流形学习的理论和方法
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流形学习1. 什么是流形1. 两个例⼦：现在我们想表⽰⼀个圆，在平⾯直⾓坐标系中，这个圆可以被⼀个⼆维点集{(x,y)| x^2 + y^2 <=R^2}表⽰。
所以圆是⼆维的object在极坐标系中，这个圆可以这样表⽰：圆⼼在原点，然后给定半径R。
所以圆是⼀维的object上述描述可以画个两个图(更加形象，有助于理解)2. 流形的定义：流形学习的⼀个观点：任何现实世界中的object均可以看做是低维流形在⾼维空间的嵌⼊(嵌⼊可以理解为表达)，举例说：圆是⼀维流形在⼆维空间的嵌⼊，球是⼆维流形在三维空间的嵌⼊（三维坐标系中的球可以⽤⼆维的经纬度来表达）流形学习的观点是认为，我们所能观察到的数据实际上是由⼀个低维流形映射到⾼维空间上的。
由于数据内部特征的限制，⼀些⾼维中的数据会产⽣维度上的冗余，实际上只需要⽐较低的维度就能唯⼀地表⽰。
我个⼈的感觉：这个好像是个拓扑变换的感觉，你看到的是⾼维的数据点，但是可以借助⼀些拓扑变换，转化为低维的表达(但是这种低维表达要确保某些“合理性”)2. 流形有什么⽤1. outline数据⾮线性降维刻画数据的本质2. 流形⽤于数据降维⾼维空间有冗余，低维空间没冗余。
也就是说，流形可以作为⼀种数据降维的⽅式。
传统很多降维算法都是⽤欧⽒距离作为评价两个点之间的距离函数的。
但是仔细想想这种欧⽒距离直觉上并不靠谱。
“我们只是看到了三维数据，就要⽤三维坐标系内的尺度去对事物进⾏评价？”总觉得有些怪怪的。
举例来说：你要测量从⼴州到深圳的距离，有两种做法：（1）基于已有的经纬度地图体系，拿个卷尺到地球仪上固定两点做个测量；（2）构建关于地球的三维坐标系，在地球上这两点之间打洞连个直线测量。
现任正常⼈都是选择第⼀种⽅案。
再⽐如我们想基于距离对⼴东省内所有⼩城市进⾏聚类，聚合形成⼏个超⼤城市，这个时候你⽤的距离当然是地表距离（⽤经纬度体系构建的⼆维地图来计算距离），⽽不会说要根据三维坐标系下的两点之间的欧⽒距离⽽对于降维算法来说，如果使⽤传统的欧⽒距离来作为距离尺度，显然会抛弃“数据的内部特征”。
《2024年流形学习算法数据适用性问题的研究》范文
《流形学习算法数据适用性问题的研究》篇一一、引言随着大数据时代的来临，数据分析和处理已成为各领域研究的重要一环。
流形学习作为一种新型的非线性降维方法，在处理复杂数据时展现出强大的能力。
然而，流形学习算法在数据适用性方面仍存在诸多问题。
本文旨在研究流形学习算法在数据适用性方面的问题，分析其存在的挑战和解决方法，以期为相关研究提供有益的参考。
二、流形学习算法概述流形学习是一种基于流形结构的降维方法，通过寻找高维数据在低维流形上的投影，实现数据的降维和可视化。
流形学习算法包括局部线性嵌入、拉普拉斯特征映射、等距映射等方法，具有优秀的非线性降维能力，能够有效地揭示数据的内在结构。
三、流形学习算法数据适用性问题尽管流形学习算法在非线性降维方面表现出色，但在实际应用中仍存在数据适用性问题。
这些问题主要表现在以下几个方面：1. 数据分布问题：流形学习算法假设数据分布在低维流形上，当数据分布不满足这一假设时，算法的性能会受到影响。
例如，当数据具有复杂的分布或噪声干扰时，算法的准确性会降低。
2. 参数设置问题：流形学习算法中涉及许多参数设置，如近邻数、核函数等。
这些参数的设置对算法的性能具有重要影响。
然而，目前尚无有效的参数设置方法，往往需要依靠经验或试错法，导致算法的稳定性和可解释性较差。
3. 数据量问题：流形学习算法在处理大规模数据时，计算复杂度较高，容易陷入过拟合。
此外，当数据量不足时，算法的降维效果可能不理想。
4. 实际应用问题：不同领域的数据具有不同的特性和需求，如何将流形学习算法应用于具体领域，解决实际问题，仍需进一步研究。
四、解决方法与策略针对流形学习算法在数据适用性方面的问题，本文提出以下解决方法与策略：1. 改进算法适应性：针对不同类型的数据分布，可以尝试改进流形学习算法的适应性。
例如，采用更灵活的核函数或引入其他降维技术来提高算法的鲁棒性。
2. 优化参数设置：针对参数设置问题，可以尝试采用自动调参技术或贝叶斯优化等方法来优化参数设置，提高算法的稳定性和可解释性。
流形学习算法综述
流形学习算法综述流形学习(manifold learning)是一种无监督学习方法，用于在数据集中发现潜在的低维流形结构。
与传统的线性降维方法相比，流形学习算法可以更好地捕捉非线性结构，并在保持数据结构的同时降低数据的维度。
在本文中，我们将综述流形学习算法的主要方法和应用领域。
首先，我们将介绍几种常用的流形学习算法。
其中一种是主成分分析(PCA)。
PCA是一种线性降维算法，通过计算数据的协方差矩阵的特征向量，将数据投影到低维空间中。
然而，PCA只能发现线性结构，对于复杂的非线性数据，效果较差。
另一种常用的算法是多维缩放(MDS)，它通过最小化高维数据点之间的欧氏距离和降维空间点之间的欧氏距离之间的差异，来获取降维的坐标。
然而，MDS在处理大规模数据集时计算复杂度较高。
还有一种被广泛研究的算法是局部线性嵌入(LLE)，它通过保持每个样本与其邻居样本之间的线性关系来进行降维。
LLE能够很好地处理非线性结构，但对于高维稀疏数据表现不佳。
除了以上提到的算法，还有一些流行的流形学习方法。
其中之一是等距映射(Isomap)，它通过计算数据点之间的最短路径距离来构建邻接图，然后使用MDS将数据映射到低维空间。
Isomap能够很好地处理数据中的非线性流形结构，但对于高维数据计算开销较大。
另一个流行的算法是局部保持投影(LPP)，它通过最小化数据点之间的马氏距离来进行降维。
LPP能够保持数据的局部关系，并且对于高维数据有较好的效果。
除了上述算法，还有一些最新的流形学习算法。
其中之一是随机投影流形学习(SPL)，它使用随机投影技术来近似流形嵌入问题，从而提高了运行效率。
另一个新算法是自编码器(Autoencoder)，它通过训练一个神经网络来学习数据的非线性特征表示。
自编码器在流形学习中被广泛应用，并取得了很好的效果。
流形学习算法在许多领域中有广泛的应用。
其中一个应用是图像处理领域，例如图像分类和人脸识别。
流形学习可以帮助将图像特征降维到低维空间，并保留图像之间的相似性。
通俗易懂流形
通俗易懂流形一、引言1.1 任务背景流形是拓扑学中一个重要的概念，对于理解空间的形状、结构和性质具有重要意义。
然而，对于非数学背景的人来说，理解流形的概念常常是一件困难的事情。
因此，本文旨在以通俗易懂的方式介绍流形的概念，并深入探讨其基本性质和应用。
1.2 流形的定义在数学中，流形是一种局部上与欧几里德空间同胚的拓扑空间。
简单来说，流形可以看作是一种具有平滑结构的空间，它在局部上与我们熟悉的欧几里德空间类似。
流形可以是一维、二维、三维甚至更高维度的，具有各种各样的形状。
二、流形的性质2.1 流形的维度流形的维度是指流形的拓扑维度，它可以是整数或实数。
一维流形可以看作是一条曲线，二维流形可以看作是一个曲面，而三维流形可以看作是我们熟悉的三维空间。
流形的维度可以帮助我们理解流形的结构和性质。
2.2 流形的局部特征流形在局部上与欧几里德空间同胚，这意味着在流形上的每一点都存在一个与之相对应的欧几里德空间中的点。
我们可以使用局部坐标系来描述流形上的点，这种描述方式可以帮助我们理解流形的局部性质。
2.3 流形的全局结构流形的全局结构可以通过连接不同局部坐标系的变换关系来描述。
这些变换关系被称为流形上的坐标变换，它们具有平滑性和可逆性的特点。
通过研究流形的坐标变换，我们可以揭示流形的整体结构和属性。
2.4 流形的测地线在流形上，我们可以定义测地线来描述物体在流形上的运动轨迹。
测地线是沿着流形上曲线的最短路径，类似于欧几里德空间中的直线。
测地线具有很多有趣的性质，它们可以帮助我们理解流形的几何性质和运动规律。
三、流形的应用3.1 流形在物理学中的应用流形在物理学中有广泛的应用，特别是在描述时空结构和引力场的理论中。
爱因斯坦的广义相对论就是基于流形的概念建立的，它揭示了时空的曲率与物质分布之间的关系。
流形理论在量子场论、粒子物理学和宇宙学等领域也有重要应用。
3.2 流形在计算机科学中的应用在计算机科学中，流形在图像处理、模式识别和机器学习等领域发挥着重要作用。
详解机器学习算法流形学习
详解机器学习算法流形学习
在格物汇之前的文章中，我们系统性的介绍了特征抽取的经典算法——主成分分析PCA与线性判别分析LDA的原理、应用场景，以及这两种算法的局限性和改进方法。
今天的格物汇要给大家介绍一种新的机器学习算法——流形学习。
流形学习
流形学习是一类借鉴了拓扑流形概念的降维方法，与核PCA的目的一样，它想要在低维空间中尽量保持在高维空间中的结构。
一个形象的流形降维过程如下图，我们有一块卷起来的布，我们希望将其展开到一个二维平面，我们希望展开后的布能够在局部保持布结构的特征，其实也就是将其展开的过程，就像两个人将其拉开一样。
流形学习方法有很多种，但是他们具有一些共同的特征：首先构造流形上样本点的局部邻域结构，然后用这些局部邻域结构来将样本点全局的映射到一个低维空间。
它们之间的不同之处主要是在于构造的局部邻域结构不同，以及利用这些局部邻域结构来构造全局的低维嵌入方法的不同。
下面我们简要介绍两种最常见的流形学习方法：Isomap和LLE。
流形学习算法及其应用研究
流形学习算法及其应用研究流形学习是一种数据降维的方法，用于将高维数据映射到低维流形空间中，以便更好地理解和分析数据。
它主要基于流形假设，即高维数据在低维嵌入空间中具有较好的局部结构。
流形学习算法通过保持数据之间的局部关系，寻找数据的潜在流形结构，并将其可视化或应用于其他任务，如分类、聚类和降维等。
在流形学习中，有许多经典的算法被广泛应用于不同领域的研究和实际问题中。
下面将介绍几种常见的流形学习算法及其应用。
1.主成分分析（PCA）：PCA是一种线性降维方法，通过计算数据的主成分来保留数据中的最大方差。
PCA常用于图像处理、模式识别和数据压缩等领域，能够提取数据的重要特征。
2.局部线性嵌入（LLE）：LLE是一种非线性降维方法，通过保持数据的局部关系来找到低维嵌入空间。
LLE能够很好地处理流行曲面和非线性数据，并广泛应用于图像处理、数据可视化和模式识别等领域。
3.等距映射（Isomap）：Isomap通过计算数据点之间的测地距离来构建流形结构，并将其映射到低维空间。
Isomap广泛应用于图像处理、手写数字识别和语音信号处理等领域，能够保持数据的全局结构。
4. 局部保持嵌入（Laplacian Eigenmaps）：Laplacian Eigenmaps 通过构建拉普拉斯矩阵来找到数据的潜在流形结构，并将其映射到低维空间。
它在数据可视化、图像分割和模式分类等领域具有广泛应用。
5.t-SNE：t-SNE是一种非线性降维方法，通过保持数据点之间的相似性来构建流形结构。
t-SNE广泛应用于图像识别、文本聚类和生物信息学等领域，能够提供更好的数据可视化效果。
流形学习算法在各个领域都有广泛的应用。
在计算机视觉领域，流形学习算法被应用于图像分类、人脸识别和目标检测等任务中，能够提取关键特征和减少噪声。
在生物信息学领域，流形学习算法被应用于基因表达数据分析、蛋白质结构预测和分子对接研究中，能够帮助理解生物过程和提高预测精度。
数学中的流形几何学
数学中的流形几何学数学是一门精密而又美丽的学科，其中的各个分支都有其独特的魅力。
在众多的数学分支中，流形几何学是一个非常有趣且应用广泛的领域。
它探索了几何形状的结构与性质，并在许多科学领域中有着重要的应用。
本文将介绍流形几何学的基本概念、发展历程以及一些相关的应用。
一、流形的定义与性质在进入流形几何学的世界之前，我们首先需要了解什么是流形。
流形是一种具有光滑结构的空间，可以被描述为局部与欧几里德空间相似的空间。
形象地说，流形就像是一个被一张张粘起来的不规则的网格所覆盖的空间，这些网格在局部上是平坦的。
流形的维度可以是任意的，可以是一维的曲线、二维的曲面，甚至可以是更高维度的对象。
流形有许多令人着迷的性质。
首先，流形可以通过局部坐标系来描述。
在流形上的每一点，我们都可以找到一个局部坐标系，使得该点的附近看起来像欧几里德空间。
其次，流形具有光滑性。
这意味着在流形上我们可以定义连续且无缝的函数。
最后，流形还具有拓扑性质。
拓扑学研究的是空间中的连接性质，而流形的拓扑性质可以通过其局部坐标系来刻画。
二、流形几何学的发展历程流形几何学的发展可以追溯到19世纪。
在此期间，数学家们开始研究曲线和曲面的性质，并试图将它们推广到更高维度的情况。
然而，直到20世纪初，流形的概念才被严格地定义出来。
该时期的里奥内·庞加莱（Henri Poincaré）被认为是流形几何学的奠基者之一。
他引入了拓扑学的概念，并将其应用于流形研究中。
20世纪中叶，流形几何学得到了长足的发展。
数学家们开始研究流形的微分结构，即流形上的切空间和切向量。
此外，瓦西里·安德烈耶维奇·贝尔纳奇（Vladimir Rokhlin）在20世纪60年代提出了流形的分类理论，对流形的不变量进行了研究。
随着计算机技术的进步，流形的计算和可视化也成为了可能。
三、流形几何学的应用流形几何学在许多科学领域中有着广泛的应用。
其中一个重要的应用领域是物理学。
特征抽取中的流形学习技术及其应用场景
特征抽取中的流形学习技术及其应用场景引言：在机器学习领域，特征抽取是一个关键的步骤，它能够将原始数据转换为更有意义的表示形式。
近年来，流形学习技术在特征抽取中得到广泛应用，并取得了显著的成果。
本文将介绍流形学习技术的基本原理，并探讨其在图像处理、自然语言处理和生物信息学等领域中的应用场景。
一、流形学习技术的基本原理流形学习技术是一种非线性降维方法，它能够发现数据中的潜在结构，并将高维数据映射到低维空间中。
其基本原理是假设数据样本分布在一个低维流形上，通过学习流形的局部几何结构来进行特征抽取。
常见的流形学习算法包括局部线性嵌入（LLE）、等距映射（Isomap）和拉普拉斯特征映射（LE）等。
这些算法在保持数据间的局部关系的同时，还能够保持数据的全局结构，从而更好地抽取数据的特征。
二、图像处理中的应用场景在图像处理领域，流形学习技术可以应用于图像分类、图像检索和图像生成等任务中。
通过将图像数据映射到低维空间中，可以减少特征维度，提高图像处理的效率。
例如，对于图像分类任务，可以使用流形学习技术将图像特征抽取为低维向量，然后使用分类器进行分类。
这样可以减少特征维度，提高分类的准确性和效率。
三、自然语言处理中的应用场景在自然语言处理领域，流形学习技术可以应用于文本分类、情感分析和文本生成等任务中。
通过将文本数据映射到低维空间中，可以提取文本的语义信息，从而改善自然语言处理的效果。
例如，对于情感分析任务，可以使用流形学习技术将文本特征抽取为低维向量，然后使用分类器进行情感分类。
这样可以提取文本的情感特征，从而更准确地判断文本的情感倾向。
四、生物信息学中的应用场景在生物信息学领域，流形学习技术可以应用于基因表达数据分析、蛋白质结构预测和药物发现等任务中。
通过将生物数据映射到低维空间中，可以发现生物数据的潜在结构，从而提取有用的生物特征。
例如，对于基因表达数据分析任务，可以使用流形学习技术将基因表达数据映射到低维空间中，然后使用聚类算法进行基因分类。
流形学习（manifoldlearning）综述
流形学习（manifoldlearning）综述假设数据是均匀采样于⼀个⾼维欧⽒空间中的低维流形，流形学习就是从⾼维采样数据中恢复低维流形结构，即找到⾼维空间中的低维流形，并求出相应的嵌⼊映射，以实现维数约简或者数据可视化。
它是从观测到的现象中去寻找事物的本质，找到产⽣数据的内在规律。
流形学习⽅法是模式识别中的基本⽅法，分为线性流形学习算法和⾮线性流形学习算法，线性⽅法就是传统的⽅法如主成分分析（PCA）和线性判别分析（LDA），⾮线⾏流形学习算法包括等距映射（Isomap），拉普拉斯特征映射（LE）等流形学习是个很⼴泛的概念。
这⾥我主要谈的是⾃从2000年以后形成的流形学习概念和其主要代表⽅法。
⾃从2000年以后，流形学习被认为属于⾮线性降维的⼀个分⽀。
众所周知，引导这⼀领域迅速发展的是2000年Science杂志上的两篇⽂章: Isomap and LLE (Locally Linear Embedding)。
1. 流形学习的基本概念那流形学习是什莫呢？为了好懂，我尽可能应⽤少的数学概念来解释这个东西。
所谓流形（manifold）就是⼀般的⼏何对象的总称。
⽐如⼈，有中国⼈、美国⼈等等；流形就包括各种维数的曲线曲⾯等。
和⼀般的降维分析⼀样，流形学习把⼀组在⾼维空间中的数据在低维空间中重新表⽰。
和以往⽅法不同的是，在流形学习中有⼀个假设，就是所处理的数据采样于⼀个潜在的流形上，或是说对于这组数据存在⼀个潜在的流形。
对于不同的⽅法，对于流形性质的要求各不相同，这也就产⽣了在流形假设下的各种不同性质的假设，⽐如在Laplacian Eigenmaps中要假设这个流形是紧致黎曼流形等。
对于描述流形上的点，我们要⽤坐标，⽽流形上本⾝是没有坐标的，所以为了表⽰流形上的点，必须把流形放⼊外围空间（ambient space）中，那末流形上的点就可以⽤外围空间的坐标来表⽰。
⽐如R^3中的球⾯是个2维的曲⾯，因为球⾯上只有两个⾃由度，但是球⾯上的点⼀般是⽤外围R^3空间中的坐标表⽰的，所以我们看到的R^3中球⾯上的点有3个数来表⽰的。
流形学习算法综述
流形学习算法综述流形学习（Manifold Learning）是一种基于流形理论的无监督学习方法，旨在从高维数据中提取出低维的特征表示。
在许多实际问题中，数据通常被认为是在一个低维流形上生成的，而这个流形表示了数据样本之间的内在结构和关系。
流形学习算法的目标是通过学习这个流形结构来减小数据的维度，并且能够在降维后的空间上更好地展示数据的特征。
流形学习算法可以分为两大类：全局流形学习和局部流形学习。
全局流形学习方法试图在整个数据空间中建立一个全局的流形结构模型，例如Isomap算法和LLE算法。
而局部流形学习方法则假设数据样本的局部邻域上存在着流形结构，例如局部线性嵌入（LLE）和局部切空间嵌入（LTSA）。
首先，介绍Isomap算法，它是一种基于全局流形学习的非线性降维方法。
它的核心思想是通过计算数据样本之间的测地距离来近似表示数据在流形上的距离关系。
具体而言，Isomap算法首先通过计算数据样本之间的欧氏距离构建一个近邻图，然后使用最短路径算法来逼近每对节点之间的测地距离。
最后，通过多维缩放法将测地距离映射到低维空间，从而得到数据的降维表示。
其次，局部线性嵌入（LLE）算法是一种基于局部流形学习的非线性降维方法。
LLE算法首先通过计算数据样本之间的欧氏距离来构建近邻图，然后在每个数据样本的局部邻域上通过最小化重构误差来估计样本之间的局部线性关系。
最后，通过将数据样本的局部线性关系映射到低维空间来得到降维结果。
除了Isomap和LLE算法，还有一些其他的流形学习方法也值得关注。
例如，局部切空间嵌入（LTSA）算法是一种改进的LLE算法，它在计算局部线性关系时考虑了数据样本之间的切空间结构。
深度学习方法也在流形学习领域取得了一些重要的进展，例如自动编码器和变分自编码器可以用于从数据中学习低维特征表示。
总结起来，流形学习算法是一类用于无监督降维的方法，通过学习数据的流形结构来减小数据的维度。
全局流形学习和局部流形学习是两个主要的流形学习框架，分别用于处理整个数据空间和局部邻域上的流形结构。
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局部线性嵌入（LLE）
海赛局部线性嵌入（HLLE）
拉普拉斯特阵映射（LE）
局部切空间排列（ LTSA ）
研究方向
基本算法研究 内在维数研究 定量化研究 监督学习算法研究 范畴问题研究 其他
领域因子选择问题 数据流的流行学习 流行学习的统一框架
内在维数P利用方差损失形成的拐点估计维数 其他
PCA数学模型
PCA算法
多维尺度变换（MDS）
MDS也是一种广泛应用的线性降维方法。 MDS 原用于差异性的几何表示，用在降维上， 是将高维点的欧氏距离矩阵作为差异性矩阵。
MDS数学模型
MDS算法
等距映射（Isomap ）
Isomap 建立在MDS 的基础上，力求保持数据 点的内在几何性质，即保持两点间的测地距离。 它同MDS 的最大区别在于，MDS 构造的距离 矩阵反映的样本点之间的欧氏距离，而Isomap 构造的距离矩阵反映的是样本点之间的测地距 离。 测地距离的近似计算方法如下：样本点 和它的 邻域点之间的测地距离用它们之间的欧氏距离 来代替；样本点 和它邻域外的点用流形上它们 之间的最短路径来代替。
流形学习
基本思想：每个高维空间内的流形都有一个 低维空间内的流形与之对应，只要找出一个 光滑映射，就可以把高维原数据映射成其低 维目标空间内的对应。 流形的本质是局部化，用数学语言说，就是 一个局部可坐标化的拓扑空间。“局部坐标” 可以将问题分解为局部问题进行计算，而拓 扑空间又能保证将局部计算结果合理、光滑 地拼接起来，揭示问题的整体结构。
最近邻域 分形维 Packing Numbers 测地线最小生成树
基于Packing Numbers的内在维数研究
定量化研究
高维数据集的内在维数如何影响高维空间的流形结 构？———没有一般性研究 张军平——局部放大因子和延伸方向——判别流行 学习算法准确性的一种定量评估准则 放大因子，就是观测空间的数据点变化趋势与在嵌 入空间的变化趋势的比值，这个比值在连续模型中 相当于在降维的映射下，一个高维空间映射到低维 空间后的“体积”比的比例——微分几何中的”微 观”放大因子——Bishop的生成式拓扑映射 延伸方向，就是指嵌入空间的局部数据变化的主要 方向
流形学习的方法
ISOMAP LLE HLLE LE LTSA
主成分分析（PCA）
将方差的大小作为衡量信息量的标准，方差 越大提供信息越多，反之提供信息越少。 通过原分量的线性组合构造方差大、含信息 量多的若干主分量，这些主分量之间不相关， 并且尽可能表示原始变量包含的信息，选取 最大的几个主成分进行分析，就可以在尽可 能少损失原有信息的基础上，降低数据的维 度，提高运算的效率。 计算过程通过矩阵奇异值分解SVD来实现。
数据流的流行学习
Law M H等，Nonlinear manifold learning for data stream，针对数 据流的特点提出增量式的Isomap算法
流行学习的统一框架
流形学习+核函数的研究
流形学习的理论和方法
主要内容
研究背景 几种算法 研究方向
研究背景
数据降维的目的是找出高维数据中所隐藏的 低维结构。 高维数据： 低维数据： 分类
线性降维 非线性降维
研究背景
线性降维
通过降维得到的低维数据能够保持高维数据点之间的线 性关系，即：若存在线性映射 使得 ， 则这个高维数据点从降到低维的过程为线性降维。 两种算法
PCA MDS
非线性降维
KPCA 流形学习
流形学习
2000年，J B Tenenbaum等，A global geometric framework for nonlinear dimensionality reduction， Science，（Isomeitric Mapping ，简称Isomap ) 2000年，S T Roweis等，Nonlinear dimensionality reduction by locally linear embedding，Science， （Locally Linear Embedding ，简称LLE ) 2000年， H S Seung等，Nonlinear dimensioinality reduction by locally linear embedding，Science
放大因子
放大因子
延伸方向
其他研究方向
领域因子选择问题
Kouropteva等，2002，为LLE自动选择领域因子 Samko等，2004，Selection of the optimal parameter value for the Isomap algorithm，为Isomap自动选择领域因子 Wang Jing, Zhang Zhenyue, Zha Hongyuan. Adaptive Manifold Learning，2004，在每个样本点上自适应地选择领域因子 张军平，通过集成的方式来改进流形学习产生的不稳定性