高中数学三角函数知识点完整总结

高中数学三角函数知识点完整总结
1.弧度
若一圆的半径为r，则弧长s所对应的圆心角θ为
θ＝s
r
弧度。

2.度与弧度的换算
(1) 1 弧度＝180
π
︒。

(2) 1°＝
180
π
弧度。

3.扇形的弧长与面积公式
若圆半径为r，扇形COD的圆心角∠COD＝θ（弧度），0 ≤ θ≤ 2π，如右图，令扇形的弧长为s，面积为A，则
(1) s＝rθ。

(2) A＝1
2
r2θ＝
1
2
rs。

4.三角函数的定义
sin θ＝對邊長
斜邊長
，称为θ的正弦，
cos θ＝鄰邊長
斜邊長
，称为θ的余弦，
tan θ＝對邊長
鄰邊長
，称为θ的正切，
cot θ＝鄰邊長
對邊長
，称为θ的余切，
sec θ＝斜邊長
鄰邊長
，称为θ的正割，
csc θ＝斜邊長
對邊長
，称为θ的余割。

5.广义角三角函数的定义
设θ是一个标准位置角，在角θ的终边上任取一点P（x，y），x，y不同时为0，且
22
==+
OP r x y＞0，如右图，则定义角θ的六个三角函数值如下：
sin θ＝y
r
，cos θ＝
x
r
，tan θ＝
y
x
，
cot θ＝x
y
，sec θ＝
r
x
，csc θ＝
r
y。

6.倒数关系
对于任意角θ，在下列各项均有意义时，有
(1) sin θ‧csc θ＝1。

(2) cos θ‧sec θ＝1。

(3) tan θ‧cot θ＝1。

7.商数关系
对于任意角θ，在下列各项均有意义时，有
(1) tan θ＝sin
cos
θ
θ。

(2) cot θ＝cos
sin
θ
θ。

8.平方关系
对于任意角θ，在下列各项均有意义时，有
(1) sin2θ＋cos2θ＝1。

(2) 1＋tan2θ＝sec2θ。

(3) 1＋cot2θ＝csc2θ。

9.正弦函数（y＝sin x）
(1) 定义域为{x|x为实数｝。

(2) 值域为{y|y为实数，－1 ≤ y≤ 1｝。

(3) 周期为 2π。

10. 余弦函数（y ＝cos x ）
(1) 定义域为{x|x 为实数｝。

(2) 值域为{y|y 为实数，－1 ≤ y ≤ 1｝。

(3) 周期为 2π。

11. 正切函数（y ＝tan x ）
(1) 定义域为|2ππ⎧⎫≠⎨⎬⎩⎭
為實數且＋，為整數x x x k k 。

(2) 值域为{y|y 为实数｝。

(3) 周期为 π。

12. 余切函数（y ＝cot x ）
(1) 定义域为{x|x 为实数且 x ≠kπ，k 为整数｝。

(2) 值域为{y|y 为实数｝。

(3) 周期为 π。

13. 正割函数（y ＝sec x ）
(1) 定义域为|2ππ⎧⎫≠⎨⎬⎩⎭
為實數且＋，為整數x x x k k 。

(2) 值域为｛y|y 为实数，y ≥ 1 或 y ≤ －1｝。

(3) 周期为 2π。

14. 余割函数（y ＝csc x ）
(1) 定义域为{x|x 为实数且 x ≠k π，k 为整数｝。

(2) 值域为{y|y 为实数，y ≥ 1 或 y ≤ －1｝。

(3) 周期为 2π。

15. 函数图形的平移
设 h ，k ＞0。

(1) y ＝f （x ）＋k 的图形是将 y ＝f （x ）的图形向上平移 k 单位而得。

(2) y ＝f （x ）－k 的图形是将 y ＝f （x ）的图形向下平移 k 单位而得。

(3) y ＝f （x ＋h ）的图形是将 y ＝f （x ）的图形向左平移 h 单位而得。

(4) y ＝f （x －h ）的图形是将 y ＝f （x ）的图形向右平移 h 单位而得。

16. 函数图形的伸缩
(1) y ＝af （x ）
，a ＞0，的图形是将 y ＝f （x ）的图形上每一点的纵坐标都乘上 a 倍而得。

(2) y ＝f （ax ），a ＞0，的图形是将 y ＝f （x ）的图形上每一点的横坐标都乘上1a 倍而得。

17. 正﹑余弦函数的叠合公式
设 a ，b 是不全为 0 的实数，则 a sin x ＋b cos x ＝22+a b sin （x ＋θ）， 其中 θ 满足 cos θ＝22+a
a b ，sin θ＝22+b a b 。

18. 圆的参数式
如右图，圆 C ：（x －h ）2＋（y －k ）2＝r 2 的参数式为
cos sin θθ⎧⎨⎩
＝＋＝＋x h r y k r ，0 ≤ θ＜2π。

19. 椭圆的参数式
(1) 中心在（h ，k ），其长轴与 x 轴平行或重合的椭圆
Γ：22
22()()1--+=x h y k a b
参数式为cos sin θθ⎧⎨⎩＝＋＝＋x h a y k b ，0 ≤ θ＜2π。

(2) 中心在（h ，k ），其长轴与 y 轴平行或重合的椭圆
Γ：22
22
()()1--+=x h y k b a
参数式为cos sin θθ⎧⎨⎩
＝＋＝＋x h b y k a ，0 ≤ θ＜2π。

20. 复数的极式
复数 z ＝a ＋bi 的极式为 z ＝r （cos θ＋i sin θ），其中 r ＝|z|22+a b z 的向径， 且 θ 满足 cos θ22+a b
，sin θ22+a b ，称为 z 的辐角。

21. 复数极式的乘法公式与除法公式
令 z 1＝r 1（cos θ1＋i sin θ1）及 z 2＝r 2（cos θ2＋i sin θ2），则
(1) z 1z 2＝r 1r 2（cos （θ1＋θ2）＋i sin （θ1＋θ2））。

(2) 12z z ＝12
r r （cos （θ1－θ2）＋i sin （θ1－θ2））。

（z 2≠0） 22. 棣美弗定理
设z＝r（cos θ＋i sin θ），n是正整数。

则z n＝r n（cos nθ＋i sin nθ）。

23. 1 的n次方根
1 的n次方根为cos 2πk
n
＋i sin
2πk
n
，k＝0，1，2，…，n－1，
或是可以表示为1，ω，ω2，ω3，…，ωn－1，
其中ω＝cos 2π
n
＋i sin
2π
n。

数学家小传
傅立叶
Joseph Fourier
1768～1830
法国数学家及物理学家。

在童年时代因父母双亡，因此被教堂收养成长。

长大后随拿破仑（Napoleon Bonaparte，1769～1821，法国）远征埃及。

在战争失败后，他回到法国进行有关热传导现象的研究，由此他建立了影响后代数学及物理发展的分析理论。

傅立叶在1807 年向巴黎研究院提交一份论文：热的传导。

在该论文中傅立叶建立了热在传导的过程中所需要满足的方程式，并在求解该方程时，发现了其解可以用不同周期的三角函数叠合而成的函数来表示，这就是后世在数学﹑物理﹑工程学界广泛使用的傅立叶级数（Fourier series）的始祖，并进而发展出函数空间上的傅立叶分析﹑调和分析等学问。

傅立叶级数理论的应用，已经深入到现代人的日常生活之中。

例如说电波信号的传输﹑视讯的压缩处理﹑声音的合成解析等等，都使用了这项理论，使现代科技有了革命性的进展。