线代习题1
线代习题一答案 周勇朱砾版 新版
(ad − bc)n
(4)
1 1 1 ... 1 1
1+a1 1 ... 1
1 Dn = ...
1+a2 ... 1 ... ... ...
0 1+a1 1 ... 1 1
01
=
1+a2 ... 1 1
... ... ... ... ...
1
1 ... 1+an 0 1 1 ... 1+ an−1 1
r1 / (b-a) r2 / (b-a)
(b-a)2
a 1
b+a 2
= (a-b)3
按第3行展开
ab-a2 b2 -a2 b-a 2b-2a
（2）
a2 （a+1）2 （a+2）2 （a+3）2 b2 （b+1）2 （b+2）2 （b+3）2 c2 （c+1）2 （c+2）2 （c+3）2 d2 （d+1）2 （d+2）2 （d+3）2
排列，故只需判断列表排列的逆序数，即［（2134）=1，所以 a12a21a33a44 的符号为负，因此 x3 的系数是-1.
（3）由定理 4,1 可知，
a b c1
a 0c1
cba1
c0a1
a14 +a 24 +a34 +a 44
=1a14 +1a24 +1a34 +1a44 = d b
c 1 c2 -bc4
0
311
1
3 1 1
1 r2 -r1 0 -1 1
1 r3-r1 0 0 -1
0
00 0
1 1 0 =3 × (-1) × (-1) × -1
线代习题1-4解答
习题1-4解答1. 求行列式122305403--中元素2和2-的代数余子式。
解：元素2的代数余子式为03040)1(13=-+， 元素2-的代数余子式为293543)1(23=---+。
2. 已知四阶行列式D 中第3列元素依次为1-，2，0，1，它们的余子式依次为5，3，7-，4，求D 。
解：利用行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即in in i i i i A a A a A a D +++= 2211（n i ,,2,1 =），或 nj nj j j j j A a A a A a D +++= 2211（n j ,,2,1 =），所以 1541)7(0325)1(-=⨯--⨯+⨯-⨯-=D 。
3. 按第3列展开下列行列式，并计算其值：⑴11111110101dc b a------； 解：原式01111111)1(011111110)1(3231-----+-------=++b a 11111011)1(01111011)1(3433------+----+++d c()()()()d b a d c b a ++=---+-++---++-=11111111111。
⑵ 00000000052514241323125242322211514131211a a a a a a a a a a a a a a a a 。
解：原式000000)1(00000)1(525142413231151412112332525142413231252422211331=-+-=++a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 。
4. 证明：))()()()()()((111144442222d c b a d c d b c b d a c a b a d c b a d c b a dc b a+++------=。
证：)()()(0)()()(001111111122222222244442222a d d a c c ab b a d d ac c a b b ad a c a b d c b a d c b a d c b a ---------========)()()(111))()((222a d d a c c a b b d c b a d a c a b +++---= yx b d b c a d a c a b 00111))()((-----============，其中：))(()()()(222c b a b c c ab b ac c c a b bc a c c x ++-=--+=+-+=，))(()()()(222d b a b d d ab b ad d d a b bd a d d y ++-=--+=+-+=，故)()(11))((d b a d c b a c b d b c y x b d b c ++++--=-- )]()()[)((c b a c d b a d b d b c ++-++--=]))()[()((22c d b a c d b d b c -++---=))()()((d c b a c d b d b c +++---=，因此，左式=+++------=))()()()()()((d c b a c d b d b c a d a c a b 右式。
线性代数试题及详细答案
线性代数试题及详细答案线性代数试题及详细答案————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：线性代数（试卷一）一、填空题（本题总计20分，每小题2分） 1. 排列7623451的逆序数是_______。
2. 若122211211=a a a a ，则=16030322211211a a a a 3. 已知n 阶矩阵A 、B 和C 满足E ABC =，其中E 为n 阶单位矩阵，则CAB =-1。
4. 若A 为n m ?矩阵，则非齐次线性方程组AX b =有唯一解的充分要条件是_________5. 设A 为86?的矩阵，已知它的秩为4，则以A 为系数矩阵的齐次线性方程组的解空间维数为__2___________。
6. 设A 为三阶可逆阵，=-1230120011A，则=*A 7.若A 为n m ?矩阵，则齐次线性方程组0Ax =有非零解的充分必要条件是8.已知五阶行列式1234532011111112140354321=D ，则=++++4544434241A A A A A 9. 向量α=(2,1,0,2)T-的模（范数）______________。
10.若()Tk 11=α与()T121-=β正交，则=k二、选择题（本题总计10分，每小题2分）1. 向量组r ααα,,,21Λ线性相关且秩为s ，则(D) Ａ．s r = Ｂ．s r ≤Ｃ．r s ≤ Ｄ．r s <2. 若A 为三阶方阵，且043,02,02=-=+=+E A E A E A ，则=A(A)Ａ．8 Ｂ．8-Ｃ．34 Ｄ．34-3．设向量组A 能由向量组B 线性表示，则( d )Ａ．)()(A R B R ≤ Ｂ．)()(A R B R <Ｃ．)()(A R B R =Ｄ．)()(A R B R ≥4. 设n 阶矩阵A 的行列式等于D ，则()*kA 等于_____。
线性代数练习题(有答案)
《线性代数》 练习题一、选择题1、 设A ,B 是n 阶方阵,则必有 ……………………………………………（ A ）A 、|AB |=|BA | B 、2222)(B AB A B A ++=+C 、22))((B A B A B A -=-+D 、BA AB = 2、设A 是奇数阶反对称矩阵，则必有( B ) (A)、1=A (B)、0=A (C)、0≠A (D)、A 的值不确定3、向量组)0,1,1(，)9,0,3(-，)3,2,1(，)6,1,1(--的秩为____2 ________4、向量组)1,3,1,2(-，)4,5,2,4(-，)1,4,1,2(--的秩为______2__ ___.5、设A 是n m ⨯阶矩阵，r A r =)(,则齐次线性方程组O AX =的基础解系中包含解向量的个数为( C )(A)、r (B)、n (C)、r n - (D)、r m - 二、计算与证明题6、设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=020212022A , ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=221021132B 求（1）32AB A -，（2）.T B A6、解（1）. A AB 23-2202313212120020122--⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪=-- ⎪⎪ ⎪⎪---⎝⎭⎝⎭2202212020-⎛⎫⎪--- ⎪ ⎪-⎝⎭2223186240-⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭2202212020-⎛⎫ ⎪--- ⎪ ⎪-⎝⎭210612622680-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭（2）. 220231231212120120020122122T A B ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=--= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭222186240-⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭7、设A ,B 是n 阶方阵满足AB B A =+，证明:E A -可逆. 7、解、1()A E B E --=-8、设方阵A 满足0332=--E A A ，证明:A 可逆,并求1-A .8、解、由2330A A E --=有A (3A E -）=3E ，于是，A [21(3A E -)]=E ,所以A 可逆，且11(3)3A A E -=-.9、计算行列式:1014300211321221---=D9、69D =-.10、计算行列式D =4232002005250230---- 10、解：D =423200200525230----0205252304--=55208---=80-=11、计算n 阶行列式abbb b a bb b a D =11、1[(1)]()n D a n b a b -=+--。
线性代数练习题及答案10套
1 0 1 14．设矩阵 A= 0 2 0 ，矩阵 B A E ，则矩阵 B 的秩 r(B)= __2__． 0 0 1 0 0 1 B A E = 0 1 0 ，r(B)=2． 0 0 0
15．向量空间 V={x=(x1,x2,0)|x1,x2 为实数}的维数为__2__． 16．设向量 (1,2,3) ， (3,2,1) ，则向量 ， 的内积 ( , ) =__10__． 17．设 A 是 4×3 矩阵，若齐次线性方程组 Ax=0 只有零解，则矩阵 A 的秩 r(A)= __3__． 18 ． 已 知 某 个 3 元 非 齐 次 线 性 方 程 组 Ax=b 的 增 广 矩 阵 A 经 初 等 行 变 换 化 为 ：
三、计算题（本大题共 6 小题，每小题 9 分，共 54 分）
Ibugua
交大打造不挂女神的领跑者
123 23 3 21．计算 3 阶行列式 249 49 9 ． 367 67 7 123 23 3 100 20 3 解： 249 49 9 200 40 9 0 ． 367 67 7 300 60 7
线代练习题及答案（一）
一、单项选择题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）
1．设 A 为 3 阶方阵，且 | A | 2 ，则 | 2 A 1 | （ D A．-4 B．-1 C． 1 ） D．4
| 2 A 1 | 2 3 | A | 1 8
1 4． 2
）
1 2 3 1 2 2． 设矩阵 A= （1， 2） ， B= C= 则下列矩阵运算中有意义的是 （ B 4 5 6 ， 3 4 ，
行成比例值为零．
a1b2 a 2 b2 a 3 b2
(完整)线性代数习题集(带答案)
第一部分 专项同步练习第一章 行列式一、单项选择题1．下列排列是5阶偶排列的是 ( )。
（A) 24315 （B ） 14325 （C ） 41523 (D ）24351 2．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k ， 则排列12j j j n 的逆序数是（ ）。
(A ）k (B)k n - (C ）k n -2! (D)k n n --2)1(3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( ）项.（A ） 0 (B ）2-n (C ） )!2(-n （D) )!1(-n4．=001001001001000（ )。
(A ） 0 (B)1- （C) 1 （D ） 25.=001100000100100( ）。
(A) 0 （B ）1- （C ） 1 (D) 26．在函数100323211112)(x x x x x f ----=中3x 项的系数是( ). （A) 0 （B)1- (C) 1 (D) 27。
若21333231232221131211==a a a a a a a a a D ，则=---=323133312221232112111311122222 2a a a a a a a a a a a a D （ ). (A) 4 (B ） 4- (C) 2 （D) 2-8．若a a a a a =22211211,则=21112212ka a ka a ( ）.（A ）ka (B)ka - (C ）a k 2 （D)a k 2-9． 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为x ,1,5,2-, 则=x （ ).（A) 0 （B ）3- (C ） 3 (D ） 210。
若5734111113263478----=D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为（ ）.(A ）1- （B)2- （C ）3- （D ）011。
若2235001011110403--=D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ). （A)1- (B ）2- （C)3- （D ）012。
线性代数习题及解答完整版
线性代数习题及解答 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】线性代数习题一说明：本卷中，A -1表示方阵A 的逆矩阵，r (A )表示矩阵A 的秩，||α||表示向量α的长度，αT表示向量α的转置，E 表示单位矩阵，|A |表示方阵A 的行列式. 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．设行列式111213212223313233a a a a a a a a a =2，则111213313233213122322333333a a a a a a a a a a a a ------=（ ） A ．-6 B ．-3 C ．3D ．62．设矩阵A ，X 为同阶方阵，且A 可逆，若A （X -E ）=E ，则矩阵X =（ ） A ．E +A -1B ．E -AC ．E +AD ．E -A -13．设矩阵A ，B 均为可逆方阵，则以下结论正确的是（ ）A ．⎛⎫⎪⎝⎭A B 可逆，且其逆为-1-1⎛⎫⎪⎝⎭A B B ．⎛⎫⎪⎝⎭A B 不可逆 C ．⎛⎫⎪⎝⎭A B 可逆，且其逆为-1-1⎛⎫ ⎪⎝⎭B AD ．⎛⎫⎪⎝⎭A B 可逆，且其逆为-1-1⎛⎫⎪⎝⎭A B 4．设α1，α2，…，αk 是n 维列向量，则α1，α2，…，αk 线性无关的充分必要条件是（ ）A ．向量组α1，α2，…，αk 中任意两个向量线性无关B ．存在一组不全为0的数l 1，l 2，…，l k ，使得l 1α1+l 2α2+…+l k αk ≠0C ．向量组α1，α2，…，αk 中存在一个向量不能由其余向量线性表示D ．向量组α1，α2，…，αk 中任意一个向量都不能由其余向量线性表示5．已知向量2(1,2,2,1),32(1,4,3,0),T T+=---+=--αβαβ则+αβ=（ ） A ．（0，-2，-1，1）TB ．（-2，0，-1，1）TC ．（1，-1，-2，0）TD ．（2，-6，-5，-1）T6．实数向量空间V ={(x , y , z )|3x +2y +5z =0}的维数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．47．设α是非齐次线性方程组Ax =b 的解，β是其导出组Ax =0的解，则以下结论正确的是（ ）A ．α+β是Ax =0的解B ．α+β是Ax =b 的解C ．β-α是Ax =b 的解D ．α-β是Ax =0的解8．设三阶方阵A 的特征值分别为11,,324，则A -1的特征值为（ ） A ．12,4,3 B ．111,,243C ．11,,324D ．2,4,39．设矩阵A =121-，则与矩阵A 相似的矩阵是（ ）A ．11123--B ．01102C ．211- D ．121-10．以下关于正定矩阵叙述正确的是（ ） A ．正定矩阵的乘积一定是正定矩阵 B ．正定矩阵的行列式一定小于零 C ．正定矩阵的行列式一定大于零D ．正定矩阵的差一定是正定矩阵二、填空题（本大题共10小题，每空2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案，错填、不填均无分。
线代一二章习题及答案
第一讲 行列式例1、下三角行列式nnnn n nnnn n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a22112211)12(121111211222111)1(000000000=-=-----τ对角行列式,上(下)三角行列式的值就等于对角线上的元素的乘积例2、 求xx b x a x 1221102085413+----的4x 和3x 的系数.解析：4x 的系数是1；3x 的系数是-10例3、 求3阶行列式 754102643--=(-3)A 11+4A 12+6A 13=(-3)M 11-4M 12+6m 3=(-3)⨯(-5)-4⨯(-18)+6⨯(-10)=27.例4、1010001001tt tt解析： 原式=1 A 11+t A 1n =1+11)1(-+-⋅n ntt=1+ nnt +-1)1(例5、 求行列式 2235007022220403--的第四行各元素的余子式的和. 解析： 所求为4443424144434241A A A A M M M M +-+-=+++原式=444342412235A A A A +-+将原行列式换为1111007022220403---即他的值就是原题的余子式之和答案为-28（对第三行展开 323277M A =-)例6、27718497518100549754102643=--==--08题aaa aa aa a a A 2012001200012000122222=. 证明|A |=(n+1)a n .分析： 证明：初等变换nan nan a a a n an a a a aaa aa a a a aa aa a a a )1()1(34232)1(010000340000023000012201200034000002300001220012001200002300001222222+=+⋅⋅=+→→→例7、 ?=cA 答A c n； 例 8、设4阶矩阵BA B A B A +====求,3,2),,,,(),,,,(321321γγγβγγγα解：40,,,8,,,8,,,82,2,2,),2,2,2,(321321321321321=+=+=+=++=+γγγβγγγαγγγβαγγγβαγγγβαB A B A例9、 已知行列式3123111++++-+--z x y y x z z y xd c b a 的代数余子式A 11=-9,A 12=3,A 13=-1,A 14=3,求x,y,z.解析：思路：利用性质8⎪⎩⎪⎨⎧===⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+++--→z y x z y x 0)1(339（二）、典型例题 例1①22222aaaaa a a a a a a a a a a aa a a a ②xx x x ++++1111111111111111③aa a a ++++4444333322221111④ 对角线上的元素都为0，其它元素都为1的n 阶行列式. ②分析：解：4)x 00000001114111411141114111411111111111111113+=+→+++++++→++++（所以值x xx x x xxx x x x x xx x x①分析：与②同理 ④分析：类型一致③分析：把下面三行分别加到第一行例24321532154215431543254321解：100510501500115111111411411411115111411411411411115111401141014110411105432154321153215152154151543155432154321532154215431543254321-------→-------→----→----→→所以值=15×125=1875例343211111111111111111x x x x ++++解：+=+++++==+++++++=++++4321431432432143214324321401010********01001001000100000000011101110111011111111111111111111111111111111111x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x例4 证明时）当b a ba bab aba ab b a b b a a b b a n n ni iin ≠--==++++++=-∑(00000000011分析：证明：归纳法：展开递推21n )(---+=→n n abD D b a D 递推公式 再用归纳法证明之 也可以：nn n n abD ab a b ab a bD ba ab b a b ab a bD ba ab b a b b a b b b a a b b a b b a a b a +=+==+++=+++++++---111000000000000000000000000000000000000000000时）当另b a ba baD baD b a b a D D D D n n n n n n nn nn ≠--=→-=-→⨯〉〈-⨯〉〈〉〈+=〉〈+=++++--()(212b a 1a b 111111-n 11-n na n aaa a a a a a ab a )1(2020000020002+=其值为时另当第二讲 矩阵例、⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=101111010A ,⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=301521B .求 B AX =的解⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=313315210010101301521101111010)(B A⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→211213100010001413415200010101⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=211213X2007年的一个题中,求3阶矩阵 B , 满足⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-222111B ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛011011B ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛110110B .解:建立矩阵方程⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-102112012101111011B⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---21311001112011001111011222110011111⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→011101110100010001033110011300110011⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=011101110TB⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=011101110B2008年考题: 03=A ,时 证明： A E -可逆.证 E A E A A E A E =-=++-32))((.所以A E -可逆例1、设C B A ,,都是n 阶矩阵,满足CA A C AB E B +=+=,,则C B -为(A)E .(B) E -. (C)A . (D)A -. )(A (2005年数学四)AB E B +=化为E B A E =-)( 即 B 与 )(A E - 互为逆矩阵CA A C += 化为 A A E C =-)(, 用 B 右乘得 AB C = 例2、 设A 是3阶矩阵,将A 的第2行加到第1行上得B ,将B 的第1列的-1倍加到第2列上得 *C .记⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=100011001PAP P C A 1)(-= 1)(-=PAP C B AP P C C T =)( TPAPD =)(A B ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100010011⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=100010011B C110010011100010011-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=PAP A C例3、 设A 是3阶可逆矩阵,交换A 的1,2行得B ,则(A) 交换*A 的1,2行得到*B . (B) 交换*A 的1,2列得到*B . (C) 交换*A 的1,2行得到*-B . (D) 交换*A 的1,2列得到*-B . 2009题设A 和B 都是2阶矩阵,2=A , 3=B .则 ()=⎪⎪⎭⎫⎝⎛*O BA O⎪⎪⎭⎫⎝⎛**O A B O A 23)(⎪⎪⎭⎫⎝⎛**O A B OB 32)( ⎪⎪⎭⎫⎝⎛**O B A O C 23)(⎪⎪⎭⎫⎝⎛**O B A O D 32)(( 2009年的考题)解:1-*=CC C先求1-C()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=00100011000010010010*********A O O B O B A OE C⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→--O ABO E O O E11⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=----*O ABOO A BO O BA O C 1111⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=**----O A B B A O OA AB B B A O O ABOB A 1111例4、 设A 是n 阶非零实矩阵,满足 TA A =*. 证明:)1(>A)2(如果2>n 则1=A解：条件TA A =*,即,)()(Tij T ij a A =即ji ij ij a A ,,∀=（1）inin i i i i A a A a A a A ++=2211022221≥+++=ini i a a a又因为 0≠A , 即A 有非零元素， 则2221>+++=in ke k a a a A(2)EA AAAAT==*nAA=2得12=-n A因为>A2-n 是正整数，得1=A例5、 3阶矩阵B A ,满足E BA ABA +=**2,其中⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=100021012A ,求B .(04一) 解：E BA ABA+=**2E BA E A =-*)2(AB E A A =-)2(AB E A A =-23913112122=⨯=-=AE A B例6 设3阶矩阵,⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=201011153A A XA XA A 21+=-,求X .解： 11112)(----+=AAXAAAXA AE X X A 21+=-A AX X 2+=A X A E 2)(=-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=-4020222106101021152)2(A A E ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------→010424202210001002142262022120110021⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---→01042424106100010001得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=01042424106X例7 设3阶矩阵,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=111111111A X A X A 21+=-*,求X .解： X A X A 21+=-*AXE X A 2+=E X A E =-)24(1)24(--=A E X411110112111111111=--=---=A例8 4阶矩阵B A ,满足E BAABA311+=--,已知⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=*8000010030100101A 求B . (00一) 解： E BAABA311+=--A B AB 3+=EA B A B A 3+=*83==*AA得2=AE B A E 6)2(=-*1)2(6-*-=A E B例9 设B A ,是3阶矩阵,A 可逆,它们满足E B B A 421-=-.(1) 证明E A 2-可逆.(2) 设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=200021021B ,求A .(2002)A 可逆解：EB B A 421-=-即A AB B 42-= B A AB 24+= A B E A 4)2(=-由A 可逆得E A 2-可逆例10 设n 阶矩阵B A ,满足bB aA AB +=.其中0≠ab ,证明 (1)bE A -和aE B -都可逆. (2) A 可逆B ⇔可逆. (3)BA AB =解：(1)令aE B D bE A C -=-=,aE D B bE C A +=+=,abE bD abE aC aE D bE C +++=++))(( abE bD aC abE bD aC CD 2++=+++D C abE CD ,⇒=都可逆或者直接把bE A -和aE B -相乘abE bB aA AB +--(2)aA B bE A =-)( (3)abE aE B bE A =--))((E aE B ab bE A =--)()( EabbE A aE B =--)()( abE bE A aE B =--))((O bB aA BA =--AB bB aA BA =+=例11 设B A ,都是n 阶对称矩阵,AB E +可逆,证明A AB E 1)(-+也是对称矩阵. 证：验证A AB E A AB E T11)(])[(--+=+ TTTAB E A A AB E ])[(])[(11--+=+ 111)()(])[(---+=+=+=BA E A A B E A AB E A T T T即要证明)()()()(111BA E A AB E A A AB E BA E A ++=⇔+=+---)()(BA E A A AB E +=+⇔。
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一选择题1. 行列式b c c a a b b c c a a b b c c a a b 111111222222333333+++++++++的值为（ B ） A)3a b c a b c a b c 111222333 B)2a b c a b c a b c 111222333 C) a b c a b c a b c 111222333D) 0 2．下列等式中正确的是（ A ） A ．()222B BA AB A B A +++=+ B ．()T T T B A AB =C ．()()22B A B A B A -=+-D ．()A A A A 233-=-3.1k 221k --≠0的充分必要条件是( C )A.k ≠-1B.k ≠3C.k ≠-1且k ≠3D.k ≠-1或k ≠34. A 、B 、C 、E 为同阶矩阵，E 为单位阵，若ABC=E ，则下列各式中总是成立的有( D ) A.BAC=E B.ACB=E C.CBA=E D.CAB=E5. 已知α1=(1，0，0)，α2=(-2，0，0)，α3=(0，0，3)，则下列向量中可以由α1，α2，α3线性表示的是（ D ） A.（1，2，3） B.（1，-2，0） C.（0，2，3）D.（3，0，5）6. 设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=333231232221131211a a a a a a a a a A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321x x x X ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=321y y y Y ，则关系式⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=333223113333222211223312211111ya y a y a x y a y a y a x y a y a y a x ＋＋＋的矩阵表示形式是（ B ） A ．AY X = B ．Y A X T = C ．YA X =D ．A Y X T =7.设21ββ,是非齐次线性方程组b Ax =的两个解，则下列向量中仍为方程组解的是（ D ） A ．21+ββB ．21ββ-C ．2221ββ+ D ．1234+ββ 8.设D 为矩阵A 的r 阶子式，D ≠0，且A 的所有包含D 的r +1阶子式均为零，则（ C ） A) 一定有A 的秩＜r ; B) 一定有A 的秩＞r ; C) 一定有A 的秩=r ; D) 以上结论均不真.9.若A 是( B )，则A 必为方阵. A. 分块矩阵 B. 可逆矩阵 C. 转置矩阵 D. 线性方程组的系数矩阵10.设A=792513802-，则代数余子式A 12=( B )A.-31B.31C.0D.-1111. 21200111kk =-的充分必要条件是（ C ） A. k=2 B.k=0 C. k=3或k=-2 D. k=-3或k=212. 已知α1=(1，0，0)，α2=(-2，0，0)，α3=(0，0，3)，则下列向量中可以由α1，α2，α3线性表示的是（D ） A.（1，2，3）B.（1，-2，0）C.（0，2，3）D.（3，0，5） 13. 若A 是( )，则A 必为方阵. （ B ） A. 分块矩阵 B. 可逆矩阵 C. 转置矩阵 D. 线性方程组的系数矩阵14.方程组λλλλλx x x x x x x x x 12312312321++=++=++=⎧⎨⎪⎩⎪有唯一解，则（ B ）A)λ≠0； B)λ≠1；C)λ≠2； D)λ≠3.15. 设k 为常数，A 为n 阶矩阵，则 |k A |=（C ） A ．k|A |B ．|k||A |C ．n k |A |D ．n |k ||A |16. 设A : α1, α2, …,αm 的秩为r ,则（ C ） A)A 中任意r 个向量线性无关; B)A 中任意r 个向量线性相关; C)A 中任意r +1个向量线性相关; D)A 中任意r -1个向量线性相关.17. 已知α1=(1，1，1)＇，α2=(1，2，3)＇，α3=(1，3，t )＇是线性相关的，则t 的值是（ B ） A)4； B)5； C)6； D)7.18. 若存在一组数k 1=k 2 =… =k m =0使得k 1α1+k 2α2+… +k m αm =0成立，则向量组α1 ，α2 ，… ，αm （ C ）。
A. 线性相关 B. 线性无关 C. 有可能线性相关也可能线性无关 D.部分线性相关19. 已知B 为可逆矩阵，则()[]TT B ⎭⎬⎫⎩⎨⎧--11=（ A ） A ．B B ．TB C ．1-B D ．()TB 1-20. 矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=4321A 的伴随矩阵A *＝（ C ） A. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡1324B. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1234 C. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1324D. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--132421.若A 是( B )，则A 必为方阵. A. 分块矩阵 B. 可逆矩阵C. 转置矩阵D. 线性方程组的系数矩阵22.设行列式等于 ，则 232221333231131211333231232221131211a 3a 3a 3a 3a 3a 3a 3a 3a 33a a a a a a a a a =（ A ） A.–81 B.–9 C.9 D.8123.设A ，B 均为n 阶可逆矩阵，则下列各式中不正确．．．的是（ B ） A.(A+B)T =A T +B TB.(A+B)－1=A －1+B －1C.(AB)－1=B －1A－1D.(AB)T =B T A T24.已知α1=(1,0,0)，α2=(-2,0,0)，α3=(0,0,3)，则下列向量中可以由α1，α2，α3线性表示的是（ D ） A.（1，2，3）B.（1，－2，0）C.（0，2，3）D.（3，0，5）25.设非齐次线性方程组Ax =b 有唯一解，A 为m ×n 矩阵，则必有( C ). A. m=n B. 秩(A )=m C. 秩(A )=n D. 秩(A )<n26. A 、B 均为n 阶可逆矩阵，则AB 的伴随矩阵（AB ）* =（ D ）A. **B A B. 11||AB A B -- C. 11B A -- D. **B A 27.设k 为常数，A 为n 阶矩阵，则|k A |=（C ） A ．k|A | B ．|k||A | C ．n k |A |D ．n |k ||A | 28.设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=333231232221131211a a a a a a a a a A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321x x x X ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=321y y y Y ，则关系式（ ）⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=333223113333222211223312211111ya y a y a x y a y a y a x y a y a y a x ＋＋＋的矩阵表示形式是（ B ） A ．AY X = B ．Y A X T = C ．YA X = D ．A Y X T =29.设21ββ,是非齐次线性方程组b Ax =的两个解，则下列向量中仍为方程组解的是（ D ） A ．21+ββB ．21ββ-C ．2221ββ+D ．52321ββ+ 30. 设321ααα,,是方程组0Ax =的基础解系，则向量组321ααα,,的秩为（ D ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3二．填空题1. 行列式0111101111011110的值为 。
2. 设A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321，则AA T =______.3. 已知A ，B 为n 阶矩阵，A =2，B =－3，则1-B A T =_________________.4. 线性方程组Ax =0解向量的一个最大无关组为x 1，x 2，…，x t ，则Ax =0的解向量x =_____.5. 设()T11221-=,,,α，()T23511,,,-=α，则21αα与的内积（21αα,）＝________________. 6， 一个n 阶行列式的展开式中，带正号的项有_______个. 7， 3阶方阵A 的特征值为3，-1，2，则|A|=_______8，.向量组α1=(1，1，1，1)，α2=(0，1，1，1)，α3=(0，0，1，1)的一个最大无关组是______9 已知P -1AP =B ，且｜B ｜≠0，则||||B A =_____1_.10. 线性方程组Ax =0解向量的一个最大无关组为x 1，x 2，…，x t ，则Ax =0的解向量x =____11已知112130⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ,αβ，E 是3阶单位矩阵，则E +T T αβαβ＝_________________.12若向量组()()()1231,0,12,2,31,3,t === , ,ααα线性无关，则t 应满足条件_________________.13设()T11221-=,,,α，()T23511,,,-=α，则21αα与的内积（21αα,）＝________________. 14向量组α1=(1,1,1,1)，α2=(0,1,1,1)，α3=(0,0,1,1)的一个最大无关组是______. 15设A 为2阶方阵，且|A|=21，则|2A *|=_____________.三．计算与证明设A ,B 为n 阶阵，且A 为对称阵，证明TB AB 也是对称阵。
1. 计算行列式1232341112121n n n n n n ---3. 设矩阵B 可逆，与B 同阶的矩阵A 满足 A 2+AB +B 2=0，证明：A 与A+B 均可逆。
4. 已知A =---⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪111232104求A A E 235-+.5. 设λ是方阵A 的特征值，证明λ2是A 2的特征值。
6. 求向量组α1=(1,1,2,2,1), α2=(0,2,1,5,-1), α3=(2,0,3,-1,3), α4=(1,1,0,4,-1)的秩和一个最大无关组。
7.求矩阵310211211344---⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪的秩。
8. 求向量组α1=(2，4，2)T ， α2=(1，1， 0) T ， α3=(2，3，1) T ， α4=(3，5，2) T 的一个极大无关组，并将其余向量用此极大无关组线性表示9. 已知20110125A B -⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，；求 ()1221B A B A ---10，求矩阵A=122212221⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪的特征值与特征向量。
四．综合题1. 求解下面的非齐次线性方程组23424538213496x y z x y z x y z x y z ++=-+=-+-=-+=-⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪2. 求矩阵A 的特征值和特征向量,其中A =123213336⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪。