10.2 投针试验
蒲丰投针试验讲解课件
该试验不仅在理论上具有重要意义，对 于理解随机性和几何规律的本质有重要 贡献，而且在实际应用中也有广泛的应
用价值。
蒲丰投针试验可以应用于统计学、物理 学、计算机科学等多个领域，为相关领
域的研究提供了重要的启示和工具。
蒲丰投针试验的局限性
01
02
03
04
蒲丰投针试验虽然是一个经典 的试验，但是它也存在一些局
针方向与平行线垂直。
重复投掷蒲丰投针N次，记录每 次投掷的结果。
测量与计算阶段
测量投掷后蒲丰投针 与平行线之间的距离 ，记录下来。
根据公式π=2*n/N ，计算π的近似值， 其中n为相交次数， N为投掷次数。
根据记录的数据，计 算蒲丰投针与平行线 相交的次数。
CHAPTER 03
试验结果分析
蒲丰投针试验的预期结果
蒲丰投针试验是一种估算π值的方法，其预期结果是通过投掷 一根针到一张白纸上，然后统计针与白纸边缘相交的次数， 来估算π的值。
蒲丰投针试验的预期结果是根据概率论和几何学原理推导出 来的，即当投掷次数足够多时，针与白纸边缘相交的频率接 近于π/4。
实际结果与预期结果的比较
在实际进行蒲丰投针试验时，需要记录针与白纸边缘相交的次数，并计 算出相应的π值。
限性。
首先，该试验的结果受到投针 方式、试验环境等因素的影响 ，可能导致结果存在误差。
其次，蒲丰投针试验的应用范 围相对有限，主要适用于一些 特定的几何形状和随机性问题
。
最后，蒲丰投针试验的结论仅 适用于理想化的模型，与实际
情况可能存在差异。
未来研究方向与展望
随着科学技术的发展和研究的深入， 蒲丰投针试验在未来仍有广阔的研究 前景。
蒲丰投针试验讲解课 件
投针试验练习
投针试验练习目标导航1.经历试验、统计等活动过程，在活动中进一步发展学生合作交流的意识和能力.2.能用试验的方法估计一些复杂的随机事件发生的概率.基础过关1.抛掷一枚质量分布均匀的骰子后，出现点数3的概率是（）A.12B.14C.16D.182.抛图钉时，图钉落地有两种情况，一种是针尖向下（如图一所示）一种是钉帽向下（如图二所示），你能通过列表分别算出它们的概率吗？3.小明做“击鼓传花”的游戏，两手交替不停地在鼓上拍打，当喊停时，请你估计小明右手落在鼓上的概率是多少？4.如图，有一轮盘，它的指针一头粗一头细.（1）若将指针固定，转动转盘，指针细的一头指向蓝色区域的概率是多少？.（2）若将转盘固定，转动指针，则细的一头指向蓝色区域的概率和（1）中的概率一样吗？不妨亲自试验一下.5.频数和频率都能反映一个对象在实验总次数中出现的频繁程度，我认为：（1）频数和频率间的关系是_________；（2）每个实验结果出现的频数之和等于_________；（3）每个实验结果出现的频率之和等于_________；6.有三个大小、形状完全相同的骰子，将它们同时抛到地面上，如果把这三个骰子看成一个三角形的顶点，那么构成三角形的概率是多少？构成直角三角形的概率是多少？请组成合作小组进行试验，并讨论其原因.能力提升7.如图，口袋中有5张完全相同的卡片，分别写有1cm、2cm、3cm、4cm和5cm，口袋外有2张卡片，分别写有4cm和5cm.现随机从袋内取出一张卡片，与口袋外两张卡片放在一起，以卡片上的数量分别为三条线段的长度，回答下列问题：（1）求这三条线段能构成三角形的概率；（2）求这三条线段能构成直角三角形的概率；（3）求这三条线段能构成等腰三角形的概率；8.如图，数轴上两点A、B，在线段AB上任取一点，同点C到表示1的点的距离不大于2的概率是.9.小明与父母从广州乘火车回梅州参观叶帅纪念馆，他们买到的火车票是同一排相邻的三个座位，那么小明恰好坐在父母中间的概率是.聚沙成塔表中是一个机器人做9999次“抛硬币”游戏时记录下的出现正面的频数和频率．（1）由这张频数和频率表可知，机器人抛掷完5次时，得到1次正面，正面出现的频率是20%，那么，也就是说机器人抛掷完5次时，得到_________次反面，反面出现的频率是_________；（2）由这张频数和频率表可知，机器人抛掷完9999次时，得到_________次正面，正面出现的频率是_________；那么，也就是说机器人抛掷完9999次时，得到_________次反面，反面出现的频率是_________；。
北师大版数学九年级上册6.2《投针试验》说课稿
北师大版数学九年级上册6.2《投针试验》说课稿一. 教材分析北师大版数学九年级上册6.2《投针试验》是北师大版数学教材九年级上册第六章第二节的内容。
这一节主要介绍了投针试验的基本概念、原理和应用。
教材通过具体的案例，让学生了解投针试验的原理，培养学生的实际操作能力和解决问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于概率和统计方面的知识有一定的了解。
但是，对于投针试验这一概念和相关原理可能比较陌生，需要通过具体案例和实践操作来理解和掌握。
三. 说教学目标1.让学生了解投针试验的基本概念和原理。
2.培养学生运用投针试验解决实际问题的能力。
3.培养学生合作交流、归纳总结的能力。
四. 说教学重难点1.投针试验的基本概念和原理。
2.投针试验在实际问题中的应用。
五.说教学方法与手段1.采用问题驱动的教学方法，通过具体的案例引导学生理解和掌握投针试验的原理和应用。
2.利用多媒体手段，展示投针试验的实验过程和结果，增强学生的直观感受。
3.学生进行小组讨论和实践操作，培养学生的合作交流能力和解决问题的能力。
六.说教学过程1.引入：通过讲解和演示，引导学生了解投针试验的基本概念和原理。
2.实践操作：学生进行小组讨论和实践操作，让学生亲身体验投针试验的过程和结果。
3.案例分析：通过具体的案例，引导学生运用投针试验解决实际问题。
4.归纳总结：学生进行小组讨论和总结，引导学生理解投针试验的应用和意义。
5.巩固提高：布置适量的练习题，让学生进一步巩固和提高投针试验的应用能力。
七.说板书设计板书设计要简洁明了，突出投针试验的基本概念和原理。
可以设计如下：•投针试验是一种实验方法，通过投掷针来研究随机现象。
•投针试验的基本原理是针的随机投掷结果与概率有关。
•投针试验可以应用于估计圆周率π的值。
•投针试验可以解决其他与随机现象相关的问题。
八.说教学评价教学评价主要包括两个方面：过程评价和结果评价。
1.过程评价：主要评价学生在小组讨论和实践操作中的参与程度、合作交流能力和问题解决能力。
Buffon投针试验
a
M x
m(G ) G的面积 P ( A) m( S ) S的面积
b 0 2 sin d a π 2 b 2b . a π aπ 2
π
蒲丰投针试验的应用及意义
根据频率的稳定性, 当投针试验次数n很大时, m 算出针与平行直线相交的次数m, 则频率值 即可 n 作为P( A)的近似值代入上式, 那么
定义 当随机试验的样本空间是某个区域,并且任 意一点落在度量 (长度, 面积, 体积) 相同的子区域 是等可能的,则事件 A 的概率可定义为
m( A) P( A) m( S )
(其中m( S ) 是样本空间的度量, m( A) 是构成事件 A 的子区域的度量 ) 这样借助于几何上的度量来合理 规定的概率称为几何概率.
投针试验的所有可能结果 与矩形区域 a S {( x, ) | 0 x , 0 } 2 中的所有点一一对应. 由投掷的任意性可知, 这是一个几何概型问题. 所关心的事件
A {针与任一平行直线相交} 发生的充分必要条件为S中的点满足
b 0 x sin , 0 π 2
蒲丰投针试验
例 1777年,法国科学家蒲丰(Buffon)提出了投针 试验问题.平面上画有等距离为a(>0)的一些平行直 线,现向此平面任意投掷一根长为b(<a)的针,试求 针与任一平行直线相交的概率.
解： 以x表示针投到平面上时, a 针的中点M 到最近的一条平行
M x
直线的距离, 表示针与该平行直线的夹角. 那么针落在平面上的位置可由( x, )完全确定.
几何概型
古典概型是关于试验的结果为有限且每个结果出现的 可能性相同的概率模型。一个直接的推广是：保留等 可能性，而允许试验的所有可能结果为直线上的一线 段，平面上的一区域或空间中的一立体等具有无限多 个结果的情形，称具有这种性质的试验模型为几何概 型.
北师大版数学九年级上册6.2《投针试验》教学设计
北师大版数学九年级上册6.2《投针试验》教学设计一. 教材分析《投针试验》是北师大版数学九年级上册第六章第二节的内容。
本节课主要介绍了投针试验的基本原理和应用，通过投针试验可以估计π的值。
教材通过实例引导学生探究投针试验的规律，培养学生的逻辑思维能力和数学素养。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对概率和统计有一定的了解。
但投针试验作为一种特殊的概率实验，对学生来说较为陌生。
因此，在教学过程中，教师需要引导学生逐步理解投针试验的原理，并运用到实际问题中。
三. 教学目标1.了解投针试验的基本原理，学会进行投针试验。
2.能够运用投针试验估计π的值。
3.培养学生的观察能力、思考能力和合作能力。
4.提高学生对数学的兴趣和好奇心。
四. 教学重难点1.投针试验的基本原理。
2.如何进行投针试验。
3.投针试验在实际问题中的应用。
五. 教学方法1.讲授法：教师讲解投针试验的基本原理和步骤。
2.演示法：教师演示投针试验，学生跟随操作。
3.讨论法：学生分组讨论，分享投针试验的结果和感受。
4.案例分析法：分析实际问题，引导学生运用投针试验解决问题。
六. 教学准备1.投针试验材料：针、圆盘、直尺。
2.投针试验教学课件。
3.实际问题案例。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过引入投针试验的背景，激发学生的兴趣。
例如，讲述古人是如何猜测π的值的，引出投针试验这一方法。
2.呈现（10分钟）教师讲解投针试验的基本原理和步骤，引导学生理解投针试验的意义。
3.操练（10分钟）学生分组进行投针试验，记录试验结果。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）教师邀请部分学生分享投针试验的结果和感受，引导学生总结投针试验的规律。
5.拓展（10分钟）教师提出实际问题，引导学生运用投针试验解决问题。
例如，估计一个多边形的周长。
6.小结（5分钟）教师引导学生总结本节课的主要内容和收获，巩固投针试验的知识。
7.家庭作业（5分钟）教师布置相关的家庭作业，巩固投针试验的知识。
6.2-投针试验
实验：
同学们,我们按下列步骤,亲自来体验一下这个有趣 的试验: 1.两人一组; 2.在纸上画出一些平行线,先确定平行线之间的距离a和 针长l(l<a)的值(每根小针的长度都是平行线之间距离的 一半); 3.至少做100次试验,分别记录其中相交(用1表示)和不 相交(用0表示)的次数; 4.统计试验数据,估计针与平行线相交的概率.
3．汇总全班各小组的结果，得到钉帽着地的频率， 并绘制折线统计图．
随堂练 习
1.议一议(请简要说明理由) 某个城市的警察，在调查夜间步行者因事故死亡
的服装时,发现死亡者大约4/5的人穿着暗色衣服,1/5 的人穿着较明亮的服装．从这个调查中发现:天黑时, 步行者穿白色服装或手拿白色的东西，很容易被看清, 因而可以降低交通事故的发生率.
知识讲 解
当针投到平行线的纸上时，会有什么情况出现？
当针投到平行线的纸上时，会有什么情况出现？ 相交和不相交的可能性相同吗？
最后布丰宣布结果：大家共投针2212次，其中与直 线相交的就有704次．用704去除2212，得数为3.142．他 笑了笑说：“这就是圆周率π 的近似值．”这时，众宾 客哗然：“圆周率π ?这根本和圆沾不上边呀?” 布丰先 生却好像看透了众人的心思，斩钉截铁地说：“诸位不 用怀疑，这的确就是圆周率π 的近似值．你们看，连圆 规也不要，就可以求出π 的值来.只要你有耐心，投掷的 次数越多，求出的圆周率就越精确．”
合5 5 5 5 5 5 5 5 5 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 7 7 7 7 7 7 计1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5
合7 计6
7 7
Buffon投针实验报告
Buffon投针实验一、实验目的：在计算机上用试验方法求圆周率的近似值。
二、实验原理：假设平面上有无数条距离为1的等距平行线，现向该平面随机投掷长度为L(L≤1)的针，则针与平行线相交的概率 P=。
设针的中心M与最近一条平行线的距离为x，则x~U(0,1);针与平行线的夹角为(不管相交与否)，则~U(0,)如图：()在矩阵上均匀分布，且针与平行线相交的充要条件为x≤=；P=P{ x=}。
记录≤成立的次数，记为由-大数定理：≈,则=2。
在计算机上产生则=~U(0,),i=1,2,…,n;再产生，则, i=1,2,…,n三、实验方法及代码：在计算机上进行模拟实验，求出的实验值。
给定L，在计算机上利用MFC独立随机产生x和，然后判断≤是否成立.代码如下：#include "stdafx.h"#include "buffon.h"#include "ChildView.h"#include "ChoiceDlg.h"#include <ctime>#include <cmath>#ifdef _DEBUG#define new DEBUG_NEW#undef THIS_FILEstatic char THIS_FILE[] = __FILE__;#endif// CChildViewCChildView::CChildView(){Trynum=1000;}CChildView::~CChildView(){}BEGIN_MESSAGE_MAP(CChildView,CWnd )//{{AFX_MSG_MAP(CChildView)ON_WM_PAINT()ON_COMMAND(ID_TOOL_NUM, OnToolNum)ON_COMMAND(ID_TOOL_RETRY, OnToolRetry)//}}AFX_MSG_MAPEND_MESSAGE_MAP()// CChildView message handlersBOOL CChildView::PreCreateWindow(CREATESTRUCT& cs){if (!CWnd::PreCreateWindow(cs))return FALSE;cs.dwExStyle |= WS_EX_CLIENTEDGE;cs.style &= ~WS_BORDER;cs.lpszClass = AfxRegisterWndClass(CS_HREDRAW|CS_VREDRAW|CS_DBLCLKS,::LoadCursor(NULL, IDC_ARROW), HBRUSH(COLOR_WINDOW+1), NULL);return TRUE;}void CChildView::OnPaint(){CPaintDC dc(this),*pDC;pDC=&dc;CFont font, *pOldFont;font.CreatePointFont(200,"宋体");pOldFont=pDC->SelectObject(&font);pDC->SetTextColor(RGB(255,0,0));pDC->TextOut(100,5,"蒲丰投针试验");pDC->SelectObject(pOldFont);CPen myPen1,myPen2, *pOldPen1,*pOldPen2;CRect rect1(30,30,920,620);pDC->Rectangle(rect1);myPen1.CreatePen(PS_SOLID, 1, RGB(0,0,255));pOldPen1=pDC->SelectObject(&myPen1);for(int i=100;i<600;i+=50){pDC->MoveTo(50,i);pDC->LineTo(900, i);}pDC->SelectObject(pOldPen1);myPen2.CreatePen(PS_SOLID, 1, RGB(0,255,0));pOldPen2=pDC->SelectObject(&myPen2);srand(time(0));int a,b,q,a1,b1,su,flag;np=0;for(int j=0;j<Trynum;j++){a=rand()%850+50;b=rand()%450+100;q=rand()%180;a1=25*cos(q);b1=25*sin(q);su=pow(-1,rand()%2);pDC->MoveTo((a-su*a1),(b-su*b1));pDC->LineTo((a+su*a1),(b+su*b1));if( (b%50) >= 25 )flag =50-b%50;elseflag = b%50;if( 25*sin(q) >= flag )np++;}pDC->SelectObject(pOldPen2);CString str;int c=Trynum/(np*1.0);int d=(int)((Trynum/(np*1.0)*100000))%100000;str.Format("投针次数:%d;\n相交次数:%d;\nπ的估算值:%d.%d",Trynum,np,c,d);MessageBox(str,"实验数据信息");}void CChildView::OnToolNum(){CChoiceDlg mydlg;if(mydlg.DoModal()==IDOK){this->Trynum = mydlg.m_Trynum ;this->RedrawWindow();}}void CChildView::OnToolRetry(){// TODO: Add your command handler code herethis->RedrawWindow();}四、实验数据处理与分析：根据实验数据，得到近似值为3.2313，可得相对误差为δ=（3.2313-π）/π≈0.02856；运行截图：五、实验小结：本次实验，通过MFC进行模拟投针，模拟效果较好，随着投针次数模拟的增多，实验结果逼近于π的真实值，但是实验程序有待优化，在较多投针次数的模拟中，实验程序运行速度较慢，可以改进相关算法来做适当调节。
蒲丰投针原理
/4.因为对于每一个z，这个概率都为（π-2）/4，因此对于任意的正数x，y，z，有P=（π-2）/4，命题得证。
为了估算π的值，我们需要通过实验来估计它的概率，这一过程可交由计算机编程来实现，事实上x+y>z，x²+y²；﹤z²；等价于（x+y-z）（x²+y²-z²；）﹤0，因此只需检验这一个式子是否成立即可。
若进行了m 次随机试验，有n次满足该式，当m足够大时，n/m趋近于（π-2）/4，令n/m=（π-2）/4，解得π=4n/m+2，即可估计出π值。
值得注意的是这里采用的方法：设计一个适当的试验，它的概率与我们感兴趣的一个量（如π）有关，然后利用试验结果来估计这个量，随着计算机等现代技术的发展，这一方法已经发展为具有广泛应用性的蒙特卡罗方法。
计算π最稀奇方法之一计算π的最为稀奇的方法之一，要数18世纪法国的博物学家C·布丰和他的投针实验：在一个平面上，用尺画一组相距为d的平行线；一根长度小于d的针，扔到画了线的平面上；如果针与线相交，则该次扔出被认为是有利的，否则则是不利的．布丰惊奇地发现：有利的扔出与不利的扔出两者次数的比，是一个包含π的表示式．如果针的长度等于d，那么有利扔出的概率为2/π．扔的次数越多，由此能求出越为精确的π的值．公元1901年，意大利数学家拉兹瑞尼作了3408次投针，给出π的值为3．1415929——准确到小数后6位．不过，不管拉兹瑞尼是否实际上投过针，他的实验还是受到了美国犹他州奥格登的国立韦伯大学的L·巴杰的质疑．通过几何、微积分、概率等广泛的范围和渠道发现π，这是着实令人惊讶的！证明下面就是一个简单而巧妙的证明。
找一根铁丝弯成一个圆圈，使其直径恰恰等于平行线间的距离d。
可以想象得到，对于这样的圆圈来说，不管怎么扔下，都将和平行线有两个交点。
北师大版九年级数学上册：第三章《概率的进一步认识》教案
(1)利用列表的方法表 示游戏者所有可能出 现的结果. (2)游戏者获胜的概率 是多少?
红白 A盘
蓝 黄
绿 B盘
勇气通往天堂，怯懦通往地狱。
第三章 频率与概率
知识总结
（一）等可能性事件的两个的特征：1.出现的结 果有限多个;2.各结果发生的可能性相等；
（二）列举法列举法就是把要数的对象一一列 举出来分析求解的方法． 1.有时一一列举出的情况数目很大，此时需要 考虑如何去排除不合理的情况，尽可能减少列 举的问题可能解的数目. 2．利用列举法求概率的关键在于正确列举出试 验结果的各种可能性，而列举的方法通常有直 接分类列举、列表、画树形图等
随堂练习 （基础练习） 1、一个袋子中装有2个红球和2个绿球,任意摸出一 球,记录颜色放回,再任意摸出一球,记录颜色放回,请
1
你估计两次都摸到红球的概率是______4 __。
2、某人有红、白、蓝三件衬衫和红、白、蓝三条 长裤，该人任意拿一件衬衫和一条长裤，求正好
1
是一套白色的概率______9___。
P1 4
（2）如果父亲基因型为Dd，母亲基因型为dd，问子
女发病的概率是多少？P（发病） 2 1
42
“配紫色”游戏
小颖为学校联欢会设计了一个“配紫色”游戏:下面是两 个可以自由转动的转盘,每个转盘被分成相等的几个扇形.
转盘B转出了蓝色,那么他就赢了,因为红色和蓝色在 一起配成了紫色.
3、在6张卡片上分别写有1—6的整数,随机的抽取 一张后放回,再随机的抽取一张，那么,第一次取出 的数字能够整除第2次取出的数字的概率是多少?
解：将两次抽取卡片记为第1个和第2个，用表格列出所有可 能出现的情况，如图所示，共有36种情况。
九年级数学上册第六章《2-投针实验》拓展资料布丰的投针试验
公元1777年的一天，法国科学家布丰（D．Buffon1707-1788）的家里宾客满堂，原来他们是应主人的邀请前来观看一次奇特试验的。
试验开始，但见年已古稀的布丰先生兴致勃勃地拿出一张纸来，纸上预先画好了一条条等距离的平行线。
接着他又抓出一大把原先准备好的小针，这些小针的长度都是平行线间距离的一半。
然后布丰先生宣布：“请诸位把这些小针一根一根往纸上扔吧！不过，请大家务必把扔下的针是否与纸上的平行线相交告诉我。
”众宾哗然，一时议论纷纷，个个感到莫名其妙。
“圆周率π？这可是与圆半点也不沾边的呀！”布丰先生似乎猜透了大家的心思，得意洋洋地解释道：“诸位，这里用的是概率的原理，如果大家有耐心的话，再增加投针的次数，还能得到π的更精确的近似值。
不过，要想弄清其间的道理，只好请大家去看敝人的新作了。
”说着布丰先生扬了扬自己手上的一本《或然算术试验》的书。
π在这种纷纭杂乱的场合出现，实在是出乎人们的意料，然而它却是千真万确的事实。
由于投针试验的问题，是布丰先生最先提出的，所以数学史上就称它为布丰问题。
布丰得出的一般结果是：如果纸上两平行线间相距为d，小针长为，投针的次数为n，所投的针当中与平行线相交的次数是m，那么当n相当大时有：在上面故事中，针长等于平行线距离d的一半，所以代入上面公式简化我想，喜欢思考的读者，一定想知道布丰先生投针试验的原理，下面就是一个简单而巧妙的证明。
找一根铁丝弯成一个圆圈，使其直径恰好等于平行线间的距离d。
可以想象，对于这样的圆圈来说，不管怎么扔下，都将和平行线有两个交点。
因此，如果圆圈扔下的次数为n次，那么相交的交点总数必为2n。
现在设想把圆圈拉直，变成一条长为πd的铁丝。
显然，这样的铁丝扔下时与平行线相交的情形要比圆圈复杂些，可能有4个交点、3个交点、2个交点、1个交点，甚至于都不相交。
由于圆圈和直线的长度同为πd，根据机会均等的原理，当它们投掷次数较多，且相等时，两者与平行线组交点的总数可望是一样的。
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想一想,如果我们亲自做这个实验 想一想 如果我们亲自做这个实验
相交和不相交的可能性相同吗？ 相交和不相交的可能性相同吗？
你能通过列表或树状图求出该针与平行线 相交的概率吗？ 相交的概率吗？
引入新知
学习目标
1.经历试验 统计等活动过程 在活动过程中 经历试验,统计等活动过程 经历试验 统计等活动过程,在活动过程中 进一步发展生生之间合作交流的意识和能力; 进一步发展生生之间合作交流的意识和能力 2.能用试验的方法估计一些复杂的随机事 能用试验的方法估计一些复杂的随机事 能用试验的方法 件发生的概率. 件发生的概率
投针实验
最后布丰宣布结果：大家共投针2212次 最后布丰宣布结果：大家共投针2212次，其中 2212 与直线相交的就有704 704次 704去除2212， 去除2212 与直线相交的就有704次.用704去除2212，得数 3.142.他笑了笑说： 这就是圆周率π 为3.142.他笑了笑说：“这就是圆周率π的近 似值. 这时，众宾客哗然： 圆周率π 似值.”这时，众宾客哗然：“圆周率π?这根 本和圆沾不上边呀? 本和圆沾不上边呀?”布丰先生却好像看透了众 人的心思，斩钉截铁地说： 诸位不用怀疑， 人的心思，斩钉截铁地说：“诸位不用怀疑， 这的确就是圆周率π的近似值.你们看， 这的确就是圆周率π的近似值.你们看，连圆规 也不要，就可以求出π的值来.只要你有耐心， 也不要，就可以求出π的值来.只要你有耐心， 投掷的次数越多，求出的圆周率就越精确. 投掷的次数越多，求出的圆周率就越精确.”这 就是数学史上有名的“投针试验” 就是数学史上有名的“投针试验”.
做一做
同学们,我们按下列步骤 亲自来体验一下 同学们 我们按下列步骤,亲自来体验一下 我们按下列步骤 这个有趣的试验: 这个有趣的试验 1.两人一组 两人一组; 两人一组 2.在纸上画出一些平行线 先确定平行线之 在纸上画出一些平行线,先确定平行线之 在纸上画出一些平行线 间的距离a和针长 间的距离 和针长l(l<a)的值 每根小针的长 的值(每根小针的长 和针长 的值 度都是平行线之间距离的一半); 度都是平行线之间距离的一半 3.至少做 次试验 分别记录其中相交 用 至少做100次试验 分别记录其中相交(用 次试验,分别记录其中相交 至少做 1表示 和不相交 用0表示 的次数 表示)和不相交 表示)的次数 表示 和不相交(用 表示 的次数; 4.统计试验数据 估计针与平行线相交的概 统计试验数据,估计针与平行线相交的概 统计试验数据 率.
200 1 0 1000 1200 9600
读一读
投针试验的历史资料
试验者 Wolf Smitn C.Dg morgan Fox Lazzerini Reina 时间 1850年 年 1855年 年 1860年 年 1884年 年 1901年 年 1925年 年 投掷次数 5 000 3 204 600 1 030 3 408 2 520 相交次数 2 532 1 218.5 382.5 489 1 808 859 π的试验值 的试验值 3.159 6 3.155 4 3.137 3.159 5 3.141 592 9 3.17 5
老师提示: 以3个正数为边长围成一个钝角三角 形的概率P也与π有关.
本课小结
投针试验 针与平行线相交概率的理 论计算公式:
2l 2l P = , 它与 π 有关 . πa
2l 2l 即π = . pa
什么是“蒙特卡罗方法” 什么是“蒙特卡罗方法” ？
独立 作业
习题10.4 第1题.
1.从一定的高度掷一个瓶盖,落地后可能
读一读
另一类形式与Monte Carlo方法相似 方法相似， 另一类形式与Monte Carlo方法相似，但理论 基础不同的方法—“拟蒙特卡罗方法” 基础不同的方法 “拟蒙特卡罗方法” (QuasiCarlo方法 近年来也获得迅速 方法) (Quasi-Monte Carlo方法)—近年来也获得迅速 发展.我国数学家华罗庚、王元提出的“ 发展.我国数学家华罗庚、王元提出的“华—王” 王 方法即是其中的一例.这种方法的基本思想是 方法即是其中的一例. 用确定性的超均匀分布序列(数学上称为Low “用确定性的超均匀分布序列(数学上称为Low Sequences)代替 代替Monte Carlo方法 Discrepancy Sequences)代替Monte Carlo方法 中的随机数序列. 中的随机数序列.对某些问题该方法的实际速度 一般可比Monte Carlo方法提出高数百倍 方法提出高数百倍， 一般可比Monte Carlo方法提出高数百倍，并可 计算精确度. 计算精确度.
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合 计
合 计
合 计
做一做 同学们,我们按下列步骤,统计一下全班的试验结果: 同学们,我们按下列步骤,统计一下全班的试验结果: 1.两个小组(200次 两个小组(200 1.两个小组(200次); 2.10个小组(1000次); 2.10个小组(1000次 个小组(1000 3.全班 全班( 1200次 3.全班(约1200次); 4.全年级 全年级( 9600次 4.全年级(约9600次). 其中相交（ 表示）和不相交( 表示) 其中相交（用1表示）和不相交(用0表示)
Carlo方法的基本思想很早以前就 Monte Carlo方法的基本思想很早以前就 被人们所发现和利用.早在17世纪， 17世纪 被人们所发现和利用.早在17世纪，人们 就知道用事件发生的“频率” 就知道用事件发生的“频率”来决定事件 概率”.19世纪人们用投针试验的方 的“概率”.19世纪人们用投针试验的方 法来决定圆周率π.世纪40 π.世纪40年代电子计算 法来决定圆周率π.世纪40年代电子计算 机的出现， 机的出现，特别是近年来高速电子计算机 的出现，使得用数学方法在计算机上大量、 的出现，使得用数学方法在计算机上大量、 快速地模拟这样的试验成为可能. 快速地模拟这样的试验成为可能.
想一想
从一定高度落下的图钉,落地后可能 钉尖着地,也可能钉帽着地.你估计哪 种事件发生的概率大?组成合作小组, 用试验的方法估计钉尖着地的概率, 并与其它小组进行交流.
想一想
随便说出3个正数,以这3个正数为边 长一定能围成一个三角形吗? 一定能围成一个钝角三角形(其中最 大边的平方大于另外两边的平方和)吗? 估计能围成一个钝0.2 投针试验
投针实验
法国自然哲学家布丰先生经常搞点有趣的 试验给朋友们解闷.1777年的一天，布丰先 试验给朋友们解闷.1777年的一天， 年的一天 生又在家里为宾客们做一次有趣的试验， 生又在家里为宾客们做一次有趣的试验，他 先在一张白纸上画满了一条条距离相等的平 行线.然后，他抓出一大把小针， 行线.然后，他抓出一大把小针，每根小针 的长度都是平行线之间距离的一半.布丰说： 的长度都是平行线之间距离的一半.布丰说： “请诸位把这些小针一根一根地往纸上随便 扔吧. 扔吧.”客人们好奇地把小针一根根地往纸 上乱扔. 上乱扔.
读一读
考虑平面上的一个边长为1的正方形及其内部 的一个形状不规则的“图形”，如何求出这个 “图形”的面积呢？Monte Carlo方法是这样 一种“随机化”的方法：向该正方形“随机地” 投掷N个点落于“图形”内，则该“图形”的 面积近似为M/N. 可用民意测验来作一个不严格的比喻.民意测 验的人不是征询每一个登记选民的意见，而是 通过对选民进行小规模的抽样调查来确定可能 的优胜者.其基本思想是一样的.
蒙特卡罗方法 简介 科技计算中的问题比这要复杂得多. 科技计算中的问题比这要复杂得多.比如金融 衍生产品（期权、期货、掉期等） 衍生产品（期权、期货、掉期等）的定价及交 易风险估算，问题的维数（即变量的个数） 易风险估算，问题的维数（即变量的个数）可 能高达数百甚至数千.对这类问题， 能高达数百甚至数千.对这类问题，难度随维 数的增加呈指数增长，这就是所谓的“ 数的增加呈指数增长，这就是所谓的“维数的 灾难” Dimensionality)， 灾难”(Course Dimensionality)，传统的数 值方法难以对付（ 值方法难以对付（即使使用速度最快的计算 Carlo方法能很好地用来对付维数 机）.Monte Carlo方法能很好地用来对付维数 的灾难， 的灾难，因为该方法的计算复杂性不再依赖于 维数. 维数.以前那些本来是无法计算的问题现在也 能够计算量.为提高方法的效率， 能够计算量.为提高方法的效率，科学家们提 出了许多所谓的“方差缩减”技巧. 出了许多所谓的“方差缩减”技巧.
盖面朝上,也可能盖面朝下.你估计哪种 事件发生的概率大?组成合作小组,用试 验的方法估计盖面朝上的概率,并交流 各组的瓶盖以及所求结果,看看结果是 否相同,讨论其原因.
蒙特卡罗方法 简介 蒙特卡罗(Monte Carlo)方法 方法， 蒙特卡罗(Monte Carlo)方法，或称计 算机随机模拟方法，是一种基于“ 算机随机模拟方法，是一种基于“随机 的计算方法. 数”的计算方法.这一方法源于美国在 第一次世界大战进研制原子弹的“曼哈 第一次世界大战进研制原子弹的“ 顿计划” 该计划的主持人之一、 顿计划”.该计划的主持人之一、数学 家冯·诺伊曼用驰名世界的赌城 诺伊曼用驰名世界的赌城—摩纳哥 家冯 诺伊曼用驰名世界的赌城 摩纳哥 Carlo—来命名这种方法 来命名这种方法， 的Monte Carlo 来命名这种方法，为 它蒙上了一层神秘色彩. 它蒙上了一层神秘色彩.
做一做
合 计
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 5 5 5 5 5 5 5 5 5 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 7 7 7 7 7 7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 7 7 7 7 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9