凹凸函数之切线放缩.doc
导数中证明不等式技巧——构造、切线放缩、二元变量、凹凸反转,唯手熟尔!
导数中证明不等式技巧——构造、切线放缩、二元变量、凹凸反转,唯手熟尔!导数中的不等式证明导数中的不等式证明是高考中的一个经典考点。
由于不等式证明的灵活性和多样性，该考点备受命题者的青睐。
本文将从五个方面系统地介绍一些常规的不等式证明手段。
命题角度1：构造函数典例1】（赣州市2018届高三摸底考试）已知函数$f(x)=1-\ln x+\frac{e}{x}$，$g(x)=x-\frac{e}{x}$，若曲线$y=f(x)$与曲线$y=g(x)$的一个公共点是$A(1,1)$，且在点$A$处的切线互相垂直。
求$a,b$的值，并证明当$x\geq1$时，$f(x)+g(x)\geq\frac{2}{x}$。
解析】（1）$a=b=-1$；2）$g(x)=-\frac{e}{2\ln x}+\frac{x}{2}-\frac{e}{2x}$，$f(x)+g(x)\geq\frac{2}{x}$ $\Leftrightarrow 1-\frac{1}{x}+\frac{e}{x}-\frac{e}{2\ln x}+\frac{x}{2}-\frac{e}{2x}\geq\frac{2}{x}$ $\Leftrightarrow\frac{1}{x}+\frac{ e}{2\ln x}-\frac{x}{2}+\frac{e}{2x}\leq1$。
令$h(x)=f(x)+g(x)-\frac{2}{x}$，则$h(x)=1-\frac{1}{x}+\frac{e}{x}-\ln x-\frac{e}{2\ln x}+\frac{x}{2}-\frac{e}{2x}$，$h'(x)=-\frac{1}{x^2}+\frac{e}{x^2}-\frac{1}{x}-\frac{e}{2x^2}+\frac{1}{2}-\frac{e}{2x^2}$，$h''(x)=\frac{2}{x^3}-\frac{3e}{x^3}+\frac{2e}{x^3}$。
导数中证明不等式技巧——构造、切线放缩、二元变量、凹凸反转专题
导数中的不等式证明命题角度1 构造函数【典例1】 已知函数()ln 11,()x x ae f x g x bx x e x=-=+-，若曲线()y f x =与曲线()y g x =的一个公共点是()1,1A ，且在点A 处的切线互相垂直．（1）求,a b 的值；（2）证明：当1x ≥时，()2()f x g x x+≥．命题角度2 放缩法【典例2】 已知函数()()()x f x x b e a =+-(0)b >，在(1,(1))f --处的切线方程为(1)10e x ey e -++-=. （1）求,a b ；（2）若0m ≤，证明：2()f x mx x ≥+.【典例3】 已知函数()ln 1,f x x x ax a R =++∈.（1）当0x >时，若关于x 的不等式()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围； （2）当*n N ∈时，证明：22231ln 2ln ln 2421n n nn n n +<+++<++【典例4】 已知函数()2ln 2xx f x e +=. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）证明：当0x >时，都有()()222ln 1x x f x x e e+'+<+.命题角度3 切线法【典例5】 已知函数()2x f x e x =-.（1）求曲线()f x 在1x =处的切线方程； （2）求证：当0x >时，()21ln 1x e e x x x+--≥+.命题角度4 二元或多元不等式的解证思路【典例6】 若,,x a b 均为任意实数，且()()22231a b ++-=，则()()22ln x a x b -+-的最小值为.A .18B .1C .19D - 【变式训练】 设2D a =+，其中 2.71828e ≈，则D 的最小值为.A .B .1C .1A【能力提升】 对于任意0,b a R >∈，不等式()()2222ln 1b a b a m m --+--≥-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦恒成立，则实数m 的最大值为.A .2B .C e .3A 命题角度4 二元或多元不等式的解证思路【典例7】（2018年安庆市二模）已知函数()2ln f x x ax b x =++，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为2y x =.（1）求实数,a b 的值；（2）设()()()()21212,,0F x f x x mx m R x x x x =-+∈<<分别是函数()F x 的两个零点，求证：0F '<.【典例8】 已知函数()()2,,,x f x e g x ax bx a b R ==+∈.（1）当0b =时，方程()()0f x g x +=在区间()0,+∞上有两个不同的实数根，求a 的取值范围；（2）当0a b =>时，设12,x x 是函数()()()F x f x g x =-两个不同的极值点，【典例9】 已知函数()212x f x e x ax =--有两个极值点12x x ， (e 为自然对数的底数).（1）求实数a 的取值范围； （2）求证：()()122f x f x +>.【典例10】 已知函数()22f x x x a =---有零点12x x ，，函数()()212g x x a x =-+-有零点34x x ，，且3142x x x x <<<，则实数a 的取值范围是9.24A ⎫⎛-- ⎪⎝⎭ ， 9. 04B ⎫⎛- ⎪⎝⎭ ，().2 0C - ， ().1 D +∞ ，命题角度5 函数凹凸性的应用【典例11】 已知函数()()1ln f x x x =+，曲线()y f x =在1x =处的切线方程为y ax b =+．（1）求证：1x >时，()f x ax b >+；（2）求证：()()2*2ln 2ln 2ln723...2,1632n n n n n -++++>≥∈-N ．【典例12】 已知函数()ln 1,f x x x ax a R =++∈.（1）当0x >时，若关于x 的不等式()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围； （2）当()1,x ∈+∞时，证明：()21ln xe x x x x e-<<-.【典例13】 已知函数()ln f x x x =，()()22a x x g x -=.（1）若()()f x g x <在()1,+∞上恒成立，求实数a 的取值范围；（2）求证：()()()22212111111n n n n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦【典例14】 函数()()ln 1f x x ax =++的图像与直线2y x =相切．（1）求a 的值；（2）证明：对于任意正整数n ，()1122!!n n nnn n n en en ++⋅<<⋅.【典例15】 已知函数()()()(0)x f x x b e a b =+->在(1,(1))f --处的切线方程为(1)10e x ey e -++-=.（1）求,a b ；（2）若方程()f x m =有两个实数根12,x x ，且12x x <，证明：21(12)11m e x x e--≤+-.答 案导数中的不等式证明导数中不等式的证明是历年的高考中是一个永恒的话题，由于不等式证明的灵活性，多样性，该考点也备受命题者的青睐。
导数与函数放缩问题之切线法放缩
导数与函数放缩问题之切线法放缩一、典型的不等式：sin ,(0,)x x x π<∈，变形即为，其几何意义为上的的点与原点连线斜率小于1.（放缩成一次函数）ln 1x x ≤-，ln x x <，()ln 1x x +≤ （放缩成一次函数）1x e x ≥+，x e x >，x e ex ≥， 以直线1y x =-为切线的函数ln y x =，11x y e -=-，2y x x =-，11y x=-，ln y x x =. 二、典型例题1:()ln 1,()0x f x ae x a f x e =--≥≥例1已知证明时，21()ln ,().x f x ex x x f x xe e =-<+例2：已知求证：例3：已知函数()()()(0)x f x x b e a b =+->在(1,(1))f --处的切线方程为(1)10e x ey e -++-=.（1）求,a b ；（2）若方程()f x m =有两个实数根12,x x ，且12x x <，证明：21(12)11m e x x e--≤+-.例4：已知函数()ln f x x x =，()()22a x x g x -=.（1）若()()f x g x <在()1,+∞上恒成立，求实数a 的取值范围；（2）求证：()()()22212111111n n n n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦sin ,(0,)y x x π=∈三、巩固练习练习1：已知函数f (x )＝e x －a .(1)若函数f (x )的图象与直线l ：y ＝x －1相切，求a 的值； (2)若f (x )－ln x >0恒成立，求整数a 的最大值．练习:2：已知函数()2x f x e x =-.（1）求曲线()f x 在1x =处的切线方程； （2）求证：当0x >时，()21ln 1x e e x x x+--≥+.练习3：函数的图像与直线相切．（1）求的值；（2）证明：对于任意正整数，()1122!!n n nnn n n en en ++⋅<<⋅.()()ln 1f x x ax =++2y x =a n导数与函数放缩问题之切线法放缩一、典型的不等式：sin ,(0,)x x x π<∈，变形即为，其几何意义为上的的点与原点连线斜率小于1.（放缩成一次函数）ln 1x x ≤-，ln x x <，()ln 1x x +≤ （放缩成一次函数）1x e x ≥+，x e x >，x e ex ≥， 以直线1y x =-为切线的函数ln y x =，11x y e -=-，2y x x =-，11y x=-，ln y x x =. 二、典型例题1:()ln 1,()0x f x ae x a f x e =--≥≥例1已知证明时，1ln 1x e x x x ≥+≤-考虑：，放缩-11()ln 1ln 1x x ef x ae x e x ≥=--≥--≥证明如下：因为a 所以x-(x-1)-1=0 21()ln ,().x f x ex x x f x xe e =-<+例3：已知求证：1()ln 0x g x e x ex ex =+-+>⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅即证：①-0x x e ex e ex ≥≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅考虑：，即②1ln 1,x x ≥-11ln 1,ln +0ex x ex ex ⇒≥-≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅即③由②③相加，且不能同时取等，即可得①式成立，即证。
切线放缩证明超越不等式
（3）难点在于合理拆分函数，寻找它们的斜率相等的公
切线隔板----以直代曲，
注：切线放缩的一般原则：（1）先对数后指数；（2）合理选用放缩
（一般用得最多指数对数加减）
技能拓展：常见超越不等式谱系图
≥1++
2
≤
以
2
换
以
换
以 −≥
1 换
1
2 证明：当 ≥ 时， ≥ 0.
注：含参函数有时需要根据函数特征将原函数进行适当放缩.
【题2】 2018 ∙ 新课标Ⅲ ∙ 文 已知函数 =
2 证明：当 ≥ 1时， + ≥ 0.
2 +−1
注：复杂形式的函数需要将函数适当转化后再进行放缩.
课堂小结
1.切线放缩法实质是以直（切线）代曲ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ原函数）；
2.切线放缩法中常用的两个定理必须先证明后使用；
3.证明流程为：求切线—构造差函数—证明差函数恒正（负）
--原不等式成立．
4.对于较为简单的导数试题，往往只涉及到一次切线放缩，但是
有些压轴试题涉及到两次不同的切线放缩．
+）
注意事项：
g ( x) min g (0) 0,
（1）适用于凹函数与凸函数且它们的凹凸性相反的
问题（需合理拆成两个函数）----数形结合；
g ( x) 0,
（2）两函数有斜率相同的切线，通过引入一个中间量
又 等号不能同时取到
分别证明两个不等式成立，然后利用传递性就可以了；
切线放缩证明超越不等式
超越函数（不等式）可以近似成多项式函数（不等式），
第32讲 切割线放缩(解析版)
第三十二讲切割线放缩知识与方法函数的凸性与切割线放缩：1.下凸函数：如图1所示，对于函数()f x ，若在其图象上任取两点()()11,A x f x ，()()22,B x f x ，除端点外，线段AB 始终在函数()f x 的图象的上方，在()f x 的图象上任取点C ，函数()f x 在点C 处的切线除切点外，始终在()f x 图象的下方，我们称()f x 为下凸函数，满足()0f x ''≥的函数()f x 为下凸函数，对于下凸函数，可利用切割线进行放缩，()()()()000f x f x x x f x '≥-+，当()12,x x x ∈时，()()()()()121112f x f x f x x x f x x x -<-+-.2.上凸函数：如图2所示，对于函数()f x ，若在其图象上任取两点()()11,A x f x ，()()22,B x f x ，除端点外，线段AB 始终在函数()f x 的图象的下方，在()f x 的图象上任取点C ，函数()f x 在点C 处的切线除切点外，始终在()f x 图象的上方，我们称()f x 为上凸函数，满足()0f x ''≤的函数()f x 为上凸函数.对于上凸函数，可利用切割线进行放缩，()()()()000f x f x x x f x '≤-+，当()12,x x x ∈时，()()()()()121112f x f x f x x x f x x x ->-+-.典型例题【例1】己知函数()()()11x f x x e =--（1）求函数f x （）在1x =处的切线方程；（2）若方程()f x a =有两个不同的实根1x ，2x ，证明：1211eax x e -≤+-.【解析】（1）由题意，()()111x x x f x e x e xe '=-+-=-，所以()11f e '=-，又()10f =，所以()f x 在1x =处的切线方程为()()11y e x =--.（2）设()()g x f x x=+()x ∈R ，则()()1x g x f x xe ''=+=，所以()00g x x '>⇔>，()00g x x '<⇔<，从而()g x 在()0-∞，上单调递减，在()0,+∞上单调递增，故()()()000g x g f ≥==，所以()f x x ≥-①，设()()()()11h x f x e x =---()x ∈R ，则()()()1x h x f x e xe e ''=--=-，所以()01h x x '>⇔>，()01h x x '<⇔<，从而()h x 在(),1-∞上单调递减，在()1,+∞上单调递增，故()()10h x h ≥=，所以()()()11f x e x ≥--②，由题意，方程()f x a =有两个不同的实根1x ，2x ，所以()()12f x f x a ==，不妨设12x x <，由()1f x a =和不等式①可得()11a f x x =≥-，所以1x a ≥-，由()2f x a =和不等式②可得()()()2211a f x e x =≥--，所以211ax e ≤+-，从而12211111a ea x x x x a e e -=-≤+-=+--.【例2】已知函数()()()11x f x x e =--.（1）证明：f x （）存在唯一的极小值点0x ；（2）若关于x 的方程()()0f x a a =<有两个不相等的实根1x ，2x ，证明：()0120021121a x x x x x -+<+<-.【解析】（1）由题意，()()111x x x f x e x e xe '=-+-=-，()()1x f x x e ''=+，所以()01f x x ''>⇔>-，()01f x x ''<⇔<-，从而()f x '在(),1-∞-上单调递减，在()1,-+∞上单调递增，因为()010f '=-<，()110f e '=->，所以()f x '在()1,-+∞上有1个零点，而当1x ≤-时，显然()0f x '<，所以()f x '在(],1-∞-上没有零点，故()f x '有且仅有1个零点，设为0x ，当0x x <时，()0f x '<，当0x x >时，()0f x '>，所以()f x 在()0,x -∞上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，从而()f x 存在唯一的极小值点0x .（2）设()()g x f x x =+()x ∈R ，则()()11x g x x e =-+，所以()x g x xe '=，从而()00g x x '>⇔>，()00g x x '<⇔<，故()g x 在(),0-∞上单调递减，在()0,+∞上单调递增，所以()()min 00g x g ==，从而()0g x ≥恒成立，当且仅当0x =时取等号，故当0x >时，()0g x >，即()0f x x +>，所以()f x x >-①，则()()001x x x h x f x e xe e ''==+=-，()()10x h x x e ''=+>，所以()h x '在()0,1x 上单调递增，又()()00000010x x x h x x e e x e '=-=-<，()010x h e e '=->，所以()h x '在()0,1x 上有1个零点，记作α，当0x x α<<时，()0h x '<，当1x α<<时，()0h x '>，故()h x 在()0,x α上单调递减，在(),1α上单调递增，又()()010h x h ==，所以()0h x <恒成立，即()()()0110x f x e x ---<，故()()()011x f x e x <--②，因为方程()f x a =有2个实根1x ，2x ，显然()()010f f ==，所以()001f x x <⇔<<，不妨设12x x <，因为0a <，所以必有10201x x x <<<<，且()()12f x f x a ==，由()1f x a =和不等式①可得()11a f x x =≥-，所以1x a ≥-，由()2f x a =和不等式②可得()()()02211x a f x e x =≥--，所以0211x ax e >+-，从而01211x a x x a e +>-++-，由()00010x f x x e '=-=可得001x e x =，故()01202111111a x ax x a x x -+>-++=+--，另一方面，要证1202x x x +<，只需证2012x x x <-，因为10201x x x <<<<，所以0102x x x ->，结合()f x 在()0,x +∞上单调递增知要证2012x x x <-，只需证()()2012f x f x x <-，又()()12f x f x =，所以只需证()()2012f x f x x <-，即证()()20120f x f x x --<，设()()()012x f x f x x ϕ=--()00x x <<，则()()()()0200222x x x x f x f x x xe x x e ϕ-'''=+-=+--，()()()()()02220012121x x x x x x x x x x e e x x e x e x x e ϕ---''=+---=+-+-，因为当00x x <<时，易证00121x x x <+<+-，020x x x e e -<<，从而()()020121x x x x e x e -+<+-，所以()0x ϕ''<，故()x ϕ'在()00,x 上单调递减，又()000220x x x e ϕ'=-=，所以()0x ϕ'>恒成立，故()x ϕ在()00,x 上单调递增，显然()00x ϕ=，所以()0x ϕ<恒成立，从而()()()110120x f x f x x ϕ=--<，故1202x x x +<成立，综上所述，()0120021121a x x x x x -+<+<-.【反思】本题的求解过程有重要的图形背景.强化训练1.已知函数()2ln 1f x x x =-+.（1）证明：()f x x <；（2）若方程()f x a =有两个不相等的实根1x ，2x ，证明：2112x x a -<-.【解析】（1）设()()()0g x f x x x =->，则()2ln 1g x x x x =-+-，()()()211121x x g x x x x-+'=--=，所以()1002g x x '>⇔<<，()102g x x '<⇔>，故()g x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，从而()2max11111ln 1ln 2022224g x g ⎛⎫⎛⎫==-+-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()0g x <，故()f x x <.（2）设()()()10h x f x x x =+->，则()2ln h x x x x =-+，所以()()()211121x x h x x x x+-'=-+=-，从而()001h x x '>⇔<<，()01h x x '<⇔>，故()h x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，所以()()max 10h x h ==，故()0h x ≤恒成立，从而()1f x x ≤-+，因为方程()f x a =有两个不相等的实根1x ，2x ，不妨设12x x <，则()()12f x f x a ==，所以()11a f x x =<，故1x a -<-，()221a f x x =≤-+，所以21x a ≤-，故2121112x x x x a a a -=-<--=-.2．已知函数()44f x x x =-.（1）求()f x 的单调区间；（2）设曲线()y f x =与x 轴正半轴的交点为P ，曲线()y f x =在点P 处的切线方程为()y g x =，证明：对任意的实数x ，()()f x g x ≤；（3）若方程()f x a =()a ∈R 有两个不相等的实数根1x ，2x ，且12x x <，证明：132143a x x -≤-.【解析】（1）由题意，()()334441f x x x '=-=-，所以()01f x x '>⇔<，()01f x x '<⇔>，故()f x 的单调递增区间是(),1-∞，单调递减区间是()1,+∞.（2）令()0f x =可得：0x =或134，()13441412f ⎛⎫'=⨯-=- ⎪⎝⎭，从而曲线()y f x =在点P 处的切线方程为13124y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，故()13124g x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，令()()()F x f x g x =-()x ∈R ，则()()()()()33411244F x f x g x x x '''=-=-+=-，所以()1304F x x '>⇔<，()1304F x x '<⇔>，从而()F x 在13,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在134,⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，故()13max40F x F ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以()0F x ≤，从而()()f x g x ≤.（3）设()()4h x f x x=-()x ∈R ，则()()344h x f x x ''=-=-，所以()00h x x '>⇔<，()00h x x '<⇔>，从而()h x 在(),0-∞上单调递增，在()0,+∞上单调递减，故()()00h x h ≤=，所以()4f x x ≤①，因为()f x a =有两个不相等的实数根1x ，2x ，且12x x <，所以()()12f x f x a ==，又由不等式①可得()114f x x ≤，所以14a x ≥，故14ax -≤-，另一方面，由（2）可得()()f x g x ≤恒成立，所以()()22f x g x ≤，又()2f x a =，()1322124g x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所以132124a x ⎛⎫≤-- ⎪⎝⎭，从而132412ax ≤-，所以113321441243a a ax x -≤--=-.3．已知函数()ln f x x x =（1）求函数()f x 的最小值；（2）若方程()f x a =有两个不相等的实根1x ，2x ，证明：11221e x x -<+<.【解析】（1）由题意，()ln 1f x x '=+()0x >，所以()10f x x e -'>⇔>，()100f x x e -'<⇔<<，从而()f x 在()10,e -上单调递减，在()1,e -+∞上单调递增，故()()11min f x f e e --==-（2）由题意，()()12f x f x a ==，不妨设12x x <，由（1）可得1120x e x -<<<要证1122x x e -+>，只需证1212x e x ->-，因为1112e x e --->，12x e ->，且()f x 在()1,e -+∞上单调递增，所以要证1212x e x ->-，只需证()()1212f x f e x ->-，又()()21f x f x =，所以只需证()()1112f x f e x ->-，即证()()11120f x f e x --->，设()()()()1120x f x f e x x e ϕ--=--<<则()()()()()2111122ln 1ln 21ln 22ln 202x e x x f x f e x x e x x e x ϕ----⎛⎫+-⎡⎤'''=+-=++-+=-+<+= ⎪⎣⎦⎝⎭所以()x ϕ在()10,e -上单调递减，又()10e ϕ-=，所以()0x ϕ>，因为110x e -<<，所以()10x ϕ>，即()()11120f x f e x --->，从而1122x x e -+>因为当110x e -<<时，()()ln ln 10f x x x x x x x +=+=+<，所以()f x x <-，从而()11f x a x =<-，故1x a <-，设()()()()10g x f x x x =-->，则()()1ln g x f x x ''=-=，所以()01g x x '>⇔>，()001g x x '<⇔<<，从而()g x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，故()()10g x g ≥=，所以()1f x x ≥-，从而()221a f x x =≥-，故21x a ≤+，所以1211x x a a +<-++=综上所述，不等式11221e x x -<+<成立.。
专题一 培优点1 切线放缩
所 以 G(x) 在 ( － ∞ ， 0) 上 单 调 递 减 ， 在 (0 ， ＋ ∞) 上 单 调 递 增 ， 所 以 G(x)≥G(0)＝0， 所以f(x)≥t(x)恒成立，所以f(x2)≥t(x2)， 设t(x)＝m的根为x4，则x4＝m， 又函数t(x)单调递增， 且m＝t(x4)＝f(x2)≥t(x2)，所以x4≥x2， 所以 x2－x1≤x4－x3＝m－－1＋1e－me
则 F′(x)＝(x＋2)ex－1e， 令 m(x)＝F′(x)＝(x＋2)ex－1e， 则m′(x)＝(x＋3)ex， 所以当x<－3时，m′(x)<0； 当x>－3时，m′(x)>0， 所以F′(x)在(－∞，－3)上单调递减， 在(－3，＋∞)上单调递增，
当 x→－∞时，F′(x)→－1e，又 F′(－1)＝0， 所以当x<－1时，F′(x)<0，F(x)单调递减； 当x>－1时，F′(x)>0，F(x)单调递增， 所以F(x)≥F(－1)＝0，所以f(x)≥h(x)恒成立，则f(x1)≥h(x1)， 设 h(x)＝m 的根为 x3，则 x3＝－1＋1e－me， 又h(x)单调递减， 且m＝h(x3)＝f(x1)≥h(x1)，
培优点1 专题一 函数与导数 切线放缩
专题一 函数与导数
在高考压轴题中，经常考查与导数有关的不等式问题，这些问题可以用 常规方法求解，也可以用切线不等式进行放缩.导数切线放缩法是一种非常实 用的数学方法，它可以帮助我们更好地理解函数的性质和变化规律，更能使 问题简单化，利用切线不等式进行求解，能起到事半功倍的效果.
规 该方法适用于凹函数与凸函数且它们的凹凸性相反的问题(拆成两
律
方 个函数)，两函数有斜率相同的切线，这是切线放缩的基础，引入 法 一个中间量，分别证明两个不等式成立，然后利用不等式的传递
切线放缩公式大全
切线放缩公式大全1.切线放缩公式在数学中，切线放缩公式是一组用于计算图形放缩前后相似性的公式。
这些公式可以用于计算曲线的切线斜率、曲率和其他相关参数。
下面是一些常用的切线放缩公式。
1.1切线斜率放缩公式设曲线方程为y=f(x)，其上特定点(x0,y0)处的切线斜率为m0。
如果对曲线进行放缩，即沿x轴方向将横坐标放大k倍，纵坐标放大h倍，则新曲线方程为y'=h*f(k*x)，其上对应点(x0',y0')处的切线斜率为m0'。
切线斜率放缩公式为：m0'=m0*(h/k)这个公式说明了切线的斜率在放缩时也要按比例放缩。
1.2曲率放缩公式曲率是刻画曲线弯曲程度的一个参数。
在进行放缩时，曲线的曲率也会发生变化。
设曲线方程为y=f(x)，则曲线上特定点(x0,y0)处的曲率为κ0。
如果对曲线进行放缩，即沿x轴方向将横坐标放大k倍，纵坐标放大h倍，则新曲线方程为y'=h*f(k*x)，其上对应点(x0',y0')处的曲率为κ0'。
曲率放缩公式为：κ0'=κ0*(1/k)这个公式说明了曲率在放缩时反比于放缩比例。
1.3其他放缩公式除了切线斜率和曲率的放缩公式外，还有一些其他常用的公式可以用于图形的放缩。
比如，如果对一个图形进行放缩，横坐标放大k倍，纵坐标放大h倍，则图形的面积会变为原来的k*h倍，周长也会按比例放大。
如果放缩比例为k=h，则图形的面积和周长都会变为原来的k^2倍。
2.应用举例以下是一些切线放缩公式的应用举例：2.1切线斜率放缩应用假设有一曲线方程为y=x^2，点(1,1)处的切线斜率为2、现在对该曲线进行放缩，横坐标放大3倍，纵坐标放大2倍。
则新的曲线方程为y'=2*(3x)^2=18x^2，对应点(1,2)处的切线斜率为2*(2/3)=4/32.2曲率放缩应用假设有一曲线方程为 y = sin(x)，点(π/2, 1)处的曲率为 1、现在对该曲线进行放缩，横坐标放大2倍，纵坐标放大3倍。
导数中证明不等式技巧——构造、切线放缩、二元变量、凹凸反转专题
导数中证明不等式技巧——构造、切线放缩、二元变量、凹凸反转专题典例1】已知函数$f(x)=1-\ln(x)e^x,g(x)=\frac{x}{1-bx}$，若曲线$y=f(x)$与曲线$y=g(x)$的一个公共点是$A(1,1)$，且在点$A$处的切线互相垂直。
求$a,b$的值，并证明：当$x\geq1$时，$f(x)+g(x)\geq\frac{2}{x}$。
典例2】已知函数$f(x)=(x+b)(e^x-a)$，在$(-1,f(-1))$处的切线方程为$(e-1)x+ey+e-1=0$。
求$a,b$的值，并证明：若$m\leq\frac{f(x)}{x^2+x}$，则$f(x)\geq mx^2+x$。
典例3】已知函数$f(x)=x\ln x+ax+1$，$a\in\mathbb{R}$。
1）当$x>0$时，若关于$x$的不等式$f(x)\geq k$恒成立，求$a$的取值范围；2）当$n\in\mathbb{N^*}$时，证明：$\frac{n^3}{n+1}<\ln2^2+\ln2+\frac{1}{n+1}<\frac{n}{n+1}$。
典例4】已知函数$f(x)=\frac{2\ln x+2}{e^x}$。
1）求函数$f(x)$的单调区间；2）证明：当$x>0$时，$f'(x)\ln(x+1)<\frac{2}{x+2}$。
典例5】已知函数$f(x)=e^x-x^2$。
1）求曲线$f(x)$在$x=1$处的切线方程；2）证明：当$x>0$时，$e^x+(2-e)x-1\geq\ln x+1$。
典例7】已知函数$f(x)=x^2+ax+b\ln x$，曲线$y=f(x)$在点$(1,f(1))$处的切线方程为$y=2x$。
1）求实数$a,b$的值；2）设$F(x)=f(x)-x^2+mx(m\in\mathbb{R})$，$x_1,x_2$$(x_1<x_2)$分别是函数$F(x)$的两个零点，求证：$F'(x)$在$(x_1,x_2)$内至少有一个零点。
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凹凸函数之切线放缩
很多不等式的证明都涉及放缩法、构造法、拆分、引入增量，记得前不久看到泰勒展开，谈到超越函数（不等式）可以近似成多项式函数（不等式），其中就有一个特例，将超越函数利用导数的几何意义（切线）进行放缩，即变成b kx x g +≥)(，或b kx x g +≤)(（等号成立的条件恰好是切点时满足）。
这里特例举几个题目来谈谈它的应用。
例1、()[]2
3,0,31x f x x x
+=∈+，已知数列{}n a 满足03,n a n N *
<≤∈，且满足122010670a a a +++=，则122010()()()f a f a f a +++= 6030
解析：3)31(f =因为，当1220101
3a a a ====时，122010()()()f a f a f a +++=6030
对于函数2
3()(03)1x f x x x +=≤≤+,19()316k f '==-,在13x =处的切线方程为即3
(11)10y x =-， 则()2
2331(11)(3)()01103
x f x x x x x +=≤-⇔--≤+成立，
所以当03,n a n N *
<≤∈时，有()3(113)10
n n f a a ≤-
122010()()()f a f a f a +++[]1220103
1120103()603010
a a a ≤⨯-+++=
例2、已知函数2
901x
f x a ax =
>+()() ． （1）求f x ()在1
2
2[,]上的最大值；
（2）若直线2y x a =-+为曲线y f x =()的切线，求实数a 的值；
（3）当2a =时，设1214122x x x ,⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
…,,, ，且121414x x x =…+++
，若不等式1214f x f x +f x λ≤…()+()+()恒成立，求实数λ的最小值．
解析：（1）222222
9[1(1)2]9(1)
()(1)(1)ax x ax ax f x ax ax ⋅+-⋅-'==++，
令()0f x '=，解得x =（负值舍去），由122<
<，解得1
44a <<． （ⅰ）当104a <≤时，由1[,2]2x ∈，得()0f x '≥，∴()f x 在1
[,2]2上的最大值为18(2)41f a =+．
（ⅱ）当4a ≥时，由1[,2]2x ∈，得()0f x '≤，∴()f x 在1
[,2]2上的最大值为118()24f a =+．
（ⅲ）当1
44
a <<时，在12x a <<时，()0f x '>，在
2x a <<时，()0f x '<，
∴()f x 在1
[,2]2
上的最大值为=f
（2）设切点为(,())t f t ，则()1,
()2.f t f t t a '=-⎧⎨=-+⎩ 由()1f t '=-，有2
22
9[1]1(1)at at -=-+，化简得2427100a t at -+=， 即22at =或25at =， …① 由()2f t t a =-+，有
2
921t
a t at
=-+，…② 由①、②解得2a =
或4a =．
（3）当2a =时，2
9()12x
f x x
=+，由（2）的结论直线4y x =-为曲线()y f x =的切线， (2)2f =，
∴点(2,(2))f 在直线4y x =-上，根据图像分析，曲线()y f x =在线4y x =-下方． 下面给出证明：当1
[,2]2
x ∈时，()4f x x ≤-．
3222928104()(4)41212x x x x f x x x x x -+---=-+=++2
2
21(2)
12x x x
--=+（）， 当1
[,2]2
x ∈时，()(4)0f x x --≤，即()4f x x ≤-．
∴12141214()()()414()f x f x f x x x x +++≤⨯-+++，
121414x x x +++=，
1214()()()561442f x f x f x ∴++
+≤-=．
∴要使不等式1214()()()f x f x f x λ++
+≤恒成立，必须42λ≥．
又
当12141x x x ==
==时，满足条件121414x x x ++
+=，
且1214()()()42f x f x f x ++
+=，因此，λ的最小值为42．
例3、若)3,2,1(,0=>i x i ，且3
1
1i i x ==∑，则
2111x ++2211x ++2
311x +≤27
10
证明：设g(x)= 2
1
1x +,则g ´(x)= 222(1)x x -+，g ´´(x)= 2232(31)(1)x x -+，
由g ´´(x)＜0得
-
3＜x
＜3，g ´´(x)＞0得x
＞3或x ＜
- 3
， ∵g(x)在R 上连续，故g(x)= 2
1
1x
+在［
- 3
，3］上是上凸的，在区间(-∞，
-3)，
(3，+∞)上是下凸的。
由3
1
1i i x ==∑，则平衡值x 0= 13，由导数知识易求得g(x) = 2
11x +在 x=
13处的切线为y=2750（2-x ）,因x 0= 13∈［
- 3
，3］，g(x) = 2
11x
+在［
- 3
，3］上是上凸的，故g(x) = 211x +≤2750（2-x ）恒成立。
即2111x +≤2750（2-x 1）
，2211x +≤27
50
（2-x 2），2311x +≤2750（2-x 3），三式相加并结合3
11i i x ==∑即得2111x ++22
11x ++2
311x +≤27
10。
若将该题条件改为：若)3,2,1(,0=>i x i ，且3
1
3i
i x
==∑时，解法同理。
此时平衡值x 0=1，而g(x) =
211x +在x= 1处的切线为y=-1
2
x+1, 因x 0= 1∈
+∞)，g(x) = 211x +在
，+∞)上是下凸的，故g(x) = 211x +≥- 12x+1恒成立。
即2111x +≥- 12
x 1+1，
2211x +≥- 12x 2+1，2311x +≥- 12x 3+1三式相加并结合3
13i i x ==∑即得2111x ++2211x ++2
311x +≥3
2。
即得一个新的不等式：若x i
，且3
13i i x ==∑，则2111x ++22
11x ++2
311x +≥3
2。
所以，在证明一类多元不等式时，我们经常用到的一个办法就是假设这些变元的和为1。
例4、若实数c b a ,,，证明：2
3
≥+++++b a c c a b c b a 。
提示：不妨设1=++c b a ，则平衡点是31=
x 。
x x x f -=1)(在31=x 的切线4
19-=x y ，有 4
1
9)(-≥
x x f 。
5、若z y x ,,非负，且12
2
2
=++z y x ，证明：43
1112
22≤+++++z
z y y x x 提示：平衡点是33=x 。
2
1)(x
x
x f +=在33=x 的切线12321+=x y ，有12321)(+≤x x f
练习1：已知函数)2()
20()
2(11)(2>≤≤⎪⎩⎪
⎨⎧++=x x f x x x f ，
⑴求函数)(x f 在定义域上的单调区间。
⑵若关于x 的方程0)(=-a x f 恰有两个不等的实根，求实数a 的范围；
⑶已知实数]1,0[,21∈x x ，121=+x x ，若不等式)ln()()(21p x x x f x f --≤在),(+∞∈p x 上恒成立，求实数p 的最小值。
（可以利用切线求)()(21x f x f 的最大值）
练习2：若z y x ,,非负，且12
22=++z y x ，证明：4
3111222≤+++++z z y y x x
提示：平衡点是33=
x 。
2
1)(x x
x f +=在33=x 的切线12321+=x y ，有12321)(+≤x x f
切线放缩法实质就是利用函数的图像性质解决一类多元的问题向一元函数求最值和类型的不等
式转化。
此时，可以选择先求二阶导看凹凸性，判断这个函数是否能使用切线法，或者能够被用得比较好。
也可以直接选择求一阶导，把等号取道条件的切线值求出来，对应不等式常数项配最后的常数系数。
其本质相当于求这个一元函数在等号取到条件时（也就是文中的平衡点）的切线值，进一步求对于这个一元函数相对应的某个局部不等式。