圆的基本性质练习(含答案)

圆的基本性质考点1 对称性圆既是________①_____对称图形，又是______②________对称图形。

任何一条直径所在的直线都是它的____③_________。

它的对称中心是_____④_______。

同时圆又具有旋转不变性。

温馨提示：轴对称图形的对称轴是一条直线，因此在谈及圆的对称轴时不能说圆的对称轴是直径。

考点2 垂径定理定理：垂直于弦的直径平分______⑤______并且平分弦所对的两条___⑥________。

常用推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于______⑦_______，并且平分弦所对的两条_____⑧___________。

温馨提示：垂径定理是中考中的重点考查内容，每年基本上都以选择或填空的形式出现，一般分值都在3分左右，这个题目难度不大，只要在平时的练习中，多注意总结它所用的数学方法或数学思想等，以及常用的辅助线的作法。

在这里总结一下：（1）垂径定理和勾股定理的有机结合是计算弦长、半径等问题的有效方法，其关键是构造直角三角形；（2）常用的辅助线：连接半径；过顶点作垂线；（3）另外要注意答案不唯一的情况，若点的位置不确定，则要考虑优弧、劣弧的区别；（4）为了更好理解垂径定理，一条直线只要满足：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧；考点3 圆心角、弧、弦之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧______⑨______，所对的弦也_____⑩________。

常用的还有：（1）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角___○11____________，所对的弦_____○12___________。

（2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角____○13___________，所对的弧______○14 __________。

方法点拨：为了便于理解和记忆，圆心角、弧、弦之间的关系定理，可以归纳为：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应地其余各组量也都相等。

温馨提示：（1）上述定理中不能忽视“在同圆或等圆中”这个条件。

否则，虽然圆心角相等，但是所对的弧、弦也不相等。

以同心圆中的圆心角为例，相等的圆心角在同心圆中，所对的弧与弦都不相等。

（2）在由弦相等推出弧相等时，这里的弧要么是优弧，要么是劣弧，不能既是优弧又是劣弧。

考点4 圆周角定理及其推论定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角______○15__________，都等于这条弧所对的圆心角的______○16________。

推论：半圆或直径所对的圆周角是_______○17________，90°的圆周角所对的弦是______○18__________。

方法点拨：定理中的推论应用十分广泛，一般情况下用它来构造直角三角形，若需要直角或证明垂直时，通常作出直径就能解决问题。

温馨提示：定理中的“同弧或等弧”不能改为是“同弦或等弦”。

因为在圆中一条弦所对的圆周角有两个，这两个圆周角互补。

<<名题精解>>例1：如图1，正方形ABCD 是⊙O 的内接正方形，点P 在劣弧CD 上不同于点C 得到任意一点，则∠BPC 的度数是（ ）A ．45B ．60C ．75D ．90例2：如图，在O 中，AOB ∠的度数为m C ，是ACB 上一点，D E ，是AB 上不同的两点（不与A B，两点重合），则D E ∠+∠的度数为（ ）A ．mB ．1802m-C ．902m +D ．2m 例3：高速公路的隧道和桥梁最多．如图是一个隧道的横截面，若它的形状是以O 为圆心的圆的一部分，路面AB =10米，净高CD =7米，则此圆的半径OA =（ ）A ．5B ．7C ．375 D ．377训练一、选择题（每题3分，共30分）1．（09年南宁）如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，∠CDB ＝30°,⊙O 的半径为cm 3，则弦CD 的长为（ ） A ．3cm 2B ．3cmC ．23cmD ．9cmO PD C BA例1图ABC DE O例2图O D ABC例3图2．（09年天津市）如图，△ABC 内接于⊙O ，若∠OAB ＝28°，则∠C 的大小为（ ）A ．28°B ．56°C ．60°D ．62°3．（09南宁）如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E,∠CDB ＝30°, ⊙O 的半径为cm 3，则弦CD 的长为（ ） A ．3cm 2B ．3cmC ．23cmD ．9cm4．（09年安徽）如图，弦CD 垂直于⊙O 的直径AB ，垂足为H ，且CD ＝22，BD ＝3，则AB 的长为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．55．（09年安徽）△ABC 中，AB ＝AC ，∠A 为锐角，CD 为AB 边上的高，I 为△ACD 的内切圆圆心，则∠AIB 的度数是（ ） A ．120° B ．125° C ．135° D ．150°6．（09年重庆）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 是直径．若∠BOC ＝80°，则∠A 等于（ ） A ．60°B ．50°C ．40°D ．30°7．（09年兰州）如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为( ) A ．5米 B ．8米 C ．7米 D ．53米8．（09年山东青岛市）一根水平放置的圆柱形输水管道横截面如图所示，其中有水部分水面宽0.8米，最深处水深0.2米，则此输水管道的直径是（ ） A ．0.4米B ．0.5米C ．0.8米D ．1米 9．（09山西省太原市）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，若以点C 为圆心，CB 长为半径的圆恰好经过AB 的中点D ，则AC 的长等于（ ） A ．53B ．5C ．52D ．610.( 09年云南省)如图，A 、D 是⊙O 上的两个点，BC 是直径，若∠D ＝ 35°，则∠OAC 的度数是（ ） A ．35° B ．55° C ．65° D ．70°B CDA第1题图 第2题图 第3题图 第4题图 第6题图第7题图第8题图第9题图二、填空题（每小题3分，共30分）11．（09年长沙）如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，∠BOC ＝44°，则∠A 的度数为 ． 12．（09年长春）如图，点C 在以AB 为直径的O ⊙上，1030AB A =∠=，°，则BC 的长为 ． 13. （09年福州）如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上 ，OD ∥AC ，若BD ＝1，则BC 的长为 14．（09年北京市）如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，E 为BC 上一点，若∠CEA ＝28，则∠ABD ＝ °.DABC E15．（09年山东青岛市）如图，AB 为⊙O 的直径，CD 为⊙O 的弦，∠ACD ＝42°，则∠BAD ＝ __________°. 16．（09年新疆乌鲁木齐市）如图，点C 、D 在以AB 为直径的⊙O 上，且CD 平分ACB ∠，若AB ＝2,∠CBA ＝15°，则CD 的长为 ．17．（09年广东省）已知⊙O 的直径AB ＝8cm ，C 为⊙O 上的一点，∠BAC ＝30则BC ＝______cm.18．（09年山西省）如图所示，A 、B 、C 、D 是圆上的点，17040A ∠=∠=°，°，则C ∠=— 度．AB CDO19.( 09年上海市) 在⊙O 中，弦AB 的长为6，它所对应的弦心距为4，那么半径OA ＝ ．20．(09成都)如图，△ABC 内接于⊙O ，AB ＝BC ，∠ABC ＝120°，AD 为⊙O 的直径，AD ＝6，那么BD ＝_________．第10题图第11`题图第12题图第13题图第14题图第15题图第16题图第17题图第18题图 第20题图三、解答题（共60分）21．(本题6分)（09年广西钦州）已知：如图，⊙O 1与坐标轴交于A （1，0）、B （5，0）两点，点O 1的纵坐标为5．求⊙O 1的半径．22．(本题6分) (’09年四川省内江市)如图，四边形ABCD 内接于圆，对角线AC 与BD 相交于点E 、F 在AC 上，AB ＝AD ，∠BFC ＝∠BAD ＝2∠DFC. 求证：（1）CD ⊥DF ；（2）BC ＝2CD.23．(本题6分)（09年甘肃庆阳）如图，在边长为2的圆内接正方形ABCD 中，AC 是对角线，P 为边CD 的中点，延长AP 交圆于点E ． ∠E ＝ 度；25．(本题7分)（09年株洲市）如图，点A 、B 、C 是O 上的三点，//AB OC .（1）求证：AC 平分OAB ∠.（2）过点O 作OE AB ⊥于点E ，交AC 于点P . 若2AB =，30AOE ∠=︒，求PE 的长．26. (本题9分) (09年潍坊)如图所示，圆O 是ABC △的外接圆，BAC ∠与ABC ∠的平分线相交于点I ，延第22题图第25题图第23题图第22题图第21题图B AO 图2 x yA B O 1O长AI 交圆O 于点D ，连结BD DC 、． （1）求证：BD DC DI ==；（2）若圆O 的半径为10cm ，120BAC ∠=°，求BDC △的面积．参考答案基础知识回放①轴 ②中心 ③对称轴 ④圆心 ⑤弦 ⑥弧 ⑦弦 ⑧弧 ⑨相等 ⑩相等 ○11相等 ○12相等 ○13相等 ○14相等 ○15相等 ○16一半 ○17直角 ○18直径 例1、A 例2、B 例3、C 中考效能测试1．B 【解析】本题考查同弧所对的圆周角和圆心角的关系及垂径定理的应用.因为∠ＣＤＢ＝300，所以∠ＣＯＢ＝600，所以在直角⊿ＣＯＥ中，ＯＥ＝21ＣＯ＝23，根据勾股定理可得ＣＥ＝23，所以ＣＤ＝2ＣＥ＝3 cm.2．D 【解析】本题考查了圆周角和圆心角的有关知识。

根据圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，所以∠AOB=2∠C 。

∵OA=OB ，∴∠OAB=∠OBA, 又∵∠OAB=28°, ∴∠AOB=124°，所以∠C=62°.故选D.3．Ｂ【解析】本题考查同弧所对的圆周角和圆心角的关系及垂径定理的应用.因为∠ＣＤＢ＝300，所以∠ＣＯＢ＝600，所以在直角⊿ＣＯＥ中，ＯＥ＝21ＣＯ＝23，根据勾股定理可得ＣＥ＝23，所以ＣＤ＝2ＣＥ＝3 cm.4．B 【解析】由垂径定理，可得DH=2,所以BH=221,BD BH -=又可得△DHB ∽△ADB.,所以有22,(3)1,3BD BH BA BA AB =∙=⨯=.本题考查了垂径定理及相似三角形判定与性质。