凹凸函数问题
函数凹凸性对极值的影响分析
函数凹凸性对极值的影响分析函数的凹凸性对其极值的存在性、数量以及判断方式都有重要影响。
以下是从几个方面详细分析函数的凹凸性如何影响其极值：1. 极值的存在性●凸函数：对于严格凸函数（即在整个定义域内都保持凸性的函数），如果在某点取得极值，则该极值必然是全局最小值（因为凸函数在任意两点之间的线段上都在函数图像上方或重合，所以在其内部不可能有比该点更低的点）。
同样地，如果函数是凹的，则在该点取得的极值可能是全局最大值。
●非严格凸/凹函数：对于非严格凸函数（即存在直线段与函数图像相切但不相交的凸函数）或非严格凹函数，可能存在多个极值点，但这些极值点可能不是全局最优解，而只是局部最优解。
2. 极值的数量●凸函数：在严格凸函数中，如果函数在某区间内连续可导，且在该区间的端点处函数值趋于无穷大（或满足其他适当的边界条件），则该函数在该区间内至多有一个全局最小值点（没有最大值点，除非定义域有界）。
这是因为凸函数的图像总是在任意两点之间的线段上方或与其重合，所以不可能在同一区间内有两个或更多的全局最小值。
●非凸函数：非凸函数可能具有多个局部极值点（包括局部最小值和局部最大值），这些极值点的数量取决于函数的复杂性和定义域的性质。
3. 极值的判断方式●一阶导数测试：对于可导函数，可以通过检查一阶导数的符号变化来判断极值点。
然而，这种方法在非凸函数上可能不够有效，因为可能存在多个驻点（一阶导数为零的点），其中只有部分是极值点。
●二阶导数测试：在二阶导数存在的情况下，可以利用二阶导数的符号来判断极值点的类型。
对于凸函数，其二阶导数（或海森矩阵对于多元函数）在非极值点处非负；在极小值点处等于零（对于严格凸函数，极小值点处二阶导数严格大于零）。
然而，需要注意的是，并非所有凸函数都是二阶可导的，且二阶导数测试在非凸函数上可能不够可靠。
●凹凸性直接判断：对于凸函数，可以直接利用凸函数的定义来判断极值点。
即，如果函数在某点取得极值，并且该点位于定义域的边界上或其一阶导数在该点附近发生变化（从正变为负或从负变为正），则该点很可能是全局最小值点（对于凹函数，则可能是全局最大值点）。
凹凸函数的综合题
凹凸函数的综合题一、凹凸函数的基本概念凹凸函数是高等数学中经常出现的概念，也是优化问题中常常涉及的知识点。
在此先简单介绍凹凸函数的定义。
定义1：设$f(x)$在区间$I$上有定义，如果对于任意的$x_1,x_2\in I$以及$\lambda\in[0,1]$，都有$f(\lambda x_1+(1-\lambda)x_2)\le \lambda f(x_1)+(1-\lambda)f(x_2)$，则称$f(x)$在$I$上是凹函数。
如果不等式号为$\ge$，则称$f(x)$在$I$上是凸函数。
定义2：设$f(x)$在区间$I$上有定义，如果对于任意的$x_1,x_2\in I$以及$\lambda\in(0,1)$，都有$f(\lambda x_1+(1-\lambda)x_2)< \lambda f(x_1)+(1-\lambda)f(x_2)$，则称$f(x)$在$I$上是严格凹函数。
如果不等式号为$\ge$，则称$f(x)$在$I$上是严格凸函数。
定义3：设$f(x)$在区间$I$上有定义，如果$f(x)$在$I$上是凹函数或者凸函数，则称$f(x)$在$I$上是凹凸函数。
二、凹凸函数的判断对于一元函数，判断它是凹凸函数，我们可以通过它的导数信息来判断。
如果$f(x)$在首一幂级数$x=0$处二阶可导，那么当$f''(x)>0$时，$f(x)$在定义域上就是凸函数；当$f''(x)<0$时，$f(x)$在定义域上就是凹函数。
当$f''(x)=0$时，则需要进一步探究函数的性质。
这里的二阶可导是指一阶导数存在时，二阶导数也存在。
但是对于二元或者更高维的函数，则需要使用更多的工具来判断它们的凹凸性质。
定理1：设$f(x_1,x_2)$在$\mathbb{R}^2$上二阶可导，当且仅当$f(x_1,x_2)$的一阶偏导数存在且连续时，它的二阶混合偏导数$D_{12}^2f(x_1,x_2)=\frac{\partial^2f(x_1,x_2)}{\partial x_1\partial x_2}$与$D_{21}^2f(x_1,x_2)=\frac{\partial^2f(x_1,x_2)}{\partialx_2\partial x_1}$相等。
利用函数的凹凸性证明不等式
利用函数的凹凸性证明不等式使用函数的凹凸性证明不等式的方法，通常分为以下三个步骤：1.确定使用的函数是凸函数还是凹函数，以及其定义域。
2.利用函数的凹凸性得出基本不等式或者推导得到不等式。
3.根据不等式左右两边的定义域，进一步讨论如何得出不等式的证明。
以下是一个示例：要证明不等式$(a+b)^2\\leq 2(a^2+b^2)$。
1.确定使用的函数是凸函数还是凹函数，以及其定义域。
函数$f(x)=x^2$在实数域上是凸函数。
我们可以令$a,b$为实数。
2.利用函数的凹凸性得出基本不等式或者推导得到不等式。
由$f(x)$的凸性可得，对于任意两个实数$a,b$和$\\lambda\\in(0,1)$，有：$$f(\\lambda a+(1-\\lambda)b)\\leq\\lambda f(a)+(1-\\lambda)f(b)$$将$\\lambda$取为$\\dfrac12$，$a,b$代入，得到：$$f\\left(\\dfrac{a+b}{2}\\right)\\leq\\dfrac{f(a)+f(b)}{2}$$即：$$\\left(\\dfrac{a+b}{2}\\right)^2\\leq\\dfrac{a^2+b^2} {2}$$化简可得：$$a^2+2ab+b^2\\leq 2a^2+2b^2$$即：$$(a+b)^2\\leq 2(a^2+b^2)$$3.根据不等式左右两边的定义域，进一步讨论如何得出不等式的证明。
由于$a$和$b$都是实数，所以$(a+b)^2$和$2(a^2+b^2)$都存在并且有意义。
因此，不等式成立。
综上所述，我们使用函数的凸性证明了不等式$(a+b)^2\\leq 2(a^2+b^2)$。
函数的凹凸性在高考中的应用
函数的凹凸性在高考中的应用函数凹凸性问题是近几年高考与平时训练中的一种新题型．这种题情景新颖、背景公平，能考查学生的创新能力和潜在的数学素质，体现“高考命题范围遵循教学大纲，又不拘泥于教学大纲”的改革精神．1、凹凸函数定义及几何特征 ⑴引出凹凸函数的定义：如图3根据单调函数的图像特征可知：函数)(1x f 与)(2x f 都是增函数，但是)(1x f 与)(2x f 递增方式不同，把形如)(1x f 的增长方式的函数称为凹函数，而形如)(2x f 的增长方式的函数称为凸函数.⑵凹凸函数定义:设函数f 为定义在区间I 上的函数，若对（a ，b ）上任意两点1x 、2x ，恒有：（1）1212()()()22x x f x f x f ++<，则称f 为（a ，b ）上的凹函数； （2）1212()()()22x x f x f x f ++>，则称f 为（a ，b ）上的凸函数. ⑶凹凸函数的几何特征：图6（凹函数） 图7（凸函数）图4（凹函数） 图5（凸函数） 几何特征1（形状特征）如图4、5，设21,A A 是凹函数y=)(x f 曲线上两点，它们对应的横坐标12x x <，则111(,())A x f x ，222(,())A x f x ，过点122x x +作ox 轴的垂线交函数于A ，交21A A 于B ， 凹函数的形状特征是：其函数曲线任意两点1A 与2A 之间的部分位于弦21A A 的下方; 凸函数的形状特征是：其函数曲线任意两点1A 与2A 之间的部分位于弦21A A 的上方. 简记为：形状凹下凸上.几何特征2（切线斜率特征）图6、7设21,A A 是曲线y =)(x f 上两点，曲线上1A 与2A 之间任一点A 处切线的斜率： 凹函数的切线斜率特征是：切线的斜率y =)(x f 随x 增大而增大； 凸函数的切线斜率特征是：切线的斜率y =)(x f 随x 增大而减小. 简记为：斜率凹增凸减. 几何特征3（增量特征）图8（凹函数） 图9（凸函数） 图10（凹函数） 图11（凸函数） 设函数g (x )为凹函数，函数f (x )为凸函数，其函数图象如图8、9所示，由图10、11可知，当自变量x 逐次增加一个单位增量Δx 时，函数g (x )的相应增量123,,,y y y ∆∆∆…越来越大；函数f (x )的相应增量123,,,y y y ∆∆∆…越来越小；由此，对x 的每一个单位增量Δx ，函数ｙ的对应增量i y ∆（1,2,3,i =…） 凹函数的增量特征是：Δｙｉ越来越大；凸函数的增量特征是：Δｙｉ越来越小； 简记为：增量凹大凸小.弄清了上述凹凸函数及其图象的本质区别和变化的规律，就可准确迅速、简捷明了地解决有关凹凸的曲线问题． 函数凹凸性的应用应用1 凹凸曲线问题的求法例1：一高为Ｈ、满缸水量为Ｖ的鱼缸的截面如图12所示，其底部碰了一个小洞，满缸水从洞中流出．若鱼缸水深为h 时水的体积为Ｖ，则函数Ｖ＝f (h )的大致图象可能是图13中的解：据四个选项提供的信息（ｈ从Ｏ→Ｈ），我们可将水“流出”设想成“流入”，这样，每当ｈ增加一个单位增量Δｈ时，根据鱼缸形状可知V 的变化开始其增量越来越大，但经过中截面后则越来越小，故Ｖ关于ｈ的函数图象是先凹后凸的，因此，选Ｂ．例2:向高为Ｈ的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V 与水深ｈ的函数关系的图象如图14所示，那么水瓶的形状是（图15中的）（ ）．（1998年全国高考题）解：因为容器中总的水量（即注水量）V 关于ｈ的函数图象是凸的，即每当ｈ增加一个单位增量Δｈ，V 的相应增量ΔＶ越来越小．这说明容器的上升的液面越来越小，故选Ｂ． 例3:在某种金属材料的耐高温实验中，温度随着时间变化的情况由微机记录后再显示的图象如图16所示．现给出下面说法：①前5分钟温度增加的速度越来越快； ②前5分钟温度增加的速度越来越慢； ③5分钟以后温度保持匀速增加； ④5分钟以后温度保持不变． 其中正确的说法是（ ）．Ａ．①④ Ｂ．②④ Ｃ．②③ Ｄ．①③ 解：因为温度ｙ关于时间ｔ的图象是先凸后平行直线，即5分钟前每当ｔ增加一个单位增量Δｔ，则ｙ相应的增量Δｙ越来越小，而5分钟后是ｙ关于ｔ的增量保持为0，故选Ｂ．注：本题也选自《中学数学教学参考》2001年第1～2 合期的《试题集绵》，用了增量法就反成了“看图说画”．例4:（06重庆 理）如图所示，单位圆中弧AB 的长为x ，f(x)表示弧AB 与弦AB 所围成的弓形面积的２倍，则函数y=f(x)的图象是（ ）A B图17解：易得弓形A x B的面积的2倍为f(x)= x -sin x．由于y１＝x是直线，每当x增加一个单位增量Δx，y１的对应增量Δy不变；而y２＝sin x是正弦曲线，在［0，π］上是凸的，在［π，2π］上是凹的，故每当ｘ增加一个单位增量Δx时，y２对应的增量ｉ（ｉ=1，2，3，…）在［0，π］上越来越小，在［π，2π］上是越来越大，故当x增加一个单位增量Δx时，对应的f(x)的变化，在x∈［0，π］上其增量Δf(x)ｉ（ｉ＝1，2，3，…）越来越大，在x∈［π，2π］上，其增量Δf(x)ｉ则越来越小，故f(x)关于ｘ的函数图象，开始时在［0，π］上是凹的，后来在［π，2π］上是凸的，故选D．例5（07 江西）四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示．盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半．设剩余酒的高度从左到右依次为h1，h2，h3，h4，则它们的大小关系正确的是（）图18A．h2＞h1＞h4B．h1＞h2＞h3C．h3＞h2＞h4D．h2＞h4＞h1解：设内空高度为H, 剩余酒的高度关于酒杯中酒的体积函数从左到右依次为V1（h）、V2（h）、V3(h)、V4（h），根据酒杯的形状可知函数V1（h）、V2（h）、V4（h）的图象可为图19因为函数V1（h）、V2（h）为凹函数, V1（h）当h从Ｏ→H，Δh增加一个单位增量，ΔVｉ（ｉ＝1，2，3，…）增大，则h1> 0.5H =h4；同理V2（h）当h从Ｏ→H，Δh增加一个单位增量，ΔVｉ（ｉ＝1，2，3，…）增大，则h2> 0.5H =h4；所以h1> h4、h2> h4；由V1（h）、V2（h）图象可知，h从H→h2，ΔV1（h）>ΔV2（h）,而0.5 V1（h）>ΔV1（h）,ΔV2（h）=0.5 V2（h）,则当ΔV1（h）=0.5 V1（h）时h1> h2，所以答案为A.例6 (2005·湖北卷) 在y=2x, y=log2x, y=x2, y=cos2x这四个函数中,当0<x1<x2<1时,恒成立的函数的个数是().A.0B.1C.2D.3分析：运用数形结合思想,考察各函数的图象.注意到对任意x1,x2∈I,且x1<x2,当f(x)总满足时,函数f(x)在区间I上的图象是“上凸”的,由此否定y=2x,y=x2,y=cos2x，应选B。
导数隐凹凸性问题题型总结
导数隐凹凸性问题题型总结本文将总结一些关于导数隐凹凸性问题的题型和解题方法。
导数隐凹凸性是微积分中涉及函数曲线形状特征的重要概念。
基本概念导数隐凹凸性可以用来描述函数曲线的凹凸性质。
一个函数在某一点的凹凸性取决于该点处的二阶导数的正负情况。
- 如果函数的二阶导数在某一点大于零，则函数在该点处为凹函数。
- 如果函数的二阶导数在某一点小于零，则函数在该点处为凸函数。
- 如果函数的二阶导数在某一点等于零，则该点处凹凸性不确定，需要额外的信息进行判断。
题型分类描述曲线凹凸性题型要求根据函数的导数或二阶导数的正负情况描述曲线的凹凸性质。
示例题目：已知函数f(x)在区间[a, b]上二阶导数大于零，问该函数在该区间上呈现什么样的曲线形状？解题思路：由已知条件得出函数在区间[a, b]上为凹函数。
求解凹凸点题型要求找出函数的凹点或凸点的坐标。
示例题目：求函数f(x)=x^3-3x^2的凹凸点坐标。
解题思路：首先求得函数的二阶导数f''(x)，然后令f''(x)=0，解方程求得凹凸点的横坐标。
再代入原函数求得凹凸点的纵坐标。
给定凹凸点判断函数题型要求根据给定的凹点或凸点坐标来判断函数的形状。
示例题目：已知函数f(x)有一个凸点位于点(1, 5)，求该函数的形状。
解题思路：由于凸点位于(1, 5)，说明函数f(x)在该点处为凸函数。
其他部分的凹凸性需要额外的信息来判断。
解题方法解决导数隐凹凸性问题可以遵循以下简单方法：1. 求得函数的一阶导数和二阶导数。
2. 根据二阶导数的正负情况判断凹凸性。
3. 可能需要求解凹凸点的坐标或给出凹点的坐标来判断函数的形状。
以上就是导数隐凹凸性问题的题型总结和解题方法，希望对您有所帮助！。
函数凹凸性的考研真题
函数凹凸性的考研真题函数凹凸性是高等数学中一个重要的概念，也是考研数学中常常涉及的一个知识点。
在考研真题中，经常会出现与函数凹凸性相关的问题。
本文将以凹凸性的考研真题为线索，探讨函数凹凸性的概念、判定准则以及应用。
一、函数凹凸性的概念在数学中，函数凹凸性是指函数图像的形状特征。
凹函数是指函数在定义域上的任意两点之间的连线都位于函数图像的下方，而凸函数则相反，即函数图像的下方。
凹凸性可以用来描述函数的增减性、极值点的性质等。
二、凹凸性的判定准则在考研数学中，常用的判定准则有一阶导数、二阶导数以及函数的凸性、凹性定义等。
1. 一阶导数的判定准则对于一元函数，如果函数在定义域上的一阶导数大于零，则函数是凹函数；如果一阶导数小于零，则函数是凸函数。
这是因为一阶导数可以表示函数的增减性，而凹凸性与函数的增减性密切相关。
2. 二阶导数的判定准则对于一元函数，如果函数在定义域上的二阶导数大于零，则函数是凹函数；如果二阶导数小于零，则函数是凸函数。
这是因为二阶导数可以表示函数的曲率，而凹凸性与函数的曲率密切相关。
3. 函数的凸性、凹性定义对于一元函数，如果函数在定义域上的任意两点之间的连线都位于函数图像的上方，则函数是凸函数；如果连线都位于函数图像的下方，则函数是凹函数。
这是函数凹凸性的最直观的定义，也是最常用的判定准则之一。
三、函数凹凸性的应用函数凹凸性在实际问题中有着广泛的应用，下面以一道考研真题为例，介绍函数凹凸性的应用。
【真题】设函数f(x)在区间[a,b]上具有二阶连续导数，且f(a)=f(b)=0，证明：存在ξ∈(a,b)，使得f(ξ)=f''(ξ)=0。
【解析】根据题目的条件，我们可以推断函数f(x)在区间[a,b]上满足罗尔定理的条件。
根据罗尔定理，如果一个函数在区间的两个端点处取相等的函数值，则在这个区间内至少存在一个点，其导数为零。
由于f(a)=f(b)=0，根据罗尔定理，可以得出存在ξ∈(a,b)，使得f'(ξ)=0。
高考数学专项练习函数凹凸性
高考数学专项练习函数凹凸性【例1】判断函数lny x的凹凸性．【例2】函数32()32f x x x x的凹凸性与对称中心【例3】判断函数3y x的凹凸性．【例4】判断函数4y x的凹凸性．【例5】求函数3y x x的凹凸区间和拐点．(1)A B C的最大值．【例6】证明不等式: 在ABC中，求sin sin sin【例7】如果()f x 的定义域为D ，对于12x x D ，且12x x ，都有1212()()()22f x f x x x f ，就称函数()f x 具有性质P ，则下列函数--定具有性质P 的是 ．(写序号)． ①2()f x x ；②()e x f x ；③()ln f x x ；④1()(0)f x x x；⑤()2f x x ．【例8】（2015•陕西）设()ln f x x ，0a b ，若()p f ab ，()2a bq f ，1(()())2r f a f b ，则下列关系式中正确的是（ ） A ．q r p B ．p r qC ．q rp D ．p r q【例9】（2020•内江模拟）函数12()221x f x x x 的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【例10】（2020•渭南一模）函数3()1x x f x e 的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【例11】（2006四川理22）已知函数22()ln (0)()f x x a x x f x x，的导函数是()f x ，对任意两个不相等的正数12x x ，，求证：当0a 时，1212()()()22f x f x x xf ．【例12】（2018全国一卷16）已知函数()2sin sin 2f x x x ，则()f x 的最小值是 ．1．设()ln f x x =，且0a b <<，求证：222()()()a b a f b f a a b -->+．2．在下列函数中，当121x x >>时，使[]12121(())()22x x f x f x f ++<成立的函数是（ ）A ．()f x =B ．2()f x x =C ．()2x f x =D ．12()log f x x =3．（2000•新课程）若1a b ，lg lg Pa b ，1lg lg 2Qa b ，lg2a bR ，则（ ） A ．R P Q B ．P Q RC ．Q P RD ．P R Q4．（2005全国I 理22）设函数22()log (1)log (1)(01)f x x x x x x ．（1）求()f x 的最小值；（2）设正数1232n P P P P ，，，，满足12321nP P P P ．求证： 121222222log log log n nPP P P P P n ．5．（2020•汉中一模）函数||3sin 2x y x 的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．6．（2020•黄山一模）函数cos sin 2xxy的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．7．（2011•湖北）（I ）已知函数()ln 1(0)f x x x x ，，，求函数()f x 的最大值；（II ）设11(12)a b k n ，，，，均为正数，证明： （1）若112212n n n a b a b a b b b b ，则12121nb b n b a a a ；（2）若121n b b b ，则1222212121n b b b n n b b b b b b n8．（2012•湖北）（1）已知函数()(1)(0)r f x rx x r x ，其中r 为有理数，且01r ．求()f x 的最小值；（2）试用（1）的结果证明如下命题：设10a ，20a ，1b ，2b 为正有理数，若121b b ，则12121122b b a a a b a b ；（3）请将（2）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题． 注：当为正有理数时，有求导公式1()x x．。
函数凹凸性与优化问题求解策略
函数凹凸性与优化问题求解策略函数的凹凸性和极值之间的关系在实际优化问题中具有广泛的应用。
这种关系不仅有助于我们理解问题的本质，还能指导我们设计有效的求解策略。
以下是将这种关系应用于实际优化问题中的几个方面：1. 简化问题复杂性●凸优化问题：当优化问题可以转化为凸优化问题时，其求解过程大大简化。
凸函数的凹凸性保证了局部最优解即为全局最优解，这使得我们可以使用更高效的算法（如梯度下降法、牛顿法等）来求解。
●非凸优化问题：对于非凸优化问题，虽然其求解过程可能更加复杂，但我们可以利用函数的凹凸性来识别可能的局部最优解或全局最优解的候选点。
例如，通过寻找函数的拐点（即凹凸性改变的点）或利用凸包络（convex envelope）等方法来近似原问题。
2. 指导算法设计●算法选择：根据函数的凹凸性，我们可以选择合适的算法来求解优化问题。
例如，对于凸优化问题，我们可以选择具有全局收敛性的算法；而对于非凸优化问题，我们可能需要采用启发式算法或元启发式算法来寻找近似解。
●算法参数调整：在算法运行过程中，我们可以根据函数的凹凸性来调整算法参数，以提高求解效率和准确性。
例如，在梯度下降法中，我们可以根据函数的二阶导数（即凹凸性信息）来调整学习率的大小。
3. 评估解的质量●全局最优性检验：对于凸优化问题，我们可以通过比较解与已知的全局最优解（如果存在的话）来检验解的质量。
如果两者相等或非常接近，则可以认为找到了全局最优解。
●局部最优性检验：对于非凸优化问题，我们可以通过检查解附近的函数值来评估其是否为局部最优解。
如果解附近的函数值都大于或等于该点的函数值，则可以认为该点是局部最优解。
4. 实际应用案例●金融领域：在投资组合优化中，我们可以利用凸优化来确保投资组合能够最小化风险。
由于投资组合的期望收益和风险函数通常是凸的，因此我们可以使用凸优化算法来找到最优的投资组合权重。
●工程设计：在工程设计中，我们经常需要优化某些性能指标（如成本、重量、效率等）。
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凹凸曲线问题的求法
凹凸曲线问题是近几年高考与平时训练中的一种新题型．这种题情景新颖、背景公平，能考查学生的创新能力和潜在的数学素质，体现“高考命题范围遵循教学大纲，又不拘泥于教学大纲”的改革精神．但由于曲线的凹凸性在中学教材中既没有明确的定义，又没有作专门的研究，因此，就多数学生而言，对这类凹凸性曲线问题往往束手无策；而教师的“导数”理解又不能被学生所接受．所以，对这类非常规性问题作一探索，并引导学生去得到一般性的解法，无疑对学生数学素质的提高和创新精神的培养都是十分重要的．
1．曲线的凹凸性与增量法
函数ｙ=ｆ（ｘ）、ｙ=ｇ（ｘ）、ｙ=ｈ（ｘ）、ｙ=φ（ｘ）的图象分别如下（图1）：
图1
显然前三个虽都是增函数，但上升的形状不同：函数ｙ=ｆ（ｘ）的图象是凸的，ｙ=ｇ（ｘ）的图象是凹的，ｙ=ｈ（ｘ）的图象是直线，而最后一个函数ｙ=φ（ｘ）的图象是增减交替，即凹凸交替（这里是先凸后凹）．这与日常生活中对凹凸形象的直观认识和理解是一致的． 下面我们用增量法来揭示这四个函数及其图象的本质特征和变化规律．设自变量ｘ每增加一个单位增量Δｘ，函数ｙ的对应增量为Δｙ１，Δｙ２，Δｙ３，…，如图2所示．
图2
由图2可知，当自变量ｘ逐次增加一个单位增量Δｘ时，函数ｆ（ｘ）的相应增量 Δｙ１，Δｙ２，Δｙ３，…越来越小；函数ｇ（ｘ）的相应增量Δｙ１，Δｙ２，Δｙ３，…越来越大；函数ｈ（ｘ）的相应增量Δｙ１，Δｙ２，Δｙ３，…，保持不变；而函数φ（ｘ）的相应增量Δｙ１，Δｙ２，Δｙ３，…的变化是在ＯＡ′Ａ段上越来越小，在ＡＢ′Ｂ段上越来越大． 由此，对上述四个函数，我们可以说：对ｘ的每一个单位增量Δｘ，函数ｙ的对应增量Δｙｉ（ｉ＝1，2，3，…）：若越来越小，则函数的图象为凸的；若越来越大，则函数的图象
为凹的；若先越来越小（或越来越大），再越来越大（或越来越小），则函数图象是先凸后凹（或先凹后凸）交替出现的．
弄清了上述四个函数及其图象的本质区别和变化的规律，就可准确迅速、简捷明了地解决有关凹凸的曲线问题．
2．增量法在凹凸曲线问题中的应用
例1向高为Ｈ的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V与水深ｈ的函数关系的图象如图3所示，那么水瓶的形状是（图4中的）（）．（1998年全国高考题）
解：因为容器中总的水量（即注水量）V关于ｈ的函数图象是凸的，即每当ｈ增加一个单位增量Δｈ，V的相应增量ΔＶ越来越小．这说明容器的上升的液面越来越小，故选Ｂ．
例2一高为Ｈ、满缸水量为Ｖ的鱼缸的截面如图5所示，其底部碰了一个小洞，满缸水从洞中流出．若鱼缸水深为ｈ时水的体积为Ｖ，则函数Ｖ＝ｆ（ｈ）的大致图象可能是图6中的（）．（选自《中学数学教学参考》2001年第1～2合期）的《试题集绵》．
解：据四个选项提供的信息（ｈ从Ｏ→Ｈ），我们可将水“流出”设想成“流入”，这样，每当ｈ增加一个单位增量Δｈ时，V的变化开始其增量越来越大，但经过中截面后则越来越小，故Ｖ关于ｈ的函数图象是先凹后凸的，因此，选Ｂ．
例3在某种金属材料的耐高温实验中，温度随着时间变化的情况由微机记录后再显示的图象如图7所示．现给出下面说法：
①前5分钟温度增加的速度越来越快；
②前5分钟温度增加的速度越来越慢；
③5分钟以后温度保持匀速增加；
④5分钟以后温度保持不变．
其中正确的说法是（）．
Ａ．①④Ｂ．②④Ｃ．②③Ｄ．①③
图3 图4
图5 图6
图7
解：因为温度ｙ关于时间ｔ的图象是先凸后平行直线，即5分钟前每当ｔ增加一个单位增量Δｔ，则ｙ相应的增量Δｙ越来越小，而5分钟后是ｙ关于ｔ的增量保持为0，故选Ｂ．注：本题也选自《中学数学教学参考》2001年第1～合期的《试题集绵》，用了增量法就反成了“看图说画”．
例4如图8，液体从一个圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中，开始时漏斗盛满液体，经过3分钟漏完．已知圆锥形漏斗中液面上升的速度是一个常数，Ｈ是圆锥形漏斗中液面下落的距离，则Ｈ与下落的时间ｔ（分）的函数关系用图象（图9）表示只可能是（）．
图8 图9
解：由于圆柱中液面上升的速度是一个常量，因此液体从漏斗漏出的速度是一个常量．又由于圆锥的截面越向下越小，所以每当时间ｔ增加一个单位增量Δｔ，圆锥面下落的距离Ｈ的增量ΔＨ将越来越大，故Ｈ关于ｔ的函数图象是凹的，因此选Ｂ．
例5如图10所示，液体从球形漏斗漏入一圆柱形烧杯中，开始时漏斗中盛满液体，经过3分钟漏完，已知烧杯中液面上升的速度是一个常量，Ｈ是漏斗中液面下落的距离，则Ｈ与下落时间ｔ（分）的函数关系用图象表示可能是图11中的（）．
图10 图11
解：同例4分析可知，每当ｔ增加一个单位增量Δｔ，Ｈ的变化开始增量ΔＨ越来越小，经过中截成后越来越大，故Ｈ关于ｔ的函数图象是先凸后凹，因此选Ｄ．
例6如图12所示，半径为2的⊙Ｍ切直线ＡＢ于Ｏ，射线ＯＣ从ＯＡ出发绕着Ｏ点顺时针旋转到ＯＢ．旋转过程中，ＯＣ交⊙Ｍ于Ｐ．记∠ＰＭＯ为ｘ、弓形ＰｎＯ的面积为Ｓ=ｆ（ｘ），那么ｆ（ｘ）的图象是图13中的（）．
图12 图13
解：易得弓形ＰｎＯ的面积为Ｓ=2（ｘ-ｓｉｎｘ）．由于ｙ１＝ｘ是直线，每当ｘ增加一个单位增量Δｘ，ｙ１的对应增量Δｙ不变；而ｙ２＝ｓｉｎｘ是正弦曲线，在［0，π］上是凸的，在［π，2π］上是凹的，故每当ｘ增加一个单位增量Δｘ时，ｙ２对应的增量Δｙｉ（ｉ=1，2，3，…）在［0，π］上越来越小，在［π，2π］上是越来越大，故当ｘ增加一个单位增量Δｘ时，对应的Ｓ的变化，开始时在ｘ∈［0，π］上其增量ΔＳｉ（ｉ＝1，2，3，…）越来越大，经过ＯＣ⊥ＡＢ后，即在ｘ∈［π，2π］上，则越来越小，故Ｓ关于ｘ的函数图象，开始时在［0，π］上是凹的，后来在［π，2π］上是凸的，故选Ａ．。