第四节 条件概率详解
第四节 条件概率总结
第四节一、条件概率 二、乘法公式条件概率三、全概率公式与贝叶斯公式一、条件概率在许多问题中,我们往往会遇到事件 B 已经出 现的条件下求事件A的概率. 这时由于有了附加条 件, 因此称这种概率为事件B发生的条件下，事件 A的条件概率，记作 P(A|B) 同理P(Ｂ|Ａ)表示：事件Ａ发生的条件下，事件 Ｂ发生的概率例1 一个家庭中有两个小孩，已知两个小孩其中一个 是女孩，问两个小孩都是女孩的概率是多少？ （假定生男生女是等可能的） 解 由题意，样本空间为Ω = { (男，男)， (男，女)， (女，男)， (女，女) }A 表示事件“至少有一个是女孩”， B 表示事件“两个都是女孩”，则有 A＝{ (男，女)， (女，男)， (女，女) } B = { (女，女) } 由于事件A已经发生，所以这时试验的所有可能结果 只有三种，而事件B包含的基本事件只占其中的一 1 种， 所以有 P ( B A) =3(1)在这个例子中，若不知道事件A已经发生的信息，那 么事件B 发生的概率为 这里1 P( B) = 4 P( B)≠ P( B A)其原因在于事件 A的发生改变了样本空间，使它由原 来的Ω 缩减为Ω A = A，而 P( B A)是在新的样本空间 Ω A 中由古典概率的计算公式而得到的．上例中计算 P(B|A)的方法并不普遍适用．如果回 到原来的样本空间Ω 中考虑，显然有3 P( A) = 4从而即1 P ( AB) = 4 1 1 P ( B A) = = 4 3 3 4 P ( AB) P( B A ) = P ( A)(2)关系式（2）不仅对上述特例成立，对一般的古典概 型和几何概型问题，也可以证明它是成立的．定义1 设A, B是两个事件，且P( A) > 0，称P ( AB) P( B A ) = P ( A)(3)事件A发生的条件下事件B 发生的条件概率 性质： 设A是一事件，且P(A)>0，则 (1) 对任一事件B，0≤P(B|A)≤1; (2) P(Ω| A) =1 ； 1 1 非负性 非负性 2 2 规范性 规范性 3 3 可列可加性 可列可加性(3) 设B1, B2 ,··· 两两互不相容，则 P[(B1∪B2∪ ···)| A] = P(B1|A)+P(B2|A) + ···(4) P (φ A) = 0.(5) P(B1 ∪ B2 A) = P(B1 A) + P(B2 A) − P(B1 B2 A);(6) P ( B A) = 1 − P ( B A).条件概率的计算根据具体的情况，可选用下列两种方法之一来计算 条件概率P(B|A) （1）在缩减后 ΩA 的样本空间中计算； （2）在原来的样本空间Ω 中，直接由定义计算．条件概率 P(B|A)的样本空间ΩABAB样本空间ΩP( AB) P( B A ) = P( A)缩减的样本空间（即事件A）P( B | A)例2 一袋中有10 个球，其中3个黑球，7个白球， 依次从袋中不放回取两球． （ 1 ）已知第一次取出的是黑球，求第二次取出的 仍是黑球的概率； （ 2 ）已知第二次取出的是黑球，求第一次取出的 也是黑球的概率． 解 记 Ai = { 第 i 次取到黑球 } ( i = 1, 2) （1）可以在缩减的样本空间 ΩA 上计算。
条件概率 全概公式
但 P( ABC ) ≠ P( A)P( B )P(C ) 三事件不是相互独立的, 所以A、B、C三事件不是相互独立的,但它们 是两两独立的。 是两两独立的。 对于多个随机事件， 对于多个随机事件 ， 若 A1，A2， An 是相 L 互独立的， 互独立的，则n 个事件中至少有一个发生的 概率为
= 1 P( A1 U A2 U L U An )
全概率公式: 1、全概率公式: 是两两互斥的事件， 设 A1 , A2 ,L , An 是两两互斥的事件，且
P ( Ai ) > 0, i = 1,2, L, n, 另有一事件 , 它总是 另有一事件B,
之一同时发生， 与 A1 , A2 ,L , An 之一同时发生，则
P(B) = ∑P( Ai )P(B｜Ai )
1500 P U Ai = 1 P( A1 A2 L A1500 ) i =1 = 1 P( A1 ) P( A2 )L P( A1 ) = 1 (1 0.002 )
1500
= 1 e1500 ln (10.002 )
≈ 1 e1500( 0.002 ) = 1 e 3 ≈ 0.95
B AB A
掷出2 例如，掷一颗均匀骰子A＝{掷出2点}， 掷一颗均匀骰子 B={掷出偶数点}，P(A )=1/6， P(A|B)=？ ={掷出偶数点 ={掷出偶数点} )=1/6， ( = 已知事件B发生 发生， 已知事件 发生，此时试验 掷骰子 所有可能结果构成的集合就是B 所有可能结果构成的集合就是 ， B中共有3个元素，它们的出现是 中共有3个元素， 中共有 等可能的，其中只有1个在集A中 等可能的，其中只有1个在集 中， 于是P( 于是 (A|B)= 1/3. )= 容易看到： 容易看到： 1 1 6 P( AB) P(A B ) = = = 3 36 P(B)
概率论第一章第四节条件概率
例3 (摸彩模型) n 张彩票中有一张中奖，从 中不返回地摸取，记 Ai =“第 i 次摸到中奖 券”，i=1,„„,n. 求 P(Ai)= ?
分析: 注意到 Ai A1 A2 Ai 1 Ai
P( Ai ) P( A1 A2 Ai 1 Ai ) P( A1 ) P( A2 | A1 ) P( Ai | A1 A2 Ai 1 )
例4 (波利亚模型)
设罐子中装有 b只黑球、r 只红球. 每次自罐中 任取一只球, 观察其颜色然后放回, 并再放入 c 只 与所取出的那只球同色的球 和d个异色球. 若在 罐中连续取球三次, 试求第一次取到黑球, 第 二、三次取到红球的概率.
提示: 设 Bi (i 1,2,3) 为事件 “第 i 次取到黑球” ,
例8 某地区居民的肝癌发病率为0.04%, 现用甲胎蛋白法检查肝癌.由于技术不 完善,化验结果是存有错误的.已知患 有肝癌的人其化验结果99%呈阳性(即 有病), 而没患肝癌的人其化验结果 99.9%呈阴性(即无病).现某人的检验 结果呈阳性,问他患肝癌的概率是多少?
分析: 记B=“被检查者患肝癌”, A=“被检查者检查结果呈阳性”.
P(An|A1A2 ··An1) ·· ··
例2 某班外出聚餐，拨打餐厅订餐电 话，由于电话号码中的最后一位数字丢 失，故只能随机拨打。求三次之内拨通 电话的概率？
分析：记A=“三次拨通电话”，Ai=“第i次拨 通电话”，则 A= A1UA2UA3.
P( A) 1 P( A ) 1 P( A1 A2 A3 ) 1 P( A1 ) P( A2 | A1 ) P( A3 | A1 A2 )
3.3 贝叶斯（Bayes）公式
已知“结果” ，求“原因” 某人从甲地到乙地，乘飞机、火车、汽 车迟到的概率分别为0.1、0.2、0.3，他等 可能地选择这三种交通工具。若已知他最 后迟到了，求他分别是乘飞机、火车、汽 车的概率.
高考数学条件概率知识点
高考数学条件概率知识点高考中，数学是一门重要的科目，而其中又涉及到概率这个重要的数学分支。
在概率中，条件概率是一个重要的概念，它可以帮助我们更好地理解和应用概率。
接下来，我们将深入探讨高考数学中的条件概率知识点。
首先，我们来了解一下条件概率的定义。
条件概率是指在一个条件下发生某一事件的概率。
用数学的语言来描述就是：对于两个事件A和B，已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率称为事件A在条件B下的条件概率，记作P(A|B)。
其中，P(A|B)的计算方式为P(A|B)= P(AB)/P(B)。
这里P(AB)表示事件A和B同时发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。
条件概率常常用于解决含有条件约束的概率问题。
举个例子来说，假设有一个罐子里装有两种颜色的球，红球和白球。
已知罐子里有20个球，其中10个红球，10个白球。
现在从罐子中随机抽取一个球，已知这个球是红球，问该球是白球的概率是多少？对于这个问题，首先我们要明确已知条件：已知抽取的球是红球。
设事件A表示抽取的球是白球，事件B表示抽取的球是红球。
现在我们要求的是事件A在事件B条件下发生的概率P(A|B)。
根据条件概率的定义，我们可以得到P(A|B) = P(AB)/P(B)。
进一步分析，P(AB)表示抽取的球既是红球又是白球的概率，显然是不存在的，所以P(AB) = 0。
又因为已知抽取的球是红球，所以P(B) = 10/20 = 1/2。
因此，根据条件概率的计算公式，可以得到P(A|B) = 0/(1/2) = 0。
因此，抽取的球是红球的条件下，该球是白球的概率为0。
除了条件概率的计算，还有一些与条件概率相关的概念和定理。
其中一个重要的概念是独立事件。
如果两个事件A和B满足P(A|B) =P(A)，或者等价地说P(B|A) = P(B)，那么我们称事件A和事件B是相互独立的。
简而言之，两个事件满足条件概率的定义，且条件概率等于事件自身的概率，那么这两个事件就是相互独立的。
条件概率
全概率公式
设B1,B2,…,Bn是n个互不相容的事
n
件,且 P(Bi)>0 (i=1,2,…,n) ,若 A
则 P ( A) P ( Bi ) P ( A | Bi )
i 1 n
i1
Bi
A AB
1
AB
2
AB
B2
n
B1
A B3
P ( A)
P ( B ) P ( A| B
0 . 02 0 . 3 0 . 01 0 . 5 0 . 01 0 . 2 0 . 013 .
例6 两批相同种类的产品各有十二件和 十件,每批产品中各有一件废品,现在先从 第一批产品中任取一件放入第二批中,然 后再从第二批中任取一件,求这时取到废 品的概率 解: A:“取到废品” B:“从第一批中取到的是废品” 有,
而且，前面对概率所证明的一些重要性质 都适用于条件概率.
P ( A1 A 2
B ) P ( A1 B ) P ( A 2
B ) P ( A1 A 2
B)
P(A
B) 1 P(A B)
P ( A1 A 2
B ) P ( A1 B ) P ( A1 A 2
B)
4. 条件概率的计算 1) 用定义计算:
P ( A | B) P ( AB) P ( B) ,
P(B)>0
掷骰子 2)从加入条件后改变了的情况去算
例：A={掷出2点}， B={掷出偶数点} 1
P(A|B）=
3
B发生后的 缩减样本空间 所含样本点总数 在缩减样本空间 中A所含样本点 个数
例1 掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出6点,问 “掷出点数之和不小于10”的概率是多少? 解: 设A={掷出点数之和不小于10}
条件概率知识点
条件概率知识点一、条件概率的定义。
1. 概念。
- 设A、B为两个事件，且P(A)>0，称P(BA)=(P(AB))/(P(A))为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率。
- 例如，扔一个骰子，事件A为“骰子的点数为偶数”，P(A)=(3)/(6)=(1)/(2)，事件B为“骰子的点数小于4”，AB表示“骰子的点数为2”，P(AB)=(1)/(6)。
那么在A发生的条件下B发生的条件概率P(BA)=(P(AB))/(P(A))=(frac{1)/(6)}{(1)/(2)}=(1)/(3)。
2. 性质。
- 非负性：对于任意事件B，A（P(A)>0），有P(BA)≥slant0。
- 规范性：P(ΩA) = 1，这里Ω是样本空间。
- 可列可加性：如果B_1,B_2,·s是两两互不相容的事件，则P(bigcup_i =1^∞B_iA)=∑_i = 1^∞P(B_iA)。
二、条件概率的计算方法。
1. 公式法。
- 直接根据定义P(BA)=(P(AB))/(P(A))计算。
- 例如，有一批产品共100件，其中次品10件，从中不放回地抽取两次，每次取一件。
设事件A为“第一次取到次品”，P(A)=(10)/(100)=(1)/(10)；事件B为“第二次取到次品”。
AB表示“第一次和第二次都取到次品”，P(AB)=(10)/(100)×(9)/(99)=(1)/(110)。
那么P(BA)=(P(AB))/(P(A))=(frac{1)/(110)}{(1)/(10)}=(1)/(11)。
2. 缩减样本空间法。
- 当直接计算P(AB)和P(A)比较复杂时，可以考虑缩减样本空间。
- 还是以上面抽取产品的例子，在A发生的条件下，即第一次已经取到了次品，此时样本空间就缩减为99件产品，其中次品还有9件，所以P(BA)=(9)/(99)=(1)/(11)。
三、条件概率的乘法公式。
1. 公式。
- 由P(BA)=(P(AB))/(P(A))可得P(AB)=P(A)P(BA)（P(A)>0）。
第十章 第四节 事件的独立性、条件概率与全概率公式
6．(全概率公式应用致误)在 A，B，C 三地爆发了流感，这三个地区分别有 6%，5%，4%的人患了流感．设这三个地区人口数的比为 3∶1∶1，现从这三个地 区中任选一人，这个人患流感的概率是__________．
答案：52070 解析：由全概率公式可得，现从这三个地区中任选一人，这个 人患流感的概率为 6%×3＋31＋1 ＋5%×3＋11＋1 ＋4%×3＋11＋1 ＝52070 .
2．事件 A 与事件 B 相互独立性
若事件 A 与事件 B 相互独立，则事件 A 的发生不会影响事件 B 发生的概率，
即有
P(B|A) ＝ P(B). 反 之 ， 若
P(B|A) ＝ P(B) 成 立 ， 则
P(AB)
＝ P(A)
P（AB） P（A）
＝
P(A)P(B|A)＝P(A)P(B).
3．n 个事件的相互独立
答案：25 解析：设事件 A 为“解题成功”，即甲乙两个小组至少有一个小 组解题成功，
其概率为 P(A)＝1－1－23 ·1－12 ＝56 ，
事件 B 为“乙小组解题失败”，则 P(AB)＝23 ×1－12 ＝13 ， 所以在解题成功的条件下，乙小组解题失败的概率为
1 P(B|A)＝PP（（AAB）） ＝35 ＝25 .
5．天气预报，在元旦假期甲地降雨概率是 0.2，乙地降雨概率是 0.3.假设在这 段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则这两地中恰有一个地方降雨的概率 为________．
答案：0.38 解析：设甲地降雨为事件 A，乙地降雨为事件 B，则两地恰有一 地降雨为 A－B ∪－A B，
所以 P(A－B ∪－A B)＝P(A－B )＋P(－A B)＝ P(A)P(－B )＋P(－A )P(B)＝0.2×0.7＋0.8×0.3＝0.38.
1.4条件概率
P
0.1
0.2
0.4
0.2
0.1
从每批产品中不放回地取10件进行检验,若 发现有不合格产品,则认为这批产品不合格， 否则就认为这批产品合格. 求 (1) 一批产品通过检验的概率 (2) 通过检验的产品中恰有 i 件次品的概率
解
思考2. 检出阳性是否一定患有癌症? 试验结果为阳性,此人确患癌症的概率为 P(A1｜B)= 0.00786
即使你检出阳性，尚可不必过早下结论 你有癌症，这种可能性只有0.786% (平均来 说，1000个人中大约只有8人确患癌症)，此 时医生常要通过再试验来确认.
例 每100件产品为一批, 已知每批产品中次品
用乘法公式容易求出 P(A1A2A3A4) b个白球, r个红球
b bc r rc b r b r c b r 2c b r 3c
=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)P(A4|A1A2A3)
当 c>0 时，由于每次取出球后会增加下一次也 取到同色球的概率. 这是一个传染病模型. 每次发 现一个传染病患者，都会增加再传染的概率.进一 步，当 c=0 时，放回抽样；当 c=-1 时，不放回抽 样。
第四节 条件概率
一、条件概率的定义及性质
设A，B是两事件，且P(A)>0，称
P AB P ( B | A) P A
为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率 .
1.条件概率P（•|A）满足概率定义的三条公理，即 1） 对于每一事件B，有P（B|A）≥0; 2） P（ |A）=1 3) 设B1，B2,…两两不相容，则有
全概率公式:
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… A2 A1
…
A1B， A2B，…，AnB
B
…
An
…
…
是B 的一个划分。
概率论意义：若A1，A2，···，An是S的一个划分， 则， A1，A2，···，An任意两个不可能同时发生但 必有一个发生。
例:A S,A与A组成样本空间一个划分.
例：S={南理工全体本科生} Ai=“南理工本科i年级学生” i=1,2,3,4 “南理工本科生中男学生” “南理工本科生中女学生”
P(B)＝P(A)P(B | A)+P( A)P(B | A)
全概率公式的证明:
由于A1, A2,…, An两两互不相容
Ai B AjB Ai Aj B
得 A1B, A2 B, , An B 也两两互不相容；
n
B Ai B
i 1
所以由概率的有限可加性，得
21 3 2 2
(2)P(B)
P52
5
(红球, B——第二次取到红球
S=
A
B
显然，若事件A、B是古典概型的样本空间S 中的两个事件，其中A含有NA个样本点,AB含有 NAB个样本点，则
P(B | A) N AB NAB N S P( AB) N A NA N S P( A)
解：设Ai为第i次取球时取到白球，i=1,2,3,4,则 P( A1A2 A3 A4 ) P( A1)P( A2 | A1)P( A3 | A1A2 )P( A4 | A1A2 A3 )
P(
A1)
2 5
P(
A2
|
A1)
3 6
3 P( A3 | A1 A2 ) 7
4 P( A4 | A1 A2 A3 ) 8
一、条件概率
例1设袋中有3个白球，2个红球，现从袋中任意抽取两次，每
次取一个，取后不放回， （1）已知第一次取到红球，求第二次也取到红球的概率; （2）求第二次取到红球的概率 （3）求两次均取到红球的概率
解：设A——第一次取到红球,B——第二次取到红球
(1)P(B
|
A)
1 4
这就是利用缩减的样本空间来做的
一般地，设A、B是S中的两个事件，则
P(B | A) P(AB) P( A)
称为事件A发生的条件下事件B发生的条件概率
“条件概率”是“概率”吗？
条件概率的性质:(P(A) ≠0) (1) P(B|A) ≥0 (2)P(S|A)=1 (3)对一列两两互不相容的事件 A1, A2 ,···, 有 P( A1 A2 ···|A ) ＝ P(A1|A) ＋P(A2|A)+
N A 60 N AB 40
P(B | A) N AB 2 NA 3
这就是利用缩减的样本空间来做的
二、乘法公式
设A、B S，P（A）>0,则 P(AB)＝P(A)P(B|A)
上式就称为事件A、B的概率乘法公式。
上式还可推广到三个事件的情形： P(ABC)＝P(A)P(B|A)P(C|AB)
···
例2 条件加法公式 设A,B,C是样本空间S中的三个事件,且P(C)≠0,试用 概率的运算性质证明: P(A∪B|C)=P(A|C)+P(B|C)-P(AB|C)
证:
P(A B | C) P[(A B) C] P(AC BC)
P(C)
P(C)
P(AC) P(BC) P(ABC) P(AC) P(BC) P(ABC)
3 P( A1 A2 A3 A4 ) 70
例5 利用乘法公式求交集的概率
例6 利用乘法公式求交集的概率 例6 一批零件共100个，其中有10个次品，依次做 不放回的抽取三次，求第三次才抽到合格品的概率？
解：令 Ai = “第 i 次抽到合格品.” i = 1, 2, 3
则所求的事件为：A1 A2 A3
而 PA 1 PA 1 1 7
所以
PB
A
6 8
6
88
77
8
PAB 6
8
例4 缩减的样本空间法求概率 一盒中混有100只新 ,旧乒乓球，各有红、白两色， 分 类如下表。从盒中随机取出一球，若取得的是一 只红球，试求该红球是新球的概率。
红白 解：设A——从盒中随机取到一只红 新 40 30 球. B——从盒中随机取到一只新球. 旧 20 10
P(C)
P(C) P(C) P(C)
P(A | C) P(B | C) P(AB | C) #
例 3 用公式法求条件概率
已知某家庭有3个小孩，且至少有一个是女孩， 求该家庭至少有一个男孩的概率．
解：设 A={ 3个小孩至少有一个女孩 } B={ 3个小孩至少有一个男孩 }
所求概率为
PB
A
PAB PA
定理1、设A1，…, An是S的一个划分，且 P(Ai)>0，(i＝1，…，n)，
则对任何事件B S有
n
P(B)＝ P( Ai )P(B | Ai ) 上式称为 全概率公式 。 i 1
P(B)＝P(A1)P(B | A1)+P( A2 )P(B | A2 )
P(B)＝P(A1)P(B | A1)+P(A2 )P(B | A2)+P(A3)P(B | A3)
1.4 条件概率
袋中有十只球，其中九只白球，一只红球， 十人依次从袋中各取一球(不放回)，问
第一个人取得红球的概率是多少？ 第二 个人取得红球的概率是多少？
若已知第一个人取到的是白球，则第二个人 取到红球的概率是多少？
若已知第一个人取到的是红球， 则第二个人取到红球的概率又是 多少？
已知事件A发生的条件下，事件B发生的概 率称为A条件下B的条件概率，记作P(B|A)
P( A1A2 A3 ) P( A1)P( A2 | A1)P( A3 | A1A2 )
10 9 90
100 99 98
0.0083
三、全概率公式与贝叶斯公式
定义： 事件组A1，A2，…，An (n可为)，称为 样本空间S的一个划分，若满足：
n
(i) Ai S;
i 1
(ii) Ai Aj , (i j), i, j 1,2,...,n.
一般地，有下列公式： P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2|A1)...P(An|A1…An－1)
例5 盒中有3个红球，2个白球，每次从盒中任取一只 ，观察其颜色后放回，并再放入一只与所取之球颜色 相同的球，若从盒中连续取球4次,试求第1、2次取得 白球、第3、4次取得红球的概率。作业4.4可参照此例题