地球椭球体基本要素
地球椭球体(Ellipsoid)、大地基准面(Datum)及地图投影(Projection)三者的基本概念
高斯-克吕格投影与UTM投影高斯-克吕格(Gauss-Kruger)投影与UTM投影（Universal Transverse Mercator，通用横轴墨卡托投影）都是横轴墨卡托投影的变种，目前一些国外的软件或国外进口仪器的配套软件往往不支持高斯-克吕格投影，但支持UTM投影，因此常有把UTM投影当作高斯-克吕格投影的现象。
从投影几何方式看，高斯-克吕格投影是“等角横切圆柱投影”，投影后中央经线保持长度不变，即比例系数为1；UTM投影是“等角横轴割圆柱投影”，圆柱割地球于南纬80度、北纬84度两条等高圈，投影后两条割线上没有变形，中央经线上长度比0.9996。
从计算结果看，两者主要差别在比例因子上，高斯-克吕格投影中央经线上的比例系数为1， UTM投影为0.9996，高斯-克吕格投影与UTM投影可近似采用 X[UTM]=0.9996 * X[高斯]，Y[UTM]=0.9996 * Y[高斯]，进行坐标转换（注意：如坐标纵轴西移了500000米，转换时必须将Y 值减去500000乘上比例因子后再加500000）。
从分带方式看，两者的分带起点不同，高斯-克吕格投影自0度子午线起每隔经差6度自西向东分带，第1带的中央经度为3°；UTM投影自西经180°起每隔经差6度自西向东分带，第1带的中央经度为-177°，因此高斯-克吕格投影的第1带是UTM的第31带。
此外，两投影的东伪偏移都是500公里，高斯-克吕格投影北伪偏移为零，UTM北半球投影北伪偏移为零，南半球则为10000公里。
高斯-克吕格投影与UTM投影坐标系高斯- 克吕格投影与UTM投影是按分带方法各自进行投影，故各带坐标成独立系统。
以中央经线（L0）投影为纵轴X，赤道投影为横轴Y，两轴交点即为各带的坐标原点。
为了避免横坐标出现负值，高斯- 克吕格投影与UTM北半球投影中规定将坐标纵轴西移500公里当作起始轴，而UTM南半球投影除了将纵轴西移500公里外，横轴南移10000公里。
地球椭球名词解释
地球椭球名词解释
地球椭球是指将地球近似地视为一个旋转椭球体的几何模型。
由于地球的自转以及各种地球物理因素的影响，地球并不是一个完美的正球体，而是略微扁扁的椭球体。
地球椭球主要由以下几个参数来描述：
1. 扁率（flattening）：表示地球的南北两极相对于赤道的扁平
程度。
扁率等于赤道半径和极半径之差与赤道半径的比值。
2. 赤道半径（equatorial radius）：指从地球中心到赤道的距离，因地球的自转导致赤道半径略大于极半径。
3. 极半径（polar radius）：指从地球中心到地球北极或南极的
距离，因地球的自转导致赤道半径略大于极半径。
4. 地球椭偏率（eccentricity）：表示地球椭球体与旋转椭球体
之间的差异程度。
地球椭偏率越小，说明地球椭球体形状与旋转椭球体更为接近。
地球椭球是地理、测绘和大地测量等领域中的基本模型之一，用于描述和计算地球的形状、尺度和位置。
地球椭球体
当制图区域比较小时，由于地图投影的变 形较小，地图上各方向长度缩小的比例近 似相等。地图比例尺是指图上长度与相应 地面之间的长度比例，即d/D=1/M。
比例尺赋予地图可量测计算的性质，为地 图使用者提供了明确的空间尺度概念。
3.2地球椭球体基本要素 3.2.2地图比例尺
高差：某两点的高程之差。
3.2地球椭球体基本要素 3.2.3高程
如图所示， P0P’0为大地水准面，地面点A 和点B到 的垂直距离HA和HB分别为A、B两点 的高度。地面点到任一水准面的高程称为相 对高程。在图中，A、B两点至任一水准面 的 垂直距离 和P1P’1 即为A、B两点的相对高程。
6378206.40 6377397.16
Flattening f
1/298.26 1/298.26 1/298.257 1/298.30 1/297 1/293.47
1/294.98 1/299.15
Use
Newly Adopted Newly Adopted China Russia, China Much of World France, Most of Africa North America Mid Europe, Indonisia
2
3.2.1地球椭球体
WGS [world geodetic system] 84 ellipsoid:
WGS-84坐标系 a = 6 378 137m (世界大地坐标系)， b = 6 356 752.3m –它是美国国防局 equatorial diameter–=为1进2 7行56G.3PkSm导航定位 polar diameter = 12–7于131.59k84m年建立的 equatorial circumfer–e地nc心e 坐= 4标0 系07，5.1km surface area = 510 0–614958050年km投2入使用。
地球椭球基本参数及其相互关系
2
b a 1 e2 a c 1 e2 e e' 1 e2
2
e' e 1 e'2 V W 1 e'
a 1 e'2 b
W V 1 e2
b 1 e2 a
e 2 2 2
2 2 2
1 V W 1 e2
W 1 e'
2
V 1 e2
推导：
e2 2 2
a 2 2 2 ( a b) a 2 ab b 2 2 2 a a 2 2 2 2 a 2 ab b a 2 a a2 2( a b ) a 2 b 2 a a2 2 e 2 e 2 2 2
第三章 知识点总结
3、正高系统（10 定义和特点） 水准面、大地水准面
特点： 1、唯一性 2、无法得到
4、正常高系统（10 定义和特点） 似大地水准面、通过用？代替？得到的正高 5、国家高程基准（10 56基准和85基准） 72.260和72.289
第三章 知识点总结
6、垂线偏差
垂线偏差的基本概念 和分量 （10） 测定方法（1）天文大地测量方法（7 原理） （2）重力测量方法（2） （3）天文重力方法（2） （4）GPS测量方法（10） 7、大地水准面差距 大地水准面差距的基本概念 和分量 （10） 高程异常定义和作用（10） 测定方法： 天文大地测量方法（8 重力测量方法（2） 空间大地测量方法（2） GPS 最小二乘配置（2） 9个参数）
e2
e'
2
1/298.3 1/298.257 1/298.257223563 0.00663421622966 0.006694684999588 0.0066943799013 0.006738525414683 0.006739501819473 0.00673949674227
地球椭球体(Ellipsoid)、大地基准面(Datum)及地图投影(Projection)三者地基本概念
地球椭球体(Ellipsoid)、大地基准面(Datum)及地图投影(Projection)三者的基本概念地球椭球体(Ellipsoid)众所周知我们的地球表面是一个凸凹不平的表面，而对于地球测量而言，地表是一个无法用数学公式表达的曲面，这样的曲面不能作为测量和制图的基准面。
假想一个扁率极小的椭圆，绕大地球体短轴旋转所形成的规则椭球体称之为地球椭球体。
地球椭球体表面是一个规则的数学表面，可以用数学公式表达，所以在测量和制图中就用它替代地球的自然表面。
因此就有了地球椭球体的概念。
地球椭球体有长半径和短半径之分，长半径(a)即赤道半径，短半径(b)即极半径。
f=（a-b）/a为椭球体的扁率，表示椭球体的扁平程度。
由此可见，地球椭球体的形状和大小取决于a、b、f 。
因此，a、b、f被称为地球椭球体的三要素。
对地球椭球体而言，其围绕旋转的轴叫地轴。
地轴的北端称为地球的北极，南端称为南极；过地心与地轴垂直的平面与椭球面的交线是一个圆，这就是地球的赤道；过英国格林威治天文台旧址和地轴的平面与椭球面的交线称为本初子午线。
以地球的北极、南极、赤道和本初子午线等作为基本要素，即可构成地球椭球面的地理坐标系统(A geographic coordinate system (GCS) uses a threedimensional spherical surface to define locations on the earth.A GCS includes an angular unit of measure, a prime meridian,and a datum (based on a spheroid).)。
可以看出地理坐标系统是球面坐标系统，以经度/维度（通常以十进制度或度分秒(DMS)的形式）来表示地面点位的位置。
地理坐标系统以本初子午线为基准（向东，向西各分了1800）之东为东经其值为正，之西为西经其值为负；以赤道为基准（向南、向北各分了900）之北为北纬其值为正，之南为南纬其值为负。
地理信息系统中地球椭球体的定义和特点
地理信息系统中地球椭球体的定义和特点
地理信息系统中，地球椭球体是一种用来表示地球形状的数学模型，通常近似为旋转椭球体，也称为地理椭球体。
地球椭球体的特点包括：
1. 近似球形，但实际上是一个椭球体。
2. 椭球体的表面由法线、极径、曲率半径等要素定义。
3. 椭球体的形状和大小取决于其长半轴和扁率，而扁率的变化会对地球的形状产生影响。
在地理信息系统中，地球椭球体的应用非常广泛，它不仅用于表示地球的形状，还用于定义地理坐标系、投影坐标系等。
此外，地球椭球体还可以用于地理数据的处理、分析、管理和应用中。
在各种地图和地理信息系统产品中，通常使用椭球体来表示地球的形状。
地球椭球体
任一水准面 大地水准面
17
3.2地球椭球体基本要素 3.2.3高程
A hAB
H´A
任意水准面
HA HB
H´B
大地水准面 铅垂线
18
坐标参考系统—高程系统
1956黄海高程系， 72.2893米 1950-1956年平 均海水面为0米
青岛验潮站
以1952-1979年 青岛验潮站测定 的平均海水面作 为高程基准面 观象山
地图是地球空间的缩小。把地图上所表示 的空间尺度称作比例尺。 当制图区域比较小时，由于地图投影的变 形较小，地图上各方向长度缩小的比例近 似相等。地图比例尺是指图上长度与相应 地面之间的长度比例，即d/D=1/M。 比例尺赋予地图可量测计算的性质，为地 图使用பைடு நூலகம்提供了明确的空间尺度概念。
3.2地球椭球体基本要素 3.2.2地图比例尺 1. 2. 数字比例尺 可以写成比的形式，如 1:10 000； 可以写出分式形式，如1/10000。 文字比例尺 一万分之一、五万分之一； 图上1厘米等于实地1千米。
3.2地球椭球体基本要素 3.2.2地图比例尺 3. 图解比例尺 直线比例尺：以直线线段形式标明图上线 段长度所对应的地面距离。
3.2地球椭球体基本要素 3.2.3高程 1987年国家测绘局公布 ：启用《1985国家高程 基准》取代《黄海平均 海水面》，其比《黄海 平均海水面》上升29毫 米。（72.260m) 。
青 水 岛 准 观 原 象 点 山
4
3.2地球椭球体基本要素 3.2.1地球椭球体 中国在1952年以前采用海福特椭球体 （Hereford ellipsoid） ，从1953—1980年 采用克拉索夫斯基椭球体（Krasovsky ）。 随着人造地球卫星的发射，有了更精密的 测算地球形体的仪器。1975年第16届国际 大地测量及地球物理联合会上通过国际大 地测量协会第一号决议中公布的地球椭球 体称为GRS(1975)，中国自1980年开始采 用GRS(1975)新参考椭球体系。
地球椭球体(Ellipsoid)、大地基准面(Datum)及解析
高斯-克吕格投影与UTM投影高斯-克吕格(Gauss-Kruger)投影与UTM投影（Universal Transverse Mercator，通用横轴墨卡托投影）都是横轴墨卡托投影的变种，目前一些国外的软件或国外进口仪器的配套软件往往不支持高斯-克吕格投影，但支持UTM投影，因此常有把UTM投影当作高斯-克吕格投影的现象。
从投影几何方式看，高斯-克吕格投影是“等角横切圆柱投影”，投影后中央经线保持长度不变，即比例系数为1；UTM投影是“等角横轴割圆柱投影”，圆柱割地球于南纬80度、北纬84度两条等高圈，投影后两条割线上没有变形，中央经线上长度比0.9996。
从计算结果看，两者主要差别在比例因子上，高斯-克吕格投影中央经线上的比例系数为1， UTM投影为0.9996，高斯-克吕格投影与UTM投影可近似采用 X[UTM]=0.9996 * X[高斯]，Y[UTM]=0.9996 * Y[高斯]，进行坐标转换（注意：如坐标纵轴西移了500000米，转换时必须将Y 值减去500000乘上比例因子后再加500000）。
从分带方式看，两者的分带起点不同，高斯-克吕格投影自0度子午线起每隔经差6度自西向东分带，第1带的中央经度为3°；UTM投影自西经180°起每隔经差6度自西向东分带，第1带的中央经度为-177°，因此高斯-克吕格投影的第1带是UTM的第31带。
此外，两投影的东伪偏移都是500公里，高斯-克吕格投影北伪偏移为零，UTM北半球投影北伪偏移为零，南半球则为10000公里。
高斯-克吕格投影与UTM投影坐标系高斯- 克吕格投影与UTM投影是按分带方法各自进行投影，故各带坐标成独立系统。
以中央经线（L0）投影为纵轴X，赤道投影为横轴Y，两轴交点即为各带的坐标原点。
为了避免横坐标出现负值，高斯- 克吕格投影与UTM北半球投影中规定将坐标纵轴西移500公里当作起始轴，而UTM南半球投影除了将纵轴西移500公里外，横轴南移10000公里。
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地球近似一个球体，它的自然表面是一个极其复杂而又不规则的曲面。
在大陆上，最高点珠穆朗玛峰8844.43米，在海洋中，最深点为马利亚纳海沟-11034米，二点高差近两万米。
由于地球表面的不规则，必须寻找一个形状和大小都很接近地球的球体或椭球体来代替它。
通过天文大地测量、地球重力测量、卫星大地测量等精密测量，发现：地球不是一个正球体，而是一个极半径略短、赤道半径略长，北极略突出、南极略扁平，近于梨形的椭球体。
见图3－3。
随着现代对地观测技术的迅猛发展，人们已经发现地球的形状也不是完全对称的，椭球子午面南北半径相差42米，北半径长了10米，南半径短了32米；椭球赤道面长短半径相差72米，长轴指向西经31°。
地球形状更接近于一个三轴扁梨形椭球，且南胀北缩，东西略扁。
但是，这与地球表面起伏和地球极半径与赤道半径之差都在20公里相比，是十分微小的。
二、地球体的物理表面——大地水准面
由于地球表面高低起伏，且形态极为复杂，显然不能作为测量与制图的基准面，这就提出了用一个什么样的曲面来代替地球表面的问题？大地水准面——将一个与静止海水面相重合的水准面延伸至大陆，所形成的封闭曲面。
大地水准面所包围的球体称为大地体。
大地水准面作为测量的基准面，铅垂线作为测量的基准线。
但是由于地球内部物质分布的不均匀性，因此，大地水准面也是一个不规则的曲面，它也不能作为测量计算和制图的基准面。
三、地球体的数学表面——地球椭球面
由于大地水准面的不规则性，不能用一个简单的数学模型来表示，因此测量的成果也就不能在大地水准面上进行计算。
所以必须寻找一个与大地体极其接近，又能用数学公式表示的规则形体来代替大地体——地球椭球体。
它的表面称为地球椭球面，作为测量计算的基准面。
为了便于测绘成果的计算，我们选择一个大小和形状同它极为接近的旋转椭球面来代替，即以椭圆的短轴(地轴)为轴旋转面成的椭球面，称之为地球椭球面。
它是一个纯数学表面，可以用简单的数学公式表达，有了这样一个椭球面，我们即可将其当作投影面，建立与投影面之间一一对应的函数关系。
地球椭球体的形状和大小常用下列符号表示(图3－6)：长半径a(赤道半径)、短半径b，(极轴半径)、扁率α，笫一偏心率e和第二偏心率e′，这些数据又称为椭球体元素。
它们的数学表达式为：
扁率(3－1)
笫一偏心率(3－2)
第二偏心率(3－3)
四、地球的三级逼近
1．地球形体的一级逼近：
大地体即大地水准面对地球自然表面的逼近。
大地体对地球形状的很好近似，其面上高出与面下缺少的相当。
2．地球形体的二级逼近
在测量和制图中就用旋转椭球体来代替大地球体，这个旋转椭球体通常称为地球椭球体，简称椭球体。
它是一个规则的数学表面，所以人们视其为地球体的数学表面，也是对地球形体的二级逼近，用于测量计算的基准面。
3．地球的三级逼近
对地球形状测定后，还必须确定大地水准面与椭球体面的相对关系。
即确定与局部地区大地水准面符合最好的一个地球椭球体——参考椭球体，这项工作就是参考椭球体定位。
通过数学方法将地球椭球体摆到与大地水准面最贴近的位置上，并求出两者各点间的偏差，从数学上给出对地球形状的三级逼近。
第二节地理坐标系
确定地面点或空间目标的位置所采用的参考系称为坐标系，坐标系的种类有很多，与地图测绘密切相关的有地理坐标系和平面坐标系。
地理坐标系——就是用经纬度表示地面点位的球面坐标系，在大地测量中，又分为天文坐标系、大地坐标系和地心坐标系。
一、天文坐标系
以大地水准面为基准面，铅垂线为基准线，以天文经纬度表示点位坐标的系统。
天文经纬度：表示地面点在大地水准面上的位置，用天文经度和天文纬度表示。
天文经度：观测点天顶子午面与格林尼治天顶子午面间的两面角。
在地球上定义为本初子午面与观测点之间的两面角。
天文纬度：在地球上定义为铅垂线与赤道平面间的夹角。
天文经纬度见图3－9。
二、大地坐标系
以参考椭球面为基准面，以法线为基准线，用表示地面或空间点位坐标的系统。
见图3－10。
大地经度：指参考椭球面上某点的大地子午面与本初子午面间的两面角。
东经为正，西经为负
大地纬度 ：指参考椭球面上某点的垂直线（法线）与赤道平面的夹角。
北纬为正，南纬为负。
三、地心坐标系
以参考椭球面为基准面，以观测点与地心的连线为基准线，用表示地面或空间点位坐标的系统。
见图3－11。
即以地球椭球体质量中心为基点，地心经度同大地经度，地心纬度是指参考椭球面上某点和椭球中心连线与赤道面之间的夹角。
在大地测量学中，常以天文经纬度定义地理坐标。
在地图学中，以大地经纬度定义地理坐标。
地理学研究及地图学的小比例尺制图中，通常将椭球体当成正球体看，采用地心经纬度。
三种经纬关系见图3－12
第三节子午圈曲率半径、卯酉圈曲率半径、平均曲率半径和纬圈半径
图3－14中，设过椭球表面上任一点A作法线AL，通过法线的平面所截成的截面，叫做法截面。
通过A点的法线AL可以作出无穷多个法截面，法截面与椭球体面的交线称为法截弧。
为说明椭球体面上某点的曲率起见，通常研究两个相互垂直的法截弧的曲率，这种相互垂直的法截弧称为主法截弧。
对椭球体来说，要研究下列的两个主法截弧，一个曲率半径具有最大值，而另一个曲率半径具有最小值。
1．经线圈曲率半径M
包含子午圈的截面，称为子午圈截面，从图3－14中看出，就是过A点的法线AL同时又通过椭球体旋转轴PP‘的法截面(即AE’P’EP)。
子午圈曲率半径通常用字母M表示，它是A点上所有截面的曲率半径中的最小值：
(3－5)
2．卯酉圈曲率半径N
垂直于子午圈的法截弧称为卯酉圈，从图l－3中看出，即通过A点的法线AL并垂直于子午圈截面的法截弧W’AE’。
它具有A点上所有法截弧的曲率半径中的最大值。
(3－6)
式中符号与(3－5)式相同，可见N亦随纬度而变化。
3．平均曲率半径R等于主法截面曲率半径的几何中数
(3－7)
4．纬圈的半径r
(3－8)
第四节子午线弧长和纬线弧长
子午线弧长微分弧长的表达式为：
(3－9)
欲求A、B两点之间子午线弧长s时，须求以和为区间和积分，得纬线(平行圈)的弧长：因为纬线为圆弧，故可应用求圆周弧长的公式：设A、B两点的经差为λ，则由图3－16可得
(3－12)
第五节地球椭球体表面上的梯形面积
计算地球椭球体表面上的梯形面积，就是求定以二条子午线和两条平行圈为界的椭球体表面面积。
如图3－17所示，在椭球体表面上设有两条无穷接近的子午圈PBAP1和PCDP1，其经度各为；另外有两条无穷接近的平行圈TBCS和QADR，其纬度各。
它们构成一个无穷小的梯形ABCD。
从图3－17中看出，此梯形的边长就是子午圈和平行圈的弧长，故
由此，这个微分梯形面积ABCD可以写成
(3－13)
第六节决定新极Q的地理坐标φ
为在球面上确定点位可视需要而采用不同的坐标系。
制图实践中常使用的有地理坐标系( )，球面极坐标系( )和球面直角坐标系( )。
如图3－18所表示的，其中K为球面上某一点，P是地理坐标系极点，Q是球面极坐标系极点。
各坐标系之间可以进行简单的相互换算。
地理坐标与球面极坐标之间的关系：利用球面三角公式，在球面三角形PKQ中有。