数形结合的思想方法--练习
高考数学运用数形结合的思想方法解题专项练习(含答案解析)
高考数学运用数形结合的思想方法解题专项练习（含答案解析）一、单选题1．（2023春·江苏盐城·高三盐城中学校考）若直线():40l x m y +−=与曲线x =有两个交点，则实数m 的取值范围是（ ）A ．0m <<B ．0m ≤<C ．0m <≤D ．0m ≤【答案】B【解析】x =()0,0，半径为2的圆在y 轴以及右侧的部分，如图所示：直线():40l x m y +−=必过定点()0,4， 当直线l 与圆相切时，直线和圆恰有一个交点，2=，结合直线与半圆的相切可得m =当直l 的斜率不存在时，即0m =时，直线和曲线恰有两个交点， 所以要使直线和曲线有两个交点，则0m ≤故选：B.2．（2023春·湖北随州·高三随州市曾都区第一中学校考阶段练习）已知x ，y 是实数，且22410x y x +−+=，则21y x ++的最大值是（ ）A B ．116C ．336D 【答案】D【解析】方程可化为()223x y −+=，表示以()2,021y x ++的几何意义是圆上一点与点A ()1,2−−连线的斜率，设21k y x =++，即()21y k x +=+，当此直线与圆相切时，斜率最大或最小，当切线位于切线AB 时斜率最大.=k =，所以21y x ++故选：D ．3．（2023春·陕西渭南·高一统考）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当[)0,x ∈+∞时，()24f x x x =−.若函数()()()R g x f x m m =+∈，则函数()g x 的零点个数不可能是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A【解析】函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当[)0,x ∈+∞时，()224(2)4f x x x x =−=−−,作出()f x 的图像如图：，故当0m =时，()()g x f x =有3个零点；当0m <或4m =时，()()g x f x m =+的图像与x 轴有两个交点，则函数有2个零点； 当04m <<时，()()g x f x m =+的图像与x 轴有4个交点，则函数有4个零点；由于()()g x f x m =+也为偶函数，结合()f x 图像可知，()()g x f x m =+不可能有1个零点， 故选：A4．（2023春·陕西西安·高三统考期末）已知函数()e ,03,0x x f x x x ⎧≥=⎨−<⎩， 若函数()()()g x f x f x =−−，则函数()g x 的零点个数为（ ） A ．1 B ．3 C ．4 D ．5【答案】D【解析】当0x >时，0x −<，()3f x x −=当0x <时，0x −>，()e xf x −−=()()()3e ,00,0e 3,0x x x x g x f x f x x x x −⎧−>⎪∴=−−==⎨⎪+<⎩，()()()()g x f x f x g x −=−−=−，且定义域为R ，关于原点对称，故()g x 为奇函数，所以我们求出0x >时零点个数即可，(0,)3e x g x x x =−>，()3e 0x g x '=−>，令()3e 0x g x '=−>，解得0ln3x <<，故()g x 在()0,ln 3上单调递增，在(ln3,)+∞单调递减，且(ln3)3ln330g =−>，而()226e 0g =−<，故()g x 在(ln 3,2)有1零点，1311e 03g ⎛⎫=−< ⎪⎝⎭，故()g x 在1(,ln 3)3上有1零点，图像大致如图所示：故()g x 在()0,∞+上有2个零点，又因为其为奇函数，则其在(),0∞−上也有2个零点，且()00g =，故()g x 共5个零点， 故选：D.5．（2023春·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨三中校考阶段练习）若函数()f x 的定义域为(),1f x −R 为偶函数，当1x ≥−时，()31xf x −=−，则函数()()12g x f x =−的零点个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．4【答案】D【解析】令310x −−≥解得0x ≤，令310x −−<解得0x >， 所以当1x ≥−时，()11,1033111,03xxxx f x x −⎧⎛⎫−−≤≤⎪ ⎪⎪⎝⎭=−=⎨⎛⎫⎪−+> ⎪⎪⎝⎭⎩， ()1f x −为偶函数，所以()1f x −的图像关于y 轴对称，所以()f x 的图像关于直线=1x −轴对称， 故作出()f x 的图像如下，令()()102g x f x =−=，即()12f x =， 由图像可知，()f x 的图像与12y =的图像共有四个交点， 所以函数()()12g x f x =−的零点个数为4个.故选:D.6．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）已知函数()f x 是定义域为R 的偶函数，且(1)f x −是奇函数，当01x 剟时，有()f x =()(2021)y f x k x =−−的零点个数为5，则实数k 取值范围是（ ） A ．15<2<1kB ．16<3<1kC k k =D ．k <k 【答案】C【解析】∵偶函数()f x ，()()f x f x ∴−=，(1)f x −是奇函数，得(1)(1)f x f x −=−−−，即 ()(2)f x f x =−−−，(2)()f x f x −−−=−，得4T =，()(2021)0f x k x −−=，即()y f x =与(2021)y k x =−的图像交点的个数，因为4T =，即为()y f x =与(1)y k x =−的图像交点的个数，因为()f x =k 应该在1k 与2k 之间或为3k ，213k k k ==k k =故选：C.7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()ln2,01ln 2ln 2,12xx f x x x ⎧<<⎪=⎨−+≤<⎪⎩，若存在02a b c <<<<使得()()()f a f b f c ==，则111ab bc ca++的取值范围是（ ） A ．20,93⎛⎫⎪⎝⎭B ．20,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．∞⎫+⎪⎪⎣⎭ D ．⎫⎪⎪⎣⎭【答案】A【解析】∵()()ln 2ln2ln 22x x ⎡⎤−+=−⎣⎦，∴ln 2y x =与()ln 2ln2y x =−+的图像关于直线1x =对称，作出()f x 的大致图像如图所示，易知2b c +=，由ln2ln2a b =，即ln 2ln 2a b −=，ln 40ab =，得14ab =， ∵112b <<，∴11124a<<，得1142a <<，∴()()421621112181244a a a a b c a c ab bc ca abc a a+++++++====−−. 设81t a =−， 则()1,3t ∈，111117184t ab bc ca t ⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭. 17t t+≥=t 故当()1,3t ∈时，令()1718h t t t +=+，()h t 单减，()()80136,33h h ==， 故1172018,943t t ⎛⎫⎛⎫++∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：A 二、多选题8．（2023·全国·高三专题练习）已知1F ，2F 是双曲线()2222:10,0x yE a b a b−=>>的左、右焦点，过1F 作倾斜角为30的直线分别交y 轴与双曲线右支于点,M P ，1PM MF =，下列判断正确的是（ ）A ．2160PF F ∠=，B ．2112MF PF =C ．ED ．E的渐近线方程为y =【答案】BCD【解析】如下图所示，因为1PM MF =，即M 为1PF 中点，O 为12F F 中点，所以2//OM PF ，因为12OM F F ⊥，所以212PF F F ⊥，所以212PF F π∠=，2112MF PF =，A 错误，B 正确； 由212PF F F ⊥知：22b PF a=，又122F F c =，1230PF F ∠=，2c =)222c a ac −=220e −，解得：e =C 正确；所以==c e a 223c a =，所以22222b c a a =−=，所以ba= 所以E 的渐近线方程为y =，D 正确．故选：BCD ．9．（2023·全国·高三专题练习）已知直线l 过抛物线2:8C y x =的焦点F l 与抛物线交于,P Q 两点（P 在第一象限），以,PF QF 为直径的圆分别与y 轴相切于,A B 两点，则下列结论正确的是（ ） A ．32||3PQ =B ．AB =C ．若M 为抛物线C 上的动点，(2,1)N ，则min (||||)4MF MN +=D ．若0(,M x 为抛物线C 上的点，则9MF = 【答案】ABC【解析】设直线PQ 的方程为：y x ﹣2），与28y x =联立整理可得：3x 2﹣20x +12=0，解得：x 23=或6，则P （6，，Q （23，；所以|PQ |=623++4323=，选项A 正确；因为F (2,0),所以PF ，QF 的中点分别为：（4，，（43，，所以A （0，，B （0，，所以|AB =， 选项B 正确；如图M 在抛物线上，ME 垂直于准线交于E ，可得|MF |=|ME |， 所以|MF |+|MN |=|ME |+|MN |≥NE =2+2=4，当N ，M ，E 三点共线时， |MF |+|MN |最小，且最小值为4，选项C 正确；对于选项D ，若0(M x 为抛物线C 上的点，则05x =，又4p =， 所以072pMF x =+=，选项D 错误. 故选：ABC.10．（2023春·河南·高三校联考）在三棱锥A BCD −中，平面ABD ⊥平面BCD ，BD CD ⊥，2BD CD ==，ABD △为等边三角形，E 是棱AC 的中点，F 是棱AD 上一点，若异面直线DE与BF AF 的值可能为（ ） A ．23B ．1C ．43D ．53【答案】AC【解析】由ABD △为等边三角形，取BD 的中点O ，连接AO ,则AO BD ⊥ 又平面ABD ⊥平面BCD ，且平面ABD ⋂平面BCD BD = 所以AO ⊥平面BCD ，由BD CD ⊥过O 作与CD 平行的直线为y 轴，分别以,OB OA 为,x z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，因为2BD CD ==，则()1,0,0B ，()()(1,0,0,1,2,0,D C A −−，所以12E ⎛− ⎝⎭．设()F a ，则12DE ⎛= ⎝⎭，()BF a =−，则28=13a =−或23a =−， 故1233AF AD ==或2433AF AD ==．故选：AC11．（2023秋·福建三明·高一福建省宁化第一中学校考阶段练习）已知G 为ABC 的重心，60BAC ∠=︒，2AB AC ⋅=，则||AG uuu r的可能取值为（ ）A ．23B ．1CD ．32【答案】CD【解析】如图，G 是ABC 的重心，记,,AB c AC b AB a ===， 则2211()()3323AG AD AB AC AB AC ==⨯+=+， 222222111()(2)(4)999AG AB AC AB AB AC AC b c =+=+⋅+=++，又1cos6022AB AC bc bc ⋅=︒==，即4bc =，所以2228b c bc +≥=，当且仅当2b c ==时等号成立，所以214(84)93AG ≥⨯+=．即233AG ≥CD 满足． 故选：CD ．12．（2023春·湖北黄冈·高三校考开学考试）已知ABC 的重心为G ，过G 点的直线与边AB ，AC 的交点分别为M ，N ，若AM MB λ=，且AMN 与ABC 的面积之比为920，则λ的可能取值为（ ）A ．43B ．32C ．53D ．3【答案】BD【解析】如图，()AM MB AB AM λλ==−，1AM AB λλ∴=+，即1AB AM λλ+=，设AC t AN =，则11()333tAG AB AC AM AN λλ+=+=+， M G N 、、三点共线，1=133t λλ+∴+，12t λ∴=−， 所以12AC AN λ⎛⎫=− ⎪⎝⎭，AMN ∴与ABC 的面积之比为920，191sin sin 2202AM AN A AB AC A ∴=⨯⨯， 即112029λλλ+⎛⎫⎛⎫−=⎪⎪⎝⎭⎝⎭，化简得22990λλ−+=，解得32λ=或3. 故选：BD13．（2023春·湖南长沙·高三长沙一中校联考）在三维空间中，定义向量的外积：a b ⨯叫做向量a 与b 的外积，它是一个向量，满足下列两个条件：①()a a b ⊥⨯，()b a b ⊥⨯，且a ，b 和a b ⨯构成右手系（即三个向量的方向依次与右手的拇指、食指、中指的指向一致，如图所示）；②a b ⨯的模sin ,a b a b a b ⨯=，(,a b 表示向量a ，b 的夹角)． 在正方体1111ABCD A B C D −中，有以下四个结论，正确的有（ ）A ．11AB AC AD DB ⨯=⨯ B ．111AC A D ⨯与1BD 共线C ．AB AD AD AB ⨯=⨯ D ．6BC AC ⨯与正方体表面积的数值相等【答案】ABD【解析】对于A ，设正方体的棱长为1，在正方体中1,60AB AC =︒，则111sin ,2AB AC AB AC AB AC ⨯===， 因为11//BD B D ，且1160AD B ∠=︒，所以1,120AD DB =︒，所以111sin ,2AD DB AD DB AD DB ⨯=== 所以11AB AC AD DB ⨯=⨯，所以A 正确；对于B ，1111AC B D ⊥，111AC BB ⊥，1111B B B D B ⋂=，111,B B B D ⊂平面11BB D D ，11AC ⊥平面11BB D D ，因为1BD ⊂平面11BB D D ，所以111BD AC ⊥，同理可证11BD A D ⊥， 再由右手系知，111AC A D ⨯与1BD 同向，所以B 正确；对于C ，由a ，b 和a b ⨯构成右手系知，a b ⨯与b a ⨯方向相反， 又由a b ⨯模的定义知，sin ,sin ,a b a b a b b a a b b a ⨯===⨯， 所以a b ba ⨯=−⨯，则AB AD AD AB ⨯=−⨯，所以C 错误； 对于D ，正方体棱长为a ，266sin 456BC AC BC AC a a ⨯=⋅︒=⨯， 正方体表面积为26a ，所以D 对． 故选：ABD ．三、填空题14．（2023·全国·高三专题练习）已知函数243,0()41,01x x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨−>⎪+⎩.若关于x 的方程()()()2[]2110f x m f x m +−−+=有6个不同的实数根，则m 的取值范围___________.【答案】7,5⎛− ⎝⎭【解析】因为243,0()41,01x x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨−>⎪+⎩，所以当0x ≤时，()243f x x x =++开口向上，对称轴为2x =−，()()min 21f x f =−=−，两零点为1,3x x =−=−；当0x >时，()411f x x =−+，则()f x 在()0,∞+上单调递减，零点为3x =，且()1f x >−； 由此作出()f x 的图像如图，.令()t f x =，则当13t −<<时，()t f x =有三个实数根，因为()()()2[]2110f x m f x m +−−+=有6个不同的实数根，所以()22110t m t m +−−+=必须有两个不等实根12,t t ，且()21,1,3t t ∈−，令()()2211g t t m t m =+−−+，则()()103021132Δ0g g m ⎧−>⎪>⎪⎪⎨−−<−<⎪⎪>⎪⎩，即()()()()212110932110621221410m m m m m m m ⎧−−−+>⎪+−−+>⎪⎨−<−<⎪⎪−−−+>⎩，解得75m −<<7,5m ⎛∈− ⎝⎭.故答案为：7,5⎛− ⎝⎭. 15．（2023春·全国·高一期末）已知函数241,1()log 3,1xx f x x x ⎧−⎪=⎨+>⎪⎩…集合21()2()02M x f x t f x t ⎧⎫⎛⎫=−++=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭∣，若集合M 中有3个元素，则实数t 的取值范围为________．【答案】{|0t t =或1}2t ≥【解析】令()f x m =，记21()(2)2g m m t m t =−++的零点为12,m m ，因为集合M 中有3个元素，所以()f x 的图像与直线12,y m y m ==共有三个交点，则，12001m m =⎧⎨<<⎩或12101m m =⎧⎨<<⎩或12001m m >⎧⎨<<⎩当10m =时，得0=t ，212m =，满足题意； 当11m =时，得12t =，212m =，满足题意；当12001m m >⎧⎨<<⎩时，(0)01(1)1202g t g t t =>⎧⎪⎨=−−+<⎪⎩，解得12t >. 综上，t 的取值范围为{|0t t =或1}2t ≥.故答案为：{|0t t =或1}2t ≥16．（2023秋·黑龙江绥化·高一校考期末）ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知30,12=︒=A b ，若ABC 有两解，写出a 的一个可能的值为__________．【答案】7（满足(612)a ∈，均可，答案不唯一） 【解析】由于满足条件的ABC 有两个，则sin b A a b <<，即612a <<.故答案为：7（满足(612)a ∈，均可，答案不唯一）．17．（2023·海南·统考模拟预测）已知函数()314f x x m π⎛⎫=++− ⎪⎝⎭在3,04π⎡⎤−⎢⎥⎣⎦上有3个零点1x ，2x ，3x ，其中123x x x <<，则1232x x x ++=______． 【答案】53π−【解析】令()0f x =314x m π⎛⎫++= ⎪⎝⎭，故()314f x x m π⎛⎫++− ⎪⎝⎭的零点为函数()314g x x π⎛⎫++ ⎪⎝⎭与函数y ＝m 交点的横坐标，作出函数g (x )在3,04π⎡⎤−⎢⎥⎣⎦上的大致图像：令3()42x k k πππ+=+∈Z ，解得()123k x k ππ=+∈Z ， 令1k =−，得4x π=−，则由图知2322=4x x ππ⎛⎫+=⨯−− ⎪⎝⎭，令2k =−，得712x π=−，则由图知12772=126x x ππ⎛⎫+=⨯−− ⎪⎝⎭， 故123752263x x x πππ++=−−=−． 故答案为：53π−﹒18．（2023春·辽宁沈阳·高三沈阳市第一二〇中学校考阶段练习）已知双曲线22:14x y C m −=与直线2y x =无交点，则m 的取值范围是_____． 【答案】(]0,16【解析】依题意，由22:14x y C m −=可得0m >，双曲线C 的渐近线方程为y =，因为双曲线C 与直线2y x =无交点，所以直线2y x =应在两条渐近线上下两部分之间，2≤，解得016m <≤，即(]0,16m ∈. 故答案为：(]0,16..。
(完整版)数形结合思想例题分析(最新整理)
数形结合思想例题分析
一、构造几何图形解决代数与三角问题： 1、证明恒等式：
例 1 已知 x 、 y 、 z 、 r 均为正数，且 x2 y2 z2 , z
求证： rz xy.
C
x2 r2 x2
y A
r
x
B z
分析：由 x2 y2 z2 , 自然联想到勾股定理。由 z x2 r 2 x2. 可以联想到
则 G、E、D 三点共线时，GE+ED=DG 最短。作出图形，延长 DB 至 F，使 BF//AG 且
BF=AG，连接 GF.
2
则在 Rt△DGF 中，DF=1+2=3，GF=AB=2
D
1 a Eb B
2
DG DF 2 GF 2 32 22 13
G
2
F
CE+DE 的最小值是 13.
即 a2 4 b2 1 的最小值是 13.
AB CF ＞ AC BE
当A 90时 , AB CF = AC BE .
3 /5
数形结合思想例题分析
综上： AB CF AC BE.
小结：以上两种证明方法，分别采用了三角法与代数法，较之纯几何证法来，易于想到。
例 7 如图，在正△ABC 的三边 AB、BC、CA 上分别有点 D、E、F.若 DE BC，EF AC，FD AB 同时成立，
射影定理。从而可以作出符合题设条件的图形（如图）。对照图形，由直角三角形面积的两种 算法，结论的正确性一目了然。
证明：（略） 小结：涉及到与平方有关的恒等式证明问题，可构造出与之对应的直角三角形或圆，然 后利用图形的几何性质去解决恒等式的证明问题。
2、证明不等式：
例 2 已知：0＜ a ＜1，0＜ b ＜1. 求证
高考数学理二轮专题复习典型例题在线：专题30 数形结合的思想方法
2
即 122cos 4 d2a2c 2b2，
所以 cos2 21cos2 a2c 2b2，
命题得证.
15
(6)利用“正余弦定理”构图 例 6 求 s i n 2 2 0 c o s 2 5 0 s i n 2 0 c o s 5 0 的 值 ． 解析:将原式变形为 sin2 20 sin2 40 2sin20 sin40cos120， 于是我们可联想构造一个三角形：其三个内角分 别为20、40、120，并设此三角形外接圆直径为1， 则此三角形三边长分别为sin20、sin40、sin120，
11
因为g(x)为偶函数且g(3)=0，故g(－3)=0，
从而F(－3)=F(3)=0. 作出满足条件F(x)的示意图如图所示， 由图易知，F(x)＜0的解集为 (－∞，－3)∪(0,3)．
点评：为什么奇函数的图象在原点两侧的单调性相 同，这就是我们成竹在胸，“胸”中有图：对奇函 数的图象特征烂熟于心；为什么在图中标了三个特 殊点：两个非F(x)图象中的点，一个F(x)图象中的点 即原点：这就是我们对奇函数性质了如指掌：
例 1求 函 数 fxx24x13x212x37
的 最 小 值 ．
-
4
解析：将函数式变形，得
f x x2 4x 13 x2 12x 37
x 22 0 32 x 62 0 12，
设A2,3，B 6,1，P x,0，则上述问题转化为求
-
PA PB 的最小值，如图点A关于x轴的对称点为 C (2， 3)，因为 PA PB PC PB BC 4 2，
由余弦定理可得 sin2 20 sin2 40 2sin20sin40cos120 sin2120 3 .
数形结合的思想方法(3)--巩固练习
数形结合的思想方法(3)--巩固练习1.设命题甲：0<x<5；命题乙：|x－2|<3，那么甲是乙的_____。
A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.若loga 2<logb2<0，则（）A. 0<a<b<1B. 0<b<a<1C. a>b>1D. b>a>13.如果|x|≤π4,那么函数f(x)＝cos2x＋sinx的最小值是（）A. 212-B. －212+C. －1D.122-4.如果奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数且最小值是5，那么f(x)的[-7,-3]上是（）A.增函数且最小值为－5B.增函数且最大值为－5C.减函数且最小值为－5D.减函数且最大值为－55.设全集I＝{(x,y)|x,y∈R}，集合M＝{(x,y)| yx--32＝1}，N＝{(x,y)|y≠x＋1}，那么M N∪等于（） A. φ B. {(2,3)} C. (2,3) D. {(x,y)|y＝x＋16.如果θ是第二象限的角，且满足cos θ2－sinθ2＝1-sinθ,那么θ2是（）A.第一象限角B.第三象限角C.可能第一象限角，也可能第三象限角D.第二象限角7.已知集合E＝{θ|cosθ<sinθ，0≤θ≤2π}，F＝{θ|tgθ<sinθ}，那么E∩F的区间是（）。
A. (π2,π) B. (π4,34π) C. (π,32π) D. (34π,54π)8.若复数z的辐角为56π，实部为－23，则z＝（）A. －23－2ｉB. －23＋2ｉC. －23＋23ｉD. －23－23ｉ9.如果实数x、y满足等式(x－2)2＋y2＝3，那么yx的最大值是（）A. 12B.33C.32D. 310.满足方程|z＋3－3ｉ|＝3的辐角主值最小的复数z是_____。
11.条件甲：x2+y2≤4；条件乙：x2+y2≤2x，那么甲是乙的（）.Ａ. 充分不必要条件Ｂ. 必要不充分条件Ｃ. 充分必要条件Ｄ. 既非充分条件又非必要条件12. 已知集合U=｛1，2，3，4，5，6，7｝，A=｛２，４，５，７｝，Ｂ＝｛３，４，５｝，则（A∪B）=（）.Ａ.｛１，６｝Ｂ.｛４，５｝Ｃ.｛２，３，４，５，７｝Ｄ.｛１，２，３，６，７｝13. “a=1”是“函数f（x）＝x-a在区间［１，＋∞）上为增函数”的（）.Ａ.充分不必要条件Ｂ. 必要不充分条件Ｃ.充要条件Ｄ. 既不充分也不必要条件14. 已知函数f（x）＝ax2+2ax+4（0<a<3），若x1<x2，x1+x2=1-a，则（）.Ａ. f（x1）>f（x2） B. f（x1）<f（x2）C. f（x1）=f（x2）D. f（x1）与f（x2）的大小不能确定15. 将函数y=sinωx（ω>0）的图象按向量a=（-，0）平移，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是（）.16. 已知向量a=（cosα，sinα），b=（cosβ，sinβ），且a≠±b，那么a+b与a-b的夹角的大小是.17. 若a>0，b>0，则不等式-b<<a等价于（）.18. 已知平面区域D由以A（1，3）、B（5，2）、C（3，1）为顶点的三角形内部和边界组成.若在区域D上有无穷多个点（x，y）可使目标函数z=x+my取得最小值，则m=（）.Ａ. -2Ｂ. －１Ｃ. １Ｄ. ４19. 已知点P（x，y）的坐标满足条件，点O为坐标原点，那么PO的最小值等于，最大值等于.巩固练习答案1：将不等式解集用数轴表示，可以看出，甲＝>乙，选A;2：由已知画出对数曲线，选B；3：设sinx＝t后借助二次函数的图像求f(x)的最小值，选D；4：由奇函数图像关于原点对称画出图像，选B；5：将几个集合的几何意义用图形表示出来，选B；6：利用单位圆确定符号及象限；选B；7：利用单位圆，选A；8：将复数表示在复平面上，选B；9：转化为圆上动点与原点连线的斜率范围问题；选D；10小题：利用复平面上复数表示和两点之间的距离公式求解,答案－32＋32ｉ。
数形结合思想专题练习 (含答案)
数形结合思想单元测试一、选择题．1．设全集U ＝R ，集合A ＝(1，＋∞)，集合B ＝(－∞，2)。
则ðU (A∩B)＝（ ） A ．(－∞，1)∪(2，＋∞) B ．(－∞，1)∪[2，＋∞) C ．(－∞，1]∪[2，＋∞) D ．(－∞，1]∪(2，＋∞)解析：涉及数集的运算，画出数轴可求{}A B=/12x x ⋂<<，进而得ðU (A∩B)＝(－∞，1]∪[2，＋∞)； 2．如图，直线A x ＋B y ＋C ＝0(AB ≠0)的右下方有一点(m ，n )，则A m +B n ＋C 的值（ ） A 与A 同号，与B 同号 B 与A 同号，与B 异号 C 与A 异号，与B 同号D 与A 异号，与B 异号A,D ，不妨设 A>0, 则B<0,C<0,因为点(m ，n )在直线的下方，所以A m +B n ＋C>0,故选B.3．设关于x 的方程sin x +3cos x +a =0在（0,π）内有相异解α、β.则a 的取值范围是（ ）； A (–2,–3)∪(–3,2) B (–2,–3) C (–3,2) D 不确定 解析：作出y =sin(x +3π)(x ∈(0,π))及y =–2a 的图象，知当｜–2a ｜＜1且–2a ≠23时，曲线与直线有两个交点，故a ∈(–2,–3)∪(–3,2).故选A 。
4.方程sin(x –4π)=41x 的实数解的个数是( )A.2B.3C.4D.以上均不对解析：由函数与方程思想知：方程的根转化为对应函数图像的交点的横坐标，分别作出函数y=sin(x –4π)和函数y=41x 的图像，由图像知交点个数为3个，故方程的根有3个。
5.已知f (x )=(x –a )(x –b )–2（其中a ＜b )，且α、β是方程f (x )=0的两根（α＜β)，则实数a 、b 、α、β的大小关系为( )A.α＜a ＜b ＜βB.α＜a ＜β＜bC.a ＜α＜b ＜βD.a ＜α＜β＜b解析：令g (x )= f (x ) +2=(x –a )(x –b )（其中a ＜b ),可知函数f (x )的图像向上平移2个单位可得函数g (x )，而方程g (x )=0的两个跟为a ，b ，结合图像可知α＜a ＜b ＜β。
七年级数学上册常用数学思想方法(xiuding)
七年级数学上册常用数学思想方法一、数形结合的思想。
利用数形结合，可以使研究的问题化难为易，化繁为简。
1、利用数轴解答：有一座3层楼房着火,消防员搭梯子爬往3楼去抢救物品,当他爬到正中1级时,2楼窗口喷出火来,他就往下退了3级,等到火过去了,他又爬上了7级,这时候屋顶有两块砖掉下来,他又后退了2级,幸好没有打着他,他又爬上8级,这时候他距离梯子最高层还有1级,问这个梯子共有多少级?2、.A,B两站间的路程为448千米,一列慢车从A站出发,每小时行驶60千米,一列快车从B站出发,每小时行驶80千米.问：（1)两车同时开出,相向而行,出发后多少小时相遇? （2）两车相向而行，慢车先开出28分钟，快车开出后多少小时两车相遇？（3）两车同时开出，同向而行，如果慢车在前，出发后多少小时快车追上慢车？3、3个球队进行单循环比赛（参加比赛的每个队都与其他参赛队各赛一场），那么总的比赛场数是多少？若有4个球队呢？若有5个球队呢？写出m个球队进行单循环比赛时总的比赛场数的公式。
二、整体代入的思想。
1、若a、b互为倒数，x、y互为相反数，m的绝对值等于3求：（1）5ab－m＋x－4＋y的值；（2）5x－ab＋＋5y的值；（3）x+y∕x³－ab＋m²－8的值。
2、已知x²＋x＋3的值为7，求2x²＋2x－3的值。
三、分类讨论的思想。
在数学问题中，当一个字母（或一个式子）有几种可能的取值；当一个图形有几种不同的位置或不同的形状时，往往需要分类讨论。
分类讨论应做到：分类标准必须统一，分类时不重复不遗漏。
1、已知线段AB=10cm,直线AB上有一点C,且BC=4cm,M是线段AC的中点，求AM的长。
四、割补的思想。
1﹙1﹚用含有a、b的式子表示阴影部分面积；﹙2﹚当a＝3，b＝2时，阴影部分的面积为多少？五、方程思想。
方程思想就是把未知数看成已知数，让代替未知数的字母和已知数一样参加运算，这是一种很重要的数学思想方法。
北师大版三年级上册数学第7招用“数形结合思想”解决差倍问题 (第四单元) 知识点梳理重点题型练习课件
答：篮球有30个，排球有10个。
2．在一道没有余数的除法算式中，除数比被除数少 66，商是7，被除数和除数各是几？
被除数是除数的7倍 差倍公式“差÷(倍数－1)＝1倍数”
除数：66÷(7－1)＝11 被除数：11×7＝77或11＋66＝77 答：被除数是77，除数是11。
类 型 2 用数形结合思想解决同增或同减差不变的差倍问题
第7招
第四单元 用“数形结合思想”解决差
倍问题
类 型 1 用数形结合思想解望小学体育组篮球的个数比排球多20个，篮球
个数是排球的3倍，篮球和排球分别有多少个？
差倍公式“差÷(倍数－1)＝1倍数”
排球：20÷(3－1)＝10(个)
篮球：10×3＝30(个)或10＋20＝30(个)
差为8
3．有两根铁丝，第一根长18米，第二根长10米，两
根铁丝各用去同样长的一段后，第一根剩下的长
度是第二根剩下长度的3倍，这两根铁丝各剩下 多少米？ 长度差没有变
差倍公式“差÷(倍数－1)＝1倍数”
第二根剩下的长度： (18－10)÷(3－1)＝4(米) 第一根剩下的长度：4×3＝12(米) 答：第一根铁丝剩下12米，第二根铁丝剩下4米。
类 型 3 用数形结合思想解决两数相等，一数减少另一数增 加的差倍问题
4．两个书架所放书的本数相等，如果从第一个书架
取出100本书放到第二个书架，那么第二个书架
书的本数是第一个书架书的本数的3倍，两个书
架原来各放书多少本？ 第二个书架书的本数比第
一个书架多100×2＝200(本) 差倍公式“差÷(倍数－1)＝1倍数”
现在第一个书架：100×2÷(3－1)＝100(本) 原来第一个书架：100＋100＝200(本) 原来第二个书架：100×3－100＝200(本) 答：两个书架原来各存书200本。
数形结合思想方法的运用及训练
数形结合思想方法的运用及训练（全部整理版）数形结合的思想方法(1)---应用篇一、知识要点概述数与形是数学中两个最古老、最基本的元素，是数学大厦深处的两块基石，所有的数学问题都是围绕数和形的提炼、演变、发展而展开的：每一个几何图形中都蕴藏着一定的数量关系，而数量关系又常常可以通过图形的直观性作出形象的描述。
因此，在解决数学问题时，常常根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，将数的问题利用形来观察，提示其几何意义；而形的问题也常借助数去思考，分析其代数含义，如此将数量关系和空间形式巧妙地结合起来，并充分利用这种“结合”，寻找解题思路，使问题得到解决的方法，简言之，就是把数学问题中的数量关系和空间形式相结合起来加以考察的处理数学问题的方法，称之为数形结合的思想方法。
数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。
数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。
在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围。
二、解题方法指导1．转换数与形的三条途径：①通过坐标系的建立，引入数量化静为动，以动求解。
②转化，通过分析数与式的结构特点，把问题转化到另一个角度来考虑，如将转化为勾股定理或平面上两点间的距离等。
③构造，比如构造一个几何图形，构造一个函数，构造一个图表等。
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1. 2. 3.数形结合的思想方法---练习设命题甲：0<x<5;命题乙：|x — 2|<3，那么甲是乙的 ________ A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.若 log a 2<log 匕2<0,则( A. 0<a<b<1 B. 0<b<a<1 n如果凶w ,那么函数4B.4.如果奇函数f （x ） A.增函数且最小值为- C.减函数且最小值为―5. 7. 8. 9. 既不充分也不必要条件C. a>b>1D. b>a>1f(x) = cos 2x + sinx 的最小值是(在区间[3,7] 5 C. D.上是增函数且最小值是 5,那么f （x ） B.增函数且最大值为—5 减函数且最大值为-5D.于（)A.B. {(2,3)}C. (2,3)如果0是第二象限的角，且满足 cos -0 ------ sin - 2A.第- 象限角B.第三象限角C. 可能第一设全集 I = {(x,y)|x,y € R}，集合 M= {(x,y)|D. {(x,y)|y6. 已知集合 E = { 0 |cos 0 <sin 若复数z7t的[-7,-3] 上是（）= 1} , N = {(x,y)|yx 2工x + 1}，那么M U N 等-=.1_sin 0 ,那么是(2 2=x + 1象限角，也可能第三象限角 D. 0, O W0W 2n }, F = { 0 |tg 0 <sin 0 },那么 E Q F 的区间是（第二象限角3 nT ) C.(3nn, )D.(一 5 n f -的辐角为W ，实部为-2・、3,A. — 2 .3 — 2 iB. — 2.3 + 2 iC.如果实数x 、y 满足等式 (x — 2) 2 + y 2= 3, 则z =(D.—2 3 — 2 -. 3 i那么'的最大值是x1 A.-2B. C. D.10.满足方程|z + 3 — .3 | =3的辐角主值最小的复数11.条件甲：x 2+y 2<4;A .充分不必要条件 C .充分必要条件12.已知集合 U= { 1 ,x 2+y 2 w 2x 那么甲是乙的（条件乙： B .必要不充分条件D .既非充分条件又非必要条件2, 3, 4, 5, 6, 7} , A= {2,4,5,7}, B={3,4,5},则A . {1,6}B . {4,5}C . {2,3,4,5,7} D. {1,2,3,6,13. “ a=1是函数f (x) = x-a在区间［1,+ *)上为增函数"的(A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件14. 已知函数f (x) = ax2+2ax+4 (0<a<3),若x i<x2, x i+x2=1-a，则(A . f (x i) >f (X2) C. f ( x i) =f ( X2)B. f (x i) <f (X2)D. f (x i)与f ( X2)的大小不能确定i5. 将函数y=sin ax ( 3 >0 )的图象按向7} ) 量(-,0)平移，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是( )16. _______________________________________________________________________________________ 已知向量a= (cos a sin ), b= (cos 3, sin p,且a z±,b 那么a+b 与a-b 的夹角的大小是 _____________________________ .17. 若a>0, b>0，则不等式-b<18.已知平面区域 D 由以A （ 1，3）、B （5，2）、C （3，1）为顶点的三角形内部和边界组成 •若在区域D 上有无穷多个点（x ，y ）可使目标函数 z=x+my 取得最小值，则 m=（）.<a 等价于（）A . -2B . -119.已知点P (x, y)的坐标满足条件，点0为坐标原点，那么PO的最小值等于等于•巩固练习答案1：将不等式解集用数轴表示，可以看出，甲= ＞乙，选A；2:由已知画出对数曲线，选B;3:设sinx = t后借助二次函数的图像求f(x)的最小值，选D;4：由奇函数图像关于原点对称画出图像，选B;5:将几个集合的几何意义用图形表示出来，选B;6:利用单位圆确定符号及象限；选B;7:利用单位圆，选A;&将复数表示在复平面上，选B;9:转化为圆上动点与原点连线的斜率范围问题；选D;3 V310小题：利用复平面上复数表示和两点之间的距离公式求解，答案—一+ i°2 211.【点拨】画一张示意图如图1•圆面x2+y2W 2x(包括圆周)被另一个圆面x2+y2W4包含,,最大值结论不是一目了然了吗？选 B.12. 思路分析：B）是由不属于A或不属于E的元素组成的集显然选合,择E、C中都含有集合A、B的元素，而选择支A中｛1,6｝表示既不属于A又不属于E的元素组成的集合，即 { 1 , 6 }( A ) UB），从而排除了选项A、E、C，选D(2).利用文氏图，直观求解，不难得到选项D3 ) . 由 ((A PB)，显然，A AB={4,5}, 故(A AB) = {1,2,3,6,7},选D4) . 直接可求得 A = { 1 , 3 , 6 },B = { 1 , 2 6 7},则A ) U( B) = 11,2,3,6,7},选D .【点评】思路1是从集合的概念出发的针对选择题的排除法，思路2、思路3、思路4都是针对解答题的方法, 思路2体现了数形结合的解题思想, 思路3是区别于思路4的利用德摩根定律解题的间接法.但我们认为思路2最简捷.13. 【分析】本题是以函数f(x) =x-a 的图象为依托构造的一道考查充要条件的题目,要求学生要熟悉函数y=x、y=x、y=x－a 的图象之间的关系,并要理解充分条件和必要条件的含义.思路分析：(1).若a=1，函数f (x) =x-1图象是由函数y=x的图象向右平移1个单位得到的，所以其在区间［1, +〜上为增函数；反之，函数 f (x) =x-a在区间［1,+ x)上为增函数，a不一定等于1,如a=0,所以选A .(2 ). 函数f ( x ) =x-a在区间［a , + x)上为增函数的充要条件为a<1,且，所以选A .【点评】思路1紧扣概念,借助图象性质理性分析,着实有效.思路2从“函数f( x) =x-a 在区间［1,＋ x)上为增函数”的充要条件入手，学会用集合思想解决有关条件命题应引起重视14. 【分析】本题考查含参数的二次函数问题,题设表述简洁,问题的实质是比较两个函数值的大小,解决问题的关键是确定x1、x2 的相对位置.思路分析：(1).易得f (x i) -f (X2)=a (x i-x2)( x i+ X2+2)，由已知可得，a>0, x i-x2<0, x i+ x2+2 = 3 —a>0,从而f (x i) <f (X2)，故选E .9( 2) . 由f( x) =a( x+1) 2+4-a 知对称轴为x=-1 ，又0<a<3，则有，结合函数图象可以看出，其弦的中点在对称轴右侧，所以 f (X i) <f (X2)，故选E .(3).由已知可得xi、x2不可能都在对称轴左侧，若xi、x2在对称轴两侧，则X1<-1<X2，又0 <a<3, 从而可知x2与对称轴的距离X2+1大于x i到对称轴的距离—1—X1 ,所以f (x i) <f ( X2)，故选E .【点评】思路1直接比较f (x i)与f (X2)的大小，容易思考；思路2和思路3都是依赖二次函数的图象性质解题，简捷明快，体现了数形结合的优越性，其本质都是在确定x i、X2的相对位置.i5. 【分析】已知三角函数图象求解析式是高考中常考题，但本题又结合向量知识使得试题更加综合化、更加灵活化，难度进一步加深，当然入口也更宽.思路分析：(i ). 直接法：由平移得图象所对应的解析式为y=s in 3) ，再由图象五点对应法x+i0，所以3=2,因此选C2) . 排除法：由图象可得函数过点(,—1),即时，y=-1，对A 、E 、C 、D 四个选项检验得选项C 正3 ). 反向检验法： 平移后的图象由 a=()=sin wx 排除E 、 D ,再由x= 确.,0)得 y=sin wx(3 >0),由 y=f (x-x=时，y=-i，得选项c正确.【点评】三角函数图象与性质、向量是本题涉及的主要知识点，作为选择题我们推崇方法2的简捷；方法1直接法中五点对应要求掌握及正确运用；方法3反过来考虑有时也是一条思路，这里我们不推崇16. 【分析】本题是一道涉及向量的坐标表示、坐标运算、向量运算的几何意义等知识点的常规问题，解题的入口较宽，对训练我们思维的发散性有价值.思路分析：1)根据题意知，所求结论与a、B的大小无关，不妨取a =0, 3 =，则a= (1,0), b= (0,1),从而a+b= (1,1), a-b=(l,—l)，所以<a+b, a-b>=90 .(2).因为a+b= (cos a +cos, 3sin a +sir) 3 a-b= (cos a cos 3 sin -sin )，所以( a+b) • ( a-b)=cos2 a-cos2 3 +sin2-s a in2 3 =, 0故<a+b, a-b>=90 °.3 ) 如图，在单位圆中作再作OAPB=a-b由于=a+bOAPB 是菱形丄,即(a+b)±( a-b),故<a+b, a-b>=90°(4).不难发现a=b，所以(a+b) - (a-b) =a2-2=0，故<a+b, a-b>=90 .【点评】思路 1 是基于该题答案的不变性而采用了特殊化思想；思路 2 采用了直接运算的方法；思路 3 抓住了向量运算的几何意义,利用了数形结合的思想；思路 4 挖掘了两向量模为 1 的隐含条件,并运用了向量的符号运算.这4种思路各有特色,都是处理本题的较好方法.17. 【点评】从同解变形是等价变形的角度考查了解不等式.思路分析：( 1 ) . 求解对照,过程略.(2)将a、b特殊化为具体数字，如令a=b=1，解后对照选项.(3) . 从数形结合的角度考虑.分别作y=-b, y=a, y= 的图象(图略),可知选D.【点评】函数、方程、不等式密不可分,对本题而言思路 3 最简捷.18.解：由A (1, 3)、B (5, 2)、C (3, 1 )的坐标位置知道,△ ABC所在的区域D在第一象限，故x>0 ，y>0. 由z=x+my 得y=- x+ ,它的斜率为-1）若m>0 ，则要使z=x+my 取得最小值，必须使最小，- =k AC= ，即m=1 时满足在区域D 上有无穷多个点使得z=x+my 取得最小值；当不平行于kAC 时，满足条件的点只有一个点，这不符合要求.( 2)若m<0 ，则要使z=x+my 取得最小值，必须使最大，此时满足条件的点也只是一个点，不符合要求.(3)若m = 0,满足条件的点也只是一个点，不符合要求综上可知，m=1.选C.【点评】画出平面区域D，结合图形分类讨论是解决本类问题的基本方法19. 解：画出如图所示的平面区域.观察图形易知：POmin=AO=POmax=CO= .【点评】在平面区域内求二元二次函数最值，一般用数形结合的方法21。