2015年高考数学模拟试卷 新课标 含答案

2015年高考数学模拟试卷 新课标 含答案1．运行如图所示的程序框图，则输出的所有实数对),(y x 所对应的点都在函数（ ）A ．1+=x y 的图像上B ．x y 2=的图像上C ．x y 2=的图像上D ．12-=x y 的图像上2．下列说法正确的是（ ）A ．命题“若12=x ，则1=x ”的否命题是“若12=x ，则1≠x ”B ．“1-=x ”是“022=--x x ”的必要不充分条件C ．命题“若y x =，则y x sin sin =”的逆否命题是真命题D ．“1t a n =x ”是“3．设1F 、2F 是双曲线C ：（0>a ，0>b ）的两个焦点，P 是C 上一点，若a PF PF 6||||21=+，且△21F PF 最小内角的大小为︒30，则双曲线C 的渐近线方程 是（ ）A ．02=±y x D ．02=±y x 4．设函数)(x f y =的定义域为D ，若对于任意1x 、D x ∈2，当a x x 221=+时，恒有b x f x f 2)()(21=+，则称点),(b a 为函数)(x f y =图像的对称中心．研究函数3sin )(-+=x x x f π的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到） A ．4027 B ．4027- C ．8054 D ．8054-5．已知i 为虚数单位，计算：=-+ii23___________． 6．已知集合}1,0,1,2{--=A ，集合},01{2R ∈≤-=x x x B ，则=B A _______．7．函数2)cos (sin x x y +=的最小正周期是__________________． 8．8)1)(1(+-x x 展开式中含5x 项的系数是_________．9．某校选修篮球课程的学生中，高一学生有30名，高二学生有40名，现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一学生中抽取了6人，则在高二学生中应抽取__________人．10．在直角三角形ABC 中，︒=∠90C ，4=AC ，则=⋅__________． 11．对于任意),1()1,0(∞+∈ a ，函数)1(log 111)(--=x x f a 的反函数)(1x f-的图像经过的定点的坐标是______________．12．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≤<--≤≤=,21,)1(1,10,)(2x x x x x f 将)(x f 的图像与x 轴围成的封闭图形绕x轴旋转一周，所得旋转体的体积为___________．13．已知点),4(m P 在曲线C ：⎩⎨⎧==ty t x 4,42（t 为参数）上，则P 到曲线C 的焦点F 的距离为_______________．14．已知抛物线型拱桥的顶点距水面2米时，量得水面宽为8米．则水面升高1米后，水面宽是____________米（精确到01.0米）． 15．设随机变量ξ的概率分布律如下表所示：x0 1 2)(x P =ξ abc其中a ，b ，c 成等差数列，若随机变量ξ的的均值为34，则ξ的方差为___________． 16．若不等式2||≤+a x 在]2,1[∈x 时恒成立，则实数a 的取值范围是__________．17．设⎪⎭⎫⎝⎛+=x n x f n 2πsin )(（*N ∈n ），若△ABC 的内角A 满足 ++)()(21A f A f 0)(2014=+A f ，则=+A A cos sin ____________．18．定义函数}}{{)(x x x f ⋅=，其中}{x 表示不小于x 的最小整数，如2}4.1{=，2}3.2{-=-．当],0(n x ∈（*N ∈n ）时，函数)(x f 的值域为n A ，记集合n A 中元素的个数为n a ，则=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++∞→n n a a a 111lim 21 ________________．19．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知B p C A sin sin sin ⋅=+（R ∈p ），且241b ac =． （1）当45=p ，1=b 时，求a ，c 的值； （2）若B 为锐角，求实数p 的取值范围．20．在如图所示的多面体中，四边形ABCD 为正方形，四边形ADPQ 是直角梯形，DP AD ⊥，⊥CD 平面ADPQ ，DP AQ AB 21==．（1）求证：⊥PQ 平面DCQ ；（2）求平面BCQ 与平面ADPQ 所成的锐二面角的大小．21．已知椭圆Γ：12222=+by a x （0>>b a ）的右焦点为)0,22(，且椭圆Γ过点)1,3(．（1）求椭圆Γ的方程；（2）设斜率为1的直线l 与椭圆Γ交于不同两点A 、B ，以线段AB 为底边作等腰三角ABCD P形PAB ，其中顶点P 的坐标为)2,3(-，求△PAB 的面积．22．设数列}{n a ，}{n b ，}{n c ，已知41=a ，31=b ，51=c ，n n a a =+1，21nn n c a b +=+，21nn n b a c +=+（*N ∈n ）． （1）求数列}{n n b c -的通项公式；（2）求证：对任意*N ∈n ，n n c b +为定值；（3）设n S 为数列}{n c 的前n 项和，若对任意*N ∈n ，都有]3,1[)4(∈-⋅n S p n ，求实数p 的取值范围．23．设a 是实数，函数|2|4)(a x f x x -+=（R ∈x ）． （1）求证：函数)(x f 不是奇函数；（2）当0≤a 时，求满足2)(a x f >的x 的取值范围； （3）求函数)(x f y =的值域（用a 表示）．参考答案1．D 【解析】试题分析：据题意，输出的第一个点是(1,1)，可排除,B C ，第二个点是(2,2)，又排除A ，故选D .考点：程序框图. 2．C 【解析】试题分析：A 中，否命题应该是“若20x ≠，则1x ≠”， A 错；B 中1x =-时，有220x x --=，故至少是充分的，B 错；C 中“若x y =，则sin sin x y =”是真命题，因此其逆否命题也是真命题，选C ，而D 应该是必要不充分条件． 考点：充分必要条件，四种命题． 3．B 【解析】试题分析：不妨设122PF PF a -=，则由已知126PF PF a +=，得124,2PF a PF a ==，又1222F F c a =>，因此12PFF ∆中最小角为1230PF F ∠=︒，由余弦定理得224cos30c a ⨯⨯︒24c =+22164a a -，解得c =，所以b =，渐近线方程为by x a=±=，选B ． 考点：双曲线的定义，余弦定理，渐近线方程． 4．D 【解析】试题分析：考虑到正弦函数的性质，当122x x +=时，12121()()s i n si n 6f x f x xx x x ππ+=+++-= 114sin sin(2)4x x πππ-++-=-，因此函数()f x 关于点(1,2-对称，则4028()()420142014k kf f -+=-，1,2,,4027k =，又(1)2f =-，故所和为42013(2)8054-⨯+-=-．考点：分组求和． 5．i +1 【解析】 试题分析：3(3)(2)63215512(2)(2)215i i i i i ii i i i +++++-+====+--++．考点：复数的运算． 6．}1,0,1{- 【解析】试题分析：由题意{|11}B x x =-≤≤，{1,0,1}A B =-．考点：集合的运算． 7．π 【解析】试题分析：22sin 2sin cos cos sin 21y x x x x x =++=+，22T ππ==． 考点：三角函数的周期． 8．14 【解析】试题分析：818888(1)1x C x C x +=+++，所以5x 的系数为458814C C -=．考点：二项展开式的系数． 9．8 【解析】试题分析：设高二学生抽取x 人，则30406x=，解得8x =． 考点：分层抽样． 10．16 【解析】试题分析：2cos 16AB AC AB AC BAC AC ⋅=∠==． 考点：向量的数量积． 11．)2,1( 【解析】试题分析：()log (1)1a f x x =-+，()f x 过点(2,1)，则其反函数必过点(1,2)． 考点：反函数的性质． 12．π 【解析】试题分析：23114111323V πππ=⋅⋅+⋅⋅=． 考点：旋转体的体积． 13．5 【解析】试题分析：消去参数t 和，得曲线C 的普通方程为24y x =，这是抛物线，其焦点为(1,0)F ，415PF =+=.考点：参数方程与普通方程的互化，抛物线的定义. 14．66.5 【解析】试题分析：设抛物线方程为2y ax bx c =++，当 x =0时 c=2，当x =-4和x=4时y=0，求得18a =-， b=0，则2128y x =-+，令y=1，得x =±，所以水面宽 5.66≈.考点：抛物线方程. 15．95 【解析】试题分析：由题意有1a b c ++=， 2b a c =+，423b c +=，解得111,,632a b c ===，则其方差为D ξ=222414141(0)(1)(2)363332-⨯+-⨯+-⨯=59.考点：随机变量的均值与方差. 16．]0,3[- 【解析】试题分析：由题意得22x a -≤+≤，22x a x --≤≤-，所以max (2)(2)min x a x --≤≤-，因为[1,2]x ∈，所以30a -≤≤. 考点：简单的不等式恒成立问题. 17．2 【解析】试题分析：由诱导公式可得4()()k i i f x f x +=，1,2,3,4i =，即12201()()(f A f A f+++=12()()f A f A +cos sin 0A A =-=，即sin cos A A =，所以4A π=，sin cos A A +=.考点：三角函数的周期性. 18．2 【解析】试题分析：由题意，11a =，当(,1]x n n ∈+时，{}1x n =+，22{}(,21]x x n n n n ⋅∈+++，{{}}x x ⋅的取值依次为2221,2,,21n n n n n n ++++++共1n +个，即11n n a a n +=++，由此可得(1)1232n n n a n +=++++=，12112()(1)1n a n n n n ==-++，所以12111221n a a a n +++=-+， 121112lim()lim(2)21n n n a a a n →∞→∞+++=-=+.考点：归纳推理，裂项相消求和，数列的极限.19．(1)⎪⎩⎪⎨⎧==41,1c a 或⎪⎩⎪⎨⎧==.1,41c a ；（2）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,26p ． 【解析】试题分析：（1）题设要求边，因此已知中角的关系应该转化为边的关系，显然应用正弦定理可达到目的，a c pb +=，再由已知54a c +=，与12ac =联立可解得,a c ；（2）已知B 为锐角，即cos (0,1)B ∈，因此为了求p 的范围，最好能把p 用cos (sin )B B 或表示出来，首先用余弦定理2222cos b a c ac B =+-=2()22cos a c ac ac B +--，把已知条件代入，可得所想要的关系式22221(1cos )2b p b b B =-+，即B p cos 21232+=，由此可求得范围.试题解析：（1）由正弦定理得，pb c a =+，所以45=+c a ， （2分）又41=ac ，所以⎪⎩⎪⎨⎧==41,1c a 或⎪⎩⎪⎨⎧==.1,41c a （5分）（少一组解扣1分） （2）由余弦定理，B ac ac c a B ac c a b cos 22)(cos 22222--+=-+=，（1分）即)cos 1(212222B b b p b +-=， （2分） 所以B p cos 21232+=． （4分）由B 是锐角，得)1,0(cos ∈B ，所以⎪⎭⎫⎝⎛∈2,232p ． （6分） 由题意知0>p ，所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,26p ． （7分） 考点：（1）正弦定理；（2）余弦定理及三角函数值的范围. 20．（1）证明见解析；（2）4π．【解析】试题分析：本题中由于垂直关系较多，由题意易得,,DA DP DC 两两相互垂直，因此可以他们分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，若设AB a =，则)0,0,0(D ，),0,0(a C ，)0,,(a a Q ，)0,2,0(a P ，(,0,)B a a ，这样第（1）题证明线面垂直，计算出0,0DC PQ DQ PQ ⋅=⋅=，就能证得结论；而第（2）题只要求出平面BCQ 和平面ADPQ 的法向量，这两个法向量的夹角与所求二面角一定是相等或互补，其中平面ADPQ 是坐标平面xDy 平面，其法向量可取(0,0,1)，从而只要再求一个法向量即可．当然如果不用空间向量，也可直接证明，第（1）题只要用平面几何知识在直角梯形ADPQ 中证得PQ QD ⊥，又有PQ CD ⊥，线面垂直易得，为此取PD 中点E ，可得ADEQ 是正方形，⇒QE PD ⊥，接着可得PQ QD ⊥，正好辅助线QE 就是所求二面角的棱，可证CED ∠就是平面角，这个角是4π． 试题解析：（1）由已知，DA ，DP ，DC 两两垂直，可以D 为原点，DA 、DP 、DC 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系． （1分） 设a AB =，则)0,0,0(D ，),0,0(a C ，)0,,(a a Q ，)0,2,0(a P ， 故),0,0(a DC =，)0,,(a a DQ =，)0,,(a a PQ -=， （3分） 因为0=⋅，0=⋅，故⊥，⊥， 即PQ DC ⊥，PQ DQ ⊥， （5分） 所以，⊥PQ 平面DCQ ． （6分） （2）因为⊥平面ADPQ ，所以可取平面ADPQ 的一个法向量为)1,0,0(1=n， （1分） 点B 的坐标为),0,(a a ，则),,0(a a -=，),,(a a a --=，（2分） 设平面BCQ 的一个法向量为),,(2z y x n = ，则02=⋅n ，02=⋅n， 故⎩⎨⎧=+--=+-,0,0az ay ax az ay 即⎩⎨⎧=+--=+-,0,0z y x z y 取1==z y ，则0=x ，故)1,1,0(2=n． （5分）设1n 与2n 的夹角为θ，则2221||||cos 2121==⋅=n n n nθ． （7分） 所以，平面BCQ 与平面ADPQ 所成的锐二面角的大小为4π． （8分） 解法二：（1）因为⊥CD 平面PDAQ ，所以PQ CD ⊥， （1分）作DP QE ⊥，E 为垂足，则四边形ADEQ 是正方形，设a AB =，则a DE =，a DQ 2=，又a DP 2=，所以E 是AP 的中点，a EP =，所以a PA 2=，所以222DP PQ DQ =+，所以PQ DQ ⊥． （5分） 所以，⊥PQ 平面DCQ ． （6分）（2）连结CE ，由（1）知DP QE ⊥，又CD QE ⊥，所以⊥QE 平面DCP ，（2分） 所以CE QE ⊥，所以CED ∠为所求二面角的平面角． （4分） 因为△CED 是等腰直角三角形，所以CED ∠4π=． （7分）所以，平面BCQ 与平面ADPQ 所成的锐二面角的大小为4π． （8分） 考点：（1）线面垂直，（2）二面角．21．（1）141222=+y x ；（2）92．【解析】试题分析：(1)要确定椭圆方程，要确定,a b 两个参数的值，因此需要两个条件，题中有焦点为，即c =(3,1)，代入方程又得到一个关于,a b 的等式，联立可解得,a b ；(2) 直线和圆锥曲线相交问题，一般都是设出直线方程，本题直线l 的方程可设为y x m =+，代入椭圆方程得到关于x 的一元二次方程，再设交点为1122(,),(,)A x y B x y ，则可得12x x +，12x x ，而条件等腰三角形PAB 的应用方法是底边AB 边上的中线就是此边上的高，即取AB 中点为D ，则PD AB ⊥．由此可求得m 从而得到,A B 坐标，最终求得PAB ∆的面积．试题解析：（1）由已知得22=c ，因为椭圆Γ过点)1,3(，所以⎪⎩⎪⎨⎧=-=+,8,1192222b a b a （2分）解得⎪⎩⎪⎨⎧==.4,1222b a （5分）所以，椭圆Γ的方程为141222=+y x ． （6分） （2）设直线l 的方程为m x y +=， （1分）由⎪⎩⎪⎨⎧=++=,1412,22y x m x y 得01236422=-++m mx x ① （2分）因为直线l 与椭圆Γ交于不同两点A 、B ，所以△0)123(163622>--=m m ， 所以162<m ． （3分）设),(11y x A ，),(22y x B ，则1x ，2x 是方程①的两根，所以2321m x x -=+， 设AB 的中点为),(00y x E ，则432210m x x x -=+=，400mm x y =+=， （4分） 因为AB 是等腰三角形PAB 的底边，所以AB PE ⊥，向量是直线l 的一个法向量， 所以∥向量)1,1(-，即⎪⎭⎫⎝⎛-+-24,343m m ∥向量)1,1(-，所以24343-=-mm ，解得2=m ． （5分） 此时方程①变为0642=+x x ，解得)1,3(--A ，)2,0(B ，所以23||=AB ．又)2,3(-P 到直线l ：02=+-y x 的距离2232|223|=+--=d ， （7分）所以△PAB 的面积29||21=⋅=d AB S ． （8分） 考点：（1）椭圆的标准方程；（2）直线与椭圆相交的综合问题．22．（1）112()2n -⋅-；（2）证明见解析；（3）[2,3]．【解析】试题分析：（1）根据已知条件与待求式，作差11n n c b ++-，可得11n n c b ++-11()()22n n n n b c c b =-=--，而112c b -=，故数列{}n n c b -是等比数列，通项公式可求；（2）考虑要证的表达式求和11n n b c +++=22n n na b c ++，表面上看不出什么，但由1114,3,5a b c ===，可得22118b c b c +=+=，由由338b c +=，可以想象8n n b c +=，是常数，因此可用数学归纳法证明；（3）由（1）（2）可解得114()2n n c -=+-，那么其前n 项和n S 可用分组求和法求得，214[1()]32n n S n =+--，这样我们就可求出214[1()]32n n S n -=--，(4)[1,3]n p S n -∈，相当于211[1()]332n p ≤--≤，由于11()02n -->，从而1231131()1()22n np ≤≤----，一直是我们只要求得11()2n --的最大值M 和31()2n--的最小值m ，则就是23p M m ≤≤，由此可求得p 的范围．试题解析：（1）因为n n a a =+1，41=a ，所以4=n a （*N ∈n ）， （１分）所以222421+=+=+=+nn n n n c c c a b ，2221+=+=+n n nn b b a c ， )(21)(2111n n n n n n b c c b b c --=-=-++， （2分）即数列}{n n b c -是首项为2，公比为21-的等比数列， （3分）所以1212-⎪⎭⎫⎝⎛-⋅=-n n n b c ． （4分）（2）解法一：4)(2111++=+++n n n n c b c b ， （1分） 因为811=+c b ，所以822=+c b ，833=+c b ， 猜测：8=+n n c b （*N ∈n ）． （2分） 用数学归纳法证明：①当1=n 时，811=+b a ，结论成立； （3分）②假设当k n =（*N ∈k ）时结论成立，即8=+k k c b ，那么当1+=k n 时，84)(2111=++=+++k k k k b a b a ，即1+=k n 时结论也成立． （5分） 由①，②得，当*N ∈n 时，8=+n n b a 恒成立，即n n b a +恒为定值．（6分）解法二：4)(2111++=+++n n n n c b c b ， （1分） 所以)8(2142811-+=-+=-+++n n n n n n c b c b c b ，（4分） 而0811=-+c b ，所以由上述递推关系可得，当*N ∈n 时，08=-+n n c b 恒成立，即n n b a +恒为定值．（6分）（3）由（1）、（2）知⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=-=+-1212,8n n n n n b c c b ，所以1214-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=n n c ，（1分） 所以⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫⎝⎛--+=nnn n n S 2113242112114， 所以⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--⋅=-⋅nn p n S p 21132)4(， （2分） 由]3,1[)4(∈-⋅n S p n 得3211321≤⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--⋅≤np ， 因为0211>⎪⎭⎫⎝⎛--n，所以nnp ⎪⎭⎫ ⎝⎛--≤≤⎪⎭⎫ ⎝⎛--2113322111， （3分）当n 为奇数时，⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛--21112111随n 的增大而递增，且121110<⎪⎭⎫ ⎝⎛--<，当n 为偶数时，n n ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--21112111随n 的增大而递减，且12111>⎪⎭⎫ ⎝⎛--n，所以，n⎪⎭⎫ ⎝⎛--2111的最大值为34，n⎪⎭⎫ ⎝⎛--2113的最小值为2． （4分）由nnp ⎪⎭⎫ ⎝⎛--≤≤⎪⎭⎫ ⎝⎛--2113322111，得23234≤≤p ，解得32≤≤p ． （6分） 所以，所求实数p 的取值范围是]3,2[．考点：（1）等比数列的定义；（2）数列的通项；（3）数列与不等式恒成立问题．23．（1）证明见解析；（2）),)]1([(log 2∞++-a ；（3）当0≤a 时，函数)(x f y =的值域是),(∞+-a ； 当210<<a 时，函数)(x f y =的值域是),[2∞+a ；当21≥a 时，函数)(x f y =的值域是⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+-,41a ． 【解析】试题分析：（1）要证明函数()f x 不是奇函数，可用定义证，也可用其必要条件(0)0f =证，实质上证明否定性命题，只要举一个反例即能说明，本题上中(0)110f a =+-≠，就说明()f x 不是奇函数了；（2）由于0a ≤，函数式中的绝对值符号可去掉，即()42x x f x a =+-，本题就是解关于x 的不等式242x x a a +-≥，变形得(2)(21)0x x a a -++≥，由于20x a -≥恒成立，因此210x a ++≥，即2(1)x a ≥-+，这是应该分两种情况(1)0a -+≤和(1)0a -+>分别求解；（3）本题要求函数的值域，一个要用换元法把指数式转化为一般的代数式，其次要能够对绝对值进行处理（实质是分类讨论，分段函数），设2x t =，则0t >，原函数变为2y t t a =+-，由（1）的结论知当0a ≤时，有2y t t a =+-(0)t >，值域可求，当0a >时函数为22,,,0,t t a t a y t t a t a ⎧+->⎪=⎨-+<≤⎪⎩注意分段求解，每一个都是二次函数在给定区间上求值域，最后还要适当合并，得出结论．t a >时，211()24y t a =+--，是增函数，则有2(,)t a ∈+∞，当0t a <≤时，211()24y t a =-+-，还要分102a <<和12a ≥两类情况讨论．试题解析：（1）假设)(x f 是奇函数，那么对于一切R ∈x ，有)()(x f x f -=-， 从而)0()0(f f -=-，即0)0(=f ，但是0|1|1|2|4)0(00≠-+=-+=a a f ，矛盾． 所以)(x f 不是奇函数．（也可用0)1()1(≠-+f f 等证明） （4分）（2）因为02>x ，04>x ，所以当0≤a 时，a x f x x -+=24)(，由2)(a x f >，得224a a x x >-+，即0)1(24>+-+a a x x ，0)12)(2(>++-a a x x ，（2分）因为02>-a x ，所以012>++a x ，即)1(2+->a x ． （3分）①当01≥+a ，即01≤≤-a 时，)1(2+->a x 恒成立，故x 的取值范围是R ；（4分） ②当01<+a ，即1-<a 时，由)1(2+->a x ，得)]1([log 2+->a x ，故x 的取值范围是),)]1([(log 2∞++-a ． （6分）（3）令x t 2=，则0>t ，原函数变成||2a t t y -+=．①若0≤a ，则a t t y -+=2在),0(∞+∈t 上是增函数，值域为),(∞+-a ．（2分）②若0>a ，则⎪⎩⎪⎨⎧>-+≤<+-=.,,0,22a t a t t a t a t t y （3分）对于a t ≤<0，有41212-+⎪⎭⎫⎝⎛-=a t y ，当210<<a 时，y 是关于t 的减函数，y 的取值范围是),[2a a ；当21≥a 时，41min -=a y ，当121<≤a 时，y 的取值范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡-a a ,41，当1≥a 时，y 的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,41a a ． （5分)对于a t >，有a t t y -+=24121--⎪⎭⎫⎝⎛+=a t a是关于t 的增函数，其取值范围),(2∞+a ． （7分） 综上，当0≤a 时，函数)(x f y =的值域是),(∞+-a ； 当210<<a 时，函数)(x f y =的值域是),[2∞+a ； 当21≥a 时，函数)(x f y =的值域是⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+-,41a ． （8分） 考点：（1）奇函数的定义；（2）解含参数的不等式；（3）求函数值域．。