：(1)∵△ABC是正三角形，O为BC中点，∴AO⊥BC，∵在正三棱锥ABC−A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，平面ABC∩平面BCC1B1=BC，∴AO⊥平面BCC1B1，∴AO⊥BD，∵正方形BCC1B1中，△BCD≌△B1BO，∴∠BOB1+∠OBD=∠CDB+∠OBD=90∘，∴B1O⊥BD，∵AO∩B1O=O，∴BD⊥平面AOB1．解：(2)设B1C1中点为O1，由(1)知可取O为原点，分别取OB，OO1，OA为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则B(1,0，0)，D(−1,1，0)，A1(0,2，3)，A(0,0，3)，C(−1,0，0)，∴AA1=(0,2，0)，CA=(1,0，3)，BD=(−2,1，0)，∵BD⊥平面AOB1.∴BD=(−2,1，0)是平面AOB1的一个法向量，设平面ACC1A1的法向量n=(x,y，z)，则n⋅AA1=2y=0n⋅CA=x+3z=0，取z=−1，得n=(3,0,−1)，设平面AOB1与平面ACC1A1所成锐二面角为θ，则cosθ=|BD⋅n||BD|⋅|n|=155，∴平面AOB1与平面ACC1A1所成锐二面角的余弦值为155．【解析】(1)推导出AO⊥BC，AO⊥BD，B1O⊥BD，由此能证明BD⊥平面AOB1．(2)设B1C1中点为O1，取O为原点，分别取OB，OO1，OA为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面AOB1与平面ACC1A1所成锐二面角的余弦值．本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．18.已知等差数列{an}的公差d≠0，它的前n项和为S，若S3=12，且a2，a6，a18成等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设数列{2Sn}的前n项和为Tn，求证：1≤Tn<2．【答案】解：(1)S3=12，即3a1+3d=12，①a2，a6，a18成等比数列，可得a62=a2a18，即有(a1+5d)2=(a1+d)(a1+17d)，②由①②解得a1=d=2，则an=2n：(2)证明：2Sn=2n(n+1)=2(1n−1n+1)，则前n项和为Tn=2(1−12+12−13+…+1n−1n+1)=2(1−1n+1)，由{Tn}为递增数列，可得Tn≥T1=1，Tn<2，即有1≤Tn<2．【解析】(1)运用等差数列的通项公式和求和公式，结合等比数列的中项性质，可得首项和公差的方程，解方程即可得到所求通项公式；(2)求得2Sn=2n(n+1)=2(1n−1n+1)，由数列的裂项相消求和，化简可得所求和，由数列的单调性即可得证．本题考查等差数列的通项公式和求和公式，考查等比数列中项性质，以及数列的裂项相消求和，数列的单调性的运用，考查化简运算能力，属于中档题．19.已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为32，且过点A(2,0)．(1)求椭圆E的标准方程；(2)问：是否存在过点M(0,2)的直线l，使以直线l被椭圆E所截得的弦CD为直径的圆过点N(−1,0)，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．【答案】解：(1)由题意过点A(2,0)，则a=2，∵椭圆的离心率e=ca=32，则c=3，b2=a2−c2=1，∴椭圆的标准方程：x24+y2=1(2)当直线l的斜率不存在时，直线l即为y轴，第6页，共7页感谢你的观看此时C，D为椭圆C的短轴端点，以CD为直径的圆经过点N(−1,0)；当直线l的斜率存在时，设其斜率为k，由x2+4y2=4y=kx+2，得(1+4k2)x2+16kx+12=0，所以△=(16k)2−48(1+4k2)=64k2−48>0．设C(x1,y1)，D(x2,y2)，则x1+x2=−16k1+4k2x1x2=121+4k2而y1y2=(kx1+2)(kx2+2)=k2x1x2+2k(x1+x2)+4，因为以CD为直径的圆过定点N(−1,0)，所以CN⊥DN，则CN⋅DN=0，即(x1+1)(x2+1)+y1y2=0．所以(k2+1)x1x2+(2k+1)(x1+x2)+5=0.②将①式代入②式整理解得k=1716.满足△>0．上可知，存在直线l：x=0或17x−16y+32=0：，使得以CD为直径的圆经过点N(−1,0)．【解析】(1)根据椭圆的离心率公式及椭圆过点A，即可求得a和b的值，即可求得椭圆方程；(2)讨论直线l的斜率不存在，求得C，D的坐标，可得符合题意；设直线的斜率存在，设为y=kx+2，代入椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于0，由以CD为直径的圆过定点N(−1,0)，可得CN⊥DN，由向量的数量积的坐标表示，解方程可得所求斜率，即可判断存在性．本题考查椭圆方程的求法，注意运用椭圆的离心率公式和点到直线的距离公式，考查直线方程的求法，注意讨论直线的斜率是否存在，以及联立方程运用韦达定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题20.已知函数f(x)=axlnx图象上在点(1,f(1))处的切线与直线y=−12x垂直．(1)求函数f(x)的解析式；(2)若对所有x≥1都有f(x)−mx+2≥0，求实数m的取值范围．【答案】解：(1)函数f(x)=axlnx的导数为f′(x)=a(1+lnx)，图象上在点(1,f(1))处的切线斜率为a，由切线与直线y=−12x垂直，可得a=2，即f(x)=2xlnx；(2)所有x≥1都有f(x)−mx+2≥0，即为2xlnx−mx+2≥0，即有m≤2lnx+2x在x≥1恒成立，设g(x)=2lnx+2x，g′(x)=2x−2x2=2(x−1)x2，由x≥1可得g′(x)≥0，g(x)递增，可得g(x)的最小值为g(1)=2，则m≤2，即m的取值范围是(−∞,2]．【解析】(1)求得函数的导数，可得切线的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为−1，即可得到a，进而得到所求解析式；(2)由题意可得2xlnx−mx+2≥0，即有m≤2lnx+2x在x≥1恒成立，设g(x)=2lnx+2x，求得导数和单调性、最小值，即可得到所求范围．本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调性、最值，考查不等式恒成立问题解法，注意运用参数分离和构造函数法，考查运算能力，属于中档题．感谢你的观看2018-2019学年七年级第一学期期末调研地理试卷参考答案2019.126．（13分，每空1分）（1）②→③→④（2）①；冬至(或冬至日)；南回归线(或23.5°S)；极夜（3）昼短夜长；D（4）Anna；David；彤彤（5）A（6）A；Anna所处的悉尼位于南半球，双十一活动时此地为夏季，因此当季急需购买的物品为防暑防晒的物品。
2017-2018学年湖南省郴州市高二上学期期中联考数学(理)试题5
高二上学期期中联考数学（理）试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.） 1.已知集合A ＝{x |x 2－x －2＜0}，B ＝{x |－1＜x ＜1}，则( ) A. B A ⊆B.φ=B AC.B A =D.B A ⊇2.设Z x ∈，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集.若命题B x A x P ∈∈∀2,:，则（ ） A ．B x A x p ∈∈∃⌝2,: B ．B x A x p ∈∉∃⌝2,: C ．B x A x p ∉∈∃⌝2,: D ．B x A x p ∉∉∃⌝2,:3.命题“若022=+b a ，则0=a 且0=b ”的逆否命题是（ ）A ．若022≠+b a ，则0≠a 且0≠b B ．若022≠+b a ，则0≠a 或0≠b C ．若0=a 且0=b ，则022≠+b a D ．若0≠a 或0≠b ，则022≠+b a 4.在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝6，AC ＝8，则△ABC 的形状是( ) A ． 锐角三角形 B ． 直角三角形 C ． 钝角三角形 D ． 非钝角三角形 5.设等比数列{}n a 满足3,13121-=--=+a a a a ，则=4a （ ）A. 8B.8-C. 4D.4- 6.由命题p ：“函数xy 1=是减函数”与q ：“数列 ,,,32a a a 是等比数列”构成的复合命题，下列判断正确的是( )A ．p 或q 为真，p 且q 为假，非p 为真B ．p 或q 为假，p 且q 为假，非p 为真C ．p 或q 为真，p 且q 为假，非p 为假D ．p 或q 为假，p 且q 为真，非p 为真7.已知双曲线)0,0(1222>>=-b a by a x 的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，则双曲线的离心率e 为( )A ． 2B ． 3C ．34 D ．358.如果方程13422=-+-m y m x 表示椭圆，则m 的取值范围是（ ）A ．)4,3(且27≠m B ．),4()3,(+∞-∞ C ．),4(+∞ D ．)3,(-∞ 9.与圆122=+y x 及圆012822=+-+x y x 都外切的圆的圆心在（ ） A ．一个椭圆上 B ．双曲线的一支上 C.一条双曲线上 D ．一个圆上10.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且)(12*∈-=N n a S n n ，则5a ＝( )． A ．－16B ．16C ．31D ．3211.若n m ,为非零向量，则“存在负数λ，使得n m λ=”是“0<∙n m ”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C. 充要条件 D ．既不充分也不必要条件12.已知F 是椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的右焦点，点P 在椭圆C 上， 线段PF 与圆93222b yc x =+⎪⎭⎫ ⎝⎛-相切于点Q ，且QF PQ 2=，则椭圆C 的离心率等于( )．A. 35 B.32 C.22D.21二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.设y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥+≤+01212y x y x y x ，则y x z 23-=的最小值为 .14.双曲线13422=-y x 的渐进线方程是 ． 15.已知0,0>>y x 且1=+y x ，则yx 28+的最小值为________.16.下列命题中，正确命题的序号是 ．（把所有正确命题的序号都写上）①已知集合{}{}3,2,1,,1==B a A ，则“3=a ”是“B A ⊆”的充分不必要条件； ②“0<x ”是“0)1ln(<+x ”的必要不充分条件；③“函数ax ax x f 22sin cos )(-=的最小正周期为π”是“1=a ”的充要条件；④“平面向量b a ,的夹角是钝角”的充要条件是“0a b <”. 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.(10分）已知在ABC ∆中，2,72,0cos 3sin ===+b a A A （1）求B sin 的值 （2）求c .18.（12分）已知数列{}n a 的前n 项和n s ，且342,02+=+>n n n n s a a a（1）求{}n a 的通项公式； （2）设11+=n n n a a b ，求n b 的前n 项和n T19.（12分）某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F （单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/时）与车流速度v （假设车辆以相同速度v 行驶，单位：米/秒），平均车长l （单位：米）的值有关，其公式为lv v vF 2018760002++=；（1）如果不限定车型，l ＝6.0 5，求最大车流量为多少辆/时；（2）如果限定车型，l ＝5，则最大车流量比（1）中的最大车流量增加多少辆/时.20．（12分）已知二次函数)0(2)(2>++=m nx mx x f （1）若不等式0)(<x f 的解集是（1，2），求n m ,的值. （2）若2+=m n ，解关于x 的不等式0)(≥x f .21（12分）已知命题039,:≥--∈∀a R x p x x ，命题:q 02)12(,22≤++++∈∃a x a x R x ,若q p ∨为假命题，求实数a 的取值范围.22. （12分）如图，设椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，上顶点为A ，左、右焦点分别为21,F F ,线段21,OF OF 的中点分别为21,B B ，且21B AB ∆是面积为4的直角三角形．(1)求该椭圆的离心率和标准方程；(2)过1B 作直线l 交椭圆于Q P ,两点，使22QB PB ⊥，求直线l 的方程．参考答案一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D CDCBBDABBAA二、填空题13. - 5 14 x y 23±= 15 18 16 ①②三解答题17、解析（1)ABC ∆中，,0cos 3sin =+A A 32,3tan π=∴-=∴A A 由正弦定理得1421sin ,sin 232sin 72=∴=B B π 5分 (2) 由余弦定理得32cos 42)72(cos 2222222πc c A bc c b a -+=∴-+= 解得6-=c （舍去）或4=c 10分 18、19、 解析 (1)当l ＝6.05时，F ＝76 000vv2＋18v ＋20×6.05 ，∴F ＝76 000v v2＋18v ＋121＝76 000v ＋121v＋18≤7 60002v ·121v＋18＝1 900，当且仅当v ＝121v ，即v ＝11时取“＝”.∴最大车流量F 为1 900辆/时. 6分(2)当l ＝5时，F ＝76 000v v2＋18v ＋20×5＝76 000v ＋100v ＋18，∴F ≤76 0002v ·100v＋18＝2 000，当且仅当v ＝100v ，即v ＝10时取“＝”.∴最大车流量比(1)中的最大车流量增加2 000－1 900＝100辆/时. 12分20、解析（1）因为022<++nx mx 的解集为()2,1所以022=++nx mx 的两个解为1和2，所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==m n m 322，求得3,1-==n m 5分（2）若2+=m n ，不等式为02)2(2≥+++x m mx 即()()012≥++x mx ①当2=m 时，()0)1(12≥++x x 恒成立，解集为R ②当20<<m 时，12-<-m，不等式为02)2(2≥+++x m mx 的解集为][),12,+∞-⎝⎛-∞- m ③当2>m 时，12->-m ，不等式为02)2(2≥+++x m mx 的解集为(][),21,+∞--∞-m7分 21、解析 p 真得039≥--a x x 恒成立，令xt 3=，则)0(02>≥--t a t t 恒成立所以)0(2>-≤t t t a 恒成立，所以41)(min 2-=-≤t t a ，所以41-≤a q 真得02)12(22≤++++a x a x 有解，所以0)2(4)12(22≥+-+=∆a a ，所以47≥a 又q p ∨为假，所以q p ,都 为假，则有⎪⎩⎪⎨⎧<>241a a ，得241<<a 即a 的取值范围为⎪⎭⎫⎝⎛2,4112分22、解析 (1) 如图，设所求椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)，右焦点为F2(c,0)．因△AB1B2是直角三角形， 又|AB1|＝|AB2|， 故∠B 1AB 2为直角， 因此|OA|＝|OB 2|，得b ＝c2.结合c 2＝a 2－b 2得4b 2＝a 2－b 2，故a 2＝5b 2，c 2＝4b 2，所以离心率e ＝c a ＝25 5.在Rt △AB 1B 2中，OA ⊥B 1B 2，故S △AB1B2＝12·|B 1B 2|·|OA|＝|OB 2|·|OA|＝c 2·b ＝b 2.由题设条件S △AB1B2＝4得b 2＝4，从而a2＝5b 2＝20.因此所求椭圆的标准方程为：x220＋y24＝1. 5分(2)由(1)知B 1(－2,0)，B 2(2,0)．由题意知直线l 的倾斜角不为0，故可设直线l 的方程为x ＝my －2.代入椭圆方程得(m2＋5)y2－4my －16＝0. 设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，则y 1，y 2是上面方程的两根， 因此y 1＋y 2＝4m m2＋5，y 1·y 2＝－16m2＋5，又B2P →＝(x1－2，y1)，B2Q →＝(x2－2，y2)， 所以B2P →·B2Q →＝(x1－2)(x2－2)＋y1y2＝(my1－4)(my2－4)＋y1y2＝(m2＋1)y1y2－4m(y1＋y2)＋16 ＝－16 m2＋1 m2＋5－16m2m2＋5＋16＝－16m2－64m2＋5，由PB 2⊥QB 2，得B2P →·B2Q →＝0， 即16m 2－64＝0，解得m ＝±2.所以满足条件的直线有两条，其方程分别为x ＋2y ＋2＝0和x －2y ＋2＝0. 12分。
湖南省郴州市2017-2018学年高三数学二模试卷(理科) Word版含解析
2017-2018学年湖南省郴州市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.1．若复数z满足zi=1﹣i，则z的共轭复数是（）A．﹣1﹣i B．1﹣i C．﹣1+i D．1+i2．若A={x|x2+2x﹣8＜0}，B={x|x＜1}，则图中阴影部分表示的集合为（）A．（﹣4，1] B．（1，2）C．[1，2）D．（﹣4，1）3．如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（）A．B．C．D．4．某全日制大学共有学生5400人，其中专科生有1500人，本科生有3000人，研究生有900人．现采用分层抽样的方法调查学生利用因特网查找学习资料的情况，抽取的样本为180人，则应在专科生、本科生与研究生这三类学生中分别抽取（）A．55人，80人，45人B．40人，100人，40人C．60人，60人，60人D．50人，100人，30人5．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列中正确的是（）A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n B．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥nC．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β6．直线与圆O：x2+y2=4交于A、B两点，则=（）A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣47．某班5位同学分别选择参加数学、物理、化学这3个学科的兴趣小组，每人限选一门学科，则每个兴趣小组都至少有1人参加的不同选择方法种数为（）A．150 B．180 C．240 D．5408．如图，椭圆+y2=1的左、右焦点分别为F1，F2，短轴端点分别为B1，B2，现沿B1B2将椭圆折成120°角（图二），则异面直线F1B2与B1F2所成角的余弦值为（）A．0 B．C．D．﹣9．在区间[﹣1，1]上任取两数m和n，则关于x的方程x2+mx+n=0的两根都是负数的概率（）A．B．C．D．10．设点P是曲线C：y=x3﹣x+上的任意一点，曲线C在P点处的切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（）A．[π，π）B．（，π]C．[0，）∪[π，π） D．[0，）∪[π，π）11．已知倾斜角为的直线与双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）相交于A，B两点，M（4，2）是弦AB的中点，则双曲线C的离心率是（）A．B．C．2 D．12．已知定义在R上的函数f（x）满足f（2）=1，且f（x）的导数f′（x）在R上的恒有f′（x）＜（x∈R），则不等式f（x2）＜+的解集为（）A．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）B．（﹣2，2）C．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）D．（﹣，）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共25分.13．已知四边形ABCD满足|AB|=|AD|，|CD|=且∠BAD=60°，﹣=，那么四边形ABCD的面积为．14．记不等式组所表示的平面区域为D．若直线y=a（x+1）与D有公共点，则a的取值范围是．15．一个空间几何体的三视图如图所示，且这个空间几何体的所有顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是．16．已知函数f（x）=asinx+bcosx（其中ab≠0）且对任意的x∈R，有f（x）≤f（），给出以下：①a=b；②f（x+）为偶函数；③函数y=f（x）的图象关于点（，0）对称；④函数y=f′（x）的图象可由函数y=f（x）的图象向左平移得到；⑤函数f（x）在y轴右侧的图象与直线y=的交点按横坐标从小到大依次为P1，P2，P3，P4，…，则|P2P4|=2π．其中正确的序号是．（将所有正确的序号都填上）三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x﹣，x∈R．（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；（2）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c=，f（C）=0，sinB=2sinA，求△ABC的面积S．18．已知数列{a n}满足a1=3，且对任意的正整数m，n都有a n+m=a n•a m，若数列{b n}满足b n=n ﹣1+log3a n，{b n}的前n项和为B n．（Ⅰ）求a n和B n；（Ⅱ）令c n=a n•b n，d n=，数列{c n}的前n项和为S n，数列{d n}的前n项和为T n，分别求S n和T n．19．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是菱形，且∠ABC=60°，侧面PAD是边长为2的正三角形且与底面ABCD垂直．（Ⅰ）求证：BC⊥PC；（Ⅱ）线段PC上是否存在点M，使得二面角P﹣AD﹣M的平面角余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．20．已知函数（1）若x=1是函数f（x）的极大值点，求函数f（x）的单调递减区间；（2）若恒成立，求实数ab的最大值．21．已知椭圆Γ的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线y=x2的焦点．（1）求椭圆Γ的标准方程；（Ⅱ）Q为椭圆Γ的左顶点，直线l经过点（﹣，0）与椭圆Γ交于A，B两点．（1）若直线l垂直于x轴，求∠AQB的大小；（2）若直线l与x轴不垂直，是否存在直线l使得△QAB为等腰三角形？如果存在，求出直线l的方程；如果不存在，请说明理由．22．已知a为实数，函数f（x）=alnx+x2﹣4x．（Ⅰ）是否存在实数a，使得f（x）在x=1处取极值？证明你的结论；（Ⅱ）若函数f（x）在[2，3]上存在单调递增区间，求实数a的取值范围；（Ⅲ）设g（x）=（a﹣2）x，若存在x0∈[，e]，使得f（x0）≤g（x0）成立，求实数a 的取值范围．2016年湖南省郴州市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.1．若复数z满足zi=1﹣i，则z的共轭复数是（）A．﹣1﹣i B．1﹣i C．﹣1+i D．1+i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由复数z满足zi=1﹣i，可得z，从而求出即可．【解答】解：∵复数z满足zi=1﹣i，∴z===﹣1﹣i，故=﹣1+i，故选：C．2．若A={x|x2+2x﹣8＜0}，B={x|x＜1}，则图中阴影部分表示的集合为（）A．（﹣4，1] B．（1，2）C．[1，2）D．（﹣4，1）【考点】Venn图表达集合的关系及运算．【分析】先观察Venn图，由图可知阴影部分表示的集合为（C R B）∩A，根据集合的运算求解即可．【解答】解：A={x|x2+2x﹣8＜0}=（﹣4，2），∵B={x|x＜1}，∴C R B=[1，+∞），∴（C R B）∩A=[1，2）．故选：C．3．如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（）A．B．C．D．【考点】程序框图．【分析】模拟程序图框的运行过程，得出当n=8时，不再运行循环体，直接输出S值．【解答】解：模拟程序图框的运行过程，得；该程序运行后输出的是计算S=++=．故选：D．4．某全日制大学共有学生5400人，其中专科生有1500人，本科生有3000人，研究生有900人．现采用分层抽样的方法调查学生利用因特网查找学习资料的情况，抽取的样本为180人，则应在专科生、本科生与研究生这三类学生中分别抽取（）A．55人，80人，45人B．40人，100人，40人C．60人，60人，60人D．50人，100人，30人【考点】分层抽样方法．【分析】先根据总体数和抽取的样本，求出每个个体被抽到的概率，用每一个层次的数量乘以每个个体被抽到的概率就等于每一个层次的值．【解答】解：每个个体被抽到的概率为=，∴专科生被抽的人数是×1500=50，本科生要抽取×3000=100，研究生要抽取×900=30，故选：D．5．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列中正确的是（）A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n B．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥nC．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；的真假判断与应用；平面与平面之间的位置关系．【分析】由α⊥β，m⊂α，n⊂β，可推得m⊥n，m∥n，或m，n异面；由α∥β，m⊂α，n ⊂β，可得m∥n，或m，n异面；由m⊥n，m⊂α，n⊂β，可得α与β可能相交或平行；由m⊥α，m∥n，则n⊥α，再由n∥β可得α⊥β．【解答】解：选项A，若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则可能m⊥n，m∥n，或m，n异面，故A 错误；选项B，若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n，或m，n异面，故B错误；选项C，若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α与β可能相交，也可能平行，故C错误；选项D，若m⊥α，m∥n，则n⊥α，再由n∥β可得α⊥β，故D正确．故选D．6．直线与圆O：x2+y2=4交于A、B两点，则=（）A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4【考点】平面向量数量积的运算；直线与圆相交的性质．【分析】先求圆心到直线的距离，再求弦心距所在直线与AO的夹角，然后求数量积．【解答】解：圆O：x2+y2=4的圆心是（0，0），由此知圆心到直线的距离是=＜2所以直线与圆相交故AB=2=2=r，所以∠AOB=所以=2×2×cos=2故选A7．某班5位同学分别选择参加数学、物理、化学这3个学科的兴趣小组，每人限选一门学科，则每个兴趣小组都至少有1人参加的不同选择方法种数为（）A．150 B．180 C．240 D．540【考点】计数原理的应用．【分析】根据题意，分析有将5位同学分成满足题意的3组有1，1，3与2，2，1两种，分别计算可得分成1、1、3与分成2、2、1时的分组情况种数，进而相加可得答案．【解答】解：将5位同学分成满足题意的3组有1，1，3与2，2，1两种，分成1、1、3时，有C53•A33=60种，分成2、2、1时，有=90种，所以共有60+90=150种，故选：A．8．如图，椭圆+y2=1的左、右焦点分别为F1，F2，短轴端点分别为B1，B2，现沿B1B2将椭圆折成120°角（图二），则异面直线F1B2与B1F2所成角的余弦值为（）A．0 B．C．D．﹣【考点】椭圆的简单性质．【分析】由OF1⊥B1B2，OF2⊥B1B2，可得∠F1OF2为二面角F1﹣B1B2﹣F2的平面角，即为120°，求得椭圆的a，b，c，运用向量的夹角公式可得cos＜，＞=，计算即可得到所求异面直线所成的角的余弦值．【解答】解：由OF1⊥B1B2，OF2⊥B1B2，可得∠F1OF2为二面角F1﹣B1B2﹣F2的平面角，即为120°，椭圆+y2=1中a=，b=1．c=，可得B1F2=B2F1==，=+，=+，•=•+•+•+•=﹣1+0+0+••（﹣）=﹣2，即有cos＜，＞===﹣，可得异面直线F1B2与B1F2所成角的余弦值为．故选：C．9．在区间[﹣1，1]上任取两数m和n，则关于x的方程x2+mx+n=0的两根都是负数的概率（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】根据几何概型的概率公式，利用积分求出对应区域的面积进行求解即可．【解答】解：∵区间[﹣1，1]上任取两数m和n，∴，对应的区域为正方形，面积S=2×2=4，若方程x2+mx+n=0的两根都是负数，则，即，作出不等式组对应的平面区域如图：则对应的面积S=∫dm=m3|=，则对应的概率P==，故选：A．10．设点P是曲线C：y=x3﹣x+上的任意一点，曲线C在P点处的切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（）A．[π，π）B．（，π]C．[0，）∪[π，π） D．[0，）∪[π，π）【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求函数的导数，利用导数的几何意义求出切线斜率的取值范围，结合正切函数的图象和性质进行求解即可．【解答】解：函数的导数f′（x）=3x2﹣，则f′（x）=3x2﹣≥﹣，即tanα≥﹣，则0≤α＜或π≤α＜π，故角α的取值范围是[0，）∪[π，π），故选：D11．已知倾斜角为的直线与双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）相交于A，B两点，M（4，2）是弦AB的中点，则双曲线C的离心率是（）A．B．C．2 D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），根据AB的中点P的坐标，表示出斜率，从而得到关于a、b的关系式，再求离心率．【解答】解：∵倾斜角为的直线与双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）相交于A，B两点，∴直线的斜率k=tan=，设A（x1，y1），B（x2，y2），则﹣=1，①；﹣=1，②，①﹣②得=，则k==•∵M（4，2）是AB的中点，∴x1+x2=8，y1+y2=4，∵直线l的斜率为，∴=•，即=，则b2=a2，c2=a2+b2=（1+）a2，∴e2=1+==（）2．则e=故选：D．12．已知定义在R上的函数f（x）满足f（2）=1，且f（x）的导数f′（x）在R上的恒有f′（x）＜（x∈R），则不等式f（x2）＜+的解集为（）A．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）B．（﹣2，2）C．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）D．（﹣，）【考点】利用导数研究函数的单调性；不等式的综合．【分析】由f′（x）＜，构造辅助函数g（x）=f（x）﹣x，求导，利用导数判断函数单调递减，根据f（2）=1，求得g（2）=，根据f（x2）＜+，将其转换成g（x2）＜g （2），根据函数单调性即可求得不等的解集．【解答】解：f′（x）＜（x∈R），f′（x）﹣＜0，设g（x）=f（x）﹣x，g′（x）=f′（x）﹣＜0，∴g（x）是R上的减函数，g（2）=g（2）﹣=，∴f（x2）＜+，g（x2）=f（x2）﹣＜=g（2），∴x2＞2，解得：x＞或x＜﹣，∴原不等式的解集为（﹣∞，﹣）∪（，+∞）．故答案选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共25分.13．已知四边形ABCD满足|AB|=|AD|，|CD|=且∠BAD=60°，﹣=，那么四边形ABCD的面积为．【考点】向量的线性运算性质及几何意义．【分析】由题意作图辅助，从而可判断四边形为直角梯形，从而求其面积．【解答】解：由题意作图如右图，∵﹣==，∴BC∥AD且|BC|=|AD|，又∵|AB|=|AD|，且∠BAD=60°，∴|AE|=|AB|=|AD|，∴|BC|=|DE|，∴BCDE是平行四边形，∴CD∥BE，∴DC⊥AD，∵|CD|=，∴|AB|=|AD|=2，∴S==，故答案为：．14．记不等式组所表示的平面区域为D．若直线y=a（x+1）与D有公共点，则a的取值范围是[，4]．【考点】简单线性规划．【分析】本题考查的知识点是简单线性规划的应用，我们要先画出满足约束条件的平面区域，然后分析平面区域里各个角点，然后将其代入y=a（x+1）中，求出y=a（x+1）对应的a的端点值即可．【解答】解：满足约束条件的平面区域如图示：因为y=a（x+1）过定点（﹣1，0）．所以当y=a（x+1）过点B（0，4）时，得到a=4，当y=a（x+1）过点A（1，1）时，对应a=．又因为直线y=a（x+1）与平面区域D有公共点．所以≤a≤4．故答案为：[，4]15．一个空间几何体的三视图如图所示，且这个空间几何体的所有顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是16π．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知，几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是边长为3的正三角形，侧棱长是2，根据三棱柱的两个底面的中心的中点与三棱柱的顶点的连线就是外接球的半径，求出半径即可求出球的表面积．【解答】解：由三视图知，几何体是一个三棱柱ABC﹣A1B1C1，三棱柱的底面是边长为3的正三角形ABC，侧棱长是2，三棱柱的两个底面的中心连接的线段MN的中点O与三棱柱的顶点A的连线AO就是外接球的半径，∵△ABC是边长为3的等边三角形，MN=2，∴AM=，OM=1，∴这个球的半径r==2，∴这个球的表面积S=4π×22=16π，故答案为：16π．16．已知函数f（x）=asinx+bcosx（其中ab≠0）且对任意的x∈R，有f（x）≤f（），给出以下：①a=b；②f（x+）为偶函数；③函数y=f（x）的图象关于点（，0）对称；④函数y=f′（x）的图象可由函数y=f（x）的图象向左平移得到；⑤函数f（x）在y轴右侧的图象与直线y=的交点按横坐标从小到大依次为P1，P2，P3，P4，…，则|P2P4|=2π．其中正确的序号是①②④⑤．（将所有正确的序号都填上）【考点】的真假判断与应用．【分析】由三角函数的最大值相等列式判断①；利用辅助角公式化简代值判断②；求出得值判断③；求导后利用函数的图象平移判断④；由函数图象平移周期不变判断⑤【解答】解：①f（x）=asinx+bcosx=，∵对任意的x∈R，有f（x）≤f（），∴，则2a2+2b2=（a+b）2，∴（a﹣b）2=0，则a=b，故①正确；②∵f（x）=asinx+bcosx=a（sinx+cosx）=，∴f（x+）=，∴f（x+）为偶函数，故②正确；③∵=≠0，故③错误；④y=f′（x）=acosx﹣asinx==，而f（x+）==，故④正确；⑤由f（x）的周期为2π，而f（x）=是把向左平移个单位得到的，∴|P2P4|=2π，故⑤正确．故答案为：①②④⑤．三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x﹣，x∈R．（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；（2）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c=，f（C）=0，sinB=2sinA，求△ABC的面积S．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（1）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=sin（2x﹣）﹣1，由周期公式可求最小正周期，由2k，k∈Z 可解得单调递增区间．（2）由f（C）=sin（2C﹣）﹣1=0，可得sin（2C﹣）=1，解得C的范围利用正弦函数的图象和性质即可求得C的值，由sinB=2sinA，利用正弦定理，余弦定理即可解得a，b，根据三角形面积公式即可得解．【解答】解：（1）∵f（x）=sin2x﹣cos2x﹣=sin2x﹣=sin（2x﹣）﹣1，…∴最小正周期T=，．由2k，k∈Z 得k，k∈Z，∴f（x）的最小正周期为π，单调递增区间为[k，k]（k∈Z）．…（2）f（C）=sin（2C﹣）﹣1=0，则sin（2C﹣）=1，∵0＜C＜π，∴0＜2C＜2π，∴﹣，∴2C﹣=，∴C=，…∵sinB=2sinA，由正弦定理，得，①由余弦定理，得c2=a2+b2﹣2abcos，即a2+b2﹣ab=3，②由①②解得a=1，b=2．∴S△ABC==．…18．已知数列{a n}满足a1=3，且对任意的正整数m，n都有a n+m=a n•a m，若数列{b n}满足b n=n ﹣1+log3a n，{b n}的前n项和为B n．（Ⅰ）求a n和B n；（Ⅱ）令c n=a n•b n，d n=，数列{c n}的前n项和为S n，数列{d n}的前n项和为T n，分别求S n和T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（I）对任意的正整数m，n都有a n+m=a n•a m，可得a n+1=a n•a1=3a n，利用等比数列的通项公式可得a n．可得b n，即可得出{b n}的前n项和为B n．（II）c n=（2n﹣1）•3n．利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式可得S n．d n===，利用“裂项求和”即可得出．【解答】解：（I）∵对任意的正整数m，n都有a n+m=a n•a m，∴a n+1=a n•a1=3a n，∴数列{a n}是等比数列，公比为3，首项为3，∴a n=3n．∴b n=n﹣1+log3a n=n﹣1+n=2n﹣1，∴{b n}的前n项和为B n==n2．（II）c n=a n•b n，=（2n﹣1）•3n．∴数列{c n}的前n项和为S n=3+3×32+5×33+…+（2n﹣1）•3n，∴3S n=32+3×33+…+（2n﹣3）•3n+（2n﹣1）•3n+1，∴﹣2S n=3+2（32+33+…+3n）﹣（2n﹣1）•3n+1=﹣3﹣（2n﹣1）•3n+1=（2﹣2n）•3n+1﹣6，∴S n=（n﹣1）•3n+1+3．d n===，当n=1时，d1=；当n≥2时，T n=+++…++=﹣﹣．当n=1时也成立，∴T n=﹣﹣．19．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是菱形，且∠ABC=60°，侧面PAD是边长为2的正三角形且与底面ABCD垂直．（Ⅰ）求证：BC⊥PC；（Ⅱ）线段PC上是否存在点M，使得二面角P﹣AD﹣M的平面角余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（Ⅰ）取AD中点O，连结OP，OC，以O为原点，OC为x轴，OD为y轴，OP 为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明BC⊥PC．（Ⅱ）设M（a，b，c），由=λ可得点M的坐标为M（λ，0，﹣λ），求出平面AMD的法向量和平面PAD的法向量，由此利用向量法能求出结果．【解答】（Ⅰ）证明：取AD中点O，连结OP，OC，∵侧面PAD是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是∠ABC=60°的菱形，∴△ADC是等边三角形，PO、AD、CO两两垂直，以O为原点，OC为x轴，OD为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，由题意得P（0，0，），C（，0，0），B（，﹣2，0），=（0，﹣2，0），=（﹣，0，），∴=0，∴CB⊥CP．（Ⅱ）解：假设存在符合要求的点M，令=λ（0≤λ≤1），则=λ=λ（，0，﹣），可得M（λ，0，﹣λ），∴=（λ，1，﹣λ），=（λ，﹣1，﹣λ），设平面MAD的法向量为=（x，y，z），则，令z=λ，得=（λ﹣1，0，λ），显然平面PAD的一个法向量为=（，0，0），∵二面角P﹣AD﹣M的平面角余弦值为，∴|=，∴λ=或λ=﹣1（舍去）∴线段PC上存在点M，=时，使得二面角P﹣AD﹣M的平面角余弦值为．20．已知函数（1）若x=1是函数f（x）的极大值点，求函数f（x）的单调递减区间；（2）若恒成立，求实数ab的最大值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数在某点取得极值的条件．【分析】（1）求导数，利用x=1是函数f（x）的极大值点，确定a的范围，即可得到函数f （x）的单调递减区间；（2）构造函数，确定函数的单调性，可得函数的最值，即可得到结论．【解答】解：（1）求导数可得，f′（x）=∵x=1是函数f（x）的极大值点，∴0＜a＜1∴函数f（x）的单调递减区间为（0，a），（1，+∞）；（2）∵恒成立，∴alnx﹣x+b≤0恒成立，令g（x）=alnx﹣x+b，则g′（x）=∴g（x）在（0，a）上单调递增，在（a，+∞）上单调递减∴g（x）max=g（a）=alna﹣a+b≤0∴b≤a﹣lna，∴ab≤a2﹣a2lna令h（x）=x2﹣x2lnx（x＞0），则h′（x）=x（1﹣2lnx）∴h（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减∴h（x）max=h（）=，∴ab≤即ab的最大值为．21．已知椭圆Γ的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线y=x2的焦点．（1）求椭圆Γ的标准方程；（Ⅱ）Q为椭圆Γ的左顶点，直线l经过点（﹣，0）与椭圆Γ交于A，B两点．（1）若直线l垂直于x轴，求∠AQB的大小；（2）若直线l与x轴不垂直，是否存在直线l使得△QAB为等腰三角形？如果存在，求出直线l的方程；如果不存在，请说明理由．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（I）设椭圆的标准方程为：，根据条件列方程组解出a，b即可；（II）（1）把x=﹣代入椭圆方程解出A，B坐标，根据三角形的边长即可求出∠AQB；（2）设AB斜率为k，联立方程组求出A，B坐标的关系，通过计算=0得出，则当△QAB为等腰直角三角形时，取AB中点N，则QN⊥AB，计算QN的斜率判断是否为﹣即可得出结论．【解答】解：（I）设椭圆的标准方程为：，（a＞b＞0）．抛物线y=x2的焦点为（0，1），∴，解得a2=4，∴椭圆Γ的标准方程为+y2=1．（II）Q（﹣2，0），设A（x1，y1），B（x2，y2），（1）当直线l垂直于x轴时，直线l的方程为x=﹣．则直线l与x轴交于M（﹣，0）．联立方程组，解得或．不妨设A在第二象限，则A（﹣，），B（﹣，﹣）．∴|QM|=|AM|=．∴∠AQM=45°，∴∠AQB=2∠AQM=90°．（2）当直线l与x轴不垂直时，设直线l方程为y=k（x+）（k≠0）．联立方程组，消元得（25+100k2）x2+240k2x+144k2﹣100=0．∴x1+x2=，x1x2=．y1y2=k2（x1+）（x2+）=﹣•+．∵=（x1+2，y1），=（x2+2，y2），∴=x1x2+2（x1+x2）+4+y1y2=﹣+4+﹣•+=0．∴QA⊥QB，即△QAB是直角三角形．假设存在直线l使得△QAB是等腰直角三角形，则|QA|=|QB|．取AB的中点N，连结QN，则QN⊥AB．又x N=（x1+x2）=﹣=﹣，y N=k（x N+）=．∴k QN=，∴k QN•k AB=≠﹣1．∴QN与AB不垂直，矛盾．∴直线l与x轴不垂直，不存在直线l使得△QAB为等腰三角形．22．已知a为实数，函数f（x）=alnx+x2﹣4x．（Ⅰ）是否存在实数a，使得f（x）在x=1处取极值？证明你的结论；（Ⅱ）若函数f（x）在[2，3]上存在单调递增区间，求实数a的取值范围；（Ⅲ）设g（x）=（a﹣2）x，若存在x0∈[，e]，使得f（x0）≤g（x0）成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求得函数的定义域，求导，假设存在实数a，使f（x）在x=1处取极值，则f′（1）=0，解出a的值，根据x=1的左右单调性是否相同，即可判断x=1是不是极值点；（Ⅱ）先求出f（x）的导数，将问题转化成，a≥2﹣2（x﹣1）2，在x∈[2，3]有解，构造辅助函数，利用函数的求得φ（x）=2﹣2（x﹣1）2的最小值，即可求得a的取值范围．（Ⅲ）在[1，e]上存在一点x0，使得f（x0）＜g（x0）成立，即在[，e]，上存在一点x0，使得G（x0）＜0，即函数G（x）在[，e]，上的最小值小于零．对G（x）求导．求出G（x）的最小值，即可a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=+2x﹣4=，假设存在实数a，使得f（x）下x=1处取极值，则f′（1）=0，∴a=2，此时，f（x）=，∴当0＜x＜1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x＞1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，∴x=1不是f（x）的极值点，故不存在实数a，使得f（x）=1处取极值．（Ⅱ）f′（x）==（x＞0），问题等价于，存在x∈[2，3]，使得f′（x）≥0，即a≥2﹣2（x﹣1）2，在x∈[2，3]有解，∴φ（x）=2﹣2（x﹣1）2，在[2，3]上递减，∴φmin=φ（3）=﹣6，∴a＞﹣6；（Ⅲ）记F（x）=x﹣lnx，∴F′（x）=（x＞0），∴当0＜x＜1，F′（x）＜0，F（x）单调递减；当x＞1时，F′（x）＞0，F（x）单调递增；∴F（x）≥F（1）=1＞0，即x＞lnx，（x＞0），由f（x0）≤g（x0）得：（x0﹣lnx0）a≥x02﹣2x0，∴a≥，记G（x）=，x∈[，e]，G′（x）==，x∈[，e]，∴2﹣2lnx=2（1﹣lnx）≥0，∴x﹣2lnx+2＞0，∴x∈（，e）时，G′（x）＜0，G（x）递减，x∈（1，e）时，G′（x）＞0，G（x）递增，∴a≥G（x）min=G（1）=﹣1，故实数a的取值范围为[﹣1，+∞）．2016年8月1日。
湖南省郴州市高二上学期期末数学试卷(理科)
湖南省郴州市高二上学期期末数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）(2017·湘潭模拟) “m=0”是“直线x+y﹣m=0与圆（x﹣1）2+（y﹣1）2=2相切”的（）A . 充要条件B . 充分不必要条件C . 必要不充分条件D . 既不充分也不必要条件2. （2分）已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，则该双曲线的离心率为（）A .B .C .D .3. （2分）若两个不同平面，的法向量分别为，，则（）A .B .C . ，相交但不垂直D . 以上均不正确4. （2分） (2016高一下·邵东期中) 设单位向量，的夹角为60°，则向量3 +4 与向量的夹角的余弦值是（）A .B .C .D .5. （2分）若方程表示双曲线，则实数k的取值范围是（）A . 2<k<5B . k>5C . k<2或k>5D . 以上答案均不对6. （2分）下列命题中为真命题的是（）A . 命题“若，则”的逆命题B . 命题“若，则或”的否命题C . 命题“若，则”D . 命题“若，则函数没有零点”的逆否命题7. （2分）已知P是椭圆+=1上的一点，F1、F2是该椭圆的两个焦点，若△PF1F2的内切圆的半径为，则tan∠F1PF2=（）A .B .C .D .8. （2分）若=（1，﹣2，2）是平面α的一个法向量，则下列向量能作为平面α法向量的是（）A . （1，﹣2，0）B . （0，﹣2，2）C . （2，﹣4，4）D . （2，4，4）9. （2分） (2017高二上·太原期末) 已知两条直线a，b和平面α，若b⊂α，则a∥b是a∥α的（）A . 充分但不必要条件B . 必要但不充分条件C . 充要条件D . 既不充分又不必要条件10. （2分） (2016高一下·淄川期中) 正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，AB′与A′C′所在直线的夹角为（）A . 30°B . 60°C . 90°D . 45°11. （2分） (2017高二上·湖南月考) 双曲线的左右焦点分别为是右支上一点，且，直线与圆相切，则的离心率为（）A .B .C .D .12. （2分） (2015高三上·石景山期末) 如图，在等腰梯形ABCD中，，E，F分别是底边AB，CD的中点，把四边形BEFC沿直线EF折起，使得面BEFC⊥面ADFE，若动点P∈平面ADFE，设PB，PC与平面ADFE 所成的角分别为θ1 ，θ2（θ1 ，θ2均不为0）．若θ1=θ2 ，则动点P的轨迹为（）A . 直线B . 椭圆C . 圆D . 抛物线二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2016高二下·信宜期末) 已知抛物线C：x2=4y的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与抛物线C的一个交点，若 =4 ，则|QF|=________．14. （1分）下列四个命题中，真命题有________．(写出所有真命题的序号)①若a，b，c∈R，则“ac2＞bc2”是“a＞b”成立的充分不必要条件；②命题“∃x0∈R，＋x0＋1＜0”的否定是“∀x∈R，x2＋x＋1≥0”；③命题“若|x|≥2，则x≥2或x≤－2”的否命题是“若|x|＜2，则－2＜x ＜2”；④函数f(x)＝ln x＋x－在区间(1,2)上有且仅有一个零点．15. （1分）如图，在正方体中，用，，作为基向量，则 =________.16. （1分） (2017高一上·白山期末) 以下命题中，正确命题的序号是________．①函数y=tanx在定义域内是增函数；②函数y=2sin（2x+ ）的图象关于x= 成轴对称；③已知 =（3，4），• =﹣2，则向量在向量的方向上的投影是﹣④如果函数f（x）=ax2﹣2x﹣3在区间（﹣∞，4）上是单调递减的，则实数a的取值范围是（0， ]．三、解答题 (共6题；共50分)17. （5分）命题：“若m≤0，或n≤0，则m+n≤0”．（1）写出上面命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断它们的真假；（2）说明原命题中条件与结论的充分性与必要性．18. （10分）(2017·湖北模拟) 已知抛物线C：x2=2y的焦点为F，过抛物线上一点M作抛物线C的切线l，l交y轴于点N．（1）判断△MFN的形状；（2）若A，B两点在抛物线C上，点D（1，1）满足 + = ，若抛物线C上存在异于A，B的点E，使得经过A，B，E三点的圆与抛物线在点E处的有相同的切线，求点E的坐标．19. （10分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD，AB=4，BC=3，AD=5，PA=4，∠DAB=∠ABC=90°，E 是CD的中点．（1）求异面直线BC与PD所成角的正切值；（2）求证：CD⊥PE．20. （10分） (2016高一下·滁州期中) 已知数列{an}满足a1=1，an= （n∈N* ，n≥2），数列{bn}满足关系式bn= （n∈N*）．（1）求证：数列{bn}为等差数列；（2）求数列{an}的通项公式．21. （5分）(2017·鞍山模拟) 已知几何体ABCDEF中，AB∥CD，AD⊥DC，EA⊥平面ABCD，FC∥EA，AB=AD=EA=1，CD=CF=2．（Ⅰ）求证：平面EBD⊥平面BCF；（Ⅱ）求点B到平面ECD的距离．22. （10分）已知椭圆C的中心为原点O，长轴在x轴上，离心率e= ，过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于A，A'两点，|AA'|= ．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线l与圆O：x2+y2=1相交于不同的两点E，F，与椭圆C相交于不同的两点G，H，求△OEF的面积最大时弦长|GH|的取值范围．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共50分) 17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、22-1、22-2、。
2017-2018学年高二上期末数学试卷(含答案解析)
2017-2018学年高二（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）在等差数列51、47、43，…中，第一个负数项为（）A．第13项 B．第14项 C．第15项 D．第16项2．（5分）在△ABC中，已知a2=b2+c2+bc，则角A为（）A．B．C． D．或3．（5分）已知命题p：??{0}，q：{1}∈{1，2}，由它们组成的“ｐ∨q”，“ｐ∧q”形式的复合命题中，真命题有（）个．和“?p”A．0 B．1 C．2 D．34．（5分）双曲线=﹣1的渐近线方程是（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x5．（5分）在△ABC中，a=8，B=60°，C=75°，则b=（）A．B．C．D．6．（5分）设a＞0，b＞0．若是3a与3b的等比中项，则的最小值为（）A．8 B．4 C．1 D．7．（5分）如果等差数列{a n}中，a3+a4+a5=12，那么a1+a2+…+a7=（）A．14 B．21 C．28 D．358．（5分）准线方程为x=1的抛物线的标准方程是（）A．y2=﹣2x B．y2=﹣4x C．y2=2x D．y2=4x9．（5分）若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，则p的值为（）A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．410．（5分）”ｍ＞n＞0”是”方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件11．（5分）已知函数f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，那么函数f（x）的图象最有可能的是（）A．B．C．D．12．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=4x+2y的最大值为（）A．12 B．10 C．8 D．2二、填空题（每题5分，共20分）13．（5分）数列{a n}的通项公式是a n=（n∈N*），则a3=．14．（5分）求y=x3+3x2+6x﹣10的导数y′＝．15．（5分）若在△ABC中，∠A=60°，b=1，S△ABC=，则=．﹣sinx；③（）16．（5分）有下列命题：①（log a x）；②（cosx）′＝；其中是真命题的有：．（把你认为正确命题的序号都填上）三、解答题（本大题共7小题，满分70分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤）17．（10分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是．（1）求sinC的值；（2）求△ABC的面积．18．（12分）命题p：方程x2+mx+1=0有两个不等的正实数根；命题q：方程4x2+4（m+2）x+1=0无实数根，若“ｐ或q”为真命题，求m的取值范围．19．（12分）已知函数f（x）=ax3﹣3x2+x+b，其中a，b∈R，a≠0，又y=f（x）在x=1处的切线方程为2x+y+1=0，求函数f（x）的解析式．20．（12分）已知函数f（x）=x3﹣3x，求函数f（x）在[﹣3，]上的最大值和最小值．21．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，满足S n=2a n﹣2n（n∈N+），令b n=．（1）求证：数列{b n}为等差数列；（2）求数列{a n}的通项公式．22．（12分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P 在此椭圆上，且PF1⊥F1F2，|PF1|=，|PF2|=．（1）求椭圆的方程；（2）若直线l过圆x2+y2+4x﹣2y=0的圆心M且交椭圆于A，B两点，且A，B关于点M对称，求直线l的方程．23．（理科）如图，在三棱锥A﹣BCD中，侧面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜边，且AD=，BD=CD=1，另一个侧面ABC是正三角形．（1）求证：AD⊥BC；（2）求二面角B﹣AC﹣D的余弦值．2017-2018学年甘肃省白银市高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）在等差数列51、47、43，…中，第一个负数项为（）A．第13项 B．第14项 C．第15项 D．第16项【解答】解：因为数列51、47、43，…为等差数列，所以公差d=47﹣51=﹣4，首项为51，所以通项a n=51+（n﹣1）×（﹣4）=55﹣4n所以令55﹣4n＜0解得n＞，因为n为正整数，所以最小的正整数解为14，所以第一个负数项为第14项故选B2．（5分）在△ABC中，已知a2=b2+c2+bc，则角A为（）A．B．C． D．或【解答】解：由a2=b2+c2+bc，则根据余弦定理得：cosA===﹣，因为A∈（0，π），所以A=．故选C3．（5分）已知命题p：??{0}，q：{1}∈{1，2}，由它们组成的“ｐ∨q”，“ｐ∧q”和“?p”形式的复合命题中，真命题有（）个．A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：因为??{0}，所以命题p为真．因为：{1}?{1，2}，所以命题q为假．所以p∨q为真，p∧q为假，?p为假．故真命题的个数为1个．故选B．4．（5分）双曲线=﹣1的渐近线方程是（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x【解答】解：化已知双曲线的方程为标准方程，可知焦点在y轴，且a=3，b=2，故渐近线方程为y==故选A5．（5分）在△ABC中，a=8，B=60°，C=75°，则b=（）A．B．C．D．【解答】解：由内角和定理得：A=180°﹣60°﹣75°=45°，根据正弦定理得：=，又a=8，sinA=，sinB=，则b===4．故选C6．（5分）设a＞0，b＞0．若是3a与3b的等比中项，则的最小值为（）A．8 B．4 C．1 D．【解答】解：因为3a?3b=3，所以a+b=1，，当且仅当即时“=”成立，故选择B．7．（5分）如果等差数列{a n}中，a3+a4+a5=12，那么a1+a2+…+a7=（）A．14 B．21 C．28 D．35【解答】解：a3+a4+a5=3a4=12，a4=4，∴a1+a2+…+a7==7a4=28故选C8．（5分）准线方程为x=1的抛物线的标准方程是（）A．y2=﹣2x B．y2=﹣4x C．y2=2x D．y2=4x【解答】解：由题意可知：=1，∴p=2且抛物线的标准方程的焦点在x轴的负半轴上故可设抛物线的标准方程为：y2=﹣2px将p代入可得y2=﹣4x．故选：B．9．（5分）若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，则p的值为（）A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4【解答】解：由椭圆a=，b=，c2=a2﹣c2=4，则椭圆的焦点右焦点F（2，0），由抛物线y2=2px的焦点，则=2，则p=4，故选：D．10．（5分）”ｍ＞n＞0”是”方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：将方程mx2+ny2=1转化为，根据椭圆的定义，要使焦点在y轴上必须满足，且，即m＞n＞0反之，当m＞n＞0，可得出＞0，此时方程对应的轨迹是椭圆综上证之，”ｍ＞n＞0”是”方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的充要条件故选C．11．（5分）已知函数f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，那么函数f（x）的图象最有可能的是（）A．B．C．D．【解答】解：由导函数图象可知，f（x）在（﹣∞，﹣2），（0，+∞）上单调递减，在（﹣2，0）上单调递增，故选A．12．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=4x+2y的最大值为（）A．12 B．10 C．8 D．2【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=4x+2y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点C时，直线y=﹣2x+的截距最大，此时z最大．由，解得，即C（2，1），代入目标函数z=4x+2y得z=4×2+2×1=10．即目标函数z=4x+2y的最大值为10．故选：B二、填空题（每题5分，共20分）13．（5分）数列{a n}的通项公式是a n=（n∈N*），则a3=．【解答】解：∵a n=（n∈N*），∴a3==，故答案为：．14．（5分）求y=x3+3x2+6x﹣10的导数y′＝3x2+6x+6，．【解答】解：函数的导数为y′=3x2+6x+6，故答案为：3x2+6x+6，15．（5分）若在△ABC中，∠A=60°，b=1，S△ABC=，则=．【解答】解：由∠A=60°，得到sinA=，cosA=，又b=1，S△ABC=，∴bcsinA=×1×c×=，解得c=4，根据余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=1+16﹣4=13，解得a=，根据正弦定理====，则=．故答案为：﹣sinx；③（）16．（5分）有下列命题：①（log a x）；②（cosx）′＝；其中是真命题的有：②．（把你认为正确命题的序号都填上）【解答】解：①（log a x）′＝；故①错误，﹣sinx；故②正确，②（cosx）′＝③（）′＝，故③错误，故真命题为②，故答案为：②三、解答题（本大题共7小题，满分70分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤）17．（10分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是．（1）求sinC的值；（2）求△ABC的面积．【解答】解：（1）在△ABC中，cosA=．B=则：sinA=，所以：sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，=．（2）利用正弦定理得：，由于：B=，b=，sinA=，解得：a=，所以：，=．18．（12分）命题p：方程x2+mx+1=0有两个不等的正实数根；命题q：方程4x2+4（m+2）x+1=0无实数根，若“ｐ或q”为真命题，求m的取值范围．【解答】解：∵“ｐ或q”为真命题，则p，q中至少有一个为真命题，当p为真命题时，则，解得m＜﹣2，当q为真命题时，则△=16（m+2）2﹣16＜0，得﹣3＜m＜﹣1．当p真q假时，得m≤﹣3．当q真p假时，得﹣2≤m＜﹣1．当p真q真时，﹣3＜m＜﹣2综上，m＜﹣1．∴m的取值范围是（﹣∞，﹣1）．19．（12分）已知函数f（x）=ax3﹣3x2+x+b，其中a，b∈R，a≠0，又y=f（x）在x=1处的切线方程为2x+y+1=0，求函数f（x）的解析式．【解答】解：函数f（x）=ax3﹣3x2+x+b，则：f′（x）=3ax2﹣6x+1，由于：y=f（x）在x=1处的切线方程为2x+y+1=0，则：f′（1）=﹣2，即：3a﹣6+1=﹣2，解得：a=1．又：当x=1时，y=﹣3，则（1，﹣3）满足函数f（x）=x3﹣3x2+x+b，解得：b=﹣2．故函数的解析式为：f（x）=x3﹣3x2+x﹣2．20．（12分）已知函数f（x）=x3﹣3x，求函数f（x）在[﹣3，]上的最大值和最小值．【解答】解：f′（x）=3x2﹣3=3（x+1）（x﹣1），令f′（x）＞0，解得：x＞1或x＜﹣1，令f′（x）＜0，解得：﹣1＜x＜1，故f（x）在[﹣3，﹣1）递增，在（﹣1，1）递减，在（1，]递增，而f（﹣3）=﹣27+9=﹣18，f（﹣1）=2，f（1）=﹣2，f（）=﹣，故函数的最大值是2，最小值是﹣18．21．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，满足S n=2a n﹣2n（n∈N+），令b n=．（1）求证：数列{b n}为等差数列；（2）求数列{a n}的通项公式．【解答】（1）证明：由S n=2a n﹣2n（n∈N+），n=1时，a1=S1=2a1﹣2，解得a1=2．n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2a n﹣2n﹣（），化为：a n﹣2a n﹣1=2n﹣1，化为：﹣=．令b n=．则b n﹣b n﹣1=，b1==1．∴数列{b n}为等差数列，首项为1，公差为．（2）解：由（1）可得：b n=1+（n﹣1）==．∴a n=（n+1）?2n﹣1．22．（12分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P 在此椭圆上，且PF1⊥F1F2，|PF1|=，|PF2|=．（1）求椭圆的方程；（2）若直线l过圆x2+y2+4x﹣2y=0的圆心M且交椭圆于A，B两点，且A，B关于点M对称，求直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）因为点P在椭圆C上，所以2a=|PF1|+|PF2|=6，a=3．在Rt△PF1F2中，，故椭圆的半焦距c=，从而b2=a2﹣c2=4，所以椭圆C的方程为=1．（Ⅱ）解法一：设A，B的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2）．已知圆的方程为（x+2）2+（y﹣1）2=5，所以圆心M的坐标为（﹣2，1）．从而可设直线l的方程为y=k（x+2）+1，代入椭圆C的方程得（4+9k2）x2+（36k2+18k）x+36k2+36k﹣27=0．因为A，B关于点M对称．所以．解得，所以直线l的方程为，即8x﹣9y+25=0．（经检验，所求直线方程符合题意）（Ⅱ）解法二：已知圆的方程为（x+2）2+（y﹣1）2=5，所以圆心M的坐标为（﹣2，1）．设A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）．由题意x1≠x2且，①，②由①﹣②得．③因为A、B关于点M对称，所以x1+x2=﹣4，y1+y2=2，代入③得=，即直线l的斜率为，所以直线l的方程为y﹣1=（x+2），即8x﹣9y+25=0．（经检验，所求直线方程符合题意．）23．（理科）如图，在三棱锥A﹣BCD中，侧面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜边，且AD=，BD=CD=1，另一个侧面ABC是正三角形．（1）求证：AD⊥BC；（2）求二面角B﹣AC﹣D的余弦值．【解答】证明：（1）方法一：作AH⊥面BCD于H，连DH．AB⊥BD，HB⊥BD，又AD=，BD=1，∴AB==BC=AC，∴BD⊥DC，又BD=CD，则BHCD是正方形，则DH⊥BC，∴AD⊥BC．方法二：取BC的中点O，连AO、DO，则有AO⊥BC，DO⊥BC，∴BC⊥面AOD，∴BC⊥AD（2）作BM⊥AC于M，作MN⊥AC交AD于N，则∠BMN就是二面角B﹣AC﹣D的平面角，因为AB=AC=BC=，∵M是AC的中点，则BM=，MN=CD=，BN=AD=，由余弦定理可求得cos∠BMN=，∴二面角B﹣AC﹣D的余弦值为．。
湖南省郴州市高二(上)期末数学试卷(理科).doc
则焦点到渐近线的距离为 d=|23|3+1=3 ．
故选： C．
求出抛物线的焦点和双曲线的渐近线方程，再由点到直线的距离公式计算即可得到所
求．
本题考查抛物线和双曲线的性质，主要考查渐近线方程和焦点坐标，运用点到直线的
距离公式是解题的关键．
6. 古代数学著作 《 九章算术 》 有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五
则函数
的图象可能是 ( )
，且函数 f(x) 在 x= - 2 处取得极大值，
A.
B.
C.
D.
【答案】 D 【解析】 解： ∵函数 f(x) 在 R 上可导，其导函数 f ′(x) ， 且函数 f(x) 在 x= - 2 处取得极大值， ∴当 x> - 2 时， f′ (x)<0 ； 当 x= - 2 时， f′(x)=0 ； 当 x< - 2 时， f′(x)>0 ． ∴当 0>x>- 2 时， xf ′(x)>0 ； x>0 时， xf ′(x)<0 ； 当 x=- 2 时， xf ′(x)=0 ； 当 x<- 2 时， xf ′(x)<0 ． 故选： D． 由题设条件知：当 0>x> - 2 以及 x>0 时， xf ′(x) 的符号；当 x= - 2 时， xf ′ (x)=0 ；当
15. △ ABC 的顶点分别为 A(1, - 1,2) ， B(3, 0， - 5) ， C(1,3， - 1) ，则 AC 边上的高 BD 等 于 ______．
x28+y24=1 ，其中 a=22 ， b=2 ， 则 c=8 - 4=2 ，设 F1 为椭圆的右焦点，其坐标为
(2,0) ， 椭圆的中心为 (0,0) ，若 AB 是过椭圆 x28+y24=1
2019-2020学年湖南省郴州市2018级高二上学期期末考试数学试卷及解析
2019-2020学年湖南省郴州市2018级高二上学期期末考试数学试卷★祝考试顺利★(解析版)注意事项：1、本试卷分试题卷和答题卡.试题卷共4页,有三道大题,共20道小题,满分100分.考试时间120分钟.2、答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡和该试题卷的指定位置上,并认真核对答题卡上的姓名、准考证号和科目.3、考生作答时,选择题和非选择题均须作答在答题卡上,在本试题卷上答题无效.考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题.4、考试结束后,将本试题卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共10个小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知151i z i -+=+,则复数z =（ ） A. 23i -B. 23i +C. 32i +D. 32i -【答案】B【解析】由复数除法运算整理可得结果. 【详解】()()()()1511546231112i i i i z i i i i -+--++====+++- 故选：B2.设x ∈R ,则“220x x --≤”是“102x x +≤-”（ ） A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】解一元二次不等式和分式不等式可求得解集,根据集合的包含关系与充分、必要条件的关系可得到结果.【详解】220x x --≤的解集()(){}{}12012A x x x x x =+-≤=-≤≤102x x +≤-的解集()(){120B x x x =+-≤且}{}2012x x x -≠=-≤< B A ≠⊂ ∴“220x x --≤”是“102x x +≤-”的必要不充分条件 故选：B3.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知1155S =,则3852a a a ++=（ ）A. 24B. 20C. 16D. 18 【答案】B【解析】由等差数列的性质可将所求式子化为64a ,由11611S a =求得6a 后即可得到结果.【详解】1161155S a == 65a ∴= ()385484862222420a a a a a a a a ∴++=+=+== 故选：B4.若0a b <<,则下列命题正确的个数（ ）①2ab b <；②a b <；③22a b >；④b a a b < A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B【解析】由特例2a =-,1b =-可验证出①②③错误；由作差法可知④正确. 【详解】,当2a =-,1b =-时,对于①：2ab =,21b =,则2ab b >,①错误； 对于②：2=a ,1=b ,a b >,②错误； 对于③：124a =,122b =,则22a b <,③错误； 对于④：当0a b <<时,()()22b a b a b a b a a b ab ab +---==。
湖南省郴州市2017-2018学年高二上学期期末考试英语试题有答案【精品】
郴州市2017-2018年上学期学科教学状况抽测试卷高二英语第一部分听力（共两节，满分20分）做题时，先将答案标在试题卷上。
录音内容结束后，你将有两分钟的时间将试题卷上的答案转涂到答题卡上。
第一节（共5小题；每小题1分，满分5分）听下面5段对话。
每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试题卷的相应位置。
听完每段对话后，你都有10秒钟的时间回答有关小题和阅读下一小题。
每段对话读两遍。
例：How much is the shirt?A.￡19.15.B.￡9.18.C.￡9.15.答案是C。
听下面一段对话，回答第1小题。
1. When does the man have to wor all day long?A. On Wednesday.B. On Friday.C. On Saturday.听下面一段对话，回答第2小题。
2.Who decides the color of the garden fence?A. The woman.B. The woman's husband.C. The woman's son.听下面一段对话，回答第3小题。
3.Where can the woman get news about the singer?A. On the Internet.B. In the newspaper.C. On the radio.听下面一段对话，回答第4小题。
4.What did the woman buy for her son?A.A tie.B.A boo.C.Some stamps.听下面一段对话，回答第5小题。
5.What's in the picture?A.A village.B.A city.C.A farm.第二节（共15小题；每小题1分，满分15分）听下面5段对话或独白。
每段对话或独H后有几个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试题卷的相应位置。
湖南省郴州市2017届高三第二次教学质量监测理数试题 Word版含解析
湖南省郴州市2017届高三第二次教学质量监测理数试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知错误！未找到引用源。
，错误！未找到引用源。
是虚数单位.若错误！未找到引用源。
与错误！未找到引用源。
互为共轭复数，则错误！未找到引用源。
（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D考点：1.复数相关的概念；2.复数的运算.2. 已知错误！未找到引用源。
均为单位向量，且错误！未找到引用源。
，则向量错误！未找到引用源。
的夹角为（）A．错误！未找到引用源。
B．错误！未找到引用源。
C．错误！未找到引用源。
D．错误！未找到引用源。
【答案】A【解析】试题分析：向量错误！未找到引用源。
的夹角为错误！未找到引用源。
,因为错误！未找到引用源。
，所以错误！未找到引用源。
，即错误！未找到引用源。
，错误！未找到引用源。
，故选A.考点：1.向量相关的概念；2.向量的数量积及运算.3. 已知错误！未找到引用源。
，错误！未找到引用源。
，则错误！未找到引用源。
（）A．错误！未找到引用源。
B．错误！未找到引用源。
C．错误！未找到引用源。
D．错误！未找到引用源。
【答案】B【解析】试题分析：因为错误！未找到引用源。
，所以错误！未找到引用源。
，故选B.考点：诱导公式.4. 我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸；③台体的体积公式错误！未找到引用源。
）.A． 2寸 B．3寸 C. 4寸 D．5寸【答案】B考点：1.实际应用问题；2.圆台的体积.5. 考拉兹猜想又名错误！未找到引用源。
猜想，是指对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1；如果它是偶数，则对它除以2.如此循环，最终都能得到1.阅读如图所示的程序框图，运行相应程序，输出的结果错误！未找到引用源。
2017-2018学年高二年级数学期末试卷(理数)含答案
2．若 x 2m2 3 是 1 x 4 的必要不充分条件，则实数 m 的取值范围是（ ）
10．已知函数 f x 1 x3 1 mx2 4x 3 在区间 1,2上是增函数，则实数 m 的取值范围是（
32
A . 3,3
B . ,3 3, C . ,1 1,
，则满足
11．已知函数
f
x
3|x1| , x2 2x
x 1,
0, x
0
若关于
x
的方程 f
x2
a
1f
x
a
0有
7
个不
等实根，则实数 a 的取值范围是(
)
A . 2,1
B .2,4
C . 2,1
D . ,4
12.
已知函数
A . loga c logb c B . logc a logc b C . a c bc
D . ca cb
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是 9．已知函数 f x 2 xm 1 为偶函数，记 a f log0.5 3 ， b f log2 5 ， c f 2m，则
由题设知
，
则
解得 的横坐标分别是 则 有 又
，又 于是
， ，
，
，即 l 与直线 平行， 一定相交，分别联立方
设
是平面
的法向量，则
，即
。
对任意
，要使
与
的面积之比是常数，只需 t 满足
可取
，故，所以 与平面
20. （1）依题意可得
所成角的正弦值为 ---------12 分 ，