地球椭球体基本要素

地球近似一个球体，它的自然表面是一个极其复杂而又不规则的曲面。在大陆上，最高点珠穆朗玛峰8844.43米，在海洋中，最深点为马利亚纳海沟-11034米，二点高差近两万米。由于地球表面的不规则，必须寻找一个形状和大小都很接近地球的球体或椭球体来代替它。

通过天文大地测量、地球重力测量、卫星大地测量等精密测量，发现：地球不是一个正球体，而是一个极半径略短、赤道半径略长，北极略突出、南极略扁平，近于梨形的椭球体。见图3－3。

随着现代对地观测技术的迅猛发展，人们已经发现地球的形状也不是完全对称的，椭球子午面南北半径相差42米，北半径长了10米，南半径短了32米；椭球赤道面长短半径相差72米，长轴指向西经31°。地球形状更接近于一个三轴扁梨形椭球，且南胀北缩，东西略扁。但是，这与地球表面起伏和地球极半径与赤道半径之差都在20公里相比，是十分微小的。

二、地球体的物理表面——大地水准面

由于地球表面高低起伏，且形态极为复杂，显然不能作为测量与制图的基准面，这就提出了用一个什么样的曲面来代替地球表面的问题？大地水准面——将一个与静止海水面相重合的水准面延伸至大陆，所形成的封闭曲面。

大地水准面所包围的球体称为大地体。大地水准面作为测量的基准面，铅垂线作为测量的基准线。但是由于地球内部物质分布的不均匀性，因此，大地水准面也是一个不规则的曲面，它也不能作为测量计算和制图的基准面。

三、地球体的数学表面——地球椭球面

由于大地水准面的不规则性，不能用一个简单的数学模型来表示，因此测量的成果也就不能在大地水准面上进行计算。所以必须寻找一个与大地体极其接近，又能用数学公式表示的规则形体来代替大地体——地球椭球体。它的表面称为地球椭球面，作为测量计算的基准面。

为了便于测绘成果的计算，我们选择一个大小和形状同它极为接近的旋转椭球面来代替，即以椭圆的短轴(地轴)为轴旋转面成的椭球面，称之为地球椭球面。它是一个纯数学表面，可以用简单的数学公式表达，有了这样一个椭球面，我们即可将其当作投影面，建立与投影面之间一一对应的函数关系。

地球椭球体的形状和大小常用下列符号表示(图3－6)：长半径a(赤道半径)、短半径b，(极轴半径)、扁率α，笫一偏心率e和第二偏心率e′，这些数据又称为椭球体元素。它们的数学表达式为：

扁率(3－1)

笫一偏心率(3－2)

第二偏心率(3－3)

四、地球的三级逼近

1．地球形体的一级逼近：

大地体即大地水准面对地球自然表面的逼近。大地体对地球形状的很好近似，其面上高出与面下缺少的相当。

2．地球形体的二级逼近

在测量和制图中就用旋转椭球体来代替大地球体，这个旋转椭球体通常称为地球椭球体，简称椭球体。它是一个规则的数学表面，所以人们视其为地球体的数学表面，也是对地球形体的二级逼近，用于测量计算的基准面。

3．地球的三级逼近

对地球形状测定后，还必须确定大地水准面与椭球体面的相对关系。即确定与局部地区大地水准面符合最好的一个地球椭球体——参考椭球体，这项工作就是参考椭球体定位。

通过数学方法将地球椭球体摆到与大地水准面最贴近的位置上，并求出两者各点间的偏差，从数学上给出对地球形状的三级逼近。

第二节地理坐标系

确定地面点或空间目标的位置所采用的参考系称为坐标系，坐标系的种类有很多，与地图测绘密切相关的有地理坐标系和平面坐标系。

地理坐标系——就是用经纬度表示地面点位的球面坐标系，在大地测量中，又分为天文坐标系、大地坐标系和地心坐标系。

一、天文坐标系

以大地水准面为基准面，铅垂线为基准线，以天文经纬度表示点位坐标的系统。

天文经纬度：表示地面点在大地水准面上的位置，用天文经度和天文纬度表示。

天文经度：观测点天顶子午面与格林尼治天顶子午面间的两面角。在地球上定义为本初子午面与观测点之间的两面角。

天文纬度：在地球上定义为铅垂线与赤道平面间的夹角。

天文经纬度见图3－9。

二、大地坐标系

以参考椭球面为基准面，以法线为基准线，用表示地面或空间点位坐标的系统。见图3－10。

大地经度：指参考椭球面上某点的大地子午面与本初子午面间的两面角。东经为正，西经为负

大地纬度 ：指参考椭球面上某点的垂直线（法线）与赤道平面的夹角。北纬为正，南纬为负。

三、地心坐标系

以参考椭球面为基准面，以观测点与地心的连线为基准线，用表示地面或空间点位坐标的系统。见图3－11。

即以地球椭球体质量中心为基点，地心经度同大地经度，地心纬度是指参考椭球面上某点和椭球中心连线与赤道面之间的夹角。

在大地测量学中，常以天文经纬度定义地理坐标。

在地图学中，以大地经纬度定义地理坐标。

地理学研究及地图学的小比例尺制图中，通常将椭球体当成正球体看，采用地心经纬度。三种经纬关系见图3－12

第三节子午圈曲率半径、卯酉圈曲率半径、平均曲率半径和纬圈半径

图3－14中，设过椭球表面上任一点A作法线AL，通过法线的平面所截成的截面，叫做法截面。通过A点的法线AL可以作出无穷多个法截面，法截面与椭球体面的交线称为法截弧。为说明椭球体面上某点的曲率起见，通常研究两个相互垂直的法截弧的曲率，这种相互垂直的法截弧称为主法截弧。

对椭球体来说，要研究下列的两个主法截弧，一个曲率半径具有最大值，而另一个曲率半径具有最小值。

1．经线圈曲率半径M

包含子午圈的截面，称为子午圈截面，从图3－14中看出，就是过A点的法线AL同时又通过椭球体旋转轴PP‘的法截面(即AE’P’EP)。子午圈曲率半径通常用字母M表示，它是A点上所有截面的曲率半径中的最小值：

(3－5)

2．卯酉圈曲率半径N

垂直于子午圈的法截弧称为卯酉圈，从图l－3中看出，即通过A点的法线AL并垂直于子午圈截面的法截弧W’AE’。它具有A点上所有法截弧的曲率半径中的最大值。

(3－6)

式中符号与(3－5)式相同，可见N亦随纬度而变化。

3．平均曲率半径R等于主法截面曲率半径的几何中数

(3－7)

4．纬圈的半径r

(3－8)

第四节子午线弧长和纬线弧长

子午线弧长微分弧长的表达式为：

(3－9)

欲求A、B两点之间子午线弧长s时，须求以和为区间和积分，得纬线(平行圈)的弧长：因为纬线为圆弧，故可应用求圆周弧长的公式：设A、B两点的经差为λ，则由图3－16可得

(3－12)

第五节地球椭球体表面上的梯形面积

计算地球椭球体表面上的梯形面积，就是求定以二条子午线和两条平行圈为界的椭球体表面面积。

如图3－17所示，在椭球体表面上设有两条无穷接近的子午圈PBAP1和PCDP1，其经度各为；另外有两条无穷接近的平行圈TBCS和QADR，其纬度各。它们构成一个无穷小的梯形ABCD。

从图3－17中看出，此梯形的边长就是子午圈和平行圈的弧长，故

由此，这个微分梯形面积ABCD可以写成

(3－13)

第六节决定新极Q的地理坐标φ

为在球面上确定点位可视需要而采用不同的坐标系。制图实践中常使用的有地理坐标系( )，球面极坐标系( )和球面直角坐标系( )。如图3－18所表示的，其中K为球面上某一点，P是地理坐标系极点，Q是球面极坐标系极点。各坐标系之间可以进行简单的相互换算。

地理坐标与球面极坐标之间的关系：利用球面三角公式，在球面三角形PKQ中有