球面距离

上海与台北在同一经线上，
他们在同一个大圆上
A AOB 31 25 6
O
B r 6371
AB的弧长 2 6371 6
360
2.位于同一纬线上两点的球面距离
例2.已知地球半径为R,A、B两点均位于北纬45度
线上，点A在东经30度，点B在东经120度。
求(1)在北纬45度圈上劣弧 AB 的长度;
OC2 OD2 CD2
cos COD
0
2OC OD
COD 90
B的位置可能是：东经110 ,西经 70
三、小结
1.两种形式的球面距离的求解
(1).位于同一经线上两点的球面距离 方法：直接代公式
(2).位于同一纬线上两点的球面距离 方法：先求弦长，再由余弦定理求球心角，化 为弧度，最后代公式。
(2) 求经过A、B两地的球面距离？
(1)解：在BOO1中，
m
OO1B 90,OB R,
2 OBO1 45 , BO1 2 R.
∴纬线圈中 AB的长度为
O1
A
B
O
. 2 R 2 R
22
4
(2) 求经过A、B两地球面距离？
(2)在ABO1中， AO1B 90,
A
O1
B
O
巩固及时练、 已知地球的半径为 6371km,北京的位置
约为东经1160,北纬400，纽约的位置约为西经740,北
纬400,
求两个城市间的距离。
AOC

BOD
Hale Waihona Puke 40,COD 360 (116 74 ) 170
由余弦定理，得：
AB2 CD2 OC 2 OD2
3. 北京的位置为东经116°，北纬40° 纽约的位置为西经74°，北纬40° 求两个城市间的距离。
（地球的半径约为6371Km,精确到1Km）
预备练习1、已知A，B是半径为
3的球面上两点，且AB= 3 3 ，
求A，B两点的球面距离.
解：
在ABO中， OA OB 3， AB 3 3
A
cosAOB OA 2 OB 2 AB 2 2OA OB
cosAOB - 1 2
AOB 2
3
B O
A， B的球面距离为2 R
球面上两点之间的最短连线的长度，就是经 过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长
度.我们把这个弧长叫做两点的球面距离
球面距离
求A、B两点的球面距离：
1.过A、B两点的大圆 2.在A、B间的劣弧长 度。
A OB
注意：球面距离是球面上 两点间的最短距离
3.若设球心角AOB a(弧度制)
一般地：球面距离就是AB的弧长L=αR （α称为球心角）
2.球面距离公式 l R
思考：把地球当作半径为 R 的球，地球上两地A
B均在北纬 45 的纬线上， A、 B两地的球面距
离为 R
3
,且A在西经 20
N
处，求点B的位置。
O1
B
B
A
O
S
N
O1
B
B
A
O
解：假设 AOB
AB的弧长为 R

R



R
3
,

3
3
又 OA OB R
北极
P
本
初
地
子 轴
午
O
线
A
道
赤
B
纬度：
地球仪中的经纬度
P的纬度是指球半径OP和赤道平面所成的角度．
P
A
纬度是线面角
地球仪中的经纬度
纬度——B点的纬度，即经过这点的球半径和赤 道平面所成的角度．
O1
αB
Oα
A
如图，∠AOB的大小即为B点所在的纬度。
二.应用举例
1.位于同一经线上两点的球面距离
例1. 求东经57 线上，纬度分别为北纬 38 和 68
思考题、把地球当作半径为R的球，地球上
A,B两点都在北纬450的纬线上,A,B两点的球
面距离是 R ，A在东经200，求B点的位置
3
AB的弧长 R AOB 60
3
C
B
O
AOB为正三角形 AB R
A
在COD中，CD AB R， OC OD Rcos45
AB R, 在AOB中， m
AO OB AB R
O1
A
B
AOB

60l

R
3
O
∴ A、B两地的球面距离为 R .
3
巩固及时练、 已知地球的半径为 6371km,北京的位置 约为东经1160,北纬400，纽约的位置约为西经740,北 纬400, 求两个城市间的距离。
球面上两点间的距离
平面上两点间的最短距离是连结这两点 的线段的长度，
而球的表面是曲面，球面上A 、B 两点间的最短 距离显然不是线段AB的长度，那是什么呢？
B 问题1: 直观的观察, 发现：
A
过A,B的圆中，半径越大， 在A,B之间的劣弧的长越小！
在过A,B点的球的截面中半径最大的是 过球心的大圆
的两地A ，B的球面距离．(设地球半径为R).
N 解： EOB EOA
B
AOB, 又 EOB 68
A
EOA 38 , AOB
E
O 赤道
30 ，根据 l R
l R R
S

6
6
A ，B的球面距离为
R
6
巩固及时练： 已知地球的半径为 6371km,上海的位置 约为东经1210,北纬310，台北的位置约为东经1210, 北纬250, 求两个城市间的距离。
3
地球仪中的经纬度
经度：
经过P点的经线与地轴确 Q 定的半平面和本初子午 线与地轴确定的半平面 所成的二面角的度数 A （即∠AOB的度数）
M
P
O
B
经度是二面角
地球仪中的经纬度 经度——P点的经度，也是 或AOB 的
度数，即：某地点的经度就是经过这点的经 线和地轴确定的半平面与本初子午线与地轴 确定的半平面所成二面角的平面角的度数．
A
O1
B
CO D
2OC OD cos COD,
cos AOB OA2 OB2 AB2 , 2 OA OB
其中OA OB 6371,
OC OD 6371cos 40
cos AOB 0.1647 AOB 99.48 AB的弧长 2 6371 99.48 360
在东经90 20 70，北纬45处。
四、作业
1.设地球的半径为R， 若甲地位于北纬60O，东经120O； 乙地位于南纬15O度，东经120O， 求甲、乙两地的球面距离。
甲
O
乙
2.地球是一个半径为R的球， A在北纬45°，东经70°， B在北纬45°，东经160° 求A、B两地的球面距离。
S ABO 为正三角形， AB R
又 OAO1 45 在直角三角形 AOO1中
O1A COS 45 OA
2 R 2
N
O1
B
B
A
同理得： O1B
2 R 2
O1A2 O1B2 AB2
O
AO1B 90 因为A在西经 20 处, 所以 B在西经
S 20 90 110，北纬45处 或者