4.1.2实数指数幂及其运算法则
15 21
2）、
(10 ) 10
3 7 3
10
3）、
(2 5) 10 1000
2 5
3 3
例子：
4）、
5 5 5
2 3 3
1 2
1 3
1 1 2 3 2 3 3
5
5 6
5）、
(10 ) 10
3 2 5 6 4
10 100
2 3 4 2
6）、
(2 5 ) 2
4 3 4
4 16 12
44
3ห้องสมุดไป่ตู้4
16 16 6 12 2 16a b a b 6 2 9 9a b 16 10 10 a b 9
把根式转换成指数式
n
当
a a
m
时，
m n
底数不变， 里面为分子，外面为分母
a0
1
n
a
m
a
m n 有倒数，指数中有负号
把根式转换成指数式
3 3
2
2 2
15 6
5 2
例13
3 9 27
5
2
3 3
2
2 5
3
3
3
3 3 3
10
2
3 3
2 10 3
5
例14
3 4 3 4 10 7 2 3 2 3
10
10
10
7
7
3 10 2
2 3
第四章
4.1.2
指数函数与对数函数
实数指数幂及其运算法则
1. 将下列各根式写成分数指数幂：
问
题
(1)
3 ； 20
（2）
2
4
a3
.
2． 将下列各分数指数幂写成根式：
(1) 65
1 2
3 4
；
2 3． （2.3） （2）
3 1. (1) ； （ 2） 2 a . 1、底数不变，分子在里，分母在外。 20
1 3
1 6
3
1 1 1 2 3 6
3
3 2 1 6 6 6
3
2 3
例11
3 9 27
3 4
3 9 27
1 2 1 2 3
1 2
1 3
1 4
3 (3 ) (3 )
3 3 3 3
1 2 3 2 3 4 1 2 2 3 3 4
1 3 4
4 3
4
3
准备高职：
(3a b ) (ab c )
5 2 3 4
5 6
1 4 3
1 2 3 2
3 a
3 2
5 3 6 1 2 2
b
1 3 4 32
a b
5 2 2 3 1 4
c
27 a b 27a b 2 1 6 6 a bc c
27 a b 6 c
1 2
1 4
3
1 2
3
9 9 (3 )
1 3
1 2 3
33
1 3
4
3
1 4
2 3
1 3 4
6
3 3
1 6
27 27 (3 )
3
3 4
例10
5 5 5 5 5
3
1 2
1 3
1 1 2 3
5
例11
3 2 6 6
5
1 2
5 6
3 3 3 3 3 3
3 6
1
再
见
3 4
2、指数中，负号的作用是对底数进行倒数
2．(1)
1
4
65
3
；
（2） 2.3 ．
3
2
复习： 1）、
2 2 2
2 3
5
23
2
5
2 53 2 2 2 3 2）、 2
(2 ) 2 2 2 2 2 4）、 (2 3) 2 3 36
3）、
2 3
2 3
6
实数指数幂的运算法则
25 4 0.25 4 13
5 2
1
2
1 2
1 2
0
1 2
2
1 2
1 2
1
5 7 5 1 1 2 1 2 2 2 2
7
2 7
3 2 10 7 2 3
3 4
10
14
3
107
2
1410
3 2 432
例15
3 4 9 5 13 5
4 3
4
0
3
3 5 3 5 4 1 3 3 4 2 5 3 5 9
3 5 2 1 4 6 3 5 5 3
5
10 3
5 4 6
2 5
6
例子：
7）、
3 a (3a ) 2 52 5 2 4 a (4a )
6 3
3 18
63
27a 10 16a
27 1810 a 16
27 8 a 16
例子：
8）、
2 a b (2a b ) 2 32 2 3 2 3 a b (3a b)
3
6 8 9 12 12 12
3
23 12
例12
2 4 16
3 3
2 4 16
1 2 1 2 3
1 2
1 3
1 3
2 (2 ) (2 )
2 2 2 2
1 2 4 2 3 3 1 2 2 3 4 3 3 4 8 6 6 6
1 4 3
a a a
p q
p q
pq
底数相同的两个指数式相乘，指数相加 底数相同的两个指数式相除，指数相减
a pq a q a
p
(a ) a p p p ( a b) a b
没括号，指数相加；有括号，指数相乘。
p q
例子： 1）、
5 5 5
12 3
123 37 3
5
中职数学4.1.2实数指数幂及其运算法则
题
实数指数幂及其运算法则
教
学
目
的
① 理解有理指数幂的含义，能运用有理指数幂的运算性质进行运算和化简，会进行根式与分数指数幂的相互转化；
②了解实数指数幂的意义,体会有理指数幂向无理指数幂逼近的过程.
重
点
难
点
实数指数幂的运算性质，实数指数幂的运算性质综合应用与综合运算
学
时
2
教
具
多媒体
教
学
过
程
教
学
过
程
复习：
4、知识巩固：
例4 计算下列各式：
多媒体放映解题过程
例5 化简下列各式：
师生一起探讨，再多媒体放映解题过程
计算：（学生上台做）
， ， ，
归纳小结：
引导学生回顾本节课所学的知识：
（1）有理数、实数指数幂的概念
（2）有理数、实数指数幂的运算法则
布置作业：73-74页1、2题
板
书
设
计பைடு நூலகம்
（1）有理数、实数指数幂的概念
（2）有理数、实数指数幂的运算法则
a>0 ,P、q为实数时：
课后反思
整数指数幂的运算法则有：
新课：
1、有理数指数幂的定义：
分数指数幂的意义
规定：
0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义。
规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂
2、有理数指数幂的运算法则
将以上整数指数幂的运算法则运用到有理数指数幂也适用：
即当a>0，p、q为有理数时有：
运用法则的条件是，出现的每个有理数指数幂有意义。
掌握指数和幂的运算和规则
掌握指数和幂的运算和规则在数学中，指数和幂是一种重要的数学运算和规则。
它们在各个领域都有广泛的应用，如科学、工程、金融等。
掌握指数和幂的运算和规则对于解决各种数学问题和实际应用非常重要。
本文将介绍指数和幂的运算和规则，并通过实例进行说明。
1. 指数的定义和运算指数是数学中的一种表示方式，用于表示一个数被乘以自身多少次。
比如，2的3次方表示2乘以2乘以2，即2³=8。
指数通常用上标的形式表示，如2³。
指数的运算有以下几种规则：（1）指数相加：当两个数的底数相同时，指数相加。
比如，2² × 2³ = 2^(2+3)= 2^5 = 32。
（2）指数相减：当两个数的底数相同时，指数相减。
比如，2⁵ ÷ 2³ = 2^(5-3)= 2² = 4。
（3）指数乘法：当两个数的指数相同时，底数相乘。
比如，2³ × 3³ = (2 × 3)³ = 6³。
（4）指数除法：当两个数的指数相同时，底数相除。
比如，2⁶ ÷ 3⁶ = (2 ÷3)⁶。
（5）指数的乘方：当一个数的指数是一个指数时，可以进行指数的乘方。
比如，(2³)² = 2^(3×2) = 2⁶ = 64。
2. 幂的定义和运算幂是指数的一种特殊形式，它表示一个数被乘以自身多次。
幂通常用底数和指数的形式表示，如2³。
幂的运算也有一些规则：（1）幂的乘法：当两个数的底数相同时，指数相加。
比如，2³ × 2⁴ = 2^(3+4) = 2⁷。
（2）幂的除法：当两个数的底数相同时，指数相减。
比如，2⁵ ÷ 2³ = 2^(5-3) = 2²。
（3）幂的乘方：当一个数的指数是一个幂时，可以进行幂的乘方。
比如，(2³)² = 2^(3×2) = 2⁶。
实数指数幂及运算法则教案
实数指数幂及运算法则教案一、教学目标1. 理解实数指数幂的概念，掌握有理数指数幂的性质。
2. 掌握实数指数幂的运算法则，能够熟练进行相关计算。
3. 能够运用实数指数幂及运算法则解决实际问题。
二、教学重点与难点1. 教学重点：实数指数幂的概念，有理数指数幂的性质，实数指数幂的运算法则。
2. 教学难点：实数指数幂的运算法则的应用。
三、教学方法1. 采用讲授法，讲解实数指数幂的概念、性质和运算法则。
2. 利用例题解析，让学生掌握实数指数幂的运算方法。
3. 开展小组讨论，引导学生探索实数指数幂的运算法则的应用。
四、教学内容1. 实数指数幂的概念2. 有理数指数幂的性质3. 实数指数幂的运算法则4. 实数指数幂的运算法则在实际问题中的应用五、教学安排1. 第一课时：实数指数幂的概念、有理数指数幂的性质2. 第二课时：实数指数幂的运算法则、例题解析3. 第三课时：实数指数幂的运算法则的应用、小组讨论4. 第四课时：课堂小结、作业布置5. 第五课时：作业批改与讲解、课后辅导六、教学过程1. 导入新课：回顾上一节课的内容，引出实数指数幂的运算法则。
2. 讲解实数指数幂的运算法则：引导学生通过观察、分析、归纳实数指数幂的运算法则。
3. 例题解析：讲解典型例题，让学生掌握实数指数幂的运算方法。
4. 小组讨论：让学生探讨实数指数幂的运算法则的应用，分享解题心得。
5. 课堂小结：对本节课的内容进行总结，强调实数指数幂的运算法则的重要性。
七、课后作业1. 复习实数指数幂的运算法则。
2. 完成课后练习题，巩固所学知识。
3. 思考实际问题，运用实数指数幂的运算法则解决问题。
八、作业批改与讲解1. 及时批改学生作业，了解学生掌握情况。
2. 针对学生作业中出现的问题，进行讲解和辅导。
3. 鼓励学生提问，解答学生心中的疑惑。
九、课后辅导1. 针对学习有困难的学生，进行个别辅导。
2. 组织课后讨论小组，帮助学生巩固实数指数幂的运算法则。
实数指数幂及运算法则教案
实数指数幂及运算法则教案一、教学目标1. 理解实数指数幂的概念，掌握有理数指数幂的运算性质。
2. 掌握实数指数幂的运算法则，能够运用运算法则解决实际问题。
3. 培养学生的数学思维能力，提高学生的数学素养。
二、教学重点与难点1. 教学重点：实数指数幂的概念，有理数指数幂的运算性质，实数指数幂的运算法则。
2. 教学难点：实数指数幂的运算法则的应用。
三、教学方法采用问题驱动法、案例分析法、分组讨论法等多种教学方法，引导学生主动探究、合作学习，提高学生解决问题的能力。
四、教学准备1. 教师准备：实数指数幂的相关知识，运算法则的案例，教学PPT等。
2. 学生准备：预习实数指数幂的相关知识，准备好笔记本。
五、教学过程1. 导入新课教师通过复习实数的基本概念，引导学生进入实数指数幂的学习。
2. 知识讲解（1）实数指数幂的概念教师讲解实数指数幂的定义，引导学生理解指数幂的意义。
（2）有理数指数幂的运算性质教师讲解有理数指数幂的运算性质，引导学生掌握运算规律。
（3）实数指数幂的运算法则教师讲解实数指数幂的运算法则，引导学生掌握运算法则。
3. 案例分析教师展示实数指数幂的运算案例，引导学生运用运算法则解决问题。
4. 课堂练习教师布置课堂练习题，学生独立完成，教师进行讲解和辅导。
5. 总结与拓展教师对本节课的知识进行总结，引导学生思考实数指数幂在实际问题中的应用。
6. 课后作业教师布置课后作业，巩固所学知识。
六、教学反思教师在课后对教学情况进行反思，针对学生的掌握情况，调整教学策略，以提高教学效果。
七、教学评价通过课堂表现、课后作业和课堂练习，评价学生对实数指数幂及运算法则的掌握程度。
八、教学时间本节课计划用2课时完成。
九、教学资源1. 教学PPT2. 实数指数幂的案例分析资料3. 课堂练习题十、教学拓展引导学生学习实数指数幂在实际问题中的应用，如科学计算、经济学等领域。
六、教学活动设计1. 导入新课：通过复习实数的乘方概念，引导学生自然过渡到实数指数幂的学习。
4.1.2 指数幂的拓展
4.1.2指数幂的拓展课标要求素养要求通过对有理数指数幂a mn(a>0且a≠1，m，n为整数，且n>0)、实数指数幂a x(a>0，且a≠1，x∈R)含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质.通过对有理数指数幂a mn、实数指数幂a x 含义的认识，提升数学抽象素养；通过指数幂运算性质的应用，提升数学运算素养.自主梳理1.分数指数幂(1)规定正数的正分数指数幂的意义是：a mn＝na m(a>0，m，n∈N*，且n>1)；(2)规定正数的负分数指数幂的意义是：a－mn＝1amn＝1na m(a>0，m，n∈N*，且n>1)；(3)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义. 2.有理数指数幂的运算性质(1)整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即：①a s a t＝a s＋t(a>0，s，t∈Q)；②(a s)t＝a st(a>0，s，t∈Q)；③(ab)t＝a t b t(a>0，b>0，t∈Q).(2)拓展：a sa t＝as－t(a>0，s，t∈Q).3.无理数指数幂一般地，当a＞0且x是一个无理数时，a x也是一个确定的实数.有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂.分数指数幂与根式有什么关系？(1)与根式的关系：分数指数幂是根式的另一种写法，根式与分数指数幂可以相互转化.(2)底数的取值范围：由分数指数幂的定义知a≤0时，a mn可能会没有意义.当a mn有意义时可借助定义将底数化为正数，再进行运算.自主检验1.思考辨析，判断正误(1)(－2)64＝(－2)32.(×)提示(－2)64>0，而(－2)32无意义，故错误.(2)a2·a 12＝a.(×)提示a2·a 12＝a52.(3)22∈R.(√)(4)3－32＝－332.(×)提示3－32＝1332＝133＝39.2.将3－22化为分数指数幂为()A.212B.－212C.2－12D.－2－12答案 B解析3－22＝⎝⎛⎭⎪⎫－2×21213＝⎝⎛⎭⎪⎫－23213＝－212.3.2－23等于()A.322 B.223 C.－322 D.1322答案 D解析2－23＝1223＝1322.4.化简2723＝________.答案9解析2723＝(33)23＝33×23＝32＝9.题型一根式与分数指数幂的互化角度1分数指数幂化根式【例1－1】用根式的形式表示下列各式(x>0).(1)x 25；(2)x－53.解(1)x 25＝5x2；(2)x－53＝13x5.角度2根式化分数指数幂【例1－2】把下列根式化成分数指数幂的形式，其中a>0，b>0.(1)5a6；(2)13a2；(3)4b3a2；(4)（－a）6.解(1)5a6＝a65.(2)13a2＝1a23＝a－23.(3)4b3a2＝⎝⎛⎭⎪⎫b3a214＝b34a－24＝a－12b34.(4)（－a）6＝a6＝a62＝a3.思维升华根式与分数指数幂互化的规律(1)根指数化为分数指数的分母， 被开方数(式)的指数化为分数指数的分子.(2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题.【训练1】 用分数指数幂表示下列各式： (1)b 3a ·a 2b 6(a >0，b >0)； (2)a －4b23ab 2(a >0，b >0).解 (1)b 3a ·a 2b 6＝b 3a ·ab 3＝1. (2)a－4b23ab 2＝a－4b 2·（ab 2）13＝a －4b 2a 13b 23＝a－113b 83＝a －116b 43.题型二 有理数指数幂的运算 【例2】 计算下列各式：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2790.5＋0.1－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21027－23－3π0＋3748； (2)614－3338＋40.062 5＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫0.06413－2.525－π0. 解 (1)原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫5320.5＋102＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫433－23－3＋3748＝53＋100＋916－3＋3748＝100.(2)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25412－⎝ ⎛⎭⎪⎫27813＋⎝ ⎛⎭⎪⎫62510 00014＋⎝ ⎛⎭⎪⎫641 00013×（－2.5）×25－1＝52－32＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫25－1－1＝3.思维升华 1.有理数指数幂运算的常用技巧 (1)有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算. (2)负指数幂化为正指数幂的倒数.(3)底数是小数，先要化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于运用有理数指数幂的运算法则. 2.根式化简的步骤(1)将根式化成分数指数幂的形式. (2)运用分数指数幂的运算法则求解. 3.对于化简或求值结果的要求对化简或求值的结果，一般保留为分数指数幂的形式；在进行指数幂运算时，通常是化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时要兼顾运算的顺序.【训练2】 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1681－34＝________.(2)计算下列各式(式中字母均为正数)：①⎝ ⎛⎭⎪⎫5x －23y 12·⎝ ⎛⎭⎪⎫－14x －1y 12·⎝ ⎛⎭⎪⎫－56x 13y －16； ②0.064－13－⎝ ⎛⎭⎪⎫－780＋[]（－2）3－43＋16－0.75.(1)答案 278解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1681－34＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫234－34＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫323＝278. (2)解 ①原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14×⎝ ⎛⎭⎪⎫－56x －23＋(－1)＋13·y 12＋12－16＝2524x －43y 56. ②原式＝0.4－1－1＋(－2)－4＋2－3＝52－1＋116＋18＝2716. 题型三 用乘法公式化简含指数幂的代数式【例3】 (1)若x 12－x －12＝1，则x ＋x －1＝________；x 2＋x －2＝________.(2)化简：a 43－8a 13b4b 23＋23ab ＋a 23÷⎝⎛⎭⎪⎫1－23b a ·3a . (1)答案 3 7解析 将x 12－x －12＝1两边平方得x ＋x －1－2＝1，则x ＋x －1＝3.将x ＋x －1＝3两边平方得x 2＋x －2＋2＝9，所以x 2＋x －2＝7. (2)解 原式＝a 13（a －8b ）4b 23＋2a 13b 13＋a 23÷a 13－2b 13a 13·a 13 ＝a 13⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a 133－⎝ ⎛⎭⎪⎫2b 1334b 23＋2a 13b 13＋a 23·a 13a 13－2b 13·a 13 ＝a 13⎝ ⎛⎭⎪⎫a 13－2b 13⎝ ⎛⎭⎪⎫a 23＋2a 13b 13＋4b 234b 23＋2a 13b 13＋a 23·a 13a 13－2b 13·a 13 ＝a 13·a 13·a 13＝a .思维升华 引入负指数及分数指数幂后，平方差、立方和与差、完全平方公式就有了新的形式，被赋予了新的活力，如a 3＋b 3＝(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)，a 3－b 3＝(a－b )(a 2＋ab ＋b 2)这两个公式用分数指数幂表示就是a ±b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 13±b 13⎝ ⎛⎭⎪⎫a 23∓a 13b 13＋b 23，再如a －b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 12＋b 12·⎝ ⎛⎭⎪⎫a 12－b 12，a ±2a 12b 12＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 12±b 122等，巧用这些公式的变形，可将所求代数式恰当地变形构造出与已知条件相同的结构，从而通过“整体代入”巧妙地求出代数式的值.【训练3】 (1)已知a ＝－827，b ＝1771，则a 23＋3a 13b 13＋（33b ）2a 43－27a 13b÷a 133a －33b＝________.(2)已知x 12＋x －12＝3，求x 2＋x －2－2x ＋x －1－2的值. (1)答案 94解析 原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 132＋3a 13b 13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3b 132a 13⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a 133－⎝ ⎛⎭⎪⎫3b 133÷a 13a 13－3b 13＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 132＋3a 13b 13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3b 132a 13⎝ ⎛⎭⎪⎫a 13－3b 13⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a 132＋3a 13b 13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3b 132 ÷a 13a 13－3b 13＝1a 13⎝ ⎛⎭⎪⎫a 13－3b 13·a 13－3b 13a 13＝1a 23. 由题意得a 13＝－23，∴a 23＝49.∴原式＝94.(2)解 由x 12＋x －12＝3，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x 12＋x －122＝9，即x ＋2＋x －1＝9，∴x ＋x －1＝7.两边平方得x 2＋2＋x －2＝49， ∴x 2＋x －2＝47.∴x 2＋x －2－2x ＋x －1－2＝47－27－2＝9.1.掌握2个知识点(1)分数指数幂的意义；(2)分数指数幂的运算性质. 2.掌握2种方法(1)对根式进行运算时，一般先将根式化成分数指数幂，这样可以方便使用同底数幂的运算律.(2)解决较复杂的条件求值问题时，“整体思想”是简化求解的“利器”. 3.规避1个易错点在运用分数指数幂的运算性质化简时，其结果不能同时含有根式和分数指数，也不能既含有分母又含有负指数.一、选择题1.若(1－2x )－34有意义，则x 的取值范围是( ) A.R B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12 答案 D解析 将分数指数幂化为根式，可知需满足1－2x >0，解得x <12.2.化简[3（－5）2]34的结果为( ) A.5 B. 5 C.－ 5 D.－5答案 B解析 [3（－5）2]34＝(352)34＝523×34＝512＝ 5.3.⎝ ⎛⎭⎪⎫51160.5＋(－1)－1÷0.75－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21027－23＝( ) A.94 B.49 C.－94D.－49答案 A解析 原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫811612－1÷⎝ ⎛⎭⎪⎫34－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6427－23＝94－1÷⎝ ⎛⎭⎪⎫432＋⎝ ⎛⎭⎪⎫276423＝94－916＋916＝94.4.化简(36a 9)4·(63a 9)4的结果是( )A.a 16B.a 8C.a 4D.a 2答案 C解析 原式＝⎝⎛⎭⎪⎫3a 964·⎝⎛⎭⎪⎫6a 934＝⎝⎛⎭⎪⎫a 32×134·⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3×164＝a 2·a 2＝a 4. 5.(多选题)下列各式中一定成立的有( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫n m 7＝n 7m 17B.12（－3）4＝33C.4x 3＋y 3＝(x ＋y )34 D.39＝33答案 BD解析 A 中应为⎝ ⎛⎭⎪⎫n m 7＝n 7m －7；12（－3）4＝1234＝33，B 正确；C 中当x ＝y ＝1时，等式不成立；D 正确.故选BD. 二、填空题6.已知3a ＝2，3b ＝5，则32a －b ＝________. 答案 45解析 32a －b ＝（3a ）23b ＝45. 7.设a >0，将a 2a 3a 2表示成分数指数幂的形式，其结果是________.答案 a 76 解析a 2a 3a 2＝a 2aa 23＝a 2a 53＝a 2a 53×12＝a 2a －56＝a 2－56＝a 76.8.2－12＋（－4）02＋12－1－（1－5）0·823＝________.答案 22－3 解析 原式＝12＋12＋2＋1－22＝22－3. 三、解答题 9.求下列各式的值：(1)481×923；(2)325－12545.解 (1)原式＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤34×⎝ ⎛⎭⎪⎫3431214＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34＋2314＝376＝363.(2)原式＝523－532514＝523－14－532－14＝5512－554＝1255－545.10.计算：(1)(2－1)0＋⎝ ⎛⎭⎪⎫169－12＋(8)－43；(2)0.027－13－⎝ ⎛⎭⎪⎫－16－2＋2560.75－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫190.解 (1)原式＝1＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫432－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫232－43＝1＋34＋14＝2.(2)原式＝(0.33)－13－1⎝ ⎛⎭⎪⎫162＋(44)34－13＋1＝103－36＋64－13＋1＝32.11.已知m ＝2，n ＝3，则⎝ ⎛⎭⎪⎫3m 2n －3n ·3m －2÷m n －4n m －23的值是________. 答案 227解析 因为m ＝2，n ＝3， 所以原式＝＝(m 43n －52m －1n 32)3＝mn －3＝2×3－3＝227.12.已知32a ＋b ＝1，则9a ·3b3a ＝________. 答案 3解析 原式＝32a 3b 3a 2＝332a ＋b ＝31＝3.13.(1)已知2x ＋2－x ＝a (常数)，求16x ＋16－x 的值； (2)已知x ＋y ＝12，xy ＝9且x <y ，求x 12－y 12x 12＋y 12的值.解 (1)∵4x ＋4－x ＝(2x )2＋(2－x )2＝(2x ＋2－x )2－2·2x ·2－x ＝a 2－2，∴(4x ＋4－x )2＝16x ＋16－x ＋2＝(a 2－2)2＝a 4－4a 2＋4，∴16x ＋16－x ＝a 4－4a 2＋2.(2)x 12－y 12x 12＋y 12＝（x 12－y 12）2（x 12＋y 12）（x 12－y 12）＝（x ＋y ）－2（xy ）12x －y.① ∵x ＋y ＝12，xy ＝9，②∴(x －y )2＝(x ＋y )2－4xy ＝122－4×9＝108.又∵x <y ，∴x －y ＝－6 3.③将②③代入①，得x 12－y 12x 12＋y 12＝12－2×912－63＝－33.14.对于正整数a ，b ，c (a ≤b ≤c )和非零实数x ，y ，z ，w 有a x ＝b y ＝c z ＝70w ，且1w＝1x ＋1y ＋1z ，求a ，b ，c 的值.解 ∵a x ＝70w 且x ，w 为非零实数，∴(a x )1x w ＝(70w )1x w ，∴a 1w ＝701x . 同理可得b 1w ＝701y ，c 1w ＝701z ，即(abc )1w ＝701x ＋1y ＋1z ＝701w . a ，b ，c 均为正整数，∴abc ＝70＝2×5×7，又a ，b ，c 为正整数且a ≤b ≤c ，∴a ＝2，b ＝5，c ＝7.。
实数指数幂及其运算
24=16 (-2)4=16 25=32
2,-2叫16的4次方根; 2叫32的5次方根;
………………………………………… 通过类比方法，可得n次方根的定义.
2n = a
xn =a
2叫a的n次方根; x叫a的n次方根.
1.方根的定义 如果xn=a,那么x叫做 a 的n次方根,其中n>1,且 n∈N*. 即 如果一个数的n次方等于a (n>1，且 n∈N*)，那么这个数叫做 a 的n次方根.
【1】下列各式中, 不正确的序号是( ①
④ ).
①
③
5 5
4 5
16 2
5
5
② ( 3) 3
( 3) 3
10
④ ( 3) 3
⑤
4
( 3) 3
4
【2】求下列各式的值.
⑴ 32;
5
⑵ （ 3）;
4
⑶ （ 2 3）;
2
⑷ 5 2 6.
5
解: ⑴ 5 32
1.正数的偶次方根有两个且互为相反数 2.负数的偶次方根没有意义
正数a的n次方根用符号 n a 表示(n为偶数）
(1) 奇次方根有以下性质： 正数的奇次方根是正数. 负数的奇次方根是负数. 零的奇次方根是零. (2)偶次方根有以下性质： 正数的偶次方根有两个且是相反数， 负数没有偶次方根， 零的偶次方根是零.
a a
n
m n
m
(a>0,m,n∈N*,且n>1)
等于这个正数的m次幂的n次算术根. 注意：底数a>0这个条件不可少. 若无此条件会 引起混乱，例如， (-1)1/3 和 (-1)2/6 应当具有同样 的意义，但由分数指数幂的意义可得出不同的 结果：
实数指数幂及运算法则教案
实数指数幂及运算法则教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解实数指数幂的概念；（2）掌握实数指数幂的运算法则；（3）能够运用实数指数幂及运算法则解决实际问题。
2. 过程与方法：（1）通过实例引入实数指数幂的概念；（2）引导学生发现并归纳实数指数幂的运算法则；（3）运用运算法则进行变形和求解。
3. 情感态度与价值观：（1）培养学生对数学的兴趣和好奇心；（2）培养学生主动探索、合作学习的意识；（3）培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
二、教学内容1. 实数指数幂的概念：（1）引入平方根、立方根的概念；（2）引导学生理解实数指数幂的概念，即a^n 表示n 个a 相乘。
2. 实数指数幂的运算法则：（1）同底数幂的乘法：a^m a^n = a^(m+n)；（2）同底数幂的除法：a^m / a^n = a^(m-n)；（3）幂的乘方：a^m^n = a^(mn)；（4）积的乘方：(ab)^n = a^n b^n；（5）零指数幂：a^0 = 1（a ≠0）；（6）负指数幂：a^-n = 1 / a^n（a ≠0）。
三、教学重点与难点1. 教学重点：（1）实数指数幂的概念；（2）实数指数幂的运算法则。
2. 教学难点：（1）实数指数幂的运算法则的应用；（2）解决实际问题中指数幂的运用。
四、教学方法1. 实例引入：通过实际问题引入实数指数幂的概念；2. 引导发现：引导学生发现并归纳实数指数幂的运算法则；3. 练习巩固：运用运算法则进行变形和求解；4. 实际应用：解决实际问题，巩固知识。
五、教学步骤1. 导入新课：通过实际问题引入实数指数幂的概念；2. 讲解与演示：讲解实数指数幂的概念，演示运算法则的运用；3. 练习与讨论：学生独立练习，小组讨论，共同解决问题；4. 总结与拓展：总结实数指数幂的运算法则，拓展相关知识；5. 作业布置：布置练习题，巩固所学知识。
六、教学评估1. 课堂问答：通过提问了解学生对实数指数幂概念和运算法则的理解程度；2. 练习题：布置课堂练习题，检查学生掌握运算法则的情况；3. 小组讨论：观察学生在小组讨论中的参与程度和合作能力；4. 课后作业：检查课后作业的完成质量，了解学生对知识的掌握和运用能力。
4.1.2中职数学-实数指数幂的运算法则
4.1.2 实数指数幂及其运算法则一、教材分析本节课是新课标职业高中数学基础模块上册第四章实数指数幂第二课时，也是指数函数的入门课程。
指数函数对于学生来说是一个全新的函数模型，学习起来比较困难。
而实数指数幂的运算是指数函数的基础，是认识指数函数的先遣队。
我们通过初中学习整数指数幂的运算，进一步推广到实数指数幂的运算，为我们的指数函数铺路搭桥。
实数指数幂的运算是高中数学中的一类重要运算，需要理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，选择运算方法，是培养学生具备运算能力的重要载体。
通过本节课的学习，可以让学生重新认识幂运算，为指数函数做铺垫。
从而更清晰，深刻地认识和理解指数函数模型，培养学生的逻辑思维能力。
二、学情分析学生进入高中学习时间短，运算能力，逻辑思维能力，探究能力，合作学习能力还不够成熟。
需要在我们的教学过程中继续强化，引导。
初中已经学习《整数指数幂及其运算法则》。
本节课是在初中学习基础上继续深入学习，将幂指数的限定由整数推广到实数，运算法则不变，所以学生有前面的基础，我们的探究过程会显得更加从容，学生能够通过合作交流完成猜想与探究。
通过对不等式的学习，已有一定的运算基础，同时对相互转化的思想，探究能力、逻辑思维能力得到了一定的锻炼。
因此，学生已具备了探索发现研究新知的认识基础，故应通过指导，教会学生独立思考、团结协作、大胆猜测和灵活运用类比、转化、归纳等学习方法。
三、教学设计0．，且a≠时，规定四、板书设计：五、课后反思学生是教学的主体,为了体现以学生发展为本，遵循学生的认知规律，体现循序渐进与启发式的教学原则，本节课给学生提供各种参与机会。
为了调动学生学习的积极性，使学生化被动为主动。
本节课我采用学生独立完成加小组合作交流，分享小组成果等方式调动学生主动参与的积极性。
在教学重难点上，循序渐进、启发学生的思维,通过课堂练习、学生讨论的方式来加深理解,很好地突破难点和提高教学效率。
让学生在教师的引导下，充分地动手、动口、动脑，掌握学习的主动权。
《实数指数幂及其运算法则》ppt课件
$(uv)^n = u^n times v^n$
积的运算性质
$(u^n)v = u times u times ldots times u times v$（共n个u相乘）
积的运算性质2
$(u^n)v = u times (u^n)v$
积的运算性质3
$(ab)^{-n} = frac{1}{(ab)^n} = frac{1}{a^n times b^n}$
积的运算性质
$frac{a^m}{b^m} = (a/b)^m$
商的指数运算性质
$frac{a^m}{b^{-m}} = (a/b)^{m-n} = frac{a^{m-n}}{b^{m-n}}$
总结与回顾
卑鄙！只要 your question mark keeps track of keeping your work. OMRC
Cited from: "https://www.bokephases"
总结与回顾
* "
" 输入: 6th Party View : 尾声 (疏影)
# 2nd Party View
幂运算在数学、物理、工程等领域有广泛应用。
幂的应用
积运算可以用于计算多个数的乘积，简化计算过程。
在统计学中，积运算可以用于计算样本方差、标准差等统计量。
在物理学中，积运算可以用于计算多个物理量的乘积，如力矩、功等。
积的应用
商的应用
商运算可以用于计算两个数的比值，用于比较大小、排序等。
在经济学中，商运算可以用于计算成本效益比、投资回报率等。
尾声 (疏影): 6th Party View : 尾声 (疏影)
实数指数幂及其运算法则
练习３：化简下列各式 (课后练习) 5x y
1 - 1 2 2 3 1 2 1 3 1 6
（1）
1 5 （ - x y ）（ - x y ） 4 6
m + m- 1 + 2 （2） 1 1 m
2
+ m2
总结：
• 1
a a
0
= 1
（a 0）
• 2 • 3
- n
1 （a 0，n N ） = n a
山阳职教中心 陈新芳
实数分类:
有理数 整数 分数
正整数 0 负整数
实 数 无理数
在初中学过整数指数幂概念及运算，这节我们将其推广 到实数指数幂及运算。
1 整数指数幂
正整数指数幂:
a2 a a
指数
n
a3 a a a
规定： a
１
幂
a a a ......a
底数
＝a
n个
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2 2
1 2 2
⑥（a b ） a b 2a b
1 2
1 2 2
1 2
1 2
无理数指数幂
例： 3 2 是一个什么样的数？
用 1.4 ， 1.41 ， 1.414 ，（ ..... 2的不足近似值）；
3 ， 3 ， 3
和
1.5 1.42
1.4
1.41
1.414
将正整数指数幂推广到整数指数幂
规定： a 0 1 （a 0） 1 n a n （a 0，n N ） a
• 运算法则(m,n∈z) (1) am·an=am+n (2) (am)n=amn