初中数学竞赛专题复习第一篇代数第4章方程组试题1新人教版
初中数学代数专题复习(答案)
初中数学代数专题复习(答案)
1. 代数基础知识
- 数的分类：自然数、整数、有理数、无理数、实数、复数
- 数及运算：加、减、乘、除、乘方、开方、分数、比例、百分数、整式、分式
- 代数式的概念及基本性质：代数式、同类项、合并同类项、系数、常数项、单项式、多项式
2. 一元一次方程式
- 方程式及解的概念：方程式、解、未知量
- 一元一次方程式的解法：加减消元法、倍数消元法、公式法
3. 一元一次不等式
- 不等式及解的概念：不等式、解、解集
- 一元一次不等式的解法：加减法、倍数法、分式法、倒数法
4. 一元二次方程式
- 一元二次方程式的概念及一般式
- 一元二次方程式的解法：配方法、公式法、完全平方公式
5. 一元二次不等式
- 一元二次不等式的概念及解法
6. 笛卡尔坐标系
- 直角坐标系的概念、性质、坐标表示
- 解直线方程：解析法、斜率公式、截距公式
- 解圆方程：标准式、一般式
7. 实数集合及数轴
- 实数的分类及性质
- 数轴的绘制及应用
8. 几何初步
- 等腰三角形、等边三角形、直角三角形、全等三角形、相似三角形的定义及判定
- 余弦定理、正弦定理、勾股定理
9. 附加题及答案
以上是初中数学代数专题的复习材料及答案，希望能帮助大家顺利完成复习，获得优异成绩。
七年级人教版数学第四单元测试题
七年级人教版数学第四单元测试题一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列方程组中，是二元一次方程组的是（）A. x + y = 5 x^2 + y^2 = 13B. x - 2y = 1 xy = 2C. x = 2 x - 3y = 1D. (1)/(x)+(1)/(y)=2 x - y = 1解析：- 二元一次方程组是指方程组中每个方程含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程组。
- 选项A中，x^2 + y^2 = 13中未知数的次数是2，不是二元一次方程组。
- 选项B中，xy = 2中未知数的次数是2，不是二元一次方程组。
- 选项C中，符合二元一次方程组的定义，有两个未知数x和y，且方程中含未知数的项次数都是1。
- 选项D中，(1)/(x)+(1)/(y)=2是分式方程，不是二元一次方程组。
答案：C。
2. 方程2x - 3y = 5，x+(3)/(y)=6，3x - y+2z = 0，x^2 + y = 6中是二元一次方程的有（）个。
A. 1.B. 2.C. 3.D. 4.解析：- 二元一次方程是含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程。
- 方程2x - 3y = 5是二元一次方程。
- 方程x+(3)/(y)=6是分式方程，不是二元一次方程。
- 方程3x - y+2z = 0有三个未知数x、y、z，不是二元一次方程。
- 方程x^2 + y = 6中x的次数是2，不是二元一次方程。
答案：A。
3. 已知x = 2 y = 1是方程2x+ay = 5的解，则a的值为（）A. 1.B. -1.C. 2.D. -2.解析：- 把x = 2，y = 1代入方程2x+ay = 5得：- 2×2 + a×1=5- 4 + a = 5- a=5 - 4 = 1答案：A。
4. 用代入法解方程组y = 1 - x x - 2y = 4时，代入正确的是（）A. x - 2 - x = 4B. x - 2 - 2x = 4C. x - 2 + 2x = 4D. x - 2+x = 4解析：- 把y = 1 - x代入x - 2y = 4，得：- x-2(1 - x)=4- 展开括号得x - 2 + 2x = 4答案：C。
初中数学竞赛专题复习第一篇代数第章实数试题新人教版
第一篇代数第1章实数1．1实数的运算 1．1．1★计算：201320142014201420132013⨯-⨯．解析 将20142014及20132013分别分解为两数的积，得 201420142014100002014201410001-⨯+=⨯， 201320132013100002013201310001=⨯+=⨯，所以，原式201320141000120142013100010⨯⨯-⨯⨯==． 评注一般地有101abab ab =⨯；1001abcdc abc =⨯；10001abcdabcd abcd =⨯；…1.1.2★计算：12324671421135261072135⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯．解析 原式()()12312227771351222777⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯25=． 1.1.3★计算：111122399100+++⨯⨯⨯． 解析原式111111991122399100100100⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 评注 在做分数加减法运算时，根据特点，将其中一些分数适当拆开，使得拆开后有一些分数可以相互抵消，达到简化运算的目的，这种方法叫拆项法．本例中，我们把()11n n ⨯+拆成111n n -+，即有()11111n n n n =-⨯++． 其他常用的拆项方法如： (1)()11d n n d n n d =-⨯++()1111n n d d n n d ⎡⎤⎛⎫=-⎢⎥ ⎪⨯++⎝⎭⎢⎥⎣⎦或．它经常用于分母各因子成等差数列，且公差为d 的情形． (2)()()()()()1111122112n n n n n n n ⎡⎤=⨯-⎢⎥⨯+⨯+⨯++⨯+⎢⎥⎣⎦．1.1.4★计算：11111111111854108180270378504648810990+++++++++． 解析原式111111136699121215151818212124=++++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯111242727303033+++⨯⨯⨯ 111111336369⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭111111391233033⎛⎫⎛⎫+-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11110333399⎛⎫=-= ⎪⎝⎭．1111232349899100+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯．解析因为()()()()()1111122112k k k k k k k ⎛⎫=- ⎪ ⎪+++++⎝⎭，所以 原式11111111121223223342989999100⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭11149492129910019800⎛⎫=-=⎪⨯⨯⎝⎭． 1.1.6★★计算：111112123123412100+++++++++++++．解析因为()121121211n n n n n ⎛⎫==- ⎪+++++⎝⎭，所以 原式2222233445100101=++++⨯⨯⨯⨯119922101101⎛⎫=-=⎪⎝⎭． 1.1.7★★设2221114834441004A ⎛⎫=⨯+++⎪---⎝⎭，求与A 最接近的正整数．解析 对于正整数3n ≥，有 211114422n n n ⎛⎫=- ⎪--+⎝⎭， 所以2221114834441004A ⎛⎫=⨯+++⎪---⎝⎭111111481429856102⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⨯+++-+++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦111111112123499100101102⎛⎫=⨯+++---- ⎪⎝⎭1111251299100101102⎛⎫=-⨯+++ ⎪⎝⎭．因为111141121299100101102992⎛⎫⨯+++<⨯< ⎪⎝⎭，所以，与A 最接近的正整数为25．1.1.8★★2008加上它的12得到一个数，再加上所得的数的13又得到一个数，再加上这次得数的14又得到一个数，…，依此类推，一直加到上一次得数的12008．最后得到数为111342009200820092008111200820170362320082320082⨯⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯+⨯+⨯⨯+=⨯⨯⨯⨯== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．1111112233420122013++++⨯⨯⨯⨯．解析 因为111112233420122013++++⨯⨯⨯⨯1111112012112232012201320132013⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以120131111201212233420122013=++++⨯⨯⨯⨯． 1.1.10★计算：123420072008S =-+-++-．解析()()()()()()10041234200720081111004S =-+-++-=-+-++-=-共个1.1.11★★计算：1223341920⨯+⨯+⨯++⨯．解析 因为1121233⨯=⨯⨯⨯，()1232341233⨯=⨯⨯-⨯⨯， ()1343452343⨯=⨯⨯-⨯⨯， ……()119201920211819203⨯=⨯⨯-⨯⨯， 所以 1223341920⨯+⨯+⨯++⨯ ()()111123234123192021181920333=⨯⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯++⨯⨯-⨯⨯ 119202126603=⨯⨯⨯=． 1.1.12★★计算：123234345282930⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯． 解析 123234345282930⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯ ()()1111234234512342829303127282930444=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯-⨯⨯⨯++⨯⨯⨯-⨯⨯⨯ 1282930314188790=⨯⨯⨯⨯=． 1.1.13★★计算：21001111222++++．解析设21001111222S =++++，则 21001011111122222S =++++， 所以10111122S S -=-，故100122S =-． 评注一般地，对于求和：21n q q q ++++，我们常常采用如下方法，令21n S q q q =++++， 则21n n qS q q q q +=++++，于是11n S qS q +-=-， ()1111n q S q q+-=≠-．1.1.14★★计算：2101111333++++． 解析设2101111333S =++++，则210111111133333S =++++，所以 1111133S S -=-，1031223S =-⨯． 1.1.15★计算：1111111111112319992199821999231998⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++-++++++⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 解析设111231999a =+++， 111231998b =+++， 则原式()()1111999a b a b a b =+-+=-=．1.1.16★★计算下列繁分数： 111111111131355-----（2008个减号）．解析 先耐心地算几步，从中发现规律．可将355113用字母a 代替（这样可以得到更一般的结论）．自下而上逐步算出111a a a--=， 1111111a a a a a--=-=---， ()111111a a a -=+-=--． 由此可见，每计算3步，a 又重新出现，即3是一个周期．而200836691=⨯+，所以，原式111a a a -=-=．特别地，在355113a =时，得出本题的答案是1132421355355-=．1.1.17★★比较1234248162n n nS =+++++与2的大小． 解析先将n S 中的每一个数拆成两数的差：13222=-，234424=-，345848=-，45616816=-，，112222n n n n n n -++=-． 所以，133445561222244881622n n n n n S -++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝2222nn +-<， 好2n S <1.1.18★★★已知1166126713681469157010011651266136714681569a ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯，问：a 的整数部分是多少？解析 我们只要估算出a 在哪两个相邻整数之间即可．1166126713681469157010011651266136714681569a ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⎛⎫=⨯ ⎪⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⎝⎭()()()()()116511266113671146811569110011651266136714681569⨯++⨯++⨯++⨯++⨯+⎛⎫=⨯ ⎪⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⎝⎭11651112661213671314681415691510011651266136714681569⨯++⨯++⨯++⨯++⨯+⎛⎫=⨯ ⎪⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⎝⎭1112131415110011651266136714681569++++⎛⎫=+⨯ ⎪⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⎝⎭100b =+．这里111213141510011651266136714681569b ++++⎛⎫=⨯ ⎪⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⎝⎭，下面进一步估计b 介于哪两个相邻整数之间．111213141511121314151001001165126613671468156911651265136514651565b ++++++++⎛⎫⎛⎫=⨯<⨯ ⎪ ⎪⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⎝⎭⎝⎭()1112131415100100211121314156565++++=⨯=<++++⨯，111213141510011651266136714681569b ++++⎛⎫=⨯ ⎪⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⎝⎭111213141510011691269136914691569++++⎛⎫>⨯ ⎪⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⎝⎭()1112131415100100111121314156969++++=⨯=>++++⨯． 所以，12b <<，101102a <<．即a 的整数部分是101．1.1.19★★在数210，310，410，510，610，710，810，910的前面分别添加“+”或“-”，使它们的和为1，你能想出多少种方法？解析这8个有理数的分母都是10，只要2，3，4，5，6，7，8，9这8个整数的代数和为10即可，而23944+++=，所以添加“+”或“-”后，正数的和应为()12744102⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．方法很多．如2345678911010101010101010+++++--=， 2345678911010101010101010-+++-++-=， 2345678911010101010101010-+-+++-=， 2345678911010101010101010-++-+-+=， 2345678911010101010101010+-+--++=等． 1.1.20★★计算()()()()()()()()()()444444444476415642364316439643641164196427643564++++++++++．解析 因为()()()()()244222222226416641681648482424a a a a a a a a a a a a +=++-=+-=++-+⎡⎤⎡⎤=++-+⎣⎦⎣⎦，所以，原式等于()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()222222222222222222225494134174214254294334374414145494134174214254294334374+++++⋅++++++++++⋅+++++2241433714+==+． 1.1.21★★★求和：242424241231001111221331100100++++++++++++．解析因为()()()22422221111k k k k k k k k ++=+-=-+++，所以 ()()24111121111kk k k k k k ⎛⎫=- ⎪ ⎪++-+++⎝⎭， 原原式111111120111211212319910011001011⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦115050121010110101⎛⎫=-=⎪⎝⎭． 1.1.22★★已知21122221nn n n na ++=--+，其中n 为正整数，证明： 1220131a a a +++<．解析 注意到()()1121121212121n n n n n na ++==-----， 所以 122013a a a +++22320132014111111212121212121=-+-++-------201411121=-<-．1.1.23★★★求下列分式的值：222222129911005000220050009999005000+++-+-+-+． 解析 由于()()()222210010050001001001005000k k k k k k -+-+---+ ()()()222222210022100100k k k k k k-=+=+--+．由此， 原式2222222222199495150110050009999005000494900500051510050005050005000⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪-+-+-+-+-+⎝⎭⎝⎭99121992-=⋅+=． 评注 对通项的分子分母同乘2，发现可以首尾配对是本题的关键． 1.1.24★★设3333111112399S =++++，求4S 的整数部分． 解析对于2k =，3，，99，因为()()()32111112111k k k k k k k ⎛⎫<=- ⎪ ⎪-+-⎝⎭， 所以333111112399S <=++++11112299100⎛⎫<+- ⎪⨯⎝⎭54<， 于是有445S <<，故4S 的整数部分等于4．1.2实数与数轴 1.2.1★数a 、b 在数轴上对应的点如图所示，试化简a b b a b a a ++-+--．解析 由图可知0a <，0b >，而且由于a 点离原点的距离比b 点离原点的距离大，因此0a b +<．我们有a b b a b a a ++-+-- ()()()a b b a b a a =-++-+---()2a b b a b a --+-+--b =．评注本题由图，即数轴上a 、b 两点的位置，“读”得0a <，0b >，0a b +<等条件，从而去掉绝对值符号，解决问题．1.2.2★已知3x <-，化简：321x +-+． 解析这是一个含有多层绝对值符号的问题，可从里往外一层一层地去绝对值符号．原式()321x =+++（因为10x +<） ()3333x x =++=-+（因为30x +<）x x =-=-．1.2.3★若0x <，化简23x x x x---．解析因为0x <，所以30x -<，从而 x x =-，()333x x x -=--=-， ()333x x x x --=---=， 2233x x x x x x -=--=-=-．因此，原式33xx -==-． 评注根据所给的条件，先确定绝对值符号内的代数式的正负，然后化去绝对值符号．若有多层绝对值符号，即在一个绝对值符号内又含有绝对值符号（如本题中的分子2x x -），通常从最内层开始，逐层向外化去绝对值符号．1.2.4★化简：3121x x ++-． 解析本题是两个绝对值和的问题．解题的关键是如何同时去掉两个绝对值符号．若分别去掉每个绝对值符号，则是很容易的事．例如，化简31x +，只要考虑31x +的正负，即可去掉绝对值符号．这里我们是分13x -≥是一个分界点．类似地，对于21x -而言，12x =是一个分界点．为同时去掉两个绝对值符号，我们把两个分界点13-和12标在数轴上，把数轴分为三个部分（如图所示），即13x <-，1132x -<≤，12x ≥．32这样我们就可以分类讨论化简了．（1）当13x <-时，原式()()31215x x x =-+--=-；（2）当1132x -<≤时，原式()()31212x x x =+--=+；（3）当12x ≥时，原式()()31215x x x =++-=． 即15,31131212,3215,2x x x x x x x x ⎧<-⎪⎪⎪++-=+<⎨⎪⎪⎪⎩-当时;当-≤时当≥时评注 解这类题目，可先求出使各个绝对值等于零的变量字母的值，即先求出各个分界点，然后在数轴上标出这些分界点，这样就将数成分几个部分，根据变量字母的这些取值范围分类讨论化简，这种方法又称为“零点分段法”．1.2.5★设0a <，且ax a≤，试化简 12x x +--．解析 因为0a <，a a =-，所以1a a a a ==--．a x a≤，即1x -≤，所以 10x +≤，20x -<，因此()()1212x x x x +--=-+---⎡⎤⎣⎦123x x =--+-=-．1.2.6★★化简121x x --++． 解析先找零点．由10x -=得1x =．由120x --=即12x -=，得12x -=±， 从而1x =-或3x =．由10x +=得1x =-．所以零点共有1-，1，3三个．因此，我们应将数轴分成4个部分，即 1x <-，11x -<≤，13x <≤，3x ≥． 当1x <-时，原式()()121x x =---+-+⎡⎤⎣⎦ 11x x =----1122x x x =----=--． 当11x -<≤时，原式()12111x x x x =---++=--++1122x x x =+++=+． 当13x <≤，原式121x x =--++ 31x x =-++314x x =-++=． 当3x ≥时，原式121x x =--++ 313122x x x x x =-++=-++=-．即原式22,1,22,114,1322,3x x x x x x x --<-⎧⎪+-<⎪=⎨<⎪⎪-⎩≤≤≥评注 由于本例中含又重绝对值，采用零点分段法时，不要忘了考虑12x --的零点．1.2.7★★若245134x x x +-+-+的值恒为常数，求x 满足的条件及此常数的值． 解析要使原式对任何数x 恒为常数，则去掉绝对值符号，化简合并时，必须使含x 的项相加为零，即x 的系数之和为零，故本题只有2530x x x -+=一种情况．因此必须有4545x x -=-且1331x x -=-．故x 应满足的条件是450,310x x -⎧⎨-⎩≥≥ 解得1435x ≤≤．此时，原式()()2451347x x x =+---+=．1.2.8★★如果122y x x x =+-+-，且12x -≤≤，求y 的最大和最小值． 解析（1）当10x -<≤时，有122y x x x =+-+-()12223x x x x =++--=+，所以13y <≤． （2）当02x ≤≤时，有 ()12212232y x x x x x x x=+-+-=+---=-，所以13y -≤≤．综上所述，y 的最值是3，最小值是1-．1.2.9★★求代数式111213x x x ++-++的最小值．-11-13解析设111213y x x x =++-++，根据绝对值的几何意义，我们知道y 表示数轴上对应x 的点到对应12、11-、13-的点的距离之和，下面分类讨论：当12x ≥时，1325y x >+≥； 当13x -≤时，1225y x >-≥；当1312x -<<时，121325y x x -++=≥． 因此，当11x =-时，y 取最小值25．1.2.10★★如果m 为有理数，求代数式1356m m m m -+-++++的最小值．解析 分6m -≤，65m -<-≤，51m -<≤，13m <≤，3m >五个部分进行讨论．去掉绝对值符号，经过化简得到：当6m -≤时，原式47m =--，最小值为17； 当65m -<-≤时，原式25m =-+，最小值为15； 当51m -<≤时，原式15=，是一固定值；当13m <≤时，原式215m =+，最小值大于15； 当3m >时，原式47m =+，最小值大于15． 综上所述，原代数式的最小值为15．评注 此题还可以用绝对值的向何意义求解．本题就是要在数轴上找一点x ，使它到6-、5-、1、3的距离之和最小．这一点显然应在5-与1之间（包括这两点）的任意一点，它到6-、5-、1、3的距离之和为15，就是要求的最小值．1.2.11★★已知1x ≤，1y ≤，且 124k x y y y x =++++--，求k 的最大值和最小值．解析由题设条件知：11x -≤≤，11y -≤≤．于是10y +≥，240y x --<．所以 （1）当0x y +≤时，有 124k x y y y x =++++-- ()()124x y y y x =-+++---25y =-+，所以 37k ≤≤． （2）当0x y +≥时，有()12425k x y y y x x =+++---=+，所以 37k ≤≤．因此，k 的最大值是为7，最小值为3． 1.2.12★★已知26141y x x x =++--+，求y 的最大值．解析 首先使用“零点分段法”将y 化简，然后在各个取值范围内求出y 的最大值，再加以比较，从中选出最大者．有三个分界点：3-，1，1-．（1）当3x -≤时，()()()261411y x x x x =-+--++=-，由于3x -≤，所以14y x =--≤，y 的最大值是4-．（2）当31x --≤≤时，()()()26141511y x x x x =+--++=+，由于31x --≤≤，所以45116x -+≤≤，y 的最大值是6．（3）当11x -≤≤时，()()()2614133y x x x x =+---+=-+，由于11x -≤≤，所以0336x -+≤≤，y 的最大值是6．（4）当1x ≥时，()()()261411y x x x x =++--+=-+，由于1x ≥，所以10x -≤，y 的最大值是0． 综上可知，当1x =-时，y 取得最大值为6． 1.2.13★★★设a b c d <<<，求 x a x b x c x d -+-+-+-的最小值．解析 设a 、b 、c 、d 、x 在数轴上的对应点分别为A 、B 、C 、D 、X ，则x a -表示线段AX之长，同理，x b -，x c -，x d -分别表示线段BX ，CX ，DX 之长，现要求x a -，x b -，x c -，x d -这和的值最小，就是要在数轴上找一点X ，使该点到A 、B 、C 、D 四点距离之和最小．因为a b c d <<<，所以A 、B 、C 、D 的排列应如图所示：所以当X 在B 、C 之间时，距离和最小，这个最小值为AD BC +，即()()d a c b -+-． 1.2.14★★a 、b 为有理数，且a b a b +=-，试求ab 的值． 解析当0a b +≥时，由a b a b a b +=+=-得b b =-，故此时0b =．当0a b +<时，由()a b a b a b a b +=-+=--=-，得a a -=，故此时0a =． 所以，不管是0a b +≥还是0a b +<，a 、b 中至少有一个为0，因此，0ab =． 1.2.15★★若a 、b 、c 为整数，且19991a b c a-+-=，试计算c a a b b c -+-+-的值．解析因为a 、b 、c 均为整数，则a b -，c a -也应为整数，且19a b -，99c a -为两个非负整数，和为1，所以只能是190a b -=且991c a-=，① 或者191a b -=且990c a -=．②由①有a b =且1c a =±，于是1b c c a -=-=；由②有c a =且1a b =±，于是1b c a b -=-=．无论①或②都有1b c -=且1a b c a -+-=，所以 2c a a b b c -+-+-=．1.2.16★★★将1，2，…，100这100个正整数任意分成50组，每组两个数，现将每组的两个数中任一个数记为a ，另一个数记为b ，代入代数式()12a b a b -++中进行计算，求出其结果，50组都代入后可求得50个值，求这50个值的和的最大值．解析代数式()12a b a b -++的值就是a 、b 中的较大数，为保证所计算出的50个值之和最大，分组时不要把51，52，…，100这50个数中任两个分成一组即可．对于任意一组中的两个数a 、b ，不妨设a b >，则代数式()()1122a b a b a b a b a -++=-++=． 于是这50个值之和与大数a 有关，所以，这50个值的和的最大值为 51521003775+++=．1.2.17★★★设n 个有理数1x ，2x ，…，n x 满足()11,2,,i x i n <=，且121219nnx x x x x x +++=++++，求n 的最小值． 解析先估计n 的下界，由1i x <，及120n x x x +++≥，知12n n x x x >+++ 121919n x x x =++++≥，所以，20n ≥． 又当20n =时，取 0.95,1,3,5,,19,0.95,2,4,6,,20,i i x i =⎧=⎨-=⎩ 满足已知条件，所以，正整数n 的最小值为20． 1.3实数的判定1.3.1★★证明循环小数2.61545454 2.6154=是有理数．解析要说明一个数是有理数，其关键要看它能否写成两个整数比的形式．设2.6154x =，①两边同乘以100得100261.54264.5454x ==．② ②-①得99261.54 2.61258.93x =-=， 所以258939900x =． 既然x 能写成两个整数比的形式，从而也就证明了2.6154是有理数．1.3.2★★已知x 是无理数，且()()13x x ++是有理数，在上述假定下，分析下面四个结论是：（1）2x 是有理数；（2）()()13x x --是无理数； （3）()21x +是有理数； （4）()21x -是无理数． 哪些是正确的？哪些是错误的？ 解析取无理数2x ，这时()())13112x x ++==是有理数，而)2214x ==-1）不正确．仍取2x =，仿上可知结论（3）不正确．由于()()()()221343438138x x x x x x x x x x --=-+=-+-=++-，且()()13x x ++是有理数，8x 是无理数，故()()13x x --是无理数，即结论（2）正确．同样，由()()()211362x x x x -=++--，知结论（4）正确． 1.3.3)11112225n n -个个是有理数．解析 要证明所给的数能表示成mn （m ，n 为整数，0n ≠）的形式，关键是要证明()1111n -个2225n 个是完全平方数．()11112225n n -个个()1111110222105n n n +-=++⨯+个个1110110110210599n n n -+--=⨯+⨯⨯+()2111101021020459n n n ++=-+⨯-+ ()()22111010102510599n n n =+⨯+=+， 所以)131112225105nn n -=+个个．因为105n +与3)11112225n n -个个是有理数．1.3.4解析 要证明一个实数为无限不循环小数是一件极难办到的事．由于有理数与无理数共同组成了实数集，且二者是矛盾的两个对立面，所以，判定一个实数是无理数时，常常采用反证法．pq（p、q是互质的正整数），两边平方有222p q=，①所以p一定是偶数．设2p m=（m是正整数），代入①得2242m q=，222q m=，所以q也是偶数．p、q均为偶数和p与q是无理数．评注只要p就一定是无理数，这个结论的证明并不困难，请自行完成．1.3.5★★设n是有理数，则n必是完全平方数；反过来，如果n是有理数（而且是正整数）．qp=（p、q为互质的正整数），从而22np q=．①我们知道，任何一个平方数的质因数分解式中，每一个质因数的指数都是正偶数（反过来也成立）；而非平方（自然）数的质因数分解式中，至少有一个质因数的指数是奇数．由此可见，如果n不是完全平方数，那么无论n与2p有无相同的质因数，在2np的质因数分解式中，至少有一个质因数的指数是奇数，即2np不是平方数．这样①式不可能成立．所以，n是完全平方数．评注本题是一个重要的结论，它可作为定理使用，读者应熟悉它．有了这个结论，1.3.6★★设a、b解析由于负数不能开平方，故由题设知a、b都是非负整数．若0a=或0b=，易知结论成立．若a、b=2b a =-+，2a b+-．由所设a 、b从而a 是平方数，是整数．1.3.7★★求满足等式1=+的有理数x 、y ．解析把原式两边立方，得())23251632y y y =++．因x 、y 是有理数，故231625,32y x y y⎧+=⎪⎨=+⎪⎩ 解得22x =，2y =或22x =-，2y =-，易检验它们都满足原式． 1.3.8★★求满足条件的正整数a 、x 、y ． 解析将原式两边平方得 ax y -+-．①显然，a -x y +-为无理数．由①式变形为 2x y a +-=．假设0x ya +-≠()0k k ≠k ，所以有k =，两边平方得 262xy k =+，所以226xyk --．因为0k ≠，所以226xy k --是有理数，矛盾．所以0x y a +-=0． 所以,6.x y a xy +=⎧⎨=⎩0>，所以x y >，所以满足条件的正整数为：6x =，1y =，7a =或3x =，2y =，5a =．1.3.9★★若1122a b a b αα+=+（其中1a 、2a 、1b 、2b 为有理数，α为无理数），则12a a =，12b b =，反之，亦成立．解析 设法将等式变形，利用有理数不能等于无理数来证明．将原式变形为()1221b b a a α-=-．若12b b ≠，则2112a ab b α-=-．因为α是无理数，而2112a ab b --是有理数，矛盾．所以必有12b b =，进而有12a a =． 反之，显然成立．评注 本例的结论是一个常用的重要运算性质． 1.3.10★★设a 与b 是两个不相等的有理数，试判断实数是有理数还是无理数，并说明理由．解析是有理数，设其为A ，即A =．整理得a Ab +由1.3.9题知 a Ab =，1A =，即a b =，这与已知a b ≠是无理数．评注本例并未给出确定结论，需要解题者自己发现正确的结论．解这样的问题时，可以先找到一为有理数作为立足点，以其作为推理的基础．1.3.11★★★已知a 、b 是两个任意有理数，且a b <，求证：a 与b 之间存在着无穷多个有理数（即有理数集具有稠密性）．解析 只要构造出符合条件的有理数，题目即可被证明． 因为a b <，所以22a a b b <+<，所以2a ba b +<<． 设12a ba +=，1a 显然是有理数（因为a 、b 为有理数）．因为1a b <，所以，同理可证112a b a b +<<．设122a ba +=，2a 显然也是有理数，依此类推，设12n n ab a ++=，n 为任意正整数，则有12n a a a a b <<<<<<，且n a 为理数，所以在a 和b 之间存在无穷多个有理数．1.3.12★★★已知在等式ax bS cx d+=+中，a 、b 、c 、d 都是有理数，x 是无理数，问：（1）当a 、b 、c 、d 满足什么条件时，S 是有理数； （2）当a 、b 、c 、d 满足什么条件时，S 是无理数． 解析（1）当0a c ==，0d ≠时，bS d=为有理数． 当0c ≠时，有()ax b a bc adS cx d c c cx d +-==+++， 所以，只有当0bc ad -=，即ad bc =时，S 为有理数．故当0a c ==，且0d ≠；或0c ≠，且ad bc =时，S 为有理数． （2）当0c =，0d ≠，0a ≠时，a bS x d d=+为无理数． 当0c ≠时，有()a bc adS c c cx d -=++， 故只有当0bc ad -≠，即ad bc ≠时，S 为无理数．所以，当0c =，0a ≠，0d ≠；或0c ≠，ad bc ≠，S 为无理数．1.3.13★★已知a 、b 是两个任意有理数，且a b <，问是否存在无理数α，使得a b α<<成立？解析 因为a b <10>，所以))11a b <，)1b a <+．①又因为a b b <=+，所以a b +-<，即)1b a +<．②由①，②有)1b a <-+<，所以1b aa b -+<<． 取)122b ab a b α+-==()2a b b -=+因为b 、2a b -是有理数，且02a b -≠，所以2a bb -+即存在无理数α，使得a b α<<成立．1.3.14b ，求4321237620b b b b +++- 的值．解析 因为无理数是无限不循环小数，所以不可能把一个无理数的小数部分一位一位确定下来，这类涉及无理数小数部分的计算题，往往是先估计它的整数部分（这是容易确定的），然后再寻求其小数部分的表示方法．因为91416<<，即34<33b +，两边平方得 21496b b =++， 所以265b b +=．()()()()4324322222123762026366206620b b b b b b b b b b b b b +++-=+⋅+++-=+++- 2552010=+-=．1.3.15★★已知：p、q 是有理数，x =，且满足30x px q -+=，试求p q -的值． 解析将x =代入方程30x px q -+=，得30p q -+=⎝⎭，化简，得(2420p p q --+=． 因为p 、q 都是有理数，则 20,420p p q -=⎧⎨-+=⎩解方程组，得2,1.p q =⎧⎨=-⎩所以3p q -=．评注 本题应用到了性质：若a 、b 为有理数，p 为无理数，00a bp a b +=⇔==．1.3.16★★若n 为正整数，求证：必为无理数．解析 只需证4322221n n n n ++++为非完全平方数．而这只要证明它位于两个相邻的正整数的平方之间即可．因为()()()43224322432222212212n n n n n n nnn n n n n n ++++=+++++>++=+，又因为()2432432423222221232112221n n n n n n n n n n n n n n n ++++<++++=+++++=++， 所以()()222432222211n n n n n n n n +<++++<++．而()22n n +与()221n n ++是两个相邻的整数的完全平方数，它们之间一定没有完全平方数．因则对任意的正整数n ，数4322221n n n n ++++不可能是完全平方数，1.3.17★★★若m 、n 是正整数，a 、d 是实数，问是否存在三个不的素数p 、q 、r a =，a md =+a nd +？解析 假设存在三个不同的素数p 、q 、r a a md =+a nd =+．其中，a 、d 为实数，m 、n 是正整数．消去a 、d ，得mn=，即(m n -． ①①式的两边立方，得()3333m r n q m n p --=-．②将①式中的 (()3333mn m n m r n q m n p -=---．p 、q 、r a ，a md =+a nd =+．1.3.18★★★★设n a 是2222123n ++++的个位数字，1n =，2，3，…，求证：0．123na a a a 是有理数．解析 有理数的另一个定义是循环小数，即凡有理数都是循环小数，反之循环小数必为有理数．所以，要证1230.na a a a 是有理数，只要证它为循环小数．因此本题我们从寻找它的循环节入手．计算n a 的前若干个值，寻找规律：1，5，4，0，5，1，0，4，5，5，6，0，9，5，0，6，5，9，0，0，1，5，4，0，5，1，0，4，…．发 现：200a =，211a a =，222a a =，233a a =，…，于是猜想：20k k a a +=，若此式成立，说明120.na a a 是由20个数字组成循环节的循环小数，即120.0.15405104556095065900na a a =．下面证明20k k a a +=． 令()22212f n n =+++，当()()20f n f n +-是10的倍数时，表明()020f n +与()f n 有相同的个位数，而()()20f n f n +- ()()()2221220n n n =++++++()()2222102421220n n =+⋅++++．由前面计算的若干值可知：2221220+++是10的倍数，故20k k a a +=成立，所以120.na a a 是一个有理数． 1.3.19★★已知x y +、x y -、xy 、xy均为有理数，如果它们中有三个数相等，求x 、y 的值．解析 依题意，0y ≠，否则xy无意义． 若x y x y +=-，则0y =，矛盾． 所以x y x y +≠-．若0x =，则由x y xy +=或x y xy -=都得到0y =，矛盾．所以0xy ≠．因此，三个相等的代数式只能是：（1）x x y xy y +==或（2）xx y xy y -==．由,0x xy y x ⎧=⎪⎨⎪≠⎩得211y y =⇒=±． 当1y =时，由（1）得x y x +=，矛盾；由（2）得1x x -=，矛盾．所以1y ≠． 当1y =-时，由（1）得1x x -=-，21x =，12x =． 由（2）得1x x +=-，21x =-，12x =-．所以12x =±，1y =-．1.3.20★★★[]x 表示不超过实数x 的最大整数，令{}[]x x x =-．（1）找出一个实数x 满足{}11x x ⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭；（2）证明：满足上述等式的x ，都不是有理数．解析 设[]x m =，{}x α=，1n x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，1x β⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，则m 、n 是整数，0α≤，1β<．由题设1αβ+=，所以11x m n m n xαβ+=+++=++， ()2110x m n x -+++=，(112x m n =++．令13m n ++=，则(132x =，再验证它满足 {}11x x ⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭． （1）取x，则1x ，于是{}2x =-=，1x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，所以 {}11x x ⎧⎫+==⎨⎬⎩⎭． （2）设x m α=+，1n x β=+，其中m 、n 是整数，0α≤，1β<．则1αβ+=，11x m n x+=++．于是()2110x m n x -+++=，(112x m n =++．当()214m n ++=时，1x =±，均不满足{}11x x ⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭． 当()214m n ++>时，若()2214m n k ++-=，其中k 为正整数，则()()114m n k m n k ++-+++=．由于11m n k m n k ++-<+++，且1m n k ++-与1m n k +++同奇偶，所以12,12m n k m n k ++-=-⎧⎨+++=-⎩或12,12m n k m n k ++-=⎧⎨+++=⎩均不可能．故()214m n ++-不是完全平方数，从而x 是无理数． 1.3.21★★★★设a 、b 是实数，对所有正整数()2n ≥，n n a b +都是有理数，证明：a b +是有理数．解析 由题意，22a b +，33a b +，44a b +，…都是有理数．而n n a b +有如下“递推关系”：()()()2211n n n n n n a b a b a b ab a b +++++=++-+，所以()()()443322a b a b a b ab a b +=++-+， ()()()554433a b a b a b ab a b +=++-+，从中解出a b +即可．设x a b =+，y ab =，则有()()443322a b a b x a b y +=+-+， ()()554433a b a b x a b y +=+-+，消去y ，得()()()2224433a b a b a b x ⎡⎤++-+⎢⎥⎣⎦()()()()22553344a b a b a b a b =++-++．所以，当()()()22244330a b a b a b ++-+≠，即()0ab a b -≠时，()()()()()()()225533442224433a b a b a b a b x ababab++-++=++-+是有理数．当()0ab a b -=时，若a 、b 全为0，则结论成立；若a 、b 中恰有一个为0，不妨设0a =，则3322a b b a b +=+为有理数，从而a b b +=为有理数；若0a b -=，且a 、b 均不为0，则3322a b a b a b ab ++=+- ()()33222222a b a b a ba b +=--+++()33222a b a b +=+是有理数． 从而命题得证． 评注本题分析中给出的递推关系：()()()2211n n n n n n a b a b a b ab a b +++++=++-+非常重要．遇到涉及n n a b +类型的问题时，利用这一递推关系，可以帮助我们解题．1.3.22★★★★设A 是给定的正有理数．（1）若A 是一个三边长都是有理数的直角三角形的面积，证明：一定存在3个正有理数x 、y 、z ，使得2222x y y z A -=-=；（2）若存在3个正有理数x 、y 、z ，满足 2222x y y z A -=-=．证明：存在一个三边长都是有理数的直角三角形的三边长，a 、b 、c 都是有理数，且222a b c +=，12ab A =．若a b =，则222a c =，ca．这与a 、b 、c 都是有理数的假定矛盾，故a b ≠． 不妨设a b <，取2a b x +=，2c y =，2b az -=，则x 、y 、z 都是正有理数，且 ()2222142a b c x y ab A +--===， ()2222142c b a y z ab A ---===．（2）设三个正有理数x 、y 、z 满足2222x y y z A -=-=，则x y z >>．取a x z =-，b x z =+，2c y =，则a 、b 、c 都是正有理数，且()22222224a b x z y c +=+==，()221122ab x z =- ()()222212x y y z ⎡⎤=-+-⎣⎦ A =，即存在一个三边长a 、b 、c 都是正有理数的直角三角形，它的面积等于A ．。
初中数学竞赛题汇编(代数部分1)
初中数学竞赛题汇编（代数部分1）江苏省泗阳县李口中学沈正中精编、解答例1若m2＝m＋1，n2＝n＋1，且m≠n，求m5＋n5的值。
解：由已知条件可知，m、n是方程x2－x－1＝0两个不相等的根。
∴m＋n＝1，mn＝－1∴m2＋n2＝(m＋n)2－2mn＝3或m2＋n2＝m＋n＋2＝3又∵m3＋n3＝(m＋n) (m2－mn＋n2)＝4∴m5＋n5＝(m3＋n3) (m2＋n2)－(mn)2(m＋n)＝11例2已知解：设，则u＋v＋w＝1……①……②由②得即 uv＋vw＋wu＝0将①两边平方得u2＋v2＋w2＋2(uv＋vw＋wu)＝1 所以u2＋v2＋w2＝1即例3已知x4+x3+x2+x+1＝0，那么1+x+x2+x3+x4+……x2014＝。
解：1+x+x2+x3+x4+…x2014＝(1+x+x2+x3+x4)+(x5+x6+x7+x8+x9)+…+(x2010+x2011+x2012+x2013+x2014)＝(1+x+x2+x3+x4)+x5(1+x+x2+x3+x4)+…+ x2010(1+x+x2+x3+x4)＝0例4：证明循环小数为有理数。
证明：设＝x…①将①两边同乘以100，得…②②－①，得99x＝261.54－2.61 即x＝。
例5：证明是无理数。
证明（反证法）：假设不是无理数，则必为有理数，设＝（p、q是互质的自然数），两边平方有p2＝2q2…①，所以p一定是偶数，设p＝2m（m为自然数），代入①整理得q＝2m2，所以q也是偶数。
p、q均为偶数与p、q是互质矛盾，所以不是有理数，即为有理数。
例6：；；。
解：例7：化简（1）；（2）（3）；（4）；（5）；（6）。
解：（1）方法1方法2 设，两边平方得：由此得解之得或所以。
（2）（3）（4）设，两边平方得：由此得解之得所以＝＋1＋（5）设则所以（6）利用(a＋b)3＝a3＋b3＋3ab(a＋b)来解答。
设两边立方得：即x3－6x－40＝0将方程左边分解因式得(x－4)(x2＋4x＋10)＝0因(x2＋4x＋10)＝(x＋2)2＋6＞0 所以(x－4)＝0 ，即x＝4所以＝4例8：解：用构造方程的方法来解。
初中数学竞赛试卷人教版
一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列各数中，正数是（）A. -1/2B. -√2C. √2D. 02. 下列各数中，绝对值最小的是（）A. -1/2B. -√2C. √2D. 03. 若a=3，b=-3，则a-b的值为（）A. 0B. 6C. -6D. -94. 已知等差数列{an}的前三项分别为1，4，7，则第10项an的值为（）A. 19B. 23C. 27D. 315. 在直角坐标系中，点A（2，3），点B（-1，-4），则线段AB的中点坐标是（）A. （1，-1）B. （3，2）C. （1，2）D. （2，3）6. 若x^2+4x+4=0，则x的值为（）A. -2B. 2C. -4D. 47. 在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，则∠C的度数是（）A. 105°B. 120°C. 135°D. 150°8. 若a+b=5，ab=4，则a^2+b^2的值为（）A. 21B. 25C. 29D. 339. 已知一元二次方程x^2-3x+2=0的两个根为x1，x2，则x1+x2的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 410. 在等腰三角形ABC中，AB=AC，∠B=50°，则∠A的度数是（）A. 40°B. 50°C. 60°D. 70°二、填空题（每题5分，共25分）11. 若a=√2，b=√3，则a^2+b^2的值为______。
12. 已知等差数列{an}的前三项分别为2，5，8，则第10项an的值为______。
13. 在直角坐标系中，点P（3，4），点Q（-2，-1），则线段PQ的长度为______。
14. 若x^2-6x+9=0，则x的值为______。
15. 在△ABC中，∠A=40°，∠B=60°，则∠C的度数是______。
三、解答题（每题10分，共20分）16. （10分）已知等差数列{an}的前三项分别为1，4，7，求该数列的通项公式。
初中代数第四章“一元一次方程”能力自测题
初中代数第四章“一元一次方程”能力自测题（满分100分，时刻90分）1． 选择题：（每小题4分，共32分）（1）下列各式中，不是等式的式子是（ ）（A ）3+2=6； （B ） ba ab =；（C ）x x 2112+=-； （D ）().315+-x（2）下列说法中，正确的是（ ）（A ） 方程是等式； （B ） 等式是方程； （C ） 含有字母的等式是方程； （D ） 不含字母的方程是等式。
（3）当2=x 时，代数式2-ax 的值是4，那么，当2-=x 时，这代数式的值是（ ）（A ）-4； （B ）-8； （C ）8； （D ）2。
（4）某商场上月的营业额是a 万元，本月比上月增长15%，那么本月的营业额是（ ） （A ）()%151•+a 万元； （B ）a •%15万元； （C ）()a %151+万元； （D ）()a 2%151+万元。
（5）假如1=x 是方程23=+x ax 的解，那么a 的值（ ） （A ）1-； （B ）5； （C ） 1； （D ）5-（6）某同学到农贸市场买苹果，买每千克3元的苹果用所带钱的一半，而其余的钱都买了每千克2元的苹果，则该同学所买的苹果的平均价是每千克（ ）（A ）6.2元； （B ）5.2元； （C ）4.2元； （D ）3.2元 （7）学生a 人，以每10人为一组，其中有两组各少1人，则学生共有（ ） （A ）102-a 组； （B ）102+a 组；（C ）⎪⎭⎫ ⎝⎛-210a 组；（D ）⎪⎭⎫⎝⎛+210a 组 （8）假如41升桔子浓法冲入431升水制成桔子水，可供4人饮用，现在要为14人冲入同样“浓度”（那个地点，“浓度”=%100⨯溶液体积溶质体积）的桔子水，需要用桔子浓缩汁（ ） （A ）2升； （B ）7升； （C ）72升； （D ）87升 2． 填空题：（每空4分，共20分）（1） 已知右边两个加法竖式差不多上正确 7 x 的，则y z -的值为______。
数学竞赛试题及答案初中
数学竞赛试题及答案初中试题一：代数问题题目：如果\( a \)和\( b \)是两个连续的自然数，且\( a^2 + b^2= 45 \)，求\( a \)和\( b \)的值。
解答：设\( a \)为较小的自然数，那么\( b = a + 1 \)。
根据题意，我们有：\[ a^2 + (a + 1)^2 = 45 \]\[ a^2 + a^2 + 2a + 1 = 45 \]\[ 2a^2 + 2a - 44 = 0 \]\[ a^2 + a - 22 = 0 \]分解因式得：\[ (a + 11)(a - 2) = 0 \]因此，\( a = -11 \)或\( a = 2 \)。
由于\( a \)是自然数，所以\( a = 2 \)，\( b = 3 \)。
试题二：几何问题题目：在一个直角三角形中，直角边的长度分别为3厘米和4厘米，求斜边的长度。
解答：根据勾股定理，直角三角形的斜边\( c \)可以通过以下公式计算：\[ c = \sqrt{a^2 + b^2} \]其中\( a \)和\( b \)是直角边的长度。
代入数值：\[ c = \sqrt{3^2 + 4^2} \]\[ c = \sqrt{9 + 16} \]\[ c = \sqrt{25} \]\[ c = 5 \]所以斜边的长度是5厘米。
试题三：数列问题题目：一个等差数列的前三项分别是2，5，8，求这个数列的第10项。
解答：等差数列的通项公式是：\[ a_n = a_1 + (n - 1)d \]其中\( a_n \)是第\( n \)项，\( a_1 \)是首项，\( d \)是公差。
已知首项\( a_1 = 2 \)，公差\( d = 5 - 2 = 3 \)。
代入公式求第10项：\[ a_{10} = 2 + (10 - 1) \times 3 \]\[ a_{10} = 2 + 9 \times 3 \]\[ a_{10} = 2 + 27 \]\[ a_{10} = 29 \]所以这个数列的第10项是29。
初中数学竞赛专题复习第一篇代数第章代数式试题新人教版
第2章 代数式2.1整式的运算2.1.1★化简()()12311n x x x x x -⎡⎤+-+-++-⎣⎦，其中n 为大于1的事数． 解析 原式()()()1123231n n n x x x x x x x x x --=-+-++-+-+---+-()1nx =+-．评注本例可推广为一个一般的形式：()()1221n n n n n n a b a a b ab b a b -----++++=-．2.1.2★计算（1）()()a b c d c a d b -+----； （2）()()()422422816x y x y x x y y +--+．解析 （2）这两个多项式对应项或者相同或者互为相反数，所以可考虑应用平方差公式，分别把相同项结合，相反项结合．原式()()c b d a c b d a =--+---⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ ()22c b d a =---2222222c b d bd bc cd a =+++---．（2）()()22x y x y +-的结果是224x y -，这个结果与多项式4224816x x y y -+相乘时，不能直接应用公式，但()24224228164x x y y x y -+=-与前两个因式相乘的结果224x y -相乘时就可以利用差的立方公式了． 原式()()()23222222444x y x y x y =--=-()()()()()222322222234344x x y x y y =-+-642246124864x x y x y y =-+-．2.1.3★设()2321g x x x =-+，()3231f x x x =--，求用()g x 去除()f x 所得的商()q x 及余式()r x ． 解析1用普通的竖式除法2323222173932131213374133714739926299x x x x x x x x x x x x x x --+----+----+--- 因此，所求的商()1739q x x =-，余式()26299r x x =--．解析2 用待定系数法由于()f x 为3次多项式，首项系数为1，而()g x 为2次，首项系数为3，故商()q x 必为1次，首项系数必为13，而余式次数小于2，于是可设商式()13q x x a =+，余式()r x bx c =+．根据()()()()f x q x g x r x =+，得 ()()3223113213x x x x x x a bx c ---⎛⎫=-++++ ⎪⎝⎭()32213233x a x b a x a c ⎛⎫⎛⎫=+-+-+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．比较两端系数，得 233312131a b a a c ⎧-=-⎪⎪⎪-+=-⎨⎪⎪+=-⎪⎩解得79a =-，269b =-，29c =-，故商式()1739q x x =-，余式()26299r x x =--．2.1.4★已知当7x =时，代数式58ax bx +-的值为4，求当7x =时，代数式5322a bx x ++的值． 解析 比较两个代数式，发现它们的相同与不同．当7x =时，()551387222a b x x ax bx ++=+-+ 14792=⨯+=． 2.1.5★若23y zx ==，且12x y z ++=，试求234x y z ++的值．解析 2y x =，3z x =，代入 12x y z ++=得2x =，故4y =，6z =，所以23440x y z ++=．2.1.6★★试确定a 和b ，使422x ax bx +-+能被232x x ++整除． 解析由于()()23212x x x x ++=++，因此，若设()422f x x ax bx =+-+，假如()f x 能被232x x ++整除，则1x +和2x +必是()f x 的因式，因此，当1x =-时，()10f -=，即120a b +++=，①当2x =-时，()20f -=，即164220a b +++=，② 由①，②联立，则有6,3a b =-⎧⎨=⎩2.1.7★若()()()32115x x x x bx cx d -++=+++，求b d +的值． 解析()()()()()2321151555x x x x x x x x -++=-+=+--， 所以b =，5d =-． 0b d +=．2.1.8★将2357x x +-表示成()()222a x b x c -+-+的形式． 解析()()223573225227x x x x +-=-++-+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()23217215x x =-+-+．2.1.9★已知210a a +-=，求3222a a ++的值．解析1 由21a a +=，有()32322222a a a a a ++=+++()()22222123a a a a a a=+++=++=+=．解析2由21a a =-，有()()()3222222122a a a a a a ++=++=-++22224a a a a =--+=-- ()41413a a a a =---=--+=．评注 解析1是应用拆项法；解析2是应用降次法．这两种方法在整式恒等变形中常用．2.1.10★★已知x y m +=，33x y n +=，0m ≠，求22x y +的值． 解析因为x y m +=，所以()()33333m x y x y xy x y =+=+++3n mxy =+，所以233m nxy m =-． 所以()2222x y x y xy +=+- 22233m n m m ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭2233m n m=+． 2.1.11★★若214x xy y ++=，228y xy x ++=，求x y +的值． 解析把两个方程相加，得()()242x y x y +++=，于是有()()670x y x y +-++=，故6x y +=或7x y +=-．2.1.12★★★已知1x y +=，222x y +=．求77x y +的值． 解析因为222x y +=，所以()2221222x y x y xy xy =+=++=+，从而12xy =-．所以()()3333x y x y xy x y +=+-+31513122⎛⎫=-⨯-⨯= ⎪⎝⎭．()24422222x y x y x y +=+-22172222⎛⎫=-⨯-= ⎪⎝⎭．故()()()3773344335717112228x y x y x y x y x y ⎛⎫+=++-+=⨯--⨯= ⎪⎝⎭．2.1.13★★已知19992000a x =+，19992001b x =+，19992002c x =+，求多项式222a b c ab bc ca ++---的值．解析 由222a b c ab bc ca ++--- ()()()22212a b b c c a ⎡⎤=-+-+-⎣⎦，又因为1a b -=-，1b c -=-，2c a -=，故原式()()222111232⎡⎤=-+-+=⎣⎦．2.1.14★★已知实数a 、b 、x 、y 满足2a b x y +=+=，5ax by +=，求()()2222a b xy ab x y +++的值．解析由2a b x y +=+=，得()()4a b x y ax by ay bx ++=+++=．因为5ax by +=，所以1ay bx +=-． 因而，()()2222a b xy ab x y +++ ()()5ay bx ax by =++=-．2.1.15★★已知()77657651031x a x a x a x a x a -=+++++，试求76510a a a a a +++++的值．解析多项式()f x 的系数和，就是()1f ．()77651073112128a a a a a +++++=⨯-==．2.1.16★★求一个关于x 的二次三项式()f x ，它被1x -除余2；被()2x -除余8；并且被1x +整除．解析 设这个二次三项式为()2f x ax bx c =++．则()()()12,2428,10,f a b c f a b c f a b c =++=⎧⎪=++=⎨⎪-=-+=⎩①②③①-③得代入②、③得 46,1,a c a c +=⎧⎨+=⎩④⑤④-⑤得 53a =，代入⑤得23c =-．所求二次三项式为25233x x +-．2.1.17★未知数x 、y 满足()()2222220xy m y x n m y n +-+++=，其中m 、n 表示非零已知数，求x 、y 的值．解析 两个未知数，一个方程，对方程左边的代数式进行恒等变形，经过配方之后，看是否能化成非负数和为零的形式．将已知等式变形为222222220m x m y mxy mny y n +--++=，()()222222220m xmxy y m y mny n -++-+=，即()()220mx y my n -+-=． 所以0,0.mx y my n -=⎧⎨-=⎩因为0m ≠，所以n y m =，2nx m=． 2.1.18★★已知x 、y 、z 满足x y z xyz ++=，求证： ()()()()()()222222111111x y z y x z z x y --+--+--4xyz =．解析 因为x y z xyz ++=，所以左边()()()222222222222111x z y y z y z x x z z y x x y =--++--++--+ ()222222222222x y z xz xy xy z yz yx yx z zy zx zx y =++--+--+--+()()()()xyz xy y x xz x z yz y z xyz xy yz zx =-+-+-++++ ()()()()xyz xy xyz z xz xyz y yz xyz x xyz xy yz zx =------+++xyz xyz xyz xyz =+++4xyz ==右边．2.1.19★已知222a b c ab bc ca ++=++，证明a b c ==． 解析 因为222a b c ab bc ca ++=++，所以()()222220a b c ab bc ca ++-++=，即()()()2220a b b c c a -+-+-=， 因此0a b b c c a -=-=-=， 即a b c ==． 2.1.20★证明：()()()333222y z x z x y x y z +-++-++-()()()3222y z x z x y x y z =+-+-+-．解析 此题看起来很复杂，但仔细观察，可以使用换元法．令2y z x a +-=， ① 2z x y b +-=， ② 2x y z c +-=， ③则要证的等式变为3333a b c abc ++=． 因为()()3332223a b c abca b c a b c ab bc ca ++-=++++---，所以将①，②，③相加有2220a b c y z x z x y x y z ++=+-++-++-=， 所以33330a b c abc ++-=，所以()()()333222y z x z x y x y z +-++-++- ()()()3222y z x z x y x y z =+-+-+-．2.1.21★★已知44444a b c d abcd +++=，且a 、b 、c 、d 都是正数，求证：a b c d ===． 解析 由已知可得 444440a b c d abcd +++-=，()()22222222222240ab c d a b c d abcd -+-++-=，所以()()()222222220a b c d ab cd -+-+-=．因为()2220ab -≥，()2220c d -≥，()20ab cd -≥，所以22220a b c d ab cd -=-=-=，所以()()()()0a b a b c d c d +-=+-=．又因为a 、b 、c 、d 都为正数，所以0a b +≠，0c d +≠，所以 a b =，c d =． 所以()()220ab cd a c a c a c -=-=+-=，所以a c =．故a b c d ===成立． 2.1.22★★已知0a b c ++=，求证 ()()24442222a b c a b c ++=++．解析 用作差法，注意利用0a b c ++=的条件． 左-右()()24442222a b c a b c =++-++444222222222a b c a b b c c a =++--- ()2222224a b c b c =---()()22222222a b c bc a b c bc =--+---()()2222a b c a b c ⎡⎤⎡⎤=---+⎣⎦⎣⎦()()()()a b c a b c a b c a b c =-++---++0=．所以等式成立． 2.2因式分解2.2.1★分解因式：（1）5131214242n n n n n n x y x y x y --+-+-+-； （2）33386x y z xyz ---； （3）222222a b c bc ca ab ++-+-； （4）752257a a b a b b -+-．解析（1）原式()1422422n n n n x y x x y y -=--+()()221222222n n n n x y x x y y -⎡⎤=--+⎢⎥⎣⎦()21222n n n x y x y -=--()()2212n n n n x y x y x y -=--+．（2）原式()()()()333232x y z x y z =+-+----()()2222422x y z x y z xy xz yz =--++++-．（3）原式()()()()()2222222222a ab b bc ca c a b c a b c a b c =-++-++=-+-+=-+．本小题可以稍加变形，解法如下： 原式()()()()2222222a b c b c ca a b a b c =+-++-++-=-+．（4）原式()()752257a a b a b b =-+-()()522522a a b b a b =-+- ()()2255a b a b =-+()()()()432234a b a b a b a a b a b ab b =+-+-+-+ ()()()2432234a b a b a a b a b ab b =+--+-+．2.2.2★分解因式：66x y -． 解析1原式()()2233x y =-()()()()()()33332222x y x y x y x xy yx y xxy y=+-=+-+-++．解析2原式()()3322x y =-()()()22222222x y x x y y ⎡⎤=-++⎢⎥⎣⎦ ()()()22222x y x y x y x y ⎡⎤=+-+-⎢⎥⎣⎦()()()()2222x y x y x y xy x y xy =+-+++-．评注解析2中，()()42242222x x y y x y xy x y xy ++=+++-是因式分解中经常用到的一个结论，记住这个结论是必要的．2.2.3★★分解因式：()()()333222222x y z x y z ++--+．解析 原式中()22xy +与()22zx -的和等于()22yz +，所以考虑用立方和公式()()3333a b a b ab a b +=+-+变开后，再进行分解．原式()()()()()33222222222222223x y z x x y z x x y z x y z =++--+-⋅++--+()()()()()3322222222223y z x y z x y z y z =+-+-+-+()()()()22223x y z x z x y z =-++-+．2.2.4★★分解因式：3333a b c abc ++-． 解析原式()()3333a b ab a b c abc =+-++- ()()333a b c ab a b c ⎡⎤=++-++⎣⎦()()()()223a b c a b c a b c ab a b c ⎡⎤=+++-++-++⎣⎦()()222a b c a b c ab bc ca =++++--- 3评注 3333a b c abc ++- ()()22212222222a b c a b c ab bc ca =++++--- ()()()()22212a b c a b b c c a ⎡⎤=++-+-+-⎣⎦． 显然，当0a b c ++=时，则3333a b c abc ++=；当0a b c ++>时，则33330a b c abc ++-≥，即3333a b c abc ++≥，而且，当且仅当a b c ==时，等号成立． 如果令20x a =≥，30y b =≥，30z c =≥，则有3x y z ++ 等号成立的充要条件是x y z ==．这也是一个常用的结论． 2.2.5★★分解因式：15141321x x x x x ++++++．解析 这个多项式的特点是：有16项，从最高次项15x 开始，x 的次数顺次递减到0，由此想到应用公式n n a b -来分解．因为()()161514132111x x x x x x x -=-++++++，所以 原式()()15142111x x x x x x -+++++=-1611x x -=- ()()()()()842111111x x x x x x ++++-=-()()()()8421111x x x x =++++．评注在本题分解过程中，用到先乘以()1x -，再除以()1x -的技巧，这一技巧在等式变形中很常用．2.2.6★分解因式：398x x -+．解析 本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧．方法1 将常数项8拆成19-+． 原式3919x x =--+()3199x x =--+()()()21191x x x x =-++-- ()()218x x x =-+-．方法2 将一次项9x -拆成8x x --．原式388x x x =--+()()388x x x =-+-+()()()1181x x x x =+---()()218x x x =-+-．方法3 将三次项3x 拆成3398x x -．原式339898x x x =--+()()339988x x x =-+-+()()()()2911811x x x x x x =+---++()()218x x x =-+-方法4 添加两项22x x -+．原式()()()()()332222989818118x x x x x x x x x x x x x =-+=-+-+=-+--=-+-．评注 由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种．2.2.7★★分解因式：（1）9633x x x ++-；（2）()()22114m n mn --+；（3）()()()2442111x x x ++-+-； （4）33221a b ab a b -+++．解析（1）将3-拆成111---．原式963111x x x =++---()()()963111x x x =-+-+-()()()()()36333311111x x x x x x =-+++-++-()()363123x x x =-++()()()2631123x x x x x =-++++．（2）将4mn 拆成22mn mn +．原式()()221122m n mn mn =--++2222122m n m n mn mn =--+++()()2222212m n mn m mn n =++--+()()221mn m n =+-- ()()11mn m n mn m n =+-+-++．（3）将()221x -拆成()()2222211x x ---． 原式()()()()22442212111x x x x =++---+- ()()()()()242242121111x x x x x ⎡⎤=+++-+---⎣⎦ ()()()22222111x x x ⎡⎤=++---⎣⎦ ()()()()222222221313x x x x =+--=++． （4）添加两项ab ab +-．原式33221a b ab a b ab ab =-++++-()()()33221a b ab a ab ab b =-+-+++()()()()21ab a b a b a a b ab b +-+-+++()()()211a a b b a b ab b =-+++++⎡⎤⎣⎦()()211a a b ab b =-+++⎡⎤⎣⎦()()2211a ab b ab =-+++评注（4）是一道较难的题目，由于分解后的因式结构较复杂，所以不易想到添加ab ab +-，而且添加项后分成的三项组又无公因式，而是无将前两组分解，再与第三组结合，找到公因式．这道题目使我们体会到拆项、添项法的极强技巧所在．2.2.8★分解因式：4322221x x x x ++++．解析原式()()4232122x x x x =++++()()222121x x x =+++ ()()22112x x x =+++()()2211x x =++ 2.2.9★★分解因式：()()()bc b c ca c a ab a b ++--+．解析原式()()()()bc b c ca b c a b ab a b =+++-+-+⎡⎤⎣⎦()()()()bc b c ca b c ca a b ab a b =+++-+-+()()()()c b c a b a a b c b =++-++()()()a b b c c a =++-．2.2.10★★分解因式：()()()333x y z y z x z x y -+-+-．解析原式()()()333333x y y x y z x z z x z y =-+-+- ()()()22333xy x y z x y z x y =---+-()()()223x y xy x y z x xy y z ⎡⎤=-+-+++⎣⎦()()()()222x y x y z xy y z z y z ⎡⎤=--+---⎣⎦()()()22x y y z x xy zy z =--+--()()()()x y y z z x x y z =----++．2.2.11★★分解因式：()22331x x x x +++-． 解析原式()()223263121x x x x x x x =++++++- ()()()2232331211x x x x x x x =++++++- ()()()22331121x x x x x x x ⎡⎤=++++++-⎣⎦()()223411x x x x x x =++++++．2.2.12★★分解因式：()()221212x x x x ++++-．解析将原式展开，是关于x 的四次多项式，分解因式较困难．我们不妨将2x x +看作一个整体，并用字母y 来替代，于是原题转化为关于y 的二次三项式的因式分解问题了．设2x x y +=，则原式()()21212310y y y y =++-=+-()()()()222525y y x x x x =-+=+-++()()()2125x x x x =-+++．评注本题也可将21x x ++看作一个整体，比如令21x x u ++=，可以得到同样的结果，有兴趣的同学不妨试一试．2.2.13★★分解因式：()()223248390x x x x ++++-．解析 先将两个括号内的多项式分解因式，然后再重新组合．原式()()()()12212390x x x x =++++-()()()()12322190x x x x =++++-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()2225325290x x x x =++++-．令2252y x x =++，则原式()219090y y y y =+-=+-()()109y y =+-()()222512257x x x x =+++-()()()22512271x x x x =+++-．评注 对多项式适当的恒等变形是我们找到新元()y 的基础．()()()2221a b ab a b ab +-+-+-．解析 令a b x +=，ab y =，则原式()()()2221x y x y =--+-2222421x xy x y y y =--++-+()()22211x x y y =-+++()21x y =-+⎡⎤⎣⎦()21x y =--，所以，原式()21a b ab =+--．2.2.15★★分解因式：()()()2212121a a b a a b --+--．解析 令1a x -=，则()2222212122a a a a x a --=--=-．原式()()222221x a b ax b =-+-22222x b a b ab x ax =-+-()()22222x b ax ab x a b =-+-()()2xb a x ab =-+．所以，原式()()112a b a a ab =---+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()21ab a b a ab =--+-．2.2.16★★分解因式：()()4413272x x +++-．解析令2y x =+，则原式()()4411272y y =-++-()()22222121272y y y y =-++++-()()423242324142441424272y y y y y y y y y y =++-+-++++++- 42212270y y =+-()4226135y y =+-()()222915y y =-+()()()223315y y y =+-+．所以，原式()()()2251419x x x x =+-++．2.2.17★★分解因式：()()2222483482x x x x x x ++++++．解析 设248x x y ++=，则原式()()22322y xy x y x y x =++=++()()226858x x x x =++++()()()22458x x x x =++++．评注 由本题可知，用换元法分解因式时，不必将原式中的元都用新元代换，根据题目需要，引入必要的新元，原式中的变元和新变元可以一起变形，换元法的本质是简化多项式．2.2.18★★分解因式：432673676x x x x +--+．解析1原式()()422617136x x x x =++--()()4222262127136x x x x x x ⎡⎤=-+++--⎣⎦()()222226127136x x x x x ⎡⎤=-++--⎢⎥⎣⎦ ()()2222617124x x x x =-+-- ()()22213318x x x x ⎡⎤⎡⎤=---+⎣⎦⎣⎦()()22232383x x x x =--+-()()()()212313x x x x =+--+．评注 本解法实际上是将21x -看作一个整体，但并没有设立新元来代替它，即熟练使用换元法后，并非每题都要设置新元来代替整体．解析2 原式222766736x x x x x ⎛⎫=+--+ ⎪⎝⎭ 222116736x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦． 令1x t x -=，则22212x t x+=+，于是 原式()2262736x t t ⎡⎤=++-⎣⎦()()()22267242338x t t x t t =+-=-+2112338x x x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=---+ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ ＝()()22232383x x x x --+-()()()()212313x x x x =+--+． 2.2.19★★分解因式：()()222224x xy y xy x y ++-+． 解析 本题含有两个字母，且当互换这两个字母的位置时，多项式保持不变，这样的多项式叫作二元对称式．对于较难分解的二元对称式，经常令u x y =+，v xy =，用换元法分解因式．原式()()22242x y xy xy x y xy ⎡⎤⎡⎤=+--+-⎣⎦⎣⎦． 令x y u +=，xy v =，则原式()()22242u v v u v =--- ()24222693u u v v u v =-+=- ()()22222223x xy y xy x xy y =++-=-+． 2.2.20★分解因式：22232108x xy y x y --++-．解析 原式()()32108x y x y x y =-+++-()()342x y x y =-++-．其十字相乘图为3x yx y -+42- 评注 凡是可以化成()2x a b x ab +++或()2abx ac bd x cd +++形式的二次三项式，都可以直接采用十字相乘法把它分解成()()x a x b ++或()()ax d bx c ++的形式．对于某些二元二次六项式()22ax bxy cy dx ey f +++++，我们也可以用十字相乘法分解因式，通常称为双十字相乘法．其因式分解的步骤是：首先用十字相乘法分解22ax bxy cy ++，得到一个十字相乘图（有两列）；然后把常数项f 分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey ，第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx ．2.2.21★分解因式：226136222320x xy y x y -++-+．解析原式()()2332222320x y x y x y =--+-+()()234325x y x y =-+-+．其十字相乘图为-2y -3y 3x 2x 542.2.22★分解因式：22267372x xy y xz yz z ---+-．解析 原式()()223372x y x y xz yz z =-+-+-()()2332x y z x y z =-++-．其十字相乘图为z-2z2x 3x -3y y2.2.23★分解因式：()()()()123424x x x x ++++-．解析 原式()()22545624x x x x =++++- ()()225454224x x x x ⎡⎤=+++++-⎣⎦＝()()2225425424x x x x +++++- ()()22546544x x x x ⎡⎤⎡⎤=+++++-⎣⎦⎣⎦()()25510x x x x =+++．对于形如()()()()e x a x b x c x d f +++++（a 、b 、c 、d 、e 、f 为常数），当a b c d +=+时，则把()()x a x b ++与()()x c x d ++分别相乘后，构成有相同部分：()()22x a b x x c d x ++=++的项，使原式得到简化，再用十字相乘法进行分解．2.2.24★★分解因式：()()()()2238124x x x x x ++++-．解析原式()()222142411244x x x x x =++++-()()2221424142434x x x x x x ⎡⎤=++++--⎣⎦ ()()22221424314244x x x x x x =++-++- ()()22142441424x x x x x x ⎡⎤⎡⎤++-+++⎣⎦⎣⎦()()2210241524x x x x =++++()()46x x x x ⎛⎛=++⋅ ⎝⎭⎝⎭． 对地形如()()()()2e x a x b x c x d fx +++++（a 、b 、c 、d 、e 、f 为常数），当a b c d ⋅=⋅时，则把()()x a x b ++与()()x c x d ++分别先作法，构成具有相同部分22x ab x cd +=+的项，再用十字相乘法进行分解．2.2.25★★分解因式：222382214x y z xy xz yz --+++．解析 由于()()22233x xy y x y x y +-=+-．若原式可以分解因式，那么它一定是()()3x y mz x y nz ++-+的形式．应用待定系数法即可求出m 和n ，使问题得到解决．设()()2223822143x y z xy xz yz x y mz x y nz --+++≡++-+()()222233x xy y m n xz n m yz mnz =-++⋅+-+．比较两边对应项的系数，则有2,314,8m n n m mn +=⎧⎪-=⎨⎪=-⎩解之，得 2m =-，4n =．所以，原式()()324x y z x y z =+--+．2.2.26★★分解因式：432435x x x x -+++．解析 这是关于x 的四次多项式，若它可以因式分解，则必为关于x 的两个二次式之积．可用待定系数法求之．设432435x x x x -+++()()2215x ax x bx =++++()()()432655x a b x ab x a b x =+++++++．比较两边对应项的系数，则有1,64,53a b ab a b +=-⎧⎪+=⎨⎪+=⎩解之，得1a =，2b =-．所以，原式()()22125x x x x =++-+．如果设原式()()2215x ax x bx =+-+-，那么由待定系数法解题后知关于a 与b 的方程组无解，所以设原式()()2215x ax x bx =++++．2.2.27★★k 为何值时，2237x y x k -+-+可以分解成两个一次因式的乘积？解析 因为()()22x y x y x y -=+-，所以如果2237x y x y k -+-+可以分解成两个一次因式的乘积，那么它的两个一次因式一定是()x y m ++与()x y n -+的形式，其中m 、n 都是待定系数．设 2237x y x y k -+-+()()x y m x y n =++-+，2237x y x y k -+-+22x xy mx xy y my nx ny mn =++---+++()()22x y m n x n m y mn =-+++-+．比较两边对应项的系数，得3,7,m n n m mn k +=⎧⎪-=-⎨⎪=⎩解之，得5,2,10.m n k =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩因此，当10k =-时，2237x y x y k -+-+可以分解成两个一次因式的乘积()()52x y x y ++--．2.2.28★★分解因式：()444a a b b +++．解析 因为()4443223464a b a b a b a b ab +=+---()()()42242a b ab a b ab =+-++，所以，原式()444a b a b =+++()()()()422442a b ab a b ab a b =+-++++()()()42222a b ab a b ab ⎡⎤=+-++⎣⎦()222a b ab ⎡⎤=+-⎣⎦ ()2222a b ab =++． 2.2.29★★分解因式：()5555x y z x y z ++---．解析 这个式子是关于x 、y 、z 的五次齐次对称式，令x y =-，则原式0=．故原式有因式x y +．同理，亦有因式y z +，z x +．这样原式还有一个二次齐次对称式()()222k x y z l xy yz zx +++++．所以，可设原式()()()()()222x y y z z x k x y z l xy yz zx ⎡⎤=++++++++⎣⎦．当1x y ==，0z =时，得152k l =+． ①当2x =，1y =，0z =时，得3552k l =+．②由①式与②式可解得5k =，5l =． 所以，原式()()()()2225x y y z z x x y z xy yz zx =++++++++．2.2.30★★分解因式：()()()222222ab a b bc b c ca c a -+-+-．解析 当a b =时，易知原式0=，所以原式有因式a b -．同理，b c -与c a -也都是原式的因式．但四次多项式应有四个一次因式，由对称性余下的一个因式必有为a b c ++，故可设()()()222222ab a b b b c ca c a -+-+-()()()()k a b c a b b c c a =++---．令0a =，1b =，2c =，得()()()233112k ⨯-=⨯-⨯-⨯．解得1k =-．所以，原式＝()()()()a b c a b b c c a -++---．2.2.31★★分解因式：()()()()()()222222222a b c b c a c a b abc a b c a b c ab bc ca +++++++++++⋅++． 解析所给的式子是一个四次对称式．若令a b =-，则原式()()()()2222222222b b c b c b b c b c b =++--++⋅-()()2222222b b c c b c c b ⎡⎤=++----⎣⎦()22222222222b b c bc b bc c c b =+++-+--0=．所以，原式含有因式a b +．同理，原式含有因式b c +，c a +．于是，原式含有因式()()()a b b c c a +++．由于原式为四次对称式，故还有因式()k a b c ++，其中k 为待定系数．所以，原式()()()()k a b b c c a a b c =+++++．比较等式两边3a b 的系数，得1k =．所以，原式()()()()a b b c c a a b c =+++++．2.3分式2.3.1★计算：（1）9333a b a bab ab ++-；（2）2216322a a a a a --++--．解析（1）9362333a ba bbab ab ab a ++-==．（2）2216322a a a a a --++--()()()()161221a a a a a -=-++-+()()()()()()1262122a a a a a a ---+=++-()()()2910122a a a a a --=++-()()()()()2101101224a a a a a a a -+-==+-+-．2.3.2★计算：（1）211x x x +--；（2）2233x yx yx y x x y x x ⎡⎤+-⎛⎫---÷ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎣⎦．解析（1）()()22111111111x x x x x x x x x +---+-===----．（2）2233x y x y x y x x y x x ⎡⎤+-⎛⎫---÷ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎣⎦ ()2233x y x x y x x y x x y ⎧⎫+⎡⎤=--+⨯⎨⎬⎢⎥+-⎣⎦⎩⎭ 22233x x x x y ⎡⎤⎛⎫=--⨯ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎣⎦ 22x x x y x y=⨯=--． 2.3.3★★化简分式：222223253452851223a a a a a a a a a a a a ++-----+--+++--． 解析 直接通分计算较繁，先把每个假分式化成整式与真分式之和的形式，再化简将简便得多．原式22222211236136241262611223a a a a a a a a a a a a a a a a +++++--+-+----+-=-=+++-- ()()()()111121332221223a a a a a a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=++--+-+-+--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥++--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦()()()()111121332221223a a a a a a a a ⎡⎤=+---++-+-+-⎡⎤⎣⎦⎢⎥++--⎣⎦ 11111223a a a a =-+-++-- ()()()()111223a a a a -=+++-- ()()()()()()()()23121223a a a a a a a a ---++=++-- ()()()()841223a a a a a -+=++--． 评注 本题的关键是正确地将假分式写成整式与真分式之和的形式．2.3.4★★求分式248161124816111111a a a a a a +++++-+++++ 当2a =时的值．解析 先化简再求值．直接通分较复杂，注意到平方差公式：()()22a b a b a b -=+-，可将分式分步通分，每一步只通分左边两项．原式()()()()248161124816111111a a a a a a a a ++-=++++-+++++22481622481611111a a a a a =++++-++++ ()()()()224816222121481611111a a a a a a a ++-=++++++-+ 44816448161111a a a a =+++-+++ 881616168816161611111a a a a a =++=+-++-+ 32323232112a ==--． 2.3.5★计算：222222a b c b c a c a b a ab ac bc b ab bc ac c ac bc ab------++--+--+--+． 解析 本题如果直接通分化为同分母，去处较繁．而通过分子拆项，分母分解之后，利用11x y xy x y+=+，比较简洁．由此可看出，有时需要把分式按分母不变，分子相加减的法则倒过来运用，把一个分式拆成几个分式的和差．原式()()()()()()()()()()()()a b a c b c b a c a c b a b a c b c b a c a c b -+--+--+-=++------ 111111a c a b b a b c c b c a=+++++------ 0=． 2.3.6★已知2310x x -+=．求221x x +的值． 解析 由已知2310x x -+=得0x ≠且213x x +=可得213x x +=，即13x x+=，所以 2221127x x x x ⎛⎫+=+-= ⎪⎝⎭． 评注 这里利用x 与1x互为倒数的特点．巧妙地运用乘法公式加以变形，使问题变得较简单．同样地，32321111x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+=+-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()37118=⨯-=，2424211247x x x x ⎛⎫+=+-= ⎪⎝⎭． 2.3.7★已知115x y +=．求2322x xy x x xy y-+++的值．解析由5x y xy+=可得5x y xy +=．故 ()()232322537122527x y xy x xy y xy xy xy x xy y x y xy xy xy xy +--+⨯-====+++++． 评注 本题同样通过将已知的条件作适当变形，代入所求的分式中．由此可看出，在已知条件与所求的式子中寻找桥梁是非常关键的，往往需要作整体的代换，而不一定要一一求出每个字母的数值．2.3.8★计算：()()()()()()()()()222x y y z z x z x z y x y x z y x y z ---++------． 解析 直接通分比较繁，考虑到这里主要涉及x y -，y z -，z x -三个式子，不妨用换元法．使所求式子的形式变得简单一些．设x y a -=，y z b -=，z x c -=，则0a b c ++=，所以 原式222333a b c a b c bc ac ab abc++=++=---- ()()333a b ab a b c abc⎡⎤+-++⎣⎦=- 3333c abc c abc-++=-=-． 2.3.9★★已知1xyz =，2x y z ++=，22216x y z ++=． 求111222xy z yz x zx y+++++的值． 解析 因为2x y z ++=，两边平方得2222224x y z xy yz zx +++++=．已知22216x y z ++=，所以，6xy yz zx ++=-．又2z x y =--，所以()()111242222xy z xy x y x y ==++----． 同理，()()11222yz x y z =+--，()()11222zx y z x =+--．故 原式()()()()()()111222222x y y z z x =++------()()()()()()222222x y z x y z -+-+-=--- ()()6248x y z zyx xy yz zx x y z ++-=-+++++- 2641128813-==-++-． 2.3.10★★若1abc =，求 11a b c ab a bc b c ca c ++++++++的值．解析本题可将分式通分后，再进行化简求值，但较复杂．下面介绍几种简单的解法．方法1 因为1abc =，所以a 、b 、c 都不为零． 原式111a ab abc ab a a bc b ab ca c =+⋅+⋅++++++ 1a ab abc ab a abc ab a abca abc ab =++++++++ 1111a ab ab a ab a a ab =++++++++ 111a ab ab a ++==++． 方法2 因为1abc =，所以0a ≠，0b ≠，0c ≠． 原式11a b b c ab a abc bc b b ca c =++⋅++++++ 111b bc b bc bc b bca bc b =++++++++ 11111b bc b bc bc b bc b=++=++++++． 方法3 由1abc =，得1a bc =，将之代入原式 原式1111111b c bc bc b b c c bc bc bc =++++⋅++⋅++ 11111b bc b bc bc b bc b=++=++++++． 2.3.11★化简分式： 2221113256712x x x x x x ++++++-+． 解析 三个分式一起通分运算量大，可先将每个分式的分母分解因式，然后再化简．原式()()()()()()111212334x x x x x x =++++++++111111122334x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+- ⎪ ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 21131454x x x x =-=++++． 评注本题在将每个分式的分母因式分解后，各个分式具有()()11x n x n +++的一般形式，与分式运算的通分思想方法相反，我们将上式拆成1x n +与11x n ++两项，这样，前后两个分式中就有可以相互消掉的一对相反数，这种化简的方法叫“拆项相消”法，它是分式化简中常用的技巧．2.3.12★★若实数x 、y 、z 满足14x y +=，11y z +=，173z x +=，求xyz 的值． 解析 因为114111z x x x y z z=+=+=+-- 7173371431x x x x x x x--=+=+---， 所以()()4434373x x x x -=-+-，241290x x -+=，()2230x -=， 故32x =．从而53z =，25y =．所以1xyz =． 2.3.13★★已知：3x y z a ++=（0a ≠，且x 、y 、z 不全相等），求()()()()()()()()()222x a y a y a z a z a x a x a y a z a --+--+---+-+-的值． 解析 本题字母多，分式复杂．若把条件写成()()()0x a y a z a -+-+-=，那么题目只与x a -，y a -，z a -有关，为简化计算，可用换元法求解．令x a u -=，y a v -=，z a w -=，则分式变为222uv vw wu u v w ++++，且由已知有0u v w ++=．将0u v w ++=两边平方得()22220u v w uv uw wu +++++=． 由于x 、y 、z 不全相等，所以u 、v 、w 不全为零，所以2220u v w ++≠，从而有22212uv vw wu u v w ++=-++， 即所求分式的值为12-． 评注 从本题中可以看出，换元法可以减少字母个数，使运算过程简化．2.3.14★★已知x y z a b b c c a==---，求x y z ++的值． 解析 本题的已知条件是以连比形式出现，可引入参数k ，用它表示连比的比值，以便把它们分割成几个等式．设x y z k a b b c c a===---，于是有 ()x a b k =-，()y b c k =-，()z c a k =-．所以()()()0x y z a b k b c k c a k ++=-+-+-=．2.3.15★★已知1x y z a b c++=，0a b c x y z ++=，求222222x y z a b c ++的值． 解析 令x u a =，y v b =，z w c=，于是条件变为 1u v w ++=， ① 1110u v w++=． ② 由②有0uv vw wu uvw++=， 所以0uv vw wu ++=．把①两边平方得()22221u v w uv vw wu +++++=，所以2221u v w ++=， 即 2222221x y z a b c ++=． 2.3.16★★已知实数a 、b 、c 满足1abc =-，4a b c ++=，22243131319a b c a a b b c c ++=------，求222a b c ++的值．解析 因为()223133a a a a abc a bc a --=-+=+- ()()()111a bc b c a b c =--+=--， 所以()()213111a a a b c =----． 同理可得()()213111b b b a c =----， ()()213111c c c a b =----． 结合22243131319a b c a a b b c c ++=------可得 ()()()()()()11141111119b c a c a b ++=------，所以()()()()()()41111119a b c a b c ---=-+-+-． 结合1abc =-，4a b c ++=，可得14ab bc ac ++=-．因此， ()()22223322a b c a b c ab bc ac ++=++-++=． 实际上，满足条件的a 、b 、c 可以分别为12-、12、4． 2.3.17★★已知1xyzt =，求下面代数式的值：11111111x xy xyz y yz yzt z zt ztx t tx txy+++++++++++++++． 解析 根据分式的基本性质，分子、分母可以同时乘以一个不为零的式子，分式的值不变．利用已知条件，可将前三个分式的分母变为与第四个相同．11t x xy xyz t xt xyt xyzt=++++++ 1t t xt xyt =+++， 同理111tx y yz yzt tx txy t=++++++， 111txy z zt ztx txy t tx=++++++． 所以 原式111t tx txy t tx txy+++==+++．2.3.18★★若x =4322621823815x x x x x x --++-+的值．解析 x ==4=，所以4x -=()243x -=，即28130x x -+=． 原式分子()()()4323228132162681310x x x x x x x x =-++-++-++ ()()()2222813281381310x x x x x x x x =-++-++-++10=，原式分母()281322x x =-++=，所以原式1052==． 评注 本题的解法采用的是整体代入的方法，这是代入消元法的一种特殊类型，应用得当会使问题的求解过程大大简化．2.3.19★★若a b c a b c a b c c b a+--+-++==，求()()()a b a c b c abc +++的值． 解析1 利用比例的性质解决分式问题．（1）若0a b c ++≠，由等比定理有 a b c a b c a b c c b a+--+-++== ()()()a b c a b c a b c a b c+-+-++-++=++ 1=，所以a b c c +-=，a b c b -+=，a b c a -++=，于是有()()()2228a b a c b c c b a abc abc+++⋅⋅==． （2）若0a b c ++=，则a b c +=-，b c a +=-，c a b +=-，于是有()()()()()()1a b a c b c c a b abc abc+++---==-． 评注 比例有一系列重要的性质，在解决分式问题时，灵活巧妙地使用，便于问题的求解．解析2 设参数法．令a b c a b c a b c k c b a+--+-++===， 则()1a b k c +=+， ①()1a c k b +=+，② ()1b c k a +=+． ③①+②+③有()()()21a b c k a b c ++=+++，所以()()10a b c k ++-=，故有1k =或0a b c ++=．当1k =时，()()()2228a b b c c a c a b abc abc+++⋅⋅==． 当0a b c ++=时，()()()()()()1a b b c c a c a b abc abc+++---==-． 评注 引进一个参数k 表示以连比形式出现的已知条件，可使已知条件便于使用．2.3.20★★一列数1a ，2a ，3a ，…满足对于任意正整数n ，都有312n a a a n +++=， 求23100111111a a a +++---的值．1 解析 当2n ≥时，有312n a a a n +++=，()31211n a a a n -+++=-， 两式相减，得2331n a n n =-+， 所以()1111113131n a n n n n ⎛⎫==- ⎪---⎝⎭，2n =，3，… 故23100111111a a a +++---1111111133132323399100100⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．。
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第4章方程组§4．1方程组的解法4．1．1★已知关x 、y 的方程组分别求出当a 为何值时，方程组有唯一一组解；无解；有无穷多组解，解析与一元一次方程一样，含有字母系数的一次方程组求解时也要进行讨论，一般是通过消元，归结 为一元一次方程ax b =的形式进行讨论，但必须特别注意，消元时，若用含有字母的式子去乘或者去除方程的两边时，这个式子的值不能等于零．由①式得()21y a ax =+-，③将③代入②得()()()()122a a x a a -2+=-+．④当()210a a -+≠（），即2a ≠且1a ≠-时， 方程④有唯一解21a x a +=+，将此x 值代入③有 ()121y a =+， 因而原方程组有唯一一组解．当()()210a a -+=，且()()220a a -+≠时，即1a =-时，方程④无解，因此原方程组无解． 当()()210a a -+=且()()210a a -+=时，即2a =时，方程④有无穷多个解，因此原方程组有 无穷多组解．评注对于二元一次方程组111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩，（1a 、2a 、1b 、2b 为已知数，且1a 与1b ，2a 与2b 中都至少 有一个不为零）．（1）当1122a b a b ≠时，方程组有唯一的解 （2）当111222a b c a b c ==时，原方程组有无穷多组解． （3）当111222a b c a b c =≠时，原方程组无解． 4．1．2★对k 、m 的哪些值，方程组()214y kx m y k x =+⎧⎪⎨=-+⎪⎩至少有一组解？ 解析由原方程可得()214kx m k x +=-+．即()14k x m -=-．（1）当1≠k 时，方程有唯一解41m x k -=-，从而原方程组有唯一解．（2）当1k -，4m =时，方程有无穷多个解，从而原方程组也有无穷多组解．综上所述，当1k ≠且m 为任意数，或1k =且4m =时，方程组至少有一组解．4．1．3★已知关于x 、y 的二元一次方程()()12520a x a y a -+++-=．当a 每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，试求出这个公共解．解析1根据题意，可分别令1a =，2a =-代入原方程得到一个方程组：解之得将3x =，1y =-代入原方程得()()()1321520a a a -⋅++⋅-+-=．所以对任何a 值都是原方程的解．评注取1a =为的是使方程中()10a x -=，方程无x 项，可直接求出y 值；取2a =-的道理类似． 解析2可将原方程变形为()(2)250a x y x y +----=．由于公共解与a 无关，故有解之得公共解为3,1.x y =⎧⎨=-⎩4．1．4★★已知0xyz ≠，且20x y z ++=，5440x y z +-=，求22222610345x y z x yz z +--+的值． 解析已知代数式中含有x 、y 、z 三个字母，而等式只有2个，在一般情况下是不可能求出x 、y 、z 的具体值来的．因此，可以把已知条件中的z 视为常数，得到关于x 、y 的方程组，从而找出x 、y 与z 的关系，由此可求出其值．把已知等式视作关于x 、y 的方程，z 视作常数，得关于x 、y 的方程组 解得2,3.2x z y z =⎧⎪⎨=-⎪⎩ 因为0xyz ≠，所以0z ≠，于是22222227410152126546z z z z z z +-==++． 4．1．5★若x 、y 的值满足方程组求422445x x y y ++的值．解析由①+②得50010002000x y +=，即24x y +=．③由③得：42x y =-．④把④代入①得：()323424571103y y -+=．解得1y =，把1y =代人④得：2x =，所以方程组解为原式422424215137=+⨯⨯+⨯=．4．1．6★★当a 取何值时，关于x 、y 的方程组5,232x y a x y a +=+⎧⎨-=-⎩有正整数解． 解析解方程组得223,12.3a x a y a -⎧=+⎪⎪⎨+⎪=++⎪⎩所以，a 是被3除余2的整数． 由221,31213a a a -⎧+⎪⎪⎨+⎪++⎪⎩≥≥得15a -≤≤．所以1a =-，2，5． 4．1．7★k 为何值时，方程组（1）当163k -≠，即2k ≠-时，原方程组有唯一解0,1;3x y =⎧⎪⎨=⎪⎩（2）当113631k --==，即2k =-时，原方程组无穷多组解； （3）由于1331--1=，故方程组不可能无解． 4．1．8★若方程组344,12322x y m x y m +=-⎧⎪⎨-=+⎪⎩的解满足0x y +=，求m 的值． 解析将x y =-代入原方程组，得 所以，5312302m m -++=，192m =． 4．1．9★甲、乙二人同时求7ax by -=的整数解． 甲求出一组解为3,4,x y =⎧⎨=⎩而乙把7ax by -=中的7错看成1，求得一组解为1,2,x y =⎧⎨=⎩求a 、b 的值． 解析 把3x =，4y =代入7ax by -=，得347a b -=．把1x =，2y =代入1ax by -=，得21a b ==．解方程组347,21,a b a b -=⎧⎨-=⎩得5,2.a b =⎧⎨=⎩4．1．10★甲、乙两人解方程组由于甲看错了方程①中的以而得到方程组的解为3,1;x y =-⎧⎨=-⎩乙看错了方程②中的b 而得到的解为5,4.x y =⎧⎨=⎩ 假如按正确的a 、b 计算，求出原方程组的解．解析因为甲只看错了方程①中的a ，所以甲所得到的解3,1x y =-⎧⎨=-⎩应满足无a 的正确的方程②，即()()4312b ⨯--⨯-=-．②同理，5,4x y =⎧⎨=⎩应满足正确的方程①，即 55413a ⨯+⨯=．④解由③、④联立的方程组得所以原方程组应为解之得20,8.2.x y =⎧⎨=⎩4．1．11★★已知方程组35,4x my x ny +=⎧⎨+=⎩无解，m 、n 是绝对值小于10的整数，求m 、n 的值． 解析因为方程组1112220,0a xb yc a x b y c ++=⎧⎨++=⎩无解的条件是111222a b c a b c =≠参照这个条件问题便可解决． 原方程组可化为350,40.x my x ny +-=⎧⎨+-=⎩因为方程组无解，所以有 3514m n =≠， 所以3m n =，且45m n ≠，因为310m n =<，所以，101033n -<<，又因为n 是整数，所以3n =-， 2-，1-，0，1，2，3，相应地9m =-，-6，-3，0，3，6，9．所以，当9,3,m n =-⎧⎨=-⎩6,2,m n =-⎧⎨=-⎩3,1,m n =-⎧⎨=-⎩0,0,m n =⎧⎨=⎩3,1,m n =⎧⎨=⎩6,2,m n =⎧⎨=⎩9,3m n =⎧⎨=⎩时，原方程组无解． 4．1．12★已知关于x 和y 的方程组有解，求22m n +的值．解析首先解方程组得到3x =-，1y =，代入原方程组中后两个方程，得到86,5 3.m n m n -=⎧⎨+=⎩① 再解上面关于m 和n 的方程组，得到913m =，613n =-，22117916913m n +==． 4．4．13★已知2ab a b =+，5ac a c =+，4bc b c=+，求a b c ++的值． 解析根据题意有（①+②+③）2÷，得1111940a b c ++=．④ ④-①得1140c =-，40c =-． ④-②得11140b = ，4011b =． ④-③得1940a =，409a =． 所以()404031604091199a b c ++=++-=-． 4．1．14★如果方程组,5311x y m x y +=⎧⎨+=⎩的解是正整数，求整数m 的值． 解析解方程组得因为x 、y 都是正整数，所以 解得1335m ≤≤． 因为m 是整数，所以3m =．将3m =代入①和②式，x 、y 的值均为正整数． 故3m =．4．1．15★★解方程组 解析因为423232x y y z -+==表示两个方程，即423x y -=和2322y z +=，或者42332x y y z -+=和423x y -=，或者42332x y y z -+=和2322y y +=，所以原方程组实际上是由三个方程组成的三元一次 方程组，将原方程组改写为由方程②得64x y =+，代入①化简得11419y z -=-．④由③得234y z +=．⑤④3⨯+⑤4⨯得3385716y y +=-+，所以，1y =-．将1y =-代入⑤，得2z =．将1y =-代入②，得2x =．所以为原方程组的解．评注本题解法中，由①、②消去x 时，采用了代入消元法；解④、⑤组成的方程组时，若用代入法消元，无论消去y 还是消去z ，都会出现分数系数，计算较繁，而利用两个方程中z 的系数是一正一负，且系数的绝对值较小这一特征，采用加减消元法较简单．4．1．16★已知 求x y z y x x++的值． 解析①-②消去x 得880y z +=，即1y z =-．①3⨯+②消去y 得440x z +=，即1z x =-．①5⨯+②3⨯消去z 得880x y -=，即1x y=．所以，1111x y z y z x ++=--=-即为所求．解析将①+②+③，得9x y z ++=．④由④+①得214x =，7x =．由④+②得210y =，5y =．由④+③得26z =-，3z =-．所以，原方程组的解为4．1．18★解方程组1,2,3,4,5.x y z y z u z u v u v x v x y ++=⎧⎪-+=⎪⎪-+=⎨⎪-+=⎪⎪-+=⎩①②③④⑤解析注意到各方程中同一未知数系数的关系，可以先得到下面四个二元方程：①+②得3x u +=，⑥②+③得5y v +=，⑦③+④得7z x +=，⑧④+⑤得9u y +=．⑨又①+②+③+④+⑤得15x y z u v ++++=．⑩⑩一⑥一⑦得7z =，把7z =代入⑧得0x =，把0x =代入⑥得3u =，把3u =代入⑨得6y =，把6y =代入⑦得1v =-．所以为原方程组的解．4．1．19★解方程组解析①2⨯+②得313x y+=，④ 由③得125x y=-，⑤ 代入④得1125y =， 代入⑤得115x =． 再把115x =，1125y =代入①得13310z =，所以 为原方程组的解．解析2令1A x =，1B y =，1C z=，则原方程化为 解得15A =，125B =，3310C =，即 为原方程组的解，评注解法1称为整体处理法，即从整体上进行加减消元或代人消元（此时的“元”是一个含有未知数的代数式，如1x 、1y 等）；解法2称为换元法，也就是干脆引入一个新的辅助元来代替原方程组中的“整 体元”，从而简化方程组的求解过程．解析原方程组可化为④+⑤+⑥得()2169x y z ++=，故13x y z ++=±．⑦将⑦分别代入④、⑤、⑥，得原方程组的解为4．1．21★★解方程组解析①2⨯+②-③消去y 、z ，得142x a b c =+-，所以214a b c x +-=． 由②2⨯+③-①，得 214b c a y +-=． 由③2⨯+①-②，得 214c a b z +-=． 所以，原方程组的解为4．1．22★★解方程组 解析有原方程得52,82,112,62.x y y z z u u x =-⎧⎪=-⎪⎨=-⎪⎪=-⎩①②③④所以()525282x x y z =--=--1516x =-+，即1516x x =-+，解之得1x =，将1x =代入④得4u =.将4u =代入③得3z =.将3z =代入②得2y =．所以原方程组解为4．1．23★★解方程组解析先把各方程左边通分，再对每个方程两边取倒数，并设x y z k ++=，则原方程可化为 ①+②+③，得92xy yz zx k ++=．④ 用④分别减去①、②、③，可得显然0x ≠，0y ≠，0z ≠，0k ≠.由上面三式易得3515x y z =∶∶∶∶，又x y z k ++=，所以323x k =，523y k =，1523z k =． 则有35123232k k k ⎛⎫⎛⎫⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以22330k =． 所以，原方程组的解为（经检验）4．1．24★★解方程组解析原方程可变形为解得1724x =，15124y =+，11224z =+． 所以，方程组的解为4．1．25★★解方程组解析①-③得0y zx z yz +--=， 则1y z y x=+-． 把式④代入①、②，整理分别得22232221y y x xy x y +++-=，⑤2223221y y x x xy ++-+=．⑥⑤-⑥得()()10y x xy x -+-=．若y x =，由式⑤得22410x x +-=，解得x =将x y ==代入式④，得z =． 若10xy x +-=，同理，10yz y +-=． 将11x y =-，1y z y-=代入式①得 3223320y y y --+=．分解因式得()()()21120y y y -+-=．故（x ，y ，z ）为（1-，2，12）、（2，12，1-）（12，1-，2） 综上，共有5组解⎝⎭，⎝⎭，（1-，2，12）（2，12，1-） （12，1-，2）． 4．1．26★解方程组解析②2⨯-①3⨯得4960x y +-=． 解方程组24960,3630x y x xy x y +-=⎧⎨+-+=⎩得 4．1．27★解方程组解析②()2⨯-+①得23360y y +-=，所以11y =，22y =-．解方程组与222,2240,y x xy y x y =-⎧⎨--+-+=⎩得原方程组的解4．1．28★解方程组解析由②得()()220x y x y +-=，所以20x y +=或20x y -=．因此，原方程组可化为两个方程组与225,20.x y x y ⎧+=⎨-=⎩解两个方程组得原方程组的解为评注方程组至少有一个方程可以分解为一次方程时，可用因式分解法解．4．1．29★解方程组解析由①-②2⨯得22230x xy y --=，即()()30x y x y +-=，所以0x y +=或30x y -=．所以0x y +=或30x y =-=．分别解下列两个方程组得原方程组的解为评注如果两个方程都没有一次项，可用加减消元法消去常数项，再用因式分解法求解．4．1．30★解方程组解析原方程组可变形为①2⨯+②得()()2210x y x y +++=+令u x y =+，则22100u u +--，所以12u =24u =-，即2x y +=+4x y +=-．当2x y +=+xy =可得12x=，1y=2x=22y=．当4 x y+=-6xy=+．而方程组无实数解．综上所述，方程组的解为评注由于一般的二元对称式总可以用基本对称式x y+和xy表示，因此在解二元对称方程组时，一定可以用x y+和xy作为新的未知数，通过换元转化为基本对称方程组．4．1．31★★解方程组解析本题是一个对称方程组的形式，观察知它可转化为基本对称方程组的形式．由①得52=．③4=，所以16xy=．④由②、④可得基本对称方程组于是可得方程组的解为4．1．32★解方程组解析本题属于二元轮换对称方程组类型，通常可以把两个方程相减，因为这样总能得到一个方程0x y-=，从而使方程降次化简．①-②，再因式分解得()()100x y x y-+-=，所以0x y-=或100x y+-=．解下列两个方程组得原方程组的四组解为4．1．33★★★解方程组解析1 用换元法．设45x A+=，45y B+=，则有54Ax-=，54By-=，4A Bx y--=．即12,12.⎪⎩③④③-④并平方得459A B=+-+，整理得4A B-=，所以A B -=化得())360A B -=，360>， 因此0A B -=． 解方程组 得9,9.A B =⎧⎨=⎩经检验，9A B ==适合方程③、④，由此得原方程的解是1,1.x y =⎧⎨=⎩解析2①-②得=即=．所以1x -与1y -同号或同为零．由方程①得))330+=， 0+=，所以1x -与1y -不能同正，也不能同负．从而10x -=，10y -=． 由此解得1,1.x y =⎧⎨=⎩经检验，1x =，1y =是方程组的解．4．1．34★★★解方程组：解析 本例各方程中，未知数的出现是循环对称的．若用消元法求解将十分困难．故而采用不等式求解．显然方程组的解1x ，2x ，⋯，n x 都同号，且若1x ，2x ，⋯，n x 是方程组的解，则1x -，2x -，⋯，n x -也是方程组的解．故不妨先设()01i x i n >≤≤．因为122n x x x =+=≥1x 2x ，⋯，n x ．把方程组的所有方程相加，整理，得1212222n n x x x x x x ⋯⋯+++=+++．① 但12n x x x ⋯+++≥12222n n x x x ⋯+++=≤ 因此要等式①成立，只能12n x x x ⋯====容易检验，12n x x x ⋯====确实原方程组的解． 因此，原方程组有两组解，它们是12n x x x ⋯====4．1．35★★★解方程组：解析1首先有()01i x i n ≥≤≤．再由2211x x+≤（x 为实数）得21212121x x x x =+≤，32x x ≤，⋯，1n n x x -≤， 1n x x ≤；所以11321n n x x x x x x -⋯≤≤≤≤≤≤．只能12n x x x ⋯===．进而求得本题的两组解1270n x x x ⋯===或121n x x x ⋯====．解析2若1x ，2x ，⋯，n x 中有一个为零，则由方程组可推出其余1n -个未知数都是零，则 120n x x x ⋯====是原方程组的解．下设()1i x i n ≤≤都不是零，则将所有方程相加，并整理、配方，得222121111110n x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋯-+-++-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 因为2110i x ⎛⎫- ⎪⎝⎭≥，所以只能121111110n x x x ⋯-=-==-=， 121n x x x ⋯====．易知它确实原方程组的解．因此，原方程组的解由两组：120n x x x ⋯====，或121n x x x ⋯====． 4．1．36★★★★已知原方程组： 它的系数满足下列条件： （1）11a 、22a 、33a 都是正数；（2）所有其他系数都是负数； （3）每一方程中系数之和是正数．求证：1230x x x ===是已知方程组的唯一解．解析 本例是一个三元线性齐次方程组，1230x x x ===，显然是它的解，因而只要证明已知方程组不存在不全为零的解集即可．用反证法．若方程组有不全为零的解11x k =，22x k =，33x k =，由对称性不设防1k 、2k 、3k 中以1k 为最大，则10k >．于是由110a >，120a <，130a <，1112130a a a ++>，得 ()11121310a a a k =++>．上面的不等式显然是矛盾的．故已知方程组只有唯一解： 1230x x x ===．4．1．37★★解方程组解析将这个5个方程相加，得 2108550d e e -+-+=，所以()()()()()22222321540a b c d e -+-+-+-+-=，故（a ，b ，c ，d ，e ）=（3，2，1，5，4）． 经检验知，（a ，b ，c ，d ，e ）=（3，2，1，5，4）是方程组的解．。