第3节-2 有效数字及其与误差的关系

0.1%，问至少需要几位有效数字。 解：可以知道I 0.7467，这样，1 7，有：
1 ( x) 10 n 1 0.1% 2 7 可以解出：n 3,即I *只要取三位有效数字，I * 0.747就能
* r
保证I *的相对误差不超过0.1%。
三.计算机舍入误差
定义：当近似值x*的误差限是其某一位上的半个单位
时，我们就称其“准确”到这一位，且从该位起直到 前 面第一位非零数字为止的所有数字都称为有效数字。 一般说，设有一个数x, 其近似值x*的规格化形式：
x* 0.1 2 n 10m
1 , 2 , n都是0， , 9中的一个数字，1 0，n 是 1,
上式表达了有效数字与相对误差之间的关系，由此 可见，有效数字的位数反映了近似值的相对精确度。
上述关系的逆也是成立的，即当用x* 0.1 2 n 10m 表 1 示近似值x ，如想其相对误差 ( x)能满足： ( x) 10 n1 2(! 1)
* * r * r
*
差限也就越小。
2、有效数字与相对误差的关系 若x* 0.1 2 n 10m 有n位有效数字时，显然有 1 ( x) x x 10m n，又因为 x* 1 10m 1，其相对误 2 差有：
*
1 10m n ( x) 2 1 * r ( x) * 10 n 1 x 1 10m1 21 1 故相对误差限为： 10 n 1。 21
即表示x*至少具有n位有效数字。
例1、当用3.1416来表示的近似值时，它的相对误差是多少？
解： 3.1416具有五位有效数字，1 3，那么有： 1 1 51 ( x) 10 104 23 6
* r
例2、为了使积分I e
0
1
x2
dx的近似值I *的相对误差不超过
另一种情况，例如x 0.1524, x* 0.154，这时x*的误差 1 是 ( x) 0.0016，其绝对值超过了0.0005 10 3 , 即第三位 （ 2 1 小数的半个单位），但却没有超过0.005 102 , 即第二位 （ 2 小数的半个单位），即0.0005 x x* 0.005。
x 对x的舍入绝对误差满足： e x fl x 0.5 c t
舍入相对误差满足： er x fl x x 0.5 c t 0.5 1t 0.1 c
注意： 计算机对任何实数的舍入相对误差与实数本身无关，只 与计算机字长t有关，通常定义数eps=0.5×β1-t为计算 机精度。 由于计算机的精度只与字长有关，计算机字长t越大， 其精度越高，有些数值要用双字长处理，双字长数据也 称双精度数。
§3
有效数字及其与误差的关系
一、有效数字
例如：对无穷小数或着循环小数，可用四舍五入的办法来取其 近似值
3.1415926
若按四舍五入取四位小数，则可得其近似值3.1416 若取五位小数则得到其近似值为3.14159
这种近似值取法的特点是误差限为其末位的半个单位。
1 1 5 4 3.1416 0.002 10 3.14159 0.000008 10 2 2
正整数，m 是整数。
1 若x 的绝对误差限为： x x 10mn，则称 e 2 x*为具有n位有效数字，或称它精确到10mn，其中每一个
* *
数字1 , 2 , n都是 x*的有效数字。
3.1416 五位有效数字，精确到0.0001
203和0.0203都是具有三位有效数字的有效数. 0.0203和0.020300: 其中0.0203具有三位有效数字,精确到0.0001, 0.020300具有五位有效数字,精确到0.000001. 可见,两者的精确程度大不相同,后者比前者精确. 注:有效数字尾部的零不可随意省去,以免损失精度.
显然x*虽有三位小数，其中1 1, 2 5都是准确数 字，而第三位小数 3 4就不再是准确数字了，我们就称 它为存疑数字。
二、有效数字与误差的关系
1、有效数字与绝对误差的关系
1 由 e x x 10m n，可知从有效数字可以算出 2 近似数的绝对误差限；有效数字的位数越多，其绝对误
设计算机的数系为F , t , L,U , 某数 其中ai 0,1,, 1 i 1, 2, , a1 0, x F , t , L, U 且满足m x M , m及M 是F , t , L,U 中的最小正数和 最大正数。
计算机经舍入处理后以fl x 接收，即fl x c a, 其中： 当0 at 1 / 2 0.a1a2 at a 0.a1a2 at t 当 / 2 at 1
则x*至少具有n位有效数字。
1 证明如下：由 ( x) 10 n 1 及 x* (1 1) 10m1， 2(! 1)
* r
( x) x ( x) (1 1) 10
* * r
m 1

1 2(1 1)
10
n 1
1 10mn 2