黄之--椭球被平面截得的截面面积

椭球被平面截得的截面面积
上海 黄之
本文首先得到平面截椭球所得的截面的面积，然后提出一些与此相关的问题.其中一些比较繁杂的运算会省略，因为那将耗费很大篇幅.
一，
因为容易看到，任何一个平面截椭球，截面必然是椭圆，其在轴截面的投影也是一个椭圆，所以，应该首先得出平面上椭圆的面积的一般公式.
设XOY 面上有一条二次曲线为0:2
2
=+++++f ey dx cy bxy ax F ，首先通过平移变换将它的一次项消去.这只需要设0)())(()(:2
2
=+-+--+-g t y c t y s x b s x a F ,展开后进行系数对比，得到：
ac
b bde
cd ae f g ac b bd ea t ac b be dc s 4,42,4222222--++=--=--=
众所周知，当判别式ac b 42
-=∆为负数时F 为椭圆，为0时F 为抛物线，为正数时F 为双曲线(都包括退化情形).(s,t)即是F 的对称中心，当判别式为0时F 所表示的抛物线的中
心在无穷远处.
这样，就可以把任何一个椭圆化为形如0:2
2
=+++g cy bxy ax E ，下面求E 的面积.首先将它的xy 项消去，即进行旋转变换.易得：将E 绕着原点逆时针旋转θ角后的方程为： 0)cos cos sin sin ()2cos 2sin )(()sin cos sin cos (222222=+++++-++-g y c b a xy b c a x c b a θθθθθθθθθθ 这样，只需让b
a
c -=
θ2cot 即可消去交叉项，此时E 变为： 0:22=++g By Ax D
其中θθθθθθθθ2222
cos cos sin sin ,sin cos sin cos
c b a B c b a A ++=+-=
(顺便指出，由此可以得到E 有两条对称轴：x k y 2,1=，其中k 为0)(22
=--+b k c a bk 的实根.)
显然D 的面积为AB
g S |
|π
=，将A ，B 的表达式以及b a c -=θ2cot 代入，最终计算出E 的
面积，也就是F 的面积为：
04,|
|22<-=∆∆
-=ac b g S π
二，
下面考虑椭球)0,,(1:22
2222>=++c b a c
z b y a x G 被平面r qy px z H ++=:所截得的截面面
积.它们的交线在XOY 面的投影为：
1)(:'2
2
2222=++++c
r qy px b y a x G 即： 0)1(22)1(2)1(:'22
22222222222=-+++++++c
r y c qr x c pr y c q b xy c pq x c p a G
G ’是一个椭圆，由第一段公式，得到将它的一次项消去后的方程常数为：
12
22222
-++=c q b p a r g
G ’的判别式为： 2
222
22224c b a c q b p a ++-=∆
而且可见G 与H 的位置关系取决于2
2
2
2
2
2
'r c q b p a T -++=的正负，当T ’>0时，交于实椭圆，当T ’=0时相切，当T ’<0时相交于虚椭圆. 那么，由一中的公式可以得到投影G ’的面积为：
2
322222)
(''c q b p a abc T S ++=π
然后乘以平面H 与XOY 面所成角的余割值，即可得到截面的面积：1'22++=q p S S ，
即：
2
32222222)
(1'c q b p a q p abc T S ++++=π
三，
现在将平面的方程改为一般式0:=+++D Cz By Ax K .
利用上述的公式得到K 截椭球)0,,(1:22
2222>=++c b a c
z b y a x G 所得截面的面积：
2
3
222222222)
(C c B b A a C B A abcT S ++++=π
其中2
2
2
2
2
2
2
D C c B b A a T -++=，当T>0时交线为实椭圆，当T=0时平面与椭球相切，当T<0时平面与椭球交于虚椭圆.
顺便提一下，此时，平面H 与XOY 面所成角的余弦值为2
2
2
||C
B A
C ++,由此容易求出在
XOY 面上的投影的面积.
【下面将二维的计算结果列出来作对比：
直线0=++C By Ax 截椭圆)0,(122
22>=+b a b
y a x 所得的截线段长(弦长)为：
222
222222222B A B b A a C B b A a ab l ++-+=
令2
2
2
2
2
C B b A a t -+=，当t>0时直线与椭圆交于两个不同实交点，t=0时直线与椭圆相切，当t<0时直线与椭圆交于两个不同的虚交点.】
虽然还可以继续计算四维的情形：四维空间中一个三维平面截超椭球所得到的椭球的体积.可是这样的方法显然会使运算量极其庞大！就不继续下去了. 四，
下面来简单的应用一下这个截面面积公式： 1， 如果一个平面同时经过椭球
)0,,(1:22
2222>=++c b a c
z b y a x G
的三个顶点A(a,0,0),B(0,b,0),C(0,0,c),求平面ABC 截椭球所得的面积与三角形ABC 的面积之比.
此时平面方程为
01=-++c
z
b y a x ，由文中公式得到截面面积： 2222223
32a c c b b a S ++=
π
由熟知的结论，这显然就是ABC S S ∆=
3
34π
.由此得到该比值,且为定值. 那么能否由当G 为球时的比值推知一切情形也是如此？
2， 从椭球外一点P 看去，看到的区域面积(观察者认为这平面，不理会视觉差异，定义为这
个区域的实际面积)为固定数值S ，求所有的P 构成的轨迹.
首先，要证明，从椭球)0,,(1:22
2222>=++c b a c
z b y a x G 外一点),,(000z y x P 作椭球的切平
面，这所有的切点在同一个平面上.
设过P 作G 的某一个切面的切点为),,(1111z y x P ，则该切面的方程为：
)()()(1111
1
1
=-∂∂+
-∂∂+
-∂∂===z z z
V y y y
V x x x
V z z y y x x
这里： 1),,(22
2222-++=c
z b y a x z y x V
即： 0)(2)(2)(212
1
121121=-+-+-z z c z y y b y x x a x
也就是： 1212121=++c
z
z b y y a x x 而此切面经过P 点，所以有：
120
1201201=++c
z z b y y a x x 这相当于说，所有的切点都满足下面这个方程： 01:
202020=-++c
z
z b y y a x x U 它是一个平面，故而所有切点都在一个平面上，且切点确定的平面方程就是U. 那么从),,(000z y x P 看椭球，看到的就是U 截椭球所得到的截面，由文中公式得到：
42
042042023
220
220220220
220220)(1c z b y a x c
z b y a x c z b y a x abc S ++++-++=π 这就是说，这样的P 点的轨迹是曲面：
))(1()(424242222222
222232222222
c z b y a x c z b y a x c b a c z b y a x S ++-++=++π 此问题如果考虑视觉的话，应该会稍微复杂一点，在上述基础上还应乘以某个角的余弦值.
另外，在二维上也可以有类似的问题，比如：
1， 从椭圆外一点P 看椭圆，总是看到一条长度为定值L 的线段，求所有的P 构成的轨迹. 2， 从椭圆外一点P 看椭圆，看到椭圆的视角总是一个给定大小的角(0度至180度)，求P
点的轨迹.。