2010年广东高考数学试题评价
2010年广东高考数学试题评价作者：王林全来源：《广东教育·综合》2010年第09期我省2007年开始实行新课程的高考,经过几年的实践,课改与新高考相互磨合,相互促进,取得了较大的成绩. 2010年广东高考数学试题又有新的进步,受到广大师生与教研人员的普遍好评.1. 重视夯实双基,把握课程主线高考是课程改革的重要组成部分,具有教学评价和人才选拔的双重功能,新课标既是课程改革的依据,又是数学教材编写和高考命题的依据. 2010年试题与近年高考试题相比,既有连续性与稳定性,又有不少新特色.(1)新课标界定新高考的内容与专题2010年试题(文科卷)五个必修模块所占的分值比例大致相当,与各模块教学时数所占的比例接近.比如,高中数学必修1的主要内容是函数概念、性质以及基本初等函数,它既是高中的重要基础知识,也是学生学习高中数学的第一个难点. 历年高考都以函数为重点,2010年试题也不例外,有关函数的试题,既出现在选择题和填空题中,也出现在压轴题(例如文科卷21题)中,从而突出了函数的基础地位.(2)课程新理念催生了高考的新题型集合与函数、几何与空间、概率与统计、计算与算法是高中数学的四条主线,它们是高考的主要线索,也是2010年高考的重点内容.新课程提倡积极主动、勇于探索的学习方式,从而催生了高考中的新题型. 例如,2007年高考理科第8题是定义一个新运算的问题,让考生们都置身于一个新的情境中,考察应试者独立阅读理解新运算的定义,并根据定义判断该运算的某些性质. 2010年试题(文科卷)第10题也是定义新运算的问题,文科考生需要认真阅读理解用表格定义的运算,然后根据定义选择正确的运算结果. 2010年文科卷试题主要考察学生基本的阅读理解能力,要求能够把表格所提供的信息,转化为对新运算定义的理解,以及对运算顺序的要求,并且根据定义和运算顺序的要求正确进行运算.2. 突出三大能力,保护新增专题高考具有人才的选拔功能,对实施新课程能起指挥作用. 新课程的内容专题由于高考而得以巩固,新课程的教学效果在高考中得以检验,新课程的某些偏难偏多偏深的专题由于高考而得到适当的调整.2010年高考在加强对空间想象、推理论证、运算求解、抽象概括、数据处理等五大能力考查的基础上,对课程的新内容、新专题给予特别的呵护,透视出数学课程的新理念和新内容的重要信息.2010年试题(理科卷)的分值分布,五个必修模块的分值大致均匀,说明高考重视基础知识与基本能力的考查,而且显示重心向选修课倾斜,选修2、选修4所占权重加大,这两个系列共计占65分,超过五个必修模块的平均水平.(1)加大对概率统计考查的力度概率统计是高中课程的新增内容,也是课改的重点. 这反映了随机思想的重要性及应用广泛性. 纵观近三年的概率考题,发现一些考点频繁出现. 有些考点每年都考,如文科卷中,频率分布直方图、古典概率、系统抽样与分层抽样等是常考点;在理科卷中,频率分布直方图、随机变量概率分布列、数学期望等是常考点. 2010年试题中,文科卷新考了回归分析、独立性检验、分层抽样、概率等;理科卷新考了超几何分布、二项分布、正态分布等. 经过几年高考的磨练,新课程中的概率统计主要内容,基本上被各年试题所覆盖.(2)促进选修专题调整,减轻师生课业负担选修课在高考中的地位,历来受到师生关注,因为它涉及课程与教学的安排. 五个必修模块以及选修系列1、2分别是文、理科数学的基础,进入高考已经不容置疑.选修3当前暂不进入高考, 选修4的地位逐步明朗. 全国考试中心规定选修4的四个专题进入高考,而广东省限制为其中的三个专题,即:几何证明选讲,坐标系与参数方程,不等式选讲,这有利于学生明确复习方向,减轻负担.(3)不等式的地位进一步提升2010年高考进一步把“不等式选讲”升格为指定选考内容,这就突出了不等式的重要性. 如果说过去考不等式还有点躲躲闪闪,那么,现在不等式就可以大大方方地进入高考,其考题形式也不受限制了. 不等式在2010年试题中处于显著的地位,不但理科考,文科也考,而且都放在压轴题的位置上.事实上,现实世界中的量的关系,大部分是不等关系. 不等式从来是,现在仍然是中学数学的难点. 这给今后的数学教学与备考,发出了重要的暗示.3. 注意补缺补漏,加强薄弱环节课改初期,课程中扩大了几何中的公理体系,降低了习题、例题的难度与复杂程度,数学推理论证的要求有一些减弱,这种做法引起不少专家、学者与教师的批评.为了弥补学生推理论证能力的失缺,教材中分别增加了“推理与证明”、“逻辑用语”的知识,在选修4中又增设“几何证明选讲”,这些改变已经反映在高考试题中. 2010年试题中,不但设置了考查“几何证明选讲”的试题(理14,文14),又分别设置了立体几何、平面解析几何论证的试题(理18,21;文18, 21),两卷的解答题中,对推理论证能力都作了明确的要求.4. 反映运动变化,暗含辩证观点数学是研究现实世界空间形式和数量关系的有力工具. 利用它,可以探索点的运动,分析图形的变化,寻找数学对象在运动中的规律性. 新课程提倡自主探索、独立思考、动手实践、积极探究等新型的学习方式,鼓励学生学会理性思考. 2010试题给考生提供了独立思考的广阔空间,让考生在多种水平上探索发现数学的规律,从而展示数学思维的才能.理科卷20题已知-y2=1双曲线的左、右顶点分别为A1,A2,点P(x1,y1),Q(x1,-y1)是双曲线上不同的两个动点.(1)求直线A1P与A2Q交点的轨迹E的方程;(2)若过点H(0,h)(h>1)的两条直线l1和l2与轨迹E都只有一个交点,且l1⊥l2,求h的值.分析:由双曲线-y2=1的顶点出发,分别引出两条动直线A1P与A2Q,探究两条动直线交点R(x,y)轨迹,它恰是与已知双曲线-y2=1在结构上对偶的椭圆+y2=1.(如下图),在探索与该椭圆相关的几个特殊点时,发现考生有不少差错或漏洞. 考生在求轨迹的过程中也遇到不少障碍,例如不能够有效地利用原有的双曲线方程;求出轨迹方程+y2=1后,许多考生不能根据题目条件x≠0且x≠±排除A1,A2两点等.这说明学生的基本运算能力还有待提高.文科卷21题已知曲线Cn:y=nx2,点Pn(xn,yn)(xn>0,yn>0)是曲线Cn上的点(n=1,2,…).(1)试写出曲线Cn在点Pn处的切线ln的方程,并求出ln与y轴的交点Qn的坐标;(2)若原点O(0,0)到ln的距离与线段PnQn的长度之比取得最大值,试求点Pn的坐标(xn,yn);(3)略.题中所给的曲线是二次函数族,曲线随着n而改变,点Pn(xn,yn),(xn>0,yn>0)是曲线Cn上的动点,具有可变性. 随着点Pn在曲线上位置的变化,切线ln的斜率也在改变,线段PnQn的长,原点O到切线ln的距离OQn也在改变,从而线段长度的比=也在变化(如下图). 然而,当Pn(xn,yn),(xn>0,yn>0),在某个位置:(,)时,上述长度之比具有最大值,这恰恰反映了运动图形的不变性质. 在解决问题的过程中,需要用到求导的知识、导数的几何意义、切线方程、点到直线距离、不等式、最大值等一系列重要的基础知识和数学思想方法. 因而该试题能够检查考生的探索能力与综合运用能力.5. 鼓励理性思考,展示数学魅力高中数学课程的目标是:“理解基本的数学概念,数学结论的本质,了解概念产生的背景,应用,体会其中所蕴含的数学思想和方法.”这既是课程的目标,也是教学的目标,2010试题很好地体现了这一目标,展示了数学的无穷魅力.例如理科卷21题,既站得高看得远,也能落实于最基本的概念,试题给考生设计了思考与探索的广阔空间,也预留了得分的多种途径.理21题设A(x1,y1),B(x1,y1)是平面直角坐标系xOy上的两点,现定义由点A到点B的一种折线距离(A,B)为(A,B)=x2-x1+y2-y1. 对于平面xOy上给定的不同的两点A(x1,y1),B(x2,y2). (1)若点C(x,y)是平面xOy上的点,试证明: (A,C)+(C,B)≥(A,B);(2)在平面xOy上是否存在点C(x,y),同时满足① (A,C)+(C,B)= (A,B);②(A,C)= (C,B). 若存在,请求出所有符合条件的点;若不存在,请予以证明.分析:(1)试题给考生平面直角坐标系xOy上两点A(x1,y1),B(x2,y2)间折线距离的定义,该定义考生在课本与参考书上未曾遇到过,为了解决问题,需要阅读定义,研究问题的条件,弄清需要证明什么,探究什么?考生需要把题设的距离与课本中的两点的线段距离联系起来,把题设不等式两边化为用绝对值不等式表示,然后利用绝对值不等式的性质完成待证的第(1)小题. 这也是对我省考试说明关于把不等式作为指定选考内容的回应. 距离,是数学中的基本概念,具有①非负性,②自反性,③三角形性质,这些性质具有一般性. 本题所说的折线距离,也具有这些性质,而且要求考生用所学过的知识证明其中第③个性质. 可见该试题立意高而落点恰当.(2)是研究性问题,点C(x,y)到A(x1,y1),B(x2,y2)两点折线距离之和,恰等于点A(x1,y1),B(x2,y2)两点的折线距离.这容易想到把题中的距离与过去学过的距离作出想象与比较.为了满足条件①,只要x1≤x≤x2,y1≤y≤y2,如右下图所示.为了满足条件② ,容易想到,只要点C是线段AB的中点即可.事实上,只要把折线距离简化为两点间的直线距离即可,这又使人联想更简单的情况,如果x1=x2,y1≠y2,可求出x=x1=x2,y=;如果x1≠x2,y1=y2,可求出x=,y=y1=y2. 当然,还要就x1≤x≤x2,y1≤y≤y2的一般情形,找到点C(x,y)的坐标应该满足的条件. 这对考生的数学能力提出了较高的要求.6. 美中仍有不足,师生寄予厚望纵观2010年试题文理两卷,题意新颖,表述清楚,较好地执行了课标与考纲的精神,文科与理科的考点,既有相同,又有显著差异;总体难度下降,利于考生充分发挥其才智;评分标准制定合理,便于评分人员掌握. 为便于今后高考试题设计更加精美完善,兹提出一些改进期望.(1)细致考虑文科与理科考生数学能力的差异.文科考生的数学基础弱于理科考生,对他们的数学思维与能力的要求应该适当降低.2010年试题文理两卷的难度差异基本合理,仍有个别不当,例如文科卷21题与理科卷21题相比,对于文科生而言,难度是大一些,即使理科生做文科卷21题也有一定的困难.(2)同大题的分步设问应该紧密联系,自然衔接. 文科卷21题的前两问立意很好,能展示数学思想方法的魅力,但是加上了第(3)问,显得有些不自然. 况且答题需要使用不等式较多技巧,超出对文科不等式的要求.(3)文字表述力求清晰,避免漏洞. 引导学生答出考出真实水平,避免学生因文字歧异而误答.责任编辑罗峰。
2010广东高考数学试题及答案
2010广东高考数学试题及答案2010年广东高考数学试题及答案【试题部分】一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）1. 下列哪个数是无理数？A. 0.33333…（3无限循环）B. πC. √2D. 0.52. 已知函数f(x)=2x-3，求f(5)的值。
3. 已知集合A={1, 2, 3}，B={2, 3, 4}，求A∪B。
4. 已知等差数列的首项为3，公差为2，求第10项的值。
5. 已知直线y=3x+2与x轴的交点坐标。
6. 已知抛物线方程为y=x^2-4x+4，求其顶点坐标。
7. 已知向量a=(3, 4)，b=(-1, 2)，求向量a与b的点积。
8. 已知圆的方程为(x-2)^2+(y-3)^2=25，求圆心坐标和半径。
9. 已知正弦函数y=sin(x)的周期。
10. 已知复数z=2+3i，求其共轭复数。
二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分）11. 求二次方程x^2-4x+3=0的根。
12. 求等比数列1, 3, 9, …的第5项。
13. 已知正方体的边长为a，求其对角线的长度。
14. 已知函数y=x^3-2x^2+x，求其导数。
15. 已知椭圆的长半轴为a，短半轴为b，求其焦点到中心的距离。
三、解答题（共5小题，每小题10分，共50分）16. 解不等式：|x-2|+|x-3|≤4。
17. 已知三角形ABC，AB=5，AC=7，BC=6，求角A的余弦值。
18. 已知函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6，求其极值点。
19. 已知矩阵A=\[\begin{array}{cc} 4 & 1 \\ 1 & 3\end{array}\]，求矩阵A的特征值。
20. 已知平面直角坐标系中点A(2, 3)，B(-1, -2)，求直线AB的斜率和方程。
【答案部分】一、选择题答案1. C2. 73. {1, 2, 3, 4}4. 235. (-2/3, 0)6. (2, 0)7. 68. 圆心(2, 3)，半径59. 2π10. 2-3i二、填空题答案11. x1=1，x2=312. 24313. a√214. 3x^2-4x+115. √(a^2-b^2)三、解答题答案16. 解：由绝对值不等式的性质，我们可以得到x的取值范围为[1, 4]。
2010广东高考数学试题及答案
2010广东高考数学试题及答案2010年广东高考数学试题一、选择题（每题3分，共36分）1. 下列哪个选项是最小的正整数？A. 0B. 1C. 2D. -12. 函数f(x) = 2x^2 - 3x + 5在区间（-∞，+∞）上是：A. 增函数B. 减函数C. 单调递增D. 单调递减3. 不等式|x - 1| + |x - 2| > 3的解集是：A. (-∞, 0)B. (0, 3)C. (-∞, 1) ∪ (2, +∞)D. (-∞, 1) ∪ (3, +∞)4. 已知三角形ABC中，∠BAC = 90°，若sinA = 0.6，则cosB的值为：A. 0.8B. 0.6C. 0.4D. 0.25. 以下哪个数是无理数？A. 根号2B. πC. 1/3D. 0.333...6. 已知等差数列{an}的首项a1 = 3，公差d = 2，那么a5的值为：A. 9B. 11C. 13D. 157. 以下哪个选项是复数z = 2 + 3i的共轭复数？A. 2 - 3iB. 3 - 2iC. -2 + 3iD. -3 + 2i8. 以下哪个选项是双曲线x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1的焦点到中心的距离？A. aB. bC. √(a^2 + b^2)D. √(a^2 - b^2)9. 以下哪个选项是方程x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0的一个根？A. 1B. 2C. 3D. 410. 以下哪个选项是曲线y = x^2在点（1,1）处的切线斜率？A. 0B. 1C. 2D. 311. 以下哪个选项是函数y = ln(x)的值域？A. (-∞, 0)B. (-∞, +∞)C. [0, +∞)D. [1, +∞)12. 以下哪个选项是定积分∫₀^(π/2) sin(x) dx的结果？A. 1B. π/2C. πD. 2二、填空题（每题4分，共24分）13. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2，求f(x)的导数f'(x) =______。
2010年高考数学全国1卷分析大多数题不怪
2010年高考数学全国1卷分析：大多数题不怪2010年高考数学全国1套试卷（文科），整体难度和去年相近，这套题对程度中等的学生来说有非常大的麻烦，估计最后的考试分数不会特别理想。
本套题知识分布还是比较广的，题的形式稳定，延续以前试题格式。
解答题基本上还是以前的固定的内容，但难易有了调整，有的难度比较大。
下面是对试卷的详细分析。
客观题中，前6题都是常见题，在考场上能够稳定学生情绪，让他们很快进入考试状态，达到思维的巅峰；第7、8、9三题有陷阱，特别是第7题弄不好就中招了;每8、9题只要按平时要求认真点都是能够做对的;第10、11、12三题是较为综合性的试题，这是近几年来全国1套试卷难度最大的，第10题看似简单但比较了前两个后第三个数就不好下手了，第11题没有太简单的方法用坐标做也很繁琐我借助三角函数去做，但求最值时运算量也大，就算是能够做出来所花的时间也会比较长，第12题有的同学可能没有想法，没有抓住内接的四面体体积最大考虑让2是高。
13、14、15三个填空题问题不算大，16题相对来说稍难。
客观题中如果考生在选择题后三个题中一直纠缠的话，势必会影响情绪，如果能先跳过11、12去做后面的填空题应该是个不错的选择。
主观题试题类型都是常规题，难度和运算量仍然不小。
第17题很简单，考生都没有问题;第18题方向明确就是先把边化角得到sinA+sinB=cosA+cosB,但接下来恐怕就挡住了很多考生，借助辅助角就解决了问题;第19题是概率题，中规中矩，不应该做不出来;立体几何题平时大家都练过这种类型的，常规解法和向量法都可以，本题第一问用常规法做并不比用向量法差;第21的第一问解决还是相对容易的，但要把一元三次方程熟练解出再讨论极值，22题第一问只要设出直线方程用韦达定理得到x1*x2=1就可顺利解出，但这两题的第二问都有一定的运算量，当然也有不小的难度。
当然这是压轴题，做不全对也是可以理解的。
理科卷和文科卷相同的题目非常多，也可以说今年文理科卷区别非常小。
2010广东高考文科数学 (4)
2010广东高考文科数学一、概述2010年广东高考文科数学试卷是广东省教育厅于2010年组织的一次高中毕业生综合评价考试。
本文将对该试卷的题目进行详细分析和解答。
二、试题分析1. 选填题选填题是广东高考文科数学试卷中的一部分，共有若干道题目。
这些题目的特点是答案具有多样性，考生可以根据自己的方法和计算结果进行填写。
举例来说，试题可能是给出了一个方程，考生需要求出方程的根或解。
对于这类题目，考生可以采用因式分解、配方法、求根公式等不同的方法进行计算，最终填写答案。
2. 解答题解答题是广东高考文科数学试卷中的主要部分，包括选择题、填空题和证明题。
2.1 选择题选择题是广东高考文科数学试卷中一道典型的题目。
该类型的题目给出了一些选项，考生需要选择符合要求的选项作为答案。
通常情况下，选择题包括单选题和多选题。
对于选择题，考生需要认真阅读题干和选项，并结合自己的数学知识进行推理和判断，最终选择正确的答案。
2.2 填空题填空题是广东高考文科数学试卷中的一类题目。
该类型的题目通常给出了一些未知数或变量，考生需要根据所给的条件进行计算，并填写答案。
填空题对考生的计算能力和逻辑思维能力有一定的要求，考生需要熟练掌握数学计算方法，并能够合理推理和运用所学知识。
2.3 证明题证明题是广东高考文科数学试卷中的一类题目。
该类型的题目要求考生根据所给的条件和已知的数学知识进行推理和证明，最终得出结论。
对于证明题，考生需要熟悉各种证明方法和数学定理，并能够运用这些知识进行推理和证明。
证明题对考生的逻辑思维能力、分析问题的能力和数学知识的整合能力有较高的要求。
三、题目解答1. 选填题题目一已知方程x2−2x+1=0的两个解之和是？解析：这是一个二次方程求解的问题，考生可以采用求根公式进行计算。
根据求根公式，对于二次方程xx2+xx+x=0，其解为 $x = \\frac{-b \\pm \\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$。
2010年高考数学试题评价
第 4题图三、2010年高考数学试题评价1．已知集合 {|||2 A x x =£ ， } x R Î ， {|4 B x x =£ ， } x Z Î ，则A B = I （ ）A ．(0，2)B ．[0，2]C ．{0，2}D ．{0，1，2}命制意图与评析：考查集合的基本概念与集合运算，同时考查了数集的特定符号，这几 年考查集合概念与运算题型稳定，但难度有所上升． 2．已知复数 23 (13)z + =- i i ，z 是z 的共轭复数，则z z = g （ ）A ．1 4 B ． 12C ．1D ．2命制意图与评析：考查复数的乘除运算，共轭复数的概念与性质，前几年都考查复数的 简单运算，多属于复数概念和分母实数化，2010 年对复数的考查难度明显加大，增加了对复数的平方运算和共轭复数的性质 2z z z = g 考查． 3．曲线 2xy x =+ 在点(1 - ， 1) - 处切线方程为（ ） A ． 21 y x =+ B ． 21 y x =- C ． 23 y x =-- D ． 22y x =-- 命制意图与评析：考查商数的导数运算，导数的几何意义和点斜式方程，属于常见的 基础题，这几年曲线的切线问题出现的机率较高，多数出现在小题中，有时出现在大题中， 如 2008 年就出现在大题中，应该说对多数考生难度是不大的，但要注意区分在某点处和过 某点的曲线的切线问题．4．如图，质点 P 在半径为 2 的圆周上逆时针运动，其初始位置为0 (2 P ， 2) - ，角速度为 1，那么点P 到x 轴距离d 关于时间t 的函数图像大致为（） （注意曲线画的有点误差！）A ．B ．C ． D．命制意图与评析：考查三角函数的图像、性质及物理学上圆周匀速运动的概念，同时考 查考生识图像能力，利用特别赋值排除选项的能力．教学中要向考生渗透数形结合思想．题 再往下发展就是要考虑质点在x 轴和 y 轴方向的速度，就得自用导数解决问题了．5．已知命题 1 p ：函数 22 x x y - =- 在R 上为增函数， 2 p ：函数 22 x xy - =+ 在R 上为减函数，第 7 题图 则在命题 1 q ： 12 p p Ú ， 2 q ： 12 p p Ù ， 3 q ： 12 () p p ØÚ 和 4 q ： 12 () p p ÙØ中，真命题是（ ） A ． 1 q ， 3q B ． 2 q ， 3q C ． 1 q ， 4q D ． 2 q ， 4q 命制意图与评析：考查简单逻辑用语中“与” （一假则假，都真则真） 、 “或” （一真则 真，都假则假） 、 “非” （真假相对）运算性质，事实还考查了函数 ( ) ( ) f x f x -- 是奇函数，( ) ( ) f x f x +- 是偶函数这个性质．回顾简单逻辑用语命题规律，07 年特称命题的否定，08年的充要条件，09 年以三角函数为背景的命题真假判断，2010 年考查“与” 、 “或” 、 “非” 运算性质是在预料之中的事，未来试题走向就不好判断了．6．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需补 种 2 粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为（ ） A ．100 B ．200 C ．300 D ．400命制意图与评析：考查了二项分布列及数学期望，同时考查了离散变量的线性关系的数 学期望公式 () E a b aE b x x +=+ ．由于在大题中没考查离散变量的分布列，作为整体考虑就 设计了这个小题，这道应是常见的基础题． 7．如果执行如图所示的框图，输入 N =5， 则输出的数等于（ ）A ．5 4 B ．45 C ．6 5 D ．5 6命制意图与评析：考查了简单的循环结构，并且把简单合 情推理结合起来了，事实上，对于k =1，2，3，…，时，一组数列是： 1 2 ， 2 3 ， 34，…关键要找到终止条件．这几年一直再考查程序框图，多数是在考查循环结构与数列结合的情 境，试题的走向比较稳定，从数学逻辑思维上去掌握框图．8．设偶函数 ( ) f x 满足 ( ) 38 f x x =- （ 0 x ³ ），则 ( ) { } |20 x f x ->=（）A ．{|2 x x <- 或 4} x >B ．{|0 x x < 或 4} x >C ．{|0 x x < 或 6} x >D ．{|2 x x <- 或 2}x > 命制意图与评析：考查了函数的奇偶性，函数图像及数形结合思想，属于考查综合能力的试题，考生平时养成勤作函数草图，理解不等式的含义，采用数形结合方法解决问题也是 比较简单的． 这几年考查函数的图像与性质的题目不多， 考生复习中容易忽视这方面的内容．9．若 4 cos 5 a =- ，a 是第三象限的角，则1tan2 1tan 2aa + - =（ ）A ． 1 2 - B． 1 2C．2 D． 2- 命制意图与评析：考查同角的三角函数关系式和半角的万能公式，也可以考查两角和的 正切公式的逆向思维和半角的公式， 应该说新课程对半角公式和同角关系式的要求降的很低了，现行教材考查这些东西相对有一定的难度，半角的万能公式属于考生了解的内容，平时 训练这类问题不多．三角函数中学对图像及性质，两角的和与差公式和欧拉变换平时训练的 较多，考生掌握的较好，从考试走向来看，今后要加强三角变换训练．10．设三棱柱的侧面垂直于底面，所有棱的长度都为a ，顶点都在球面上，则该球的表面积 为（ ）A． 2a p B ． 2 7 3 a p C． 2 11 3a p D． 2 5 ap 命制意图与评析：考查考生三棱柱内接于球的情形，考查考生分析球心所在的位置，事 实上考查了正三角形的中心到顶点的关系，要分析球心在两底中心连线的中点，各个顶点到 中心的距离都是球的半径，也考查了球的表面积公式．这几年考查球内接长方体情形较多， 考查球内接三棱柱不多，立体几何喜欢考查球内多面体的问题．11． 已知函数 ( ) |lg |,010 1 6,10 2x x f x x x <£ ì ï= í -+> ï î ， 若a ，b ，c 互不相等， 且 ( ) f a ( ) f b = ( ) f c = ，则abc 的取值范围是（ ）A ．(1，10)B ．(5，6)C ．(10，12)D ．(20，24)命制意图与评析：考查函数的图像与性质，图像的关键点的找出与利用，考查估算与预 测能力，利用函数图像解决问题．平时绘画草图对解函数题在平时复习中应引起注意． 12．已知双曲线E 的中心为原点， ( ) 3,0 F 是E 的焦点，过点F 的直线l 与E 相交于 A ，B 两点，且AB 的中心为 (12,15) N -- ，则E 的方程为（）A． 22 1 36 x y -= B ． 22145 x y -= C ． 22 1 63 x y -= D ． 22154x y -= 命制意图与评析：综合考查直线方程，直线与双曲线的位置关系，考查韦达定理的应用 及待定系数的思想方法，如果按提供的数据把草图画的规范可以直接看出结果．13．设 ( ) y f x = 为区间[0，1]上的连续函数，且恒有 ( ) 01 f x ££ ，可以用随机模拟方法近 似计算积分 ( ) 10 f x dx ò ，先产生两组（每组N 个）区间[0，1]上的均匀随机数 1 x ， 2 x ，…，N x 和 1 y ， 2 y ， …， N y 由此得到N 个点(,) i i x y （1 i = ，2， …，N ） ． 再数出其满足 ( ) i i y f x £ （ 1 i = ，2，…，N ）的点数 1 N ，那么由随机模拟方法可得积分 () 10 f x dx ò 的近似值为 1N N命制意图与评析：考查几何概型、积分的概念及教材中的随机模拟估计面积例题，考查 考生对数学概念与模拟实验的本质的理解，只要理解了题的含义，推断出结果并不难．试题 在选择题上面走向是向传统教材靠拢，但对必修三、选修 23教材的考查与挖掘的力度还是 很大．14．正视图为一个三角形的几何体可以是 （写出三种）命制意图与评析：开放性考查考生对空间几何的认识，考查考生识图与视图能力，考查考生的空间想象能力．考查三个视图轮廓线的概念．15．过点 ( ) 4,1 A 的圆C 与直线 10 x y --= 相切于点 (2,1) B ，则圆C 的方程为命制意图与评析：直线与圆相切的性质，圆的切线的性质及圆的方程，考查对基础知识 与基础概念的掌握．16．在△ABC 中，D 为边BC 上一点， 1 2BD DC = ， 120 ADB Ð= o， 2 AD = ．若△ADC的面积为33 - ，则 BAC Ð=命制意图与评析：考查了解斜角三角形的二大内容：三角形面积公式和余弦定理，也 考查了考生的转化思想和处理几何信息的能力．17．设数列{ } n a 满足 1 2 a = ， 211 32 n n n a a - + -= g． （Ⅰ）求数列{ } n a 的通项公式；（Ⅱ）令 n n b na = ，求数列{ } n b 的前n 项和 n S ．解：（Ⅰ）由 21 1 32 n n n a a - + -= g，令 1 n = ，2，…， 1 n - ， 得 1 21 32 a a -= g ，3 32 32 a a -= g ， 5 43 32 a a -= g ，………………231 32 n n n a a - - -= g ，上述 1 n - 个式相加，得351 3(222 n a a =++++ (23)2) n - + 1 2(14) 23 14n - - =+´ - 21 2 n - = ；（Ⅱ） n n b na = 1 4 2 n n = g，则 21 11 4(1424 22n k n k S k = ==++ å g g ... 4) n n + g 令 2 1424 n T =++ g g ... 4 n n + g .........，则 23 41424 n T =++ g g (1)(1)44 n n n n + +-+ ………②②—①得， 2 3(44 n T -=++ (1)4)4 n n n + +- 14(14) 4 14n n n + - =- - g ，所以， 44 (14)4 93 n n n n T =-+ g 44 (31)4 99 n n =+- g ， 因此， 22 (31)4 99nn S n =+- g ．命制意图与评析：考查数列的递推关系，等比数列前n 的求和公式，用叠加法求通项公 式，用错位相减的求和公式，这些都是数列的通性通法，但难度较大，错位相加考生学习 过程并不困难，但真正被考生掌握是特别困难的，新课程背景下的考生运算能力极差，是 中学数学教育中无法回避的短板，也是考生很难跨过的一道坎．18．如图，已知四棱锥P ABCD - 的底面为等腰梯形，AB ∥CD ，AC BD ^ ，垂足为H ， PH 是四棱锥的高，E 为 AD 中点． （Ⅰ）证明：PE BC ^ ； （Ⅱ）若 60 APB ADB Ð=Ð= o ，求直线PA 与平面PEH 所成角的正弦值． 解法一：（Ⅰ）延长EH 交BC 于F ，在△CAB 和△DBA 中， ∵ ABCD 为等腰梯形， ∴CB DA = ， CBA DAB Ð=Ð ， AB BA = ，∴△CAB ≌△DBA ， ∴ 35 Ð=Ð ，又∵EH 是直角三角形AHD 斜边的中线 ∴ AE EH = ， ∴ 12 Ð=Ð 4 =Ð ，在直角三角形AHD 中，1390 Ð+Ð= o ，即 4590 Ð+Ð= o ，∴ 90 HFC Ð= o ，即EH BC ^ ，又∵PH ^平面 ABCD ，BC Ì平面ABCD ， ∴PH BC ^ 图，又∵PH ，EH 是平面PEH 内两相交直线， ∴BC ^ 平面PEH ， 又∵ PE Ì平面PEH ∴ PE BC ^ ；（Ⅱ）由于△AHB 是等腰直角三角形，则 45 HAB Ð= o ，又因为 60 ADB = o ，则 130 Ð= o ，设 AB AP a == ，则 sin 45sin 60 AD AB = o o，得 6 3 AD a = ， 66EH a = ，设PH h = ，则 22 22() 22h a a a =-= ，作AK 垂直HE 延长线于K ，则AK ^平面PEH ， 则 2 sin 2 4 AK AH a =Ð=，所以， 2sin 4AK APK AP Ð== ， 故直线PA 与平面PEH 所成角的正弦值是 24．解法二：易知AC ，BD ，PH 两两垂直，建立空间直角坐标系H xyz - （如图），由于ABCD 为等腰梯形，设 AH BH m == ，CH DH n == （n m < ） ，HP h = ， 则 (,0,0) A m ， (0,,0) B m ， (,0,0) C n - ， (0,,0) D n - ， ( ) 0,0, P h ，由于E 是 AD 中点，则 (,,0) 22 m nE - ，3 分 （Ⅰ）∵ (,,) 22m nEP h =- uuu r ，∵ (,,0) BC n m =-- uuu r，∴ ()()00 22m n EP BC n m h =-´-+´-+´= uuu r uuu r g （此算式1 分，没有扣 1 分），∴ EP BC ^ uuu r uuu r，即PB BC ^ ；（Ⅱ）∵ (,0,) PA m h =- uuu r ， (0,,) PB m h =- uuu r ，∵ 60 APB = o，∴ 2 22221 cos60 2hm h m h == +´+ o，即 2222h m h =+ ，………①∵ (,,0) DA m n =-- uuu r ，∵ (0,,0) DB n m =-- uuu r ，∴ 2222 ()1cos 60 2 ()n n m nm n n m m n+ === +´++ o ，即 3 m n = ，………② 由①、②得， 3 m n = ， 3 h n = ，因为z 轴Ì平面PEH ，所以平面PEH 的法向量可设 (,1,0) x = n ，由于 (,,0) 22 m nHE =- uuu r ，所以， 00 22 m n HE x =-+= n uuu r g ，解之 n x m = ，即 3 (,1,0) 3= n ，所以， (3,0,3) AP n n =- uuu r，设线PA 与平面PEH 所成角是q ，则sin AP AP q = nnuuu rg uuu r 46 3n n =g2 4=， 故直线PA 与平面PEH 所成角的正弦值是2 4．（1 分） 命制意图与评析：以四棱锥为背景来考查空间几何线线垂直、直线与平面成角、平面 几何中等腰梯形的性质及空间向量应用中平面法向量的设置和用公理体系中直面成角的定 义与角的找法．应该说难倒考生道不空间几何问题， 而是平面几何问题和考生的分析问题与 解决问题的能力．中学数学教育中另一短板是学生的平面几何知识学的很不扎实，其原因除 课标因素外，另一个原因是中考的命题，初中不是基础教育的最终学段，中考中有相当多的 内容不列入考试， 致使很多内容初中没有学． 按新课标之理念， 初中有对称图形对折叠问题， 高中有合情推理问题， 命题者怎么不能想到考生中百分之九十的人不会用等腰梯形对角线的 对称性（AH =BH ，CH =DH ） ．在立体几何中设未知数问题本来几年前外省考试中已经是一种趋 势，但对于见到未知量就怕的新课标下的考生确是又是迈不过的一道坎．19．为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了 500位老年人，结果如下：性别是否需要志愿者男 女 需要 40 30 不需要160270（Ⅰ）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；（Ⅱ）是否有99% 的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？ （Ⅲ）根据（Ⅱ）的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中，需要志愿 者提供帮助的老年人的比例？说明理由． 附：2 ()P K k ³ 0．050 0．010 0．001 k3．841 6．635 10．828( )( )( )( )22()n ad bc k a b c d a c b d - =++++ 解：（Ⅰ）该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例估计为 304014% 500+ = ；（Ⅱ） 22500(4027016030)70430200300k ´-´ = ´´´ 9.967 = 6.635 > ，所以有99% 的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关； （Ⅲ）由（Ⅱ）知有99%把握认为老年人是否需要提供帮助与性别有关，抽样时按老年人的性别抽样，其中需要提供帮助男老年人的比例是 1408% 500P == ； 需要提供帮助女老年人的比例是 2 306% 500P == ．命制意图与评析：考查独立检验的 2×2 列联表，抽样调查方法，设计抽样方法搜集数 据和用样本估计总体等知识．试题难度不大，但对于这类问题中学教学中注意不够，是容易 被忽视的内容．这几年高考把课标 23 新增加的内容都已经考了，对于概率与统计离散数学 试题的走向不好判断了，应该回归过程事件分析中．20．设 1 F ， 2 F 分别是椭圆E ： 22221 x y a b+= （ 0 a b >> ）的左、右焦点，过 1 F 斜率为1的 直线l 与E 相交于A ，B 两点，且 2 AF ， AB ， 2 BF 成等差数列．（Ⅰ）求E 的离心率；（Ⅱ）设点 (0,1) P - 满足 PA PB = ，求E 的方程． 解（Ⅰ）由 2 AF ， AB ， 2 BF 成等差数列得，2 AF + 2 BF 2 = AB ，由椭圆定义 2 AF + AB + 2 BF 4a = ，所以， 43AB a = ，设 11 (,) A x y ， 22 (,) B x y ，直线 AB ： y x c =+ ，联立 2222220 b x a y a b y x c ì +-= í =+ î，得 2222222()2()0 b a x a cx a c b +++-= ，2 12 22 2a c x x b a +=- + ， 22212 22() a c b x x b a- = + （或△ 22222 4() a b b c a =-+ 248a b = ） 2121212 ()4 x x x x x x -=+- （弱智公式）（或 212 222222ab x x b a b a-== ++ V ）， 2 2 12 224 11|| ab AB x x b a =+-= + 4 3 a = ，即 2222222 a b a c ==- ，解之 2 2e = ； （或用焦半径公式： 12 ||2() AB a e x x =++ 2 222 2 c a a b a =- + 43a = ， 22 2 a c = ） （Ⅱ）设椭圆E ： 2222 1 2 x y b b += （ 0 b > ），由于 PA PB = ，则点 (0,1) P - 在线段 AB 的中垂线上 ， 设 AB 中点 00(,) M x y ， 联立 222220x y b y x bì +-= í =+ î ， 2 340 x bx += ， 120 2 23 x x b x + ==- ， 0 2 33 b b y b =-+= ， 线段AB 的中垂线： 2 () 33b y x b -=-+ ， 将点 (0,1) P - 代入得， 2 1 33 b b --=- ，解之 3 b = ，故椭圆E ： 221 189x y += ．命制意图与评析：考查直线方程和直线与圆锥曲线的关系，利用方程思想分析位置关系， 同时考查了等差数列的定义，都属于传统平面解析试题．如果使用焦半径公式做可能更简捷 些，命题者往往喜欢在新增内容和减弱处命题，但解答绝对是不超纲的，对数学试题而言超 不超纲，学问全在做答案上．平时命制试题要说让课标和考纲去见鬼吧！ 21．设函数 ( ) 2 1 x f x e x ax =--- ．（Ⅰ）若 0 a = ，求 ( ) f x 的单调性区间； （Ⅱ）若 0 x ³ 时， ( ) 0 f x ³ ，求a 的取值范围．解：（Ⅰ）若 0 a = 时， ( ) 1 x f x e x =-- 的定义域为(,) -¥+¥ ，( ) 1 x f x e ¢ =- ，令 ( ) 0 f x ¢ = ，得 0 x = ，作出 ( ) f x ¢ 的根轴图：（或当 (,0) x Î-¥ 时， ( ) 0 f x ¢ < ，当(0,) x Î+¥ 时， ( ) 0 f x ¢ > ），所以， ( ) f x 的减函数区间是(,0) -¥ ；增函数区间是(0,) +¥ ．（Ⅱ）（i ） 若 0 a > 时， ( ) 12 x f x e ax ¢ =-- 由于 1 x e x ³+ ， ( ) 2(12) f x x ax a x ¢ ³-=- ，(12)0 a x -= ，得 0 x = ，（i ）若120 a -³ ，即 1 2a £ 时，当 0 x ³ 时， ( ) 0 f x ¢ ³ ，而 (0)0 f = ，于是， 有 ( ) (0)0 f x f ³= ；（ii ） 若 12a > 时， 由于 0 x ¹ 时， 1 x e x >+ ， 可得 1 x e x - >- ，1 x e x - ->- ，所以， 22(1) xax a e - -<- ， ( ) 12(1)(1)(2) x x x x x f x e a e e e e a -- ¢ <-+-=-- ，当 (0,ln 2) x a Î 时， ( ) 0 f x ¢ < ，而 ( ) 00 f = ，于是存在 (0,ln 2) x a Î ，使得 ( ) (0)0 f x f <= ，即 12 a > 时， ( ) 0 f x ³ 在[0,) +¥ 不恒成立，综上所述：实数a 的取值范围是 1(,]2-¥ ．（Ⅱ）（另解：）（i ）若 0 x = 时， ( ) 0 f x ³ 成立时，a 是任意实数；（ii ）若 0 x > 时， ( ) 0 f x ³ 等价于 22 11 x e a x x x £-- ，令 ( ) 2 1 x e x g x x -- = ，由（Ⅰ）知1 xe x ³+ （仅 0 x = 等号成立）， 所以 ( ) 2 (1) 0 x e x g x x -+ => ， ( ) 3(1)2(1) x x e x e x g x x---- ¢ = ， 即 ( ) 3 (1)2(1)2 x x e x e x g x x ---+ ¢ = 3(1)2(1)x x e x e x+-- = 因为 0 x > ，要 ( ) 0 g x ¢ > ，只需(1)2(1)0 x x e x e +--> ，现在设 ()(1)2(1) x x h x e x e =+-- ，即只需 ()22 x x h x xe e x =-++ 0 > （x 0 > ）， 又 (0)0 h = ，则只需 ()0 h x ¢ > （x 0 > ）， （1）当 1 x ³ 时因为 ()21x x x h x e xe e ¢ =+-+ 1 x x xe e =-+ (1)1x e x =-+ (1)(1)1 x x >+-+ （ 1 x e x ³+ ）当 1 x ³ 时 2 0x => 即 () h x ¢ 0 > （2）当 0<x<1 时因为 ()21x x x h x e xe e ¢ =+-+ 1 x x xe e =-+ (1)1x e x =-+ 此时，令 ()(1)1 x t x e x =-+ ，则 () x t x xe ¢ = >0，所以 ()(0)0 t x t >= ， 综上所述： () h x (0)0h >= 所以 ( ) 3 (1)2(1)2 x x e x e x g x x ---+ ¢ = 3(1)2(1) x x e x e x+-- = 0 > ， 则 ( ) g x 在区间(0,) +¥ 上是增函数，因此， 0 lim () x a g x ® £ 2 0 1 limx x e x x ® -- = 0 1 lim 2 x x e x ® - = 0 1lim 22x x e ® == ， 综上所述：实数a 的取值范围是 1(,]2-¥ ．解法：令 ( ) 12 x g x e ax =-- （ 0 x ³ ），则 ( ) 2 x g x e a ¢ =- ，由于 0 x ³ ，则 1 x e ³ ，则 12a £ 时， ( ) 0 g x ¢ ³ ，所以 ( ) g x 在(0,) +¥ 是增函数，即在[0,) +¥ 是增函数，所以 ( ) ( ) 00 g x g >= ，所以，当 12 a £ 时， [0,) x Î+¥ 时， ( ) 0 f x ¢ ³ ， ( ) ( ) 00 f x f ³= ；当 12a > 时，存在 (0,ln 2) x a Î ，使得 ( ) 0 g x ¢ < ，则 ( ) g x 在[0,ln 2) a 是减函数，所以存在 (0,ln 2) x a Î ，使得 ( ) ()00 f x f <= ，所以 12a > 时， 0 x ³ 时， ( ) 0 f x ³ 不恒成立，综上所述实数a 的取值范围是 1(,]2-¥ ．命制意图与评析：考查了用导数解决函数的单调性问题，不等式成立的充分必要条件，分 类讨论思想．从解题机理分析，实际上是在考查问题的充分性和必要性．但解答不是中学数 学教育中的通性通法，中学教师和考生对解答的接受有一定的难度．附：一道新课标高考试题解法机理分析及其通性通法海南华侨中学 李红庆（570206）2010年全国统一招生考试理科 （新课标） 数学试卷的第21题： 设函数 ( ) 21 x f x e x ax =--- ．（Ⅰ）若 0 a = ，求 ( ) f x 的单调区间；（Ⅱ）若 0 x ³ 时， ( ) 0 f x ³ ，求a 的取值范围．这一道题看似简单其实是一道深思熟虑的试题，尤其是第（Ⅱ）问，命题者给出的答案 非常巧妙并且颇有思辨性，但命题者解法不是中学数学教育中的通性通法， 该解法中学教师 和中学生接受都有点困难． 基于此， 本文就命题者的解法机理分析及其通性通法谈一下看法．先看命题者给予的解答（记为方法 1）： 方法 1：（Ⅱ） ( ) 12 x f x e ax ¢ =-- ，由于 1 x e x ³+ ， ( ) 2(12) f x x ax a x ¢ ³-=- ，（i ）若120 a -³ ，即 12 a £ 时，当 0 x ³ 时， ( ) 0 f x ¢ ³ ，而 (0)0 f = ，于是，有 ( ) (0)0 f x f ³= ；（ii ）若 12a > 时，由于 0 x ¹ 时， 1 x e x >+ ，可得 1 x e x - >- ， 1 x e x - ->- ，所以，22(1) xax a e - -<- ， ( ) 12(1)(1)(2) x x x x x f x e a e e e e a -- ¢ <-+-=-- ，当 (0,ln 2) x a Î 时， ( ) 0 f x ¢ < ，而 ( ) 00 f = ，于是存在 (0,ln 2) x a Î ，使得 ( ) (0)0 f x f <= ，即 12a > 时， ( ) 0 f x ³ 在[0,) +¥ 不恒成立，综上所述：实数a 的取值范围是 1(,]2-¥ ．1、解题机理分析：从命题的逻辑关系来看，所谓的“若 0 x ³ 时， ( ) 0 f x ³ ，求a 的取值范围． ”实际上是 求“任意x Î[0,) +¥ ， ( ) 0 f x ³ ”的充要条件，解答中对参量a 的分类讨论“ （i ）若 12a £时，任意x Î[0,) +¥ ， ( ) 0 f x ¢ ³ ，所以当 0 x ³ 时， ( ) 0 f x ³ ” ，即“ 12a £ ”就是“任意x Î[0,) +¥ ， ( ) 0 f x ³ ”的充分条件， 并非是必要条件， “ （ii ） 若 12a > 时，存在 (0,ln 2)x a Î 时， ( ) 0 f x < ， ”是求的“任意x Î[0,) +¥ ， ( ) 0 f x ³ ”的必要条件，即“若 x "Î[0,) +¥ ，( ) 0 f x ³ ，则 1 2 a £ ”等价于“若 12a > 时，则存在 [0,) x Î+¥ ， ( ) 0 f x < ” ．从同一解题思想方法出发， 还可以选择两次求导数的方法来求 “任意x Î[0,) +¥ ， ( ) 0 f x ³ ” 的充要条件．方法 1：（Ⅱ） ( ) 12 x f x e ax ¢ =-- ，令 ( ) ( ) g x f x ¢ = ，则 ( ) 2 x g x e a ¢ =- ，由于 0 x ³ 时，1 x e ³ ，若 12a £ 时， ( ) 0 g x ¢ ³ （等号仅当 0 x = 时成立），所以， ( ) g x 在[0,) +¥ 上单调递增，且 ( ) 00 g = ，因此，当 0 x ³ 时， ( ) ( ) 00 g x g ³= ，即 ( ) 0 f x ¢ ³ ，且 ( ) 00 f = ，所以， ( ) ( ) 00 f x f ³= ；由于 ( ) 0 g x ¢ ³ 只是“任意x Î[0,) +¥ ， ( ) 0 f x ³ ”的充分条 件，同方法1 一样也要求“任意x Î[0,) +¥ ， ( ) 0 f x ³ ”的必要条件，以下同方法一． 方法 1、方法 2分别利用了若 0 x ³ ，则 1 x e x ³+ 1 ³ 的结论，事实上，对于 0 x ³ ，有更精确的结论是 2 11 2x e x x ³++ ，并且利用这个结论恰好可以进行变量分离、构造函数和化归成恒成立问题来来解决，而变量分离、构造函数和化归成恒成立问题也恰好是中学数学常用的通性通法和思想方法，并且可以直接得到“任意x Î[0,) +¥ ， ( ) 0 f x ³ ”的充要条件． 2、本题的通性通法：方法 3（参变量分离法）： （Ⅱ）（i ）若 0 x = 时， ( ) 0 f x ³ 成立时，a 是任意实数；（ii ）若 0 x > 时， ( ) 0 f x ³ 等价于 22 11 x e a x x x £-- ，令 ( ) 21 x e x g x x -- = ，令 21 ()1 2x K x e x x =--- ， ( ) 1 x K x e x ¢ =-- ，由于 1 x e x ³+ ， ( ) 0 K x ¢ ³ ，() K x 在(0,) +¥ 上是增函数，即在[0,) +¥ 上是增函数，且 (0)0 K = ， ()(0)0 K x K ³= ，即 2 1 1 2 xe x x ³++ ，而 ( ) 2 1 xe x g x x -- = 221 12 2xx >= ， 即 1 2 a £ ，综上所述：实数a 的取值范围是 1(,]2-¥ ．方法 4（化归思想）：（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当 0 x ³ 时， 1 x e x ³+ ，令 ( ) 211 2x h x e x x =--- （ 0 x ³ ），则 ( ) 10 x h x e x ¢ =--³ ，则 ( ) h x 在区间[0,) +¥ 上是增函数，且 ( ) 00 h = ，所以， ( ) 2 1 1 2 x h x e x x =--- 0 ³ ，即 2 11 2x e x x ³++ ，所以， ( ) 2(1) x f x e x ax =-+- 222 11 (12) 22 x ax a x ³-=- ，由于 ( ) 0 f x ³ 在 0 x ³ 时恒成立，即 21 (12)02 a x -³ 恒成立，则120 a -³ ，解之 1 2a £ ，故实数a 的取值范围是 1(,]2-¥ ．方法 3 和方法 4 都利用了 0 x ³ 时， 2 11 2x e x x ³++ 这个结论，事实上已经触及这个问题的底线，也就是泰勒（Taylor ）公式： 21 12 xe x x =+++… 1 !(1)!n n x x x e n n q + +++ ，01 q << ． 3、构造函数利用极限思想方法 5：（Ⅱ）（i ）若 0 x = 时， ( ) 0 f x ³ 成立时，a 是任意实数；（ii ）若 0 x > 时， ( ) 0 f x ³ 等价于 22 11 x e a x x x £-- ，令 ( ) 21 x e x g x x -- = ，由（Ⅰ）知 1 xe x ³+ （仅 0 x = 等号成立），所以 ( ) 2 (1) 0 x e x g x x -+ => ， ( ) g x ¢ 3(1)2(1) x x e x e x+-- = 因为 0 x > ，要 ( ) 0 g x ¢ > ，只需(1)2(1)0 x x e x e +--> ，现在设 ()(1)2(1) x x h x e x e =+-- ，即只需 ()22 x x h x xe e x =-++ 0 > （x 0 > ），又 (0)0 h = ，则只需 ()0 h x ¢ > （x 0 > ）， （1）当 1 x ³ 时，因为 ()21 x x x h x e xe e ¢ =+-+ 1 x x xe e =-+ (1)1 x e x =-+ (1)(1)1 x x >+-+ 2 0 x => ， 即 () h x ¢ 0 > （2）当 0<x<1 时因为 ()21x x x h x e xe e ¢ =+-+ 1 x x xe e =-+ (1)1x e x =-+ 此时，令 ()(1)1 x t x e x =-+ ，则 () x t x xe ¢ = >0， 所以 ()(0)0 t x t >= ， 综上所述： () h x (0)0h >= 所以 ( ) 3 (1)2(1)2 x x e x e x g x x ---+ ¢ = 3(1)2(1) x x e x e x+-- = 0 > ， 则 ( ) g x 在区间(0,) +¥ 上是增函数，因此， 0 lim () x a g x ® £ 2 0 1 limx x e x x ® -- = 0 1 lim 2 x x e x ® - = 0 1lim 22x x e ® == ， 综上所述：实数a 的取值范围是 1(,]2-¥ ．选考试题命题走向分析：选修 41：几何证明选讲试题命题走向主要考查圆内接四边形、圆的切线性质、圆周角与弦切角等性质、相似三角形、弧与弦 的关系．试题分两问，难度不大，图形比较简单，可以考作辅助线，但必须很简单，08 年 图形过于复杂了， 考生心理产生恐惧， 几何证明选讲， 主要把教材例题与习题落实了就行了． 选修 44：坐标系与参数方程命题走向试题命题分坐标系与参数方程轮换进行，就坐标系而言，主要考查图形的伸缩变换，极 坐标系与直角坐标系的坐标和方程的互化，在极坐标系下的点与线，线与圆的位置关系；就 参数方程而言，主要考查参数方程与普通方程的互化，圆、椭圆、直线参数的几何意义，直 线的参数方程在直线与圆锥曲线的位置关系中，弦长、割线长的计算问题．今年应该考坐标 系．选修 45：不等式选讲试题命题走向这几年几乎都在考绝对值不等式问题，也可以考查基本不等式，辽宁省试题就开始考查 3 个正数的基本不等式，由于参与新课标试题的省份参加的增加，不等式选讲也可以考查比 较法、综合法和分析法等不等式方法，但柯西不等式，排序不等式，应用数学归纳法证明不 等式还不会进行试题的命题中．22．如图，已知图上的弧 » » AC BD = ，过点C 的圆的切线与BA 的延长线交于点E ，证明：（Ⅰ） ACE BCD Ð=Ð ； （Ⅱ） 2 BC BE CD =´ ．（Ⅰ）证明：∵ » » AC BD = ，∴ ABC BCD Ð=Ð ，又∵ 点C 的圆的切线与BA 的延长线交于点E ∴ ACE ABC Ð=Ð （弦切角等于对应圆周角） ∴ ACE BCD Ð=Ð ；（Ⅱ）∵ » » AC BD = ，∴ ABC BCD Ð=Ð ，又∵ 点C 的圆的切线与BA 的延长线交于点E ∴ BCE CDB Ð=Ð （弦切角等于对应圆周角） ∴ △DCB ∽△CBE∴CD ：CB BC = ：BE ，∴ 2 BC BE CD =´ ．命制意图与评析：主要考查圆内接四边形、圆的切线性质、圆周角与弦切角等性质、相 似三角形、弧与弦的关系．试题相对于其他两选做题而言难度要小，由于考生对平面几何中 基本知识掌握的不好，得分情况应该与其他两道试题持平．23．已知直线 1 C ： 1cos sin x t y t a a =+ ì í = î （t 为参数），圆 2C ： cossin x y q q = ì í = î（q 为参数）， （Ⅰ）当 3pa =时，求 1 C 和 2 C 的交点坐标； （Ⅱ）过坐标原点O 作 1 C 的垂线，垂足为A ，P 为OA 的中点，当a 变化时，求点P 轨 迹的参数方程，并指出它是什么曲线．解：（Ⅰ）当 3 p a = 时，直线 1 C ： 1 1 23 2 x t y tì=+ ï ïíï = ï î （t 为参数），即为 3(1) y x =- ， 圆 2 C ： 221 x y += ，联立 22 3(1) 1y x x y ì =- ï í += ï î ，解之 1 0 x y = ì í = î 或 12 3 2 x y ì = ï ï í ï =- ï î ， 故 1 C 和 2C 的交点坐标是(1,0)和 13(,) 22- ； （Ⅱ）曲线 1 C 的普通方程为： sin cos sin 0 x y a a a --= ．点A 坐标为 2 (sin ,cos sin ) a a a - ，故当a 变化时，点P 轨迹的参数方程为2 1 sin 21 sin cos 2x y a a a ì = ï ï íï =- ï î （a 为参数） 点P 轨迹的普通方程为 22 11()416 x y -+= ，故点P 轨迹是圆心为 1(,0) 4 ，半径为 14的圆．（ （Ⅱ）（另解）设 (,) P x y ，则 (2,2) A x y ，由于 A 在直线 1 C 上，且OA ^ 直线 1 C ，则直线 1 C 的向量l = r(21,2) x y -， 所以，OP l = uuu r r g (21)20 x x y y -+= g ，即 22 11 ()416 x y -+= ，所以，点P 轨迹的参数方程是 11cos 441 sin 4x y q q ì =+ ï ï í ï = ï î （q 为参数），图形是圆． 命制意图与评析：考查圆和直线的参数方程及参数方程与 普通方程的互化知识，试题难度不大，但给予解答过于复 杂．试题与解答中有一个常识错误是“ P 点” ，应该是“点 P ” ．对于图形的表述是：名称+字母，如：三角形 ABC ．不 能写成：字母+名称：ABC 三角形．24．设函数 ( ) |24|1 f x x =-+ ． （Ⅰ）画出函数 ( ) y f x = 的图像；（Ⅱ）若不等式 ( ) f x ax £ 的解集非空，求a 的取值范围．解：（Ⅰ） ( ) 25(2) 23(2) x x f x x x -+< ì = í -³ î，当 0 x = 时， 5 y = ；当 2 x = 时， 1 y = ；当 4 x = ， 5 y = ，函数 ( ) y f x = 的图像是： （Ⅱ）（i ）若 0 a = 时，由于 ( ) 1 f x ³ ，显然( ) f x ax £ 解集是空集；（ii ）若 0 a > 时，由于不等式 ( ) f x ax £ 的解集非空，所以， 101202a - ³= - ； （iii ）若 0 a < 时， 2 a <- ；综上所述：a 的取值范围是 1 (,2)[,) 2-¥-+¥ U ．（Ⅱ）另解：令 ()() g x f x ax =- (2)5(2) (2)3(2) a x x a x x -++< ì= í --³ î ，不等式 ( ) f x ax £ 的解集非空，则2 (2)50 x a x < ì í -++< î 有解，或 2 (2)30 x a x ³ ì í--£ î有解，解之 2 a <- 或 1 2 a ³ ． 命制意图与评析：考查绝对值三角不等式，含绝对值的函数化为分段函数的化归思想， 含参量的处理方法及数形结合思想．试题比较常规，中学模拟考试中见较多，应该说难度不 大，但由于前面试题花的时间太多，后面没有太多时间思考，解答并不理想．。
2010年广东省高考数学(理科)试题特点分析
2010年广东省高考数学（理科）试题特点分析2010年广东省高考数学试题的命题坚持“有助于高校科学公正地选拔人才，有助于推进普通高中课程改革，实施素质教育”的原则，体现普通高中课程标准的基本理念，以能力立意，将知识、能力和素质的考查融为一体，全面检测考生的数学素养，考查考生对中学数学的基础知识、基本技能的掌握程度，对数学思想方法和数学本质的理解水平，以及进入高等学校继续学习的潜能。
试题涉及的知识面广，重难点突出，注重变式，不求怪题，试题难度比例呈现梯度性，秉承了往年广东省数学高考题的优点，对以往试题的不足做了改变和补充。
这套试题有以下几方面的特点：一、知识覆盖面广，重点突出2010年广东高考《考试大纲》一共列出了集合、函数概念与基本初等函数、立体几何初步、平面解析几何初步、概率、基本初等函数Ⅱ（三角函数）、圆锥曲线与方程等20个大知识点，100多个小知识点，大部分基本知识点都考到，体现了试卷对知识的覆盖面广的特点。
其中平面向量、三角函数（24分），集合、不等武(24分)，立体几何（19分），概率统计(22分)，平面解析几何（36分），函数（15分）等为考试的重点；平面解析几何和函数为考试难点。
题目符合考试大纲的要求：对数学基础知识的考查，既要全面又要突出重点。
支撑学科知识体系的重点内容占有较大的比例，构成试卷的主体。
二、立足教材，重视基础2010年广东高考数学题立足教材，重视基础，体现对教学、学习的明确要求。
试卷中很多题目都可以从教材找到与其相似的例题或练习题，例如试卷的第1题：两道题目如出一辙，考查集合交与并的概念，都可以用数轴法将题目内容具体化，然后解出结果。
教师在讲解例题的时候就要注意运用变式，注意学生对知识的全面掌握。
又如试卷第19题：19.某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐。
已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物、6个单位蛋白质和6个单位的维生素C；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物、6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C。
2010年高考试题——理科数学(广东卷)解析版
绝密★启用前 试卷类型：A2010年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(理科)本试卷共4页，21小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．作答选做题时．请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。
漏涂、错涂、多涂的．答案无效。
5．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合{}|21A x x =-<<，{}|02B x x =<<，则集合AB =A ．{}|11x x -<<B ．{}|21x x -<<C ．{}|22x x -<<D ．{}|01x x << 2．若复数11z i =+，23z i =-，则12z z ⋅=A ．4B ．2+ iC ．2+2 iD ．3 3．若函数()33xxf x -=+与()33xxg x -=-的定义域均为R ，则A ．()f x 与()g x 均为偶函数B ．()f x 为奇函数，()g x 为偶函数C ．()f x 与()g x 均为奇函数D ．()f x 为偶函数．()g x 为奇函数4．已知数列{}n a 为等比数列，n S 是是它的前n 项和,若2312a a a ⋅=，且4a 与27a 的等差中项为54，则5S = A ．35 B ．33 C ．3l D ．29 5．“14m <”是“一元二次方程20x x m ++=有实数解”的 A ．充分非必要条件 B ．充分必要条件 C ．必要非充分条件 D ．非充分非必要条件6．如图1，ABC 为正三角形，'''////AA BB CC ，'CC ⊥平面ABC ，''32BB ==且3AA 'CC AB =，则多面体'''ABC A B C -的正视图（也称主视图）是7． 已知随机变量X 服从正态分布(3,1)N ，且(24)0.6826P X ≤≤=，则(4)P X >= B ． C586 D8．为了迎接2010年广州亚运会，某大楼安装5个彩灯，它们闪亮的顺序不固定。
【高考数学】2010年普通高等学校招生全国统一考试真题及解析-(广东卷)
绝密★启用前2010年普通高等学校招生全国统一考试数学(文科)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合A=｛0，1，2，3｝，B=｛1，2，4｝，则集合A B=A ．｛0，1，2，3，4｝B ．｛1，2，3，4｝C ．｛1，2｝D ．｛0｝ 2．函数()lg(1)f x x =-的定义域是A ．(2，+∞)B ．(1,+∞)C ．[1，+∞)D ．[2，+∞)3．若函数()33x x f x -=+与()33x xg x -=-的定义域均为R ，则A ．()f x 与()g x 均为偶函数B ．()f x 为奇函数，()g x 为偶函数C ．()f x 与()g x 均为奇函数D ．()f x 为偶函数，()g x 为奇函数 4．已知数列{n a }为等比数列，n S 是它的前n 项和，若2·a a a ３１＝2，且4a 与72a 的等差中项为54，则S5=A ．35B ．33C ．31D ．295．若向量a =（1,1），b =（2,5），c =(3,x)满足条件 (8a －b )·c=30，则x =A ．6B ．5C ．4D ．36．若圆心在x 轴上、O 位于y 轴左侧，且与直线20x y +=相切，则圆O 的方程是A．22(5x y += B．22(5x y += C ．22(5)5x y -+= D ．22(5)5x y ++= 7．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是A ． 45B ．35C ．25D ．158．“x >0”成立的A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．非充分非必要条件D ．充要条件9．如图1，ABC∆为正三角形，'''////AA BB CC ，''''32CC BB CC AB ⊥===平面ABC 且3AA ，则多面体'''ABC A B C -的正视图(也称主视图)是10．在集合{a ，b ，c ，d}上定义两种运算⊕和⊗如下：那么d ⊗ ()a c ⊕=A ．aB ．bC ．cD ．d二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．（一）必做题(11～13题)11．某城市缺水问题比较突出，为了制定节水管理办法，对全市居民某年的月均用水量进行了抽样调查，其中4位居民的月均用水量分别为1x ，…，4x (单位：吨)．根据图2所示的程序框图，若1x ，2x ，3x ，4x ，分别为1，1.5，1.5，2，则输出的结果s 为 _________.12．某市居民2005～2009年家庭年平均收入x （单位：万元）与年平均支出Y （单位：万元）的统计资料如下表所示：根据统计资料，居民家庭年平均收入的中位数是_________，家庭年平均收入与年平均支出有_________线性相关关系.13．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若a=1，A+C=2B ，则sinA= _________.（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14．（几何证明选讲选做题）如图3，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB=AD=a，CD=2a，点E，F分别为线段AB，AD的中点，则EF= .15．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系（ρ，θ）（02θπ≤＜）中，曲线()cos sin1ρθθ+=与()sin cos1ρθθ-=的交点的极坐标为_________.三、解答题：本大题共6小题，满分80分。
2010年高考数学广东卷试题特点
2010年高考数学广东卷试题特点（一）整体平均分比去年高：文科数学平均分81.64，理科数学平均分94.25 （二）题型稳定：从2008—2010年文理分科三类题型（选择题，填空题，解答题）及其分值（文：50，20，80；理：40，30，80）不变，填空题中的选做题，内容方面删减了不等式，形式上文理科均为二选一（三）考点基本稳定：三大知识考点；两老（函数，几何）一新（概率和统计）。
2010年文科卷三大考点共118分，其中函数（包括三角函数，数列），几何（解析几何，立体几何），和概率统计各占43，48，27分。
而理科三大考点共占94分，函数，几何，概率统计各占29，43，22分。
（见表1）。
选择题和填空题大部分都是学生平时练习的题型（特别是文科），学生入手不难。
（四）考查内容基本稳定：在考查内容方面，广东卷保持了基本的稳定性。
对于集合、向量、三角函数、概率统计、立几、函数等内容的考查保持了稳定。
对于线性规划、不等式知识的考查则较往年加大了力度试题特点一、深入体现新课程改革的理念，重视新增内容的考查2010年广东卷继续深化新课程改革的理念，数学课程中新增内容的考查力度有所加大。
例如，文19、理19考查了线性规划问题；理6、理7、理13分别考查了三视图、正态分布和程序框图等知识；文9、文11、文12分别考查了三视图和概率统计相关知识，等等。
在高考卷中加大新增内容的分量，其意图是希望广大中学数学教师重视对这些新增内容的教学研究，以让考生能更好地掌握这些内容。
随着中学数学教师不断加深对新增知识的理解，高考中出现的新增内容将呈现持续增加的趋势特点二、从提高学生数学素养着眼，重视数学应用近年来，广东卷中对应用意识的考查给予了足够的重视，2010年考题也延续这一导向，文、理卷的应用问题比例均在20%以上。
例如，文19、理19考查的线性规划问题，文17、理17的概率统计题，文11题和理13题等，均考查了考生的数学应用意识，从学生的日常生活（用水）到产品的质量监控或统计分析，都在不同程度地考查了考生的数学应用能力。
da2010年高考数学广东(文)
π 3 ． 6 2
π ， 2
2π 4． π 2
π ． 5
∴ f ( x) 3sin 4 x
（3）由 f ∴ cos
π π 9 π 3sin 3cos ， 3 6 5 4 12
3 ． 5
x ≥ 0，y ≥ 0， x ≥ 0，y ≥ 0， 12 x 8 y ≥ 64， 3 x 2 y ≥ 16， 即 6 x 6 y ≥ 42， x y ≥ 7， 6 x 10 y ≥ 54. 3 x 5 y ≥ 27.
0) ， B(4， 3) ， C (2， 5) ， D(0， 8) 处的值分别是 z 在可行域的四个顶点 A(9，
设 A 表示随机事件“5 名观众中任取 2 名，恰有 1 名观众年龄为 20 至 40 岁” ，则 A 中的基 本事件有 6 种：
Y1 A1，Y1 A2，Y1 A3，Y2 A1，Y2 A2，Y2 A3 ，
故所求概率为 P ( A)
6 3 ． 10 5
F
18． （本小题满分 14 分） （1）证明： ∵点 E 为 AC 的中点，且 AB BC，AC 为直径， ∴ EB ⊥ AC ． ∵ EC ⊥ 平面 BED ，且 BE 平面 BED ， ∴ FC ⊥ EB ． ∵ FC∩ AC C ， A ∴ EB ⊥ 平面 BDF ． ∵ FD 平面 BDF ， ∴ EB ⊥ FD ． （2）解：∵ FC ⊥ 平面 BED ，且 BD 平面 BED ， ∴ FC ⊥ BD ． 又∵ BC DC ， ∴ FD FB 5a ． ∴ VE FBD
2
∴ sin 1 cos
4 ． 5
17． （本小题满分 12 分） 解： （1）因为在 20 至 40 岁的 58 名观众中有 18 名观众收看新闻节目，而大于 40 岁的 42