随机控制理论
随机过程与随机控制
随机过程与随机控制随机过程是一种描述时间演变中不确定性的数学模型。
它在现实世界中的应用广泛，特别是在控制系统中的随机控制方面。
本文将介绍随机过程的基本概念和性质，并探讨随机控制的重要性和实际应用。
一、随机过程的基本概念随机过程是指由一组随机变量组成的集合，这些随机变量描述了在不同时间点上系统的状态。
随机过程可以用数学形式表示为{X(t), t ≥ 0}，其中 X(t) 是在时间 t 上的随机变量。
随机过程的特点是它在任意时间点上的取值都是随机的，而且与其他时间点上的取值可能存在相关性。
常见的随机过程包括马尔可夫过程、布朗运动等。
二、随机过程的性质1. 状态空间：随机过程的状态空间是所有可能状态的集合。
例如，在一个控制系统中，状态空间可以是系统的位置、速度等。
2. 轨迹：随机过程的轨迹是在一段时间内随机变量的实现。
它描述了随机过程在特定时间内的变化情况。
轨迹可以通过对随机过程的多次观测来获取。
3. 平稳性：随机过程的平稳性是指它的统计性质在时间上是不变的。
具体而言，对于任意的t1 和t2，随机过程在不同时刻的分布函数相同。
4. 自相关函数：自相关函数是衡量随机过程自身内部相关性的函数。
它描述了随机过程在不同时刻之间的相关程度。
三、随机控制的重要性随机控制是利用随机过程的性质来设计和实现控制系统的一种方法。
它与确定性控制相比，能更好地应对现实世界中的不确定性和变化。
1. 鲁棒性：随机控制考虑了系统参数的变化和外部干扰的影响，能够更好地适应不确定性环境下的系统控制。
2. 优化性能：随机控制可以通过优化方法，如随机最优控制、最优估计等，来提高系统的性能。
3. 自适应性：随机控制可以根据系统的实时状态和环境的变化，自动调整控制策略，以实现更好的控制效果。
四、随机控制的实际应用随机控制在各个领域都有广泛的应用。
以下是几个典型的实际应用案例。
1. 金融市场：随机控制在金融市场中的应用较为常见。
通过建立适当的随机控制模型，可以有效管理风险、优化投资组合、实现收益最大化等目标。
数学中的随机分析与随机控制
数学中的随机分析与随机控制随机分析和随机控制是数学中重要的分支领域，它们在解决现实生活中的问题时发挥着重要的作用。
本文将为大家介绍数学中的随机分析和随机控制的概念、应用以及相关的数学方法。
一、随机分析随机分析是研究随机过程中的微积分问题的学科，它是对随机过程进行微积分和微分方程理论的推广。
随机过程是一组随机变量的集合，用来描述具有随机变化的现象。
随机分析通过引入随机积分和随机微分等工具，研究随机过程的性质和行为。
随机分析的应用非常广泛。
在金融工程中，随机分析被用于对金融市场中的随机波动进行建模和分析，以及对衍生金融产品价格和风险进行评估。
在物理学中，随机分析被应用于对分子运动、量子力学等随机性现象的建模和分析。
此外，随机分析还在信号处理、控制理论等领域有着重要的应用。
随机分析的数学方法主要包括随机微分方程、随机偏微分方程、随机积分等。
随机微分方程是关于随机过程的微分方程，描述了随机过程的演化规律。
随机偏微分方程则是描述随机过程中随机性的空间分布和时间演化的方程。
二、随机控制随机控制是研究如何通过控制器控制随机过程的学科，它将随机过程理论与控制理论相结合，研究如何通过适当的控制策略调节随机过程的行为，以实现特定的控制目标。
随机控制在工程和自然科学中都有广泛的应用。
在工程控制中，随机控制被用于对不确定性系统的稳定性、鲁棒性以及性能进行分析和设计。
例如，在自动驾驶车辆中，随机控制可以应用于实现车辆的路径规划和轨迹跟踪。
在生态学中，随机控制可以应用于对生态系统的稳定性和恢复性进行研究。
随机控制的数学方法主要包括最优随机控制、随机反馈控制等。
最优随机控制是研究如何选择最优的控制策略，使系统达到预期的性能指标。
随机反馈控制则是通过测量随机过程的状态并反馈到控制器中，实现对随机过程的控制。
三、随机分析与随机控制的关系随机分析和随机控制是紧密相关的学科，它们相互影响、相互促进。
随机分析提供了数学工具和理论基础，用于描述和分析随机过程的行为；而随机控制则将这些理论应用到实际问题中，通过设计和实现控制策略来调节随机过程的行为。
基于随机线性最优控制理论的车辆主动悬架控制器的设计研究
Ｄ ｓ ｎｒｓａ ｃ ｆ ｃ ｖ ｓ ｅ ｓ ｎ ｃｎｒ ｌ ｒｂ ｓｄｏ Ｑ ｏ ｔ ｌ ｏ ｔ ｌ ｈ ｏ ｙ ｅｉ ｅｅ ｒｈｏ ｔ ｅｓ ｐ ｎｉ ｏ ｔ ｌ ａｅ ｎＬ Ｇ ｐｉ ｎｒ ｅ ｒ ｇ ａ ｉ ｕ ｏ ｏｅ ｍａ ｃ ｏｔ
Ｙ ｉｎ— ｕ ， ｕ ｉｇ ｅ ， ｉ ａ — ａ ｇ ， ｕｎＹ — ｅ ｇ ，Ｄ ｎ ｉｇ ｉ ｇ ｉ ａ ｊｎ・ Ｓ ｎＹ ｎ —Ｃ ｊ Ｂ ｉ ｙ ｎ Ｇ ａ ｉ ｆｎ ｏ ｇＪ —ｘａ 。 Ｊ ｎ ｎ
（． ｃａ ｉ ｌ ｎ ｉ ｅｎ ｅａｔｅｔｆｅｓ Ｃ ｉ ｎ ｅ ｏ ｃ ｎｅ ｎ ｃｎｌ ｙＳ ｎｈ ｉ ２ ０３ ，ｈｎ ； １Ｍｅｈ ｎ ａ ｅｇｎ ｒ ｇｄｐ ｒ ｎ ａｔ ｈｎ ｕ ｉ ｒ ｆｓｉ ｃ ｄｔ ｈｏｏ ，ｈ ｇ ０ ２ ７ Ｃ ｉ ｃ ｅｉ ｍ ｏ ａ ｖｓ ｅ ａ ｅ ｇ ａ ａ ａ
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易建 军 ， 英策 季 白杨 关 懿峰 董金祥 。 孙 ， ， ，
随机系统最优控制
(7-4-10’) (7-4-11’)
(2) 系统状态的随机型性能指标
仍考虑系统 x(t) A(t)x(t) G(t)w(t)
及其初始状态
(7-4-13)
x(t0 ) x0
(7-4-14)
由于x(t)是在白噪声w(t)作用下动力学系统的响应，是一个随机过
程，如果采用与确定性二次型性能指标相同的表示方法，即
J s
1 2
xT(t f
)Pt f
x(t f
)
1 2
t f xT (t )Q(t )x(t )dt
t0
(7-4-15)
则Js就无法象确定性系统那样是一个确定数值，而是一个随机变量。
要求得确定性的性能指标数值，需要考虑用Js的数学期望
J
EJ s
E{1 2
xT(t f
)Pt f
x(t f
)
1 2
t f xT (t )Q(t )x(t )dt}
只在μ0=0时成立
n
再考虑 x0T x0 Tr[x0 x0T ]，其中，Tr[ A] ai 表示对n×n维方阵A的对
角线元素ai求和。则有
i 1
J
1 Tr { 2
Px (t f
)Pt f
1 2
tf t0
Px (t)Q(t)dt}
(7-4-17)
在上式右边加上一项
1{ 2
tf t0
d dt [Px (t )P(t )]dt
1 2
[ Px
(t
f
)Pt
f
Px (t0 )P(t0 )]}
1 2
Tr {Px (t0 )P(t0 )
tf t0
[ Px
(t
随机系统的稳定性分析与控制读书札记
《随机系统的稳定性分析与控制》读书札记1. 随机系统稳定性分析概述在《随机系统的稳定性分析与控制》作者首先为我们介绍了随机系统的定义、性质和分类。
随机系统是指其状态变量遵循随机过程的数学模型，这些过程通常具有一定的统计特性，如均值、方差等。
随机系统可以分为线性、非线性和时变三种类型，它们分别具有不同的稳定性特征。
线性随机系统是指其状态变量之间存在线性关系的系统，其稳定性分析主要集中在极点问题上。
非线性随机系统则需要考虑其解的奇偶性、连续性等因素，以确定系统的稳定性。
时变随机系统则需要考虑时间演化对系统稳定性的影响，这通常涉及到动态方程的稳定性分析。
为了研究随机系统的稳定性，我们需要先了解一些基本的概念和方法。
稳定性判据包括渐近稳定性、可控性、可观性等，它们可以用来判断系统是否稳定。
还有一些常用的数学工具，如微分方程、线性代数、概率论等，它们可以帮助我们分析系统的稳定性。
在实际应用中，随机系统的稳定性分析对于确保系统的安全运行至关重要。
在控制系统设计中，我们需要确保系统具有足够的稳定性以避免出现不可控的现象；在金融领域，稳定性分析可以帮助我们评估投资风险并制定相应的风险管理策略。
深入研究随机系统的稳定性分析具有重要的理论和实践意义。
1.1 随机过程的基本概念随机过程作为随机系统的基础组成部分，对于理解整个系统的动态行为和特性至关重要。
对于从事相关领域研究的人员来说，掌握随机过程的基本概念是进行稳定性分析与控制的前提。
本章节主要探讨了随机过程的基本概念、性质以及相关的数学工具，为后续研究打下坚实的基础。
随机过程是一系列随机事件的动态序列，其中每一事件都依赖于时间或其他参数的变化。
根据随机过程的特性，可以将其分为多种类型，如马尔科夫过程、泊松过程等。
理解这些不同类型的随机过程有助于我们更深入地研究其统计特性和概率分布。
本节详细阐述了随机变量、随机函数和随机过程之间的关系与差异。
随机变量描述的是单一事件的不确定性，而随机过程则描述了一系列随时间或其他参数变化的随机事件。
系统科学中的老三论 新三论
系统科学领域“老三论”、“新三论”一、引言老三论系统论、控制论和信息论是本世纪四十年代先后创立并获得迅猛发展的三门系统理论的分支学科。
虽然它们仅有半个世纪，但在系统科学领域中已是资深望重的元老，合称“老三论”。
人们摘取了这三论的英文名字的第一个字母，把它们称之为SCI论。
耗散结构论、协同论、突变论是本世纪七十年代以来陆续确立并获得极快进展的三门系统理论的分支学科。
它们虽然时间不长，却已是系统科学领域中年少有为的成员，故合称“新三论”，也称为DSC论。
二、“老三论”、“新三论”理论概述1、系统论、控制论和信息论系统论的创始人是美籍奥地利生物学家贝塔朗菲。
系统论要求把事物当作一个整体或系统来研究，并用数学模型去描述和确定系统的结构和行为。
所谓系统，即由相互作用和相互依赖的若干组成部分结合成的、具有特定功能的有机整体;而系统本身又是它所从属的一个更大系统的组成部分。
贝塔朗菲旗帜鲜明地提出了系统观点、动态观点和等级观点。
指出复杂事物功能远大于某组成因果链中各环节的简单总和，认为一切生命都处于积极运动状态，有机体作为一个系统能够保持动态稳定是系统向环境充分开放，获得物质、信息、能量交换的结果。
系统论强调整体与局部、局部与局部、系统本身与外部环境之间互为依存、相互影响和制约的关系，具有目的性、动态性、有序性三大基本特征。
控制论是著名美国数学家维纳（Wiener N）同他的合作者自觉地适应近代科学技术中不同门类相互渗透与相互融合的发展趋势而创始的。
它摆脱了牛顿经典力学和拉普拉斯机械决定论的束缚，使用新的统计理论研究系统运动状态、行为方式和变化趋势的各种可能性。
控制论是研究系统的状态、功能、行为方式及变动趋势，控制系统的稳定，揭示不同系统的共同的控制规律，使系统按预定目标运行的技术科学。
信息论是由美国数学家香农创立的，它是用概率论和数理统计方法，从量的方面来研究系统的信息如何获取、加工、处理、传输和控制的一门科学。
现代控制理论
现代控制理论是在20世纪50年代中期迅速兴起的空间技术的推动下发展起来的。
空间技术的发展迫切要求建立新的控制原理，以解决诸如把宇宙火箭和人造卫星用最少燃料或最短时间准确地发射到预定轨道一类的控制问题。
这类控制问题十分复杂，采用经典控制理论难以解决。
1958年，苏联科学家Л.С.庞特里亚金提出了名为极大值原理的综合控制系统的新方法。
在这之前，美国学者R.贝尔曼于1954年创立了动态规划，并在1956年应用于控制过程。
他们的研究成果解决了空间技术中出现的复杂控制问题，并开拓了控制理论中最优控制理论这一新的领域。
1960～1961年，美国学者R.E.卡尔曼和R.S.布什建立了卡尔曼-布什滤波理论，因而有可能有效地考虑控制问题中所存在的随机噪声的影响，把控制理论的研究范围扩大，包括了更为复杂的控制问题。
几乎在同一时期内，贝尔曼、卡尔曼等人把状态空间法系统地引入控制理论中。
状态空间法对揭示和认识控制系统的许多重要特性具有关键的作用。
其中能控性和能观测性尤为重要，成为控制理论两个最基本的概念。
到60年代初，一套以状态空间法、极大值原理、动态规划、卡尔曼-布什滤波为基础的分析和设计控制系统的新的原理和方法已经确立，这标志着现代控制理论的形成。
学科内容现代控制理论所包含的学科内容十分广泛，主要的方面有：线性系统理论、非线性系统理论、最优控制理论、随机控制理论和适应控制理论。
线性系统理论它是现代控制理论中最为基本和比较成熟的一个分支，着重于研究线性系统中状态的控制和观测问题，其基本的分析和综合方法是状态空间法。
按所采用的数学工具，线性系统理论通常分成为三个学派：基于几何概念和方法的几何理论，代表人物是W.M.旺纳姆；基于抽象代数方法的代数理论，代表人物是R.E.卡尔曼；基于复变量方法的频域理论，代表人物是H.H.罗森布罗克。
非线性系统理论非线性系统的分析和综合理论尚不完善。
研究领域主要还限于系统的运动稳定性、双线性系统的控制和观测问题、非线性反馈问题等。
平均场随机控制与动态博弈相关问题
不完全信息动态博弈
至少有一个参与人在某个阶段不知道其他参与人的类型或 决策。
重复博弈
一系列具有相同结构、相同参与者和相同规则的多个博弈 的序列。
扩展型博弈
一种表达动态博弈的方式，其中每个参与者的决策依赖于 其之前的决策和观察到的其他参与者的决策。
动态博弈的解的概念与分类
感谢观看
与领域内其他研究方向的联系与区别
与机器学习的联系
平均场随机控制和动态博弈理论与机器学习有密切的联系，可以借鉴和使用机器学习的方法和工具。
与优化控制的区别
平均场随机控制可以看作是优化控制的一种特殊形式，但又有区别，平均场随机控制更加关注概率统 计性质，而优化控制更加关注确定性的最优解。
THANKS
平均场随机控制的发展历程与现状
平均场随机控制的思想起源于20世纪50年代，随着计算机科学和金融学的发展，该 领域逐渐受到广泛关注。
目前，平均场随机控制已经在金融、经济、生物、能源等领域取得了广泛应用，为 实际问题的解决提供了有效的方法和工具。
未来，随着大数据和人工智能技术的发展，平均场随机控制有望在更多领域发挥重 要作用，如预测金融市场走势、优化能源分配等。
平均场随机控制的稳定性分析
稳定性是评估控制系统性能的重要指标之一。在平均场随机控制中，稳定性分析有助于判断所设计的控制策略是否能够有效 地应对不确定性干扰，并保持系统的稳定运行。
常用的稳定性分析方法包括李雅普诺夫方法和均方根方法等。通过分析系统的稳定性，可以进一步优化控制策略，提高系统 的性能和鲁棒性。
01
模型复杂性
02
计算效率
现有的平均场随机控制和动态博弈模 型往往基于简单的假设和模型，不能 充分考虑现实世界中的复杂性和不确 定性，因此其预测能力和解释能力有 限。
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随机控制理论的一个主要组成部分是随机最优控制，这类随机控制问题的求解有赖于动态规划的概念和方法。
简介
随机控制理论
随机控制理论的目标是解决随机控制系统的分析和综合问题。
维纳滤波理论和卡尔曼-布什滤波理论是随机控制理论的基础之一。
内容
控制理论中把随机过程理论与最优控制理论结合起来研究随机系统的分支。
随机系统指含有内部随机参数、外部随机干扰和观测噪声等随机变量的系统。
随机变量不能用已知的时间函数描述，而只能了解它的某些统计特性。
自动控制系统分为确定性系统和不确定性系统两类，前者可以通过观测来确定系统的状态，后者则不能。
随机系统是不确定性系统的一种，其不确定性是由随机性引起的。
严格地说，任何实际的系统都含有随机因素，但在很多情况下可以忽略这些因素。
当这些因素不能忽略时，按确定性控制理论设计的控制系统的行为就会偏离预定的设计要求，而产生随机偏差量。
涉及领域
飞机或导弹在飞行中遇到的阵风，在空间环境中卫星姿态和轨道测量系统中的测量噪声，各种电子装置中的噪声，生产过程中的种种随机波动等，都是随机干扰和随机变量的典型例子。
随机控制系统的应用很广，涉及航天、航空、航海、军事上的火力控制系统，工业过程控制，经济模型的控制，乃至生物医学等。
研究课题
随机控制理论研究的课题包括随机系统的结构特性和运动特性(如动
态特性、能控性、能观测性、稳定性)的分析，随机系统状态的估计，以及随机控制系统的综合（即根据期望性能指标设计控制器）。
随机系统中含有随机变量，所以在研究中需要使用随机过程的基本概念和概率统计方法。
严格实现随机最优控制是很困难的。
对于线性二次型高斯(LQG)随机过程控制问题,包括它的特例最小方差控制问题，可以应用分离原理把随机最优控制问题分解成状态估计问题和确定性最优控制问题，最终能得到全局最优的结果。
但对于一般的随机控制问题应用分离原理只能得到次优的结果。
随机状态模型
随机系统在连续时间情形下的动态过程，常可用随机微分方程
随机微分方程
描述,式中x(t)为状态向量，d x(t)为由时刻t至t+d t状态的增量,u(t)为控制输入，θ为随机参数，w(t)为独立增量随机过程,其微分d w(t)可理解为白噪声。
在离散时间情形下的动态过程则可采用随机差分方程
随机差分方程
描述。
式中t＝0,1,2,…为离散时间变量,w(t)为独立白色噪声序列。
两种情况下系统的输出方程都为：
y(t)＝h【x(t),θ，t】＋v(t)
随机最优控制
分析
使随机控制系统的某个性能指标泛函取极小值的控制称为随机最优控制。
由于存在随机因素，这种性能指标泛函需要表示为统计平均（求数学期望）的形式：
统计平均
式中E{·}表示{·}的均值即数学期望。
使性能指标J为极小的最优控制常可取为开环和反馈控制两种形式。
如果控制过程中决定u(t)所依据的只是设计时过程特性和随机变量的信息，没有进一步的测量和更新，这种控制策略就称为是开环的。
若在决定t时刻的控制作用u(t)时可以直接利用τ时刻的实时测量值y(τ),则称控制u(t)具有反馈形式，其中要求τ≤t，这是因果性或物理可实现性所要求的。
按照利用实时信息的充分程度，又可把反馈形式的控制策略分为两种情形。
当只利用这些信息来控制状态变量，而没有通过实时观测来估计和改进各随机变量的统计特性并修改控制策略时，这种策略称为是被动反馈式（简称反馈式）的。
若控制策略兼有上述“控制”和“估计”两种功能并具有自行修正的能力，则称为闭环策略（或主动反馈策略）。
这种“反馈”和“闭环”的差别是不确定性控制问题所特有的。
A.A.费尔德包姆最先指出闭环随机最优控制策略的这种双重功能，并称之为二重最优控制。
闭环(或二重)最优策略可达到在已有信息条件下的最好品质或全局最优解。
同时它还具有不断按照实时测量改进
对不确定性的认识并修正策略的功能，也称为随机自适应最优控制。
闭环最优控制的求解很困难，通常只能根据最优解的定性性质来构造次优解。
只对某些特殊问题才可能给出定量解法。
重要性质
随机最优控制有两个重要的性质。
由于存在不确定性，控制作用常宁可取得弱一些，保守一些。
这称为谨慎控制。
另一方面为更好和更快地进行估计，必须不断激发系统中各种运动模式，为此需要加入一些试探作用。
试探作用的大小，则根据增加的误差、直接费用和所带来的好处等因素加以折衷权衡进行选择。
谨慎和试探已成为设计随机控制策略的两个重要原则。
问题举例
线性 (Linear)二次型 (quadratic)高斯(Gaussian)随机过程控制
线性差分方程
线性差分方程
问题是用途最广的且可以用分离原理设计全局最优控制系统的一类问题。
对于离散时间的情况，受控对象用如下线性差分方程来描述：性能指标取为二次型的形式：
方程
式中上标T表示向量的转置，装置噪声w(t)和量测噪声v(t)为高斯随机过程。
并且假定控制u(t)可依据t时刻及以前的观测数据y(t)，y(t-1)，…来确定。
按照分离原理,随机最优控制的结构具有图中的形式。
它由状态估值器给出状态x的估计值悯，再由悯
随机控制理论
随机控制理论
按线性状态反馈律u＝-L悯确定控制量u。
这里状态反馈矩阵L是在不考虑随机干扰w(t)和v(t)时的确定性最优控制问题的解：
而P(t)满足黎卡提方程
方程
和边界条件P(N)=s。
状态估计一般用卡尔曼滤波器来实现。
整个控制结构可用微型或小型计算机来实现。