01 第1章 地球椭球体的基本公式

2 3 2 3
(1 e sin ) 2
2 2
经过整理，得到子午圈曲率半径的公式为：
M a (1 e )
2 3
(1 e sin ) 2
2 2
22
卯酉圈曲率半径的公式为：
N
x cos

2
a
1
(1 e sin ) 2
2
23
§1.4 地球球半径
三轴平均球半径：椭球体三个半轴取平均数
地图投影
Map Projections
蒲英霞 南京大学地理信息科学系
2011年8月30日
1
第一章 地球椭球体的基本公式
2
地球椭球体的形状和大小 地球椭球面上的基本点、线、面和地理坐标 子午圈、卯酉圈曲率半径及平均曲率半径 地球球半径 经线弧长
纬线弧长
地球椭球面上的梯形面积
3
§1.1 地球椭球体的形状和大小
扁率
1:300.8 1:299.15 1:295.0 1:293.5 1:297.0 1:298.3 1:298.247 1:298.257 1:298.257 1:298.257223563
附注
英国 德国 英国 英国 1942年国际第一个推荐值 前苏联 1971年国际第一个推荐值 1975年国际第一个推荐值 1979年国际第一个推荐值 美国
3
M
(1 y ) 2
2
y
上式之所以取负号，是由于y <0。 由（1-2）式知，
dy dx ctg
将上式对x再求一次导数，得：
d y d x
2 2

1
2
d
(1-8) 20
sin dx
按（1-7）式对求导数
x a cos
1
a cos (1 e sin )
2 2

1 2
(1 e sin ) 2
2 2
dx d
a { sin (1 e sin )
2 2

1 2
e sin cos (1 e sin )
2 2 2 2

3 2
}
a sin (1 e sin )
2 2

3 2
(1 e )
2
M a e (1 e1 )
2
(1 e1 sin )
2 2
3 2
≤
N
ae (1 e1 sin )
2 2 1 2
在赤道上：
M 0 a e (1 e1 )
2
N 0 ae
在极点上：
M 90 N 90 ae 1 e1
2
子午圈曲率半径（M）和卯酉圈曲率半径（N）除在两极处相等外，在其 它纬度相同的情况下，同一点上卯酉圈曲率半径（N）均大于子午圈曲率 半径（M）。 15
x a
2 2
y P A b E x 90+ E B

y b
2 2
1
(1-1)

N a
y
x
过A点作切线AB交x轴于B点，A点的 法线与x轴（代表赤道面）的夹角为 纬度，因此有：
dy dx tg ( 90 ) ctg
(1-2)
P
17
对（1-1）式求导数：
2x a
(1-9)
代入（1-8）中，得y，
y
(1 e sin )
2 2 3 2

3 2
a sin (1 e )
(1-10) 21
将（1-2）、（1-10）式代入M的表达式，得
3 3
M
(1 y ) 2
2
y

(1 ctg ) 2 a sin (1 e )
2

2 yy b
2
0
即
dy dx

b a
2 2
x y
(1-3)
由（1-2）、（1-3）式可得：
b a
2 2
x y
ctg
(1-4)ห้องสมุดไป่ตู้
由偏心率公式，可以进一步得到：
a b
2 2 2
e
2
即 b a (1 e )
2 2 2
(1-5)
a
18
（1-4）式可以化为：
tg
a b
4
大地水准面的作用——高程基准
高程基准是推算国家统一高程控制网中所有水准高程的起算依据， 它包括一个水准基面和一个永久性水准原点。其中水准基面在理论上 通常采用大地水准面，实际上是取验潮站长期观测结果计算出来的平 均海面来确定的。 中国以青岛港验潮站长期观测资料推算出的黄海平均海面作为中 国的水准基面，即零高程面。
2 2
3 2
L W
E1
卯酉圈曲率半径(radius of curvature in prime vertical)：地球椭球体表面上某点法 截弧曲率半径中最大的曲率半径 (N) 。
N ae (1 e1 sin )
2 2 1 2
P1
子午圈(PEP1E1)和卯酉圈(AQW)
14
子午圈曲率半径（M）和卯酉圈曲率半径（N）之间的关系
2 2
y x

1 1 e
2
y x
即 y x (1 e ) tg
2
(1-6)
将（1-6）式代入（1-1）式，则：
x a
整理后，得
2 2

x (1 e ) tg
2 2 2 2
b
2
1
x
a cos
1
(1-7)
(1 e sin ) 2
2 2
19
曲线上一点的曲率半径等于曲线在该点的曲率的倒数。用M表示子午 圈曲率半径，则有：
2
(m )
24
§1.5 经线弧长
设在经线上有一点A，其纬度为1，当A点沿经线移动一无限小距离达 到A点时，纬度增加d，设A点的经线曲率半径为M，则经线上这一 微分弧AA为
P B A A E1
A A ' ds m Md
E
2
1
如果求 1至2一段经线弧长，可将上式积分，即
P

r
sn
s n r N cos
E N

E1
P1
同经差的纬线弧长由赤道向两极缩短
经差1的纬线弧长在赤道为111321m，在纬度45处为78848m，在两极为0。
27
§1.7 地球椭球面上的梯形面积
设在地球椭球面上，有两条无限靠近的经线和两条无限靠近的纬线，其经 度为和+d ，纬度为 和d 。它们构成了一个微分梯形ABCD（如图所 示）。这个微分梯形的边长为经线和纬线的微分弧长。因而有：
10
1954年北京坐标系
采用克拉索夫斯基椭球参数，又称北京坐标系。
1980西安坐标系
采用国际地理联合会（IGU）第十六届大会推荐的椭球参数，大地 坐标原点在陕西省泾阳县永乐镇的大地坐标系，又称西安坐标系。
2000国家大地坐标系
采用地心坐标系。
11
§1.2 地球椭球面的基本点、线、面和地理坐标
d
P1
sm

2
1
Md
25
将子午圈曲率半径（M）带入上式，经整理，最后得：
B C D 2 s m a e (1 e1 ) A ( 2 1 ) (sin 2 2 sin 2 1 ) (sin 4 2 sin 4 1 ) (sin 6 2 sin 6 1 ) 2 4 6
年代
1830 1841 1866 1880 1909 1948 1967 1975 1979 1984
长半径（m）
6377276 6377397 6378206 6378249 6378388 6378245 6378160 6378140 6378137 6378137
短半径（m）
6356075 6356079 6356584 6356515 6356912 6356863 6356755 6356755 6356755
点
两极 (pole)
子午圈
P r
平行圈
线
经线(meridian) 纬线(parallel)
E
be
起 始 经 线 F
A
地理纬度

ae
赤道
E1
G
面
平行圈(parallel) 子午圈(meridian) : 长半径为ae，短半径为be的椭圆
P1
地理经度
地理坐标
地理纬度(latitude ) 地理经度(longitude)
D Q E L
r
A
E1 W
P1
子午圈(PEP1E1)和卯酉圈(AQW)
13
子午圈曲率半径(radius of curvature in meridian)(M) ：地球椭球体表面上某点 法截弧曲率半径中最小的曲率半径。
M a e (1 e1 )
2
P D Q E
r
A
(1 e1 sin )
中国水准原点建立在青岛验潮站附近，并构成原点网。用精密水 准测量测定水准原点相对于黄海平均海面的高差，即水准原点的高程， 定为全国高程控制网的起算高程。
5
地球椭球面与地球椭球体(Ellipsoid)
选择一个大小和形状同大地水准面极为接近的，以椭圆短轴 为旋转轴的旋转椭球面。这个旋转椭球面可代表地球的形状，又 称为地球椭球面或参考椭球面（原面）。由它所围成的球体，称 为地球椭球体或地球椭球。 Geoid NP