第一章 信号的分类与基本特性
一信号的定义及分类
第一章主要讲什么是信号，什么是系统。
首先来了解一下信号，我们平时见到的报道称为消息，消息中有意义的内容称为信息，信号是信息的载体，是信息的物理体现。
简而言之，就是通过信号传递信息。
我们平时见到的十字路口的红绿灯就是一种光信号，我们常见的广告牌也可以说成文字、图像信号，电视机接收的信号是一种电信号，而我们主要讨论的就是电信号，简称信号。
电信号的基本形式是随时间变化的电压或电流，通常我们用描述信号，也可以用波形来表示。
需要注意的是在这门课里，“信号”与“函数”两词常相互通用。
1、信号的分类方法很多，下面是从不同的角度对信号分类：2、按实际用途分类：电视信号，雷达信号，控制信号，通信信号，广播信号3、按所具有的时间特性划分：确定信号和随机信号；连续信号和离散信；周期信号和非周期信号；能量信号与功率信号；因果信号与反因果信号；实信号与复信号等等。
下面从时间角度看一下各种信号的含义：确定信号与随机信号：顾名思义，确定性信号就是信号可以用一个确定的时间函数表示。
有便可推知，而随机信号指信号不能用一个确定的时间函数加以确定，它只能用统计方法进行描述,就像在相同条件下，随机信号不能准确的重现某一数值，只能得到某值得概率。
连续信号和离散信号：连续信号就是在连续时间都有定义的信号，至于值域可连续也可不连续，幅值连续为模拟信号（如图一中），否则为量化信号（如图一中）。
离散时间信号是仅在一些离散的时间才有定义的信号，需要注意的是其余时间无定义（不是0）。
幅值连续是取样信号（如图二），离散是数字信号（如图三）。
图一图二图三如图三的仅在一些离散时刻才有定义，间隔，取等间隔，离散信号：，简写为称为序列，k为序号。
用表达式可表示为：，其他或写为：此处必须标明模拟信号通过抽样可化为抽样信号，抽样信号经过量化可化为数字信号，以后会详细讲述变换过程。
周期信号和非周期信号：可以从字面含义理解。
连续周期信号满足：，离散周期信号满足：，满足上述关系的最小（或整数）称为该信号的周期。
信号的分类与基本特性讲课文档
通常把消息中有意义的内容称为信息。
信息量=[收到消息前对某事件的无知程度]－[收到消息后对某事件的无知程度]
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一、信号的概念
3.信号(signal):
信号是消息的载体。通过信号传递信息。
信号是随时间和空间变化的物理量，是携带信息的载体和 工具。
f1 (t ) 1
0
1
f2 (t)
1
0
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t
t
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f(t)
2
0
1
t
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5. 信号的相乘
f (t) = f1(t) ·f2(t)
0
0
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f (t) 1
0
t
1
1
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6. 信号的微分
f (t) 1
y(t) = df(t)/dt = f '(t)
f (t) 2
连续信号
E
lim2
2
f(t)dt
P lim1
2
2
f(t)dt
2
2
➢ 能量信号： 0 < E < ，P = 0。
➢ 功率信号： E ，0 < P < 。
➢非功非能信号： E ， P
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二、信号的分类
5. 一维信号 与 多维信号
一、典型普通信号
1. 直流信号
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信号与系统的基本概念-1
例: 求下列积分
(2)
(1)
t
(3t 2 2t 1) (1 t )dt e ( )d
(3) (t 2 3) (t 2)dt
1
1
解:
(1) 原式 (3t 2 2t 1) (t 1)dt
(3t 2 2t 1)
例: 画出 f (t)=(t-1)U(1-t2)的波形。
10
2、单位门信号
1 G (t ) 0
2 2 其余
t
性质：截取性
G (t ) U (t ) U (t ) 2 2
单位门信号G(t)具有使任意无时限信号f (t)变为时限信 号的功能，即将f (t)乘以G(t) ，所得f (t)G(t)即为时限信号。 3、单位冲激信号 (1)定义
6
m=0, ±1, ±2, …
例: 试判断下列信号是否为周期信号。若是，确定其周期。
(1) f1 (t ) sin 3t cost 3 16 1 (2) f 2 (t ) A sin( t ) B cos( t ) C sin( t ) 2 15 29
解： f1(t)中两个子信号sin3t和cos t 的周期分别为 (1)
Sa (t )
特点： ① ② ③ ④ ⑤
Sa(t ) Sa(t )
偶函数
t 0
t 0, Sa (t ) 1, 即 lim Sa (t ) 1
Sa(t ) 0,
t n , n 1,2,3,
sint t dt
0
sint dt , t 2
《信号与系统》第一章知识要点+典型例题
y() 表示系统的输出。
1、线性系统与非线性系统 若系统满足下列线性性质： （1）可分解性 全响应 y () 可分解为零输入响应 y zi () 与零状态响应 y zs () 之和，即
y() y zi () y zs ()
（2）齐次性 零输入响应 y zi () 满足齐次性，零状态响应 y zs () 满足齐次性，即
( t ) 、 ( t ) 的重要性质
1
( t )dt 1 ，
t
( t )dt 0 ， ( t )dt ( t ) ( k ) (k )
f ( k ) ( k ) f (0) ( k ) f ( k ) ( k k 0 ) f ( k 0 ) ( k k 0 )
f ( t ) ( t a )dt f (a )
k
f ( k ) ( k ) f (0)
(at )
5
1 (t ) a
1 b (at b) ( t ) a a f ( t ) ( t ) f (0) ( t ) f (0) ( t ) f ( t ) ( t ) f (0) ( t ) f (0) ( t )
2
。
而对离散的正弦（或余弦）序列 sin( k ) [或 cos( k ) ]( 称为数字角频率，单位为 rad )， 只有当
2
为有理数时才是周期序列，其周期 N M
2
， M 取使 N 为整数的最小整数。
如对信号 cos(6 k ) ，由于
2
2 1 为有理数，因此它是周期序列，其周期 N 1 。 6 3
信号和系统
t
ht
H
二．阶跃响应 1．定义
系统在单位阶跃信号作用下的零状态响应，称为单位阶跃响 应，简称阶跃响应，一般用g(t)表示。
ut
gt
H
系统的输入 e(t)=u(t) ，其响应为 r(t)=g(t) 。系统方程 的右端将包含阶跃函数u(t) ，所以除了齐次解外，还有特解项。
我们也可以根据线性时不变系统特性，利用冲激响应与阶 跃响应关系求阶跃响应。
f (t) (t)dt f (0)
f (t) (t t0)dt f (t0)
2、δ(t) 的尺度变换
(at) 1 (t)
a
(at t0)
1 a
(t t0 )
a
f (t) (at)dt 1 f (0)
a
f (t) (at t0 )dt
Hale Waihona Puke 1 af (t0 ) a
这里 a 和 t0为常数，且a0。
y(t) e2t 3 yx (t) y f (t) (2e2t 4et ) (e2t 4et 3)，t 0
强迫响应
自由响应
零状态响应 零输入响应
2.2 冲激响应和阶跃响应
一．冲激响应 1．定义 系统在单位冲激信号δ(t) 作用下产生的零状态响
应，称为单位冲激响应，简称冲激响应，一般用h(t)表
2、冲激函数匹配法 目的： 用来求解初始值，求（0＋）和（0－）时刻值 的关系。 应用条件：如果微分方程右边包含δ（t）及其各阶导 数，那么（0＋）时刻的值不一定等于（0－） 时刻的值。 原理： 利用t＝0时刻方程两边的δ（t）及各阶导数 应该平衡的原理来求解（0＋）
三、零输入响应和零状态响应 1、定义： （1）零输入响应：没有外加激励信号的作用，只有起始状态所产生的响应。 （2）零状态响应：不考虑起始时刻系统储能的作用，由系统外加激励信号所
§1.2 信号分类及常见确定信号
▲ ■ 第 25 页
三、常见确定性信号
1.复指数信号
cos( ωt )
f (t ) Kest Ke( j )t
( t )
jt e cos(ωt ) j sin( ωt ) 欧拉公式:
f (t ) Ke t cos(t ) jKe t sin(t )
▲
■
第 23 页
9.信号的直流分量和交流分量：
任意信号可分解为直流分量与交流分量之和: f(t)=fD(t)+fA(t)
(1)直流分量：
(平均值）
1 f（ [ D t） T
T 2 T 2
f (t )dt ]
T
(2)交流分量：
f（ f (t ) f D (t ) A t）
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0, 0 增幅振荡 0, 0 等幅振荡 0, 0 衰减振荡
▲ ■ 第 26 页
2.抽样信号
sin t Sa( t ) t
(Sampling Signal)
性质 ① Sa(t ) Sa(t )，偶函数 ② t 0, Sa(t ) 1，即 lim Sa(t ) 1 ③ Sa(t ) 0, t nπ，n 1,2,3 sin t sin t π dt , dt π ④ 0 t t 2 ⑤ lim Sa(t ) 0
§1.2 信号基本特性
内容
信号的描述
信号的分类
几种典型确定性信号
■
第 1页
一、信号的描述
信号：带有信息的随时间变化物理量。 信号分电信号和非电信号，它们可相互转换。 电信号易产生、处理，便于控制。 本课程主要讨论电信号---简称“信号”。 描述信号常用方法 （1）时间的函数 （2）图形--波形 “信号”与“函数”两词常相互通用。
第一章 信号的分类与基本特性
第一章 信号的分类与基本特性【内容摘要】 本章主要介绍信号的基本概念、信号的分类、连续时间的基本信号、连续时间奇异信号、及特性、离散时间信号及特点和信号的基本运算。
1．1 信号的基本概念与分类1．1．1 信号的基本概念在日常生活和社会活动中，人们会经常谈到信号，比如，交通路口的红绿灯信号，唱歌和说话的声音信号，无线电发射台的电磁波信号等等。
因此，从物理概念上，信号是标志着某种随时间变化的信息。
从数学上，信号表示一个或多个自变量的函数。
在信号与系统中，我们尤其关心的是电信号。
1．1．2 信号的分类根据信号的性质可分为：确定信号与随机信号、连续时间信号与离散时间信号、周期信号和非周期信号、能量信号和功率信号。
一、确定信号与随机信号对应于某一确定时刻，就有某一确定数值与其对应的信号，称为确定信号。
如图1-1（a ）为一个线性斜波信号，在1t 时刻,对应的数值为1y ,在2t 时刻，对应的数值为2y 。
确定信号往往可以用函数解析式、图表和波形来表示。
如果一个信号事先无法预测它的变化趋势，也无法预先知道其变化规律，则该信号称为随机信号，如图1-1（b ）所示。
在实际工作中，系统总会受到各种干扰信号的影响，这些干扰信号不仅在不同时刻的信号值是互不相关的，而且在任一时刻信号的幅值和相位都是在不断变化的。
因此，从严格意义上讲，绝大多数信号都是随机信号。
只不过我们在研究信号与系统时，常常忽略一些次要的干扰信号，主要研究占统治地位的信号的性质和变化趋势。
本教材主要研究确定信号。
y )(a 12y)(b图 1-1二、连续时间信号与离散时间信号对任意一个信号，如果在定义域内，除有限个间断点外均有定义，则称此信号为连续时间信号。
连续时间信号的自变量是连续可变的，而函数值在值域内可以是连续的，也可以是跳变的。
如图1-1（a ）中所示的斜坡信号，即是一个连续时间信号。
对任意一个信号，如果自变量仅在离散时间点上有定义，称为离散时间信号。
信号与系统第二讲
若 H[C1 f1(t ) + C2 f2 (t )] = C1H[ f1(t )] + C2H[ f2 (t )] 是线性系统,否则是非线性系统 否则是非线性系统。 则系统 H[•]是线性系统 否则是非线性系统。 注意：外加激励与系统非零状态单独处理。 注意：外加激励与系统非零状态单独处理。
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二．时变系统与时不变系统
∫
r (t ) r (t ) r (t )
r(t ) = ∫ e(t )dt
−∞
t
τ
T
r ( t ) = e( t −τ ) r ( t ) = e( t −T )
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二．系统的定义和表示
系统：具有特定功能的总体， 系统：具有特定功能的总体，可以看作信号的变换 处理器。 器、处理器。 系统模型：系统物理特性的数学抽象。 系统模型：系统物理特性的数学抽象。 系统的表示： 系统的表示： 数学表达式：系统物理特性的数学抽象。 数学表达式：系统物理特性的数学抽象。 系统图：形象地表示其功能。 系统图：形象地表示其功能。
5
1.3 信号的运算与变换
信号的代数运算 信号的微分与积分 信号的反褶 信号的时移 信号的尺度变换 信号的分解
6
1.3.1 信号的代数运算
信号的加减运算： f ( t ) = f 1 ( t ) ± f 2 ( t ) 注意要在对应的时间上进行加减运算。
1 t1 1 0 -1
7
0
t2 相加
t1
2 1 0 -1 t2
绪论
第一章 信号与系统概论
1.1 信号的描述与分类 1.2 基本典型信号 1.3 信号的运算与变换 1.4 系统
1
冲激函数的性质
延迟的冲激函数
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第一章 信号的分类与基本特性【内容摘要】 本章主要介绍信号的基本概念、信号的分类、连续时间的基本信号、连续时间奇异信号、及特性、离散时间信号及特点和信号的基本运算。
1．1 信号的基本概念与分类1．1．1 信号的基本概念在日常生活和社会活动中，人们会经常谈到信号，比如，交通路口的红绿灯信号，唱歌和说话的声音信号，无线电发射台的电磁波信号等等。
因此，从物理概念上，信号是标志着某种随时间变化的信息。
从数学上，信号表示一个或多个自变量的函数。
在信号与系统中，我们尤其关心的是电信号。
1．1．2 信号的分类根据信号的性质可分为：确定信号与随机信号、连续时间信号与离散时间信号、周期信号和非周期信号、能量信号和功率信号。
一、确定信号与随机信号对应于某一确定时刻，就有某一确定数值与其对应的信号，称为确定信号。
如图1-1（a ）为一个线性斜波信号，在1t 时刻,对应的数值为1y ,在2t 时刻，对应的数值为2y 。
确定信号往往可以用函数解析式、图表和波形来表示。
如果一个信号事先无法预测它的变化趋势，也无法预先知道其变化规律，则该信号称为随机信号，如图1-1（b ）所示。
在实际工作中，系统总会受到各种干扰信号的影响，这些干扰信号不仅在不同时刻的信号值是互不相关的，而且在任一时刻信号的幅值和相位都是在不断变化的。
因此，从严格意义上讲，绝大多数信号都是随机信号。
只不过我们在研究信号与系统时，常常忽略一些次要的干扰信号，主要研究占统治地位的信号的性质和变化趋势。
本教材主要研究确定信号。
y )(a 12y)(b图 1-1二、连续时间信号与离散时间信号对任意一个信号，如果在定义域内，除有限个间断点外均有定义，则称此信号为连续时间信号。
连续时间信号的自变量是连续可变的，而函数值在值域内可以是连续的，也可以是跳变的。
如图1-1（a ）中所示的斜坡信号，即是一个连续时间信号。
对任意一个信号，如果自变量仅在离散时间点上有定义，称为离散时间信号。
离散时间信号相邻离散时间点的间隔可以是相等的，也可以是不相等的，在这些离散时间点之外，信号无定义。
如下例函数表示的信号为一个离散时间信号。
其波形图如图1-2所示⎩⎨⎧--===,2,113,2,1)(n n n n y定义在等间隔离散时间点上的离散时间信号，称为序列，序列可以表示成函数形式，也可以直接列出序列值或写成序列值的集合。
在工程应用中，常常将幅值连续可变的信号称为模拟信号，将幅值连续的信号，在固定时间点上取值得到的信号称为取样信号。
将幅值只能取某些固定的值，而在时间上等间隔的离散时间信号称为数字信号。
四、能量信号和功率信号 1、 能量信号将一个电压或电流信号()f t 加到单位电阻上，则在该电阻上产生的瞬时功率为2()f t ，在一段时间)2,2(ττ-内消耗一定的能量。
把该能量对时间区域取平均，即得信号在此区间内的平均功率。
定义：若将时间区域无限扩展，信号满足条件∞<=⎰-∞→dt t f E 222)(limτττ （1-1-1）称为能量信号。
即如果一个信号在无限大时间区域内信号的能量为有限值，则称该信号为能量有限信号或能量信号。
能量信号的平均功率为零。
图 1-22、功率信号 定义：将时间区域无限扩展，信号满足条件∞<==∞→-∞→⎰E dt t f P ττττττ1lim)(1lim222（1-1-2）称为功率信号。
即如果在无限大时间区域内信号的功率为有限值，则称为功率有限信号或功率信号。
功率信号的能量无穷大。
根据能量信号和功率信号的定义，显然可以得出：时限信号（在有限时间区域内存在非零值的信号）是能量信号，周期信号是功率信号，非周期信号可能是能量信号，也可能是功率信号。
1．2 常用连续时间基本信号及特点1.2.1 常用基本信号1、正弦信号正弦信号的表达式为)cos()(ϕω+=t A t f （1-2-1）式中：A 为振幅；ϕ为初相角；ω为角频率。
正弦信号为周期信号，其周期ωπ2=T 。
其波形图如图1-3所示2、指数信号连续时间指数信号的一般表达式stAe t f =)( （1-2-2） 根据A 和s 的不同取值，有三种情况；1） 当m A =和α=s 均为实数时，则)(t f 为实指数信号图 1-3图 1-4当0>α时，为指数递增信号； 当0<α时，为指数递减信号； 当0=α时，)(t f 等于常数。
波形如图1-4所示2）、当1=A 和ωj s =时， 则)(t f 为虚指数信号 t j ste Aet f ω==)(根据欧拉公式，虚指数可表示为 t j t et f tj ωωωsin cos )(+==显然是一个周期信号。
3）、当A 和s 均为复数时，则)(t f 为复指数信号 设ϕj e A A = ωσjs +=则)(t f 可表示为()()()[cos()sin()]st j j t t j t tf t Ae A e e A e e A e t j t ϕσωσωϕσωϕωϕ++==•=•=+++可见当0>σ时，)(t f 为幅度指数递增的正弦振荡信号； 当0<σ时，)(t f 为幅度指数递减的正弦振荡信号 当0=σ时，)(t f 为幅度等幅的正弦振荡信号)(t f 在0>σ，0<σ和0=σ不同情况下的波形如图1-5(a)(b)(c)所示图 1-51．2．2 连续时间周期信号对一个连续时间信号)(t f ，若对所有的t 值均满足条件•••±±=+=,2,1,0)()(m mT t f t f （1-2-3）则称为周期信号。
满足上式的最小T 值称为)(t f 的周期。
不满足周期信号条件的信号为非周期信号。
需要注意：两个周期的相加不一定为周期信号。
若这两个信号的周期分别为1T 和2T ，只有当N M T T =21，且M 和N 均为正整数时，或21T T 为有理数，信号才是周期的。
下面以正弦信号和复指数信号为例说明其周期性：1、连续时间正弦信号t A t f ωsin )(=()sin ()sin()sin(2)sin ()2,2f t T A t T A t T A t k A t f t T k T kωωωωπωπωπω+=+=+=+====由周期信号的定义可见 最小周期 取1k = 2T πω= （1-2-4）（2）、连续时间复指数信号 ()()()j tj t T j t j T f t Aef t T Ae Ae e ωωωω+==+==只有 ωππωω221kT k T eTj ===取 ωπ21==T k （1-2-5）此时 )()(T t f t f +=【例1-1】 判断下列信号是否为周期信号，若是，求出其周期1）、()2(3)4f t cos t π=+2）、2]6[sin()(π-=t t f3)、tj et f 6)(π=4）、t t t f πcos 43sin 2)(+=解： 1）、()2(3)4f t cos t π=+3223πωπω===T 是周期信号，周期为32π2）、)]32cos(1[21]6[sin()(2ππ--=-=t t t fππωπω====2222T 是周期信号，周期为π3）、t j e t f 6)(π=126226====ππωππωT 是周期信号，周期为124）、)()(cos 43sin 2)(21t f t f t t t f +=+=π222322322211=======ππωππωπωπωT T则321π=T T 为无理数，故该函数不是周期信号。
1．2．3 连续时间奇异信号1、连续时间阶跃信号连续时间阶跃信号的定义：（1-2-6）值得注意的是，单位阶跃信号在0t =这一点 是不连续的。
经时移后0001()0t t u t t t t ⎧>⎪-=⎨<⎪⎩ （1-2-7）其波形分别如图1-6和图1-7所示在实际应用中，阶跃信号是一个非常有用 的信号，下面举例说明：【例1-2】 阶跃信号可以确定信号的起点和区间。
画出下列信号的波形 1）、)()(1t tu t f =2）、)()(02t t tu t f -=10()0t u t t ⎧>=⎨<⎩图 1-7图 1-63）、)]2()1([)(3---=t u t u t t f 解：1）、确定信号的起点从0=t 开始波形图如图1-8(a) 2)、确定信号的起点从0t t =开始 波形图如图1-8(b)3)、确定信号的区间从1=t 到2=t波形图如图1-8(c)1()f t t()a t2()f t 0t ()b 03()f t t12()c阶跃信号可以将分段函数表达式写成封闭式函数表达式【例1-3】画出下列信号)(t f 的波形，并写出封闭式表达式⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤--≤≤-+=其它031)1(2112)2(31)(t t t t t f 信号的波形如图1-9所示其封闭表达式为：)]3()1()[1(21)]1()2()[2(31)(-------++=t u t u t t u t u t t f【例1-4】 写出图1-10的表达式解：其表达式为)3()1()1(2)]3()1([)]1()1([2)(----+=---+--+=t u t u t u t u t u t u t u t f图 1-8图 1-9图 1-102、连续时间单位冲激信号 1）连续时间冲激信号的定义：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⎩⎨⎧≠=∞=⎰∞+∞-1)(000)(dt t t t t δδ （1-2-8）单位冲激信号有两个方面的含义：一方面是在0=t 点有一个幅值为无穷大的信号， 另一方面冲激信号与时间轴覆盖的面积为1。
波形如图1-11所示2）连续时间阶跃信号与冲激信号之间的关系dtt du t )()(=δ （1-2-9） ττδd t u t)()(⎰∞-=（1-2-10）3）连续时间冲激信号的性质1） 相加性质)()()()(t b a t b t a δδδ+=+ （1-2-11）2）相乘性质)()0()()(t f t t f δδ= （1-2-12） )()()()(000t t t f t t t f -=-δδ （1-2-13）3）、取样性质⎰+∞∞-=)0()()(f dt t t f δ （1-2-14） ⎰+∞∞-=-)()()(00t f dt tt t f δ （1-2-15）4）、偶函数)()(t t -=δδ （1-2-16）5）、尺度变换性质)(1)(t aat δδ=（1-2-17） )(1)(00at t a t at -=-δδ （1-2-18）图 1-11⎰+∞∞-=)0(1)()(f adt at t f δ （1-2-19） 6、冲激偶 dtt d t )()()1(δδ=（1-2-20） 冲激偶的性质列于表1-1：表1-1 冲激偶的性质【例1-5】 计算下列各式的值 1） )2()42(23-++t t t δ 2） )22(4+-t et δ3）dt t t )4(sin πδ-⎰+∞∞-4）dt t e t )10(266+-+-⎰δ5） )1()(2+-t t u etδ解：1） )2(20)2()4222()2()42(2323-=-+⨯+=-++t t t t t δδδ 2） )1(21)1(21)22(444+=+=+--t e t e t et tδδδ3）22)4sin()4(sin ==-⎰+∞∞-ππδdt t t 4）0)10(266=+-+-⎰dt t e t δ5) 0)1()(2=+-t t u e tδ1．3 离散时间基本信号及特点1．3．1 正弦序列正弦序列的一般形式)cos()(ϕω+=n A n f （1-3-1）式中：A 为正弦序列的振幅；ω为正弦序列的数字频率；ϕ为正弦序列的初相角。