14.2 通路、回路(simple)
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14.2让电灯发光++第2课时课件-2024-2025学年沪科版物理九年级全一册
15．(信阳期中)如图所示是一种定时课间音乐播放装置的原理图。“播放器”是有 电流通过时会播放音乐的装置；“定时开关”是到达设定时间，自动断开的开关。闭 合开关S，当“定时开关”处于闭合状态时，指示灯会 ____ (填“会”或“不会”)亮， 播不放会器______ (填“会”或“不会”)播放音乐；到达设定时间，“定时断开开关”处于 ______ (填“闭合”或“断开”)状态，播放器播放音乐。
如图乙所示的“测量仪”把它们区分开。小华将A、B连在一起时，小明将“测量仪”
连接在X、Z两端，灯泡发光；小华将B、C连在一起时，小明将“测量仪”连在X、
Y两端，灯泡发光。则 (
)B
A.A和Y是同一根电线，B和Z是同一根电线 B.B和X是同一根电线，C和Y是同一根电线 C.A和Y是同一根电线，B和X是同一根电线 D.B和Z是同一根电线，C和Y是同一根电线
通路、开路(断路)和短路 5．(2分)下列对如图所示的三个电路的状态判断正确的是 ( A )
A.甲断路、乙短路、丙通路 B.甲通路、乙短路、丙断路 C.甲断路、乙通路、丙短路 D.甲短路、乙断路、丙通路
6．(2分)如图甲、乙中，闭合开关，各有一根导线接触而使电源短路，请把这根导 线找出来，并在上面打一个“×”。
不能正确识别短路
7．(4分)如图所示，电路元件及导线连接均完好，闭பைடு நூலகம்开关S，则灯泡L1 _不__能___ (填“能”或“不能”)发光，灯泡能L2 ____ (填“能”或“不能”)发光。此时，短灯路泡 L1 _____ (填“断路”或“短不路会”)，电源 ______ (填“会”或“不会”)被烧毁。
10．如图所示电路，闭合开关S，灯泡L1、L2都发光。现将一根导线接在该电路中 的某两个接线柱上，会导致两灯同时熄灭的是 ( D )
简单通路与回路
(3) 初级通路(路径)与初级回路(圈)： 中所有顶点各异，则 称 为初级通路(路径)，又若除v0=vl，所有的顶点各不相 同且所有的边各异，则称 为初级回路(圈)
(4) 复杂通路与回路：有边重复出现
1
ห้องสมุดไป่ตู้
几点说明
表示法 ① 定义表示法 ② 只用边表示法 ③ 只用顶点表示法（在简单图中） ④ 混合表示法
14.2 通路与回路
定义14.11 给定图G=<V,E>（无向或有向的），G中顶点与
边的交替序列 = v0e1v1e2…elvl，vi1, vi 是 ei 的端点. (1) 通路与回路： 为通路；若 v0=vl， 为回路，l 为回路长
度.
(2) 简单通路与回路：所有边各异， 为简单通路，又若v0=vl， 为简单回路
2
通路与回路的长度
定理14.5 在n 阶图G中，若从顶点vi 到vj（vivj）存在通路， 则从vi 到 vj 存在长度小于或等于n1 的通路. 推论 在 n 阶图G中，若从顶点vi 到 vj（vivj）存在通路，则 从vi 到vj 存在长度小于或等于n1的初级通路（路径）. 定理14.6 在一个n 阶图G中，若存在 vi 到自身的回路，则一 定存在vi 到自身长度小于或等于 n 的回路. 推论 在一个n 阶图G中，若存在 vi 到自身的简单回路，则一 定存在长度小于或等于n 的初级回路.
3
环（长为1的圈）的长度为1，两条平行边构成的圈长度为 2，无向简单图中，圈长3，有向简单图中圈的长度2.
不同的圈（以长度3的为例） ① 定义意义下 无向图：图中长度为l（l3）的圈，定义意义下为2l个 有向图：图中长度为l（l3）的圈，定义意义下为l个 ② 同构意义下：长度相同的圈均为1个
试讨论l=3和l=4的情况
(4) 复杂通路与回路：有边重复出现
1
ห้องสมุดไป่ตู้
几点说明
表示法 ① 定义表示法 ② 只用边表示法 ③ 只用顶点表示法（在简单图中） ④ 混合表示法
14.2 通路与回路
定义14.11 给定图G=<V,E>（无向或有向的），G中顶点与
边的交替序列 = v0e1v1e2…elvl，vi1, vi 是 ei 的端点. (1) 通路与回路： 为通路；若 v0=vl， 为回路，l 为回路长
度.
(2) 简单通路与回路：所有边各异， 为简单通路，又若v0=vl， 为简单回路
2
通路与回路的长度
定理14.5 在n 阶图G中，若从顶点vi 到vj（vivj）存在通路， 则从vi 到 vj 存在长度小于或等于n1 的通路. 推论 在 n 阶图G中，若从顶点vi 到 vj（vivj）存在通路，则 从vi 到vj 存在长度小于或等于n1的初级通路（路径）. 定理14.6 在一个n 阶图G中，若存在 vi 到自身的回路，则一 定存在vi 到自身长度小于或等于 n 的回路. 推论 在一个n 阶图G中，若存在 vi 到自身的简单回路，则一 定存在长度小于或等于n 的初级回路.
3
环（长为1的圈）的长度为1，两条平行边构成的圈长度为 2，无向简单图中，圈长3，有向简单图中圈的长度2.
不同的圈（以长度3的为例） ① 定义意义下 无向图：图中长度为l（l3）的圈，定义意义下为2l个 有向图：图中长度为l（l3）的圈，定义意义下为l个 ② 同构意义下：长度相同的圈均为1个
试讨论l=3和l=4的情况
通路与回路的定义
通路与回路的定义第十一章图的连通性本章各节间的关系概图11.1 通路与回路11.2 无向图的连通性11.3 有向图的连通性无向图连通连通有向图图的连通性在计算机科学技术相关领域的应用回路通路回路图的连通性操作系统判断并发进程是否存在递归和死锁计算机网络表示网络优化最短路径定义11.111.1通路与回路基本回路：一条回路，除始点与终点相同外其余结点均不相同，则称该路径为基本回路或者圈。
简单回路：一条回路经过的所有边均不相同，则称该回路为简单回路或闭迹。
长度：路径P中所含的边数称为路径P的长度。
长度为奇数的圈称为奇圈，长度为偶数的圈称为偶圈。
注意：基本路径必定是简单路径，基本回路必定是简单回路，反之不一定成立。
11.1通路与回路表示法①定义表示法②只用边表示法③只用顶点表示法（在简单图中）④混合表示法（顶点表示法基础上标示平行边）环（长为1的圈）的长度为1，两条平行边构成的圈长度为2，无向简单图中，圈长≥3，有向简单图中圈的长度≥2.例11.1：在下图中分别找出一条基本路径、简单路径、基本回路和简单回路。
v 1e 2e 1e 3e 4e 6e 8e 5e 7v 3v 5v 4v 2解：路径：基本路径：简单路径：基本回路：简单回路：定理11.1在一个具有n个结点的图中，如果从结点v j到结点v k存在一条路径，则从结点v j到结点v k存在一条不多于n?1条边的路径。
证：如果从结点v j到结点v k存在一条路径，则该路径上的结点序列是[ ]。
如果在这路径上有m条边，则序列中必有m+1个结点。
若m n?1，则必有结点，它在序列中不止一次出现，即必有序列[ ]，在路径中去掉从v到v s的这些边，仍然得到一条从s结点v j到结点v k的路径，但此路径比原来的路径的边数要少。
如此重复进行下去，必得到一条从结点v j到结点v k不多于n?1条边的路径。
证毕。
例11.2：无向完全图K3的顶点依次标定为a，b，c。
14.2通路与回路
推论
定理14.4 在一个n阶图中,如果存在 vi到自身的
回路,则从 vi到自身存在长度小于等于n的回路.
推论
在一个n阶图中,如果 vi到自身存在一条 简单回路,则从 vi到自身存在是简单通路(回路), 但反之不真 .
3
0
1
l
在一个n 阶图中,若从顶点vi到vj (vi vj )存在通路,则从 vi到vj存在长度小于等于n 1的初 级通路.
定理14.3
在一个n阶图中,若从顶点 vi到 vj (vi vj ) 存在通路,则从 vi到vj存在长度小于等于 n 1的初级 通路.
2
有边重复出现的通路称为复杂通路,有边重复出现 的回路称为复杂回路. 若Γ中的所有边 e , e , , e 互不相同,则称此回 路为简单通路或一条闭迹. 若通路的所有顶点v , v , , v 互不相同(从而所有
1 2 l
边互不相同),则称此通路为初级通路 或一条路径. 若回路中,除 v0 = vl外,其余顶点各不相同,所有边也 各不相同,则称此回路为初级回路 或圈.
14.2 通路、回路、图的连通性
本课基本要求： ✤要弄清楚图中通路与回路的概念 及其分类以及它们的关系。
✤理解有向连通图的分类及它们之 间的关系。
1
定义14.11
给定图G=<V,E>.设G中顶点和边的交替序列为 Γ=v0e1 v1e2 elvl ,Γ满足如下条件: vi 1和vi 是ei的端 点(在G是有向图时,要求vi 1是ei的始点,vi是ei的终 点),i=1,2, ,l, 则称Γ为顶点 v0到vl的通路.v0和vl 分别称为此通路的起点和终点,Γ中边的数目l 称为 Γ的长度.当 v0 = vl 时,此通路称为回路. 若Γ中的所有边 e1 , e2 , , el互不相同,则称此回 路为简单通路或一条闭迹.
14.2让电灯发光(教案)2023-2024学年学年沪科版物理九年级全一册
教案：14.2 让电灯发光一、教学内容1. 电路的基本概念：电源、用电器、开关、导线等。
2. 电路的两种状态：通路和断路。
3. 电路图的绘制方法。
4. 电灯发光的原理。
二、教学目标1. 让学生掌握电路的基本概念和电路的两种状态。
2. 培养学生绘制电路图的能力。
3. 让学生了解电灯发光的原理，提高学生的物理素养。
三、教学难点与重点1. 教学难点：电路图的绘制方法，电灯发光的原理。
2. 教学重点：电路的基本概念，电路的两种状态。
四、教具与学具准备1. 教具：电源、电灯、导线、开关等。
2. 学具：笔记本、笔。
五、教学过程1. 实践情景引入：展示一个简单的电路，让学生观察并描述电路的组成。
2. 知识讲解：(1) 讲解电路的基本概念，引导学生理解电源、用电器、开关、导线等电路元件的作用。
(2) 讲解电路的两种状态：通路和断路，并通过实际操作演示。
(3) 讲解电路图的绘制方法，引导学生学会绘制简单的电路图。
3. 例题讲解：以电灯发光为例，讲解电灯发光的原理。
4. 随堂练习：让学生绘制一个电灯发光的电路图，并解释电路图中的各个元件的作用。
5. 课堂小结：回顾本节课所学内容，强调电路的基本概念和电路的两种状态。
六、板书设计板书设计如下：电源——用电器——开关——导线通路：电流畅通的状态断路：电流被切断的状态电灯发光的原理七、作业设计1. 作业题目：绘制一个电灯发光的电路图，并解释电路图中的各个元件的作用。
答案：略2. 作业题目：用自己的语言描述电路的两种状态。
答案：电路的两种状态分别是通路和断路。
通路指的是电流畅通的状态，断路指的是电流被切断的状态。
八、课后反思及拓展延伸1. 课后反思：本节课通过实际操作和讲解，使学生掌握了电路的基本概念和电路的两种状态，大部分学生能够绘制简单的电路图。
但在教学过程中，对于电路图的绘制方法，部分学生仍存在一定的困难，需要在今后的教学中加强指导。
2. 拓展延伸：引导学生探索更多电路元件的作用和电路的复杂状态，提高学生的物理素养。
14.2 通路、回路(simple)
14.2 通路、回路
通路与回路是图论中两个重要而又基本的概念 本节所述定义一般说来既适合无向图，也适合有 向图，否则将加以说明或分开定义。
定义14.11（通路、回路） 给定图G，设G中 顶点和边的交替序列 Г=v0e1v1e2…vi-1eivi…envn 若Г满足：对于i=1,2,…n，vi-1 和vi 是ei 的 端点（在G是有向图时，要求vi-1 是ei 的始点，vi 是ei的终点），则称Г为从v0到vn的一条通路或链 （chain）。 v0和vn分别称为此通路的起点和终点。 Г中边的数目n称为通路的长度(length) 当v0=vn时，此通路称为回路（circuit） 说明 （1）可以用边的序列Г=e1e2…en表示通路或回路 （2）在简单图中，可以只用顶点Г=v0v1…vn表示 通路或回路
有边重复出现的通路称为复杂通路；有边重复出 现的回路称为复杂回路。 若通路中无边重复，则称该通路为简单通路；无 边重复的回路称为简单回路。 若通路中无边重复且无顶点重复，则称该通路为 初级通路或路径（path）；无边重复且无顶点重复的回 路称为初级回路或圈（cycle）。 将长度为奇数的圈称为奇圈，长度为偶数的圈称 为偶圈。 易见 （1）初级通路(回路)是简单通路(回路)，但反之 不真。 （2）通路、回路是图的子图。
例 无向完全图Kn（n3）中有几种非同构的圈？ 解： 长度相同的圈都是同构的， 因而只有长度不同的圈才是非同构的。 易知Kn（n3）中含长度为3，4，…，n的圈， 所以Kn（n3）中有n-2种非同构的圈。
例 无向完全图K3 的顶点依次标定为a，b，c。在同构意 义下和定义意义下K3中各有多少个不同的圈。 解：在同构意义下，K3只有一个长度为3的圈。 在定义意义下，不同起点的圈是不同的，顶点间排 列顺序不同的圈也是不同的，因此K3中共有６个不同的 长为３的圈：abca，acba，bacb，bcab，cabc，cbac。
通路与回路是图论中两个重要而又基本的概念 本节所述定义一般说来既适合无向图，也适合有 向图，否则将加以说明或分开定义。
定义14.11（通路、回路） 给定图G，设G中 顶点和边的交替序列 Г=v0e1v1e2…vi-1eivi…envn 若Г满足：对于i=1,2,…n，vi-1 和vi 是ei 的 端点（在G是有向图时，要求vi-1 是ei 的始点，vi 是ei的终点），则称Г为从v0到vn的一条通路或链 （chain）。 v0和vn分别称为此通路的起点和终点。 Г中边的数目n称为通路的长度(length) 当v0=vn时，此通路称为回路（circuit） 说明 （1）可以用边的序列Г=e1e2…en表示通路或回路 （2）在简单图中，可以只用顶点Г=v0v1…vn表示 通路或回路
有边重复出现的通路称为复杂通路；有边重复出 现的回路称为复杂回路。 若通路中无边重复，则称该通路为简单通路；无 边重复的回路称为简单回路。 若通路中无边重复且无顶点重复，则称该通路为 初级通路或路径（path）；无边重复且无顶点重复的回 路称为初级回路或圈（cycle）。 将长度为奇数的圈称为奇圈，长度为偶数的圈称 为偶圈。 易见 （1）初级通路(回路)是简单通路(回路)，但反之 不真。 （2）通路、回路是图的子图。
例 无向完全图Kn（n3）中有几种非同构的圈？ 解： 长度相同的圈都是同构的， 因而只有长度不同的圈才是非同构的。 易知Kn（n3）中含长度为3，4，…，n的圈， 所以Kn（n3）中有n-2种非同构的圈。
例 无向完全图K3 的顶点依次标定为a，b，c。在同构意 义下和定义意义下K3中各有多少个不同的圈。 解：在同构意义下，K3只有一个长度为3的圈。 在定义意义下，不同起点的圈是不同的，顶点间排 列顺序不同的圈也是不同的，因此K3中共有６个不同的 长为３的圈：abca，acba，bacb，bcab，cabc，cbac。
离散数学第十四章图论基本概念
8
握手定理
定理14.1 设G=<V,E>为任意无向图，V={v1,v2,…,vn}, |E|=m, 则
n
d(vi ) 2m
i 1
证 G中每条边 (包括环) 均有两个端点，所以在计算G中各顶点 度数之和时，每条边均提供2度，m 条边共提供 2m 度.
定理14.2 设D=<V,E>为任意有向图，V={v1,v2,…,vn}, |E|=m, 则
(3) 初级通路(路径)与初级回路(圈)： 中所有顶点各异，则 称 为初级通路(路径)，又若除v0=vl，所有的顶点各不相 同且所有的边各异，则称 为初级回路(圈)
(4) 复杂通路与回路：有边重复出现
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几点说明
表示法 ① 定义表示法 ② 只用边表示法 ③ 只用顶点表示法（在简单图中） ④ 混合表示法
3
有向图
定义14.2 有向图D=<V,E>, 只需注意E是VV 的多重子集 图2表示的是一个有向图，试写出它的V 和 E
注意：图的数学定义与图形表示，在同构（待叙）的意义下 是一一对应的
4
相关概念
1. 图 ① 可用G泛指图（无向的或有向的） ② V(G), E(G), V(D), E(D) ③ n阶图
定义14.17 G=<V,E>, EE E是边割集——p(GE)>p(G)且有极小性 e是割边（桥）——{e}为边割集
25
点割集与割点
例3 {v1,v4}，{v6}是点 割集，v6是割点. {v2,v5} 是点割集吗？ {e1,e2}，{e1,e3,e5,e6}， {e8}等是边割集，e8是 桥，{e7,e9,e5,e6} 是边割 集吗？
3. 非负整数列d=(d1, d2, …, dn)是可图化的，是可简单图化的.
握手定理
定理14.1 设G=<V,E>为任意无向图，V={v1,v2,…,vn}, |E|=m, 则
n
d(vi ) 2m
i 1
证 G中每条边 (包括环) 均有两个端点，所以在计算G中各顶点 度数之和时，每条边均提供2度，m 条边共提供 2m 度.
定理14.2 设D=<V,E>为任意有向图，V={v1,v2,…,vn}, |E|=m, 则
(3) 初级通路(路径)与初级回路(圈)： 中所有顶点各异，则 称 为初级通路(路径)，又若除v0=vl，所有的顶点各不相 同且所有的边各异，则称 为初级回路(圈)
(4) 复杂通路与回路：有边重复出现
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几点说明
表示法 ① 定义表示法 ② 只用边表示法 ③ 只用顶点表示法（在简单图中） ④ 混合表示法
3
有向图
定义14.2 有向图D=<V,E>, 只需注意E是VV 的多重子集 图2表示的是一个有向图，试写出它的V 和 E
注意：图的数学定义与图形表示，在同构（待叙）的意义下 是一一对应的
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相关概念
1. 图 ① 可用G泛指图（无向的或有向的） ② V(G), E(G), V(D), E(D) ③ n阶图
定义14.17 G=<V,E>, EE E是边割集——p(GE)>p(G)且有极小性 e是割边（桥）——{e}为边割集
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点割集与割点
例3 {v1,v4}，{v6}是点 割集，v6是割点. {v2,v5} 是点割集吗？ {e1,e2}，{e1,e3,e5,e6}， {e8}等是边割集，e8是 桥，{e7,e9,e5,e6} 是边割 集吗？
3. 非负整数列d=(d1, d2, …, dn)是可图化的，是可简单图化的.
离散数学 图论-通路与回路
2、简单通路和初级通路的关系
有向图中的每一条初级通路，也都必定是简单通路。 反之不成立 回路也可分为简单回路和初级回路。
3、通路的表示：
可仅用通路中的边序列表示：e1e2…ek 也可仅用通路中所经过的结点的序列表示：v1v2v3…vk
4、性质： 1）定理 在n阶图D中，若从顶点vi到vj(vi≠vj)存在通路，则从vi到vj存在长度 小于或等于(n—1)的通路 若大于n-1，则存在相同节点（有回路），将回路删去可得 2）在n阶图D中，若从顶点vi到vj存在通路，则vi到vj一定存在长度小于或等于 n—1的初级通路(路径) 3）定理 在一个n阶图D中，若存在vi到自身的回路，则一定存在vi到自身长度 小于或等于n的回路． 4）在一个n阶图D中，若存在vi到自身的简单回路，则一定存在长度小于或等 于n的初级回路．
（3）A(D)中所有元素之和为D中长度为1的（边）通路总条数。 主对角线的元素值为图中结点vi长度为1 的环的条数
利用A(D)确定出D中长度为L的通路数和回路数,就需要用到邻接矩阵的幂次运算 （4）A2中的元素值bij是结点vi到vj长度为2 的通路条数：
说明：由矩阵的乘积定义 bij = ∑k aik * akj 由此可推断，A3矩阵中的Cij元素值，表示了从到长度恰为3的通路条数目 （5）定理14．11 设A为有向图D的邻接矩阵，V＝{v1，v2，…，vn} 为D的
注：三种图的关系：强连通图一定是单向连通图，反之不成立
单向连通图一定是弱连通图．反之不成立
6、有关强连通图与单向连通图的判定 （1）定理： 设有向图D＝<V，E>，V＝{v1，v2，…，vn}．
D是强连通图当且仅当D中存在经过每个顶点至少一次的回路． (2) 定理 设D是n阶有向图
有向图中的每一条初级通路，也都必定是简单通路。 反之不成立 回路也可分为简单回路和初级回路。
3、通路的表示：
可仅用通路中的边序列表示：e1e2…ek 也可仅用通路中所经过的结点的序列表示：v1v2v3…vk
4、性质： 1）定理 在n阶图D中，若从顶点vi到vj(vi≠vj)存在通路，则从vi到vj存在长度 小于或等于(n—1)的通路 若大于n-1，则存在相同节点（有回路），将回路删去可得 2）在n阶图D中，若从顶点vi到vj存在通路，则vi到vj一定存在长度小于或等于 n—1的初级通路(路径) 3）定理 在一个n阶图D中，若存在vi到自身的回路，则一定存在vi到自身长度 小于或等于n的回路． 4）在一个n阶图D中，若存在vi到自身的简单回路，则一定存在长度小于或等 于n的初级回路．
（3）A(D)中所有元素之和为D中长度为1的（边）通路总条数。 主对角线的元素值为图中结点vi长度为1 的环的条数
利用A(D)确定出D中长度为L的通路数和回路数,就需要用到邻接矩阵的幂次运算 （4）A2中的元素值bij是结点vi到vj长度为2 的通路条数：
说明：由矩阵的乘积定义 bij = ∑k aik * akj 由此可推断，A3矩阵中的Cij元素值，表示了从到长度恰为3的通路条数目 （5）定理14．11 设A为有向图D的邻接矩阵，V＝{v1，v2，…，vn} 为D的
注：三种图的关系：强连通图一定是单向连通图，反之不成立
单向连通图一定是弱连通图．反之不成立
6、有关强连通图与单向连通图的判定 （1）定理： 设有向图D＝<V，E>，V＝{v1，v2，…，vn}．
D是强连通图当且仅当D中存在经过每个顶点至少一次的回路． (2) 定理 设D是n阶有向图
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有边重复出现的通路称为复杂通路；有边重复出 现的回路称为复杂回路。 若通路中无边重复，则称该通路为简单通路；无 边重复的回路称为简单回路。 若通路中无边重复且无顶点重复，则称该通路为 初级通路或路径（path）；无边重复且无顶点重复的回 路称为初级回路或圈（cycle）。 将长度为奇数的圈称为奇圈，长度为偶数的圈称 为偶圈。 易见 （1）初级通路(回路)是简单通路(回路)，但反之 不真。 （2）通路、回路是图的子图。
定义14.13（无向连通图） 若无向图G是平凡图或G中的任何两个顶点都 是连通的，则称G是连通图（connected graph）， 否 则 称 G 为 非 连 通 图 或 分 离 图 （ disconnected graph）。 例：完全图Kn（n1）为连通图， 零图Nn（n2）都是分离图。
14.2 通路、回路
通路与回路是图论中两个重要而又基本的概念 本节所述定义一般说来既适合无向图，也适合有 向图，否则将加以说明或分开定义。
定义14.11（通路、回路） 给定图G，设G中 顶点和边的交替序列 Г=v0e1v1e2…vi-1eivi…envn 若Г满足：对于i=1,2,…n，vi-1 和vi 是ei 的 端点（在G是有向图时，要求vi-1 是ei 的始点，vi 是ei的终点），则称Г为从v0到vn的一条通路或链 （chain）。 v0和vn分别称为此通路的起点和终点。 Г中边的数目n称为通路的长度(length) 当v0=vn时，此通路称为回路（circuit） 说明 （1）可以用边的序列Г=e1e2…en表示通路或回路 （2）在简单图中，可以只用顶点Г=v0v1…vn表示 通路或回路
例 无向完全图Kn（n3）中有几种非同构的圈？ 解： 长度相同的圈都是同构的， 因而只有长度不同的圈才是非同构的。 易知Kn（n3）中含长度为3，4，…，n的圈， 所以Kn（n3）中有n-2种非同构的圈。
ห้องสมุดไป่ตู้
例 无向完全图K3 的顶点依次标定为a，b，c。在同构意 义下和定义意义下K3中各有多少个不同的圈。 解：在同构意义下，K3只有一个长度为3的圈。 在定义意义下，不同起点的圈是不同的，顶点间排 列顺序不同的圈也是不同的，因此K3中共有６个不同的 长为３的圈：abca，acba，bacb，bcab，cabc，cbac。
二部图
K3,3
K2,3
定理14.10（二部图的判别定理） 一个无向 图G是二部图当且仅当G中无奇数长度的回路。
例
（1）
（2）
（3）
（1）是强连通图 （2）是单向连通图 （3）是弱连通图
强连通图和单向连通图的判别定理 定理14.8 有向图D是强连通图当且仅当D中 存在经过每个顶点至少一次的回路。 定理14.9 有向图D是单向连通图当且仅当D 中存在经过每个顶点至少一次的通路。
（1） （2） 图（1）存在经过每个顶点的回路，所以是强连通图 图（2）存在经过每个顶点的通路，所以是单向连通图
定理14.5 在一个n阶图中，若从顶点vi到vj（vivj）存 在通路，则从vi到vj存在长度小于等于n-1的通路。 推论 在一个n阶图中，若从顶点vi到vj（vivj）存在通 路，则从vi到vj存在长度小于等于n-1的初级通路。 定理14.6在一个n阶图中，若存在vi到自身的回路，则从 vi到自身存在长度小于等于n的回路。 推论 在一个n阶图中，若存在vi到自身的简单回路，则 从vi到自身存在长度小于等于n的初级回路。
14.3 图的连通性
首先讨论无向图的连通性。 定义14.12（连通） 在一个无向图G=<V，E> 中，如果顶点u，v之间存在通路，则称u，v是连通 的（connected），记作uv。vV，规定vv。 由连通的定义可以定义如下的无向图中顶点之 间的连通关系: ={<u,v>|u,vV∧u与v之间有通路} 显然是自反的、对称的、传递的，所以是V 上的等价关系。
思考题 （1）n阶非连通的简单图的边数最多有多少
条？最少呢？P289/P292-6(2)
（2）证明：若无向图G中恰有两个奇度顶点，
这两个奇度顶点必然连通。P291/P293-39
下面讨论有向图的连通性 定义14.20在一个有向图D=<V，E>中，如 果顶点u，v之间存在通路，则称u可达v，记作 u→v。 规定任意的顶点总是可达自身的，即uV， u→u。 若u→v且v→u，则称u与v是相互可达的， 记作uv，规定uu。
有向图有三种不同类型的连通图 定义14.22（弱、单向、强连通图） 在一个有向图D中， 如果D的基图是连通图，则称D是弱连通图 (weakly connected graph )。 如果对于任意的两个顶点u，v，u→v与v→u 至少成立其一 ，则称D是单向连通图 （unilateral connected graph ）。 如果对于任意的两个顶点u，v，均有uv， 则称D是强连通图（strongly connected graph ）。 说明：强连通图一定是单向连通图，单向连 通图一定是弱连通图。
定义14.14（连通分支） 设无向图G=<V，E>，V关于顶点之间的连 通关系的商集V/={V1,V2,…,Vk}，Vi 为等价类， 称Vi的导出子图G[Vi]（i=1,2,…,k）为G的连通分 支（connected component），连通分支数k常记 为p(G)。 或 若无向图G由若干彼此不连通的子图组成， 而每个子图是连通的，称这些子图为G的连通分 支。 显然若G为连通图，则p(G)=1； 若G为非连通图，则p(G)2； Nn（n2）的连通分支为p(G)=n
注意 （1）在无向图中，环和平行边构成的回路分别是长 度为1和2的初级回路（圈）。 （2）在有向图中，环和两条方向相反边（对称边） 构成的回路分别是长度为1和2的初级回路（圈）。
思考：在简单无(有)向图中，圈的长度至少为多长？ 在简单无向图中，圈的长度至少为3 在简单有向图中，圈的长度至少为2
通路、回路的性质