第1章例题详解
01章_热力学第一定律及其应用-例题和习题课解析
W V pdV p(V2 V1 ) 330.56 103 (40.00 15.00) 10 3 2864 J
1
V2
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2018/12/28
例题
例： 10mol理想气体，压力为1000kPa，温度为300 K , 求下列 各种情况下的W： 1.在空气中( p )体积胀大1dm 3 ; 2.在空气中胀大到气体的压力也为p ； 3.等温可逆膨胀至气体的压力也为p。
3
1000 p1 10 8.314 300 ln 3.W nRT ln 100 p2 57.43kJ
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2018/12/28
七、例题
例：气体He从0C， 5 105 Pa， 10dm3，经一绝热可逆 过程膨胀至10 Pa，试计算T2、Q、W、U和H。
物理化学电子教案—第一章
U Q W
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2018/12/28
例题
例1：在25C时， 2molH 2的体积为15dm3，此气体 （ 1 ）在定温下，反抗外压为105 Pa时，膨胀到体 积为50dm3 ; (2)在定温下可逆膨胀到体积为50dm3 , 试计算两种膨胀过程的功。
3
4865J
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2018/12/28
例题
W
(2)
(3)
p(V2 V1 ) 105 (40.00 15.00) 103
2500 J
根据理想气体状态方程
pV nRT nRT 2 8.314 298.2 330.56kPa p 3 V 15.00 10
空间向量及其运算 高中数学例题课后习题详解
第一章空间向量与立体几何1.1空间向量及其运算1.1．1空间向量及其线性运算例1如图1.1-9，已知平行四边形ABCD ，过平面AC 外一点O 作射线OA ，OB ，OC ，OD ，在四条射线上分别取点E ，F ，G ，H ，使OE OF OG OH k OA OB OC OD====．求证：E ，F ，G ，H 四点共面．图1.1-9分析：欲证E ，F ，G ，H 四点共面，只需证明EH ，EF ，EG uuu r 共面．而由已知AD ，AB ，AC 共面，可以利用向量运算由AD ，AB ，AC共面的表达式推得EH ，EF ，EG uuu r 共面的表达式．证明：因为OE OF OG OH k OA OB OC OD====．所以OE kOA = ，OF kOB = ，OG kOC = ，OH kOD = ．因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AC AB AD =+ ．因此EG OG OE kOC kOA k AC =-=-=()()k AB AD k OB OA OD OA =+=-+- OF OE OH OE EF EH=-+-=+ 由向量共面的充要条件可知，EH ，EF ，EG uuu r 共面，又EH ，EF ，EG uuu r 过同一点E ，从而E ，F ，G ，H 四点共面．练习1.举出一些表示三个不同在一个平面内的向量的实例．【答案】实例见解析；【解析】【分析】在空间几何体中，从一点出发的不同面的向量即可.【详解】在三棱锥P ABC -中，PA →，PB →，PC →不同在一个平面内；长方体ABCD A B C D ''''-中，从一个顶点A 引出的三个向量AB →，AD →，AA →'不同在一个平面内.2.如图，E ，F 分别是长方体ABCD A B C D ''''-的棱AB ，CD 的中点、化简下列表达式，并在图中标出化简结果的向量：（1）AA CB '- ；（2）AA AB BC '++ ；（3）AB AD B D ''-+ ；（4）AB CF + ．【答案】（1）AD ' ；（2）AC ' ；（3）0 ；（4）A E【解析】【分析】根据空间向量加减运算的运算法则计算即可.【详解】（1）AA CB AA BC AA A D AD ''''''-=+=+= ；（2）AA AB B C AA A B B C AC '''''''++=++''= ；（3）0AB AD B D AB AD BD DB BD -+=-+=+''= ；（4）AB CF AB BE AE +=+= .3.在图中，用AB ，AD ，AA ' 表示A C ' ，BD ' 及DB ' ．【答案】A C AB AD AA =+'-' ；BD AA AD AB ''-=+ ；DB AA AB AD ''=+- .【解析】【分析】根据空间向量的加减运算法则可转化.【详解】()A C A A AC AA AB AD AB AD AA =+=-''++=-''+ ，()()BD BD DD BA BC DD AB AD AA AA AD AB =+=++=-++=+-''''' ，()()DB DB BB DA DC BB AD AB AA AA AB AD =+=++=-++''''=-'+ .4.如图，已知四面体ABCD ，E ，F 分别是BC ，CD 的中点，化简下列表达式，并在图中标出化简结果的向量；（1）AB BC CD ++ ；（2）()12AB BD BC ++ ；（3）()12AF AB AC -+ ．【答案】（1）AD ；（2）AF ；（3）EF【解析】【分析】根据空间向量的线性运算法则计算即可.【详解】（1）AB BC CD AC CD AD ++=+= ；（2）()12AB BD BC AB BF AF ++=+= ；（3）()12AF AB AC AF AE EF -+=-= .5.如图，已知正方体ABCD A B C D ''''-，E ，F 分别是上底面A C ''和侧面CD '的中心，求下列各式中x ，y 的值：（1）AC x AB BC CC →→→→⎛⎫''=++ ⎪⎝⎭（2）AE AA x AB y AD→→→→'=++（3）AF AD x AB y AA →→→→'=++【答案】（1）1x =；（2）12x y ==；（3）12x y ==.【解析】【分析】（1）化简+AC AB AD AA →→→→''=+即得解；（2）化简1()2AE AA AC →→→''=+即得解；（3）化简1122AF AD AC →→→'=+即得解.【详解】（1）+AC AB AD AA AB BC CC →→→→→→→'''=+=++，所以1x =；（2）1111111()()2222222AE AA AC AA AC AA AA AB AD AA AB AD →→→→→→→→→→→→'''''''=+=+=+++=++，所以12x y ==；（3）111111()222222AF AD AC AD AB AA AD AD AB AA →→→→→→→→→→'''=+=+++=++,所以12x y ==.1.1.2空间向量的数量积运算例2如图1.1-12，在平行六面体ABCD A B C D ''''-中，5AB =，3AD =，7AA '=，60BAD ∠=︒，45BAA DAA ''∠-∠=︒．求：图1.1-12（1）AB AD ⋅ ；（2）AC '的长（精确到0.1）．解：（1）||||cos ,AB AD AB AD AB AD ⋅=〈〉，53cos 607.5=⨯⨯︒=；（2）()22AC AB AD AA ''=++ ()222||||2AB AD AA AB AD AB AA AD AA '''=+++⋅+⋅+⋅ ()222537253cos 6057cos 4537cos 45=+++⨯⨯︒+⨯⨯︒+⨯⨯︒98=+，所以13.3AC '≈．例3如图1.1-13，m ，n 是平面α内的两条相交直线．如果l m ⊥，l n ⊥，求证：l α⊥．图1.1-13分析：要证明l α⊥，就是要证明l 垂直于α内的任意一条直线g （直线与平面垂直的定义）．如果我们能在g 和m ，n 之间建立某种联系，并由l m ⊥，l n ⊥，得到l g ⊥，那么就能解决此问题．证明：在平面α内作任意一条直线g ，分别在直线l ，m ，n ，g 上取非零向量l ，m ，n ，g ．因为直线m 与n 相交，所以向量m ，n 不平行．由向量共面的充要条件可知，存在唯一的有序实数对(,)x y ，使g xm yn =+u r u r r ．将上式两边分别与向量l作数量积运算，得l g xl m yl n ⋅=⋅+⋅ ．因为0l m ⋅=r u r ，0l n ⋅=r r （为什么？），所以0l g ⋅=r u r．所以l g ⊥．这就证明了直线l 垂直于平面α内的任意一条直线，所以l α⊥．练习6.如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，若1AB =，则1AB 与1BC 所成角的大小为（）A.60︒B.90︒C.105︒D.75︒【答案】B【解析】【分析】取向量1,,BA BC BB 为空间向量的一组基底向量，表示出1AB 与1 BC ，再借助空间向量运算即可计算作答.【详解】在正三棱柱111ABC A B C -中，向量1,,BA BC BB 不共面，11AB BB BA =- ，11BC BC BB =+ ，令1||BB a = ，则||||BA BC == ，而1BB BA ⊥ ，1BC BB ⊥ ，于是得11112111()()AB BC BB BA BC BB BB BC BB BA BC BA BB ⋅=-⋅+=⋅+-⋅-⋅ 2cos 600a =-=，因此，11AB BC ⊥ ，所以1AB 与1BC 所成角的大小为90︒.故选：B7.如图，正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为1，设AB a = ，AD b = ，AA c '= ，求：（1）()a b c ⋅+ ；（2）()a a b c ⋅++ ；（3）()()a b b c ⋅++ ．【答案】（1）0；（2）1；（3）1【解析】【分析】在正方体中，根据线线关系，结合空间向量运算法则对每个小题进行运算即可.【详解】（1）在正方体中，AB AA ⊥'，AB AD⊥故()0a b c a b a c →→→→→→→⋅+=⋅+⋅=（2）由（1）知，()()1a abc a a a b c →→→→→→→→→⋅++=⋅+⋅+=（3）由（1）及AD AA '⊥知，2()()()1a b b c a b c b b c →→→→→→→→→→++=⋅+++⋅=8.如图，在平行六面体ABCD A B C D ''''-中，4AB =，3AD =，5AA '=，90BAD ∠=︒，BAA '∠=60DAA '∠=︒．求：（1）AA AB '⋅ ；（2）AB '的长；（3）AC '的长．【答案】（1）10；（261；（385【解析】【分析】（1）根据数量积的定义即可计算；（2）由AB AA A B ''''=+ 平方即可求解；（3）由A AB AD A C A =+'+'即可求解.【详解】（1）1cos 6054102AA AB AA AB ''⋅=⋅⋅=⨯⨯= ；（2）AB AA A B ''''=+ ，()()222222252101661AB AA A B AA AB AA AA AB AB '''''''∴=+=+=+⋅+=+⨯+= ，61AB '= AB '61；（3） AC AC CC AB AD AA '''=+=++ ，()()222222AC AB AD AA AB AD AA AB AD AB AA AD AA '''''∴=++=+++⋅+⋅+⋅ 11169252054358522⎛⎫=++++⨯⨯+⨯⨯= ⎪⎝⎭，85AC '∴= AC '85.9.如图，线段AB ，BD 在平面α内，BD AB ⊥，AC α⊥，且AB a =，BD b =，AC c =．求C ，D 两点间的距离．222a b c ++【解析】【分析】连接AD ，可得222AD a b =+，根据AC AD ⊥可求.【详解】连接AD ，BD AB ⊥ ，22222AD AB BD a b ∴=+=+，AC α⊥，AD α⊂，AC AD ∴⊥，222222CD AD AC a b c ∴=+=++，222CD a b c ∴=++即C ，D 222a b c ++.习题1.1复习巩固10.如图，在长方体ABCD A B C D ''''-中，E 、F 分别为棱AA '、AB 的中点．（1）写出与向量BC 相等的向量；（2）写出与向量BC 相反的向量；（3）写出与向量EF 平行的向量．【答案】（1）,,AD A D B C '''' ；（2）,,,DA CB C B D A '''' ；（3）,,,,D C CD A B BA FE'''' 【解析】【分析】（1）由相等向量的定义可判断；（2）由相反向量的定义可判断；（3）由平行向量的定义可判断.【详解】（1）由相等向量的定义知，大小相等，方向相同的两个向量为相等向量，所以与向量BC 相等的向量为,,AD A D B C '''' ；（2）由相反向量的定义知，大小相等，方向相反的两个向量为相反向量，所以与向量BC 相反的向量为,,,DA CB C B D A '''' ；（3）由平行向量的定义知，方向相同或相反的两个向量为平行向量，所以与向量EF 平行的向量为,,,,D C CD A B BA FE '''' .11.如图，已知平行六面体ABCD A B C D ''''-，化简下列表达式，并在图中标出化简结果的向量：（1）AB BC + ；（2）AB AD AA '++ ；（3）12AB AD CC '++ ；（4）()13AB AD AA '++ ．【答案】（1）AC →，向量如图所示；（2）AC →'，向量如图所示；（3）AE →，向量如图所示；（4）AF →，向量如图所示；【解析】【分析】根据平行六面体基本性质及空间向量基本运算化简每个小题即可.【详解】（1）AB BC AC →→→+=，向量如图所示；（2）在平行六面体ABCD A B C D ''''-中，有AD BC →→=，AA CC →→''=，故AB AD AA AB BC CC AC →→→→→→→'''++=++=，向量如图所示；（3）由AD BC →→=知，取CC '的中点为E ，12AB AD CC AB BC CE AE →→→→→→→'++=++=，向量如图所示；（4）由（2）知，取AC '的三等分点F 点，1()3AB AD AA AF →→→→'++=，向量如图所示；12.证明：如果向量a ，b 共线，那么向量2a b + 与a共线．【答案】证明见解析【解析】【分析】由向量共线定理可证明.【详解】如果向量a ，b 共线，则存在唯一实数λ，使得b a λ= ，则()222a b a a a λλ+=+=+ ，所以向量2a b + 与a 共线.13.如图，已知四面体ABCD 的所有棱长都等于a ，E ，F ，G 分别是棱AB ，AD ，DC 的中点．求：（1）AB AC ⋅uu u r uuu r ；（2）AD DB ⋅ ；（3）GF AC ⋅ ；（4）EF BC ⋅uu u r uu u r ；（5）FG BA ⋅ ；（6）GE GF ⋅ ．【答案】（1）22a ；（2）22a -；（3）22a -；（4）24a ；（5）24a -；（6）24a 【解析】【分析】根据空间向量数量积的定义计算即可.【详解】 四面体ABCD 的所有棱长都等于a ，∴任意两条棱所在直线的夹角为3π， E ，F ，G 分别是棱AB ，AD ，DC 的中点，//,//,||||2a EF BD FG AC EF FG ∴==，（1）2cos 32a AB AC a a π⋅=⨯⨯= ；（2）22cos 32a AD DB a a π⋅=⨯⨯=- ；（3）2cos 22a a GF AC a π⋅=⨯⨯=- ；（4）//EF BD ，则直线BD 与直线BC 所成角就是直线EF 与直线BC 所成角，又3CBD π∠=，2cos 234a a EF BC a π⋅==∴⨯⨯ ；（5）//FG AC ，则直线AC 与直线AB 所成角就是直线FG 与直线BA 所成角，22cos 234a a FG BA a π⋅-∴=⨯⨯= ；（6）取BD 中点M ，连接AM ，CM ，则,AM BD CM BD ⊥⊥，AM CM M ⋂= ，BD ∴⊥平面ACM ，又AC ⊂平面ACM ，BD AC ∴⊥，//EF BD ，EF AC ∴⊥，又//AC FG ，EF FG ∴⊥，0EF FG ⋅= ，可知1122GF AC a ==，222()||024a a GE GF GF FE GF GF FE GF ⎛⎫⋅=+⋅=+⋅=+= ⎝⎭∴⎪ .综合运用14.如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，AC 与BD 的交点为M .设11111,,,=== A B a A D b A A c ，则下列向量中与1B M 相等的向量是（）A.1122a b c --+B.1122a b c -++C.1122a b c -+ D.1122a b c ++ 【答案】B【解析】【分析】根据1112=+=+B M B B BM c BD uuuu r uuu r uuu r r uu u r代入计算化简即可.【详解】()1111112222=+=+=++=-++B M B B BM c BD c BA BC a b c uuuu r uuu r uuu r r uu u r r uu r uu u r rr r 故选：B.15.已知E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，用向量法证明：E ，F ，G ，H 四点共面.【答案】证明见解析【解析】【分析】根据给定条件利用空间向量的线性运算，结合空间向量共面定理即可得解..【详解】如图，E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，12EH FG BD == ，于是得：EG EF FG EF EH =+=+ ，即,,EG EF EH 共面，它们有公共点E ，所以E ，F ，G ，H 四点共面.16.如图，正方体ABCD A B C D ''''-（1）求A B '和B C '的夹角；（2）求证A A B C ''⊥．【答案】（1）3π；（2）证明见解析；【解析】【分析】（1）联结CD '，B D ''，则A B CD '' ，A B '和B C '的夹角即CD '和B C '的夹角B CD ''∠，由B D CD B C ''''==知，B CD ''△是等边三角形，故A B '和B C '的夹角为3π.（2）联结AB '，则AB A B ''⊥，又B C ''⊥平面ABB A ''，B C A B '''⊥，从而有A B '⊥平面AB C ''，从而证得A A B C ''⊥.【详解】（1）联结CD '，B D ''，则A B CD '' ，A B '和B C '的夹角即CD '和B C '的夹角B CD ''∠，在正方体中，设棱长为a ，则B D CD B C ''''===，则B CD ''△是等边三角形，即3B CD π''∠=故A B '和B C '的夹角为3π（2）联结AB '，则AB A B ''⊥，又B C ''⊥平面ABB A ''，A B '⊂平面ABB A ''，则B C A B '''⊥，又B C AB B ''''⋂=故A B '⊥平面AB C ''，又AC '⊂平面AB C ''，所以A A B C ''⊥17.用向量方法证明：在平面内的一条直线，如果与这个平面的一条斜线在这个平面上的射影垂直，那么它也与这条直线垂直（三垂线）【答案】证明见解析；【解析】【分析】根据向量运算法则，数量积为0即可证得垂直.【详解】如图所示，在平面α内，OB →是OA →在面内的投影向量，则BA CD →→⊥，由题知，CD OB →→⊥，则()0CD OA CD OB BA CD OB CD BA →→→→→→→→→⋅=⋅+=⋅+⋅=，故CD OA →→⊥，所以CD OA ⊥，即证得结论.拓广探索18.如图，空间四边形OABC 中，,OA BC OB AC ⊥⊥.求证：OC AB ⊥.【答案】证明见解析【解析】【详解】试题分析：利用三个不共面的向量OA OB OC ，，作为基底，利用空间向量的数量积为0，证明向量垂直，即线线垂直.试题解析：∵OA BC ⊥，∴OA OB ⊥ .∵0OA OB ⋅= ，∴()0⋅-= OA OC OB .∴0⋅-=⋅ OA OC OA OB （1）同理:由OB AC ⊥得0⋅-=⋅ OC OB OA OB （2）由（1）－（2）得0⋅-=⋅ OA OC OC OB∴()0⋅=- OA OB OC ，∴0OC BA ⋅= ，∴OC BA ⊥u u u r u u u r，∴OC AB ⊥.19.如图，在四面体OABC 中，OA OB =，CA CB =，E ，F ，G ，H 分别是OA ，OB ，BC ，CA 的中点．求证：四边形EFGH 是矩形．【答案】证明见解析；【解析】【分析】取AB 的中点D ，联结OD ，CD ，证得AB ⊥平面ODC ，AB OC ⊥，从而有EH EF ⊥；又E ，F ，G ，H 分别是OA ，OB ，BC ，CA 的中点．从而有EF GH =，结合EH EF ⊥，证得四边形EFGH 是矩形．【详解】取AB 的中点D ，联结OD ，CD ，由OA OB =，CA CB =知，⊥OD AB ，CD AB ⊥，又OD CD D ⋂=，故AB ⊥平面ODC ，又OC ⊂平面ODC ，因此AB OC⊥又E ，F ，G ，H 分别是OA ，OB ，BC ，CA 的中点．则EF AD = ，GH AD =，故EF GH=，四边形EFGH是平行四边形同理EH GF=，且EH OC，又AB OC⊥所以EH EF⊥，四边形EFGH是矩形。
第一章 或有事项
• 【例1－9】乙企业20×1年1月1日与某外贸公司 签订了一项产品销售合同，约定在20×1年2月15 日以每件产品100元的价格向外贸公司提供10 000 件A产品，若不能按期交货，乙企业需要交纳300 000元的违约金。这批产品在签订合同时尚未开始 生产，但企业开始筹备原材料以生产这批产品时， 原材料价格突然上涨，预计生产每件产品的成本 升至125元。 此例中，乙企业生产产品的成本为每件125元， 而售价为每件100元，每销售1件产品亏损25元， 共计损失250 000元。因此，这项销售合同是一项 亏损合同。如果撤销合同，乙企业需要交纳300 000元的违约金。
• 【答案】A
【例题7· 单选题】Y公司与X公司签订合同，购买X公 司10件商品，合同价格每件5000元。市场上同类商 品每件为3500元。Y公司购买的商品全部出售给Z公 司，单价为4000元。如Y公司单方面撤销合同，应 支付违约金为5000元。商品尚未购入。如满足预计 负债确认条件，Y公司应确认预计负债（ ）元。 A.10000 B.5000 C.1000 D.50000 • 【答案】B • 【解析】执行合同发生的损失=（5000-4000） ×10=10000（元），撤销合同支付违约金为5000 元，Y公司应确认预计负债5000元。
• 【例题6】关于或有事项，下列说法中正确的是 （ ）。 A.待执行合同变成亏损合同的，该亏损合同 产生的义务满足或有事项确认预计负债规定的， 应当确认为预计负债 B.待执行合同变成亏损合同的，应当确认为 预计负债 C.企业应当就未来经营亏损确认预计负债 D.企业在一定条件下应当将未来经营亏损确认 预计负债
2008典型例题解析--第1章 几何组成分析
第1章几何组成分析§1 – 1 基本概念1-1-1 名词解释●几何不变体系——结构（静定或超静定）在不考虑材料变形情况下,几何形状和位置不变的体系，称为几何不变体系。
●几何可变体系在不考虑材料变形情况下,形状或位置可变的体系，称为几何可变体系。
●刚片：在平面上的几何不变部分，称为刚片。
●自由度：确定体系位置所需的独立坐标，称为自由度。
独立坐标个数为自由度数。
●约束（联系）：能够减少自由度的装置称为约束。
减少自由度的个数为约束个数。
其中：①链杆——相当1个约束②铰——相当2个约束③虚铰——相当2个约束④复铰——相当n-1个单铰的作用●多余联系：不能减少自由度的联系，称为Array多余联系。
●必要联系：去掉时能够增加自由度（或维持体系不变性必须）的联系。
●瞬变体系几何特征：几何可变体系经过微小位移后成为几何不变体系。
静力特征：受很小的力将产生无穷大内力，因此不能作结构。
1-1-2 分析规则在不考虑材料应变所产生变形的条件下，构成无多余约束几何不变体系（静定结构）的基本规则如下：●三刚片规则三个刚片用不在同一条直线上的三个铰（或虚铰）两两相联。
●二刚片规则两个刚片用不交于一点也不全平行的三根链杆相联；2结构力学典型例题解析或：两个刚片用一个铰和不通过该铰心的链杆相联。
●二元体规则什么是二元体（二杆结点）：两根不在同一条直线上的链杆联接一个新结点的装置，称为二元体。
在一个体系上增加或减少二元体不影响其几何不变性。
1-1-3 几何组成分析一般方法（步骤）(1)去二元体（二杆结点）。
(2)分析地基情况：上部体系与地基之间●当有满足二刚片规则的三个联系时，去掉地基，仅分析上部体系；●当少于三个联系时，必为几何常变体系；●当多于三个联系时，将地基当作一个刚片进行分析。
(3)利用规则找大刚片(最简单情况为:三个铰接杆件为刚片)。
(4)使用几何组成规则进行分析。
利用三刚片规则分析时：首先找出三个刚片，（满足三刚片规则的连接条件，即每两个刚片间有一个铰（或虚铰），然后再标出虚铰位置，最后看三个铰是否构成三角形。
第一章 习题讲解 PPT课件
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[1sin( t)]sin(8 t)/
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-505来自1015[11sin( t)]sin(8 t)/
f (t)
E
sin ( T
t)
(0 t T )
0
(其 他 )
即 f (t) E sin ( t)[u (t) u (t T )] T
113绘出下列各时间函数的波形图
(1)f1(t)sin(t)u(t);(2)f2(t)sin[(tt0)]u(t) (3)f3(t)sin[(t)]u(tt0);(4)f2(t)sin[(tt0)]u(tt0)
(t
-
t0 )u(t
t0 )dt； 2
(4)
(t
-
t0 )u(t
t0 )dt 2
(5) (et t) (t 2)dt； (6) (t sin t) (t )dt
-
-
6
(7)
e jt[ (t) (t
-
t0 )]dt
解 ： ( 1 )
f (t t0 ) (t ) d t
f (0 t0 )
第1章数据库系统概论习题及解答
第 1 章数据库系统概论1.1复习纲要本章介绍的主要内容：·数据管理技术的发展·数据模型·数据库系统结构1.1.1 数据管理技术的发展从20世纪50年代中期开始，数据管理技术大致经历了三个发展阶段：人工管理阶段、文件系统管理阶段和数据库系统管理阶段。
1. 人工管理阶段20世纪50年代中期以前，计算机主要从事计算工作，计算机处理的数据由程序员考虑与安排。
这一阶段的主要特点是：数据不长期保存；数据与程序不具有独立性；系统中没有对数据进行管理的软件。
2. 文件系统管理阶段20世纪50年代后期到60年代中后期，计算机系统中由文件系统管理数据。
其主要特点：数据以文件的形式可长期存储在磁盘上，供相应的程序多次存取；数据文件可脱离程序而独立存在，使得数据与程序之间具有设备独立性。
如果数据文件结构发生变化时，则对应的操作程序必须修改。
即文件系统管理文件缺乏数据独立性，并且数据冗余度大。
数据之间联系弱，无法实施数据统一管理标准。
这些都是文件系统管理的主要缺陷。
3.数据库系统管理阶段70年代初开始，计算机采用数据库管理系统管理大量数据，使计算机广泛应用于数据处理。
数据库系统管理数据的主要特点：·采用数据模型组织和管理数据，不仅有效地描述了数据本身的特性，而且描述了之间的联系。
·具有较高的数据独立性。
即数据格式、大小等发生了改变，使得应用程序不受影响。
·数据共享程度更高，冗余度比较小。
·由DBMS软件提供了对数据统一控制功能，如安全性控制、完整性控制、并发控制和恢复功能。
·由DBMS软件提供了用户方便使用的接口。
数据库系统管理数据是目前计算机管理数据的高级阶段，数据库技术已成为计算机领域中最重要的技术之一。
1.1.2 数据模型数据模型是构建数据库结构的基础，在构建时要经历从概念模型设计到DB逻辑模型和物理模型转换过程。
因此，数据模型可分为两类共4种，两类为概念模型和结构模型，其中结构模型又分为外部模型、逻辑模型和内部模型三种。
高考生物 学考例题解析及练习 第1章 遗传因子的发现2
女性正常4623男性正常4819避躲市安闲阳光实验学校第一章遗传因子的发现例题示范一、单项选择题(1-2小题每小题1分；3-4小题每小题2分) 【例1】 下列各组生物性状中，属于相对性状的是 ( ) A ．草莓的红果和大果 B ．狗的长毛和短腿 C ．水稻的早熟和晚熟 D ．棉花的短绒和粗绒【例2】家兔的毛色中白色和黑色是一对相对性状。
请你观察下列四种亲本杂交组合的亲子代性状，其中发生了性状分寓的一组是 ( )【例3】 已知厚壳紫种皮与薄壳红种皮落花生杂交（两对性状遗传），F1全 为厚壳紫种皮。
在F2中，稳定遗传的薄壳紫种皮落花生为3966株，则能稳定遗传的厚壳红种皮落花生株数大约为 ( )A. 1322B.1983C.3966D. 7932【例4】豌豆种子黄色对绿色为显性，圆粒对皱粒为显性（两对性状的遗传遵循自由组合定律）。
现用黄色皱粒与绿色圆粒两个纯系豌豆的亲本杂交得F1，F1自交，理论上F2植株中黄色皱粒纯合子豌豆数量比为 ( ) A. 1／3 B.2/3 C.3/16 D. 1/16二，双项选择题（在每小题给出的四个选项中，只有两个选项正确，全部选对得3分，选对一项得2分，有错选的得0分。
） 【例5】下图为鼠的毛色（灰色和白色）遗传图 解，已知6号是一只雌性鼠。
下列 说法正确的是 ( )A. 6号鼠是杂合子 B ．鼠的灰色为显性性状C ．鼠的白色为显性性状 D.7号鼠为杂合子的概率是2/3 三、复合选择题某生物研究小组的同学对一地区的人类遗传病进行调查，发现有一种遗传病表现出明显家族倾向，且往往是代代相传，下图为该研究小组绘制的该病在这个地区10000人中的发病情况图。
研究小组同学还对某一患该病男生的家族进行了分析，绘制出如下遗传系谱图：请分析上图回答例6—9小题：【例6】 由上图所示发病情况的调查结果可以推知，控制该病的基因最可能位于( )A ．常染色体上B ．X 染色体上C ．Y 染色体上D ．性染色体上【例7】 作出6题结论判断的主要理由是 ( ) A ．男女患病几率均等 B ．男患者多一点 C ．男正常比女正常多 D ．出现了女患者【例8】 分析上述系谱图，可以推知该患病男生与其患病姑姑的女儿基因型相同的概率是 ( )A.25%B.50%C.75%D. 100%【例9】 系谱图中的患病男生经手术治疗后表现正常，若他与表现型正常的女性婚配，你认为其后代还有可能患该病吗？ ( )A ．不能B ．可能C ．取决与环境D ．取决于女方【例1】答案：C 【例2】答案C 【例3】答案C 【例4】答案D 【例5】答案BD 复合选择题答案 6. A 7.A 8．D 9.B 学业水平测试题一、单项选择题（1～9小题每小题1分，10～18小题每小题2分） 1．“种瓜得瓜，种豆得豆”这句俗语说明自然界中普遍存在着 ( ) A ．生殖现象 B ．遗传现象 C ．进化现象 D ．变异现象 2．生物的性状是指 ( )A ．生物体的外在形状B ．生物体的性别C ．生物体的形态、生理特征D ．生物体的大小 3．下列性状中属于相对性状的是 ( ) A ．人的黑发和卷发 B ．兔的长毛和短毛 C ．猫的白毛与蓝眼 D ．棉花的细绒与长绒 4．遗传的基本定律是指 ( )A ．性状的传递规律B ．蛋白质的传递规律C ．基因的传递规律D ．染色体的传递规律 5．下列表示测交的组合是 ( )A.AA×AaB.aa×aaC.Aa×aaD.Aa×Aa 6．下列属于等位基因的是 ( ) A ．Ab B ．Yy C ．EE D ．dd7．Aa 自交得F2，F2自交得F3，F3表型比为 ( ) A. 1:1 B.1:2:1 C.3:2:3 D.7:2:78．下图能正确表示基因分离定律实质的是 ( )9．基因型为DdTt 和ddTT 的亲本杂交，子代中不可能．．．出现的基因型是 ( ) A. DDTT B.ddTT C.DdTt D.ddTt10.一对肤色正常的夫妇生了一个白化病男孩。
高等数学第一章函数例题及答案
高等数学第一章 函数、极限、连续§1．1 函数一．求函数的定义域例1．求函数()2100ln ln ln x x x f -+=的定义域 例2．求5ln 1-+-=x x x y 的定义域例3．设()x f 的定义域为[]()0,>-a a a ，求()12-x f 的定义域 例4．设()⎩⎨⎧≤≤<≤=42 ,220 ,1x x x g 求()()()12-+=x g x g x f 的定义域，并求⎪⎭⎫ ⎝⎛23f 。
二．求函数的值域 例1．求3311-=x ey 的值域例2．求()()⎪⎩⎪⎨⎧>--≤≤---<-==2,2122,52,323x x x x x x x f y 的值域，并求它的反函数 三．求复合函数有关表达式 1．已知()x f 和()x g ，求()[]x g f 例1．已知()1-=x xx f ，求()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-11x f f 例2．设()21x x x f +=，求()()[]()重复合n x f x f f f n =例3．设()⎩⎨⎧>≤-=2,02,42x x x x f ，求()[]x f f 2．已知()x g 和()[]x g f ，求()x f 例1．设()x e e e f x xx++=+21，求()x f例2．已知()xxxee f -='，且()01=f ，求()x f例3．设()x x fsin =，求()x f '例4．已知()x x f 2cos 3sin -=，求证()x x f 2cos 3cos += 3．已知()x f 和()[]x g f ，求()x g例．已知()()x x f +=1ln ，()[]x x g f =，求()x g 解：()[]x fx g 1-=实际上为求反函数问题()[]()[]x x g x g f =+=1ln ，()x e x g =+1 ()1-=x e x g 4．有关复合函数方程 例．设()x x f x x f 2311-=⎪⎭⎫⎝⎛-+，求()x f 四．有关四种性质例1．设()()x f x F ='，则下列结论正确的是[ ]（A ）若()x f 为奇函数，则()x F 为偶函数。
(完整版)高数第一章例题及答案(终)理工类吴赣昌
第一章函数、极限与连续内容概要课后习题全解习题1-1★1．求下列函数的定义域：知识点：自然定义域指实数范围内使函数表达式有意义的自变量x 的取值的集合； 思路：常见的表达式有 ① a log □,（ □0>） ② /N □, （ □0≠） ③(0)≥W④ arcsin W （W[]1,1-∈）等解：（1）[)(]1,00,11100101122⋃-∈⇒⎩⎨⎧≤≤-≠⇒⎩⎨⎧≥-≠⇒--=x x x x x x x y ；（2）31121121arcsin≤≤-⇒≤-≤-⇒-=x x x y ； （3）()()3,00,030031arctan 3⋃∞-∈⇒⎩⎨⎧≠≤⇒⎩⎨⎧≠≥-⇒+-=x x x x x x x y ；（4）()()3,11,1,,1310301lg 3⋃-∞-∈⇒⎩⎨⎧-<<<⇒⎩⎨⎧-<-<⇒-=-x x or x x x x x y x；（5）()()4,22,11601110)16(log 221⋃∈⇒⎪⎩⎪⎨⎧-<-≠-<⇒-=-x x x x x y x ； ★ 2．下列各题中，函数是否相同？为什么？（1）2lg )(x x f =与x x g lg 2)(=；（2）12+=x y 与12+=y x知识点：函数相等的条件；思路：函数的两个要素是f （作用法则）及定义域D （作用范围），当两个函数作用法则f 相同（化简后代数表达式相同）且定义域相同时，两函数相同；解：（1）2lg )(x x f =的定义域D={}R x x x ∈≠,0，x x g lg )(=的定义域{},0R x x x D ∈>=，虽然作用法则相同x x lg 2lg 2=，但显然两者定义域不同，故不是同一函数；（2）12+=x y ，以x 为自变量，显然定义域为实数R ；12+=y x ，以x 为自变量，显然定义域也为实数R ；两者作用法则相同“2□1+”与自变量用何记号表示无关，故两者为同一函数；★ 3．设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<=3,03,sin )(ππϕx x x x ，求)2()4()4()6(--ϕπϕπϕπϕ，，，，并做出函数)(x y ϕ=的图形知识点：分段函数；思路：注意自变量的不同范围； 解：216sin)6(==ππϕ，224sin 4==⎪⎭⎫⎝⎛ππϕ，224sin 4=⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-ππϕ()02=-ϕ；如图：★ 4．试证下列各函数在指定区间内的单调性 ：（1）()1,1∞--=xxy （2）x x y ln 2+=，()+∞,0 知识点：单调性定义。
高一物理必修一第一章典型例题讲解
1.甲物体以乙物体为参考系是静止的，甲物体以丙物体为参考系又是运动的，那么，以乙物体为参考系，丙物体的运动情况是( )A ．一定是静止的B ．运动或静止都有可能C ．一定是运动的D ．条件不足，无法判断2．某人爬山，从山脚爬上山顶，然后又从原路返回到山脚，上山的平均速率为v 1，下山的平均速率为v 2，则往返的平均速度的大小和平均速率是( )A.v1＋v22，v1＋v22B.v1－v22，v1－v22C ．0，v1－v2v1＋v2D ．0，2v1v2v1＋v23．某物体作匀减速直线运动,其加速度为-2m/s 2,在任1秒中( )A ．该秒末速度比前1秒初速度小2米／秒；B ．末速度比初速度大2米／秒,方向与初速度方向相反；C ．末速度比初速度小2米／秒,其加速度方向与初速度方向相反；D ．末速度比初速度小2米／秒,其方向与初速度方向相反.4． 一物体做匀变速直线运动，某时刻速度的大小是4m/s ，1s 后的速度大小变成了10m/s ，在这1s 内该物体的（ ）A 、位移的大小可能小于4mB 、位移的大小可能大于10mC 、加速度的大小可能小于4m/s2D 、加速度的大小可能大于10m/s25．一辆汽车沿平直公路行驶，开始以20m/s 的速度行驶了全程的1/4，接着以v 的速度行驶了最后的3/4的路程，已知全程的平均速度是16m/s ，则v 等于（ ）A 、18m/sB 、36m/sC 、15m/sD 、17.1m/s6．列车长为L ，铁路桥长也是L ，列车沿平直轨道匀加速过桥，车头过桥头的速度是v1，车头过桥尾的速度是v2，则车尾通过桥尾时的速度为( )A ．v 2B ．2v 2－v 1 C. v21＋v222 D. 2v22－v217．汽车刹车后做匀减速直线运动，最后停了下来，在汽车刹车的过程中，汽车前半程的平均速度与后半程的平均速度之比是( )A ．(2＋1)∶1B ．2∶1C ．1∶(2＋1)D ．1∶ 28．某物体做直线运动，物体的速度—时间图线如图所示，若初速度的大小为v0，末速度的大小为v ，则在时间t1内物体的平均速度是( )A ．等于(v0＋v)/2B ．小于(v0＋v)/2C ．大于(v0＋v)/2D ．条件不足，无法比较9．如图5所示，小球从竖直砖墙某位置静止释放，用频闪照相机在同一底片上多次曝光，得到了图中1、2、3、4、5……所示小球运动过程中每次曝光的位置，连续两次曝光的时间间隔均为T ，每块砖的厚度为d.根据图中的信息，下列判断错误的是( )A ．位置“1”是小球释放的初始位置B ．小球做匀加速直线运动C ．小球下落的加速度为d T2D ．小球在位置“3”的速度为7d 2T10．小船匀速逆流而上，经过桥下时箱子落水了，船继续前进一段时间后才发现，并立即调头以相同的静水船速顺流而下，经过1h 在下游距桥7.2km 处追上．则河水流动速度为( )A ．7.2km/hB ．3.6km/hC ．1m/sD ．条件不足，无法确定11．一艘船以恒定的速度，往返于上、下游两码头之间．如果以时间t 1和t 2分别表示水的流速较小和较大时船往返一次所需的时间，那么，两时间的长短关系为( )A ．t 1＝t 2B ．t 1>t 2C ．t 1<t 2D ．条件不足，不能判断12．下列给出的四组图象中，能够反映同一直线运动的是( )13．甲、乙两位同学多次进行百米赛跑，每次甲都比乙提前10m到达终点(近似匀速)，现让甲远离起跑点10m，乙仍在起跑点起跑，则()A．甲先到达终点B．两人同时到达终点C．乙先到达终点D．不能确定14．相距12km的平直公路两端，甲乙两人同时出发相向而行，甲的速度是5km/h，乙的速度是3km/h，有一小狗以6km/h的速率，在甲、乙出发的同时，由甲处跑向乙，在途中与乙相遇，即返回跑向甲，遇到甲后，又转向乙．如此在甲乙之间往返跑动，直到甲、乙相遇，求在此过程中，小狗跑过的路程和位移．15．一辆客车在某高速公路上行驶，在经过某直线路段时，司机驾车做匀速直线运动．司机发现其正要通过正前方高山悬崖下的隧道，于是鸣笛，5s后听到回声；听到回声后又行驶10s司机第二次鸣笛，3s后听到回声．请根据以上数据帮助司机计算一下客车的速度，看客车是否超速行驶，以便提醒司机安全行驶．已知此高速公路的最高限速为110km/h，声音在空中的传播速度为340m/s.16．一根长L的细直杆AB原来紧贴y轴直立，当它的B端从坐标原点O开始从速度v沿着x 轴正方向匀速运动时，A端沿y轴运动的位移与时间的关系式如何？17．一列长 队伍，匀速行进速度为v，现有通讯员从队列的末尾跑步以匀速度u赶到队列前端传令，又立即以速度u返回队尾，在这段时间里，此列队伍前进的距离是多少？18．有小河流速是1m/s，船以划速3m/s逆水而行，忽有船上一顶草帽跌落水中立即随水漂流而去，10s后发觉，立即掉头以原划速顺水追赶，问再经几秒钟可追到草帽？。
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第1章化学热力学基础[例1-1]用管道输送天然气，当输送压力为200kPa，温度25℃，管道内天然气的密度为多少？假设天然气可以看作是纯的甲烷。
解：p＝(ρ/M) RT;ρ＝pM/ RTp=200kpa, T=(25+273.15)K, M=16.04×10-3kg/mol, R=8.314 J·mol-1·K-1代入公式即可，ρ＝1.294 kg/m3。
[例1-2]今有104.365kPa温度为300K的含水蒸气的烃类混合气体，其中水蒸气的分压为3.167kPa。
现欲得到除去水蒸气的1kmol干烃类混合气体，试求：（1）应从湿烃混合气体中除去水蒸气的物质的量；（2）所需湿烃类混合气体的初始体积解：（l）已知p=104.365kPa，T=300K，p A=3.167kPa，n B=1kmol则p B=p－p A =104.365 kPa－3.167 kPa=101.198kPa；p A=n A/V×RT，p B= n B/V×RTp A/p B=n A/n Bn A=p A/p B×n B＝3.167/101.198×1000＝31.30mol。
（2）p＝n/V×R T，P、T已知，n=n A + n B=1000+31.30=1031.30 molV＝nRT/p＝1031.30×8.314×300/（104.365×1000）＝24.65m3[例1-3]始态T=300K，p1＝150kPa的某理想气体，n＝2mol，经过下属两不同途径等温膨胀到同样的末态，其p2＝50kPa。
求两途径的体积功：① 反抗50kPa的恒外压一次膨胀到末态；② 先反抗100kPa的恒外压膨胀到中间平衡态，再反抗50kPa的外压膨胀到末态。
解：两途径如图所示：两途径均属反抗恒外压膨胀：W ＝－p 外×ΔV根据理想气体状态方程计算出始、终及中间态的体积分别为33.26dm 3、99.78dm 3、49.89drn 3。
途径①的体积功：W ＝－p 外×ΔV ＝－3.326kJ 。
途径②的体积功：W ＝（－p 外’×ΔV 1）+（－p 外’’× ΔV 2）＝－4.158kJ可以看出：①虽然两过程的始终态相同，但功却不相同，说明功与过程有关，功不是状态函数。
②保持始、终态相同，两次等温膨胀系统所做的功大于一次膨胀时系统所做的功。
[例1-4] 物质的量为n 的理想气体由始态p 1、V 1、T ，恒温变化压力、体积到终态p 2、V 2、T ，求过程的ΔH 。
解：ΔH ＝ΔU ＋Δ（pV ）＝ΔU ＋Δ（nRT ）＝0[例1-5] 始态T 1＝298K ，p 1＝500kPa ，体积为V 1＝1dm 3的某理想气体等温可逆膨胀到最后压力为p 2＝100Kpa 。
求体积功、热力学能的改变量和焓的改变量。
解：气体的物质的量为：由理想气体状态方程计算得n ＝pV/RT =0.204mol对等温可逆膨胀：ΔU ＝0，ΔH ＝0，Q ＝－W21lnp W nRT p =＝0.204×8.314×ln（100/500）＝－805.47 J Q = －W ＝805.47 J[例1-6] 设有0.1mol 正庚烷C 7H 16（l ）在量热计中完全燃烧。
在25℃测得放热480.4kJ 。
分别计算下列两个方程的Δr H m 、Δr U m 。
（P151例5.8）解：在量热计中测出的是等容热效应，即ΔU ＝Q V ＝－480.4 KJ（1）716716()00.10.1()1n C H molmol C H ζν∆-∆===-480.44804/0.1r m U kJ U kJ mol ζ∆-∆===-∆ 114804/(117)8.314298r m r m B BH U RT kJ mol J K mol Kν--∆=∆+=-+-+⨯⋅⋅⨯∑4814/kJ mol =-（2）716716()00.10.05()2n C H molmol C H ζν∆-∆===-480.49608/0.05r m U kJ U kJ mol ζ∆-∆===-∆119608/(2214)8.314298r m r m B BH U RT kJ mol J K mol Kν--∆=∆+=-+-+⨯⋅⋅⨯∑9628/kJ mol =-可见，方程（2）的计量系数是方程（1）的两倍。
方程（2）的Δr H m 、Δr U m 也是方程（1）的两倍，因此，方程式的写法不同，其Δr H m 、Δr U m 也不同。
[例1-7] 已知下列反应的热效应：2212382231 () 393.5/2 393.5/1 (3) ()53+ 4 2219.9/m m m C O CO H kJ mol H kJ mol C H g O CO H kJ mol θθθ+=∆∆+=∆r 222r 2r （）石墨＝－（） H + 0.5O = H O(l) ＝－（）H O(l)＝－ 求：2383()4 ?m C H C H H θ+=∆r 石墨＝解：（1）×3 + （2）×4－（3）即为所求方程∴ 1234m m m m H H H H θθθθ∆∆+∆-∆r r r r ＝3＝－130.93kJ/mol[例1-8] 利用标准摩尔生成焓数据，计算反应：CH 4（g ）＋2O 2（g ）＝CO 2（g ）＋2H 2O （l ）的标准摩尔反应焓变。
解：从附录中查出各物质标准摩尔生成焓CH 4（g ）＋2O 2（g ）＝CO 2（g ）＋2H 2O （l ）Δf H m θ kJ/mol －74.85 0 －393.5 －285.83 则：m m m H H H θθθ∆∆∆∑∑r ff 生成物反应物＝－＝－890.31 kJ/mol [例1-9] 已知25℃时：CO 2 (g) H 2O(l) C 2H 5OH(l)Δf H m θ /kJ·mol －1 -393.5 -285.83Δc H m θ/kJ·mol －1: -1366.8 求乙醇在25℃时Δf H m θ(C 2H 5OH ，l)。
解：乙醇的燃烧反应为：),(),(3),(2),()(3)(2)(3)(52225222252l OH H C H l O H H g CO H l OH H C H H l O H g CO g O l OH H C m f m f m f m c m r θθθθθ∆-∆+∆=∆=∆+=+∴ 252225(,)2(,)3(,)(,)f m f m f m c m H C H OH l H CO g H H O l H C H OH l θθθθ∆=∆+∆-∆＝－277.69 kJ·mol －1[例1-10] 1mol 理想气体在298K 时等温膨胀，体积增大10倍，求系统的熵变。
假定膨胀过程：（1）可逆膨胀；（2）自由膨胀。
解：（1）可逆膨胀用V 2/V 1＝10代入上式得：12lnV V nR S =∆＝1mol×8.314J/K/mol×ln10＝19.14J/K ΔS 为正值，并不意味着过程是不可逆的，因为它不是孤立系统。
考虑到环境熵变：10ln ln n 12rev nR V VR T Q S -===∆－环＝-1mol×8.314J/K/mol×ln10＝-19.14J/K 大孤立系统的总熵变：（ΔS）总＝（ΔS）系 +（ΔS）环＝0，所以该过程是可逆过程。
（2）自由膨胀是不可逆过程，不能用过程的热温商来计算。
但这个过程的始态、终态和过程（1）完全相同，所以系统的熵变仍是：ΔS＝19.14J/K W=0，ΔU=0，Q ＝0，则0==∆TQ S －环大孤立系统的总熵变：（ΔS）总＝（ΔS）系 +（ΔS）环＝（ΔS）系＝19.14 J/K>0 故理想气体等温自由膨胀是自发过程。
[例1-11] 1mol 理想气体在298K 时由1000kPa 等温膨胀至100kPa ，假设过程为：（1）可逆膨胀；（2）在等外压力100kPa 下膨胀；（3）向真空膨胀。
计算各过程的Q 、W 、ΔU、ΔH、ΔS 和ΔG。
解：（1）理想气体的等温膨胀，ΔU＝0、ΔH＝0Q ＝－W ＝J K K J mol p p nRT 7.5707kPa100kPa1000ln 15.298mol //314.81ln21＝⨯⨯⨯= ΔS＝Q rev/T ＝5707.7/298.15＝19.14J/K ΔG＝ΔH－TΔS＝－5707.7J（2）等外压等温膨胀，ΔU＝0、ΔH＝0Q ＝－W ＝p 外×ΔV＝p 外×（nRT/p2－nRT/p1）＝2230.9J ΔS 和ΔG 和过程（1）可逆膨胀相同。
（3）向真空膨胀Q=0，W ＝0，ΔU、ΔH、ΔS 和ΔG 均和过程（1）可逆膨胀相同。
[例1-12] 分别计算反应C （s ）+CO 2=2CO 在298K 和1173.15K 时（近似计算）的标准吉布斯函数变，并判断在此条件下能否自发进行。
解：1）计算298.15K 时的标准摩尔吉布斯函数变。
查表：C （s ）+ CO 2 = 2CO Δf G m θ 0 －394.4 －137.2，不能自发）＝（）－（0mol /kJ 1204.39412.1372 )({>-⨯-⨯=∆⋅=∆∑B G G m f BB m r θθν2）计算1173.15K 时的标准摩尔吉布斯函数变。
)15.298()15.298()(θθθm r m r m r S T K H T G ∆∆=∆－查表： C （s ）+ CO 2 = 2CO S m θ/J/K/mol 5.74 213.8 197.7 Δf H m θ/kJ/mol 0 －393.5 －110.5计算得： )15.298()15.298()(θθθm r m r m r S T K H T G ∆∆=∆－＝－34.5 kJ/mol ，自发。
[例1-13] 已知在298.15K 时（1）CO （g ）+ 0.5O 2 （g ） = CO 2（g ）；Δr G m θ＝－257.19kJ/mol （2）C （石墨）+ O 2（g ）= CO 2（g ）；Δr G m θ＝－394.36kJ/mol 求反应（3）：C （石墨）+ CO 2（g ）= 2CO （g ）；Δr G m θ＝?解：反应（3）＝反应（2）－反应（1）×2则Δr G m3θ＝Δr G m2θ－2Δr G m1θ＝（－394.36）－2×（－257.19）＝121.02 kJ/mol[例1-14] 分别计算反应C （s ）+ CO 2（g ） ＝2CO （g ） 在298.15K 和1173.15K 时的K θ。