线代习题

<向量代数与空间解析几何>习题1. 求点),,(c b a 的关于（1）各坐标面；（2）各坐标轴的对称点的坐标.2. 设(3,,2)B(124)A x --与，，点间的距离为29，试求x .3. 在yoz 平面上，求与三个已知点(3,1,2)B(422)051A C --、，，和（，，）等距离的点.4. 求平行于向量}6,7,6{-的单位向量.5. 已知两点(1,3,3)B(421)A --与，，，求向量AB 的模与方向余弦.6. 已知||122||,10||βαβαβα⨯=⋅==，求，.7. 求与)1,0,1(M 110M )0,1,1(M 321）、，，（、三点所在平面垂直的单位向量.8. 求过点012-5z 7y -3x (3,0,-1)=+且与平面平行的平面方程.9. 一平面过点(2,-1,3)4,1,5),x 2y 3z 50+++=和(且垂直于平面,求此平面方程.10. 将平面的一般式方程012-3z y -2x =+化为截距式方程.11．指出下列各平面的特殊位置：（1）04-2y =（2）0z -2y 3x =+（3）4y -2x =（4）02z 3y =+12. 求平面0D Cz By Ax 1=+++与平面0D Cz By Ax 2=+++的距离.13. 一平面过z 轴且与平面07-z 5-y 2x =+成3π角，求此平面方程.14. 已知点,121-xA(5,1,4)zy L ==：及直线求： （1）求过A 且与L 平行的直线；（2）求过点A 且与L 及向量}1,4,3{--=AB 垂直的直线；（3）求过点A 且与直线247035210x y z x y z -+-=⎧⎨+-+=⎩平行的直线.15.求直线123121-x -+=+=z y 与平面0z y 23x =++的交点.16．求直线3211-x zy ==在平面01-z y 4x =+-上的投影直线方程.17．求下列旋转曲面方程：（1）平面z x o 内抛物线x =2z 绕x 轴旋转；（2）平面y x o 内双曲线164x 22=-y 分别绕x 轴及y 轴旋转.18.判断11462x 222=-+-++z y x z y 是否表示球面方程，若是，求出球心坐标及球半径.19.指出下面方程所表示的曲面的名称，并作出草图：（1）;1941x 222=++z y （2）04x 222=-+z y ；（3）22x 20y z -+=.20.指出下列方程所表示的曲线：（1）⎩⎨⎧==++325222x z y x （2）⎩⎨⎧==++13694222y z y x21.求曲线C ：)0(,0,222222>⎩⎨⎧=-+=++a ax y x a z y x 在y x o 平面和z x o 平面上的投影曲线方程.<矩阵及其初等变换>习题1. 当。

则时_______,____,___,x ,2128-2x ====⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡u z y x u u z y 2. 求下列式中的矩阵X ：.11311232021132O X =⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--3. 计算：（1）⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--21011201421023 （2）⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n n b b b a a a 2121],,,[（3）[]n n a a a b b b 2121⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡ （4）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-1270753211344. 设,111111111⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=A ,150421321⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=B 求T 3AB-2A,A .B5. A 、B 均为n 阶方阵，问下列等式成立的条件是什么？（1）;2B)(A 222B AB A ++=+（2）22(A B)(A-B).A B +=-6. 计算（n 为正整数）：（1）n⎥⎦⎤⎢⎣⎡101λ， （2）,001001n a a a ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡ （3）0000.00na b c ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦7. 设1)(2--=x x x f ，311312,()110A f A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦求.8. ( 1)设A 、B 均为n 阶矩阵，且A 为对称阵，证明AB B T也是对称阵.(2)设X 是1⨯n 矩阵，且,1=X X T 证明：TXX I S 2-=是对称矩阵，且2S I =.9. 举反例说明下列命题是错误的： （1）若O A =2,则O A =； （2）若A A =2,则;I A O A ==或(3) 若,AY AX =且;Y X =≠，则O A10. 解下列线性方程组：11. 用行初等变换将矩阵A 变为单位阵：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1111011100110001)1(,3254316952832)1(321321321⎪⎩⎪⎨⎧=--=++=++x x x x x x x x x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-++-=+++-=+-=++-0372220232073302)3(54321543214215421x x x x x x x x x x x x x x x x x ,54322521)2(321321321⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-+=++x x x x x x x x x⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------1111111111111111)2()04(,22)3(≠-⎥⎦⎤⎢⎣⎡ab b a12. 讨论λ为何值时，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=34223177111044113λA 经行初等变换所得行阶梯型矩阵分别有两个、三个非零行.13. 求下列矩阵的逆矩阵： （1）,4321⎥⎦⎤⎢⎣⎡- （2）,cos sin sin cos ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-θθθθ（3），⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---145243121 (4)⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---122116724130110014. 已知,4213101211⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-A 。

求11T 11](AB)[,B)(A ,(AB),132121012----⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=B15. 解下列矩阵方程：(1) 111111022;11011`0X -⎡⎤-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥-⎣⎦（2）;101311022141⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-X(3) 033110,2X,123A AX A X ⎡⎤⎢⎥==+⎢⎥⎢⎥-⎣⎦且求.16. 设111-1-410P B,P ,,A 1102P A B --⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦求.17. 将下列矩阵适当分块后进行计算：（1）⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-5200210000210032;4300120000230021⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅ （2）⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-410001000320011⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-3423000200118. 利用分块矩阵求A 的逆矩阵:-1A（1）⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡2500380000120025； （2）200000100.001110021000110⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦<行列式>习题1. 用行列式的定义计算下列行列式：（1）;38114112--- （2）;1234234034004000（3）0000000000.000000x y x y x x y yx2. 计算行列式：（1）;0111101111011110 （2）;1111111*********---（3）;0000a b ca cb bc a c b a （4）;84212793184211111----（5）12222222.2232222n3. 证明：3332221112333332222211111)1(c b a c b a c b a x c b x a xb ac b x a xb ac b x a xb a -=++++++4. 计算下列行列式：（1）,11aa a其中对角线上元素都是a ,未写出的元素都为0；（2）1111)1()()1()()1(111n a a a n a a a n a a a n n n n n n---------（提示：利用范德蒙德行列式的结果）.5. 设A 为4阶矩阵，,3||,2||=-=B A 计算： （1）|;21|1-AB (2) |;|T AB (3) |;)(|1-AB (4) 1|[()]|.T AB -6. 已知n 阶矩阵A 满足A,2=A 证明：I detA 0A ==或.7. 计算行列式：（1）;1500310000430021- （2）;3010102003010201--（3）41213320320402100042000203000211000-.8. 利用伴随矩阵求下列矩阵的逆矩阵：（1）;0,≠-⎥⎦⎤⎢⎣⎡bc a d c b a （2）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡111011001.9. 用克拉默法则解下列方程组10. 问μλ、取何值时，下列线性方程组有非零解？⎪⎩⎪⎨⎧=++=-+=++353021)2(321321321x x x x x x x x x ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0200321321321x x x x x x x x x μμλ⎩⎨⎧=-=+52123)1(y x y x11.设A 为3阶方阵，-1*1|A|,|(2)-5A |2A =求.12．设A 是可逆矩阵，证明：*11*(A )()A --=.13. 求下列矩阵的秩：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=41311221222832)1(A ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=13142781121124)2(A ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=10030116030242201211)3(A14. 求下列矩阵的标准形：15. 求下列矩阵的秩，并求一个最高阶非零子式：16. 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=32321321k k k A ，问k 为何值，可使（1）R(A)=1;(2)R(A)=2;R(A)=3.⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--121144013111)1(⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---21022400130110221011)2(⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---443112112013<n 维向量空间>习题1. 把向量β表示成向量组1234,,,αααα的线性组合：（1）1234(0,2,0,1),(1,1,1,1),(1,1,1,0),(1,1,0,0),(1,0,0,0)βαααα=-====； （2）1234(0,1,0,1,0),(1,1,1,1,1),(1,2,1,3,1),(1,1,0,1,0),(2,2,0,0,0)βαααα=====.2. 判断下列向量组的线性相关性：（1）123(1,1,1),(1,2,3),(1,6,3)ααα===； （2）123(1,2,3),(1,4,1),(1,14,7)ααα==-=； （3）123(2,3),(3,1),(0,2)ααα==-=-.3. 已知123(1,2,3),(3,1,2),(2,3,)c ααα==-=，问：（1）当c 取何值时，123,,ααα线性相关？并将3α表示为12,αα的线性组合； （2）当c 取何值时，123,,ααα线性无关？4. 设12,αα线性无关，12,αβαβ++线性相关，求向量β用12,αα线性表示的表示式.5. 求下列向量组的秩，并求一个最大无关组：（1）123(1,2,1,4),(9,100,10,4),(2,4,2,8)ααα=-==---； （2）123(1,2,1,3),(4,1,5,6),(1,3,4,7)ααα==---=---.6. 求下列向量组的秩和一个最大无关组，判定向量组的线性相关性，并将其余向量用最大无关组线性表出.（1）1234(1,0,0,1),(0,1,0,1),(0,1,0,1),(2,1,1,0)αααα===-=-； （2）123(1,1,0),(0,2,0),(0,0,3)ααα===.7. 证明：123(1,1,0),(2,1,3),(3,1,2)ααα=-==为3R 的一个最大无关组，并将12(5,0,7),(9,8,13)ββ==---用该最大无关组线性表出.8. 求下列齐次线性方程组的基础解系：（1）12341234123420202240x x x x x x x x x x x x ++-=⎧⎪++-=⎨⎪+++=⎩（2）12341234123412342350327043602470x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪++-=⎪⎨+-+=⎪⎪-+-=⎩9. 当λ为何值时，齐次线性方程组123123123(2)320(8)20214(3)0x x x x x x x x x λλλ---=⎧⎪-+--=⎨⎪+++=⎩ 有非零解？并求出它的通解.10. 求下列非齐次线性方程组的通解：（1）1231231242232101138x x x x x x x x +-=⎧⎪-+=⎨⎪-=⎩（2）12413123412230x x x x x x x x x -+=⎧⎪+=⎨⎪---=⎩（3）1234123412343133445980x x x x x x x x x x x x +--=⎧⎪--+=⎨⎪+--=⎩11. ,a b 为何值时，方程组1234124123423432351x x x x b x x x b x x x ax ++-=⎧⎪-++=-⎨⎪+++=⎩ 有解？有解时求出解.12． 设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知123,,ηηη是它的三个解向量，且1232132,4354ηηη⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求该方程组的通解.13. 设矩阵()1234,,,A αααα=，其中234,,ααα线性无关，1232,ααα=-向量1234b αααα=+++，求方程AX b =的通解.<特征值与特征向量>习题1. 求下列矩阵的特征值与特征向量：（1）34 52⎛⎫ ⎪⎝⎭;（2）123 213 336⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭;（3）1111 1111 1111 1111⎛⎫ ⎪--⎪ ⎪--⎪--⎝⎭.2. 设λ是方阵A 的特征值，证明：m λ是mA 的特征值．3. 设A 为n 阶矩阵，证明A T 与A 的特征值相同．4. 设λ是方阵A 的特征值，f (x )是x 的多项式，证明：()f λ是()f A 的特征值．5. 设142034,043A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭求100A ．6. 设142123034,06,043005A B x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且B A ~，求x 的值．7. 设3阶方阵A 的特征值1231,0,1λλλ===-，对应的特征向量为1231222,2,1212ααα-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪==-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，求A .8. 设矩阵110001,010,111004b A b a B ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且B A ~，求a, b 的值．9. 在4R 中求一单位向量α与123(1,1,1,1),(1,1,1,1),(2,1,1,3)ααα=-=--=正交．10. 用施密特正交化方法将下列向量组分别标准正交化：（1）123111(,,)124;139ααα⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（2）123111011(,,).101110ααα-⎛⎫ ⎪-⎪= ⎪- ⎪⎝⎭11. 下列矩阵是不是正交矩阵？并说明理由：(1) 11123111;2211132⎛⎫-⎪ ⎪⎪-⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭(2) 184999814.999447999⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭12. 设32773277a A bcd e ⎛⎫-⎪ ⎪= ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭为正交矩阵，试求,,,,a b c d e 的值．13. 设122244244A -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭，求正交矩阵P 及对角矩阵Λ，使1P AP -=Λ．14. 设2000303A a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，有正交矩阵P ，使100020005T P AP ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,求常数a 与矩阵P ．15. 设三阶实对称矩阵A 的特征值是1，2，3，矩阵A 对应于特征值1，2的特征向量分别是12(1,1,1),(1,2,1).T T αα=--=--(1)求A 对应于特征值3的特征向量；(2)求矩阵A ．<二次型>习题1. 写出二次型421231122321(,,)()i i i i f x x x ax a x a x ==++∑的矩阵．2. 用配方法化二次型为标准形：（1）21122343x x x x x +-；（2）22221234122334222x x x x x x x x x x ++++++．3. 用正交变换化二次型为标准形：（1）221312132333484x x x x x x x x ++++；（2）222123132344x x x x x x x +-++．4. 下列二次型是否正定二次型？（1）22212312132355484x x x x x x x x x +++--；（2）222123121356444x x x x x x x ---++．5. 设A 是正定矩阵，C 是可逆矩阵，证明：C T AC 是正定矩阵．6. t 取何值时，下列二次型是正定二次型？（1）2221231213235224x x x tx x x x x x +++-+;（2）22212312132342106x x x tx x x x x x +++++．。