河南省顶级名校2018-2019学年高二下学期期末考试数学(理)试题 含解析
C. D.
【答案】B
【解析】
分析：由题意可得模球的次数为7次，只有两次摸到红球，由于每次摸球的结果数之间没有影响，利用独立性事件的概率乘法公式求解即可．
详解：由题意 说明摸球七次，只有两次摸到红球，
因为每次摸球的结果数之间没有影响，摸到红球的概率是 ，摸到白球的概率是
所以只有两次摸到红球的概率是 ，故选B．
【详解】①将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数 后，标准差变为原来的 倍，正确；
②设有一个回归方程 ，变量 增加 个单位时， 平均减少 个单位，正确；
③线性相关系数 越大，两个变量的线性相关性越强；线性相关系数 越接近于 ，两个变量的线性相关性越弱，③错误；
④ 服从正态分布 ，则 位于区域 内的概率为 ，④错误；
10.已知三棱锥 的体积为 ， ， ， ， ，且平面 平面PBC，那么三棱锥 外接球的体积为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
试题分析：取 中点 ，连接 ，由 知 ，则 ，又平面 平面 ，所以 平面 ，设 ，则 ，又 ，则 ， ， ， ，显然 是其外接球球心，因此 ．故选D．
考点：棱锥与外接球，体积．
【答案】
【解析】
设元件1,2,3的使用寿命超过1000小时的事件分别记为A，B，C，显然P(A)＝P(B)＝P(C)＝ ，
∴该部件的使用寿命超过1000的事件为(A ＋ B＋AB)C.
∴该部件的使用寿命超过1000小时的概率为P＝ × ＝ .
15.若定义在 上的函数 ，则 ________．
【答案】
【详解】（1） ， ， ， ，
，解得 ， ，故 ．
（2）由（1）知椭圆方程可化简为 ．①
易求直线 的斜率为 ，
故可设直线 的方程为： ．②
由①②消去 得 ．
， ．
于是 的面积
， ．
因此椭圆的方程为 ，即
【点睛】本题考查椭圆的离心率以及通过弦长公式求椭圆的相关量，属于一般题。
20.某大型高端制造公司为响应《中国制造2025》中提出的坚持“创新驱动、质量为先、绿色发展、结构优化、人才为本”的基本方针,准备加大产品研发投资,下表是该公司2017年5~12月份研发费用(百万元)和产品销量(万台)的具体数据：
⑤在线性回归分析中， 为 的模型比 为 的模型拟合的效果好；正确
故选C.
【点睛】本题考查的知识点有标准差，线性回归方程，相关系数，正态分布等，比较综合，属于基础题。
7.若 ，则 的值为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
(a0+a2+a4)2－(a1+a3)2
选A
8.口袋中放有大小相等的2个红球和1个白球，有放回地每次摸取一个球，定义数列 ，如果 为数列 前n项和，则 的概率等于（）
2.设i为虚数单位，则(x＋i)6的展开式中含x4的项为()
A.－15x4B. 15x4C.－20ix4D. 20ix4
【答案】A
【解析】
试题分析：二项式 的展开式的通项为 ，令 ，则 ，故展开式中含 的项为 ，故选A.
【考点】二项展开式，复数的运算
【名师点睛】本题考查二项式定理及复数的运算，复数的概念及运算也是高考的热点，几乎是每年必考的内容，属于容易题.一般来说，掌握复数的基本概念及四则运算即可．二项式 可以写为 ，则其通项为 ，则含 的项为 ．
（1）证明： 平面 ；
（2）求平面 与平面 所成二面角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析；(2) .
【解析】
分析：(1)在 中，由勾股定理可得 .又 平面 ，据此可得 .利用线面垂直的判断定理可得 平面 .
(2)(方法一)延长 ， 相交于 ，连接 ，由题意可知二面角 就是平面 与平面 所成二面角.取 的中点为 ，则 就是二面角 的平面角.结合几何关系计算可得 .
中老年
35
20
55
合计
50
50
100
则
因为 ， ，所以有 的把握认为关注“一带一路”和年龄段有关
(2)根据题意知,选出关注的人数为3,不关注的人数为6,在这9人中再选取3人进行面对面询问, 的取值可以为0,1,2,3,则
, , , .
0
1
2
3
所以 的分布列为数学期望
18.在如图所示的几何体中， ， 平面 ， ， ， ， .
【考点】三角变换及导数的应用
【名师点睛】本题把导数与三角函数结合在一起进行考查,有所创新,求解的关键是把函数单调性转化为不等式恒成立,再进一步转化为二次函数在闭区间上的最值问题,注意与三角函数值域或最值有关的问题,即注意正、余弦函数的有界性.
二、填空题.
13.设随机变量ξ的概率分布列为 ， ，则 .
设准线l与 轴交于 点，根据抛物线的定义和△APF为正三角形，这两个条件可以得出 ，在直角三角形 中，利用正弦公式可以求出 ，即求出|PF|的长。
【详解】设准线l与 轴交于 点，所以 ，根据抛物线的定义和△APF为正三角形 ， ，在 中， ，
，所以|PF|等于6,故本题选C。
【点睛】本题考查了抛物线的定义。
点睛：本题主要考查了独立事件的概率乘法公式的应用，其中解答中通过 确定摸球次数，且只有两次摸到红球是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力．
9.设抛物线 的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点， ，垂足为A，如果 为正三角形，那么 等于（）
A. B. C. 6D. 12
【答案】C
【解析】
【分析】
高二数学试题（理科）
一、选择题。
1.若复数z满足 ，则在复平面内，z对应的点位于（）
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】
由复数的基本运算将其化为 形式，z对应的点为
【详解】由题可知 ，所以z对应的点为 ，位于第四象限。故选D.
【点睛】本题考查复数的运算以及复数的几何意义，属于简单题。
因为 ，所以 是 的中位线.
，这样 是等边三角形.
取 的中点为 ，连接 ，因为 平面 .
所以 就是二面角 的平面角.
在 ，所以 .
(方法二)建立如图所示的空间直角坐标系 ，可得 .
.
设 是平面 的法向量，则
令 得 .
取平面 的法向量为 .
设平面 与平面 所成二面角的平面角为 ，
则 ，从而 .
点睛：本题主要考查空间向量的应用，二面角的定义，线面垂直的判断定理等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
19.如图，过椭圆 的左焦点 作 轴的垂线交椭圆于点 ，点 和点 分别为椭圆的右顶点和上顶点， ．
（1）求椭圆的离心率 ；
（2）过右焦点 作一条弦 ，使 ，若 的面积为 ，求椭圆的方程．
【答案】（1） ；（2） ．
【解析】
【分析】
（1）由 可得 ，计算进而得答案。（2）设直线 的方程，联立方程组，利用韦达定理，代入 的面积公式计算整理即可。
11.已知 ， ， ，记 为 ， ， 中不同数字 个数，如： ， ， ，则所有的 的排列所得的 的平均值为（）
A. B. 3C. D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意得 所有的的排列数为 ，再分别讨论 时的可能情况则均值可求
【详解】由题意可知， 所有的的排列数为 ，当 时，有3种情形，即 ， ， ；当 时，有 种；当 时，有 种，那么所有27个 的排列所得的 的平均值为 .
【解析】
试题分析：(1)依题意完成 列联表，计算 ，对照临界值得出结论；(2)根据分层抽样法，得出随机变量 的可能取值，计算对应的概率值，写出 的分布列，计算出数学期望值.
试题解析：(1)依题意可知,抽取的“青少年”共有 人,“中老年”共有 人.
完成的2×2列联表如：
关注
不关注
合计
青少年
15
30
45
三、解答题.
17.2017年5月14日，第一届“一带一路”国际高峰论坛在北京举行，为了解不同年龄的人对“一带一路”关注程度，某机构随机抽取了年龄在15-75岁之间的100人进行调查，经统计“青少年”与“中老年”的人数之比为 ．
关注
不关注
合计
青少年
15
中老年
合计
50
50
100
（1）根据已知条件完成上面的 列联表，并判断能否有99%的把握认为关注“一带一路”是否和年龄段有关？
【答案】
【解析】
∵所有事件发生的概率之和为1，即P（ξ=0）+P（ξ=1）+P（ξ=2）+P（ξ=3）=1，∴ ，∴c= ，∴P（ξ=k）= ，∴P（ξ=2）= ．故答案为 ．
14.某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布 ，且各个元件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为
①将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数 后，标准差也变为原来的 倍；
②设有一个回归方程 ，变量 增加 个单位时， 平均减少 个单位；
③线性相关系数 越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱；
④在某项测量中，测量结果 服从正态分布 ，若 位于区域 的概率为 ，则 位于区域 内的概率为
故选：A
【点睛】本题考查排列组合知识的应用，考查分类讨论思想，考查推理论证能力和应用意识，是中档题
12.若函数 在 上单调递增，则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
试题分析： 对 恒成立，
故 ，即 恒成立，
即 对 恒成立，构造 ，开口向下的二次函数 的最小值的可能值为端点值，故只需保证 ，解得 ．故选C．
2018-2019学年高二数学下学期期末考试试题理(含解析)_19
2018-2019学年高二数学下学期期末考试试题理（含解析）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场、座位号填写清楚。
2．选择题的每小题选出答案后，把答案代码填在答题纸前面的选择题答题表内，不能答在试卷上。
3．填空题和解答题应在指定的地方作答，否则答案无效。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡指定区域内作答．1.为了了解全校1740名学生的身高情况，从中抽取140名学生进行测量，下列说法正确的是A. 总体是1740B. 个体是每一个学生C. 样本是140名学生D. 样本容量是140【答案】D【解析】【分析】在区分总体、个体、样本、样本容量这四个概念时，首先找出考查的对象是全校学生的身高，从而找出总体、个体，接着根据被收录数据的这一部分对象找出样本，最后根据样本确定样本容量。
【详解】解：本题考查的对象是1740名学生的身高情况，故总体是1740名学生的身高情况；个体是每个学生的身高情况；样本是140名学生的身高情况；故样本容量是140.所以选D。
【点睛】本题主要考查了总体、个体、样本与样本容量四个比较容易混淆的概念。
2.已知一组数据的频率分布直方图如图所示，则众数、中位数、平均数是A. 63、64、66B. 65、65、67C. 65、64、66D. 64、65、64【答案】B【解析】【分析】①在频率直方图中，众数是最高的小长方形的底边的中点横坐标的值；②中位数是所有小长方形的面积和相等的分界线；③平均数是各小长方形底边中点的横坐标与对应频率的积的和。
【详解】解：由频率直方图可知，众数=；由，所以面积相等的分界线为65，即中位数为65；平均数=。
故选B。
【点睛】本题主要考查频率直方图的众数、中位数、平均数，需理解并牢记公式。
3.7人并排站成一行，如果甲、乙两人不相邻，那么不同的排法总数是A. 1440B. 3600C. 4320D. 4800【答案】B【解析】【分析】第一步，除甲、乙以外的5人全排列；第二步，从6个空中选2个排甲乙；最后，把两步的结果相乘可得答案。
河南省郑州市2018-2019学年高二下学期期末考试数学(理)试卷Word版含解析
河南省郑州市2018-2019学年高二下学期期末考试数学（理）试卷注意事项：本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。
考试时间120分钟，满分150分。
考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答,在试题卷上作答无效。
交卷时只交答题卡。
第I卷〖选择题，共60分)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分，共60分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知i是虚数单位，则复数的共轭复数在复平面内对应的点所在的象限为（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】分析：先将复数化为代数形式，再根据共轭复数的概念确定对应点，最后根据对应点坐标确定象限.详解：因为，所以所以,对应点为，对应象限为第一象限，选A.点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为2. 在某项测量中，测量结果，若在内取值的概率为0.3，则在(0,+∞)内取值的概率为（）A. 0.2B. 0.4C. 0.8D. 0.9【答案】C【解析】分析：先根据正态分布得在内取值的概率，再利用在(0,+∞)内取值的概率等于在内取值的概率与0.5的和求结果.详解：因为，在内取值的概率为0.3，所以在内取值的概率为0.3，所以在(0,+∞)内取值的概率等于在内取值的概率与0.5的和，为0.8，选C.点睛：利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x＝μ对称，及曲线与x轴之间的面积为1.3. 有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数f(x),如果f ' (x0)=0，那么x=x0是函数f(x)的极值点，因为函数f(x)=x3在x=0处的导数值f ' (0)=0，所以x=0是函数f(x)=x3的极值点。
以上推理中A. 大前提错误B. 小前提错误C. 推理形式错误；D. 结论正确【答案】A【解析】分析：根据极值定义得导数为零的点不一定为极值点，得大前提错误.详解：因为根据极值定义得导数为零的点不一定为极值点，所以如果f ' (x0)=0，那么x=x0不一定是函数f(x)的极值点，即大前提错误.选A.点睛：本题考查极值定义以及三段论概念，考查对概念理解与识别能力.4. 函数y=x2- lnx的单调递减区间为（）A. （-1,1）B. （0,1）C. (1,+∞)；D. (0,+∞)【答案】B【解析】分析：先求导数，再求导数小于零的解集得结果.详解：因为，所以因此单调递减区间为（0,1），选B.5. 已知具有线性相关关系的五个样本点A1（0,0），A2（2,2），A3（3,2），A4（4,2）A5（6,4），用最小二乘法得到回归直线方程l1:y=bx+a，过点A1,A2的直线方程l2:y=mx+n那么下列4个命题中(1) ；(2)直线过点； (3) ； (4) .（参考公式，）正确命题的个数有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B【解析】分析：先求均值，再代公式求b,a，再根据最小二乘法定义判断命题真假.详解：因为，所以直线过点；因为，所以因为，所以，因为过点A1,A2的直线方程，所以，即；根据最小二乘法定义得； (4) .因此只有（1）（2）正确，选B.点睛：函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系.事实上，函数关系是两个非随机变量的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系.如果线性相关，则直接根据用公式求，写出回归方程，回归直线方程恒过点.6. 由曲线y=，直线y=x-2及y轴所围成的图形的面积为（）A. B. 4 C. D. 6【答案】C【解析】解析：作出曲线，直线y＝x－2的草图(如图所示)，所求面积为阴影部分的面积．由得交点A(4，2)．因此与y＝x－2及y轴所围成的图形的面积为：.本题选择C选项.点睛：利用定积分求曲线围成图形的面积的步骤：(1)画出图形；(2)确定被积函数；(3)确定积分的上、下限，并求出交点坐标；(4)运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积．7. 已知直线y=x+1与曲线y=ln(x-a)相切,则a的值为( )A. 1B. 2C. 一1D. 一2【答案】D【解析】分析：先设切点，根据导数几何意义列等式，解方程组可得a的值.详解：设切点 ,因为，所以选D.点睛：利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.8. 从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A为“取到的2个数之和为偶数”，事件B为“取到的2个数均为偶数”,则P(B|A)等A. B. C. D.【答案】B【解析】∵，，∴故选:B9. 已知函数f(x)=4x2+sin(+x),f ' (x)为f(x)的导函数,则f ' (x)的图象是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：先求导数，根据函数奇偶性舍去B,D，再根据函数值确定选项.详解：因为，所以因为，所以舍去B,D，因为，所以舍去C,选A.点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路(1)由解析式确定函数图象的判断技巧：（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．(2)由实际情景探究函数图象．关键是将问题转化为熟悉的数学问题求解，要注意实际问题中的定义域问题．10. 现有4种不同品牌的小车各2辆(同一品牌的小车完全相同),计划将其放在4个车库中（每个车库放2辆则恰有2个车库放的是同一品牌的小车的不同放法共有（）A. 144种B. 108种C. 72种D. 36种【答案】C【解析】分析：先确定那两个车库放的是同一品牌的小车，再确定是哪个品牌，最后确定余下车库放不同品牌的情况(仅一种)，根据乘法计数原理求结果.详解：每个车库放2辆则恰有2个车库放的是同一品牌的小车的不同放法共有选C.点睛：能用分步乘法计数原理解决的问题具有以下特点：(1)完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可．(2)完成每一步有若干种方法．(3)把各个步骤的方法数相乘，就可以得到完成这件事的所有方法数．11. 设a=sin1,b=2sin，c=3sin，则（）A. c<a<bB. a<c<bC. a<b<cD. c<b<a【答案】C【解析】分析：先研究单调性，再根据单调性确定大小.详解：令，因为，所以因为，所以a<b<c，选C.点睛：利用函数性质比较两个函数值或两个自变量的大小，首先根据函数的性质构造某个函数，然后根据函数的奇偶性转化为单调区间上函数值，最后根据单调性比较大小，要注意转化在定义域内进行.12. 已知函数f(x)是定义在R上的增函数,f(x)+2>f ' (x),f(0)=1,则不等式ln[f(x)+2]>ln3+x的解集为（）A. (一∞,0)B. (0,+∞)C. (一∞,1)D. (1,+∞)【答案】A【解析】分析：先令，则且原不等式转化为，再根据单调性得结果.详解：令，则因为原不等式转化为，所以因此选A.点睛：解函数不等式,首先根据函数的性质把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性去掉“”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内.第Ⅱ卷(非选择题,共90分)二、填空题(每题5分,满分20)13. 若将函数f(x)=x5表示为f(x)=a o+a1(1+x)+a2(1+x)2+…+a5(1+x)5,其中a(i=0,1, …,5)为实数,则a3=__________【答案】10.考点：二项式定理视频14. 一次英语测验由50道选择题构成,每道题有4个选项,其中有且仅有一个是正确的,每个选对得3分,选错或不选均不得分,满分150.某学生选对每一道题的概率均为0.7,则该生在这次测验中的成绩的期望是__________【答案】105.【解析】分析：先判断概率分别为二项分布，再根据二项分布期望公式求结果.详解：因为，所以点睛：15. 已知函数f(x)=kx3+3(k-1)x2-k2+1(k>0)在（0,4）上是减函数，则实数k的取值范围是____________ 【答案】.【解析】分析：先求导，再根据导函数零点分布确定不等式，解不等式得结果.详解：因为，所以因为函数f(x)=kx3+3(k-1)x2-k2+1(k>0)在（0,4）上是减函数，所以点睛：函数单调性问题，往往转化为导函数符号是否变号或怎样变号问题，即转化为方程或不等式解的问题（有解，恒成立，无解等），而不等式有解或恒成立问题，又可通过适当的变量分离转化为对应函数最值问题.16. 如图所示，由直线x=a ， x=a+1(a>0)，y=x2及x轴围成的曲边梯形的面积介于小矩形和大矩形的面积之间，即，类比之，恒成立，则实数A=___________【答案】【解析】因为，所以即同理，累加得所以，所以，故.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.〉17. 设实部为正数的复数z，满足|z|=，且复数（1+3i）z在复平面内对应的点在第一、三象限的角平分线上.(I)求复数z(II)若复数+ m2(1 +i)-2i十2m -5为纯虚数，求实数m的值.【答案】(1) .(2)【解析】分析：（1）设，先根据复数乘法得，再根据复数的模得解方程组可得，（2）先化成复数代数形式，再根据纯虚数概念列方程组，解得实数m的值.详解：(1)设，由，得又复数=在复平面内对应的点在第一、三象限的角平分线上.则，即又，所以，则(2)=为纯虚数,所以可得点睛：本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为18. 已知（1+m)n(m是正实数)的展开式的二项式系数之和为128,展开式中含x项的系数为84，(I)求m,n的值(II)求（1+m)n (1-x)的展开式中有理项的系数和.【答案】(1) ,.(2)0.【解析】分析：（1）先根据二项式系数性质得，解得n，再根据二项式展开式的通项公式得含x项的系数为，解得m,（2）先根据二项式展开式的通项公式得，再求的展开式有理项的系数和.详解：(1)由题意可知，，解得含项的系数为，(2) 的展开项通项公式为的展开式有理项的系数和为0点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.19. 已知某公司为郑州园博园生产某特许商品，该公司年固定成本为10万元，每生产千件需另投入2 .7万元，设该公司年内共生产该特许商品工x千件并全部销售完;每千件的销售收入为R(x)万元，且，(I)写出年利润W(万元〉关于该特许商品x(千件）的函数解析式；〔II〕年产量为多少千件时，该公司在该特许商品的生产中所获年利润最大?【答案】(1) .(2) 当年产量为9千件时，该公司在该特许商品生产中获利最大．【解析】分析：（1）根据利润等于收入减去成本得解析式（2）先分段求最大值，一段根据导数得单调性，根据单调性变化规律确定最大值，另一段根据基本不等式求最值，最后取两段最大值的最大值.详解：（1）当时，当时，（2）①当时，由当∴当时，W取最大值，且②当时，W=98当且仅当综合①、②知时，W取最大值．所以当年产量为9千件时，该公司在该特许商品生产中获利最大．点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.20. 为了响应党的十九大所提出的教育教学改革，某校启动了数学教学方法的探索,学校将髙一年级部分生源情况基本相同的学生分成甲、乙两个班，每班40人，甲班按原有传统模式教学，乙班实施自主学习模式.经过一年的教学实验，将甲、乙两个班学生一年来的数学成绩取平均数，两个班学生的平均成绩均在[50，100]，按照区间[50，60），[60,70)，[70,80），[80，90)，[90,100]进行分组,绘制成如下频率分布直方图，规定不低于80分(百分制）为优秀，，(I)完成表格,并判断是否有90%以上的把握认为“数学成绩优秀与教学改革有关”〔Ⅱ）从乙班[70,80），[80，90)，[90,100]分数段中,按分层抽样随机抽取7名学生座谈，从中选三位同学发言,记来自[80，90)发言的人数为随机变量x，求x的分布列和期望.【答案】(1)列联表见解析，有90%以上的把握认为“数学成绩优秀与教学改革有关”.(2)分布列见解析，【解析】分析：（1）先根据数据填表，再代入卡方公式求，最后与参考数据作比较得结论，（2）先根据分层抽样得抽取人数，再确定随机变量取法，利用组合数确定对应概率，列表可得分布列，最后根据数学期望公式求期望.详解：（1)依题意得有90%以上的把握认为“数学成绩优秀与教学改革有关”.（2）从乙班分数段中抽人数分别为2、3、2.依题意随机变量的所有可能取值为点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是“探求概率”，即利用排列组合，枚举法，概率公式，求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值.21. 已知数列{a n}的前n项和S n满足，且，(I)求a1，a2，a3；(II)猜想数列{a n}的通项公式，并用数学归纳法证明.【答案】(1) ，(2) 猜想证明见解析.【解析】分析：（1）先根据和项与通项关系得项之间递推关系，再代入依次得a1，a2，a3；（2）先根据数据猜想，再利用递推关系证时猜想也成立.详解：（1）当时，，得，又，故同理，（2）猜想证明：当时，由（1）可知，假设时，成立，所以，又，得所以当时猜想也成立.综上可知，猜想对一切恒成立.点睛：由前几项归纳数列通项的常用方法及具体策略(1)常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法.(2)具体策略：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征；⑤化异为同.对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；⑥对于符号交替出现的情况，可用处理.22. 已知函数f(x)= ln(a x)+bx在点（1，f(1)）处的切线是y=0；(I)求函数f(x)的极值；(II)当恒成立时,求实数m的取值范围(e为自然对数的底数)【答案】(1) 的极大值为，无极小值；(2) .【解析】分析：（1）先根据导数几何意义得解得b,再根据得a，根据导函数零点确定单调区间，根据单调区间确定极值，（2）先化简不等式为，再分别求左右两个函数最值得左边最小值与右边最大值同时取到，则不等式转化为，解得实数m的取值范围.详解：（1）因为，所以因为点处的切线是，所以，且所以，即所以，所以在上递增，在上递减，所以的极大值为，无极小值（2）当恒成立时,由（1），即恒成立，设，则，，又因为，所以当时，；当时，.所以在上单调递减，在上单调递增，；在上单调递增，在上单调递减，.所以均在处取得最值，所以要使恒成立，只需，即解得，又，所以实数的取值范围是.点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.。
2018-2019学年河南省南阳市高二下学期期末考试数学(理)试题(解析版)
2018-2019学年河南省南阳市高二下学期期末考试数学（理）试题一、单选题1．已知是i 虚数单位，z 是z 的共轭复数，若1i(1i)1iz -+=+，则z 的虚部为（ ） A ．12B ．12-C ．1i 2D ．1i 2-【答案】A【解析】由题意可得：()2111111222221ii z i i i i --===-=--+， 则1122z i =-+，据此可得，z 的虚部为12.本题选择A 选项.2．从图示中的长方形区域内任取一点M ，则点M 取自图中阴影部分的概率为( )A ．B C ．13D ．25【答案】C【解析】先利用定积分公式计算出阴影部分区域的面积，并计算出长方形区域的面积，然后利用几何概型的概率计算公式可得出答案． 【详解】图中阴影部分的面积为1231003|1x dx x ==⎰，长方形区域的面积为1×3＝3， 因此，点M 取自图中阴影部分的概率为13． 故选：C ． 【点睛】本题考查定积分的几何意义，关键是找出被积函数与被积区间，属于基础题．3．某地区一次联考的数学成绩X 近似地服从正态分布()285,N σ，已知()1220.96P X ≤=，现随机从这次考试的成绩中抽取100个样本，则成绩低于48分的样本个数大约为（） A ．6 B ．4C ．94D ．96【答案】B【解析】由已知根据正态分布的特点，可得()1220.04P X >=，根据对称性，则()480.04P X <=，乘以样本个数得答案．【详解】由题意，知()1220.96P X ≤=，可得()1220.04P X >=， 又由对称轴为85x =，所以()480.04P X <=， 所以成绩小于48分的样本个数为1000.044⨯=个． 故选：B ． 【点睛】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，以及考查正态分布中两个量μ和σ的应用，其中熟记正态分布的对称性是解答的关键，属于基础题．4．在()()6511x x ---的展开式中，含3x 的项的系数是（） A ．-10 B ．5 C ．10 D ．-5【答案】A【解析】根据()()65511(1)()x x x x ---=--，把5(1)x -按二项式定理展开，可得含3x 的项的系数，得到答案．【详解】由题意，在()()65511(1)()x x x x ---=--的展开中3x 为2235()10xC x x --=-，所以含3x 的项的系数10-， 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．5．在平面几何里有射影定理：设三角形ABC 的两边AB AC ⊥，D 是A 点在BC 上的射影，则2AB BD BC =⋅.拓展到空间，在四面体A BCD -中，AD ⊥面ABC ，点O 是A 在面BCD 内的射影，且O 在BCD ∆内，类比平面三角形射影定理，得出正确的结论是（）A ．2ABC BCD BCO S S S ∆∆∆=⋅ B ．2ABD BCD BCO S S S ∆∆∆=⋅ C ．2ADC DOC BOC S S S ∆∆∆=⋅ D ．2BDC ABD ABC S S S ∆∆∆=⋅【答案】A【解析】由平面图形到空间图形的类比推理中，一般是由点的性质类比推理到线的性质，由线的性质类比推理到面的性质，即可求解，得到答案． 【详解】由已知在平面几何中，若ABC ∆中，,,AB AC AE BC E ⊥⊥是垂足，则2AB BD BC =⋅，类比这一性质，推理出：若三棱锥A BCD -中，AD ⊥面,ABC AO ⊥面BCD ，O 为垂足，则2ABC BCD BCO S S S ∆∆∆=⋅． 故选：A ．【点睛】本题主要考查了类比推理的应用，其中类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想），着重考查了推理能力，属于基础题．6．已知()()62f x ax =+，()'f x 是()f x 的导数，若()'f x 的展开式中x 的系数小于()f x 的展开式中x 的系数，则a 的取值范围是（） A ．()2,0,5⎛⎫-∞+∞⎪⎝⎭U B ．20,5⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．2,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．()5,0,2⎛⎫-∞+∞⎪⎝⎭U 【答案】B【解析】由()f x 展开式中x 的系数是556562192C a a -⋅=，又()56(2)f x a ax '=+，所以()f x '的展开式中x 的系数是44562aC a ⋅，得到2480192a a <，继而解得结果．【详解】由题意，函数()f x 展开式中x 的系数是556562192C a a -⋅=，又()556(2)(2)6(2)f x ax ax a ax '=++=+，所以()f x '的展开式中x 的系数是44542562480aC aa -⋅=， 依题意得2480192a a <，解得205a <<． 故选：B ． 【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用，以及导数的计算，其中解答熟记导数的运算公式和二项展开式的通项是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题． 7．函数()f x 在其定义域内可导，其图象如图所示，则导函数()'y f x =的图象可能为（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】函数的单调性确定()f x '的符号，即可求解，得到答案． 【详解】由函数()f x 的图象可知，函数()f x 在自变量逐渐增大的过程中，函数先递增，然后递减，再递增，当0x >时，函数()f x 单调递增，所以导数()f x '的符号是正，负，正，正，只有选项C 符合题意． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查了函数的单调性与导数符号之间的关系，其中解答中由()f x 的图象看函数的单调性，得出导函数()f x '的符号是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．8．在一个棱长为3cm 的正方体的表面涂上颜色，将其适当分割成棱长为1cm 的小正方体，全部放入不透明的口袋中，搅拌均匀后，从中任取一个，取出的小正方体表面仅有一个面涂有颜色的概率是（） A ．49B ．827C ．29D ．127【答案】C【解析】由在27个小正方体中选一个正方体，共有27种结果，满足条件的事件是取出的小正方体表面仅有一个面涂有颜色，有6种结果，根据古典概型及其概率的计算公式，即可求解． 【详解】由题意，在27个小正方体中，恰好有三个面都涂色有颜色的共有8个，恰好有两个都涂有颜色的共12个，恰好有一个面都涂有颜色的共6个，表面没涂颜色的1个， 可得试验发生包含的事件是从27个小正方体中选一个正方体，共有27种结果，满足条件的事件是取出的小正方体表面仅有一个面涂有颜色，有6种结果，所以所求概率为62279=． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算公式的应用，其中解答根据几何体的结构特征，得出基本事件的总数和所求事件所包含基本事件的个数是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．9．已知()f x 的定义域为()0,∞+，()'f x 为()f x 的导函数，且满足()()'f x xf x <-，则不等式()()()2111f x x f x +>--的解集（）A ．()(),12,-∞-+∞B ．()1,+∞C ．()1,2D ．()2,+∞【答案】D【解析】构造函数()()g x xf x =，再由导函数的符号判断出函数()g x 的单调性，不等式(1)f x +>2(1)(1)x f x --，构造为()21(1)g x g x +>-，即可求解，得到答案．【详解】由题意，设()()g x xf x =，则()()()()()0g x x f x xf x f x f x ''''=+=+<， 所以函数()g x 在(0,)+∞上是减函数，因为(1)f x +>2(1)(1),(0,)x f x x --∈+∞，所以22(1)(1)(1)(1)x f x x f x ++>--，所以()21(1)g x g x +>-，所以211x x +<-，解得2x >．故选：D ． 【点睛】本题主要考查了导数的综合应用，其中解答中根据条件构造函数和用导函数的符号判断函数的单调性，利用函数的单调性的关系对不等式进行判断是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．10．小张从家出发去看望生病的同学，他需要先去水果店买水果，然后去花店买花，最后到达医院.相关的地点都标在如图所示的网格纸上，网格线是道路，则小张所走路程最短的走法的种数为（ ）A ．72B ．56C ．48D ．40【答案】A【解析】分别找出从家到水果店，水果店到花店，花店到医院的最短路线，分步完成用累乘即可。
河南省顶级名校2018-2019学年高二下学期期末考试数学(理)试题 含解析
河南省顶级名校2018-2019学年下期期末高二数学试题（理科）一、选择题。
1.若复数z满足，则在复平面内，z对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】由复数的基本运算将其化为形式，z对应的点为【详解】由题可知，所以z对应的点为，位于第四象限。
故选D.【点睛】本题考查复数的运算以及复数的几何意义，属于简单题。
2.设i为虚数单位，则(x＋i)6的展开式中含x4的项为( )A. －15x4B. 15x4C. －20i x4D. 20i x4【答案】A【解析】试题分析：二项式的展开式的通项为，令，则，故展开式中含的项为，故选A.【考点】二项展开式，复数的运算【名师点睛】本题考查二项式定理及复数的运算，复数的概念及运算也是高考的热点，几乎是每年必考的内容，属于容易题.一般来说，掌握复数的基本概念及四则运算即可．二项式可以写为，则其通项为，则含的项为．3.以双曲线的焦点为顶点，离心率为的双曲线的渐近线方程是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由题求已知双曲线的焦点坐标，进而求出值即可得答案。
【详解】由题可知双曲线的焦点坐标为，则所求双曲线的顶点坐标为，即，又因为离心率为，所以，解得，所以，即，所以渐近线方程是故选D【点睛】本题考查求双曲线的渐近线方程，解题的关键是判断出焦点位置后求得，属于简单题。
4.把语文、数学、英语、物理、化学这五门课程安排在一天的五节课中，如果数学必须比语文先上，则不同的排法有多少种（）A. 24B. 60C. 72D. 120【答案】B【解析】由题意,先从五节课中任选两节排数学与语文,剩余的三节任意排列,则有种不的排法.本题选择B选项.5.抛掷甲、乙两颗骰子，若事件A：“甲骰子的点数大于4”；事件B：“甲、乙两骰子的点数之和等于7”，则的值等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】本小题属于条件概率所以事件B包含两类：甲5乙2;甲6乙1;所以所求事件的概率为6.下列说法：①将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数后，标准差也变为原来的倍；②设有一个回归方程，变量增加个单位时，平均减少个单位；③线性相关系数越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱；④在某项测量中，测量结果服从正态分布，若位于区域的概率为，则位于区域内的概率为⑤在线性回归分析中，为的模型比为的模型拟合的效果好；其中正确的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】逐个分析，判断正误。
河南省顶级名校2018-2019学年高二下学期期末数学(理)试题
河南省顶级名校2018-2019学年下期期末高二数学试题（理科）一、选择题。
1.若复数z满足，则在复平面内，z对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.设i为虚数单位，则(x＋i)6的展开式中含x4的项为( )A. －15x4B. 15x4C. －20i x4D. 20i x43.以双曲线的焦点为顶点，离心率为的双曲线的渐近线方程是（）A. B.C. D.4.把语文、数学、英语、物理、化学这五门课程安排在一天的五节课中，如果数学必须比语文先上，则不同的排法有多少种（）A. 24B. 60C. 72D. 1205.抛掷甲、乙两颗骰子，若事件A：“甲骰子的点数大于4”；事件B：“甲、乙两骰子的点数之和等于7”，则的值等于（）A. B. C. D.6.下列说法：①将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数后，标准差也变为原来的倍；②设有一个回归方程，变量增加个单位时，平均减少个单位；③线性相关系数越大，两个变量线性相关性越强；反之，线性相关性越弱；④在某项测量中，测量结果服从正态分布，若位于区域的概率为，则位于区域内的概率为⑤在线性回归分析中，为的模型比为的模型拟合的效果好；其中正确的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 47.若，则的值为（）A. B. C. D.8.口袋中放有大小相等的2个红球和1个白球，有放回地每次摸取一个球，定义数列，如果为数列前n项和，则的概率等于（）A. B.C. D.9.设抛物线的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，，垂足为A，如果为正三角形，那么等于（）A. B. C. 6 D. 1210.已知三棱锥的体积为，，，，，且平面平面PBC，那么三棱锥外接球的体积为（）A. B. C. D.11.已知，，，记为，，中不同数字的个数，如：，，，则所有的的排列所得的的平均值为（）A. B. 3 C. D. 412.若函数在上单调递增，则取值范围是( )A. B. C. D.二、填空题.13.设随机变量ξ的概率分布列为，，则.14.某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布，且各个元件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为15.若定义在上的函数，则________．16.已知点P(0，1)，椭圆+y2=m(m>1)上两点A，B满足=2，则当m=___________时，点B横坐标的绝对值最大．三、解答题.17.2017年5月14日，第一届“一带一路”国际高峰论坛在北京举行，为了解不同年龄的人对“一带一路”关注程度，某机构随机抽取了年龄在15-75岁之间的100人进行调查，经统计“青少年”与“中老年”的人数之比为．（1）根据已知条件完成上面的列联表，并判断能否有99%的把握认为关注“一带一路”是否和年龄段有关？（2）现从抽取的青少年中采用分层抽样的办法选取9人进行问卷调查．在这9人中再选取3人进行面对面询问，记选取的3人中关注“一带一路”的人数为X，求X的分布列及数学期望．附:参考公式，其中．临界值表：3.84118.在如图所示的几何体中，，平面，，，，.（1）证明：平面；（2）求平面与平面所成二面角的正弦值.19.如图，过椭圆的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，点和点分别为椭圆的右顶点和上顶点，．（1）求椭圆的离心率；（2）过右焦点作一条弦，使，若的面积为，求椭圆的方程．20.某大型高端制造公司为响应《中国制造2025》中提出的坚持“创新驱动、质量为先、绿色发展、结构优化、人才为本”的基本方针,准备加大产品研发投资,下表是该公司2017年5~12月份研发费用(百万元)和产品销量(万台)的具体数据：（1)根据数据可知y与x之间存在线性相关关系(ⅰ)求出y关于x的线性回归方程(系数精确到0.001);(ⅱ)若2018年6月份研发投人为25百万元，根据所求的线性回归方程估计当月产品的销量；（2）为庆祝该公司9月份成立30周年,特制定以下奖励制度:以z(单位:万台)表示日销量,,则每位员工每日奖励200元；,则每位员工每日奖励300元；,则每位员工每日奖励400元现已知该公司9月份日销量z（万台）服从正态分布,请你计算每位员工当月(按30天计算)获得奖励金额总数大约多少元.参考数据: ，.参考公式:对于一组数据,其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为: ，.若随机变量X服从正态分布,则，.21.已知函数.（1）若在定义域上不单调，求的取值范围；（2）设分别是的极大值和极小值，且，求的取值范围.22.在平面直角坐标系中，已知倾斜角为的直线经过点.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（1）写出曲线的普通方程;（2）若直线与曲线有两个不同的交点，求的取值范围.23.知函数.(1)当时,求的解集;(2)已知，，若对于,都有成立,求取值范围.的。
2018-2019学年河南省中原名校联盟高二下期期末数学(理)试题(解析版)
1 4
x2
sin
2
x
1 4
x2
cos
x
，
∴ f (x) 1 x sin x ，它是一个奇函数，其图象关于原点对称，故排除 B，D． 2
又 f (x) 1 cos x ，当﹣ ＜x＜ 时，cosx＞ 1 ，∴ f (x) ＜0，
2
3
3
2
故函数
y＝
f
'
(
x
)
在区间
3
, 3
上单调递减，故排除 C．
故选： C .
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【点睛】 本题考查了根据函数零点个数求参数，意在考查学生的计算能力和应用能力，画出函数 图像是解题的关键.
二、填空题
13．若将函数 f x x5 表示为 f x a0 a1 1 x a2 1 x2 a5 1 x5 其
中 a0 ， a1 ， a2 ，…， a5 为实数，则 a3 ＝______________．
2
xx
故选： B . 【点睛】
本题考查了利用导数求单调区间，忽略定义域是容易发生的错误.
5．在满分为 15 分的中招信息技术考试中，初三学生的分数 x ~ N 11, 22 ，若某班共
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有 54 名学生，则这个班的学生该科考试中 13 分以上的人数大约为 （ ）
（附： P( X ) 0.6827 ）
8．从1, 2,3, 4,5 中任取 2 个不同的数，事件 A “取到的 2 个数之和为偶数”，事件
B “取到两个数均为偶数”，则 PB | A ( )
A． 1 8
【答案】B
B． 1 4
C． 2 5
D． 1 2
2018-2019学年高二数学下学期期末考试试题理(含解析)_20
2018-2019学年高二数学下学期期末考试试题理（含解析）本试题卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试题卷上答题无效。
注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写（涂）在答题卡上，考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡书写作答，在试题上作答，答案无效。
3．考试结束，监考教师将答题卡收回。
第I卷（选择题共60分）—、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的代号为A．B．C．D的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.己知复数，若为纯虚数，则A. -1B. 1C.D.【答案】B【解析】【分析】根据复数的除法运算和纯虚数的概念求得.【详解】由已知得：，所以解得：故选B.【点睛】本题考查复数的除法运算和纯虚数的概念,属于基础题.2.焦点为且与双曲线有相同的渐近线的双曲线方程是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题目要求解的双曲线与双曲线有相同的渐近线，且焦点在y轴上可知，设双曲线的方程为，将方程化成标准形式，根据双曲线的性质，求解出的值，即可求出答案。
【详解】由题意知，设双曲线的方程为，化简得。
解得。
所以双曲线的方程为，故答案选A。
【点睛】本题主要考查了共渐近线的双曲线方程求解问题,共渐近线的双曲线系方程与双曲线有相同渐近线的双曲线方程可设为，若，则双曲线的焦点在x轴上，若，则双曲线的焦点在y轴上。
3.设，，若，则的最小值为A. B. 8 C. 9 D. 10【答案】C【解析】分析】根据题意可知，利用“1”的代换，将化为，展开再利用基本不等式，即可求解出答案。
【详解】由题意知，，，且，则当且仅当时，等号成立，的最小值为9，故答案选C。
河南省平顶山市2018-2019学年高二数学下学期期末考试试题理(含解析)
2018-2019学年第二学期期末调研考试高二数学(理科)一、选择题：本大题共 12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的•1 -i-1.设 z2i ，则 z • | z |=()1+iA. _1 _iB. 1 iC. 1 _iD. -1 i【答案】C 【解析】 【分析】先利用复数的四则运算律求出复数 z ，再利用共轭复数、复数求模公式结合复数的加法法则可得出结果。
.2【详解】Q z 2i 1_2i 彳 2i = i , z z - -i 1 =1 -i ，故选: 1 +i(1 +i )(1 -i ) 2C.【点睛】本题考查复数的四则运算、共轭复数的概念以及复数的模，考查计算能力，着重考 查对复数基础知识的理解和应用能力，属于基础题。
2 22.双曲线 冷一每=1(a 0,b 0)的离心率为.3，则其渐近线方程为a b【答案】A 【解析】分析：根据离心率得 a,c 关系，进而得a,b 关系，再根据双曲线方程求渐近线方程，得结果A. y = 2xB. y = . 3xC五C. yx2 D.详解:2 2c -a2 a=e 2 T =3 T =2,-aby = 、2x，选A. 因为渐近线方程为y =：-x，所以渐近线方程为a3. (x 2 -)8的展开式中x 4的系数是()xA. 16B.70C. 560D. 1120【答案】D 【解析】2【详解】设含 x 4 的为第 ri .=：C6r (x 2)8」(一)r =C ；2r x 16」r ，16-3r =4x4 4所以r =4，故系数为：C $2 =1120，选D 。
4.曲线y =4x -x 3在点-1,-3处的切线方程是( )A. y =7x 4B. y=X-2C. y =x -4D.y =7x 2【答案】B 【解析】 【分析】利用导数求出曲线 y =4x -x 3在切点处的切线的斜率，然后利用点斜式可得出所求切线的方 程。
河南省天一大联考2018-2019学年下学期高二年级期末测试理科数学试题(解析版)
天一大联考2018-2019学年（下）高二年级期末测试理科数学一、选择题1.13ii-=-（ ） A.2155i - B.11105i + C.2551i + D.11105i - 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数除法运算法则，即可求解.【详解】()()()()13142213331055i i i i i i i i -+--===---+. 故选：A【点睛】本题考查复数的代数运算，属于基础题.2.已知集合{}21,A x x =+，{}1,2,3B =，且A B ⊆，则实数x 的值是（ ）A .1-B. 1C. 3D. 4【答案】B 【解析】 【分析】根据已知，将选项代入验证即可.【详解】由A B ⊆，知21x B +∈且x B ∈， 经检验1x =符合题意，所以1x =. 故选：B【点睛】本题考查集合间的关系，要注意特殊方法的应用，减少计算量，属于基础题.3.给定下列两种说法：①已知,,a b c ∈R ，命题“若3a b c ++=，则2223a b c ++≥”的否命题是“若3a b c ++≠，则2223a b c ++<”，②“0x R ∃∈，使()00f x >”的否定是“x R ∀∈，使()0f x ≤”，则（ ） A. ①正确②错误 B. ①错误②正确 C. ①和②都错误 D. ①和②都正确【答案】D 【解析】 【分析】根据否命题和命题的否定形式，即可判定①②真假. 【详解】①中，同时否定原命题的条件和结论， 所得命题就是它的否命题，故①正确； ②中，特称命题的否定是全称命题， 所以②正确，综上知，①和②都正确. 故选：D【点睛】本题考查四种命题的形式以及命题的否定，注意命题否定量词之间的转换，属于基础题. 4.已知2sin 2cos ,2k k Z παααπ⎛⎫=≠+∈ ⎪⎝⎭，则tan2α=（ ） A.43B. 1C.34D.23【答案】A 【解析】 【分析】根据已知结合二倍角的正弦，求出tan α，再由二倍角的正切公式，即可求解, 【详解】由2sin 2cos αα=，得22sin cos cos ααα=. 又因2k παπ≠+，得1tan 2α=. 所以22tan 4tan 21tan 3ααα==-. 故选：A【点睛】本题考查三角函数求值、二倍角公式的应用，属于基础题.5.过抛物线22y px =的焦点F 的直线l 交抛物线于,A B 两点，其中点()02,A y ，且4AF =，则p =（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8【答案】C【解析】 【分析】由已知可得0p >，再由||22pAF =+，即可求出结论. 【详解】因为抛物线22y px =的准线为2px =-，点()02,A y 在抛物线上，所以0p >，||24,42pAF p ∴=+=∴=. 故选：C【点睛】本题考查抛物线的标准方程，应用焦半径公式是解题的关键，属于基础题. 6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. 4643π+B. 8643π+C. 16643π+D. 648π+【答案】B 【解析】 【分析】该几何体由上下两部分组成的，上面是一个圆锥，下面是一个正方体，由体积公式直接求解. 【详解】该几何体由上下两部分组成的，上面是一个圆锥，下面是一个正方体． ∴该几何体的体积V 3214223π=+⨯⨯⨯=6483π+． 故选B ．【点睛】本题考查了正方体与圆锥的组合体的三视图还原问题及体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7.某军工企业为某种型号新式步枪生产了一批枪管，其口径误差（单位：微米）服从正态分布()21,3N ，从已经生产出的枪管中随机取出一只，则其口径误差在区间()4,7内的概率为（ ）（附：若随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，则()68.27%P μσξμσ-<<+=，()2295.45%P μσξμσ-<<+=）A. 31.74%B. 27.18%C. 13.59%D. 4.56%【答案】C 【解析】 【分析】根据已知可得1,3,2,4,25,27μσμσμσμσμσ==-=-+=-=-+=，结合正态分布的对称性，即可求解.【详解】()()()14757242P P P ξξξ<<=-<<--<<⎡⎤⎣⎦ ()10.95450.68270.13592=⨯-=. 故选：C【点睛】本题考查正态分布中两个量μ和σ的应用，以及正态分布的对称性，属于基础题. 8.已知,a b 为两条不同的直线，,αβ为两个不同的平面，则（ ） ①若a α⊥，b β⊥，且α∥β，则a ∥b ； ②若a α⊥，b ∥β，且α∥β，则a b ⊥r r； ③若a ∥α，b β⊥，且αβ⊥，则a ∥b ；④若a α⊥，b β⊥，且αβ⊥，则a b ⊥r r.其中真命题的个数是（ ） A. 4 B. 3C. 2D. 1【答案】B 【解析】 【分析】根据空间直线与平面平行、垂直，平面与平面平行、垂直的判定定理和性质定理，逐项判断，即可得出结论.【详解】由b β⊥且αβ∥，可得b α⊥，而垂直同一个平面的两条直线相互平行，故①正确；由于αβ∥，a α⊥，所以a β⊥，则a b ⊥r r，故②正确； 若a 与平面,αβ的交线平行，则a b ⊥r r，故不一定有a b ∥，故③错误；设l αβ=I ，在平面β内作直线c l ⊥，αβ⊥，则c α⊥，又a α⊥，所以a c P ，,b c ββ⊥⊂，所以b c ⊥，从而有b a ⊥，故④正确.因此，真命题的个数是3. 故选：B【点睛】本题考查了空间线面位置关系的判定和证明，其中熟记空间线面位置中的平行与垂直的判定定理与性质定理是解题的关键，考查直观想象能力，属于基础题.9.函数()112x f x +⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象大致为（ ）A.B.C.D.【答案】B 【解析】 【分析】函数()f x 图象是由函数12x y =图象向左平移1个单位，做出函数12x y =的图象，即可求解. 【详解】作出函数1()01222x xx x y x ⎧≥⎪==⎨⎪<⎩的图象，如下图所示，将1 2xy=的图象向左平移1个单位得到()112xf x+⎛⎫= ⎪⎝⎭图象.故选：B【点睛】本题考查函数图象的识别、指数函数图象，运用函数图象平移变换是解题关键，属于基础题. 10.已知双曲线()222210,0x ya ba b-=>>的一条渐近线方程为34y x=，P为该双曲线上一点，12,F F为其左、右焦点，且12PF PF⊥，1218PF PF⋅=，则该双曲线的方程为（）A.2213218x y-= B.2211832x y-= C.221916x y-= D.221169x y-=【答案】D【解析】【分析】设12(,0),(,0)F c F c-，根据已知可得34ba=，由12PF PF⊥，得到2221212PF PF F F+=，结合双曲线的定义，得出2122PF PF b⋅=，再由已知求出b，即可求解.【详解】设22c a b+，则由渐近线方程为34y x=，34ba=，又1222212122,,PF PF aPF PF F F⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，所以22212122221224,4.PF PF PF PF aPF PF c⎧+-⋅=⎪⎨+=⎪⎩两式相减，得21224PF PF b ⋅=，而1218PF PF ⋅=，所以29b =，所以3b =，所以5c =，4a =，故双曲线的方程为221169x y -=. 故选：D【点睛】本题考查双曲线的标准方程、双曲线的几何性质，注意焦点三角形问题处理方法，一是曲线的定义应用，二是余弦定理（或勾股）定理，利用解三角形求角或面积，属于中档题. 11.已知函数()()sin f x x ωϕ=+0,22ππωϕ⎛⎫>-<<⎪⎝⎭在区间,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为单调函数，且636f f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则函数()f x 的解析式为（ ） A. ()1sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭B. ()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C .()sin 2f x x = D. ()1sin2f x x = 【答案】C 【解析】 【分析】由函数在区间,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为单调函数，得周期23T π≥，66f f ππ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得出图像关于()0,0对称，可求出ϕ，63f f ππ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得出函数的对称轴，结合对称中心和周期的范围，求出周期，即可求解. 【详解】设()f x 的最小正周期为T ，()f x 在区间,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上具有单调性，则266T ππ⎛⎫≥-- ⎪⎝⎭，即23T π≥，由66f f ππ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭知， ()f x 有对称中心()0,0，所以0ϕ=.由63f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且23T π≥，所以()f x 有对称轴12634x πππ⎛⎫=⨯+= ⎪⎝⎭. 故0444T ππ-==.解得T π=，于是2ππω=， 解得2ω=，所以()sin 2f x x =. 故选：C【点睛】本题考查正弦函数图象的对称性、单调性和周期性及其求法，属于中档题. 12.若函数()ln f x ax x =-在区间(]0,e 上的最小值为3，则实数a 的值为（ ） A. 2e B. 2eC.2eD.1e【答案】A 【解析】 【分析】求出()f x '，()0f x '≤（或()0f x '≥）是否恒成立对a 分类讨论，若恒成立求出最小值（或不存在最小值），若不恒成立，求出极值最小值，建立a 的关系式，求解即可. 【详解】()1f x a x'=-. （1）当0a ≤时，()0f x ¢<，所以()f x 在(]0,e 上单调递减，()()min 13f x f e ae ==-=，4a e=（舍去）.（2）当0a >时，()1a x a f x x⎛⎫- ⎪⎝⎭'=.①当10a e <≤时，1e a≥，此时()0f x ¢<在(]0,e 上恒成立， 所以()f x 在(]0,e 上单调递减，()()min 13f x f e ae ==-=，解得4a e=（舍去）； ②当1a e >时，10e a <<.当10x a<<时，()0f x ¢<， 所以()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，当1x e a <<时，()0f x ¢>，所以()f x 在1,e a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增， 于是()min 11ln 3f x f a a ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭，解得2a e =. 综上，2a e =. 故选：A【点睛】本题考查函数的最值，利用导数是解题的关键，考查分类讨论思想，如何合理确定分类标准是难点，属于中档题.二、填空题13.已知非零向量,a b r r 满足3a b =r r ，1cos ,2a b <>=r r ，且()a tab ⊥-r r r ，则实数t 的值为______.【答案】16【解析】 【分析】由已知()a tab ⊥-r r r，根据垂直向量的关系和向量的数量积公式，建立关于k 的方程，即可求解.【详解】由3a b =r r ，又由()a tab ⊥-r r r，得()22239||||02a tab ta a b t b b ⋅-=-⋅=-=r r r r r r r r .||0b ≠r ，解得16t =.故答案为：16【点睛】本题考查向量垂直、向量的数量积运算，属于基础题.14.若612ax x -⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为240，则实数a 的值为______.【答案】2± 【解析】 【分析】求出612ax x -⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项，令x 的指数为0，求出常数项，建立a 的方程，即可求解.【详解】依题意612ax x -⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的通项公式为336216r r r r T C a x --+=.令3302r -=，得2r =， 所以展开式中的常数项为246240C a =，解得2a =±.故答案为：2±【点睛】本题考查二项式定理，熟记二项展开式通项是解题关键，属于基础题.15.已知,x y 满足约束条件0,23,23,x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩则2z x y =-的最大值为______.【答案】1 【解析】 【分析】做出满足条件的可行域，根据图形即可求解.【详解】约束条件0,23,23x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩表示的可行域如图中阴影部分所示.由23,23x y x y +=⎧⎨+=⎩得()1,1P ， 则目标函数2z x y =-过点()1,1P 时， z 取得最大值，max 211z =-=.故答案为：1【点睛】本题考查二元一次不等式组表示平面区域，利用数形结合求线性目标函数的最值，属于基础题. 16.在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知3b =22cos c a b A -=，则a c +的取值范围为______. 【答案】(3,23ùúû【解析】【分析】将已知等式化边为角，结合两角和的正弦公式化简可得B ，已知b ，由余弦定理和基本不等式，求出a c +的最大值，结合a c b +>，即可求解.【详解】由正弦定理及22cos c a b A -=，得2sin sin 2sin cos C A B A -=.因为()C A B π=-+，所以()2sin sin 2sin cos A B A B A +-=.化简可得()sin 2cos 10A B -=.因为sin 0A ≠，所以1cos 2B =. 因为0B π<<，所以3B π=.由已知及余弦定理，得2223b a c ac =+-=，即()233a c ac +-=，因为0a >，0c >，所以()22332a c a c +⎛⎫+-≤ ⎪⎝⎭，得()212a c +≤，所以a c +≤，当且仅当a c ==.又因三角形任意两边之和大于第三边，所以a c +>a c <+≤故a c +的取值范围为.故答案为：【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、三角恒等变换解三角形，利用基本不等式求最值，属于中档题.三、解答题17.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，318S =.（1）求{}n a 的通项公式；（2）设1302n n b a =-，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T 的最小值. 【答案】（1）42n a n =-；（2）225-【解析】【分析】（1）求出公差d ，根据通项公式即可求出42n a n =-；（2）由（1）可写出231n b n =-，则数列{}n b 是等差数列.根据通项公式求出使得0n b ≤的n 的最大值，再根据前n 项和公式求出n T （或根据前n 项和公式求出n T ，再根据二次函数求最值，求出n T 的最小值）.【详解】（1）方法一：由()1333182a a S +==， 又因为12a =，所以310a =.所以数列{}n a 的公差31102422a a d --===， 所以()()1121442n a a n d n n =+-=+-⨯=-.方法二：设数列的公差为d . 则3113322S a d =+⨯⨯. 32318d =⨯+=.得4d =.所以()()1121442n a a n d n n =+-=+-⨯=-.（2）方法一：由题意知()1130423023122n n b a n n =-=--=-. 令10,0.n n b b +≤⎧⎨>⎩得()2310,21310.n n -≤⎧⎨+->⎩解得293122n <≤. 因为*n N ∈，所以15n =.所以n T 的最小值为()()()151215...2927...1225T b b b =+++=-+-++-=-. 方法二：由题意知()1130423023122n n b a n n =-=--=-. 因为()[]121312312n n b b n n +-=+---=⎡⎤⎣⎦，所以数列{}n b 是首项为129b =-，公差为2的等差数列.所以()()22129230152252n n n T n n n n -=-+⨯=-=--. 所以当15n =时，数列{}n b 的前n 项和n T 取得最小值，最小值为15225T =-.【点睛】本题考查等差数列的通项公式和前n 项和公式，考查学生的运算求解能力.18.“过桥米线”是云南滇南地区特有的一种小吃.在云南某地区“过桥米线”有,,A B C 三种品牌的店，其中A 品牌店50家，B 品牌店30家，C 品牌店20家.（Ⅰ）为了加强对食品卫生的监督管理工作，该地区的食品安全管理局决定按品牌对这100家“过桥米线”专营店采用分层抽样的方式进行抽样调查，被调查的店共有20家，则,B C 品牌的店各应抽取多少家？ （Ⅱ）为了吸引顾客，所有品牌店举办优惠活动：在一个盒子中装有形状、大小相同的4个白球和6个红球.顾客可以一次性从盒中抽取3个球，若是3个红球则打六折（按原价的60%付费），2个红球1个白球打八折，1个红球2个白球则打九折，3个白球则打九六折.小张在该店点了价值100元的食品，并参与了抽奖活动，设他实际需要支付的费用为X ，求X 的分布列与数学期望.【答案】（Ⅰ）B 品牌店6家，应抽查C 品牌店4家；（Ⅱ）分布列见解析，()80.2E X =【解析】【分析】（1）根据分层抽样每层按比例分配，即可求解；（2）求出随机变量X 的可能取值，并求出相应的概率，即可得到分布列，进而根据期望公式求解.【详解】（Ⅰ）由题意得，应抽查B 品牌店30206100⨯=家， 应抽查C 品牌店20204100⨯=家； （Ⅱ）离散型随机变量X 的可能取值为60,80,90,96.于是()0346310201601206C C P X C ====，()12463104151801202C C P X C ⨯====， ()21463106639012010C C P X C ⨯====，()3046310419612030C C P X C ====. X 的分布列如下所以()11316080909680.2621030E X =⨯+⨯+⨯+⨯= 【点睛】本题考查分层抽样、离散型随机变量的分布列和期望，求出随机变量的概率是解题关键，属于基础题.19.如图所示，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，其中90BAD ADC ∠=∠=o ，且2PA AD DC ===，4AB =，H 是PD 的中点.（Ⅰ）求证：AH PC ⊥；（Ⅱ）求CP 与平面AHC 所成角的正弦值.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）13【解析】【分析】（1）根据已知可得PA DC ⊥，可证DC ⊥平面PAD ，从而有DC AH ⊥，再由已知可得AH PD ⊥，可证AH ⊥平面PDC ，即可证明结论；（2）以A 为坐标原点建立空间直角坐标系，求出,,,C D P H 坐标，再求出平面AHC 法向量坐标，根据空间向量的线面角公式，即可求解.【详解】（Ⅰ）因为PA ⊥底面ABCD ，DC ⊂底面ABCD ，所以PA DC ⊥.又因为AD DC ⊥，PA AD A ⋂=，所以DC ⊥平面PAD .又因为AH ⊂平面PAD ，所以DC AH ⊥.因为PA AD =，H 是PD 的中点，所以AH PD ⊥.又因为DC PD D ⋂=，所以AH ⊥平面PDC .而PC ⊂平面PDC ，所以AH PC ⊥.（Ⅱ）因为,,PA AD AB 两两垂直，所以以A 为原点， ,,AB AD AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()002P ,,，()4,0,0B ，()2,2,0C ， ()0,1,1H ，于是()2,2,2CP =--u u u r .设平面AHC 的一个法向量为(),,n x y z =r .()0,1,1AH =u u u r ，()2,2,0AC =u u u r .由0,0n AH n AC ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v 得0,220.y z x y +=⎧⎨+=⎩， 令1z =，则1,1y x =-=，得()1,1,1n =-r .设CP 与平面AHC 所成的角为θ，则sin cos ,CP n CPn CP nθ⋅==u u u r r u u u r r u u u r r ()()()222222222222111-++=-+-+⨯+-+213233==⨯. 故CP 与平面AHC 所成角的正弦值是13.【点睛】本题考查空间线面位置关系，考查直线与平面垂直的证明、用空间向量法求直线与平面所成的角，注意空间垂直间的相互转化，意在考查逻辑推理和数学计算能力，属于中档题.20.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右顶点为()2,0A ，定点()0,1P -，直线PA 与椭圆交于另一点31,2B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）试问是否存在过点P 的直线l 与椭圆C 交于,M N 两点，使得6PAM PBNS S ∆∆=成立？若存在，请求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由.【答案】（Ⅰ）22143x y +=；（Ⅱ）存在，1y x =-或1y x =- 【解析】【分析】（1）由已知可得2a =，再将点31,2B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭代入椭圆方程，求出b 即可； （2）设1122(,),(,)M x y N x y ，由已知可得2PAPB=，结合6PAM PBN S S ∆∆=，可得3PM PN =，从而有123x x =-，验证MN 斜率不存在时是否满足条件，当MN 斜率存在时，设其方程为1y kx =-，与椭圆方程联立，根据根与系数关系，得出12,,x x k 关系式，结合123x x =-，即可求解. 【详解】（Ⅰ）由椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右顶点为()2,0A 知， 2a =.把B 点坐标31,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭代入椭圆方程，得219144b+=. 解得23b =.所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=. （Ⅱ）()3(1,),(0,1),222,0,A B P PA PB ---== 所以2PA PB =.由6PAM PBNS S ∆∆=， 得1sin 2261sin 2PA PM APM PM PN PB PN BPN ⋅∠==⋅∠， 即3PM PN=，所以3PM PN =-u u u u r u u u r .设()11,M x y ，()22,N x y ，则()11,1PM x y =+u u u u r ，()22,1PN x y =+u u u r ，所以123x x =-.①当直线MN 的斜率不存在时，直线l 的方程为0x =，2PM PN ==+3PM PN =矛盾. ②当直线MN 的斜率存在时，设直线l 的方程为1y kx =-. 联立方程221,143y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2243880k x kx +--=. 122843k x x k +=+，122843x x k -=+. 由123x x =-可得228243k x k -=+，2228343x k =+， 即2224834343k k k -⎛⎫= ⎪++⎝⎭.整理得232k =.解得k =±综上所述，存在满足条件的直线l ，其方程为1y x =-或1y x =-. 【点睛】本题考查椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系，要熟练应用根与系数关系设而不求方法解决相交弦问题，考查计算求解能力，属于中档题.21.已知函数()ln m f x x x=+. （Ⅰ）若1m =，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若()1f x m x ≥+-在[)1,+∞上恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（Ⅰ）单调递增区间为()1,+∞，单调递减区间为()0,1；（Ⅱ）(],2-∞【解析】【分析】（1）求出()f x '，当1m =时，求出()0,()0f x f x ''><的解即可；（2）所求的问题为ln 10m x x m x ++--≥在[)1,+∞上恒成立，设()ln 1m g x x x m x=++--，[1,)x ∈+∞，注意(1)0g =，所以()g x 在[1,)x ∈+∞递增满足题意，若存在区间0[1,)x 递减，则不满足题意，对a 分类讨论，求出()g x 单调区间即可.【详解】（Ⅰ）当1m =时，()()1ln 0f x x x x =+>， 则()22111x f x x x x-'=-=. 所以当1x >时，()0f x '>，()f x 单调递增；当01x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减.所以函数()f x 的单调递增区间为()1,+∞，单调递减区间为()0,1.（Ⅱ）由()1f x m x ≥+-，得ln 10m x x m x ++--≥在[)1,+∞上恒成立.设()ln 1m g x x x m x =++--，则()22211m x x m g x x x x +-'=-+=. 设()()21h x x x m x =+-≥， ①当2m ≤时，()0h x ≥，则()0g x '≥在[)1,+∞上恒成立， ()g x 在[)1,+∞上单调递增，()(1)0g x g ≥=在[)1,+∞恒成立，所以当2m ≤时，ln 10m x x m x++--≥在[)1,+∞上恒成立； ②当2m >时，令()20h x x x m =+-=，得1x =或2x （舍去）.所以当11,2x ⎛⎫-∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0g x '<，则()g x 是11,2⎛-+ ⎝⎭上的减函数；当x ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭时，()0g x '>，则()g x 是12⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上的增函数.所以当11,2x ⎛⎫-∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，()()10g x g ≤=. 因此当2m >时，ln 10m x x m x ++--≥不恒成立. 综上所述，实数m 的取值范围是(],2-∞.【点睛】本题考查函数导数的综合应用，涉及到函数单调性、不等式恒成立，考查分类讨论思想，确定分类标准是解题的关键，属于中档题.22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为cos sin x r y r ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数，0r >）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为4cos sin 30ρθθ--=.（Ⅰ）求曲线C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程；（Ⅱ）若曲线C 上恰好存在两个点到直线l 的距离为16，求实数r 的取值范围.【答案】（Ⅰ）C ：222x y r +=，l ：430x --=；（Ⅱ）12,33⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）利用22sin cos 1ϕϕ+=消去参数，得到曲线C 的普通方程，再由cos x ρθ=，sin y ρθ=化直线l 为直角坐标方程；（2）与直线l 的距离为16的点在与l 平行且距离为16的两平行直线上，依题意只有一条平行线与圆C 相交，另一条平行线与圆相离，利用圆心到直线的距离与半径关系，即可求解.【详解】（Ⅰ）由曲线C 的参数方程cos sin x r y r ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数，0r >）消去参数ϕ， 可得曲线C 的普通方程222x y r +=.cos x ρθ=，sin y ρθ=代入4cos sin 30ρθθ--=，得直线l 的直角坐标方程为430x --=.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，直线l 的直角坐标方程为430x --=，曲线C 的直角坐标方程为222x y r +=，曲线C 表示以原点为圆心，以r 为半径的圆，且原点到直线l12=.所以要使曲线C 上恰好存在两个点到直线l 的距离为16， 则须11112626r -<<+，即1233r <<. 所以实数r 的取值范围是12,33⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查参数方程与普通方程互化、极坐标方程和直角坐标方程互化，以及直线与圆的位置关系，属于中档题.23.已知函数()4f x x x =-+.（1）解关于x 的不等式()12f x <；（2）对任意的R x ∈，都有不等式()()+1(49R )f x t m t t ⎛⎫ +⎪⎝⎭≥--∈恒成立，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）()4,8-；（2）(],21-∞-.【解析】【分析】（1）由题意()24,44,0442,0x x f x x x x -≥⎧⎪=≤<⎨⎪-<⎩，分类讨论即可得解；（2）利用绝对值三角不等式求出()min f x ，利用基本不等式求出()max 149t t ⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦--，利用恒成立问题的解决办法即可得解. 【详解】（1）由题意()24,444,0442,0x x f x x x x x x -≥⎧⎪=-+=≤<⎨⎪-<⎩，则不等式()12f x <可转化为04212x x <⎧⎨-<⎩或04412x ≤<⎧⎨<⎩或42412x x ≥⎧⎨-<⎩， 整理可得48x -<<，故不等式()12f x <的解集为()4,8-.（2）由于()444x x x x -+≥--=，当04x ≤≤时，等号成立；而()1444919363793725t t t t t t ⎛⎫--=--+=-+≤-= ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭， 当且仅当49t t =，即249t =，23t =时，等号成立. 要使不等式()()1449R x x t m t t +⎛⎫ ⎪⎝⎭-+≥--+∈恒成立， 则254m +≤，解得21m ≤-，实数m 的取值范围为(],21-∞-.【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，考查了绝对值三角不等式和基本不等式的应用，考查了恒成立问题的解决，属于中档题.。
郑州市2018-2019学年高二下学期期末考试理科数学试题含答案解析
即： 对于所有的 恒成立 6分
有(1)可知， 的最大值为 ， 7分
又 ， ， 8分
（3）令 ，
化简得： 9分
当 时，
， 在 上单调递减， 在 上单调递增.又 ， 上单调递减
，
综上：正实数 的取值范围为 12分
2018—2019学年下学期期末考试
高二数学（理科） 参考答案
一、选择题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
C
C
A
D
C
B
B
A
C
A
D
B
二、填空题
13. 0.363;14. 15.81;16. .
三、解答题
17.解：（1） ....2分
解得 5分
（2）若复数 在复平面内对应的点在第二象限，
且 .....7分
解得： ,且 .....9分
综上： . 10分
18.解：（1） ， 3分
， 6分
(2)由（1）得 ，
， 8分
的单调增区间为： ；
单调减区间为 10分
的极大值为 ，
极小值为 12分
19.解：（1）已知 展开式的通项公式为
，....2分
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ. 3分
展开式中所有的有理项为 , ， 6分
（2）令 ，....8分
（3）解得： ，即 10分
展开式中系数最大的项为 ， 12分
21.解：（1）记事件A:“该生英语等级考试成绩为优”，则 ,
事件B:“该生直到高二下期英语等级考试成绩才为优”
所以 4分
(2)
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