考点11 因式分解-完全平方公式法(原卷版)
难点解析冀教版七年级数学下册第十一章 因式分解综合训练试题(含答案解析)
冀教版七年级数学下册第十一章 因式分解综合训练考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、把多项式2354x x +-分解因式，其结果是（ ）A ．69x x +-（）（）B ．69x x -+（）（）C ．69x x ++（）（）D ．69x x --（）（）2、下列各式中从左到右的变形，是因式分解的是（ ）A ．2(2)(2)4x x x +-=-B ．()2231535a b ab ab a b -=-C ．322()x x x x x x ++=+D ．()()2523a a a a +-=-+3、下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）A ．（x +1）（x ﹣1）=x 2﹣1B ．x 2﹣8x +16=（x ﹣4）2C ．x 2﹣2x +1=x （x ﹣1）+1D ．x 2﹣4y 2=（x +4y ）（x ﹣4y ）4、若a 2＝b +2，b 2＝a +2，（a ≠b ）则a 2﹣b 2﹣2b +2的值为（ ）A ．﹣1B ．0C ．1D ．35、已知c ＜a ＜b ＜0，若M ＝|a （a ﹣c ）|，N ＝|b （a ﹣c ）|，则M 与N 的大小关系是（ ）A ．M ＜NB ．M ＝NC ．M ＞ND ．不能确定6、当n 为自然数时，（n +1）2﹣（n ﹣3）2一定能（ ）A ．被5整除B ．被6整除C ．被7整除D ．被8整除7、把多项式x 3﹣2x 2+x 分解因式结果正确的是（ ）A ．x （x 2﹣2x ）B ．x 2（x ﹣2）C ．x （x +1）（x ﹣1）D ．x （x ﹣1）28、下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是（ ）A ．2161x +B ．221x x +-C ．2224a ab b ++D ．214x x -+ 9、下列各式从左到右的变形中，是因式分解且完全正确的是（ ）A ．（x +2）（x ﹣2）＝x 2﹣4B ．x 2﹣2x ﹣3＝x （x ﹣2）﹣3C ．x 2﹣4x +4＝（x ﹣2）2D ．x 3﹣x ＝x （x 2﹣1）10、下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）A ． 2x ﹣2x ﹣1＝2(1)x -B ．（a ＋b ）（a ﹣b ）＝22a b -C ．2x ﹣4x ＋4＝2(2)x -D ．2x ﹣1＝2(1)x -第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、若实数,,a b c 满足22212751241616a b c a b b c c ++≤---，则a b c ++=___________．2、分解因式：23-63x x +＝____________．3、已知x 2+mx +16能用完全平方公式因式分解，则m 的值为 ___．4、分解因式：()()23a y z b z y ---=________．5、多项式a 3﹣4a 可因式分解为_____．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、完成下列各题：（1）计算：①3432(2)4m n m n ⋅÷ ②432(68)(2)x x x -÷-（2）因式分解：①2()2()a b a b --- ②2249x y -2、阅读下列材料：根据多项式的乘法，我们知道，()()225710x x x x --=-+．反过来，就得到2710x x -+的因式分解形式，即2710(2)(5)x x x x ．把这个多项式的二次项系数1分解为11⨯，常数项10分解为(2)(5)-⨯-，先将分解的二次项系数1，1分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再把2-，5-分别写在十字交叉线的右上角和右下角，我们发现，把它们交叉相乘，再求代数和，此时正好等于一次项系数7-（如图1）．像上面这样，先分解二次项系数，把它们分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，把它们分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其正好等于一次项系数，我们把这种借助“十字”方式，将一个二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．例如，将二次三项式243x x +-分解因式，它的“十字”如图2：所以，()()243143x x x x +-=+-．请你用十字相乘法将下列多项式分解因式：(1)256x x ++= ；(2)2273x x -+= ；(3)()222x m x m +--= ．3、因式分解：3296x x x -+4、（1）计算：22a ·4a ＋326()3a a -；（2）因式分解：33x ＋122x ＋12x ．5、因式分解：（x 2+9）2﹣36x 2．-参考答案-一、单选题1、B【解析】【分析】因为−6×9＝−54，−6＋9＝3，所以利用十字相乘法分解因式即可．【详解】解：x 2+3x −54＝（x −6）（x ＋9）；故选：B ．【点睛】本题考查十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程．2、B【解析】【分析】因式分解的结果是几个整式的积的形式．【详解】解：A.从左到右的变形是整式乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意；B.从左到右的变形是因式分解，故本选项符合题意；C. 322(1)x x x x x x ++=++，故本选项不符合题意；D.()()2523a a a a +-≠-+，故本选项不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．3、B【解析】【分析】根据因式分解的定义“把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做因式分解”进行解答即可得．【详解】解：A 、2(1)(1)1x x x +-=-，不是因式分解，选项说法错误，不符合题意；B 、22816(4)x x x -+=-，是因式分解，选项说法正确，符合题意；C 、221(1)1x x x x -+=-+，不是因式分解，选项说法错误，不符合题意；D 、左、右不相等，选项说法错误，不符合题意；故选B ．【点睛】本题考查了因式分解，解题的关键是熟记因式分解的定义．4、D【解析】【分析】由a2=b+2，b2=a+2，且a≠b，可得a+b=−1，将a2-b2-2b+2变形为（a+b）（a-b）−2b+2，再代入计算即可求解．【详解】解：∵a2=b+2，b2=a+2，且a≠b，∴a2−b2=b−a，即（a+b）（a-b）=b-a，∴a+b=−1，∴a2-b2-2b+2=（a+b）（a-b）−2b+2=b−a-2b+2=-（a+b）+2=1+2=3．故选：D．【点睛】本题考查了代数式求值，解题的关键是求得a+b=−1，将a2-b2-2b+2变形为（a+b）（a-b）−2b+2是解题的关键．5、C【解析】【分析】方法一：根据整式的乘法与绝对值化简，得到M-N=（a﹣c）（b﹣a）＞0，故可求解；方法二：根据题意可设c=-3，a=-2，b=-1，再求出M，N，故可比较求解．【详解】方法一：∵c＜a＜b＜0，∴a-c＞0，∴M＝|a（a﹣c）|=- a（a﹣c）N＝|b（a﹣c）|=- b（a﹣c）∴M-N=- a（a﹣c）-[- b（a﹣c）]= - a（a﹣c）+ b（a﹣c）=（a﹣c）（b﹣a）∵b-a＞0，∴（a﹣c）（b﹣a）＞0∴M＞N方法二：∵c＜a＜b＜0，∴可设c=-3，a=-2，b=-1，∴M＝|-2×（-2+3）|=2，N＝|-1×（-2+3）|=1∴M＞N故选C．【点睛】此题主要考查有理数的大小比较与因式分解得应用，解题的关键求出M-N=（a﹣c）（b﹣a）＞0，再进行判断．6、D【解析】【分析】先把（n +1）2﹣（n ﹣3）2分解因式可得结果为：()81,n -从而可得答案.【详解】 解： （n +1）2﹣（n ﹣3）2()()1313n n n n =++-+--⎡⎤⎣⎦()=224n -⨯()=81n -n 为自然数所以（n +1）2﹣（n ﹣3）2一定能被8整除，故选D【点睛】本题考查的是利用平方差公式分解因式，掌握“()()22a b a b a b -=+-”是解题的关键.7、D【解析】【分析】先提取公因式，再按照完全平方公式分解即可得到答案.【详解】解：x 3﹣2x 2+x22211,x x x x x 故选D【点睛】本题考查的是综合利用提公因式与公式法分解因式，掌握“利用完全平方公式分解因式”是解本题的关键.8、D【解析】【分析】根据完全平方公式法分解因式，即可求解．【详解】解：A 、不能用完全平方公式因式分解，故本选项不符合题意；B 、不能用完全平方公式因式分解，故本选项不符合题意；C 、不能用完全平方公式因式分解，故本选项不符合题意；D 、221142x x x ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭能用完全平方公式因式分解，故本选项符合题意； 故选：D【点睛】本题主要考查了完全平方公式法分解因式，熟练掌握()2222a ab b a b ±+=± 是解题的关键．9、C【解析】【分析】根据因式分解的定义逐项分析即可．【详解】A.（x +2）（x ﹣2）＝x 2﹣4是乘法运算，故不符合题意；B.x 2﹣2x ﹣3＝x （x ﹣2）﹣3的右边不是积的形式，故不符合题意；C.x 2﹣4x +4＝（x ﹣2）2是因式分解，符合题意；D.x 3﹣x ＝x （x 2﹣1）=x (x +1)(x -1)，原式分解不彻底，故不符合题意；故选C ．【点睛】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法． 因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止．10、C【解析】【分析】根据因式分解的定义和方法逐一判断即可．【详解】∵2(1)x -＝2x ﹣2x ＋1≠2x ﹣2x ﹣1，∴A 不是因式分解，不符合题意；∵（a ＋b ）（a ﹣b ）＝22a b -不符合因式分解的定义，∴B 不是因式分解，不符合题意；∵2x ﹣4x ＋4＝2(2)x -,符合因式分解的定义，∴C 是因式分解，符合题意；∵2x ﹣1≠2(1)x -，不符合因式分解的定义，∴D 不是因式分解，不符合题意；故选C ．【点睛】本题考查了因式分解的定义即把一个多项式分成几个因式的积的形式，熟练掌握因式分解的实质是恒等变形是解题的关键．二、填空题1、122-【解析】【分析】 把原式化为222322420,a b b c c 可得22232242=0,a b b c c 再利用非负数的性质求解,,,a b c 从而可得答案.【详解】解： 22212751241616a b c a b b c c ++≤---，222221212344416160,a a b b b b c c c c 222322420,a b b c c 而222322420,a b b c c∴ 22232242=0,a b b c c 2020,20a b b c c解得：121,2a b c1112222a b c 故答案为：122-【点睛】本题考查的是非负数的性质，利用完全平方公式的变形求解代数式的值，因式分解的应用，熟练的运用完全平方公式是解本题的关键.2、3（x -1）2【解析】【分析】直接提取公因式3，再利用完全平方公式分解因式得出答案．【详解】解：3x 2-6x +3=3（x 2-2x +1）=3（x -1）2．故答案为：3（x -1）2．【点睛】本题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用公式法分解因式是解题关键． 3、8±【解析】【分析】利用完全平方公式的结构特征判断，确定出m 的值即可得到答案．【详解】解：∵要使得216x mx ++能用完全平方公式分解因式，∴应满足()22164x mx x ++=±， ∵()224816x x x ±=±+，∴8m =±，故答案为：8±．【点睛】此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握因式分解的方法、完全平方公式是解本题的关键．4、（2a ＋3b ）（y ﹣z ）【解析】【分析】先调整符号，然后提公因式即可．【详解】解：()()23a y z b z y ---，=()()23a y z b y z -+-，=()()23a b y z +-．故答案为()()23a b y z +-．【点睛】本题考查提公因式法因式分解，掌握因式分解的方法是解题关键．5、()()22a a a +-【解析】【分析】利用提公因式法、公式法进行因式分解即可．【详解】解：原式=()()()2422a a a a a -=+-，故答案为：()()22a a a +-．【点睛】本题考查提公因式法、公式法分解因式，掌握公式的结构特征是正确应用的前提．三、解答题1、（1）①22n ；②234x x -+；（2）①()(2)a b a b ---；②(23)(23)x y x y +-【解析】【分析】（1）先算乘方，再算乘除，即可求解；（2）直接个那句多项式除以单项式法则计算，即可求解；（3）利用提出公因式法因式分解，即可求解；（4）利用平方差公式，即可求解．【详解】解：①3432(2)4m n m n ⋅÷343284m n m n =÷22n = ；②432(68)(2)x x x -÷-42326(2)8(2)x x x x =÷--÷-234x x =-+；（2）①2()2()a b a b ---()(2)a b a b =---；②2249x y -(23)(23)x y x y =+-．【点睛】本题主要考查了多项式除以单项式，多项式的因式分解，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．2、 (1)（x +2）（x +3）(2)（2x -1）（x -3）(3)（x +2）（x -m ）【解析】【分析】根据阅读材料中的十字相乘法即可得出答案．(1)解：由上图可知：x 2+5x +6=（x +2）（x +3），故答案为：（x +2）（x +3）；(2)解：由上图可知：2x 2-7x +3=（2x -1）（x -3），故答案为：（2x -1）（x -3）；(3)解：由上图可知：x 2+（2-m ）x -2m =（x +2）（x -m ），故答案为：（x +2）（x -m ）．【点睛】本题考查了十字相乘法因式分解，关键是读懂材料掌握十字相乘的基本步骤．3、()231x x -【解析】【分析】根据题意先提取公因式x ，进而利用完全平方差公式即可进行因式分解.【详解】解：3296x x x -+()2961x x x =-+ ()231x x =- 【点睛】本题考查因式分解，注意掌握因式分解的常见方法有提取公因式法、公式法、十字交叉相乘法、分组分解法等.4、（1）0；（2）3x 2(2)x +【解析】【分析】（1）根据题意，得2a ·4a =6a ，326()a a =，合并同类项即可；（2）先提取公因式3x ，后套用完全平方公式即可．【详解】（1）22a ·4a ＋326()3a a -原式=26a +6a -36a＝0．（2）原式＝3x （2x ＋4x ＋4）＝3x 2(2)x +．【点睛】本题考查了幂的运算，整式的加减，因式分解，熟练掌握公式，灵活按照先提取公因式，后用公式的思路分解因式是解题的关键．5、()()2233+-x x【解析】【分析】利用平方差公式和完全平方公式分解因式即可．【详解】解：()222936x x +-()()229696x x x x =+++- ()()2233x x =+-． 【点睛】本题主要考查了分解因式，解题的关键在于能够熟练掌握完全平方公式和平方差公式．。
考点11 二次函数的图象性质及相关考点-备战2023届中考数学一轮复习考点梳理(原卷版)
考点11 二次函数的图象性质及其相关考点二次函数作为初中三大函数中考点最多，出题最多，难度最大的函数，一直都是各地中考数学中最重要的考点。
而对于二次函数图象和性质的考察，也主要集中在二次函数的图象、图象与系数的关系、与方程及不等式的关系、图象上点的坐标特征等几大方面。
出题形式虽然多是选择、填空题，但解答题中也时有出现，且题型变化较多，考生复习时需要熟练掌握相关知识，熟悉相关题型，认真对待该考点的复习。
一、二次函数的表达式二、二次函数的图象特征与最值三、二次函数图象与系数的关系四、二次函数与方程、不等式（组）五、二次函数图象上点的坐标特征考向一、二次函数的表达式1.二次函数的3种表达式及其性质作用2.二次函数平移的方法：①转化成顶点式（已经是顶点式的此步忽略），②“左加右减（x），上加下减（y）”；1．把y＝（2﹣3x）（6+x）变成y＝ax2+bx+c的形式，二次项 ，一次项系数为 ，常数项为 ．2．用配方法将二次函数y＝x2﹣2x﹣4化为y＝a（x﹣h）2+k的形式为（ ）A．y＝（x﹣2）2﹣4B．y＝（x﹣1）2﹣3C．y＝（x﹣2）2﹣5D．y＝（x﹣2）2﹣63．在平面直角坐标系中，若将抛物线y＝2x2+1先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，则经过这两次平移后所得抛物线的解析式是（ ）A．y＝2（x﹣3）2+3B．y＝2（x+3）2+3C．y＝2（x﹣3）2+1D．y＝2（x+3）2+24．抛物线y＝2x2向下平移3个单位长度后所得新抛物线的顶点坐标为（ ）A．（﹣3，0）B．（3，0）C．（0，﹣3）D．（0，3）5．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，3），点B的坐标为（6，3）．若抛物线y＝mx2+2mx+m+3（m为常数，m≠0）向右平移a（a＞0）个单位长度，平移后的抛物线的顶点在线段AB上，则a的取值范围为 ．考向二、二次函数的图象特征与最值1.对于二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）：对称轴：直线；顶点坐标：；a＞二次函数有最小值；a ＜二次函数有最大值；2.图象的增减性问题：抛物线的增减性问题，由a 的正负和对称轴同时确定，单一的直接说y 随x 的增大而增大（或减小）是不对的，必须附加一定的自变量x 取值范围；1．已知二次函数的图象（0≤x ≤3）如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是（ ）A ．函数有最小值1，有最大值3B ．函数有最小值﹣1，有最大值3C ．函数有最小值﹣1，有最大值0D ．函数有最小值﹣1，无最大值2．如图是四个二次函数的图象，则a 、b 、c 、d 的大小关系为（ ）A．d＜c＜a＜b B．d＜c＜b＜a C．c＜d＜a＜b D．c＜d＜b＜a3．如图是二次函数y＝ax2+bx的大致图象，则一次函数y＝（a+b）x﹣b的图象大致是（ ）A．B．C．D．4．在同一坐标系中一次函数y＝ax﹣b和二次函数y＝ax2+bx的图象可能为（ ）A．B．C．D．5．已知二次函数y＝x2﹣2x+2在m≤x≤m+1时有最小值m，则整数m的值是（ ）A．1B．2C．1或2D．±1或26．如图，点P是抛物线y＝﹣x2+2x+2在第一象限上的点，过点P分别向x轴和y轴引垂线，垂足分别为A，B，则四边形OAPB周长的最大值为 ．考向三、二次函数图象与系数的关系二次函数图象题符号判断类问题大致分为以下几种基本情形∶1．抛物线y ＝ax 2+bx +c 的对称轴为直线x ＝−1，部分图象如图所示，下列判断中：①abc ＞0；②b 2﹣4ac ＞0；③9a ﹣3b +c ＝0；④6a ﹣2b +c ＜0；⑤若点（0.5，y 1），（﹣2，y 2）均在抛物线上，则y 1＞y 2，其中正确的判断是（ ）A ．②③④⑤B ．②③④C ．②③⑤D ．②④⑤2．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c 的y 与x的部分对应值如表：x﹣1013y0﹣1.5﹣20根据表格中的信息，得到了如下的结论：①二次函数y＝ax2+bx+c可改写为y＝a（x﹣1）2﹣2的形式；②二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向下；③关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣1.5的两个根为0或2；④若y＞0，则x＞3；⑤a（am+b）≥a﹣b（m为任意实数）．其中所有正确的结论为（ ）A．①②④B．②③⑤C．②③④D．①③⑤3．无论k为何值，直线y＝kx﹣2k+2与抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a总有公共点，则a的取值范围是（ ）A．a＞0B．C．或a＞0D．4．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有以下结论：①a+b+c＜0；②a﹣b+c＞1；③abc＞0；④4a﹣2b+c＜0；⑤c﹣a＞1．其中所有正确结论的序号是（ ）A．①③④B．①②③⑤C．①②③④D．①②③④⑤5．已知二次函数y＝x2﹣2mx+m2+2m（1）①函数的顶点坐标为 （用含m的代数式表示）；②该顶点所在直线的解析式为 ；在平面直角坐标系中画出该直线的图象；（2）当m＝1时，二次函数关系式为 ，在平面直角坐标系中画出此函数的图象；（3）已知点A（﹣3，1）、B（1，1）连结AB．若抛物线y＝x2﹣2mx+m2+2m与线段AB有且只有一个交点，求m的取值范围；（4）把二次函数y＝x2﹣2mx+m2+2m（x≤2m）的图象记为G，当G的最低点到x轴的距离为1时，直接写出m的值．考向四、二次函数与方程、不等式（组）1.二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）与一元二次方程之间的关系：1)求交点：①求抛物线与x轴交点坐标→直接让y=0，即：ax2+bx+c=0②求抛物线与某直线l的交点坐标→联立抛物线与直线解析式，得新组成的一元二次方程，解新方程即的两图象交点横坐标，再代入直线或抛物线解析式即可得交点坐标。
(中考化学)重难点考点11—化学计算题专题突破(原卷版)
重、难点考点11—化学计算题专题突破（二）考点剖析：此题型在中考中主要考查化学方程式的计算，化学方程式的计算题应注意的问题：1：正确书写题目中相关的化学方程式。
2：对题目中所给的数据，表格及图像进行正确的分析，确定已知量和未知量。
3：根据题意写出相关的化学方程式式，并正确设出未知量。
4：在化学方程式式中列出相关物质的相对分子质量并把已知和未知的数据写到相关物质的下面。
5：正确列出比例式，并正确求解。
6：对所求出的数据或化学量进行作答。
典例剖析：例1: （2020年河北中考）某小组用粗锌测定某稀硫酸中溶质的质量分数。
取一定质量的稀硫酸于烧杯中，称量稀硫酸和烧杯的总质量；然后，向其中分两次加入粗锌（杂质不参加反应），实验过程和数据如图所示。
请计算：（1）生成氢气的总质量为g。
（2）稀硫酸中溶质的质量分数。
例2：（2020年广元中考）某兴趣小组同学将100g氢氧化钠溶液分五次加入到139.6g硫酸铜溶液中，测得实验数据如下表所示：第一次第二次第三次第四次第五次氢氧化钠溶液的质量/g 20 20 20 20 20沉淀质量/g 4.9 9.8 m 19.6 19.6（1）表格中m的值为多少。
（2）计算恰好完全反应时所得溶液中溶质的质量分数。
（写出计算过程）例3：（2019河北中考试题）为测定某CuSO4溶液中溶质的质量分数，取150gCuSO4溶液，平均分为三份，每份样品均按如图所示进行实验，实验数据见表。
请计算：（1）溶液完全反应时，所得沉淀的质量为g 。
（2）CuSO4溶液中溶质的质量分数。
例4：（2020年黑龙江齐齐哈尔中考）合金是重要的金属材料，常用来制造机械零件、仪表和日用品。
某化学研究小组利用黄铜（铜、锌合金）进行了下图所示实验：请计算：（1）生成氢气的质量为多少g，黄铜中锌的质量为多少g。
（2）过滤后所得溶液的溶质质量分数。
例5：（2020年自贡中考）取一定量铜粉、铁粉的混合物，加入过量稀硫酸，完全反应（酸溶）后过滤，将滤渣洗净、烘干后在足量氧气中充分灼烧（金属元素在产物中显+2价）。
因式分解--公式法(2)完全平方公式
注意结 构特征
( 4x 3)2
(a + b )2
a2 ± 2 . a . b + b2 =（ a ± b)²
例5 分解因式： 首 2 2 首 尾 尾 2 (首 尾 )2
(2)x24x y4y2. 分析：原式= (x24xy4y2 )
注意符号
[x 2 2 x (2 y ) (2 y )2 ]
黄金中学 程珊
问题：通过这个图形我们可以联想到哪个乘法公式？
(ab)2 a22ab b2
整式乘法
(a b)2 a22ab b2 (ab)2 a22ab b2
因式分解
这两个公式叫做(因式分解的)完全平方公式.
两个数的平方和加上（或减去）这两个数的 积的2倍,等于这两数的和（或差）的平方．
利用公式法因式分解的一般步骤：
1.一提：先观察要分解的多项式有无公因 式， 首先考虑：提公因式 2.二套：即套公式。提完公因式后或没有 公因式，就看项数.
若两项，考虑能否用 平方差公式 若三项，考虑能否用 完全平方公式 ３.三查：检查。分解因式，必须进行到 每一个多项式因式都不能 再分解为止.
注意：公式中的字母既可以表示单项式，也可以表示
多项式 .
为更好方便交通管理，准备将原正方形区域位置扩大成 更大区域，位置扩大后仍为正方形，面积达到 (a2b)2，请 你画出扩大后图形并用因式分解的方法验证其面积大小．
解：验扩证大方后法的1区：域如图所示：
(ab)22(ab)bb2
a 2 2 a b b 2 2 a 2 b 2 b 2 a24a b4b2 a+b
因式分解 的方法
数学思 想方法
整体思想 逆向思维
专题01 平方差公式和完全平方公式(原卷版)【2022春北师大版七下数学压轴题突破专练】
【2022春北师大版七下数学压轴题突破专练】专题01 平方差公式和完全平方公式一、选择题1．（）下列运算中，结果正确的是（）A．（a+b）（a-b）=a2-b2B．（a-b）（b-a）=a2-b2C．（a-b）2=a2-b2D．（a-b）2=a2+2ab-b22．（2022七下·）如图所示，长方形ABCD的周长为16，以长方形四条边为边长向外作四个正方形，若四个正方形面积之和为68，则长方形ABCD的面积为（）A．12 B．15 C．18 D．20 3．（2022七下·）如图，两个正方形的边长分别为a和b，如果a-b=2，ab=26，那么阴影部分的面积是（）A．30 B．34 C．40 D．44 4．（2022七下·）计算（x+3y）2-（3x+y）2的结果是（）A．8x2-8y2B．8y2-8x2C．8（x+y）2D．8（x-y）25．（2020七下·西湖期末）已知2n＋212＋1（n＜0）是一个有理数的平方，则n的值为（）A．﹣16 B．﹣14 C．﹣12 D．﹣10 6．（2020七下·秦淮期末）如图，有A，B，C三种不同型号的卡片，每种各10张.A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是相邻两边长分别为a、b的长方形，C型卡片是边长为b的正方形.从中取出若干张卡片（每种卡片至少一张），把取出的这些卡片拼成一个正方形，所有符合要求的正方形的个数是（）A ．4B ．5C ．6D ．77．（2020七下·郑州期末）如图，有两个正方形A ,B ,现将B 放在A 的内部得图甲，将A ,B 并列放置后构造新的正方形得图乙。
若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为3和30,则正方形A 、B 的面积之和为( )A ．33B ．30C ．27D ．248．（2019七下·西湖期末）如图，大正方形的边长为 m ，小正方形的边长为 n ，x ， y 表示四个相同长方形的两边长（ x y > ）.则①x y n -= ；②224m n xy -=；③22x y mn -= ；④22222m n x y -+= ，中正确的是（ ）A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．①②③④9．（2019七下·兰州月考）观察下列各式及其展开式:（ ）()2222a b a ab b +=++ ()3322333a b a a b ab b +=+++ ()4432234464a b a a b a b ab b +=++++()554322345510105a b a a b a b a b ab b +=+++++……你猜想 ()10a b + 的展开式第三项的系数是( ) A ．66 B ．55C ．45D ．36二、填空题10．（2022七下·）如图所示，在边长为a 的正方形中，剪去一个边长为b 的小正方形（a>b ），将余下部分拼成一个梯形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于a ，b 的等式为： .11．（2022七下·）x 2+y 2=（x+y ）2- =（x-y ）2+ . 12．（2022七下·）如果（a+b+1）（a+b-1）=3，那么a+b 的值为 . 13．（2022七下·）计算： （b+12）（ ）=b 2-144. ( )（-13x+0.5y ）=19x 2-14y 2. 14．若a+b ＝2，a 2﹣b 2＝6，则a ﹣b ＝ .15．（2021七下·丽水期末）数学活动课上，小明同学尝试将正方形纸片剪去一个小正方形，剩余部分沿虚线剪开，拼成新的图形。
因式分解-完全平方公式
我们可以通过以上公式把 “完全平方式”分解因式
我们称之为：运用完全平 方公式分解因式
例题1：把下列式子分解因式
4x2+12xy+9y2
2x2 22x3y 3y2 2x 3y2
首2 2首尾 尾2 =(首±尾)2
巩固练习：把下列各式分解因式：
1 x2 4x 4 原式 x 22
2、有两个“项”的平方，且这 两项的符号相同。 3、有这两“项”的2倍或-2倍
首2 2首尾尾2
请同学们根据完全平 方式的特点再写出几
个完全平方式
下列各式是不是完全平方式
1 a2 b2 2ab 是
22xy x2 y 2 是 3 x2 4xy4 y 2 是 4a2 6abb2 否 5x2 x 1 是
(4)、a2-2ab+b2
回忆完全平方公式
ab 2 a2 2abb2
ab 2 a2 2abb2
现在我们把这个公式反过来
a2 2abb2 ab2
a2 2abb2 ab2
很显然，我们可以运用以上这 个公式来分解因式了，我们把 它称为“完全平方公式”
a2 2abb2 a2 2abb2
2 a2 6a 9
3 4a2 4a 1 原式 2a 12
4 9m2 6mn n2 原式 3m n2
5 x2 1 x
4
原式
x
1 2
2
6 4a2 12ab 9b2 原式 2a 3b2
例2 因式分解 -x2-4xy-4y2 解：-x2-4xy-4y2 =-( x2+4xy+4y2) =-[x2+2·x·2y+(2y)2] =-(x+2y)2
我们把以上两个式子 叫做完全平方式
因式分解(公式法-完全平方公式)
1.阅读P169的思考，掌握能运用完全平方公式 分解因式的多项式有什么特点；
2. 模仿例题完成P170练习1和2。
完全平方和--公式
完全平方差--公式
a 2ab b a b 2 2 2 a 2ab b a b
2 2 2
因式分解的完全平方公式—需要满足的条件： 从项数看： 都是有3项 从每一项看： 都有两项可化为两个数(或整式)的平方,
否
否
x 4x 4 y
2
2
2
2
否
是
a表示2y， ( 2 y 3 x) 2 b表示3x a表示(a+b)， 2 (a b 1) b表示1
4 y 12 xy 9 x
2
(a b) 2(a b) 1
是
按照完全平方式填空:
2 2
2xy 1 x _______ y 2 2 12ab 2 4a 9b _______ 2 2 4xy 3 x ______ 4 y
[ x 2 x (2y ) (2y ) ]
2 2
( x 2 y) 2
(3) 3ax2＋6axy＋3ay2
原式 3a( x 2 2xy y 2 ) 解：
3a(x y)2
(4) (2 x y) 6(2 x y) 9
2
原式 (2 x y) 2 2 (2x y) 3 32 解：
另一项为这两个数(或整式)的乘积的2倍.
填一填:
多项式
x 6x 9
2
是否是 完全平方式
a、b 各表示什么 a表示x， b表示3
表示（a+b）2 或（a－b）2
冀教版七年级下册数学第11章 因式分解 用完全平方公式分解因式
2
知3－讲
总结
知2－讲
因式分解时，要注意综合运用所学的分解方法， 常用的分析思路是：①提公因式法；②公式法．有 时，需要反复利用公式法因式分解，直至每一个因式 都不能分解为止．注意综合利用乘法公式，既用到平 方差公式又用到完全平方公式．
知2－练
1 把下列各式分解因式： (1)6xy－x2－9y2；(2)－m3＋2m2－m； (3)3x2－6x＋3； (4)4xy2＋4x2y＋y3.
知2－练
2 把下列各式分解因式： (1)x2－6x(y－z)＋9(y－z)2； (2)(a＋b)2－4(a＋b)c＋4c2.
解：(1)x2－6x(y－z)＋9(y－z)2＝x2－2·x·3(y－z)＋[3(y －z)]2＝[x－3(y－z)]2＝(x－3y＋3z)2.
(2)(a＋b)2－4(a＋b)c＋4c2＝(a＋b－2c)2.
知2－练
6 把2xy－x2－y2分解因式，结果正确的是( C ) A．(x－y)2B．(－x－y)2 C．－(x－y)2D．－(x＋y)2
7 把多项式(a＋b)2－4(a2－b2)＋4(a－b)2因式分解的 结果为C( ) A．(3a－b)2B．(3b＋a)2 C．(3b－a)2D．(3a＋b)2
解：(1) ax2＋2a2x＋a3；
＝a(x2＋2ax＋a2)
＝a(x＋a)2.
(2) (x＋y)2－4(x＋y)＋4.
＝ (x＋y)2－2·(x＋y)·2＋22
＝ (x＋y－2)2.
(3) (3m－1)2＋(3m－1)＋1
4 ＝ (3m－1)2－2·(3m－1)·
＝
3m
1 2
2
.
1 2
1 2
例1 判断下列多项式是否为完全平方式．
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考点11 因式分解——完全平方公式法
一．选择题（共12小题）
1．（2020·广东揭阳期中）若x +y ＝﹣1，则x 2+y 2+2xy 的值为（ ）
A ．1
B ．﹣1
C ．3
D ．﹣3
2．（2020·海东期末）对多项式2441x x -+进行因式分解，正确的是（ ）
A ．24414(1)1x x x x -+=-+
B ．22441(41)x x x -+=-
C ．22144122x x x ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭
D ．22441(21)x x x -+=-
3．（2020·沙坪坝月考）关于x y 、的多项式2245815x xy y y -+++的最小值为（ ）
A ．1-
B ．0
C ．1
D ．2
4．（2020·山东期末）下列各多项式中，能运用公式法分解因式的有（）
①2m 4-+①22x y --①22x y 1-①()()22
m a m a --+①222x 8y -①22x 2xy y ---①229a b 3ab 1-+
A ．4个
B ．5个
C ．6个
D ．7个
5．（2020·河北期末）下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是（ ）
A ．2161x +
B ．221x x +-
C ．2224a ab b +-
D ．214x x -+ 6．（2020·广东月考）下列多项式能用完全平方公式进行因式分解的是（ ）
A ．21a +
B ．221a a +-
C ．269a a -+
D ．2864a a ++ 7．（2020·重庆月考）下列多项式中，不能进行因式分解的是（ ）
A ．﹣a 2+b 2
B ．﹣a 2﹣b 2
C ．a 3﹣3a 2+2a
D ．a 2﹣2ab+b 2﹣1 8．（2020·广西期末）设,,a b c 是三角形的三边长，且满足222a b c ab bc ca ++=++，关于此三角形的形状有以下判断：①是直角三角形； ①是等边三角形； ①是锐角三角形；①是钝角三角形，其中正确的说法的个数有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
9．（2020·泉州期中）下列因式分解正确的是（ ）
A ．()()22m n m n m n +=+-
B ．()22211x x x +-=-
C ．()2
1a a a a -=- D ．()22121a a a a ++=++ 10．（2020·上海）运算结果为24144x x -+的是（ ）．
A ．()2212x -+
B ．()2212x +
C ．()2212x --
D ．2(12)x -
11．（2020·广西期末）对于任何实数m 、n ，多项式2261036m n m n +--+的值总是（ ）
A ．非负数
B ．0
C ．大于2
D ．不小于2 12．（2020·黑龙江期中）下列变形正确的是（ ）
A ．x 3﹣x 2﹣x ＝x （x 2﹣x ）
B ．x 2﹣3x+2＝x （x ﹣3）﹣2
C ．a 2﹣9＝（a+3）（a ﹣3）
D ．a 2﹣4a+4＝（a+2）2
二．填空题（共6小题） 13．（2020·江苏期中）已知2a b -=，则22
2
a b ab +-的值_____． 14．（2020·四川期末）已知为等腰三角形ABC ，其中两边,a b 满足，
244|3|0a a b -++-=，则ABC ∆的周长为_______________________
15．（2020·揭阳月考）分解因式：（x+1)（x+5）+4=_____________
16．（2020·山东期中）若m 2＋4n 2－4m ＋4n ＋5＝0，则nm ＝______．
17．（2020·广东月考）已知实数a ，b ，c 满足22254()250a b c ab b c c +++-+-+=，则
2a b c -+的值为__________．
18．（2020·浙江月考）分解因式：224422x xy y x y ++++-______．
三．解析题（共6小题）
19．（2020·河北期末）把下列各式分解因式：
（1）226x y x -；
（2）3222x x y xy -+；
20．（2020·江西期末）解答下列问题：
()1一正方形的面积是()22690,0a ab b a b ++>>，则表示该正方形的边长的代数式是 ．
()2求证：当n 为正整数时， ()()222121n n +--能被8整除．
21．（2020·渠县崇德实验学校期末）在学习整式乘法的拓展知识时，老师让各学习小组先阅读以下材料：若2222690m mn n n ++-+=，求 m ， n 的值．
解：因为 2222690m mn n n ++-+=
所以（m²+2mn+n²）+（n²－6n+9）=0 即：（m+n)²+（n －3)²=0
所以22
()0,(3)0m n n +=-=解得 n ＝3，m=－3
请你根据以上解题思路，发挥你的聪明才智，解决下列问题：求当 a ，b 取何值时，代数式 a²+b²－ 2a+4b+8 的值最小，最小值多少．
22．（2020·南京外国语学校期中）（1）已知A ＝2a ﹣7，B ＝a 2﹣4a +2，C ＝a 2+6a +2．试比较A 与C 的大小，并说明理由；
（2）已知①ABC 的三边长为4、x 、y ，试判断16y +2x 2﹣32﹣2y 2的值是正数还是负数． 23．（2020·上海期中）阅读下列材料：
让我们来规定一种运算：a b
ad bc c d =-.例如：12
152458345=⨯-⨯=-=-，按照这种
运算的规定，请解答下列问题：
（1）1x 2
3= ；
（2）当x = 时，1x
1-2x
=0
（3）若1a 29
6b a +-=0，求,a b 的值.
24．（2020·全国）阅读材料：若m 2﹣2mn+2n 2﹣8n+16=0，求m 、n 的值．
解：①m 2﹣2mn+2n 2﹣8n+16=0，①（m 2﹣2mn+n 2）+（n 2﹣8n+16）=0
①（m ﹣n ）2+（n ﹣4）2=0，①（m ﹣n ）2=0，（n ﹣4）2=0，①n=4，m=4．
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）已知x 2﹣2xy+2y 2+6y+9=0，求xy 的值；
（2）已知①ABC 的三边长a 、b 、c 都是正整数，且满足a 2+b 2﹣10a ﹣12b+61=0，求①ABC 的最大边c 的值；
（3）已知a ﹣b=8，ab+c 2﹣16c+80=0，求a+b+c 的值．。