07点的加速度合成定理共18页文档
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牵连运动为定轴转动时点的加速度合成定理
理论力学
aa ae ar aC
即当牵连运动为转动时，动点的绝对加速度等于牵连加速度、相对 加速度与科氏加速度的矢量和。这就是牵连运动为转动时点的加速 度合成定理。
设动点沿直杆 OA 运动，杆 OA 又以角速度 绕O 轴匀速转动。
将动坐标系固结在杆上。在瞬时 t ，动点在 OA杆的M 位置， 它的相对速度、牵连速度分别为 vr 和 ve ，经时间间隔 t后， 杆OA 转动 角，动点运动到 OA 杆的M 点处，这时动点的相 对速度、牵连速度分别为 vr 和 ve ，如图6-10（a）所示。
又由图6-10（c）可知 ve ve1 ve2 （c）
式中，ve1 表示由于牵连速度方向变化而引起的牵连速度增量；ve2 表示由于存在相对运动使牵连速度大小变化而引起的牵连速度增量。
将式（b）、式（c）一起代入式（a），可得
aa
lim vr1 t0 t
lim vr2 t0 t
lim ve1 t0 t
将式（e）、式（f）和式（6-11）一并代入式（d），于是牵连
运动为转动时点的加速度合成定理得到证明，
即式（d）可写成
aa ae ar aC
所得结论也适用于一般情况。科氏加速度的表达式为
aC 2e vr
根据矢量积运算法则，aC 的大小为
aC 2evr sin
式中， 是矢量e与vr 的夹角；
lim ve2 t0 t
lim ve ve t0 t
lim OM OM
t0
t
vr
其方向也垂直于 vr，并与 转向一致。
由于这两项附加加速度的大小相同，方向一致，所以，两项合
并成一项，用 aC 表示，它的大小为
aC 2vr
它的方向与 vr 垂直，并与 转向一致。这项加速度称为科氏加速度。
点的加速度合成定理
va ve vr
va
vO
dx dt
i
dy dt
j
dz dt
k
aa
dv a dt
dv O dt
d2 dt
x
2
i
d2 y dt 2
j
d2 dt
z
2
k
dv O dt
aO
aa ae ar
当牵连运动为平动时，动点的绝对加速度等于牵连加速度与 相对加速度的矢量和。这是牵连运动为平动时，点的加速度
求：BD
,
。
BD
解：1、动点：滑块A 动系：BC杆
绝对运动：圆周运动（O点）
相对运动：直线运动（BC）
牵连运动：平动
2、速度
va ve vr
大小 rO ? ? 方向 √ √ √
vr ve va rO
BD
ve BD
rO
l
已知：OA O 常数,OA r, BC DE, BD CE l。
方向指向圆心Ｏ点。
aa ae ar 2vr
可见，当牵连运动为转动时，动点的绝对加速度 aa 并不 等于牵连加速度 ae 和相对加速度 ar 的矢量和。那么他们
之间的关系是什么呢？ 2vr 又是怎样出现的呢？它是什么呢？
下面我们就来讨论这些问题，推证牵连运动为转动时点的加 速度合成定理。
(1)动系：O’x’y’z’；定系：Oxyz，
合成定理 。 aa aan ae aen ar arn
Example 7-5 如图所示平面机构中，曲柄OA=r，以匀角速度 ωO 转动。套筒A沿BC杆滑动。已知：BC=DE，且BD=CE=l。
求：图示位置时，杆BD的角速度和角加速度。
已知：OA O 常数,OA r, BC DE, BD CE l。
《速度合成定理》课件
实例1：汽车行 驶速度的合成， 如汽车在平直道 路上行驶，速度 合成为直线运动
实例2：火车行 驶速度的合成， 如火车在平直轨 道上行驶，速度 合成为直线运动
实例3：飞机飞 行速度的合成， 如飞机在平直航 线上飞行，速度 合成为直线运动
曲线运动的速度合成应用
速度合成定理：将物体在直线运动和曲线运动中的速度进行合成，得到物 体在任意时刻的速度
向的速度。
应用实例：卫星 绕地球转动时， 卫星的转动速度 可以分解为沿地 球自转方向的速 度和垂直于地球 自转方向的速度。
速度合成定理的扩 展和推广
速度合成定理的推广形式
速度合成定理的 推广形式包括： 平行四边形法则、 三角形法则、矢 量加法法则等。
平行四边形法则： 两个矢量的合成 可以用平行四边 形法则来表示， 即两个矢量的合 成矢量等于两个 矢量的矢量和。
速度合成定理还可以帮助我们理解和分析自然界中的各种现象，例如风速、水流速度等。
速度合成定理的推 导过程
相对速度和绝对速度的概念
相对速度：物体相对于另一个物体的速度 绝对速度：物体相对于静止参考系的速度 速度合成定理：描述两个或两个以上速度的合成关系 推导过程：通过数学公式和物理原理推导出速度合成定理
速度合成定理的证明过程
● 速度合成定理的定义：两个或两个以上物体的速度可以合成为一个新的速度 ● 证明方法：使用矢量加法和矢量减法 ● 证明步骤： a. 确定两个物体的速度矢量 b. 使用矢量加法将两个速度矢量相加 c. 使用矢量减法将
两个速度矢量相减 d. 得出结论：两个物体的速度可以合成为一个新的速度
实例1：汽车转弯时的速度合成，将汽车在直线运动和转弯时的速度进行 合成，得到汽车在转弯时的速度
实例2：卫星绕地球运动时的速度合成，将卫星在直线运动和绕地球运动 时的速度进行合成，得到卫星在绕地球运动时的速度
点的速度合成定理
va v r y
ve ＊
x
x
va
ve
tan30 2 3e
3
vr
2va
4 3e
3
vABva
2 3e
3
■ 点的速度合成定理 ★ 应用举例
1、选择动点、动系、定系
要选择合适的动点、动系。
解 2、运动分析
题
绝对运动与相对运动都是指点的运动，它可能作
步
直线运动或曲线运动。 牵连运动则是指参考体的运动即刚体的运动，它
O x
牵连点：M′（脚牵印连）点（：甲？板上）
va vr ve 三者关系？
★ 速度合成定理
z y
z o
x
刚性金属丝
y
O
小环
x
动点：小环（沿金属丝滑动）
定系（ oxy）z ：固定于地面
动系（ oxyz ）：固连于刚性金属丝
★ 速度合成定理
☆
z
zz
动 系 的
o z y x o x y o
oy
x
运
骤 可能作平动、转动或其它较复杂的运动。
3 、速度分析及其求解
牵连速度：某瞬时动系上与动点相重合的那一点
（称为牵连点）相对于定系的速度；
由 va vrve 作平行四边形，其对角线为v a ；
va vr ve 满足“6-4=2”方可求两个未知量。
■ 点的速度合成定理 ★ 讨论与思考
例 1中
动点：滑块A 动系：固连于O1B杆 绝对运动：绕O点的圆周运动 相对运动：沿滑杆的直线运动
牵连运动：绕O1轴的定轴转动
y
B
x
●A
O1
动点： O1B杆上的A点 动系：固连于OA杆
07点的合成运动--速度合成
牵连运动：转动
B
ve
va
O
C
vr
A
⑶ 由速度合成定理，作速度平行四边形
v v v a e r
？ √ √ √
大小 方向
？ √
v 2 l e ve va 2 3 l tan 30
30
点的速度合成分析计算步骤：
1. 选择一个动点, 二个坐标系 2. 分析三种运动（绝对运动，相对运 动， 牵连运动），速度分析。 3. 速度合成定理: 建立动点速度的关系
解： 杆AB作平移，各点速度相同，求出其上 A的速度即可。 1) 选取杆AB的端点A为动点。 动参考系随凸轮一起绕O轴转动。 2) 点A的绝对运动：是直线运动 相对运动： 凸轮中心C为圆心的圆周运动 牵连运动：是凸轮的定轴转动
B
A
C
q
O
e
x
y
绝对速度：方向沿AB 相对速度：方向沿凸轮圆周的切线， 牵连速度：凸轮上与杆端 A 点重合点的速度。 3) 速度合成定理:
动点： 曲柄端点A
动系： 在摇杆O1B上 绝对运动：以点O为圆心的圆周运动 相对运动：沿O1B 的直线运动 牵连运动：摇杆绕O1 轴的转动 绝对速度：竖直方向
va
B
x'
O A
y'
O1
1
相对速度：方向线已知
牵连速度：方向线己知
解：⑴ 取曲柄O1A上的A点为动点，动系在O1B上 ⑵ 研究三种运动
绝对运动：圆周运动 相对运动：直线运动
O
x' B va ve vr
A
牵连运动：转动
⑶ 由速度合成定理 v ， v v a e r
B
ve
va
O
C
vr
A
⑶ 由速度合成定理，作速度平行四边形
v v v a e r
？ √ √ √
大小 方向
？ √
v 2 l e ve va 2 3 l tan 30
30
点的速度合成分析计算步骤：
1. 选择一个动点, 二个坐标系 2. 分析三种运动（绝对运动，相对运 动， 牵连运动），速度分析。 3. 速度合成定理: 建立动点速度的关系
解： 杆AB作平移，各点速度相同，求出其上 A的速度即可。 1) 选取杆AB的端点A为动点。 动参考系随凸轮一起绕O轴转动。 2) 点A的绝对运动：是直线运动 相对运动： 凸轮中心C为圆心的圆周运动 牵连运动：是凸轮的定轴转动
B
A
C
q
O
e
x
y
绝对速度：方向沿AB 相对速度：方向沿凸轮圆周的切线， 牵连速度：凸轮上与杆端 A 点重合点的速度。 3) 速度合成定理:
动点： 曲柄端点A
动系： 在摇杆O1B上 绝对运动：以点O为圆心的圆周运动 相对运动：沿O1B 的直线运动 牵连运动：摇杆绕O1 轴的转动 绝对速度：竖直方向
va
B
x'
O A
y'
O1
1
相对速度：方向线已知
牵连速度：方向线己知
解：⑴ 取曲柄O1A上的A点为动点，动系在O1B上 ⑵ 研究三种运动
绝对运动：圆周运动 相对运动：直线运动
O
x' B va ve vr
A
牵连运动：转动
⑶ 由速度合成定理 v ， v v a e r
第七章 点的合成运动
~ d
上式可写成： va ve vr
~ dr dro d dt dt dt
z z
k
M M
k
r
j
j
(va vo vr )
dr va : dt
3、牵连加速度
ae：指某瞬时在动系与动点相重合的点
（牵连点）的加速度。
即该瞬时牵连点相对静系的加速度。 （即设想动点被固定在动参考系上，由于动系运动动点被 动系携带产生的加速度）
二、加速度合成定理证明： 加速度合成定理讨论动点相对于两参考系的加速度之间的 关系。仍采用矢量分析的方法，推导加速度合成定理，然后讨 论动系作平动、定轴转动和平面运动时定理的具体形式。
aa ae ar ak
其中
科氏加速度：
ak 2 vr
一、动点的绝对加速度、相对加速度、牵连加速度
1、绝对加速度 aa ：指动点相对于静系的加速度，
2、相对加速度 ar ：动点相对于动系的加速度，
即在动系上观察到的动点的加速度。
即站在静系上观察到的动点的加速度。
四．动系的选择原则
动点相对动系的相对运动轨迹易于直观判断（已知绝对 运动和牵连运动求解相对运动的问题除外）。
动点： AB杆上A点
动系：固结于凸轮Ｏ'上 静系： 固结在地面上
绝对运动： 直线
凸轮顶杆机构 相对运动： 曲线（圆弧）
牵连运动： 直线平动
动点：A1（在O'A1 摆杆上) 动系：圆盘 静系：机架 绝对运动： 曲线（圆弧） 相对运动： 曲线 牵连运动： 定轴转动
va ve vr
理论力学第七版第07章(1-2节)--点的合成运动 (2)
绝对运动：圆周运动 相对运动：直线运动（沿O1B） 牵连运动：定轴转动（绕O1轴） 2.速度
va ve vr r
√
大小
? ?
√
rl v r v a cos 2 l r2
方向 √
r 2 v e v a sin 2 l r2
ve ve r 2 1 2 2 2 O1 A l r2 l r
(7-15)
aa ar α r ω ω r 2ω vr
(7-18)
§7-4 牵连运动是定轴转动时点的加速度合成定理
设动系作定轴转动，转轴通过点O´，其角速度矢量为
aa ar α r ω ω r 2ω vr
v a rO xi yj z k xi yj zk
va ve v r
aa ae ar
例7-7
已知：如图所示平面机构中，铰接在曲柄端 A 的滑块，可 在丁字形杆的铅直槽DE内滑动。设曲柄以角速度ω作匀速 转动， OA r 。
回顾： 2.矢积表示绕定轴转动刚体上点的速度和加速度
dv d 加速度 a r dt dt
→
d dr r dt dt
r v
(6-21)
→
→ → →
科里奥利，法国物理学家。
1792年5月21日生于巴黎；1843年9月19日卒于巴黎。 科里奥利是巴黎工艺学院的教师，长期健康状况不佳，这 限制了他创造能力的发挥。即便如此，他的名字在物理学 中仍是不可磨灭的。 1835年，他着手从数学上和实验上研 究自旋表面上的运动问题。地球每 24 小时自转一周。赤道 面上的一点，在此时间内必须运行25，000英里，因此每小 时大约向东运行 1，000英里。在纽约纬度地面上的一点， 一天只需行进19，000英里，向东运行的速度仅约为每小时 800英里。由赤道向北流动的空气，保持其较快的速度，因 此相对于它下面运动较慢的地面而言会向东行。水流的情 况也是一样。因此，空气和水在背向赤道流动时好像被推 向东运动，反之会向西运动,这样会形成一个圆! 推动它们运动的力就称为科里奥利力。 这种力不是真实存在的 ! 只是 “ 惯性 ” 这种性质的表现而已。 正是这种"力"造成了飓风和龙卷风的旋转运动。研究大炮射 击、卫星发射等技术问题时，必须考虑到这种力。
加速度合成定理
例8-5 如图所示凸轮机构中，凸轮以匀角速度 ω绕水平O轴转动，带动直杆AB沿铅直线上、下运 动，且O、A、B 共线。凸轮上与点A接触的点为A`， 图示瞬时凸轮上点A`曲率半径为ρA ，点A`的法线与 OA夹角为θ，OA=l。 求：该瞬时AB的速度及加速度。
已知： 常数, O, A, B共线, OA l , A A , CAO , 求：v AB , a AB
点1的牵连加速度与相对加速度在同一直 2 线上，于是得 aa ae ar 1700 mm s 点２的牵连加速度
相对加速度大小为
科氏加速度大小为
ae 0 , 2 2 ar R1 1250 mm s , aC 2 e vr sin 90 1500 mm s 2 ,
2 1 2 2 2
r
2
vr va cos
l r rl
2
2
ve ve r 2 1 2 2 2 2 O1 A l r l r
3 加速度
l r
2
2
aan aet aen
2 2
ar ac
√ √
大小 r ? 1 O1 A ? 21vr 方向 √
√ √
已知：OA 常数, OA r , OO1 l , OA水平, 求：1
va ve tan l tan
3 加速度 a a a t a e r
vr
arn aC
ve
cos
l
cos
? l 方向 √ √ 大
2
? v A √ √
2 r
21vr √
沿 轴投影
aa cos ae cos arn aC
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Z
e r
ε
X1ω XO
Z1 M
r
Y Y1
r 相x 对1 i1 速 度y 1j1 z 1 k 1
a 由速 度r 合x 成1 i1 定 理y 1 j1 z 1 k 1
对t求导，有
a a d d t r d d r t x 1 i1 x 1d d it1
y 1 j1 y 1d d j t 1 z 1 k 1 z 1d d k t1
因为
d dt有
, dr
dt
e
泊桑公式
r
, di1 dt
×i1,...
a a r (e r) a r (x 1 i1 ..
a a r e r a r r
a a a e a r 2r
aaaearak 此中ak2r
这就是点的加速度合成定理
点的加速度合成定理
aaaearak
aMk1点的2 科氏加速r 度
2rsin450j
2r j
M2点的科氏加速度
ak2r0
M3点的科氏加速度
ak 2r
2r j
46、我们若已接受最坏的，就再没有什么损失。——卡耐基 47、书到用时方恨少、事非经过不知难。——陆游 48、书籍把我们引入最美好的社会，使我们认识各个时代的伟大智者。——史美尔斯 49、熟读唐诗三百首，不会作诗也会吟。——孙洙 50、谁和我一样用功，谁就会和我一样成功。——莫扎特
07点的加速度合成定理
46、法律有权打破平静。——马·格林 47、在一千磅法律里，没有一盎司仁 爱。— —英国
48、法律一多，公正就少。——托·富 勒 49、犯罪总是以惩罚相补偿；只有处 罚才能 使犯罪 得到偿 还。— —达雷 尔
50、弱者比强者更能得到法律的保护 。—— 威·厄尔
运动学
C A I课件
吉林工业大学工程力学系
以AB杆上的B 为动点，以凸 轮D为动系，作 加速度合成图
anr
aτr
aa
a a a a 先求出
a= nr R
再由 aaco3s0arn
求得
aa
U 8 3 2
9R O
点的加速度合成定理---动系转动情况
设动系X1Y1Z1绕Z轴转，动动，点M的牵连速度
其中 ak 2 r称为科氏加速度，是法
国工程师科里奥利（G.G.de Coriolis）于1832年
在研究水轮机时首先提出的。是由于牵连运动 和相对运动互相影响而产生的。
点的绝对加速度等于牵连加速度，相 对加速度和科氏加速度的矢量和。
它适于动系作任何形式的运动。
直角等腰三角板绕Z轴转动 求三个点的科氏加速度。