第7章 椭球面上的测量计算

第七章 椭球面上的测量计算
教材第六章“GPS卫星定位技术 将在另一门专业课中介绍） 卫星定位技术” （教材第六章“GPS卫星定位技术”将在另一门专业课中介绍）
§ 7-1 § 7-2 § 7-3 § 7-4 § 7-5 § 7-6 § 7-7 § 7-8
地球椭球的几何参数及其相互关系 椭球面上的常用坐标系及其相互关系 椭球面上的几种曲率半径 椭球面上的弧长计算 大地线 将地面观测值归算至椭球面 大地测量主题解算简介（ 大地测量主题解算简介（*） 椭球面上三角形的解算（ 椭球面上三角形的解算（增加）
• 我国1954年北京坐标系应用的是克拉索夫斯基椭球参数，1980年 西安坐标系应用的是1975年国际椭球参数，而GPS应用的是 WGS-84椭球参数。 • 涉及我国的这三组参数值见表7－1。
克拉索夫斯基椭球 a
6378245 (m)
1975年国际椭球 年国际椭球
6378140（m） ）
WGS-84椭球 椭球
x=
a cos B 1 − e sin B
2 2
=
a cos B W
( 7 − 16 )
a b sin B 2 y = (1 − e ) sin B = W V
(7 − 17 )
设Pn = N，由右图可以看出： x＝NcosB (7-18) 比较(7-16)式，有：N＝a / W (7-19) 于是 y ＝ N(1－e2)sinB (7-20) 又由图可知：y＝PQsinB (7-21) 所以： PQ＝N(1－e2) (7-22) Qn＝N－PQ＝Ne2 (7-23) • 由(7-22) 、 (7-23)可知P点法线Pn在 赤道两侧的长度。
X = N cos B cos L Y = N cos B sin L Z = N (1 − e 2 ) sin B (7 − 25)
L
B n
• 当P点不在椭球面上，即H ≠0时，有
X = ( N + H ) cos B cos L Y = ( N + H ) cos B sin L Z = ( N (1 − e 2 ) + H ) sin B
地球自然表面 高斯平面 参考椭球面
§7-1
地球椭球的几何参数及其相互关系
一、地球椭球的基本几何参数 • 地球椭球 地球椭球：在控制测量中用来代表地球的椭球，它是地球的数学 表达模型。 • 参考椭球 参考椭球：具有一定的几何参数，经过定位和定向，用以代表某 一地区大地水准面的地球椭球叫做参考椭球。 • 地面上一切观测元素都应归算到参考椭球面上，并在该面上进行 计算。参考椭球面是大地测量计算的基准面。 计算的基准面。 计算的基准面
x= a cos B = 2 2 W 1 − e sin B a cos B ( 7 − 16 )
a b sin B 2 y = (1 − e ) sin B = W V
(7 − 17 )
• 式中，a、b 为椭球长、短半径，W、 W = 1 − e 2 sin2 B V为前述辅助函数：
V = 1 + e′ 2 cos2 B
参数 a CGS2000椭球 椭球 6378137m 1/298.257222101
α
运用初等数学知识很容易推导， 二、椭球参数间的关系（运用初等数学知识很容易推导，过程略 运用初等数学知识很容易推导 b2 1 − e2 = 2 a
e′ e = 1 + e′2
N
2、空间直角坐标与子午面直角坐标的 、 关系 • 从右边2图容易得出：
X = x cos L Y = x sin L Z=y (7 − 24)
L
3、空间直角坐标与大地坐标的关系 、 （1）由大地坐标（ L ，B ，H ）求空间 直角坐标（X ，Y ，Z） ） • 当P点在椭球面上，即H ＝0时， 将 (7-18)、(7-20)二式代入(7-24)式即得：
H = H 正常 + ζ (高程异常 )
• 在大地坐标系中， P点的位置用 （ L ， B ， H ）表示。
2、空间直角坐标系 、 • 以椭球中心O为原点，起始子午面与 赤道面交线为X轴，在赤道面上与X 轴正交的方向为Y轴，椭球体旋转轴 为Z轴。X、Y、Z构成右手坐标系。 • 在空间直角坐标系中， P点的位置用 （X ，Y ，Z）表示。
• 在不规则的地球自然表面上获得的距离、角度等观测数据必须先 归算到规则的椭球面上，再按保角投影方法投影到高斯平面上才 能进行平差计算。 • 等级控制点的坐标都是高斯平面直角坐标系中的坐标。如果不对 地面观测数据进行归算、改化就直接按坐标公式计算，则当范围 较大时控制网无法拼接。如公路测量等。 • 归算和改化工作分两步进行。不难理解，椭球体实际上只是一个 过渡体。 • 在第一章中已经简介过参考椭球体的有关概念和参数。本章将比 较系统、详细地介绍椭球体的参数、坐标系以及在椭球面上的测 量计算问题。 • 椭球面上的测量计算公式很多。因时间有限，不一定一一推导。 课堂上讲过的主要公式 主要公式，未推导部分请同学们课后尽量自学。 主要公式
• 椭球体有关元素—— 椭球体有关元素 O为椭球中心； NS为旋转轴； EAE‫׳‬为赤道（⊥NS）； a为长半轴； b为短半轴； NKAS为子午圈（经圈或子午椭圆）； QKQ ‫׳‬为平行圈（纬圈， 与赤道平行 ）。 纬圈， • 决定椭球形状和大小的五个参数 决定椭球形状和大小的五个参数—— ①长半轴（长度元素）： a ②短半轴（长度元素）： b a −b α= ③扁率（反映椭球体的扁平程度）： a
2
§7-2 椭球面上的常用坐标系及其相互关系
• 椭球面上的坐标系有： 椭球面上的坐标系有： ①大地坐标系 ②空间直角坐标系 ③子午平面直角坐标系 ④大地极坐标系 ⑤地心纬度坐标系 ⑥归化纬度坐标系 • 前两种是大地测量中最常用的基本坐标系，而最后两种坐标系在 实际应用中很少采用，仅用于大地测量公式推导和某些特殊测量 计算中。
3、子午面直角坐标系 、 • 设P点的大地经度为L。在过P点的子午 面上，以子午椭圆中心为原点，建立平 面直角坐标系（注意：该平面直角坐标系的x、 注意： 、 y轴的方向与测量习惯不一致 ）。在该坐标 系中， P点的位置用（L，x，y ）表示。 ， • 子午面直角坐标系仅用于大地测量公式 推导。
4、大地极坐标系 、 • M为椭球面上任意一点 。 • MN 为过M 点的子午线。 • S 为连结M 点和P点的大地线（最短曲线， 最短曲线， 将在§ － 介绍 将在§7－5介绍）长度。 • A 为大地线在M 点的方位角。 • 以M 为极点 极点，MN 为极轴 极轴，S 为极径 极径，A 极点 极轴 极径 为极角 极角，便构成大地极坐标系 大地极坐标系。 极角 大地极坐标系 • 在大地极坐标系中，P点的位置用（S,A ） 表示。
(7 − 30)
3、空间直角坐标与大地坐标的关系 、 （2）由空间直角坐标（X ，Y ，Z）求大 地坐标（ L ，B ，H ） • 关系式如下：
L = tg B = tg H =
−1
L
( (
−1
Y ) X Z + Ne 2 sin B X
2
( 7 − 31 ) ) ( 7 − 32 ) ( 7 − 34 )
a2 c = b
t = tgB
η 2 = e′ 2 cos 2 B
W = 1 − e 2 sin 2 B V = 1 + e ′ 2 cos 2 B
• 式中B为大地纬度； W、 V为辅助函数，其中W叫第一基本纬度 叫 函数， 叫第二基本纬度函数 叫第二基本纬度函数。 函数， V叫第二基本纬度函数 • 自1738年布格（法国）推算出第一组椭球参数以来，200多年来 各国大地测量工作者根据某一国或某一地区的资料，求出了数目 繁多、数值各异的椭球参数，比较著名的就有30多组。
2 2
a2 − b2 e′ = b2
2
a2 1 + e′ = 2 b
2
e2 e′2 = 1− e2
2
a = b 1 + e′ ,
2
b = a 1− e
c = a 1 + e′2 , e′ = e 1 + e′2 , V = W 1 + e′ 2 , e 2 ≈ 2α
a = c 1 − e2 ′ 1 − e2 e=e 2 W = V 1− e
一、子午圈曲率半径 • 在子午椭圆上取微分弧长dS（dS=DK）， 相应地有坐标增量 (子午面直角坐标系) dx、 dy。 • 设微分弧dS的曲率中心为n，则线段Dn及 Kn即子午圈曲率半径，用M表示。 • 由平面曲线的曲率半径定义公式知：
M
dS M= dB
• 进一步推导（过程略），可得： a(1 − e2 ) M= (7 − 60) 3 W N c 或M = 2 或M = 3 V V • 式中：W = 1 − e 2 sin 2 B
n
B
+Y
2
Z − N (1 − e 2 ) sin B
（7－31）可直接由（7－25）得到。 （7－32）可根据右图得到。 OP″＝x＝ X 2 +Y2 因等式右边也包含B，故需迭代计算， 其初始值可设为0; N值也需逐次迭代。 • 同样，（7－34）可根据右图得到。 sinB＝Z / (H+P'Q) • • • •
b W = 1 − e ⋅V = ⋅V a a 2 V = 1 + e′ ⋅ W = ⋅ W b W 2 = 1 − e2 sin2 B = (1 − e2 )V 2 2 2 2 2 V = 1 +η = (1 + e′ )W
a 2 − b2 ④第一偏心率： e = a
a2 −b2 ⑤第二偏心率： e′ = b
• e和e‫׳‬是子午椭圆的焦点离开中心的距离与椭圆长短半径之比，它 们也能反映椭球体的扁平程度。偏心率越大，椭球愈扁。